(文章)垂径定理在实际问题中的应用
垂径定理判定
垂径定理判定引言垂径定理是初中数学中的重要概念，用来判断两条线段是否垂直。
本文将详细探讨垂径定理的定义、证明方法以及应用场景。
垂径定理的定义垂径定理是指：如果一个线段作为另一个线段的垂径，那么这两条线段垂直。
垂径定理的证明方法证明方法一：利用斜率证明要证明两条线段垂直，可以检查它们的斜率是否互为倒数。
具体步骤如下： 1. 通过两个点来确定两条线段的斜率。
2. 计算这两条线段的斜率。
3. 判断两个斜率是否互为倒数，若互为倒数，则说明两条线段垂直。
证明方法二：利用向量证明要证明两条线段垂直，还可以利用向量的性质来证明。
具体步骤如下： 1. 通过两个点来确定两条线段的向量。
2. 计算这两条线段的向量。
3. 判断两个向量是否互为垂直向量，若互为垂直向量，则说明两条线段垂直。
垂径定理的应用场景垂径定理在几何学中有广泛的应用，以下是几个常见的应用场景：应用场景一：判断三角形的垂直条件可以利用垂径定理来判断三角形的垂直条件。
如果一个三角形的任意两条边的垂径相交于同一点，则该三角形是直角三角形。
应用场景二：证明平行四边形的对角线相互垂直利用垂径定理可以轻松证明平行四边形的对角线相互垂直。
因为平行四边形的对边互相平行，所以可以使用斜率法证明对角线的斜率互为倒数，从而证明对角线相互垂直。
应用场景三：判断直线与平面的垂直关系垂径定理也可以用于判断直线与平面的垂直关系。
如果一条直线的向量与平面的法向量互为垂直向量，那么这条直线与该平面垂直。
总结垂径定理是一个简单而有用的定理，在几何问题中经常用到。
本文通过详细的讨论和案例应用，阐述了垂径定理的定义、证明方法和应用场景。
掌握了垂径定理的概念和应用，有助于解决更复杂的几何问题。
垂径定理及应用
和你谈谈“垂径定理及应用”我们先来探究一下垂径定理的推导过程：在透明的纸片上面画一个圆O ，作任意一条非直径的弦CD ，再作直径AB 与CD 垂直，交点为P （如图1）．沿着这条直径将圆对折（如图2），我们不难发现：弧AC=弧AD ， 弧BC=弧BD ，CP=DP ，即垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧．垂径定理是根据圆是特殊轴对称图形得到的．由轴对称图形及轴对称的特征，我们还可以发现：如果一条直线具备①经过圆心；②垂直于弦；③平分弦；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧．这五个条件中的任意两个，不然具备其余的三个，简称“知二推三” ．但注意把“经过圆心平分弦”作为题设时，必须是平分非直径的弦，是因为圆的任意两条直径都相互平分． 垂径定理及其推论能使很多问题轻松获解，下面结合例题加以分析．一、求圆半径、弦长或弦心距的长度例1 小唐同学掷出的铅球在场地上砸出一个直径约为10cm ，深约为2cm 的小坑，则该铅球的直径约为（ ）A ．10cmB ．14.5cmC ．19.5cmD ．20cm 解析：根据题意抽象出几何图形（如图3），则问题可转化为：“在⊙O 中，AB 是弦，OC 是半径，OC ⊥AB 于点D ，且AB=10cm ，CD=2cm ，求⊙O 的直径” ． 设⊙O 的半径是r ，由垂径定理可得AD=AB 21=5cm ，且OD=OC —CD=r —2． 在Rt △AOD 中，由勾股定理可得222)2(5—r r +=．解得r =7.25．所以⊙O 的直径为14.5cm ．故选B ．练习：1．如图4，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上的一点，若AC=8，AB=10，OD ⊥BC 于点D ，则BD 的长为（ ）A ．23 B ．3 C ．5 D ．62．如图5，AB 是⊙O 的直径，CD 是弦，若AB=10cm ，CD=8cm ，那么A 、B 两点到直线CD 的距离之和为（ ） 图1 图2 图3 图4 图5A．12cm B．10cm C．8cm D．6cm 二、求相关角的度数例2 如图6，⊙O的半径为5，弦AB=35，则∠AOB= ．解析：过圆心O作OC⊥AB，垂足为C．由垂径定理可得BC=AB21=325，在Rt△BCO中，OC=22BCOB—=22)325(5—=25，∵∠OCB=090，OB=2OC，∴∠OBC=030．又∵OB=OC，∴∠OAC=∠OBC=030，故∠AOB=0180—∠OAC—∠OBC=0120．练习：3．如图7，OA是⊙O的半径，BC是⊙O的弦，OA⊥BC．若∠AOB=046，则∠ADC为（）A．044B．046C．023D．088 4．如图8，已知AB是⊙O的直径（∠ACB=090），弦CD⊥AB，AC=3，BC=1，则∠ABD的度数为．反思：在运用垂径定理解题过程中，常见的一条辅助线是过圆心作弦的垂线，构造出垂径定理的基本图形．这条辅助线的功能并不只局限于产生定理的结论，适当延伸，当我们连接弦的端点和圆心时便形成一个直角三角形，进而通过解此直角三角形求弦长、半径、直径、圆心到弦的距离，甚至还可求一些相关角的度数．因此，应该重视这条辅助线．参考答案：1．B；2．D；3．C；4．060．图6图7 图8。
(文章)瞧瞧垂径定理的构建与应用
瞧瞧垂径定理的构建与应用在近几年的各地中考中，垂径定理的构建与应用，不断地被命题者青睐与关注，它作为圆中最核心最重要的内容，越来越被作为呈现知识和能力的载体。
为此，让我们结合各地中考试题，一同走进垂径定理的构建与应用的世界，希望能给大家一定的启示与帮助。
一 在网格中构建与应用例1、如图，在5×5正方形网格中，一条圆弧经过A ，B ，C 三点，那么这条圆弧所在圆的圆心是 ( ) A ． 点PB ． 点QC ． 点RD ． 点M思路点拨与解析::圆上的点到圆心的距离都相等, 根据圆的垂径定理的推论可知圆心必在弦AB 、BC 的中垂线上，结合图形可知AB 的中垂线经过点Q 和点M ，而BC 的中垂线恰好为点B 、C 所在的小正方形的对角线上，可知点Q 符合，故选B.点评：网格题能充分调动有关背景中的正方形，直角三角形，勾股定理等知识，并经历了观察、思考、猜测，动手操作、自主探索发现等过程.尤其是勾股定理、数形结合等思想的运用达到了极点。
二 在坐标中构建与应用例2、如图，以点P 为圆心的圆弧与X 轴交于A ，B 两点，点P 的坐标为（4，2）点A 的坐标为（2，0）则点B 的坐标为 ．思路点拨与解析：有关弦AB 的问题常作弦心距构造垂径定理，过点P作ｘ轴的垂线段，设垂足为H ，得到HA=HB ，结合坐标可得ＡＨ＝２．从而得到点Ｂ的坐标为（６,０）点评：本题将坐标与圆巧妙结合，通过添加垂线段构造圆的垂径定理，有关弦的问题常作弦心距转化为垂径定理及直角三角形解决，在解题过程中要注意利用数形结合思想，写出点B 的坐标．三 在计算中构建与应用例３、 ） 如图，AB 为圆O 的直径，弦CD AB ，垂足为点E ，连结OC ，若OC =5， CD =8，则AE = 。
思路点拨与解析：由垂径定理可知CE=12CD=4，再利用勾股定理可知OE=3，由半径相等相等可知OA=OC=5，则AE=OA-OE=5-3=2点评：这是典型的垂径定理考题，弦与直径垂直想垂径定理是解题关键。
垂径定理及其应用
垂径定理应用举例垂径定理是圆中最基本和最重要的定理之一，利用垂径定理，可以解决许多数学问题，如证明圆中线段相等，角相等，线段垂直，证明弧相等，也是后面学习圆的其他性质的重要依据，利用它可以综合运用勾股定理和三角函数，使解决问题的思路更宽。
在运用垂径定理的时候，必须掌握常见的辅助线的作法，那就是作过圆心的直线或直径、弦心距。
从而构造直角三角形来处理问题。
在垂径定理部分共涉及四条线段的长：弦长a、圆半径r、弦心距d、弓形高h它们之间存在重要的关系式：r = h+d ; r2 = d2 + (a/2)2下面介绍一下垂径定理在解题中的应用。
1、应用公式r2 = d2 + (a/2)2 解决问题。
例1、已知：⊙O的半径为5 ，弦AB∥CD ，AB = 6 ，CD =8 .求：AB与CD间的距离.解：分两种情况：（1）当弦AB、CD在圆心O的两侧过点O作EF⊥AB于E，连结OA、OC，又∵AB∥CD，∴EF⊥CD．（注意：作辅助线是难点，学生往往作OE⊥AB，OF⊥AB，就得EF=OE+OF，错误的结论）由EF过圆心O，EF⊥AB，AB = 6，得AE=3，在Rt△OEA中，由勾股定理，得，∴同理可得：∴EF=OE+OF=4+3=7．（2）当弦AB、CD在圆心O的同侧同（1）的方法可得：OE=4，OF=3．∴．评析：①此题主要是渗透分类思想，培养学生的严密性思维和解题方法：确定图形——分析图形——数形结合——解决问题；②培养学生作辅助线的方法和能力．例2、已知：如图，AB是⊙O的弦，半径OC∥AB ，AB=24 ，OC = 15 .求：BC的长.解：过O作OE⊥AB于E ，则AE=BE=12，过B作BF⊥OC于F ，连结OB.在Rt△OEB中，由勾股定理，得OE=9。
由已知条件可得四边形OEBF是矩形，则BF=OE=9，OF=BE=12。
在Rt△FCB中，由勾股定理，得BC =评析：通过添加辅助线，构造直角三角形，并把已知与所求线段之间建立关系.2、在实际问题中的应用例1、在直径为650mm的圆柱形油槽内装入一些油后．截面如图所示，若油面宽AB=600mm，求油的最大深度．分析：要求油的最大深度，就是求有油的弓形的高，弓形的高是半径与圆心O到弦的距离差，从而不难看出它与半径和弦的一半可以构造直角三角形，然后垂径定理和勾股定理来解决．解：过O点作OC┷AB于E，交弧AB于D点，Rt△OBC中，由勾股定理可求OC=125，所以CD=OD-OC=200。
(文章)垂径定理解题应用举例
垂径定理解题应用举例垂径定理及其推论是《圆》一章的重要考点，定理告诉我们，对于一个圆和一条直线来说，如果具备下列五个条件中的任何两个，那么也具有其它三个：①垂直于弦，②过圆心，③平分弦，④平分弦所对的优弧，⑤平分弦所对的劣弧。
它反映了圆的重要性质，是证明线．段相等．．．、角相等．．．、垂直关系．．．．的重要依据，同时也为圆的计算和作图提供了方法和依据，下面分类举例说明。
一、利用垂径平分弦所对的弧，来处理角的关系例1 (重庆市)如图1，⊙O 的直径CD 过弦EF 的中点G ，∠EOD ＝40°,则∠DCF 等于（ ）A.80°B. 50°C. 40°D. 20° 【析解】本题可由②③⇒①④⑤，所以可得ED DF =，从而得出∠DCF 与∠EOD 的关系。
解：∵直径CD 平分弦EF ， ∴ ED DF =， ∴ ∠DCF ＝12∠EOD ＝20°。
故选（D ）．二、利用垂径垂直平分弦，证相关线段相等例2 (南京市)如图2，矩形ABCD 与与圆心在AB 上的⊙O 交于点G 、B 、F 、E ， GB ＝8cm ，AG ＝1cm ，DE ＝2cm ，则EF ＝ cm .【分析】本题上手有点不知所措，其实利用矩形和垂径定理相关知识可以得到解决。
分别过O ，G 作OM ⊥CD ，GN ⊥DC ，即可求出EF 的长。
解：如图2，分别过O ，G 作OM ⊥CD ，GN ⊥DC ，则根据矩形的性质可得：NC ＝GB ＝8，DN ＝AG ＝1，GN ∥OM ∥BC ，∵ OM ⊥EF ， ∴ EM ＝MF ，∵ OG ＝OB ，GN ∥OM ∥BC ， ∴ MN ＝MC ，∴ CF ＝NE ， ∵ DE ＝2，∴ NE ＝DE －DN ＝DE －AG ＝1， ∴ EF ＝NC －NE －CF ＝8－2＝6．三、利用垂径定理，构造直角三角形，利用勾股定理 例 3 （长春市）某居民小区一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需确定管道圆形截面的半径，图3是水平放置的破裂管道有水部分的截面．（1）请你补全这个输水管道的圆形截面；（2）若这个输水管道有水部分的水面宽AB ＝16cm ，水面最深地方的高度为4cm ，求这个圆形截面的半径．分析：（1）要补全输水管道的圆形截面，需要画出图3所在的圆，因此首先确定所在图1O G FEDC N M OGF E D C BA图2图3圆的圆心和半径.⑴任作两条弦，⑵分别作出两弦的垂直平分线，⑶两弦的垂直平分线的交点为圆心，⑷以交点为圆心,交点到圆上任意一点为半径作圆，所作出的圆即为所求.作图过程:略.（2）本题的解题关键是作垂直于弦的半径,然后构造直角三角形,应用勾股定理列方程求解.解：（1）正确作出图形，并做答．（2）如图4,解：过O 作OC ⊥AB 于D ，交弧AB 于C ， ∵OC ⊥AB ， ∴BD ＝21AB ＝21×16＝8cm ． 由题意可知，CD ＝4cm ．设半径为x C m ，则OD ＝（x －4）cm ． 在Rt △BOD 中，由勾股定理得：OD 2＋BD 2＝OB 2， ∴( x －4)2＋82＝x 2．∴x ＝10．四、利用垂径垂直弦，构造成特殊四边形例4 （四川省）如图5，在⊙O 中，AB 、AC 是互相垂直的两条弦， AB ＝8cm ，AC ＝6cm ，那么⊙O 的半径OA 的长（ ）A ．4 cmB ．5 cmC ．6 cmD ．8 cm【分析】要求半径OA 的长，可通过垂径定理构造Rt △，于是过O 分别作OD ⊥AB ，OE ⊥AC ，则可得矩形ADOE 。
3.3垂径定理的应用
如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直且 相等的两条弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E， 求证：四边形ADOE是正方形． C
E
A
· O D
B
A C
.
O
┓ E D B
证明：过O作OE⊥AB，垂足为E，则根据 垂径定理，得AE＝BE，CE＝DE。 ∴AE－CE＝BE－DE。
∴AC＝BD
变式：
图中两圆为同心圆
变式1：隐去大圆，连接OA，OB，设
OA=OB，AC、BD有什么关系？为什
么？
O
A C
D B
变式：
图中两圆为同心圆
变式2：隐去小圆，连接OC，OD，设
已知：AB是⊙O直径，CD
是弦，AE⊥CD，BF⊥CD 求证：EC＝DF
A E C
M
B
O
.
D F
AB是⊙O的直径，直线MN不经过圆心O,交⊙O于C、 D两点，AE⊥MN于E，BF⊥MN于F。 （1）如图，在下面2个圆中分别补画出满足上述 条件的具有不同位置关系的图形； （2）请你观察（1）中所画的图形，写出一个各 图都具有的两条线段相等的结论（不再标注其它 字母，找结论的过程中所连辅助线不能出现在结 论中，不写推理过程）；
.O
.P
垂径定理三角形在生活中的应用
生活应用 1. 测公路的弯道的半径 如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（即图中弧CD， 点O是圆心），其中CD=600m，E为弧CD上一点，且 OE⊥CD，垂足为F，EF=90m.求这段弯路的半径. 解：连接OC. C 设弯路的半径为Rm，则0F=（R-90）m. E ∵OE⊥CD， ∴CF= =300（m）. F D R 在Rt 中，根据勾股定理，得 OC2=CF2+OF2， 0 即 R2=3002+（R-90）2 解这个方程，得R=545. 答：这段弯路的半径为545m.
垂径定理的应用
与垂径定理有关的情景问题赏析河北 杜友平日常生活中到处都有圆，人们的生活离不开圆，圆被人们看成是最完美、最美丽的图形，垂径定理是圆的重要内容，在实际生活中有着广泛的应用。
近两年的中考中与垂径定理有关的情景问题不断出现，只有理解和掌握了垂径定理用其有关的变化，然后将垂径定理与勾股定理在机结合起来，这样的问题就迎刃而解。
一、圆中的最小值：(2007四川乐山课改,3分)如图，M N 是O 的直径，2M N =，点A 在O 上，30AMN = ∠，B为A N 的中点，P 是直径M N 上一动点，则P A PB +的最小值为（ ）Ａ．Ｃ．1 Ｄ．2答案：Ｂ二、求圆的半径：利2.(2007湖南张家界课改，9分)如图，已知A B 为圆O 的弦（非直径），E 为A B 的中点，E O 的延长线交圆于点C ，C D AB ∥，且交A O 的延长线于点D ．:E O O C 1:2=，4C D =，求圆O 的半径．答案：解： E 是A B 的中点，∴O E A B ⊥，即90AEO ∠=，AB C D ∥，90OCD ∴∠=，A O E D O E ∠=∠ ，∴A O E D O C △∽△，::1:2AE D C O E O C ∴==， 122A E C D ∴==．又2O A O C O E == ， 而222AE OE OA +=，C224(2)O E O E ∴+=，O E ∴=∴圆O的半径22O A O E ===三、求弦长：例 3. （2007广东梅州课改，7分）如图，点C 在以A B 为直径的O 上，C D AB ⊥于P ，设A P a PB b ==，．（1）求弦C D 的长；（2）如果10a b +=，求a b 的最大值，并求出此时a b ，的值．答案：解：（1）连结22a b b a O C O C O P +-==，，，所以2222222a b a b PC O C O P ab +-⎛⎫⎛⎫=-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，得2C D PC ==（也可以根据A P C C P B △∽△求解）4分（2）由于C D A B ≤，所以10a b +=，得25ab ≤，所以a b 的最大值为25，此时5a b ==．A BB。
初中数学 垂径定理的应用有哪些
初中数学垂径定理的应用有哪些
垂径定理是初中数学中一个重要的定理，它有着广泛的应用。
下面我将介绍垂径定理的几个常见应用。
1. 判断垂直关系：
垂径定理可以用于判断两条线段或弦之间是否垂直。
当一条线段垂直于圆的直径，并且与直径的两个端点相交时，根据垂径定理，与这条线段所得的弦所连接的两个交点连线一定垂直于这条直径。
因此，我们可以通过观察线段和弦的几何关系，利用垂径定理判断它们是否垂直。
2. 求解问题：
垂径定理可以帮助我们求解与垂直关系相关的问题。
例如，已知一条线段垂直于圆的直径，并且与直径的两个端点相交，我们可以利用垂径定理得到与这条线段所得的弦垂直的弦。
这样，我们可以利用已知的线段和求得的弦，进一步解决几何问题，如计算长度、角度等。
3. 证明几何定理：
垂径定理也可以作为证明其他几何定理的基础。
例如，当我们需要证明某个弦与圆的直径垂直时，可以先证明这条弦与圆的直径的一个端点连线是垂直的，然后应用垂径定理得出结论。
垂径定理的应用可以简化证明过程，使证明更加简洁和直观。
4. 解决实际问题：
垂径定理的应用不仅局限于理论推导，还可以帮助我们解决实际问题。
例如，在建筑设计中，我们需要确定某个角度的垂线位置，可以利用垂径定理判断垂线与圆的直径的关系。
在地理测量中，我们需要确定某个位置的垂直高度，也可以运用垂径定理来计算。
以上是垂径定理的几个常见应用。
垂径定理通过垂直关系的判断和问题的求解，帮助我们理解和应用几何知识，解决实际问题。
希望以上内容能够满足你对垂径定理应用的了解。
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垂径定理在实际问题中的应用
“数学源于生活，生活中充满着数学”,我们刚刚学过的垂经定理在生活中就有着广泛的应用，中考中也常常体现这一点，现采撷几例,以飨读者．
例1小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，其中四块碎片如图1所示，为配到与原来大小一样的圆形玻璃，小明带到商店去的一块玻璃碎片应该是（ ）
A ．第①块
B ．第②块
C ．第③块
D ．第④块
析解：显然，小明带到商店去的应是一块能确定其 圆心和半径的玻璃碎片，观察图中的玻璃碎片，根据垂径定理 可知，由第②块可确定出圆心和半径（如图2所示），故选答案B.
例2高速公路的隧道和桥梁最多．如图3是一个隧道的横截面，若它的形状是以O 为圆心的圆的一部分，路面AB =10米，净高C D =7米，则此圆的半径O A =（ ）
A.5
B.7
C.
5
37 D. 7
37
析解：本题主要考查垂径定理与勾股定理的知识.设圆的半径为r ，有(7－r)2+52=r 2. 解之得,r=
7
37.故选D.
例3兴隆蔬菜基地建圆弧形蔬菜大棚的剖面如图4所示，已知AB =16m ，半径 OA =10m ，高度CD 为_____m ．
析解:考查垂径定理及其应用,如图根据垂径定理,三角形ADO 是Rt △,所以
6=,CD=10－6=4,填4.
例4如图是“明清影视城”的圆弧形门，黄红同学到影视城游玩，很想知道这扇门的相关数据，于是她从景点管理人员处打听到：这个圆弧形门所在的圆与水平地面是相切的，AB=CD=20 cm ，且AB ，CD 与水平地面都是垂直的．根据以上数据，请你帮助黄红同学计算出这个圆弧形门的最高点离地面的高度是多少？
析解:本题解决的关键是利用垂径定理构造直角三角形，进行运用勾股定理求出圆弧形门所在圆的半径.
如图5，连接AC ，作AC 的中垂线交AC 于G ，交BD 于N ，交圆的另一点为M ，由垂径定理可知：MN 为圆弧形的所在的圆与地面的切点，取MN 的中点O ，则O 为圆心，连接OA 、OC ， ∵AB ⊥BD ，CD ⊥BD ， ∴AB ∥CD ． ∵AB=CD,∴四边形ABCD 为矩形, ∴AC=BD=200cm,GN=AB=CD=20 cm,
图3
图
4
O
M
N G
图1
∴AG=GC=
12
AC=100 cm ．
设⊙O 的圆心为R,由勾股定理得 OA 2=OG 2+AG 2,即R 2=(R-20)2+1002, 解得R=260 cm,
∴MN=2R=520 cm ．
答:这个圆弧形门的最高点离地面的高度是=520 cm ．
总评：垂径定理及其推论是圆中的重要性质，它是根据圆的对称性推导出来的，希望同学们熟练掌握其内容，并会灵活应用，同时注意它经常和勾股定理结合来解决问题。
备用：
每位同学都看到过日出时美丽的景色.图4是一位同学从照片上剪切下来的画面，“图
上”太阳与海平线交于A 、B 两点，他测得“图上”圆的半径为5
厘米，AB=8厘米，若从目前太阳所处位置到太阳完全跳出海面的时
间为16分钟，则“图上”太阳升起的速度为（ ） A. 0.4厘米/分 B. 0.5厘米/分 C. 0.6厘米/分 D. 0.7厘米/分
解析：作与弦AB 垂直的直径，交AB 于点C ，交圆O 于点D ，连接OB. 根据垂径定理可知BC=
2
1AB=4（厘米）.
在Rt △OBC 中，OC=2
2
BC
OB -=2
245-=3(厘米).
所以DC=OD+OC=8（厘米）.
故“图上”太阳升起的速度为8÷16=0.5（厘米/分），应选择答案B。