分析椭圆中的垂径定理及其运用
垂径定理及其应用
垂径定理应用举例垂径定理是圆中最基本和最重要的定理之一，利用垂径定理，可以解决许多数学问题，如证明圆中线段相等，角相等，线段垂直，证明弧相等，也是后面学习圆的其他性质的重要依据，利用它可以综合运用勾股定理和三角函数，使解决问题的思路更宽。
在运用垂径定理的时候，必须掌握常见的辅助线的作法，那就是作过圆心的直线或直径、弦心距。
从而构造直角三角形来处理问题。
在垂径定理部分共涉及四条线段的长：弦长a、圆半径r、弦心距d、弓形高h它们之间存在重要的关系式：r = h+d ; r2 = d2 + (a/2)2下面介绍一下垂径定理在解题中的应用。
1、应用公式r2 = d2 + (a/2)2 解决问题。
例1、已知：⊙O的半径为5 ，弦AB∥CD ，AB = 6 ，CD =8 .求：AB与CD间的距离.解：分两种情况：（1）当弦AB、CD在圆心O的两侧过点O作EF⊥AB于E，连结OA、OC，又∵AB∥CD，∴EF⊥CD．（注意：作辅助线是难点，学生往往作OE⊥AB，OF⊥AB，就得EF=OE+OF，错误的结论）由EF过圆心O，EF⊥AB，AB = 6，得AE=3，在Rt△OEA中，由勾股定理，得，∴同理可得：∴EF=OE+OF=4+3=7．（2）当弦AB、CD在圆心O的同侧同（1）的方法可得：OE=4，OF=3．∴．评析：①此题主要是渗透分类思想，培养学生的严密性思维和解题方法：确定图形——分析图形——数形结合——解决问题；②培养学生作辅助线的方法和能力．例2、已知：如图，AB是⊙O的弦，半径OC∥AB ，AB=24 ，OC = 15 .求：BC的长.解：过O作OE⊥AB于E ，则AE=BE=12，过B作BF⊥OC于F ，连结OB.在Rt△OEB中，由勾股定理，得OE=9。
由已知条件可得四边形OEBF是矩形，则BF=OE=9，OF=BE=12。
在Rt△FCB中，由勾股定理，得BC =评析：通过添加辅助线，构造直角三角形，并把已知与所求线段之间建立关系.2、在实际问题中的应用例1、在直径为650mm的圆柱形油槽内装入一些油后．截面如图所示，若油面宽AB=600mm，求油的最大深度．分析：要求油的最大深度，就是求有油的弓形的高，弓形的高是半径与圆心O到弦的距离差，从而不难看出它与半径和弦的一半可以构造直角三角形，然后垂径定理和勾股定理来解决．解：过O点作OC┷AB于E，交弧AB于D点，Rt△OBC中，由勾股定理可求OC=125，所以CD=OD-OC=200。
椭圆垂径定理
椭圆垂径定理
椭圆垂径定理是椭圆几何中最重要的定理之一，迄今为止仍然起着重要的作用。
椭圆垂径定理是数学家弗劳顿1748年发现的，他证明了任意两条椭圆上的弦距离
两个焦点距离的乘积等于椭圆垂径的平方。
椭圆垂径定理如下所示：
椭圆上任意两点P和Q之间的距离乘以把P和Q连接起来的弦的距离（即对椭
圆上任意点P，Q的焦点距为a，b，则PQ弦上距离为：PQ=(b^2-a^2)/2ab）等于
椭圆垂径（即a^2-b^2=c^2）的平方。
椭圆垂径定理的应用非常广泛，可以用于计算半径较大的圆的坐标，也可以应
用在空间几何中，比如判断空间两点之间的距离，可以通过它算出在法兰克福坐标系中求取空间点云的中心点，这也是它的重要应用。
总的来说，椭圆垂径定理不仅在椭圆几何中发挥重要作用，在空间几何中也有
着突出的应用，在今天的几何仿真技术中，椭圆垂径定理在空间几何中得到了更多的应用，一直是理解几何学发展趋势的重要参考。
垂径定理方法总结
垂径定理方法总结
垂径定理超厉害好不好！它可不仅仅是一个数学定理，更是解决很多问题的利器呢！那垂径定理到底咋用呢？首先，找到圆的一条弦和过圆心的垂线。
这就像在茫茫大海中找到一艘船和它的航线一样关键。
接着，根据垂径定理，垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。
这一步就如同找到了打开宝藏的钥匙，一下子就能得出好多重要的结论。
在运用垂径定理的过程中，安全性那是杠杠的。
只要找准了弦和直径，按照定理来操作，就不会出错。
稳定性也没得说，就像一座坚固的桥梁，稳稳地连接着各种数学问题。
那垂径定理都用在啥场景呢？在解决圆的相关问题时，它可是大显身手。
比如求弦长、弧长、圆心角等等。
优势那可多了去了，能快速准确地得出答案，让你在数学的海洋中如鱼得水。
举个实际案例吧！比如说有一个圆，已知一条弦长和圆心到弦的距离，让你求圆的半径。
这时候垂径定理就派上用场啦！通过垂直于弦的直径平分弦这个性质，再结合勾股定理，就能轻松求出半径。
哇塞，是不是超厉害？
垂径定理就是这么牛，用起来方便快捷，安全性和稳定性都超高，应
用场景广泛，优势明显。
赶紧把它用起来吧！。
垂径定理及推论证明方法
垂径定理及推论证明方法一、垂径定理的内容。
1.1 垂径定理简单来说就是在圆中，垂直于弦的直径平分弦且平分这条弦所对的两条弧。
这就像是一个圆里的“公平分配原则”，直径就像一个公正的裁判，只要它垂直于弦，就会把弦和对应的弧都平均分成两份。
1.2 例如，我们有一个圆，画一条弦AB，再画一条直径CD，让CD垂直于AB于点E。
那么根据垂径定理，AE就等于BE，弧AC等于弧BC，弧AD等于弧BD。
这就好像把一块圆形的蛋糕（圆），用一把垂直于蛋糕中间一条线（弦）的长刀（直径）切开，两边的蛋糕（弧）和中间的线（弦）都被平均分开了。
二、垂径定理的证明方法。
2.1 我们可以利用等腰三角形的性质来证明。
连接圆心O与弦AB的两个端点A和B，这样就形成了两个等腰三角形，即△OAB。
因为OA = OB（圆的半径都相等，这是圆的基本性质，就像一个家族里的兄弟姐妹都有相同的地位一样），直径CD垂直于AB，根据等腰三角形三线合一的性质（这可是三角形里的一个“法宝”性质），就可以得出AE = BE，从而证明了垂径定理平分弦这一部分。
2.2 对于平分弧的证明，我们可以利用圆的对称性。
圆是一个非常对称的图形，就像一个完美的圆形镜子，任何一条直径都是它的对称轴。
因为直径CD垂直于弦AB，那么沿着直径CD对折这个圆，弧AC和弧BC会完全重合，弧AD和弧BD也会完全重合，这就证明了直径平分弦所对的两条弧。
这就好比把一张圆形的纸沿着直径对折，两边的图案（弧）会严丝合缝地重合在一起，这就是圆的对称性在起作用。
2.3 从全等三角形的角度也能证明。
在前面连接OA、OB后，在Rt△OAE和Rt△OBE中，OA = OB（半径），OE是公共边，根据HL（斜边直角边）定理，可以得出这两个直角三角形全等。
全等三角形对应边相等，所以AE = BE。
而且全等三角形对应角相等，那么对应的圆心角相等，圆心角相等所对的弧就相等，也就证明了弧AC等于弧BC，弧AD等于弧BD。
椭圆中的垂径定理
椭圆中的垂径定理椭圆的定义椭圆是一个几何图形，它由一个平面上的点集构成，这些点到两个定点的距离之和保持不变。
其中，这两个定点称为焦点，而这个距离之和称为焦距。
通过运用垂径定理，可以探讨椭圆的性质和特点。
垂径定理垂径定理是指，椭圆上的任何一条线段与圆心到该线段中点的连线垂直。
也就是说，如果我们在椭圆上选择一个点，然后从圆心到该点作一条线段，该线段与椭圆上的切线垂直。
垂径定理的分析证明为了证明垂径定理，我们需要运用一些数学知识和推理。
设想一个椭圆，然后取圆心C和椭圆上的一点D。
我们需要证明线段CD与切线ACB垂直。
设椭圆的焦点为F1和F2，椭圆的半径长度为a和b（a大于b）。
假设椭圆上的点D坐标为(x,y)，圆心C的坐标为(0,0)。
由椭圆的定义可知，焦点F1的坐标为(c,0)，焦点F2的坐标为(-c,0)。
设椭圆的方程为x2/a2 + y2/b2 = 1。
根据椭圆的定义，我们可以求解出点D的坐标(x,y)。
根据点D处的切线方程可得斜率为k，切线方程为y = kx + b1。
其中，b1为切线的截距。
利用数学知识和推导，我们可以得出椭圆的半焦距为c = sqrt(a^2 - b^2)。
由此可得出切线的斜率为k = -x y/(b^2 sqrt(a^2 - x^2))。
将点D的坐标(x,y)带入切线方程可得y = -x b^2 sqrt(a^2 - x2)/(b2 * sqrt(a^2 - x^2)) = -x。
这表明切线与x轴垂直，证明垂径定理。
椭圆的特性应用垂径定理的实际应用非常广泛。
在数学、物理、工程等领域中，我们经常需要利用椭圆的特性来解决实际问题。
以下是椭圆的一些特性及其应用场景：1.椭圆的离心率：离心率是椭圆的一个重要特性，它描述了椭圆的扁平程度。
离心率越接近于0，椭圆越接近于圆形；离心率越接近于1，椭圆越扁平。
离心率的计算与垂径定理的应用息息相关，可用于工程测量和轨道设计等领域。
2.椭圆的焦距：焦距是椭圆的另一个重要特性，它描述了一个点到两个焦点的距离之和。
圆、椭圆、双曲线中的垂径定理.doc
圆、椭圆、双曲线中的垂径定理
1.圆中的垂径定理
如图，设A、B是圆O的一条弦，P为AB的中点，则AB⊥OP，即：kAB·kOP=-1；
类比，在圆锥曲线中是否有相似的性质呢？
2.椭圆、双曲线中的垂径定理
思考：什么情况下适合使用这个结论？
本结论联系的弦的斜率与弦的中点坐标之间的关系，故涉及到两者有关的问题时，适合使用该结论解题。
Ps:相信同学们对“点差法”一点都不陌生，但能将点差法的运算过程跳过，而抽象出该结论直接用于解题的同学会少很多！“学无止境”，想得比别人多一点、深一点，你就会更有优势。
3.其它更多的结论
下面我们把弦AB往外平移到与圆O相切时，又有怎样的性质呢？
童鞋们自主完成吧，我提供一个框架给大家吧：
圆中：
如图，设直线l与圆O相切于点P，则l⊥OP，即：kl·kOP=-1；
为更好的理解以上性质，可以从多角度思考结论怎么得来？比如我们知道当a=b时，椭圆就变成了圆，结论中的，
两者就完美的无缝衔接了，这样能否更好的记忆了呢？另外，这里叙述时的细节很多，本文没有交待的很仔细，比如弦不过原点，过原点时OP重合了，等等……
最后，我们的重点还是在于如何应用。
请童鞋们自主思考：什么样的情况下，会利用得上这些结论帮助熟练、快速的解题呢？
4.应用举例，高考真题一例
一般解答过程：
利用椭圆的垂径定理的快速解答：。
椭圆垂经定理
椭圆垂经定理椭圆垂经定理是一个数学定理，表示直线和椭圆之间的关系。
它提供了一种方法来找到两个点之间的垂直距离，可以应用于统计学和定位的测量计算。
一、定理概述椭圆垂经定理规定：任意给定的椭圆和任意给定的一条直线，他们的垂直距离（称为垂经距离，也叫"垂距"）满足：$$d^2=2a h$$其中，a为椭圆的长半轴，h为圆心到直线的垂直距离。
二、椭圆定义椭圆是一个二维几何图形，由椭圆方程定义：$$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$$其中，a为椭圆的长半轴，b为椭圆的短半轴，它们之间的比值称为椭圆的偏心率。
三、应用场景椭圆垂经定理与椭圆方程息息相关，适用于统计学分析、测量计算及房地产专业等各个领域。
比如，用椭圆垂经定理可以定下椭圆周边最大最小垂经距离；配合椭圆方程可以精准测量出椭圆边长；在二元统计学中，也可以用椭圆垂经定理拟合数据；椭圆还是一条线路规划的重要工具，从前往后规划经纬度路线可以用椭圆垂经定理来确定距离最短的航线。
四、定理演变椭圆垂经定理最早由伊萨克•约翰•特洛斯（Isaac John Trusses）提出，1900年由荷兰数学家Christophe Leibniz建立了垂经的定理。
自今之后，椭圆垂经定理也被广泛应用于回归分析、线性规划、人工智能、信息论等领域。
虽然椭圆垂经定理被广泛运用，但是其可行性及准确性尚有待进一步验证。
总结椭圆垂经定理是一个数学定理，它可以用来找出椭圆和直线之间的垂经距离，应用范围涉及统计学、测量计算等领域，并已广泛应用于回归分析、线性规划、人工智能、信息论等领域，其可行性及准确性尚有待进一步验证。
垂径定理及其应用
垂径定理及其应用一．垂径定理的应用1． 半径、弦心距、弦长、弓形高之间的计算：求半径、求弦心距、求弦长、求弓形高、求角、求平行弦的之间的距离 2． 证明线段相等、角相等、弧相等 3． 解决实际问题 二．垂径定理的推论的应用 1． 求半径、求弦心距、求弦长、求弓形高、求角 2． 等分弧（作图） 3． 确定圆心与半径（作图） 4． 解决实际问题 思想方法：分类讨论、数形结合1． 已知：AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点P ，CD ＝10cm ，AP:PB ＝1:5，则⊙O 的半径为_______。
2． 在⊙O 中，P 为其内一点，过点P 的最长的弦为8cm ，最短的弦长为4cm ，则OP ＝_____。
3． 已知圆内接△ABC 中，AB ＝AC ，圆心O 到BC 的距离为3cm ，半径r＝7cm ，则腰长AB 为_________。
4． 已知圆的半径为5cm ，一弦长为8cm ，则该弦的中点到弦所对的弧的中点的距离为_______。
5． ⊙O 的半径OA ＝1，弦AB 、AC 的长分别是3,2，则∠BAC 的度数为______。
6． 已知圆心到圆的两条平行弦的距离分别是2和3，则两条平行弦之间的距离为_____。
7． 在半径为5cm 的圆内有两条互相平行的弦，一条弦长为8cm ，另一条弦长为6cm ，则这两条弦之间的距离为______。
8． 如图，在⊙O 中，OA 是半径，弦AB ＝310cm ，D 是弧AB 的中点，OD 交AB 于点C ，若∠OAB ＝300，则⊙O 的半径____cm 。
9． 在⊙O 中，半径OA ＝10cm ，AB 是弦，C 是AB 弦的中点，且OC:AC=3:4，则AB=_____。
10．已知以O 为圆心两个同心圆中，大圆的弦AB 交小圆于C 、D 两点。
求证：AC ＝BD11．如图，在以O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB 交小圆于C 、D两点，AB ＝10cm ，CD ＝6cm ，则AC 的长为_____。
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分析椭圆中的垂径定理及其运用
1 椭圆的垂径定理
正如我们初中所学垂径定理是圆的特性其定理为：垂直于弦的直径平分这条弦，显然这在椭圆中并不成立，那么我们该如何在椭圆中运用垂径定理呢？首先我们就必须作如下的变换：
先对椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1做x=ax’，y=by’的坐标转换。
在这种转换下，xoy 平面内的任一点P（x，y）转换为x'o’y'平面内的点P’（x'，y'）。
椭圆方程
x^2/a^2+y^2/b^2=1也就转换为x'o’y’[1]
平面内的单位圆x'^2+y'^2=1。
需要注意的是被转化的椭圆的方程是标准方程。
而关于椭圆的一般方程我们可以现将其经过坐标转换，转换成标准方程，由于高中一般不接触一般方程就不在赘述。
2 椭圆垂径定理的证明
设椭圆方程为x^2/a^2+y^/b^2=1求椭圆所有斜率为k的弦的中点轨迹方程。
运用点差法设弦（x1，y1），（x2，y2）与椭圆分别交于不同的两点由于点在直线上有x1^2/a^2+y1^2/b^2=1，x2^2/a^2+y2^2/b^2=1两式相减两边同除（x1-x2）得（两点不重合）：（x1-x2）（x1+x2）/a^2+（y1-y2）（y1+y2）/b^2=0。
我们注意到（y1-y2）/（x1-x2）是弦的斜率为k。
那么设弦的中心点为（x0，y0）则有x0=（x1+x2）/2，y0=（y1+y2），带入上式可得y0=-x0b^2/ka^2[2]。
至此题目已经解完了我们可以看出弦中点的轨迹是一条过原点的线段，注意到y0/x0是轨迹直线的斜率，若设其为k′则有我们得到平行弦斜率kk′与轨迹直线斜率b^2/a^2乘积的一个关系。
因为对于这个结论的认识不够深刻，许多同学在进行记忆的时候会遇到一些困难。
但如果从垂径定理的角度进行类比便会发现较大的相似。
如果我们使用上面的转换方法将椭圆转化成圆那，那么在新的坐标系中原来得出斜率关系也发生了一定的变化，根据两个坐标系的长度关系可以得出在新坐标系中y'/x'=1，k·k'=-b^2/a^2。
這与之前推导的结论一致，从中我们可以看出无论在圆中还是在椭圆中两条直线都是垂直的，只是由于坐标系做了伸缩变换使得原先的乘积发生了改变。
事实上双曲线中也存在类似的结论。
3 椭圆垂径定理的运用
将椭圆方程转化成圆的标准方程后，椭圆就被我们“转化成了”圆，那么在解决一些问题时，我们就可以使用圆的垂径定理来解决。
3.1 判断直线和椭圆位置关系
常规解法应该是直线与椭圆方程联立根据方程解的个数来判断直线与椭圆的位置关系。
显然这样是很复杂的。
但如果把椭圆圆化，此问题便转化为直线与圆的位置关系了。
一般化情况下，直线Ax+By+C=0与椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1的位置关系讨论如前所述，首先作变换x=ax'，y=by'，那么直线和椭圆分别转化为直线aAx’+bBy'+
C=0和单位圆x’^2+y’^2=1。
得到圆心到直线距离公式d=|C|/（a^2A^2+b^2B^2）[3-4]。
（这个公式是不改变的）原来的直线和椭圆相交，就是转化后的直线和圆相交，那么d<1，得到a^2A^2+b^2B^2-C^2>0。
同理，直线和椭圆相切，就是转化后的直线和圆相切，a^2A^2+b^2B^2-C^2=0；直线和椭圆相离，a^2A^2+b^2B^2-
C^2<0。
又或者已知椭圆方程x^2/a^2+y^2/b^2=1，过椭圆上任意一点P（x0，y0）的切线方程是x0x/a^2+y0y/b^2=1作变换x=ax'，y=by'，椭圆转化为单位圆x′^2+y'2=1，P（x0，y0）转化为P’（x0/a，y0/b），此题就变为求在单位圆x′^2+y'^2=1上一点P′（x0/a，y0/b）的切线方程，易知是x0 x'/a+y0y'/b=1。
又因为x′=x/a，y'=y/b，所以原来椭圆的切线方程是x0x/a^2+y0y/b^2=1[5]。
4 结论
通过第一节的论证我们知道垂径定理在椭圆里也是可以使用的，而且从第二节中的分析我们可以看出：如果使用得当那么垂径原理对简化运算有着很大帮助，此外在双曲线中垂径原理也可以得到一定的运用。
读者可自行尝试。
参考文献
[1] Kaufmann H，Schmalstieg D.Mathematics and geometry education with collaborative augmented reality[J].Computers&Graphics，2003，27（3）：339-345.
[2] 唐天晓.由一道习题想到的——垂径定理等性质的应用[J].中学课程辅导：初三版，2004（9）：13.
[3] 袁亚平.竞赛中与“垂径定理”有关的证明题[J].中学生数学，2006（12）：26-27.
[4] 石高安.数形结合，例谈垂径定理在椭圆问题中的高效作用[J].数理化解题研究：高中版，2013（4）：10-11.。