2.《高等数学》(二)期末模拟试题(含答案)
高数2试题及答案.(DOC)
模拟试卷一―――――――――――――――――――――――――――――――――― 注意：答案请写在考试专用答题纸上，写在试卷上无效。
（本卷考试时间100分）一、单项选择题（每题3分，共24分）1、已知平面π：042=-+-z y x 与直线111231:-+=+=-z y x L 的位置关系是（ ） （A ）垂直 （B ）平行但直线不在平面上（C ）不平行也不垂直 （D ）直线在平面上 2、=-+→→1123lim0xy xy y x （ ）（A ）不存在 （B ）3 （C ）6 （D ）∞3、函数),(y x f z =的两个二阶混合偏导数y x z ∂∂∂2及xy z∂∂∂2在区域D 内连续是这两个二阶混合偏导数在D 内相等的（ ）条件.（A ）必要条件 （B ）充分条件（C ）充分必要条件 （D ）非充分且非必要条件 4、设⎰⎰≤+=ay x d 224πσ，这里0 a ，则a =（ ）（A ）4 （B ）2 （C ）1 （D ）0 5、已知()()2y x ydydx ay x +++为某函数的全微分，则=a （ ）（A ）-1 （B ）0 （C ）2 （D ）16、曲线积分=++⎰L z y x ds222（ ），其中.110:222⎩⎨⎧==++z z y x L（A ）5π（B ）52π （C ）53π （D ）54π7、数项级数∑∞=1n na发散，则级数∑∞=1n nka（k 为常数）（ ）（A ）发散 （B ）可能收敛也可能发散（C ）收敛 （D ）无界 8、微分方程y y x '=''的通解是（ ）（A ）21C x C y += （B ）C x y +=2（C ）221C x C y += （D ）C x y +=221 二、填空题（每空4分，共20分）1、设xyez sin =，则=dz 。
2、交换积分次序：⎰⎰-222xy dy e dx = 。
《高等数学二》期末复习题及答案_28171462418361700
D
2 ,2t
x+y= 1
在第一象限内所围成的区域。
x= 0
14、（本题满分12分）一质点沿曲线＞，= /从点（0,0,0）移动到点
z = r
（0, 1, 1）,求在此过程中，力户=Jl + x*7-£ + 9所作的功W。
15、（本题满分10分）判别级数ynsin-的敛散性。
23、设L为连接(1,0)与(0,1)两点的直线段，则j(x+y)4s=
24、lim/x"=
(21。。)次+/ +1 _1
25、2=3,b=4,［与B的夹角是工，«')axb =2
26、已知三角形的顶点A(U,T),8(2J,0),C(0,0,2),则AABC的面积等于
27、点(2,3』)至1|点加2(274)的距离附|“［=
3、积分/=JJje4/b的值为x2+y2<4
4、若a,b为互相垂直的单位向量，则a b=
5、交换积分次序jjiZrJo /(x,yMy=
6、级数£(：+/)的和是
“1LJ
7、二一即=
Dxy,T)
8、二元函数z = sin(2x + 3y),则」=
9、设/(x, y)连续，交换积分次序J：八［J(x,y}dy=
11、B解：若级数£%收敛，由收敛的性质4G。三个选项依然是“■1
收敛的，而£(%+2)未必收敛，或者排除法选择B。/1.1
12、C解：二重积分|].f(#,y)d#dy的值与函数有关，与积分区域有关， 而与积分变量的字母表达没关系。
13、B解：利用平行向量对应的坐标成比例，Z=(84,-2),则
高数二期末考试题及答案
高数二期末考试题及答案一、选择题（每题4分，共20分）1. 下列函数中，哪一个是奇函数？A. \( f(x) = x^2 \)B. \( f(x) = x^3 \)C. \( f(x) = \sin(x) \)D. \( f(x) = \cos(x) \)答案：C2. 极限 \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} \) 的值是多少？A. 0B. 1C. \( \frac{1}{2} \)D. \( \infty \)答案：B3. 微分方程 \( y'' + y = 0 \) 的通解是？A. \( y = C_1 e^{-x} + C_2 e^x \)B. \( y = C_1 \cos(x) + C_2 \sin(x) \)C. \( y = C_1 x + C_2 \)D. \( y = C_1 \ln(x) + C_2 \)答案：B4. 定积分 \( \int_{0}^{1} x^2 dx \) 的值是多少？A. \( \frac{1}{3} \)B. \( \frac{1}{2} \)C. \( 1 \)D. \( 2 \)答案：A5. 曲线 \( y = x^3 \) 在点 \( (1,1) \) 处的切线斜率是？A. 3B. 1C. 0D. \( \frac{1}{3} \)答案：A二、填空题（每题5分，共20分）1. 函数 \( f(x) = x^2 - 6x + 8 \) 的最小值是 ________。
答案：22. 函数 \( f(x) = e^x \) 的导数是 ________。
答案：\( e^x \)3. 函数 \( y = \ln(x) \) 的定义域是 ________。
答案：\( (0, +\infty) \)4. 函数 \( y = \frac{1}{x} \) 的图像关于 ________ 对称。
答案：原点三、计算题（每题10分，共30分）1. 求函数 \( y = x^3 - 3x^2 + 4 \) 在 \( x = 2 \) 处的导数。
高数2期末练习(附答案)
第 1 页 高数2练习一、选择题1、设c 是一非零向量，λ是一实数，若__D___则a b =（,a b 均为向量）． A .a b λλ= B .a c b c ⨯=⨯ C .a c b c ⋅=⋅ D .a c b c ⋅=⋅且a c b c ⨯=⨯2、若0),(),(0000='='y x f y x f y x ，则),(y x f 在),(00y x 下列结论正确的是 （ B ）A、连续， B 、偏导数存在， C 、有极值， D 、可微.3、交换积分110(,)xdx f x y dy -⎰⎰的秩序等于 ( D )A .1100(,)xdy f x y dx -⎰⎰ B .1100(,)xdy f x y dx -⎰⎰C .11(,)dy f x y dx ⎰⎰ D .110(,)ydy f x y dx -⎰⎰4、设L 是从点(0,0)沿折线11--=x y 至点(2,0)的折线段，则积分⎰-Lydx xdy 等于( D )A.0B.-1C.2D.-25、下列命题错误的是 ( D )A . 如果1n n u ∞=∑与1n n v ∞=∑都收敛，则1()n n n u v ∞=+∑必收敛B .如果1n n u ∞=∑收敛，1n n v ∞=∑发散，则1()n n n u v ∞=+∑必发散C .如果1n n u ∞=∑与1n n v ∞=∑都发散，则1()n n n u v ∞=+∑不一定发散D .如果1()n n n u v ∞=+∑收敛，则1n n u ∞=∑与1n n v ∞=∑必都收敛6、下列级数中发散的是 （ D ）A 、132nn ∞=∑B、1(1)nn ∞=-∑ C 、3131n n n ∞=+∑D、1n ∞=∑7、下列级数中条件收敛的是 （ A ）（A ）∑∞=+-11)1cos(n n n π（B ）∑∞=+⋅-131)1(n nn n （C ）∑∞=+121!1n n（D ）∑∞=+-1)1()1(n nn n第 2 页1、若b,a为两非零向量，则0b a =⨯是ba 与同向的（ B ）A.充要条件B.必要条件C.充分条件D.既非充分也非必要条件 2、函数z =0，0）处（ B ）A 、 不连续B 、 偏导数不存在C 、 任一方向的方向导数存在D 、可微 3、交换积分次序后，⎰⎰=x edy y x f dx ln 01),(（ C ）A.⎰⎰yeedx y x f dy ),(10B.⎰⎰ee 0dx )y ,x (f dy C.⎰⎰eeydx y x f dy ),(10 D.⎰⎰eeeydx y x f dy ),(04、已知()()2y x ydydx ay x +++为某函数的全微分，则a 等于（ D ）A 、 -1B 、 0C 、1D 、2 1、设直线L ：22211-+==-z y x 及平面π：01232=+++-z y x ，则直线L于平面π的位置关系是直线L （ B ）A.在平面π上B. 平行于平面πC. 垂直于平面πD. 与平面π斜交 2、设函数yx y x f arctan),(=，则(2,1)y f '=（ B ）A.52 B. 52- C.51 D. 51-3、函数22xy y x z -=在点(1,1)P 使其方向导数取得最大值的单位方向向量是（ C ）A ．j i - B. j i +- C.ji 2222-D. ji 2222+-4、 交换二次积分ln 10(,)ex dx f x y dy⎰⎰的次序为（ C ）A.10(,)ye edy f x y dx ⎰⎰B.00(,)ee dyf x y dx ⎰⎰C.10(,)ye edy f x y dx ⎰⎰D.0(,)yee edy f x y dx⎰⎰5、下列级数中绝对收敛的级数是（ A ）A.1211(1)n n n∞+=-∑ B .111(1)n n n∞+=-∑ C.∑∞=++-11122)1(n nnn D.∑∞=+-11)1(n n二、填空题第 3 页1、过原点且与直线⎩⎨⎧=-+-=+-+0532062z y x z y x 垂直的平面方程为_______730x y z --=______________．2、由方程1=++z e y x 所确定的函数),(y x z 全微分=dz ___zdx dy e+-_______________.3、101lim (1)x x y xy →→-=____1e -___________．5、设L 为椭圆17422=+yx，其周长为a ，则⎰++Lds y x xy )47(22= 28a . 6、设a 为常数若级数，0()n n u a ∞=-∑收敛，则lim n x u →∞=_______a _______________．7、级数11(1)nn n xn∞-=-∑的收敛域为____(1,1]-_________________．1、过点M(1，4，3)且法向量为n=i-j+k 的平面方程______0x y z -+=_____________2、z=2y lnx, 则"xx z =________22y x-______________3、函数z=()xy x +ln 的定义域___{(,)|00}x y x x y >+>且________________________4、设zyx u =，则 ()=1,,1,1du_________dx dy -___________________5、当=K _____1-______时，向量{}{}3,1,,0,1,1-=-=K b a相互垂直6、求()ds y x L⎰+，其中L 为连接（1，0）及（0，1）两点的直线段7、以曲面z=sin(xy)为顶，D ：-1≤x ≤1,-1≤y ≤1为底的曲顶柱体体积的二重积分表达式________sin Dxydxdy ⎰⎰_____________________第 4 页8、若L 是平行于y 轴的有向线段则⎰=Ldx y x p ),(__________0____________11、过点)1,0,1(-且与平面42=-+z y x 平行的平面方程为 230x y z +--= 12、设3222z xz y ++=确定函数),(y x f z =，则10==∂∂y x xz = 13-13、设L 为2x y =上从点)0,0(O 到)1,1(A 之间的曲线段，则=⎰Lxds11215、常数项级数∑∞=++12231n n n 的和=S 12-三、计算题1、已知曲面221z x y =-- 上的点P 处的切平面平行于平面 122=++z y x ，求点P 处的切平面方程.2(1)2(1)(1)0x y z -+-++=2、设()1yz xy =+ ，求xy z ''.121(1)2(1)(1)[ln(1)]1y y x y y xy y xy xy xy---=++++++3、计算()211Dx dxdy y -+⎰⎰,其中D 是由曲线2y x =与直线2y x =-所围成. 04、验证：在整个平面内，22xy dx x ydy +是某个函数的全微分，并求出一个这样的函数．222x y5、、已知曲线积分⎰+Ldy x yf dx xy )(2与路径无关，其中)(x f 具有一阶连续导数，且0)0(=f ，求⎰+)1,1()0,0(2)(dyx yf dx xy 的值. 21()2f x x =6、计算曲线积分()()22sin LI xy dx x y dy =---⎰，其中L是半圆周y =上从(0,0)O 到(1,1)A 的有向弧段. 1sin 264--7、将下列函数展开为x 的幂级数.第 5 页（1） ()(1)xf x x e =+，01,!nn n x x Rn ∞=+=∈∑（2）()12x f x x=-． 11(1)2,||2nnn n xx ∞+==-<∑（3）)23ln()(x x f +=，10(1)233ln 3(),1322nn n n x x n ∞+=-=+-<<+∑8、在曲线x=t,y=32,t z t =上求一点，使该点的切线平行于平面x+2y+z=4。
高等数学2B期末模拟题及参考答案2021-2版
高等数学2B 期末模拟题2一、选择题 1. 11sin ),(22-+=y x y x f 的定义域为（ ） (A) 22{(,)|1}D x y x y =+= (B) 22{(,)|1}D x y x y =+≠(C) {(,)|0, 0}D x y x y =≠≠ (D) 22{(,)|0}D x y x y =+≠2. 2d L s =⎰（ ），其中L 为圆周：221x y +=.(A) 4π (B) 2π(C) 0(D) 4π- 3. 已知级数1n n u ∞=∑收敛，则lim n n u →∞=（ ） (A) 1 (B) 0 (C) ∞ (D) 不存在4. 2d d Dxy x y =⎰⎰（ ），其中22{(,)|1,0}D x y x y y =+≤≥. (A) 4π (B) 2π (C) 0(D) 4π-二、判断题1. 设向量(1,2,2),(1,0,1)a b ==-，则a 与b 平行（ ）.2. (,)lim 4x y →=（ ）.3. 级数11(1)n n n ∞=+∑收敛（ ）.三、计算题1. 设y x f )1(+=，求d (1,1)f .2. 设)arctan(uv z =，而y v e u x 3,2==，求z x ∂∂. 四、应用题1. 求过点(2,0,3)-且与直线⎩⎨⎧=+-+=-+-012530742z y x z y x 平行的直线方程. 2. 求椭球面222236x y z ++=在点(1,1,1)处的切平面方程.五、当0,0,0x y z >>>时，已知函数(,,)ln 2ln 3ln f x y z x y z =++在附加条件22260x y z ++-=下存在最大值，求该最大值.六、计算重积分1. 计算二重积分2d d D y x y ⎰⎰，其中22{(,)|1,0}D x y x y y =+≤≥. 2. 计算三重积分d d d z x y z Ω⎰⎰⎰，其中Ω是由锥面22y x z +=与平面2=z 所围成的闭区域. 七、计算曲线积分与曲面积分1. 计算第二类曲线积分423(23)d (4)d L xy y x x xy y -++-⎰，其中L 为上半圆周22(2)1x y -+=上从(1,0) 到(2,1)的一段弧.2. 计算第二类曲面积分2d d d d d d x y z y z x z x y ∑+-⎰⎰，其中∑为介于0=z 与1=z 之间 的圆柱体229x y +≤的整个表面的外侧（包含上下底面）. （提示：可利用高斯公式）八、证明级数111(1)ln(1)n n n ∞-=-+∑条件收敛. 九、将函数1()f x x=展开成(2)x -的幂级数. 十、设()f x 是周期为π2的周期函数，它在[,)ππ-上的表达式为1, 0 (),1, 0x f x x ππ≤<⎧=⎨≤<⎩－－将()f x 展开成傅里叶级数.高等数学2B 期末模拟题参考答案2一、选择题1. B2. A3. B4. C二、判断题1. 错误2. 正确3. 正确三、计算题1. 解：1(1)y f y x x -∂=+∂，1)1,1(=∂∂x f ，(1)ln(1)y f x x y ∂=++∂，(1,1)2ln 2,f y ∂=∂ 故d (1,1)(1,1)d (1,1)d x y f f x f y =+d (2ln 2)d x y =+2. 解：d d z z u x u x ∂∂=⋅∂∂22121()x v e uv =⋅⋅+ 242619xx ye x y =+ 四、应用题1. 解：平面2470x y z -+-=的法向量为1(1,2,4)n →=-,平面35210x y z +-+=的法向量为2(3,5,2)n →=-,取所求直线的方向向量为12124352i j k s n n →→→=⨯=--)11,14,16(-=,又由所求直线过点(2,0,3)-，故所求直线的方程为23161411x y z -+==-. 2. 解：令222(,,)236F x y z x y z =++-，(,,)(2,4,6)x y z n F F F x y z →==，(1,1,1)|(2,4,6)n →=, 在点(1,1,1)处的切平面方程为2(1)4(1)6(1)0x y z -+-+-=,即2360x y z ++-=.五、解：令222(,,)ln 2ln 3ln (6),F x y z x y z x y z λ=+++++-解方程组22212022032060x y x F x x F y y F z z F x y z λλλλ⎧=+=⎪⎪⎪=+=⎪⎨⎪=+=⎪⎪⎪=++-=⎩，得唯一驻点, 故该点是函数的最值点.最大值为f =.六、计算重积分1. 解：原式2d d D y x y =⎰⎰1002d sin d r r r πθθ=⋅⎰⎰12002sin d d r r πθθ=⎰⎰43=. 2. 解一：（截面法）积分区域222(,)D :{(,,)|}02z x y x y z x y z z ∈+≤Ω=≤≤, 利用先二后一法得，20d d d d d d zD z x y z z z x y Ω=⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 220d z z z π=⋅⎰24014z π=4π=. 解二：（投影法）利用柱面坐标系，积分区域02,02{(,,)|}2r r z r z θπθ≤≤≤≤Ω=≤≤, 22200d d d d d d r z x y z r r z z πθΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰22012(4)d 2r r z π=⋅-⎰22401(2)4r z π=-4π=. 七、计算曲线积分与曲面积分1. 解：由423P xy y =-+，234Q x xy =-得， 324P Q x y y x∂∂=-=∂∂，故该积分与路径无关, 取积分路径L 为折线(1,0)(2,0)(2,1)→→，则21423310(23)d (4)d 3d (48)d L xy y x x xy y x y y -++-=+-⎰⎰⎰5=. 2. 解：由2,,P x Q y R z ===-得2P Q R x y z∂∂∂++=∂∂∂， 由高斯公式得，2d d d 2d d d x y z x y z ΩΩ==⎰⎰⎰⎰⎰⎰原式π18=.八、证明：该级数)1ln(1)1(11+-∑∞=-n n n 为交错级数, 由于11)1ln(1||+≥+=n n u n ，而∑∞=+111n n 发散，故∑∞=1n n u 发散, 又由1+>n n u u ，且1lim lim 0ln(1)n n n u n →∞→∞==+， 由莱布尼兹定理可知，原级数收敛，从而条件收敛.九、解：11()2(2)f x x x ==+-122(1)2x =-+ n n n n x )2(2)1(210--=∑∞=)40(<<x n n n n x )2(2)1(01--=∑∞=+)40(<<x十、解：所给函数满足收敛定理的条件，它在点(0,1,2,)x k k π==±±处不连续，在其他点处均连续，从而()f x 的傅里叶级数收敛，且当x k π=时级数收敛于1102-+=； 当x k π≠时,级数收敛于()f x . 001()cos d 11(1)cos d cos d 0(0,1,2,)n a f x nx x nx x nx x n πππππππ--==-+==⎰⎰⎰[]00001()sin d 11(1)sin d sin d 1cos 1cos 11cos cos 121(1)n n b f x nx x nx x nx x nx nx n n n n n n πππππππππππππππ---==-+⎡⎤⎡⎤=+-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦=--+⎡⎤=--⎣⎦⎰⎰⎰ 4,1,3,5,0,2,4,6,n n n π⎧=⎪=⎨⎪=⎩ 于是得)(x f 的傅里叶级数展开式为411()[sin sin3sin(21)]321f x x x k x k π=+++-+- k 141sin(21)(,0,,2,)21k x x x k πππ∞==--∞<<∞≠±±-∑。
《高等数学二》考试题及答案
《高等数学（二）》期末复习题一、选择题1、若向量b 与向量)2,1,2(-=a 平行，且满足18-=⋅b a ，则=b （ A ） （A ） )4,2,4(-- （B ）(24,4)--， （C ） (4,2,4)- （D ）(4,4,2)--.2、在空间直角坐标系中，方程组2201x y z z ⎧+-=⎨=⎩代表的图形为 ( C )（A ）直线 (B) 抛物线 （C ） 圆 (D)圆柱面 3、设22()DI xy dxdy =+⎰⎰，其中区域D 由222x y a +=所围成，则I =（ D ）(A)224ad a rdr a πθπ=⎰⎰ (B) 22402ad a adr a πθπ=⎰⎰(C)2230023a d r dr a πθπ=⎰⎰ (D) 2240012a d r rdr a πθπ=⎰⎰4、 设的弧段为：230,1≤≤=y x L ，则=⎰L ds 6 （ A ）（A ）9 (B) 6 （C ）3 (D)235、级数∑∞=-11)1(n nn的敛散性为 （ B ） （A ） 发散 (B) 条件收敛 (C) 绝对收敛 (D) 敛散性不确定 6、二重积分定义式∑⎰⎰=→∆=ni i i i Df d y x f 10),(lim),(σηξσλ中的λ代表的是（ D ）（A ）小区间的长度 (B)小区域的面积 (C)小区域的半径 (D)以上结果都不对 7、设),(y x f 为连续函数，则二次积分⎰⎰-1010d ),(d xy y x f x 等于 ( B )（A ）⎰⎰-1010d ),(d xx y x f y (B) ⎰⎰-1010d ),(d yx y x f y(C)⎰⎰-x x y x f y 1010d ),(d(D)⎰⎰101d ),(d x y x f y8、方程222z x y =+表示的二次曲面是 ( A )（A ）抛物面 （B ）柱面 （C ）圆锥面 （D ） 椭球面9、二元函数),(y x f z =在点),(00y x 可微是其在该点偏导数存在的（ B ）. （A ） 必要条件 （B ） 充分条件 （C ） 充要条件 （D ） 无关条件 10、设平面曲线L 为下半圆周 21,y x =--则曲线积分22()Lx y ds +=⎰( C )(A) 0 (B) 2π (C) π (D) 4π 11、若级数1nn a∞=∑收敛，则下列结论错误的是 （ B ）(A)12nn a∞=∑收敛 (B)1(2)nn a∞=+∑收敛 (C)100nn a∞=∑收敛 (D)13nn a∞=∑收敛12、二重积分的值与 （ C ）（A ）函数f 及变量x,y 有关； (B) 区域D 及变量x,y 无关； （C ）函数f 及区域D 有关； (D) 函数f 无关，区域D 有关。
高数二试题模拟及答案解析
高数二试题模拟及答案解析一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列函数中，满足f(-x) = -f(x)的是：A. y = x^2B. y = |x|C. y = sin(x)D. y = cos(x)答案：C解析：根据奇函数的定义，f(-x) = -f(x)。
选项A是偶函数，选项B和D不满足奇函数的性质，只有选项C满足。
2. 若函数f(x) = ln(x^2 - 1)的定义域为：A. (-∞, -1] ∪ [1, +∞)B. (-∞, -1) ∪ (1, +∞)C. (-∞, -1) ∪ [-1, 1) ∪ (1, +∞)D. (-∞, -1] ∪ (-1, 1) ∪ [1, +∞)答案：B解析：对数函数的定义域要求真数大于0，即x^2 - 1 > 0，解得x < -1或x > 1。
...（此处省略其他选择题，共10题）二、填空题（每题4分，共20分）1. 若曲线y = x^3在点(1,1)处的切线斜率为3，则该切线的方程为______。
答案：y = 3x - 2解析：首先求出y = x^3的导数y' = 3x^2，然后代入x = 1得到切线斜率k = 3。
利用点斜式方程y - 1 = k(x - 1)，得到切线方程。
2. 设数列{an}的通项公式为an = 2n - 1，则该数列的前n项和Sn = ______。
答案：n^2解析：数列{an}是等差数列，首项a1 = 1，公差d = 2。
利用等差数列前n项和公式Sn = n(a1 + an)/2，代入得Sn = n(1 + (2n - 1))/2 = n^2。
...（此处省略其他填空题，共5题）三、解答题（共50分）1. （10分）计算定积分∫[0,1] x^2 dx。
答案：1/3解析：根据定积分的计算公式，∫[0,1] x^2 dx = (1/3)x^3|[0,1] = (1/3)(1)^3 - (1/3)(0)^3 = 1/3。
高数b2期末考试试题及答案
高数b2期末考试试题及答案一、选择题（每题5分，共30分）1. 设函数f(x)=x^3-3x+1，求f'(x)的值。
A. 3x^2 - 3B. x^2 - 3xC. 3x^2 - 3xD. x^3 - 3x^2答案：A2. 计算定积分∫(0,1) x^2 dx。
A. 1/3B. 1/2C. 2/3D. 1/4答案：B3. 求极限lim(x→0) (sin x) / x。
A. 1B. 0C. 2D. ∞答案：A4. 判断下列级数是否收敛。
∑(1/n^2)，n从1到∞。
A. 收敛B. 发散答案：A5. 判断函数f(x)=e^x在实数域R上的连续性。
A. 连续B. 不连续答案：A6. 求二阶偏导数f''(x,y)，其中f(x,y)=x^2y+y^2。
A. 2xyB. 2xC. 2yD. 2答案：B二、填空题（每题5分，共20分）1. 设函数f(x)=ln(x+1)，求f'(x)=______。
答案：1/(x+1)2. 计算定积分∫(0,2π) sin(x) dx=______。
答案：03. 求极限lim(x→∞) (1+1/x)^x=______。
答案：e4. 判断级数∑(1/n)，n从1到∞是否收敛，答案是______。
答案：发散三、解答题（每题10分，共50分）1. 求函数f(x)=x^3-6x^2+11x-6的极值点。
答案：首先求导数f'(x)=3x^2-12x+11，令f'(x)=0，解得x=1,x=11/3。
经检验，x=1为极大值点，x=11/3为极小值点。
2. 计算定积分∫(0,1) e^x dx。
答案：∫(0,1) e^x dx = [e^x](0,1) = e^1 - e^0 = e - 1。
3. 求极限lim(x→0) (e^x - 1) / x。
答案：根据洛必达法则，lim(x→0) (e^x - 1) / x = lim(x→0) e^x = 1。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2.《高等数学》(二)期末模拟试题(含答案)电气092班电气092班2【注】 高等数学考试时间：7月13日（第二十周周二） 地点：主教楼1601教室 以下题目供同学们复习参考用！！！！《高等数学》（二）期末模拟试题一、填空题：（15分）1．设,yx z =则=∂∂xz .1-y yx2. 积分=⎰⎰Dxydxdy .其中D 为40,20≤≤≤≤y x 。
163. L 为2x y =点(0,0)到(1,1)的一段弧，则=⎰ds y L.12155-4. 级数∑∞=-1)1(n p nn当p 满足 时条件收敛.10≤<p5. 方程0)1(=+-dy e dx ye xx的通解为 .)1(xe C y += 二、选择题：（15分）1．方程0)4(sin )cos 3(32=-++dy y x dx x y x 是 .C(A)可分离变量微分方程； （B ） 一阶线性方程;（C ）全微分方程; （D ）（A ），B ）,（C ）均不对. 2．),(y x f z =在),(00y x 可微,则yzx z ∂∂∂∂,在),(00y x 。
C （A ）连续； （B ）不连续； （C ）不一定存在； （D ）一定存在。
3．级数∑∞=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+--21111n n n 是 。
A（A ）发散； （B ）收敛； （C ）条件收敛； （D ）绝对收敛。
4．曲面22y x z +=与平面1=z 所围立体的体积为 。
B电气092班电气092班3（A ）⎰⎰⎰Ω+dv y x )(22; （B ）⎰⎰⎰112 0rdz rdr d πθ；（C ）⎰⎰⎰+----22221 1 11 y x x xdz dy dx ； （D ）⎰⎰⎰11 02 0dz rdr d πθ。
5．方程x e x y y y -=+'-''323的特解形式为 。
B（A ）x e b ax )(+ （B ）x cxe b ax ++ （C ）x ce b ax ++ （D ）x xe b ax )(+三、),(22x y f z -=其中)(u f 有连续的二阶偏导数，求22xz∂∂.（8分）解：)2(x f x z -⋅'=∂∂ )2()2(222-⋅'+-⋅''=∂∂f x f x z f f x '-''=242 例、设)](,[2xy y x f z ϕ-=，),(v u f 具有二阶连续偏导数，求xy z∂∂∂2.x f f yz⋅'⋅'+-⋅'=∂∂ϕ21)1(]2[12112y f x f xy z⋅'⋅''+⋅''-=∂∂∂ϕx y f x f ⋅'⋅⋅'⋅''+⋅''+ϕϕ]2[2221ϕϕ'⋅'+⋅⋅''⋅'+22f x y f 1122)(f x xy f ''-''+'⋅'=ϕϕ222122)2(f xy f y x ''⋅'+''⋅'-+ϕϕ 四、计算⎰-+-Lx x dy y e dx y y e )2cos ()2sin (，L 为由点A(1,0)到B(0,1)，再到C(-1,0)的有向折线。
（8分）解：2cos ,2sin -=-=y e Q y y e P xx y e x Q y e y P xx cos ,2cos =∂∂-=∂∂ .,,围成的区域为由设CA BC AB D 由格林公式⎰-+-Lxx dy y e dx y y e )2cos ()2sin (电气092班电气092班4⎰⎰⎰-+--∂∂-∂∂=CA x x Ddy y e dx y y e dxdy y Px Q )2cos ()2sin ()(02-=⎰⎰dxdy D=2五、计算⎰⎰∑++dxdy zx dzdx yz dydz xy 222，其中∑为球体4222≤++z y x 及锥体22y x z +≥的公共部分的外表面。
（8分） 解：,围成的空间区域为由设∑Ω⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤≤≤≤≤Ωπθπϕ202020:r⎰⎰⎰⎰⎰Ω∑++=++dv z y x dxdy zx dzdx yz dydz xy )(222222⎰⎰⎰⋅=ππϕϕθ2002224sin drr r d d 5)22(32-=π六、求级数∑∞=22n n nx 的收敛域及和函数。
（8 分）解：,2n a n =,1lim1==+∞→n n n a a ρ 11==ρR.,1级数发散时当±=x )1,1(-∴幂级数的收敛域为 ),(22x s nx n n=∑∞=令 ,0)0(=s)(22)(221'==∑∑∞=∞=-n n n n x x nxx x s)1(22'-=x x x xx x 2)1(22--=七、计算曲面积分⎰⎰∑+dS y x )(22，其中∑为锥面)(322y x z +=被平面3=z 截下的带锥顶的部分。
（8分）解： 3:22≤+∑y x D xoy 面的投影为在,)(322y x z +=由电气092班电气092班5)(3,)(32222y x y y z y x x x z +=∂∂+=∂∂，32)()(122=∂∂+∂∂+y z x z⎰⎰⎰⎰+=+∑Ddxdy y x dS y x 32)()(2222dr r r d 3220302⎰⎰⋅=πθπ98= 八、求函数22y x z +=在适合条件132=+yx 下的极小值。
（7分）1336 4.721312138===y x zP 课本九、求方程x e y y y 323=+'-''的通解。
（8分）解：特征方程 ,0232=+-r r 特征根 ，，2121==r r对应齐次方程通解,221x x e C e C Y +=是单根，1=λΘ,*xaxe y =设 代入原方程化简得：—a=3,3*xxe y -=∴ :原方程的通解为xx x xe e C e C y 3221-+=十、把)0(,)(π<<=x x x f 展开为余弦级数。
（7分） 解：.),()(上连续在∞-∞x F)sin |sin (2sin 2 cos )(22)(2 )(200000⎰⎰⎰⎰⎰-⋅=⋅=⋅====ππππππππππnxdx nx x n πnx d x n πnxdx x f a dx x dx x f a x F l n 的函数成周期为将进行偶延拓，并延拓]1)1[(22--=nπn),0( cos ]1)1[(22)( 12ππ∈--+=∴∑∞=x nx πn x f n n十一、已知曲线积分电气092班电气092班6⎰+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++),()0,0()()(1)1(y x nx dy x f ydx x f x n x e 与路径无关，其中)(x f 可微，0)0(=f ，试确定)(x f ，并计算曲线积分的值。
（8分） 解：)(,)(1)1(x f Q y x f x n x e P n x =⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++=)(),(1)1(x f x Qx f x n x e y P n x '=∂∂+++=∂∂ ⎰+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++),()0,0(,)()(1)1(y x nx dy x f ydx x f x n x e 与路径无关Θ)(1)1()(,x f x n x e x f x Q y P n x +++='∂∂=∂∂∴即)(1)1()(,x f x n x e x f x Q y P n x +++='∂∂=∂∂∴即])1([)()1()1(C dx ex e ex f y dxx nnx dx x n+⎰+⎰==+-+--⎰)()1(C e x x n ++=0)0(=f Θ 1-=∴C )1()1()(-+=∴x n e x x f ⎰+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++),()0,0()()(1)1(y x nx dy x f ydx x f x n x e Θ⎰-+==y x n y e x dy x f 0)1()1()(。