初三数学期中试卷
初三期中数学试题及答案
初三期中数学试题及答案一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。
每小题只有一个选项是正确的，请将正确选项的字母填入题后的括号内。
）1. 下列哪个数是无理数？A. 0.33333...（循环）B. πC. √4D. 3.14答案：B2. 一个数的相反数是-5，这个数是：A. 5B. -5C. 0D. 1答案：A3. 如果a和b互为倒数，那么ab的值是：A. 0B. 1C. -1D. 无法确定答案：B4. 一个等腰三角形的底边长为6，腰长为5，那么它的周长是：A. 16B. 17C. 18D. 20答案：C5. 下列哪个方程是一元二次方程？A. 3x + 2 = 0B. x² - 4x + 4 = 0C. 2x - 3y = 5D. x³ - 2x² + 1 = 0答案：B6. 函数y = 2x + 3的图象是：A. 一条直线B. 一条双曲线C. 一个圆D. 一个抛物线答案：A7. 如果一个角的补角是120°，那么这个角的度数是：A. 60°B. 30°C. 45°D. 90°答案：B8. 一个数的立方根是2，那么这个数是：A. 2B. 4C. 8D. 6答案：C9. 下列哪个图形是中心对称图形？A. 等边三角形B. 等腰梯形C. 正方形D. 圆答案：D10. 如果一个数的绝对值是5，那么这个数可以是：A. 5B. -5C. 5或-5D. 0答案：C二、填空题（本题共5小题，每小题4分，共20分。
）11. 一个数的平方是36，这个数是______。
答案：±612. 一个数的绝对值是它本身，这个数是非负数，即这个数可以是______。
答案：0或正数13. 两个角的和是180°，这两个角互为______。
答案：补角14. 一个数的立方是-8，这个数是______。
答案：-215. 一个等腰三角形的底角相等，如果一个底角是40°，那么顶角是______。
北京市2024~2025学年上学期九年级期中考试数学试卷(无答案)
2024-2025学年度第一学期初三年级数学期中练习学校______ 姓名______ 准考证号______注意事项1．本调研卷共8页，满分100分，时间120分钟.2．在调研卷和答题纸上准确填写学校名称、姓名和准考证号.3．调研卷答案一律填涂或书写在答题纸上，在调研卷上作答无效.4．在答题纸上，选择题用2B 铅笔作答，其他题用黑色字迹签字笔作答.第一部分 选择题一、选择题（共16分，每题2分）第1~8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1．一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（ ）A ．1，3，1B ．，，C ．，，D ．，，2．下面四幅球类的平面图案中，是中心对称图形的是（）A ．B ．C ．D ．3．已知，，三点都在二次函数的图象上，则，，的大小关系为（）A ．B ．C ．D ．4．用配方法解一元二次方程时，变形后的结果正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．5．将抛物线先向右平移2个单位，再向上平移3个单位后，得到的抛物线是（ ）A ．B ．C ．D ．6．如图，一块含角的三角尺绕点顺时针旋转到的位置，当点，，在一条直线上时，三角尺旋转的角度为（）A ．B ．C ．D ．7．如图，二次函数的图象经过，，三点，下面四2310x x +-=031-131-13-1-()12,A y -()21,B y ()34,C y 25y x =-+1y 2y 3y 123y y y <<312y y y <<231y y y <<321y y y <<241x x -=2(2)1x +=2(2)5x +=2(2)5x -=2(2)3x -=-25y x =25(2)3y x =-+25(2)3y x =++25(2)3y x =--25(2)3y x =+-30︒ABC C A B C ''△B C A 'ABC 30︒120︒60︒150︒2(0)y ax bx c a =++≠(0,54)A (20,57.9)B (40,46.2)C个结论中正确的是（ ）A ．抛物线开口向上B ．当时，取最大值57.9C ．该抛物线的对称轴的取值范围是D ．当时，一元二次方程总有两个不相等的实数根8．如图，已知正方形的中心为．将正方形绕点逆时针旋转得到正方形，两个正方形的公共点为，，，，，，，．对八边形给出下面四个结论：①该八边形各边长都相等；②该八边形各内角都相等；③点到该八边形各顶点的距离都相等；④点到该八边形各边的距离都相等．上述结论中，所有正确结论的序号是（）A ．①④B ．①③C ．②④D ．①②③④第二部分 非选择题二、填空题（共16分，每题2分）9．请写出有一个根为的一元二次方程______．10．请写出一个开口向上，顶点坐标是的抛物线表达式______．11．已知一元二次方程的两个根为，，则______．12．已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，那么______．13．如图，在中，，在同一平面内，将绕点旋转到的位置，使得，则的度数为______．20x =y x h =1020h <<54m >2ax bx c m ++=ABCD O ABCD O 60︒A B C D ''''G H I J K L M N GHIJKLMN O O 2-(1,2)2620x x +-=1x 2x ()()1211x x ++=x 2610x x m ++-=m =ABC △65CAB ∠=︒ABC △A AB C ''△CC AB '∥BAB ∠'13题14．如图，是二次函数的部分图象，由图象可知关于的不等式的解集为______．14题15．如图，在正方形网格中，将绕某一点旋转某一角度得到了，则旋转中心可能是点______（填，，，之—）15题16．下表记录了二次函数中两个变量与的三组对应值：281点，在该函数图象上．若当时，，下列四个结论：①；②；③；④若记二次函数的图象为图形，存在直线与图形有两个交点，则．上述结论中，所有正确结论的序号是______．三、解答题（本题共68分，第17题8分，18-25题每题5分，第26题6分，第27、28题每题7分）17．解方程：2y ax bx c =++x 22ax bx c ++>ABC △A B C '''△1P 2P 3P 4P 2(0)y ax bx c a =++≠x y x2- ynn()11,P x y ()22,Q x y 122x x <<121y y <<0a <126x x +>25510a b c ++->()218,0y ax bx c x x a =++<<≠G y k =G 123x <<（1）；（2）．18．已知是方程的一个根，求代数式的值．19．如图，在中，点，分别在，上，，连接与对角线相交于点．（1）求证：；（2）连接，为的中点，连接．若，求的长．20．已知关于的方程（为实数，）．（1）求证：此方程总有两个实数根；（2）如果此方程的两个实数根都为负整数，求整数的值．21．如图，在平面直角坐标系中，点，，，点与点关于原点对称．（1）点的坐标是______；（2）在图中画出绕着点顺时针旋转后的；（3）在轴上是否存在点，使得的面积等于的面积．若存在，直接写出点的坐标，若不存在，说明理由.22．已知二次函数．（1）将二次函数化成的形式；（2）在平面直角坐标系中画出的图象．25x x =2680x x -+=m 2240x x +-=2(2)(3)(3)m m m +++-ABCD E F AB CD BE DF =EF AC O OE OF =CE G CE OG 2OG =AE x 2(2)20mx m x +--=m 0m ≠m xOy (2,0)A (1,3)B -(1,3)D B C C ABD △A 90︒11AB D △x E ADE △ABC △E 223y x x =+-2()y a x h k =-+223y x x =+-步骤一：列表步骤二：根据表中数值描点，画图.（3）当时，结合函数图象，直接写出的取值范围______．23．如图，用一条长60m 的绳子围成矩形，设边的长为x m.（1）边的长为______m ，矩形的面积为______（均用含的代数式表示）；（2）矩形的面积是否可以是？请给出你的结论，并用所学的方程或者函数知识说明理由．24．二次函数的图象经过点，当时，函数的最小值为.（1）求该二次函数的解析式；（2）直线与抛物线和直线的交点分别为点，点．①当时，______；②结合函数的图象，直接写出时的取值范围______．25．跳水运动是一项以高度、技术和美感为特点的水上运动项目．某跳水运动员进行10米跳台跳水训练，身体（看成一点）在空中的运动轨迹可以看作是抛物线的一部分．建立如图所示的平面直角坐标系，从起跳到落水的过程中，运动员离水面的竖直高度（单位：m ）与离起跳点的水平距离（单位：m ）近似满足函数关系．xy22x -<<y ABCD AB BC ABCD 2m x ABCD 2230m 2(0)y ax bx c a =++≠(3,0)1x =4-x m =2(0)y ax bx c a =++≠3y x =-C D 1m =-CD =4CD ≥m OB y A x 2()y a x h k =-+（1）运动员第一次跳水时水平距离与竖直高度的几组数据如下：水平距离00.250.50.75 1.5竖直高度10.0010.7511.0010.757.00①根据上述数据，运动员第一次跳水的竖直高度的最大值为______m ：②正常情况下，运动员在距水面高度5米之前必须完成规定的翻腾、打开动作，并调整好入水姿势，否则就会失误．若运动员在第一次跳水时在空中调整好入水姿势时，恰好距离起跳点的水平距离为1.7米，那么判断他是否会失误?请说明理由.（2）进水角度是指运动员跳入水中时身体与水平面的夹角，如图中所示．通常情况下，跳水运动员努力控制身体与水面的角度接近垂直，是减小水花的关键因素之一．在第二次跳水时，该运动员的竖直高度与水平距离近似满足函数关系式：，则此时的水花相比第一次跳水的水花______（填“变大”“不变”或“变小”）．26．在平面直角坐标系中，点，在抛物线上，抛物线的对称轴为直线（1）若，则______；（2）若，比较，的大小，并说明理由；（3）已知点也在该抛物线上，若，都有，求的取值范围．27．已知：在中，，，是内的一点，．（1）如图1，请写出与的大小关系，并证明.（2）如图2，点为的中点，连接，.用等式表示，之间的数量关系并证明．28．在平面直角坐标系中，对于图形给出如下定义：图形绕点顺时针旋转得到的图形记为图形，对于图形上任意一点，存在实数满足，则称满足条x y /x m /y mA ∠αy x 28(0.5)12y x =--+xOy (1,)M m (3,)N n 2(0)y ax bx c a =++>x t=m n =t =2t >m n ()0,P x p 010x -<<m p n <<t ABC △AC BC =90ACB ∠=︒E ABC △135AEB ∠=︒ABE ∠CAB ∠F AB EF EC EF EC xOy P P (,)()M a b x a ≠90︒Q Q (,)x y k ||||0k x a y b ---=件的的最大值为图形关于点“旋转最大值”（1）若为原点，，，线段绕点顺时针旋转的图形记为线段．①画出线段；②直接写出线段关于点的“旋转最大值”______；（2）若为原点，，，，直接写出线段关于点的“旋转最大值”______．（3）若点，图形是顺次连接，，，所组成的四边形，图形关于点，则的取值范围是______．k P M M (0,4)B (1,5)C BC M 90︒B C ''B C ''BC M M (,4)B m (1,5)C m +02m ≤≤BC M (,)M t t P (2,1)E t -(2,1)F t --(2,1)G t +-(2,1)H t +P M t。
2023-2024学年北京东城区广渠门中学初三(上)期中数学试卷和答案
2023北京广渠门中学初三（上）期中数 学本试卷共8页，100分．考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无．．．．．．．效．． 一、选择题（共8小题，每道小题2分，共16分）1. 习近平总书记提出：发展新能源汽车是我国从汽车大国走向汽车强国的必由之路．当前随着新一轮科技革命和产业变革孕育兴起，新能源汽车产业正进入加速发展的新阶段．下列图案是我国的一些国产新能源车企的车标，图案既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）A. B.C. D.2. 下列各式中，y 是x 的二次函数的是（ ）A. 31y x =−B. 21y x =C. 231y x x =+−D. 321y x =− 3. 若关于x 的一元二次方程230x x m −+=有两个相等的实数根，则实数m 的值为（ ）A. 9−B. 94−C. 94D. 94. 如图将ABC 绕点A 顺时针旋转90︒到ADE ，若50DAE ∠=︒，则CAD ∠=（ ）A. 30︒B. 40︒C. 50︒D. 90︒ 5. 如图，O 的半径为5，弦8AB =，OC AB ⊥于点C ，则OC 的长为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 46. 在2023年中考体育考试前，小康对自己某次实心球的训练录像进行了分析，发现实心球飞行路线是一条抛物线，若不考虑空气阻力，实心球的飞行高度y （单位：米）与飞行的水平距离x （单位：米）之间具有函数关系21531682y x x =−++，则小康这次实心球训练的成绩为（ ）A. 14米B. 12米C. 11米D. 10米7. y 是x 的二次函数，其对应值如下表：A. 该二次函数的图象的对称轴是直线 1x =B. 1m =C. 当3x >时，y 随x 的增大而增大D. 图象与x 轴有两个公共点8. 如图，在边长为2的正方形ABCD 中，点M 在AD 边上自A 至D 运动，点N 在BA 边上自B 至A 运动，M ，N 速度相同，当N 运动至A 时，运动停止，连接CN ，BM 交于点P ，则AP 的最小值为（ ）A. 1B. 2 1二、填空题（共8小题，每道小题2分，共16分）9. 点(3,2)−关于原点对称的点的坐标为_______．10. 已知2x =是一元二次方程220x mx −+=的一个根，则另一个根是_________．11. 某种型号的芯片每片的出厂价为400元，经科研攻关实现国产化后，成本下降，进行两次降价，若每次降价的百分率都为x ，降价后的出厂价为144元、依题意可列方程为：___________．12. 如图，平面直角坐标系中，AB x ⊥轴于点B ，点A 的坐标为(32)，，将AOB 绕原点O 顺时针旋转90︒得到A OB ''△，则A '的坐标是_____．13. 若抛物线24y x =向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，则所得的抛物线的解析式是________．14. 关于x 的方程220x x c +−=无实数根，则二次函数22y x x c =+−的图象的顶点在第______ 象限． 15. 已知点()()1,,2,m n −在二次函数223(0)y ax ax a =++>的图象上，则m _____________n ．（填“>”“<”或“=”）16. 在平面直角坐标系xOy 中，已知二次函数2y ax bx =+，其中0a b +>，下列结论：①若这个函数的图象经过点(2,0)，则它必有最大值；②若这个函数的图象经过第三象限的点P ，则必有a<0；③若a<0，则方程20ax bx +=必有一根大于1；④若0a >，则当112x ≤≤时，必有y 随x 的增大而增大． 结合图象判断，所有正确结论的序号是____________．二、解答题（共12小题，共68分）17. 按要求解下列方程．（1）用因式分解法解：250x x +=；（2）用公式法解：2310x x ++=．18. 小北同学解方程2210x x −−=的过程如下所示．解方程：2210x x −−=．解：221x x −=⋯第一步2(1)1x −=⋯第二步10x =，22x =⋯第三步（1）小北同学是用___________（“配方法”、“公式法”或“因式分解法”）来求解的，从第___________步开始出现错误．（2）请你用与小北同学相同的方法解该方程．19. 若m 是关于x 的一元二次方程210x x −−=的根，求2322−+m m 的值．20. 已知二次函数2y x bx c =++的图象经过点(1,10),(2,8)A B −−两点．（1）求b ，c 的值．（2）求该函数图象与x 轴的交点坐标．21. 已知抛物线22(21)y x m x m m =−−+−．（1）求证：此抛物线与x 轴必有两个不同的交点；（2）若此抛物线与直线33y x m =−+的一个交点在y 轴上，求m 的值．22. 如图，正方形网格中，ABC 的顶点均在格点上，请在所给直角坐标系中按要求解答下列问题：（1）画出与ABC 关于坐标原点O 成中心对称的111A B C △．（2）111A B C △的面积为___________．（3）将ABC 绕某点逆时针旋转90︒后，其对应点分别为2(1,2)A −−，2(1,3)B −，2(0,5)C −，则旋转中心的坐标为___________．23. 如图，已知△ABC 是等边三角形，在△ABC 外有一点D ，连接AD ，BD ，CD ，将△ACD 绕点A 按顺时针方向60旋转得到△ABE ，AD 与BE 交于点F ，∠BFD ＝97°．（1）求∠ADC 的大小；（2）若∠BDC ＝7°，BD ＝2，BE ＝4，求AD 的长．24. 2022年9月，教育部正式印发《义务教育课程方案》，《劳动教育》成为一门独立的课程，官渡区某学校率先行动，在校园开辟了一块劳动教育基地：一面利用学校的墙（墙的最大可用长度为22米），用长为34米的篱笆，围成中间隔有一道篱笆的矩形菜地，在菜地的前端各设计了两个宽1米的小门，供同学们进行劳动实践若设菜地的宽AB 为x 米．（1）BC =（ ）米（用含x 的代数式表示）；（2）若围成的菜地面积为96平方米，求此时的宽AB ．25. 请阅读下列材料，并按要求完成相应的任务：人类对一元二次方程的研究经历了漫长的岁月．一元二次方程及其解法最早出现在公元前两千年左右的古巴比伦人的《泥板文书》中．到了中世纪，阿拉伯数学家花拉子米在他的代表作《代数学》中给出了一元二次方程的一般解法，并用几何法进行了证明．我国古代三国时期的数学家赵爽也给出了类似的几何解法． 赵爽在其所著的《公股圆方图注》中记载了解方程25140x x +−=，即(5)14x x +=的方法．首先构造了如图1所示的图形，图中的大正方形面积是2(5)x x ++，其中四个全等的小矩形面积分别为(5)14x x +=，中间的小正方形面积为25，所以大正方形的面积又可表示为24145⨯+，据此易得原方程的正数解为2x =．任务：（1）参照上述图解一元二次方程的方法，请在三个构图中选择能够说明方程23100x x −−=解法的正确构图是___________（从序号①②③中选择）．（2）请你通过上述问题的学习，在图2的网格中设计正确的构图，用几何法求方程22150x x +−=的正数解（写出必要的思考过程）26. 在平面直角坐标系xOy 中，点123(1)(1)(2)y y y −，，，，，在抛物线2y ax bx =+上．（1）若12a b ==−，，求该抛物线的对称轴并比较1y ，2y ，3y 的大小；（2）已知抛物线的对称轴为x t =，若2310y y y <<<，求t 的取值范围．27. 已知四边形ABCD 是正方形，将线段CD 绕点C 逆时针旋转α（090α︒<<︒），得到线段CE ，联结BE 、CE 、DE . 过点B 作BF ⊥DE 交线段DE 的延长线于F ．（1）如图，当BE =CE 时，求旋转角α的度数；（2）当旋转角α的大小发生变化时，BEF ∠的度数是否发生变化?如果变化，请用含α的代数式表示；如果不变，请求出BEF ∠的度数；（3）联结AF ，求证：DE =．28. 定义：在平面直角坐标系中，有一条直线x m =，对于任意一个函数，作该函数自变量大于m 的部分关于直线x m =的轴对称图形，与原函数中自变量大于或等于m 的部分共同构成一个新的函数图象，则这个新函数叫做原函数关于直线x m =的“镜面函数”．例如：图①是函数1y x =+的图象，则它关于直线0x =的“镜面函数”的图像如图②所示，且它的“镜面函数”的解析式为1(0)1(0)x x y x x +≥⎧=⎨−+<⎩，也可以写成1y x =+．（1）在图③中画出函数21y x =−+关于直线1x =的“镜面函数”的图象．（2）函数222y x x −=+关于直线=1x −的“镜面函数”与直线y x n =−+有三个公共点，求n 的值． （3）已知抛物线242(0)y ax ax a =−+<，关于直线0x =的“镜面函数”图像上的两点()11,P x y ，()22,Q x y ，当111t x t −≤≤+，24x ≥时，均满足12y y ≥，直接写出t 的取值范围．参考答案一、选择题（共8小题，每道小题2分，共16分）1. 【答案】D【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．【详解】解：A .该图形不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意；B.该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；C.该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；D.该图形既是中心对称图形又是轴对称图形，符合题意；故选：D ．【点睛】此题考查了轴对称图形和中心对称图形，将一个图形沿着某条直线翻折，直线两侧能完全重合的图形叫轴对称图形；将一个图形绕一点旋转180度后能与自身完全重合的图形叫中心对称图形，掌握轴对称图形和中心对称图形的概念是解题关键．2. 【答案】C【分析】利用二次函数定义：一般地，形如y=ax 2+bx +c （a 、b 、c 是常数，a ≠0）的函数，叫做二次函数进行解答即可．【详解】解：A 、y =3x -1是一次函数，故此选项不合题意；B 、21y x =不是二次函数，故此选项不合题意； C 、y =3x 2+x -1是二次函数，故此选项符合题意；D 、y =2x 3-1不是二次函数，故此选项不合题意；故选：C ．【点睛】此题主要考查了二次函数定义，关键是掌握判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数不为0这个关键条件．3. 【答案】C【分析】根据一元二次方程有两个相等的实数根，可得Δ0=，进而即可求解．【详解】解：∵关于x 的一元二次方程230x x m −+=有两个相等的实数根，∴24940b ac m ∆=−=−=． 解得：94m =． 故选：C ．【点睛】本题考查了一元二次方程20ax bx c ++= (0a a b c ≠，，，为常数)的根的判别式24b ac ∆=−，理解根的判别式对应的根的三种情况是解题的关键．当0∆>时，方程有两个不相等的实数根；当Δ0=时，方程有两个相等的实数根；当Δ0<时，方程没有实数根．4. 【答案】B【分析】由旋转的性质可得50BAC DAE ∠=∠=︒，90BAD ∠=︒，即可求解．【详解】解：由旋转的性质，得50BAC DAE ∠=∠=︒，90BAD ∠=︒，∴40CAD BAD BAC ∠=∠−∠=︒，故选：B ．【点睛】本题主要考查了旋转的性质，灵活运用旋转的性质是解答本题的关键．5. 【答案】C【分析】由于OC AB ⊥于点C ，所以由垂径定理可得142AC AB ==，在Rt ABC 中，由勾股定理即可得到答案．【详解】解：在O 中，∵OC AB ⊥，8AB = ∴142AC AB == ∵在Rt ABC 中，5OA =，4AC =∴由勾股定理可得：3OC ===故选：C ．【点睛】本题考查了垂径定理的性质，熟练运用垂径定理并结合勾股定理是解答本题的关键．6. 【答案】B【分析】根据铅球落地时，高度0y =，把实际问题可理解为当0y =时，求x 的值即可．【详解】解：当0y =时，则215301682x x −++=， 解得2x =−（舍去）或12x =．故选：B ．【点睛】本题考查了二次函数的应用中函数式中变量与函数表达的实际意义，需要结合题意，取函数或自变量的特殊值列方程求解是解题关键．7. 【答案】D【分析】由待定系数法求出二次函数的解析式，求出对称轴，可以判断A ，当0x =时，求出m 的值，可以判断B ，根据a 的值和对称轴确定y 随x 的变化情况，可以判断C ，根据根的判别式确定与x 轴的交点个数，可以判断D ，从而得到答案．【详解】解：设二次函数为2y ax bx c =++，则01424a b c a b c a b c =++⎧⎪=++⎨⎪=−+⎩，解得：121a b c =⎧⎪=−⎨⎪=⎩，∴二次函数的解析式为：221y x x =−+， 对称轴为：2122b x a −=−=−=，故选项A 正确， 当0x =时，1y =，1m ∴=，故选项B 正确，10a ∴=>，∴图象开口向上，∴当1x ≥时，y 随x 的增大而增大，∴当3x >时，y 随x 的增大而增大，故选项C 正确，()22424110b ac ∆=−=−−⨯⨯=，∴图象与x 轴有一个公共点，故选项D 错误，故选：D ．【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，解答本题的关键是采用待定系数法，求出二次函数的解析式．8. 【答案】C【分析】先确定点P 的运动轨迹为以BC 为直径的一段弧，再求AP 的最小值即可【详解】解：如图1，∵四边形ABCD 是正方形，∴,90AB BC CD DA A ABC ===∠=∠=︒，∴90BCN BNC ∠+∠=︒，又BN AM =,∴ABM BCN ∆≅∆，∴ABM BCN ∠=∠，∴90ABM BNC ∠+∠=︒，∴90BPC BPN ∠=∠=︒，∴点P 的运动轨迹为以BC 为直径的一段弧，如图2所示，连接1AO 交弧于点P ，此时，AP 的值最小，在1Rt ABO ∆中，112,12AB BO BC ===，由勾股定理得，1AO ===，∴111AP AO PO =−=，故选：C【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理及圆的性质，知道线段最短时点的位置并能确定出最小时点的位置是解题关键．二、填空题（共8小题，每道小题2分，共16分）9. 【答案】(3,2)−【分析】根据关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数求解即可．【详解】解：点()3,2−关于原点对称的点的坐标为()3,2−，故答案为：()3,2−．【点睛】本题考查了平面直角坐标系中关于原点对称的点的坐标特征，解题的关键是掌握：两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点(),x y 关于原点O 的对称点是(),x y −−．10. 【答案】1x =【分析】根据一元二次方程根与系数的关系可进行求解．【详解】解：设该方程的另一个根为a ，则根据一元二次方程根与系数的关系可得：22a =，∴1a =；故答案为1x =．【点睛】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．11. 【答案】2400(1)144x −=【分析】平均每次降价的百分率为x ，则第一次降价后的价格400(1)x −元，第二次降价后的价格为2400(1)x −元．根据降价后的出厂价为144元，列出方程即可．【详解】解：根据题意，列方程为2400(1)144x −=．故答案为：2400(1)144x −=．【点睛】本题主要考查由实际问题抽象出一元二次方程，根据所设未知数，表示出第二次降价后价格是解决本题的关键．12. 【答案】(23)−，【分析】根据题意画出图形旋转后的位置，根据旋转的性质确定对应点A '的坐标．【详解】解：如图．∵将AOB 绕原点O 顺时针旋转90︒得到A OB ''△，∴23A B AB OB OB ''==='=，，90OA B OBA ∠=∠=''︒，∴(23)A '−，． 故答案为：(23)−，． 【点睛】此题考查了旋转变换、点的坐标及旋转的性质，解答本题的关键是掌握旋转的三要素，及旋转的性质：()a b ，绕原点顺时针旋转90︒得到的坐标为()b a −，． 13. 【答案】()2421y x =−−【分析】根据“左加右减，上加下减”的原则进行解答即可．【详解】解：平移后的抛物线的解析式是()2421y x =−−，故答案为：()2421y x =−−【点睛】本题考查的是二次函数的图象的平移，熟知“上加下减，左加右减”的原则是解答此题的关键． 14. 【答案】二【分析】由程220x x c +−=无实数根，可知抛物线与x 轴没有交点，由二次项系数大于0可知抛物线在x 轴的上方，然后结合对称轴即可求解．【详解】解：∵关于x 的方程220x x c +−=无实数根，∴二次函数22y x x c =+−的图象与x 轴没有交点，∵10a =>，∴二次函数22y x x c =+−的图象开口向上，∴抛物线在x 轴上方， ∵对称轴为直线12b x a=−=−， ∴抛物线顶点在第二象限．故答案为：二．【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，以及二次函数与坐标轴的交点问题，一元二次方程与二次函数的关系，熟练掌握二次函数的图象与性质是解答本题的关键．15. 【答案】>【分析】根据二次函数的图象性质，得对称轴=1x −，结合对称性判断．【详解】解：二次函数223(0)y ax ax a =++>， 对称轴为212a x a=−=−， ∵1(1)21(2)1−−=>−−−=，∴(1,)m 与对称轴的距离较(2,)n −与对称轴的距离远．而0a >，∴m n >．故答案为：>【点睛】本题考查二次函数的图象性质；确定对称轴，理解对称性是解题的关键．16. 【答案】①③④【分析】①将点(2,0)代入2y ax bx =+中，得2b a =−，再将其代入0a b +>，判断出a 与0的关系，从而判断最值即可；②通过0a >，0b >，可得抛物线过一、二、三象限，从而判断出a<0错误即可；③根据a<0，0a b +>判断出对称轴的取值范围，再利用抛物线的对称性可判断方程的根；④当0a >时，0b ≥或0b <进行分类讨论，先判断对称轴的范围，最后判断增减性即可．【详解】解：①将(2,0)代入2y ax bx =+中，得420a b +=，∴2b a =−，∵0a b +>，∴20a b a a a +=−=−>，即a<0∴抛物线开口向下，有最大值，故①正确；②∵抛物线2y ax bx =+过原点，且0a b +>，∴当0a >，0b >时，对称轴02b x a=−<， ∴图象经过第三象限时，不一定有a<0，故②错误；③抛物线2y ax bx =+过原点，且0a b +>，∴方程20ax bx +=的其中一个根为0，当a<0时，b a >−， 则有对称轴122b x a =−>， 根据抛物线的对称性可知：方程20ax bx +=的另一根大于1，故③正确；④当0a >，0b ≥时，抛物线对称轴02b x a=−≤， ∴112x ≤≤，y 随x 增大而增大， 当0a >，0b <时，即0a b −<<， 抛物线对称轴122b x a =−<， ∴112x ≤≤，y 随x 增大而增大， 综上所述：若0a >时，则当112x ≤≤，y 随x 增大而增大， 故答案为：①③④．【点睛】本题考查了二次函数的图像与性质，解题的关键是熟练掌握其性质．二、解答题（共12小题，共68分）17. 【答案】（1）120,5x x ==−（2）1233,22x x −−== 【分析】（1）先用提取公因式分解方程的左边，然后求解即可；（2）先用根的判别式判别一元二次方程根的情况，然后再根据求根公式解答即可．【小问1详解】解：250x x +=()50x x +=0,50x x =+=120,5x x ==−．【小问2详解】解：2310x x ++=2341150∆=−⨯⨯=>3322x −−±==1233,22x x −−==． 【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，掌握运用因式分解法和公式法解一元二次方程是解答本题的关键．18. 【答案】（1）配方法，二（2）11x =+，21x =【分析】本题考查一元二次方程的解法，掌握配方法的一般步骤是解题的关键．（1）根据配方法解一元二次方程的一般步骤判断；（2）利用配方法解一元二次方程即可．【小问1详解】解：小北同学是用配方法来求解的，从第二步开始出现错误，故答案为：配方法，二．【小问2详解】2210x x −−=．解：221x x −=2(1)2x −=1x −=11x =，21x =．19. 【答案】1【分析】把x m =代入210x x −−=即可得到21m m −=，再整体代入即可求值．【详解】解：∵m 是关于x 的一元二次方程210x x −−=的根∴把x m =代入210x x −−=得：210m m −−=∴21m m −=∴2232232()3211m m m m −+=−−=−⨯=．【点睛】本题考查一元二次方程的解，利用整体求值是解题的关键．20. 【答案】（1）5,6b c ==−（2）()(1,0),60−，【分析】（1）依据题意，将A 、B 代入解析式进行计算可以得解；（2）由（1）再令0y =，从而计算可以得解．【小问1详解】解：点(1,10),(2,8)A B −−代入抛物线，得110,428b c b c −+=−⎧⎨++=⎩5.6b c =⎧∴⎨=−⎩【小问2详解】∵5,6b c ==−∴256y x x =+−．令0y =，解得，121,6x x ==−．∴二次函数与x 轴的交点坐标为()(1,0),60−，． 【点睛】本题主要考查了抛物线与x 轴的交点，解题时要熟练掌握并理解是关键．21. 【答案】（1）证明见解析；（2）m 的值为-3或1.【分析】（1）先求得△的值，然后证明△0>即可；（2）依据此抛物线与直线33y x m =−+的一个交点在y 轴上可得到233m m m −=−+，然后解关于m 的方程即可．【详解】解：（1）令0y =得：22(21)0x m x m m −−+−=①△22(21)4()10m m m =−−−=>∴方程①有两个不等的实数根，∴原抛物线与x 轴有两个不同的交点；（2）令：0x =，根据题意有：233m m m −=−+，整理得：2230m m +−=解得3m =−或1m =．【点睛】本题主要考查的是抛物线与x 轴的交点，依据此抛物线与直线33y x m =−+的一个交点在y 轴上得到关于m 的方程是解题的关键．22. 【答案】（1）见解析 （2）52（3）()01−，【分析】本题考查作图—旋转变换、 中心对称，熟练掌握旋转的性质、中心对称的性质是解答本题的关键.（1）根据中心对称的性质作图即可.（2）利用割补法求三角形的面积即可.（3）连接22,AA CC ，分别作线段22,AA CC ，的垂直平分线，两线相交于点M ，则点M 为ABC 与222A B C 的旋转中心，即可得出答案.【小问1详解】如图, 111A B C △即为所求.【小问2详解】111A B C △的面积为()111523221312222⨯+⨯−⨯⨯−⨯⨯=， 故答案为：52. 【小问3详解】如图, 连接22,AA CC ，再分别作线段22,AA CC 的垂直平分线，两线相交于点M ，则 ABC 是绕点M 逆时针旋转90︒后得到的222A B C ，∴旋转中心的坐标为()01−，， 故答案为：()01−，.23. 【答案】（1）23°；（2）【分析】（1）由旋转的性质可得AB ＝AC ，∠ADC ＝∠E ，∠CAB ＝∠DAE ＝60°，由三角形的内角和定理可求解；（2）连接DE ，可证△AED 是等边三角形，可得∠ADE ＝60°，AD ＝DE ，由旋转的性质可得△ACD ≌△ABE ，可得CD ＝BE ＝4，由勾股定理可求解．【详解】解：（1）∵将△ACD 绕点A 按顺时针方向旋转得到△ABE ，∴AB ＝AC ，∠ADC ＝∠E ，∠CAB ＝∠DAE ＝60°，∵∠BFD ＝97°＝∠AFE ，∴∠E ＝180°−97°−60°＝23°，∴∠ADC ＝∠E ＝23°；（2）如图，连接DE ，∵AD ＝AE ，∠DAE ＝60°，∴△AED 是等边三角形，∴∠ADE ＝60°，AD ＝DE ，∵将△ACD 绕点A 按顺时针方向旋转得到△ABE ，∴△ACD ≌△ABE ，∴CD ＝BE ＝4，∵∠BDC ＝7°，∠ADC ＝23°，∠ADE ＝60°，∴∠BDE ＝90°，∴DE ，∴AD ＝DE ＝【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，勾股定理等知识，添加恰当辅助线构造直角三角形是本题的关键．24. 【答案】（1）36-3x（2）8【分析】对于（1），根据3432BC AB =−+即可表示；对于（2），根据面积公式列出方程，求出解，并判断．【小问1详解】根据题意可知3432363BC AB x =−+=−；故答案为：363x −；【小问2详解】根据题意，得(363)96x x −=，解得8x =或4x =（不合题意，舍去）．所以，宽AB 为8米．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，确定等量关系是解题的关键．25. 【答案】（1）② （2）3x =【分析】（1）仿照阅读材料构造图形，即可判断出构图方法；（2）仿照阅读材料构造大正方形面积是()22x x ++，其中四个全等的小矩形面积分别为 ()215x x +=，中间的小正方形面积为22，即可解决问题.【小问1详解】∵应构造面积是 ()23x x +−的大正方形，其中四个全等的小矩形面积分别为 ()310x x −=，中间的小正方形面积为23,∴大正方形的面积又可表示为2410349⨯+=，∴大正方形的边长为7，所以 37x x +−=5x ∴=，故正确构图②，故答案为: ②;【小问2详解】首先构造了如图2所示的图形，图中的大正方形面积是()22x x ++，其中四个全等的小矩形面积分别为()215x x +=，中间的小正方形面积为22，所以大正方形的面积又可表示为2415264⨯+=，进一步可知大正方形的边长为8，所以28x x ++=，解得 3.x =【点睛】本题是材料阅读题，考查了构造图形解一元二次方程，关键是读懂材料中提供的构图方法，并能正确构图解一元二次方程，体现了数形结合的思想.26. 【答案】（1）132y y y >>；（2）112t <<． 【分析】（1）将12a b ==−，代入函数解析式可得抛物线开口方向及对称轴，进而求解；（2）由抛物线解析式可得抛物线经过原点，分别讨论0a >与a<0两种情况．【小问1详解】解：（1）∵12a b ==−，，∴22y x x =−， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线212x −=−=， ∵1(1)2111−−>−>−， ∴132y y y >>；【小问2详解】把0x =代入2y ax bx =+得0y =， ∴抛物线经过原点(00)，， ①0a >时，抛物线开口向上，∵20y <，∴0t >，当31y y =时，12122t −+==， ∵31y y <， ∴12t >； 当20y =时，0212t +==， ∴112t <<满足题意． ②a<0时，抛物线开口向下， ∵20y <，∴0t <，∴0x >时，y 随x 增大而减小， ∴32<y y ，不符合题意． 综上所述，112t <<． 【点睛】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与不等式的关系．27. 【答案】（1）30°；（2）不变；45°；（3）见解析【分析】（1）利用图形的旋转与正方形的性质得到△BEC 是等边三角形，从而求得α=∠DCE =30°．（2）因为△CED 是等腰三角形，再利用三角形的内角和即可求∠BEF =18045CED CEB ︒−∠−∠=︒. （3）过A 点与C 点添加平行线与垂线，作得四边形AGFH 是平行四边形，求得△ABG ≌△ADH .从而求得矩形AGFH 是正方形，根据正方形的性质证得△AHD ≌△DIC ，从而得出结论．【详解】（1）证明：在正方形ABCD 中, BC =CD .由旋转知，CE =CD ,又∵BE =CE ,∴BE =CE =BC ,∴△BEC 是等边三角形，∴∠BCE =60°.又∵∠BCD =90°,∴α=∠DCE =30°.（2）∠BEF 的度数不发生变化.在△CED 中，CE =CD ,∴∠CED =∠CDE =1809022︒−αα︒−， 在△CEB 中,CE =CB ,∠BCE =90α︒−,∴∠CEB =∠CBE =1804522BCE α︒−∠=︒+, ∴∠BEF =18045CED CEB ︒−∠−∠=︒.（3）过点A 作AG ∥DF 与BF 的延长线交于点G ，过点A 作AH ∥GF 与DF 交于点H ，过点C 作CI ⊥DF 于点I易知四边形AGFH 是平行四边形，又∵BF ⊥DF ，∴平行四边形AGFH 是矩形.∵∠BAD =∠BGF =90°，∠BPF =∠APD ，∴∠ABG =∠ADH .又∵∠AGB =∠AHD =90°，AB =AD ，∴△ABG ≌△ADH .∴AG =AH ，∴矩形AGFH 是正方形.∴∠AFH =∠FAH =45°，∴AH =AF∵∠DAH +∠ADH =∠CDI +∠ADH =90°∴∠DAH =∠CDI又∵∠AHD =∠DIC =90°，AD =DC ，∴△AHD ≌△DIC∴AH =DI ，∵DE =2DI ，∴DE =2AH AF【点晴】本题考查正方形的性质和判定、图形的旋转、等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．28. 【答案】（1）见解析 （2）4或74（3）33t −≤≤【分析】（1）根据“镜面函数”的定义画出函数21y x =−+的“镜面函数”的图象即可；（2）分直线y x m =−+过“镜面函数”图象与直线=1x −的交点和与原抛物线相切两种情况求解即可； （3）根据题意可作出对应的函数图象，再根据二次函数的性质可得出关于t 的不等式组，解之即可得出结论.【小问1详解】解： 如图，即为函数函数 21y x =−+关于直线 1x =的“镜面函数”的图象，【小问2详解】如图,对于 222,y x x 当0x =时, 2y =，∴函数 222y x x −=+与y 轴的交点坐标为()02，, 当直线y x n =−+经过点 ()1,5−时, 4m =；此时222y x x −=+关于直线=1x −的“镜面函数”与直线有三个公共点，当直线y x n =−+与原抛物线只有一个交点时，则有：222x mx x −+=+−， 整理得 220,x x m −+−=此时()()2Δ1420m =−−−=， 解得74m =， 综上，m 的值为4或74； 【小问3详解】 根据题意可知，该抛物线的“镜面函数”为：()()()222240,224(0)a x a x y a x a x ⎧−+−≥⎪=⎨++−<⎪⎩ 函数图象如图所示：当 24x =时，如图，点Q 关于直线2x =的对称点为 ()20Q y '，，关于 0x =的对称点为 ()24,Q y −''， 若当 1211,4t x t x −≤≤+≥时，均满足12,y y 则需满足 1414t t −≥−⎧⎨+≤⎩，解得3 3.t −≤≤故答案为：33t −≤≤．【点睛】本题考查二次函数的综合应用； 理解并运用新定义“镜面函数”，能够将图象的对称转化为点的对称，借助图象解题是关键.。
省级重点 福建省福州第一中学2024-2025学年上学期九年级数学期中试卷(无答案)
福州一中2024-2025学年度第一学期期中考试初三数学试卷（完卷120分钟，满分150分）一、选择题（每小题4分，共40分，请把答案写在答题卷上）1．若两个相似图形的相似比是，则它们的面积比是（ ）A ．B ．C ．D ．2．把二次函数的图象向下平移1个单位长度后所得的图象的函数解析式为（ ）A ．B ．C ．D ．3．若关于x 的方程有一个根为，则a 的值为（ ）A ．6B ．C ．4D ．4．如图，将绕点A 顺时针旋转得到，若，，，则的长为（ ）A ．5B ．4C ．3D ．25．如图，C ，D 是上直径两侧的两点．设，则（ ）A ．B ．C ．D ．6．近年来，我国数字技术不断更新，影响着全民阅读形态，为预计某市2024年数字阅读市场规模，经查询得数据：该市2021年数字阅读市场规模为432万元，2023年数字阅读市场规模为507万元．设该市年平均增长率为x ，则下列方程正确的是（ ）．A ．B ．C ．D ．7．如表中列出了二次函数的一些对应值，则一元二次方程3:73:79:407:39:4922y x =22(1)y x =-22(1)y x =+221y x =-221y x =+250x x a ++=1-6-4-ABC △60︒AED △5AB =4AC =2BC =BE O e AB 25ABC ∠=︒BDC ∠=85︒75︒70︒65︒432(12)507x +=2432(12)507x +=2432(1)507x +=2432432(1)432(1)507x x ++++=2(0)y ax bx c a =++≠的一个近似解x 的范围是（ ）x…01…y…11…A ．B ．C ．D ．8．如图①所示，平整的地面上有一个不规则图案（图中阴影部分），小明想了解该图案的面积是多少，他采取了以下办法：用一个长为，宽为的长方形，将不规则图案围起来，然后在适当位置随机地朝长方形区域扔小球，并记录小球落在不规则图案上的次数（球扔在界线上或长方形区域外不计实验结果），他将若干次有效实验的结果绘制成了②所示的折线统计图，由此他估计不规则图案的面积大约为（ ）A ．B ．C ．D ．9．把边长分别为1和2的两个正方形按图的方式放置．则图中阴影部分的面积为（ ）A．B ．C ．D ．10．点，在抛物线上，且满足，，，则m 的取值范围是（ ）A ．B ．或C ．D ．或二、填空题（每题4分，共24分，请把答案写在答题卷上）11．在做抛掷均匀硬币实验时，抛一次硬币，正面朝上的概率为____________．12．点A 坐标为，点A 与点B 关于原点中心对称，点B 坐标为____________．13．已知抛物线与x 轴只有一个交点，则____________．14．如图，在中，是的弦，的半径为，C 为上一点，，则20(0)ax bx c a ++=≠3-2-1-11-5-1-10x -<<01x <<23x <<34x <<5m 4m 26m 27m 28m 29m 1613151411(,)A x y 22(,)B x y 221y mx mx =--12x x >122x x m +=-12y y <302m <<32m >0m <01m <<1m >0m <(1,2)22y x x c =-+c =O e AB O e O e 3cm O e 60ACB ∠=︒AB的长为____________．15．当与时，代数式的值相等，则时，代数式的值为____________．16．中，，，D 在线段上运动，以为斜边作，使，点E 和点A 位于的两侧，连接，则的最小值为____________．三、解答题（共86分，请把答案写在答题卷上）17．（本题8分）解方程：（1）；（2）．18．（本题8分）如图，在中，，，于E ．求证：．19．（本题8分）如图，每个小正方形的边长均为1，方格纸中画有，、、均在小正方形的顶点上．（1）将绕点逆时针旋转得到，画出；（2）在（1）的旋转过程中，求点运动的路径的长度．cm x a =()x b a b =≠223x x --x a b =+223x x --ABC △90ACB ∠=︒AC BC ==AB CD Rt CDE △30DCE ∠=︒CD BE BE 2280x -=213502x x --=ABC △AB AC =BD CD =CE AB ⊥ABD CBE △∽△111A B C △1A 1B 1C 111A B C △1C 90︒221A B C △221A B C △1A20．（本题8分）如图，以线段为直径作，交射线于点C ，平分交于点D ，过点D 作直线于点E ，交的延长线于点F ．连接并延长交于点M ．（1）求证：直线是的切线；（2）求证：．21．（本题8分）已知抛物线经过点，，且有最大值4．（1）求抛物线的表达式；（2）若，求函数值y 的取值范围．22．（本题10分）一个不透明的袋中装有1个红球、2个黑球，它们除颜色不同外其余都相同．（1）若从袋中随机摸出一球，则该球是红球的概率为____________；（2）先往袋中加入1个红球或黑球（它们与袋中的球大小、质地完全一样），再从袋中依次抽取两球（不放回），若要使得抽取的这两球颜色相同的概率较大，则应往袋中加入红球还是黑球？请利用树状图或列表法说明理由．23．（本题10分）正五边形是一个具有和谐美的几何图形，其尺规作图法引起了学者们的关注，里士满提出了一个构造圆内接正五边形的尺规作图方法，并且通过计算得到，当圆的半径为1时，其内接正五边形．如图，圆O 的半径1，和是相互垂直的直径，直线l 是过点C 的圆的切线．（1）尺规作图：①作的中点E ，②以C 为圆心，的长为半径交切线于点F ，③以F 为圆心，的长半径交切线于点G ，且F 、G 在直线的两侧，连接、．（2）结合材料，在线段、、中，判断哪条线段的长度等于圆O 的内接正五边形的边长，并说明理由．24．（本题12分）根据以下的素材，制定方案，设计出面积最大的花圃：素材1：有一堵长m 米（）的围墙，利用这堵墙和长为的篱笆围成矩形花圃，设花圃面积为y ，甲、乙、丙三人讨论如何设计一个面积最大的花圃．AB O e AC AD CAB ∠O e DE AC ⊥AB BD AC DE O e AB AM =(1,0)(3,0)13x -<<AC BD OC OE OF AC OF OG OF OG EF 020m <<60m素材2：甲的设计方案，利用墙面作为矩形花圃的一边（如图1），求解决过程如下：设平行于墙面的篱笆长为n米，则垂直于墙面的篱笆长为依题意得：∵函数开口向下，对称轴为直线∴当时，y 随n 的增大而增大∴时，y 的最大值为素材3：受甲的方案的启发，乙、丙各自有了新的设计方案．乙的方案：利用全部围墙作为矩形一边的一部分（如图2）；丙的方案，利用部分围墙作为矩形一边的一部分（如图3）设墙左端篱笆长为x 米，解决下列问题：任务1：当时，对于乙的方案，则可知____________（用含x 的代数式表示），花圃面积____________（用含x 的代数式表示），求该方案对应的花圃面积的最大值．任务2：对于丙的方案，设所用墙的长度为a 米（），求该方案对应的花圃面积的最大值．任务3：比较甲、乙、丙三种方案，判断哪种方案设计出的花圃面积更大？并说明理由．25．（本题14分）如图是一张矩形纸片，点M 是对角线的中点，点E 在边上．（1）如图1，将沿直线折叠，使点C 落在对角线上的点F 处，连接，．①若，，求对角线的长；②若，求的度数及此时的值．（2）如图2，若，，连接、，将沿折叠，点C 的对应点为点G ，当线段与线段交于点H 且为直角三角形时，求此时的长．602n -2(60)130(020)22n n y n n n m -==-+<≤<30n =0n m <≤n m =21302m m-+AM 12m =BC AD ==y =MD a m <ABCD AC BC DCE △DE AC DF EF 30EDC ∠=︒1DE =AC MF CD =DAF ∠CD AC3CB =2CD =BM ME MEC △ME GE BM BHE △BE。
北京交大附中2024-2025届初三上期中练习数学试卷
北京交大附中教育集团2024-2025学年初三第一学期期中练习数学2024．11姓名_____________班级______________学号______________说明：本试卷共8页，共100分.考试时间120分钟.一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个.1．一元二次方程04532=--x x 的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（）A ．3，4-，5-B ．3，5，4C ．3，5-，4-D ．3，5，4-2．巴黎奥运会后，受到奥运健儿的感召，全民健身再次成为了一种时尚，球场上出现了更多年轻人的身影．下面四幅球类的平面图案中，是中心对称图形的是（）A．B ．C ．D．3．用配方法解方程2610x x +-=，变形后结果正确的是（）A.2(3)10x += B.2(3)7x += C.2(3)10x -= D.2(3)7x -=4．如图所示，将长方形ABCD 绕其顶点B 顺时针方向转到如图所示位置，则旋转角可以为（）A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°5．若关于x 的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数c 的值为（）A ．16-，B ．4-C ．4D ．166．二次函数2y ax bx c =++的x 与y 的部分对应值如下表：x1-01234ym212510则m 的值是（）A ．1B ．2C ．5D ．10240x x c -+=7．《九章算术》是中国传统数学最重要的著作之一，奠定了中国传统数学的基础框架．《九章算术》中记载：“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈．问户高、广各几何．”大意是说：已知长方形门的高比宽多6尺8寸，门的对角线长1丈，那么门的高和宽各是多少？（1丈=10尺，1尺=10寸）若设门宽为x 尺，则根据题意，列方程为（）A ．()2228.68.6+=+x x B ．()222108.6=+-x x C ．()222108.6xx =++D ．()222108.6=++x x 8．下面是“过圆外一点P 作⊙O 的切线”的尺规作图的方法：①连接OP ；②分别以点O ，点P 为圆心，大于21OP 的长为半径作弧，两弧相交于A ，B 两点，作直线AB ，交OP 于点M ；③以M 为圆心，OM 为半径画圆，交⊙O 于C ，D 两点；④作直线CP ，DP ．直线CP ，DP 即为所求．上述方法通过判定∠OCP =∠ODP=90°得到直线CP ，DP 是⊙O 的切线，其中判定∠OCP=90°的依据是（）A ．圆的切线垂直于过切点的半径B ．经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.C ．90°的圆周角所对的弦是直径D ．直径所对的圆周角是直角二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．写出一个顶点为（0，1）的抛物线的表达式．10．将抛物线21y x =-+向上平移2个单位长度，得到的抛物线的表达式为．11．如图，AB ，AC 为⊙O 的两条弦，连接OB ，OC ，若∠A =45°，则∠BOC 的度数为．第11题图第12题图第13题图第14题图12．若二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，则ac 0（填“>”“=”或“<”）．13．如图，在正三角形网格中，以某点为旋转中心，将△MNP 旋转，得到△M 1N 1P 1，则旋转中心是点．14．如图，PA ，PB 分别切⊙O 于点A ，B ，Q 是 ACB 上一点，H 是AB 上一点．若∠P =40°，则∠H 的度数是．15．如图，这是一种用于液体蒸馏或分馏物质的玻璃容器——蒸馏瓶，其底部是圆球形．已知截面圆中弦AB 的长为212cm ，瓶内液体的最大深度CD ＝6cm ，则球形的半径为cm ．16．如图，抛物线2122y x x c =-+交x 轴于点A （a ，0）和B （b ，0），交y 轴于点C （0，c ），抛物线的顶点为D ．下列结论：①若a ＝1，则b ＝3；②当y ＜0时a ＜x ＜b ，且y 的最小值为2-c ；③抛物线上有两点P （x 1，y 1）和Q （x 2，y 2），若x 1＜x 2，且x 1+x 2＞4，则y 1＞y 2；④当23=c 时，对于抛物线上两点M （m ，n 1），N （m +2，n 2），若n 1＜0，则n 2＞0．其中正确的是．三、解答题（本大题共68分，第17、18、19、21、23、25题每题5分，20、22、24、26题每题6分，27、28题每题7分）17．解方程：2802+-=x x ．18．已知m 是方程2350x x +-=的一个根，求代数式()()214m m m +++的值．19．在正方形网格中，建立如图所示的平面直角坐标系xOy ，△ABC 的三个顶点都在格点上，点A 的坐标为（4，4），请解答下列问题：（1）画出△ABC 关于原点O 成中心对称的△A 1B 1C 1，并写出C 1的坐标；（2）将△ABC 绕点B 逆时针旋转90°，画出旋转后的△A 2BC 2．20．如图，在等腰直角△ABC 中，∠BAC ＝90°，D 是BC 边上任意一点（不与B ，C 重合），将线段AD绕点A 逆时针旋转90°得到线段AE ，连接CE ，DE ．（1）求∠ECD 的度数；（2）若AB ＝4，BD=2，求DE 的长．21．已知二次函数解析式为322--=x x y ．（1）将322--=x x y 化成()k h x a y +-=2的形式，并写出它的顶点坐标；（2）在所给的平面直角坐标系中画出此函数的图象；（3）当30<<x 时，y 的取值范围为．22．已知关于x 的一元二次方程210x mx m ++-=．（1）求证：该方程总有两个实数根；（2）如果该方程有一个根为正数，求m 的取值范围．23．小明在某景区看到一个标志性建筑物——拱门观光台（如图1），拱门的形状近似于抛物线的一部分，已知拱门的地面宽度为200米，两侧距地面高150米处各有一个观光窗，两窗的水平距离为100米．小明在图2中建立平面直角坐标系．请你结合数据，帮他求出拱门的高度（拱门的最高点到地面的距离）．图1图224．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，以AB 为直径作⊙O 交BC 于点D ，过点D 作AC 的垂线交AC 于点E ，交AB 的延长线于点F ．（1）求证：DE 与⊙O 相切；（2）若CD ＝BF ，AE ＝3，求DF 的长．25．食用果蔬前，适当浸泡可降低农药的残留．某小组针对同种果蔬研究了不同浸泡方式对某种农药去除率的影响．方式一：采用清水浸泡．y，部分实验数据记录如下：记浸泡时间为t分钟，农药的去除率为%1t（分）…5810121520…y（%）…305057523733…1方式二：采用不同浓度的食用碱溶液浸泡相同时间．y，部分实验数据记录如下：记食用碱溶液的浓度为x%，农药的去除率为%2x（%）…257101215…y（%）…435257765725…2结合实验数据和结果，解决下列问题：y（%）与浸泡时间t（分）（1）通过分析以上实验数据，发现可以用函数刻画方式一中农药的去除率1y（%）与食用碱溶液的浓度x（%）之间的关系，请分别在下面之间的关系，方式二中农药的去除率2的平面直角坐标系中画出这两个函数的图象；（2）利用方式一的函数关系可以推断，降低该种农药残留的最佳浸泡时间约为分钟；（3）利用方式一和方式二的函数关系可以推断，用食用碱溶液浸泡含该种农药的这种果蔬时，要想不低于清水浸泡的最大去除率，食用碱溶液的浓度x%中，x的取值范围可以是．26．在平面直角坐标系xOy 中，已知M和N 是抛物线上任意两点.（1）若11=x ，32=x 时，满足21y y =，则抛物线的对称轴为直线；（2）若对于，，都有，求t 的取值范围．27.如图，在Rt △ABC 中∠C =90°，∠B=α.D 是线段BC 上的动点（不与点B ，C 重合）．将射线DA绕点D 逆时针旋转α得到射线DM ，过点A 作AE ⊥DM 于点E ，连接CE ．（1）①补全图形；②直接写出∠ACE 的大小(用含α的式子表示）．（2）作点B 关于点C 的对称点F ，取线段FD 的中点G ，连接GE ，用等式表示线段GE 与GC 之间的数量关系，并证明．备用图），（11y x ），（22y x tx x y 22-=12y y <121+<<-t x t 201x <<28.在平面直角坐标系xOy 中，⊙O 的半径为1.对于⊙O 的弦AB 和不在直线AB 上的点C ，给出如下定义：若点C 关于直线AB 的对称点'C 在⊙O 上或其内部，且∠ACB=α，则称点C 是弦AB 的“α可及点”.（1）如图，点），（2321A ，），（2321-B .①在点)21(1，C ，)02(2，C ，)021(3，-C 中,点是弦AB 的“α可及点”,其中α=°；②若点D 是弦AB 的“60°可及点”，记点D 的横坐标为m ，则m 的取值范围为；（2）已知点P 是直线1-=x y 上一点，且存在⊙O 的弦MN ，使得点P 是弦MN 的“90°可及点”.记点P 的横坐标为n ，直接写出n 的取值范围.。
浙江省宁波市第七中学2024-2025学年九年级上学期第一次月考(期中)数学试卷(含答案)
宁波七中教育集团2024学年第一学期初三数学第一次月考试卷（2024.11）全卷共6页，满分为120分，考试时间为120分钟．考生注意：1．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色笔迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题纸规定的位置上．2．答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范作答，在本试题卷上的作答一律无效．一、选择题（每小题3分，共30分）1．下列事件中，是必然事件的是（ ）A ．三角形任意两边之和大于第三边B ．过马路时恰好遇到红灯C ．明天太阳从西边出来D ．抛掷一枚硬币，正面朝上2．若，则 （ ）A ．B ．1C ．D ．3．的半径为5cm ，点A 到圆心的距离cm ，则点A 与的位置关系是（ ）A ．点A 在圆上B ．点A 在圆内C．点A 在圆外D ．无法确定4．两个相似三角形的相似比为，则它们的面积比为（ ）A ．B ．C ．D 5．将抛物线绕顶点旋转，再向上平移2个单位，则平移后的抛物线解析式为（ ）A ．B ．C ．D ．6．抛物线 （m 为常数）上三点分别为，，，则，，的大小关系为（）A ．B ．C ．D ．7．如图，如果，那么添加下列任何一个条件：（1）（2） （3） （4） 其中能判定的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．412b a =b a b=-121-12-O e 4OA =O e 4:94:92:316:812y x =-180︒22y x =+22y x =-()22y x =-+()22y x =+()21y x m =++()12,y -()21,y ()33,y 1y 2y 3y 123y y y >>231y y y >>312y y y >>321y y y >>12∠=∠AB AC AD AE =AB BCAD DE=B D ∠=∠C AED ∠=∠ABC ADE ∽△△8．如图，的直径CD 垂直弦AB 于E ，且cm ，cm ，则AB 的长为（）（第8题）AB ．cmC ．cmD ．cm9．如图，为等边三角形，点D ，E 分别在边BC ，AB 上，，若，，则AD 的长为（ ）（第9题）A ．3.2B ．3C ．2.4D ．1.810．二次函数的图象如图所示，下列结论①，②，③，④．其中正确的是（ ）（第10题）A ．①②B ．①③C ．①④D ．①③④二、填空题（每小题3分，共18分）11．正五边形的内角和的度数是______．12．一个路口的交通信号灯按红、绿、黄三种颜色顺序循环切换，其中红灯、绿灯、黄灯每次持续时间分别为60秒，57秒，3秒，则经过这个路口时刚好是红灯的概率是______．13．抛物线的顶点坐标是______．14．如图，在中，半径OA ，OB 互相垂直，点C 在劣弧AB 上，若，则______．O e 1OE =4DE =ABC △60ADE ∠=︒4BD DC =2.4DE =()20y ax bx c a =++≠24b ac >0abc <20a b c +->0a b c ++<()232y x =+-O e 21ABC ∠=︒BAC ∠=（第14题）15．如图，E 为的边AD 延长线上一点，且D 为AE 的黄金分割点，BE 交DC 于点F ，若，且，则CF 的长为______．（第15题）16．当时，函数的最小值为4，则a 的值______．三、解答题（本大题有8小题，第17～21小题每小题8分，第22～23小题每小题10分．第24小题12分，共72分）17．在一个不透明的口袋里有3个完全相同的小球，把它们分别标号1、2、3．求下列事件的概率．（1）随机地摸出一个小球是奇数；（2）随机地摸出一个小球后放回，再随机地摸出一个小球，两次摸出的小球标号的和为4．18．如图，在网格中，点A ，B ，C ，O 都在格点上，用无刻度直尺作图并保留作图痕迹．（1）以O 为位似中心，在网格中作，且与的位似比为．（2）在线段BC 上作点P ，使．19．二次函数的部分图象如图所示，对称轴是直线，与y 轴的交点为，与x 轴的一个交点为．（1）求这个二次函数的解析式；（2）求该图象与x 轴的另一个交点坐标；（3）观察图象，当时，求自变量x的取值范围．ABCDY 1AB =AD DE >1a x a ≤≤+221y x x =-+111A B C △ABC △111A B C △1:22PC PB =1x =-()0,3()1,00y >20．如图，已知在中，点D ，F 在AB 上，点E 在AC 上，，，，．（1）求AC 的长；（2）当时，求证．21．如图，是的外接圆，AB 是直径，D 为上一点，，垂足为E ，连结BD ．（1）求证BD 平分；（2）当时，求证．22．为了测量路灯（OS ）的高度，把一根长1.5米的竹竿（AB ）竖直立在水平地面上，测得竹竿的影子（BC ）长为1米，然后拿竹竿向远离路灯方向走了4米（），再把竹竿竖立在地面上，测得竹竿的影长（）为1.8米，求路灯离地面的高度（OS ）．23．根据以下素材，探索完成任务．问题的提出根据以下提供的素材，在总费用（新墙的建筑费用）不高于5800元的情况下，如何设计最大饲养室面积的方案?素材1：图是某农场拟建两间矩形饲养室，饲养室的一面靠现有墙，中间用一道墙隔开，计划中建筑材料可ABC △EF CD ∥3AF =5AD =4AE =253AB =DE BC ∥O e ABC △O e O e OD AC ⊥ABC ∠30ODB ∠=︒BC OD =BB 'B C ''建围墙的总长为20m ，开2个门，且门宽均为1m ．素材2：与现有墙平行方向的墙建筑费用为400元/米，与现有墙垂直方向的墙建筑费用为200元/米．问题的解决任务1确定饲养室的形状设，矩形ABCD 的面积为S ，求S 关于x 的函数表达式．任务2探究自变量x 的取值范围．任务3确定设计方案当______m ，______m ，S 的最大值为______．24．如图，点C 是以AB 为直径的上一点，过AC 中点D 作于点E ，延长DE 交于点F ，连结CF交AB 于点G ，连结AF ，BF ．【认识图形】（1）求证：．【探索关系】（2）①求CF 与DF 的数量关系．②设，，求y 关于x 的函数关系．【解决问题】（3）若，，求AE 的长．ABx =AB =BC =2m O e DE AB ⊥O e AFD ACF ∽△△CG x FG =DEy EF=CG =FG =宁波七中教育集团2024学年第一学期初三数学第一次月考答案（2024.11）一、选择题（每小题3分，共30分）题号12345678910答案ABBCADCDBC二、填空题（每小题3分，共18分）11．12．13．14．15．216．或3三．解答题（本大题有8小题，第17～21小题每小题8分，第22、23小题每小题10分，第24小题12分，共72分）17．（1） （2）树状图或列表略18．（1）如图：（2）答案不唯一19．（1） ，（2） ，（3） 20．（1）∵，∴．即，∴．（2）∵，，∴．又，∴，∴．∴．21．（1）∵，∴弧CD ＝弧AD ．540︒12()3,2--24︒2-23P =13P =111A B C △()214y x =-++()3,0-31x -<<EF CD ∥AF AE AD AC =345AC =203AC =532553AD AB ==432053AE AC ==AD AEAB AC=A A ∠=∠ADE ABC ∽△△ADE B ∠=∠DE BC ∥OD AC ⊥∴．即BD 平分．（2）∵，∴，∴，∵AB 是直径，∴，∴．∴．22．∵，∴，即．∵，∴，即．∴．23．（1） ．（2） ，，∴．（3） ，∵不在范围内，且，∴当时，y 随x 的增大而减小．∴当时，．即m ，m ，．24．（1）证明：∵AB 是直径，∴，∵，∴，∴．又∵，∴．①∵，∴．∵，∴，即．∴．②过C 作CH 垂直AB 于H ，则，∴，，∴．CBD ABD ∠=∠ABC ∠OD OB =30ABD ODB ∠=∠=︒260ABC ABD ∠=∠=︒90ACB ∠=︒9030BAC ABC ∠=︒-∠=︒12BC AB OD ==AB SO ∥AB BC SO OC = 1.51SO OC=A B SO ''∥A B B C SO OC ''''= 1.5 1.84.8SO OC =+9SO =()22023322S x x x x =+-=-+122316x <-≤()()200314002135800x x -+-≤47x ≤<2322S x x =-+()2211233x =-=⨯-47x ≤<30-<47x ≤<4x =2max 3422440S =-⨯+⨯=4AB =22310BC x =-=2max 40m S =90AFB ∠=︒DE AB ⊥90AFE EFB B EFB ∠+∠=∠+∠=︒AFB B C ∠=∠=∠DAF FAC ∠=∠AFD ACF ∽△△AFD ACF ∽△△AD AF DFAF AC FC==2AC AD =222AF AD =AF =CF =EF CH ∥12DE AD CH AC ==CG CHFG EF=111222DE CH CG y x EF EF GF ==⋅=⋅=（3）∵，，∴，∴，．∴，．设，则，由，得，∴，∴，∴CG =FG =CF =10DF =23x =13y =1542DE DF ==31542EF DF ==AD a =AF =2222515222a a ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭a =AD =10AF =22222517510044AE AF EF =-=-=AE =。
北京市2024-2025学年北京中学初三(上)期中考试数学试卷
2024北京北京中学初三（上）期中数 学满分100分 考试时间120分钟一、选择题（本题共16分，每小题2分）下面1-8题均有四个选项，其中符合题意的选项只有．．一个． 1．剪纸艺术是最古老的中国民间艺术之一，先后入选中国国家级非物质文化遗产名录和人类非物质文化遗产代表作名录．以下剪纸中，为中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ． 2．方程29x =的解是（ ）A ．3x =B ．3x =−C ．121,9x x ==D ．123,3x x ==−3．将抛物线2y x =向上平移3个单位长度得到的抛物线是（ ）A ．23y x =+B ．23y x =−C ．2(3)y x =+D ．2(3)y x =−4．风力发电机可以在风力作用下发电．如图的转子叶片图案绕中心旋转n ︒后能与原来的图案重合，那么n 的值可能是（ ）A ．45B ．60C ．90D ．1205．用配方法解方程2420x x −+=，配方正确的是（ ）A 2(2)2x −=B ．2(2)2x +=C ．2(2)2x −=−D ．2(2)6x −=6．关于二次函数2(2)3y x =−−+，以下说法正确的是（ ）A ．当2x >−时，y 随x 增大而减小B ．当2x >−时，y 随x 增大而增大C ．当2x >时，y 随x 增大而减小D ．当2x >时，y 随x 增大而增大7．根据下列表格的对应值，判断方程210x x +−=一个解的取值范围是（ ）x 0.590.60 0.61 0.62 0.63 21x x +−0.061− 0.04− 0.018− 0.0044 0.027 A ．0.590.60x << B ．0.600.61x << C ．0.610.62x << D ．0.620.63x <<8．如图，矩形OABC 中，(3,0),(0,2)A C −，抛物线22()1y x m m =−−−+的顶点M 在矩形OABC 内部或其边上，则m 的取值范围是（ ）A ．30m −≤≤B ．10m −≤≤C ．12m −≤≤D ．31m −≤≤−第二部分 非选择题二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．点(1,2)P −关于原点的对称点的坐标为______．10．写出一个开口向下，与y 轴交于点(0,1)的抛物线的函数表达式：______．11．若关于x 的一元二次方程220x x m −+=有一个根为1，则m 的值为______．12．已知()()12,1,,1P x Q x 两点都在抛物线241y x x =−+上，那么12x x +=______． 13．若关于x 的方程20x bx c ++=有两个相等的实数根，写出一组满足条件的实数b ，c 的值：b =______，c =______．14．如图，在平面直角坐标系xOy 中，以某点为中心，将右上方图形“”旋转到图中左下方“”的位置，则旋转中心的坐标是______．15．小明热爱研究鸟类，每年定期去北京各个湿地公园观鸟．从他的观鸟记录年度总结中摘取部分数据如上面表格所示，设小明从2020年到2022年观测鸟类种类数量的年平均增长率为x ，可列方程为______．小组有甲、乙、丙三名工作人员，工作要求如下：①“打扫卫生”只能由甲完成：每间客房“打扫卫生”完成后，才能进行该客房的其他三个步骤，这三个步骤可由任意工作人员完成并可同时进行；②一个步骤只能由一名工作人员完成，此步骤完成后该工作人员才能进行其他步骤；③每个步骤所需时间如下表所示：分钟；若由甲、乙、丙合作完成四间客房的清洁工作，则最少需要______分钟．三、解答题（本题共68分，第17-22题，每小题5分，第23-26题每题6分，第27-28题每题7分）17．解方程：2280x x −−=18．已知二次函数22y x x =−．（1）补全表格，并在右图所示的平面直角坐标系中画出该二次函数的图象；（2）点(2,7)P −______该函数的图象上（填“在”或“不在”）．19．如图，在Rt ABC △中，90,3,4ACB AC BC ∠=︒==，将ABC △绕点C 逆时针旋转得到DEC △，使点A 的对应点D 落在BC 边上，点B 的对应点为E ，求线段,BD DE 的长．20．已知m 是方程220x x −−=的根，求代数式()15m m −+的值． 21．如图，在平面直角坐标系xOy 中()()2,4,2,0A B −−，将OAB △绕原点Ｏ顺时针旋转90︒得到OA B ''△（,A B ''分别是A 、B 的对应点）．（1）在图中画出OA B ''△，点A '的坐标为______；（2）若点(),2M m 位于OAB △内（不含边界），点M '为点M 绕原点O 顺时针旋转90︒的对应点，直接写出M '的纵坐标n 的取值范围．22．在平面直角坐标系xOy 中，二次函数2y x bx c =++的图象经过点()()1,03,0，． （1）求该二次函数的解析式；（2）当13x −<<时，直接写出函数值y 的取值范围．23．阅读下面的材料并完成解答．《田亩比类乘除捷法》是我国南宋数学家杨辉的著作，其中记载了这样一个数学问题：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，欲先求阔步，得几何？”意思是：一块矩形田地的面积为864平方步，只知道它的长与宽之和为60步，问它的宽是多少步？书中记载了这个问题的几何解法：（1）将四个完全相同的面积为864平方步的矩形，按如图所示的方式拼成一个大正方形，则大正方形的边长为______步；（2）中间小正方形的面积为______平方步；（3）若设矩形田地的宽为x 步，则小正方形的面积可用含x 的代数式表示为______；（4）由（2）（3）可得关于x 的方程______，进而解得矩形田地的宽为24步．24．已知关于x 的一元二次方程2)440x k x k −++=（． （1）求证：该方程总有两个实数根；（2）若该方程有一个根小于2，求k 的取值范围．25．如图1，是某条公路的一个具有两条车道的隧道的横断面．经测量，两侧墙AD 和BC 与路面AB 垂直，隧道内侧宽8AB =米．为了确保隧道的安全通行，工程人员在路面AB 上取点E ，测量点E 到墙面AD 的距离AE ，点E 到隧道顶面的距离EF ．设AE x =米，EF y =米．图1 图2 通过取点、测量，工程人员得到了x 与y 的几组值，如下表：x （米）0 2 4 6 8 y （米） 4.05.56.0 5.5 4.0 （1）根据上述数据，直接写出隧道顶面到路面AB 的最大距离为______米，并求出满足的函数关系式()2(0)y a x h k a =−+<；（2）若如图2的汽车在隧道内正常通过时，汽车的任何部位需离左侧墙及右侧墙的距离不小于1米，且到隧道顶面的距离不小于0.35米．按照这个要求，隧道需标注的限高应为多少米（精确到0.1米）？26．已知：二次函数221y ax ax a =−++．（1）求这个二次函数图象的对称轴和顶点坐标；（2）若点()12)1,,2,A n y B n y +−（在抛物线()2210y ax ax a a =−++>上，且12y y <，求n 的取值范围．27．如图，在等边三角形ABC 中，点P 为ABC △内一点，连接,,AP BP CP ，将线段AP 绕点A 顺时针旋转60︒得到AP '，连接,PP BP ''．（1）用等式表示BP '与CP 的数量关系，并证明；（2）当120BPC ∠=︒时，①直接写出P BP '∠的度数为______；②若M 为BC 的中点，连接PM ，请用等式表示PM 与AP 的数量关系，并证明．28．对于平面直角坐标系xOy 内的点P 和图形M ，给出如下定义：如果点P 绕原点O 顺时旋转90︒得到点P ，点P '落在图形M 上或图形M 围成的区域内，那么称点P 是图形M 关于原点O 的“伴随点”．已知点()()()1,1,3,1,3,2A B C ．（1）在点()()()1232,0,1,1,1,2P P P −−−中，点______是线段AB 关于原点O 的“伴随点”；（2）如果点(),2D m 是ABC △关于原点O 的“伴随点”，直接写出m 的取值范围；（3）已知抛物线2y x bx c =++的顶点坐标为1n −（，），其关于原点对称的抛物线上存在ABC △关于原点O 的“伴随点”，求出n 的最大值和最小值．。
湖南省长沙市长沙第一中学教育集团2023-2024学年九年级(上)期中考试数学试卷
23年秋初三长沙一中教育集团期中考试数学试卷1．（3一、单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分.每小题只有一个正确选项）分）下列实数中，是无理数的是( ) A ．−21B ．πC ．3.14D ．02．（3分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )A ．B ．C ．D ．3．（3分）下列各式计算正确的是( ) A ．=393B ．−=−a b a b ()222 C．+=D ．=a b a b (2)823834．（3分）已知O 的半径是10，圆心O 到直线l 的距离是13，则直线l 与O 的位置关系是( ) A ．相离B ．相交C ．相切D ．无法确定5．（3分）10月8日，第19届亚运会闭幕，杭州亚运会赛事中核心系统采用云计．算作为亚运会算力基础设施，从底层支持赛事系统群，向上支撑云上转播、亚运钉等智能应用，实现核心系统和应用服务的云上打通，为亚运各类智能应用提供云底座支持．其中杭州亚运会面向全球推出首个大型国际综合体育赛事元宇宙，全球首创亚运数字人平台及线上火炬传递，“数字火炬手”突破了1.2亿人，1.2亿可用科学记数法表示为( ) A ．⨯1.2107B ．⨯0.12108C ．⨯1.2108D ．⨯1.21096．（3分）如图所示，已知AC ED //，∠=︒C 20，∠=︒CBE 43，∠BED 的度数是( )A ．︒63B ．︒83C ．︒73D ．︒537．（3分）某校参加课外兴趣小组的学生人数统计图如图所示．若信息技术小组有60人，则劳动实践小组的人数为( ) A ．75 B ．90 C ．108D ．1208．（3分）下列关于x 的一元二次方程中，有两个不相等的实数根的方程是( ) A ．+=x 402B ．−+=x x 44102C ．−+=x x 302D ．+−=x x 21029．（3分）关于二次函数=−+y x (2)62的图象，下列结论不正确的是( ) A ．抛物线的开口向上 B ．<x 2时，y 随x 的增大而减小 C ．对称轴是直线=x 2D ．抛物线与y 轴交于点(0,6)10．（3分）在三行三列的方格棋盘上沿骰子的某条棱翻动骰子（相对面上分别标有1点和6点，2点和5点，3点和4点）．开始时，骰子如图1所示摆放，朝上的点数是2，最后翻动到如图2所示位置．现要求翻动次数最少，则最后骰子朝上的点数为2的概率为( )A ．121B ．61 C ．31D ．4111．（3二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）分）分解因式：−=n 42 ．12．（3分）已知样本x 1、x 2、x 3、x 4的平均数是2，则+x 31、+x 32、+x 33、+x 34的平均数是 ．13．（3分）如图，BC 是O 的弦，AD 过圆心O ，且⊥AD BC ．若∠=︒COD 40，则∠A 的度数为 ．14．（3分）二次函数=−−y x (2)12的顶点坐标为 ．15．（3分）已知圆锥的侧面积为πcm 152，底面半径为cm 3，则圆锥的高是 ． 16．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (1,0)，点C 是y 轴上的动点，线段CA 绕着点C 逆时针旋转︒90至线段CB ，连接BO ，则BO 的最小值是 ．17．（6三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题8分）分）计算：−−−+−+−−π3(1)|3|()( 3.14)1202320．18．（6分）先化简，再求值：−+++a a a 4(21)(31)2，其中=−a 21．19．（6分）阅读下面材料：在数学课上，老师提出如下问题：尺规作图：过圆外一点作圆的切线． 已知：如图，O 和点P ． 求作：过点P 的O 的切线． 小明的主要作法如下：如图：（1）连接OP ，作线段OP 的垂直平分线，交OP 于点A ； （2）以A 为圆心，OA 长为半径作圆，交O 于点B ，C ； （3）作直线PB 和PC ； 所以PB 和PC 就是所求的切线． 老师说：“小明的作法正确．” 根据小明设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹） （2）完成下面的证明： 证明：OP 是A 的直径，∴∠=︒PBO 90，∠=︒PCO 90； （填推理的依据） ∴⊥OB PB ，⊥OC PC ，又OB ，OC 是O 的半径，∴PB ，PC 是O 的切线． （填推理的依据）20．（8分）已知：如图，一次函数14y x=−与22y x=−−的图象相交于点C．（1）求点C的坐标；（2）若一次函数14y x=−与22y x=−−的图象与x轴分别相交于点A、B，求ABC∆的面积；（3）结合图象，直接写出12y y时的取值范围．21．（8分）王老师为了解所教班级学生自主学习、合作交流的能力情况，对所教学生进行了一个学年的跟踪调查，把调查结果分成四类：A（非常好）、B（良好）、C（一般）、D（较差）．学年结束王老师将随机抽取部分学生的调查结果绘制成如图两幅不完整的统计图，请你根据已有信息解答下列问题：（1）这次随机抽取的样本容量是，扇形统计图中D类所对应的圆心角为度；（2）将条形统计图补充完整；（3）现准备从被调查的A类和D类学生中分别选取一位同学进行“手拉手”学习，请用列表法或画树状图法求出所选两位同学恰好是一男一女的概率．22．（9分）如图，利用长度为48m 的篱笆，围成中间隔有一道篱笆的长方形的花圃，且花圃的长可借用一段墙体（墙体的最大可用长度15)a m =，墙体侧不多围篱笆． （1）如果所围成的花圃的面积为2144m ，试求宽AB 的长度；（2）按题目的设计要求，能围成面积比2144m 更大的花圃吗？如果能，请求出最大面积，并说明围法；如果不能，请说明理由．23．（9分）如图，在四边形ABCD 中，6AB CD ==，10BC =，8AC =，ABC BCD ∠=∠．过点D 作DE BC ⊥，垂足为点E ，延长DE 至点F ，使EF DE =，连接BF ，CF ． （1）求证：四边形ABFC 是矩形；（2）求DE 的长．24．（10分）我们约定：若关于x 的二次函数21y ax bx c =++与关于x 的一次函数2y mx n =+||0b n −=，则称函数1y 与2y 互为“同一函数”，根据约定，解答下列问题： （1）若关于x 的二次函数2131y x rx =++与关于x 的一次函数21y sx =+互为“同一函数”，求r ，s 的值；（2）关于x 的二次函数21y ax bx c =++与关于x 的一次函数2y mx n =+互为“同一函数”，当11x −时，1||1y ．①求证：||1c ；②当11x −时，2y 的最大值为2，求1y 的解析式．25．（10分）如图，平面直角坐标系中，以(2,0)M为圆心的M交x轴于A、B两点，点A在点B左侧，且过(2,4)C．（1）求M的半径及点A、B的坐标；（2）如图一，点(10,0)P，连接PC并延长，交y轴于点D，线段CD绕点C顺时针旋转90︒得CE，连接EB、AD，过点C作AD的垂线交AD于点F，反向延长CF交BE于点G，求ECG∆的面积；（3）以BC为直径画圆，记为N，x轴正半轴一动点Q坐标记为(,0)m．①如图二，6=；m>时，连接CQ交M于点R，交N于点S，作AT CQ⊥于T，求证：TC RS②如图三，26m−<<时，①中的结论还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．23年秋初三长沙一中教育集团期中考试数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分.每小题只有一个正1．（3分）下列实数中，是无理数的是( )A ．−21B ．πC ．3.14D ．0【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．【解答】解：A 、−21是分数，属于有理数，故此选项不符合题意；B 、π是无限不循环小数，是无理数，故此选项符合题意；C 、3.14是有限小数，属于有理数，故此选项不符合题意；D 、0是整数，属于有理数，故此选项不符合题意；故选：B ．【点评】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，π2等；开方开不尽的数；以及像⋯0.1010010001，等有这样规律的数．2．（3分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )A ．B ．C ．D ．【分析】根据轴对称图形定义及“将图形绕着某一点旋转︒180与原图形重合的图形叫做中心对称图形”，逐一进行判断即可．【解答】解：A ．图形是中心对称图形，但不是轴对称图形，不符合题意；B ．图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意；C ．图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意；D ．图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，正确，符合题意．故选：D ．【点评】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的定义，理解定义，会用定义进行判断是解题的关键．3．（3分）下列各式计算正确的是( ) A ．339=B ．222()a b a b −=−C ．+=D ．2383(2)8a b a b =【分析】根据乘方的意义，完全平方公式，合并同类二次根式以及幂的乘方与积的乘方逐项进行判断即可．【解答】解：3.327A =，因此选项A 不符合题意；B ．222()2a b a ab b −=−+，因此选项B 不符合题意；(2C =+=C 符合题意； D ．2363(2)8a b a b =，因此选项D 不符合题意；故选：C ．【点评】本题考查乘方的意义，完全平方公式，合并同类二次根式以及幂的乘方与积的乘方，理解同类二次根式的意义，掌握合并同类二次根式的方法是得出正确答案的前提． 4．（3分）已知O 的半径是10，圆心O 到直线l 的距离是13，则直线l 与O 的位置关系是( ) A ．相离B ．相交C ．相切D ．无法确定【分析】运用直线与圆的三种位置关系，结合1013<，即可解决问题． 【解答】解：O 的半径为10，圆心O 到直线l 的距离是13，而1013<，∴点O 到直线l 的距离大于半径，∴直线l 与O 相离．故选：A ．【点评】本题考查的是直线与圆的位置关系，解决此类问题可通过比较圆心到直线距离d 与圆半径大小关系完成判定．5．（3分）10月8日，第19届亚运会闭幕，杭州亚运会赛事中核心系统采用云计．算作为亚运会算力基础设施，从底层支持赛事系统群，向上支撑云上转播、亚运钉等智能应用，实现核心系统和应用服务的云上打通，为亚运各类智能应用提供云底座支持．其中杭州亚运会面向全球推出首个大型国际综合体育赛事元宇宙，全球首创亚运数字人平台及线上火炬传递，“数字火炬手”突破了1.2亿人，1.2亿可用科学记数法表示为( ) A ．71.210⨯B ．80.1210⨯C ．81.210⨯D ．91.210⨯【分析】将一个数表示成10n a ⨯的形式，其中1||10a <，n 为整数，这种记数方法叫做科学记数法，据此即可求得答案．【解答】解：1.2亿8120000000 1.210==⨯， 故选：C ．【点评】本题考查科学记数法表示较大的数，熟练掌握其定义是解题的关键．6．（3分）如图所示，已知//AC ED ，20C ∠=︒，43CBE ∠=︒，BED ∠的度数是( )A ．63︒B ．83︒C ．73︒D ．53︒【分析】先利用外角与内角的关系求出CAE ∠，再利用平行线的性质求出BED ∠． 【解答】解：CAE ∠是ABC ∆的外角， CAE CBE C ∴∠=∠+∠4320=︒+︒63=︒． //AC ED ，63CAE BED ∴∠=∠=︒．故选：A ．【点评】本题考查了三角形的内角和定理的推论和平行线的性质，掌握三角形外角与内角的关系及平行线的性质是解决本题的关键．7．（3分）某校参加课外兴趣小组的学生人数统计图如图所示．若信息技术小组有60人，则劳动实践小组的人数为( )A ．75B ．90C ．108D ．120【分析】根据信息技术的人数和所占的百分比可以计算出本次参加兴趣小组的总人数，然后根据劳动实践所占的百分比，即可计算出劳动实践小组的人数． 【解答】解：本次参加课外兴趣小组的人数为：6020%300÷=（人)， 劳动实践小组有：30030%90⨯=（人)， 故选：B ．【点评】本题考扇形统计图，解答本题的关键是明确题意，求出本次参加兴趣小组的总人数．8．（3分）下列关于x 的一元二次方程中，有两个不相等的实数根的方程是( ) A ．240x +=B ．24410x x −+=C ．230x x −+=D ．2210x x +−=【分析】根据一元二次方程根的判别式，分别计算△的值，根据△0>，方程有两个不相等的实数根；△0=，方程有两个相等的实数根；△0<，方程没有实数根，进行判断． 【解答】解：A 、△160=−<，方程没有实数根；B 、△0=，方程有两个相等的实数根； C 、△112110=−=−<，方程没有实数根；D 、△440=+>，方程有两个不相等的实数根．故选：D ．【点评】本题考查了用一元二次方程的根的判别式判定方程的根的情况的方法． 9．（3分）关于二次函数2(2)6y x =−+的图象，下列结论不正确的是( ) A ．抛物线的开口向上 B ．2x <时，y 随x 的增大而减小 C ．对称轴是直线2x =D ．抛物线与y 轴交于点(0,6)【分析】由二次函数解析式可得抛物线开口方向及顶点坐标和对称轴，将0x =代入抛物线解析式可得抛物线与y 轴交点坐标．【解答】解：2(2)6y x =−+，∴抛物线开口向上，对称轴为直线2x =，顶点坐标为(2,6)， 2x ∴<时，y 随x 增大而减小，将0x =代入2(2)6y x =−+得10y =，∴抛物线与y 轴交点坐标为(0,10)， 故选：D ．【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程及不等式的关系．10．（3分）在三行三列的方格棋盘上沿骰子的某条棱翻动骰子（相对面上分别标有1点和6点，2点和5点，3点和4点）．开始时，骰子如图1所示摆放，朝上的点数是2，最后翻动到如图2所示位置．现要求翻动次数最少，则最后骰子朝上的点数为2的概率为( )A ．112B ．16 C ．13D ．14【分析】根据已知中三行三列的方格棋盘上沿骰子的某条棱翻动骰子，我们模拟骰子的翻动过程，我们可以得到最后骰子朝上的点数所有的可能性及满足条件（即点数为2)的基本事件个数，代入古典概型公式即可得到答案．【解答】解：计三行三列的方格棋盘的格子坐标为a b (,)，其中开始时骰子所处的位置为(1,1)，则图2所示的位置为(3,3)则从(1,1)到(3,3)共有6种走法，其结果分别为：2，5，1，5，3，2，故最后骰子朝上的点数为2的概率为==P 6321， 故选：C ．【点评】本题考查概率的求法与运用，一般方法为：如果一个事件有n 种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A 出现m 种可能，那么事件A 的概率P （A ）=nm ．11．（3二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）分）分解因式：−=n 42 +−n n (2)(2) ． 【分析】利用平方差公式进行计算，即可解答． 【解答】解：−=+−n n n 4(2)(2)2， 故答案为：+−n n (2)(2)．【点评】本题考查了因式分解−运用公式法，准确熟练地进行计算是解题的关键． 12．（3分）已知样本x 1、x 2、x 3、x 4的平均数是2，则+x 31、+x 32、+x 33、+x 34的平均数是 5 ．【分析】只要运用求平均数公式：=++⋯+nx x x x n12即可求出．【解答】解：+x 31、+x 32、+x 33、+x 34的平均数是+++++++=x x x x 4(3333)11234++++=+=x x x x 4(12)23511234． 故填5．【点评】本题考查平均数的求法，熟记公式=++⋯+nx x x x n12是解决本题的关键，及平均数计算的综合运用．13．（3分）如图，BC 是O 的弦，AD 过圆心O ，且⊥AD BC ．若∠=︒COD 40，则∠A 的度数为 ︒20 ．【分析】由垂径定理得到BM CM =，因此40BOD COD ∠=∠=︒，由圆周角定理得到1202A BOD ∠=∠=︒．【解答】解：连接OB ，延长AD 交圆于M ， 直径AM BC ⊥，∴BM CM =，40BOD COD ∴∠=∠=︒，1202A BOD ∴∠=∠=︒．故答案为：20【点评】本题考查圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，关键是由圆心角、弧、弦的关系得到40BOD COD ∠=∠=︒，由圆周角定理即可求解．14．（3分）二次函数2(2)1y x =−−的顶点坐标为 (2,1)− ．【分析】因为顶点式2()y a x h k =−+，其顶点坐标是(,)h k ，对照求二次函数2(2)1y x =−−的顶点坐标．【解答】解：二次函数2(2)1y x =−−是顶点式，∴顶点坐标为(2,1)−．【点评】顶点式2()y a x h k =−+，顶点坐标是(,)h k ，对称轴是直线x h =，此题考查了学生的应用能力．15．（3分）已知圆锥的侧面积为215cm π，底面半径为3cm ，则圆锥的高是 4cm ． 【分析】圆锥的母线、底面半径、圆锥的高正好构成直角三角形的三边，求圆锥的高就可以转化为求母线长．圆锥的侧面的展开图是扇形，扇形的半径就等于母线长．【解答】解：侧面展开图扇形的弧长是6cm π，设母线长是r cm ，则16152r ππ⨯⋅=，解得：5r =，根据勾股定理得到：圆锥的高4cm =． 故答案为4cm ．【点评】本题考查了圆锥的计算，正确理解圆锥的母线，高，底面半径的关系，以及圆锥侧面展开图与圆锥的关系，是解题的关键．16．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知点(1,0)A ，点C 是y 轴上的动点，线段CA绕着点C 逆时针旋转90︒至线段CB ，连接BO ，则BO 的最小值是．【分析】设C m (0,)，过点B 作⊥BH y 轴，垂足为点H ，证明∆≅∆AOC CHB AAS ()，推出=HC OA ，=HB OC ，可得点B 的坐标为+m m (,1)，推出点B 的运动轨迹是直线=+y x 1，根据垂线段最短解决问题即可．【解答】解：设C m (0,)，过点B 作⊥BH y 轴，垂足为点H ， ∴∠=︒BHC 90，∴∠+∠=︒HCB B 90，线段CA 绕着点C 按逆时针方向旋转︒90至线段CB ，∴∠=︒BAC 90，=CB CA ，∴∠+∠=︒HCB ACO 90，∴∠=∠B ACO ， AOC ∠=︒90，∴∆≅∆AOC CHB AAS ()，∴=HC OA ，=HB OC ，点C m (0,)，点A (1,0)，∴点B 的坐标为+m m (,1)， ∴点B 的运动轨迹是直线=+y x 1，直线=+y x 1交x 轴于−E (1,0)，交y 轴于F (0,1)，∴==OE OF 1，=EF ， 过点O 作⊥OT EF 于T．则==OT EF 221， 根据垂线段最短可知，当点B 与点T 重合时，OB的值最小，最小值为2，． 【点评】本题考查坐标与图形变化−旋转，全等三角形的判定和性质，垂线段最短等知识，解题的关键是正确寻找点B 的运动轨迹，属于中考常考题型．17．（6三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每分）计算：−−−+−+−−π3(1)|3|()( 3.14)1202320．【分析】先化简各式，然后再进行计算即可解答．【解答】解：−−−+−+−−π3(1)|3|()( 3.14)1202320=−−++1391=6．【点评】本题考查了负整数指数幂，绝对值，有理数的加减混合运算，有理数的乘方，零指数幂，准确熟练地进行计算是解题的关键．18．（6分）先化简，再求值：−+++a a a 4(21)(31)2，其中=−a 21．【分析】先算单项式乘多项式的法则，完全平方公式，再合并同类项，最后代入相应的值运算即可．【解答】解：24(21)(31)a a a −+++2284961a a a a =−−+++221a a =++， 当12a =−时，原式211()2()122=−+⨯−+1114=−+14=．【点评】本题主要考查整式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． 19．（6分）阅读下面材料：在数学课上，老师提出如下问题：尺规作图：过圆外一点作圆的切线． 已知：如图，O 和点P ． 求作：过点P 的O 的切线． 小明的主要作法如下：如图：（1）连接OP ，作线段OP 的垂直平分线，交OP 于点A ； （2）以A 为圆心，OA 长为半径作圆，交O 于点B ，C ； （3）作直线PB 和PC ； 所以PB 和PC 就是所求的切线． 老师说：“小明的作法正确．” 根据小明设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹） （2）完成下面的证明： 证明：OP 是A 的直径，90PBO ∴∠=︒，90PCO ∠=︒； 直径所对的圆周角是直角 （填推理的依据） OB PB ∴⊥，OC PC ⊥，又OB ，OC 是O 的半径，PB ∴，PC 是O 的切线． （填推理的依据）【分析】（1）根据题意补全图形即可；（2）根据圆周角定理得到90PBO ∠=︒，90PCO ∠=︒，根据垂直的定义得到OB PB ⊥，OC PC ⊥，根据切线的判定定理即可得到结论．【解答】（1）解：补全图形如图所示； （2）证明：OP 是A 的直径，90PBO ∴∠=︒，90PCO ∠=︒（直径所对的圆周角是直角）（填推理的依据）， OB PB ∴⊥，OC PC ⊥，又OB ，OC 是O 的半径，PB ∴，PC 是O 的切线（经过半径的外端，且垂直于半径的直线是圆的切线）（填推理的依据）．故答案为：直径所对的圆周角是直角；经过半径的外端，且垂直于半径的直线是圆的切线． 【点评】本题考查了切线的判定，圆周角定理，正确的作出图形是解题的关键． 20．（8分）已知：如图，一次函数14y x =−与22y x =−−的图象相交于点C ． （1）求点C 的坐标；（2）若一次函数14y x =−与22y x =−−的图象与x 轴分别相交于点A 、B ，求ABC ∆的面积；（3）结合图象，直接写出12y y 时的取值范围．【分析】（1）求出两函数的解析式组成的方程组的解，即可得出交点C 的坐标；（2）分别求出两函数的图象与x 轴的交点坐标，求出AB 的值，再求出ABC ∆的面积即可； （3）根据两函数的图象和交点C 的坐标得出答案即可．【解答】解：（1）解方程组42y x y x =−⎧⎨=−−⎩得：13x y =⎧⎨=−⎩，所以点C 的坐标是(1,3)−；（2）14y x =−，当10y =时，40x −=，解得：4x =，即4OA =； 22y x =−−，当20y =时，20x −−=，解得：2x =−，所以426AB =+=，C 点的坐标是(1,3)−，ABC ∴∆的面积是16392⨯⨯=；（3）12y y 时的取值范围是1x ．【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式，两直线相交与平行问题，一次函数的图象等知识点，能求出点C的坐标是解此题的关键．21．（8分）王老师为了解所教班级学生自主学习、合作交流的能力情况，对所教学生进行了一个学年的跟踪调查，把调查结果分成四类：A（非常好）、B（良好）、C（一般）、D（较差）．学年结束王老师将随机抽取部分学生的调查结果绘制成如图两幅不完整的统计图，请你根据已有信息解答下列问题：（1）这次随机抽取的样本容量是20，扇形统计图中D类所对应的圆心角为度；（2）将条形统计图补充完整；（3）现准备从被调查的A类和D类学生中分别选取一位同学进行“手拉手”学习，请用列表法或画树状图法求出所选两位同学恰好是一男一女的概率．【分析】（1）由A类别人数及其所占百分比可得样本容量，总人数乘以C类别对应百分比，再减去男生人数可得C类别中女生人数；由条形图可直接得出D类男生人数；用360︒乘以D类别人数占总人数的比例即可得；（2）根据以上所求结果可补全图形；（3）由条形图可知，A类别1男2女，D类别1男1女，画出树状图，根据概率公式求解即可．【解答】解：（1）这次随机抽取的样本容量是(12)15%20+÷=，C类女生有2025%32⨯−=（名)，D类男生有1名，扇形统计图中D类所对应的圆心角为23603620︒⨯=︒，故答案为：20，36；（2）补全图形如下：（3）画树状图如下：一共有6种等可能的结果：男男、男女、女男、女女、女男、女女，其中一男一女的情况有3种，所以所选两位同学恰好是一男一女的概率为3162=． 【点评】此题主要考查了条形统计图，以及概率，关键是掌握概率=所求情况数与总情况数之比．22．（9分）如图，利用长度为48m 的篱笆，围成中间隔有一道篱笆的长方形的花圃，且花圃的长可借用一段墙体（墙体的最大可用长度15)a m =，墙体侧不多围篱笆． （1）如果所围成的花圃的面积为2144m ，试求宽AB 的长度；（2）按题目的设计要求，能围成面积比2144m 更大的花圃吗？如果能，请求出最大面积，并说明围法；如果不能，请说明理由．【分析】（1）利用矩形的面积公式列出方程求解即可；（2）求出花圃面积与AB 长度的函数关系式，根据二次函数的性质和AB 长度取值范围求出面积的最大值．【解答】解：（1）设AB 的长为x 米，根据题意列方程得：(483)144x x −=，解得14x =，212x =，当4x =时，4833615BC x =−=>，不合题意，舍去， 当12x =时，48312BC x =−=，如果要围成面积为144米2的花圃，AB 的长是12米； （2）设花圃的面积为S ，由题意可得：(483)S x x =−2348x x =−+23(8)192x =−−+，墙体的最大可用长度15a m =，048315x ∴<−，1116x ∴<， 对称轴8x =，开口向下，∴当11x =时，花圃面积最大，2165S m =．【点评】本题考查了一元二次方程、二次函数的应用，根据已知条件列出二次函数式是解题的关键．23．（9分）如图，在四边形ABCD 中，6AB CD ==，10BC =，8AC =，ABC BCD ∠=∠．过点D 作DE BC ⊥，垂足为点E ，延长DE 至点F ，使EF DE =，连接BF ，CF ． （1）求证：四边形ABFC 是矩形；（2）求DE 的长．【分析】（1）根据垂直的定义得到90DEC FEC ∠=∠=︒，根据全等三角形的性质得到CF CD =，推出四边形ABFC 是平行四边形，根据勾股定理的逆定理即可得到结论；（2）过A 作AH BC ⊥于H ，根据全等三角形的性质得到AH DE =，根据三角形的面积公式得到684.810AB AC AH BC ⋅⨯===．于是得到结论． 【解答】（1）证明：DE BC ⊥，90DEC FEC ∴∠=∠=︒，在DEC ∆与FEC ∆中，DE EFDEC FEC CE CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()DEC FEC SAS ∴∆≅∆，CF CD ∴=，DCE FCE ∠=∠， ABC BCD ∠=∠，ABC FCE ∴∠=∠，//AB CF ∴， AB CD =，CF AB ∴=，∴四边形ABFC 是平行四边形，6AB =，10BC =，8AC =，222AB AC BC ∴+=，90BAC ∴∠=︒， ∴四边形ABFC 是矩形；（2）过A 作AH BC ⊥于H ，90AHB DEC ∴∠=∠=︒， 在ABH ∆与DCE ∆中，ABH DCE AHB DEC AB CD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ABH DCE AAS ∴∆≅∆，AH DE ∴=， 1122ABC S AB AC BC AH ∆=⋅=⋅，68 4.810AB AC AH BC ⋅⨯∴===． 4.8DE AH ∴==．【点评】本题考查了矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形的面积公式，勾股定理的逆定理，证得ABH DCE ∆≅∆是解题的关键．24．（10分）我们约定：若关于x 的二次函数21y ax bx c =++与关于x 的一次函数2y mx n =+||0b n −=，则称函数1y 与2y 互为“同一函数”，根据约定，解答下列问题： （1）若关于x 的二次函数2131y x rx =++与关于x 的一次函数21y sx =+互为“同一函数”，求r ，s 的值；（2）关于x 的二次函数21y ax bx c =++与关于x 的一次函数2y mx n =+互为“同一函数”，当11x −时，1||1y ．①求证：||1c ；②当11x −时，2y 的最大值为2，求1y 的解析式．【分析】（1）由非负数的性质可得a m =，b n =，根据互为“同一函数”的定义，即可求解． （2）①当0x =时，二次函数21y ax bx c c =++=，根据当11x −时，1||1y ，可得||1c ． ②分两种情况：当0a >时，当0a <时，根据二次函数的性质解决问题即可．【解答】（1）解：||0b n −=，0a m ∴−=，0b n −=，a m ∴=，b n =，关于x 的二次函数2131y x rx =++与关于x 的一次函数21y sx =+互为“同一函数”， 3s ∴=，1r =；（2）①证明：关于x 的二次函数21y ax bx c =++，当11x −时，1||1y ， 当0x =时，二次函数21y ax bx c c =++=，||1c ∴；②解：当11x −时，2y mx n =+的最大值为2，a m =，b n =，2y ax b ∴=+， 当0a >，1x =时，2y ax b =+的最大值为2，∴此时，2a b +=， 在21y ax bx c =++，当1x =时，1||||1y a b c =++，|2|1c ∴+，31c ∴−−，由①知，||1c ，1c ∴=−，211y ax bx ∴=+−， 1||1y ，111y ∴−，0a >，21y ax bx c ∴=++开口向上， ∴当0x =时，21y ax bx c =++的最小值为1−，(0,1)∴−是抛物线的顶点，∴对称轴是y 轴， 0b ∴=，2a ∴=，1y ∴的解析式为221y x =−；当0a <，1x =−时，2y ax b =+的最大值为2，∴此时，2a b −+=，在21y ax bx c =++，当1x =−时，1||||1y a b c =−+，|2|1c ∴−+，13c ∴，由①知，||1c ，1c ∴=，211y ax bx ∴=++，1||1y ，111y ∴−，0a <，21y ax bx c ∴=++开口向下，∴当0x =时，21y ax bx c =++的最大值为1，(0,1)∴是抛物线的顶点，∴对称轴是y 轴，0b ∴=，2a ∴=−，1y ∴的解析式为2121y x =−+；综上，1y 的解析式为2121y x =−或2121y x =−+．【点评】本题是二次函数综合题，考查了非负数的性质，一次函数的性质、二次函数的性质等知识，解题的关键是灵活应用二次函数或一次函数的性质解决问题，学会利用函数图象解决问题，属于中考常考题型．25．（10分）如图，平面直角坐标系中，以(2,0)M 为圆心的M 交x 轴于A 、B 两点，点A 在点B 左侧，且过(2,4)C ．（1）求M 的半径及点A 、B 的坐标； （2）如图一，点(10,0)P ，连接PC 并延长，交y 轴于点D ，线段CD 绕点C 顺时针旋转90︒得CE ，连接EB 、AD ，过点C 作AD 的垂线交AD 于点F ，反向延长CF 交BE 于点G ，求ECG ∆的面积；（3）以BC 为直径画圆，记为N ，x 轴正半轴一动点Q 坐标记为(,0)m ．①如图二，6m >时，连接CQ 交M 于点R ，交N 于点S ，作AT CQ ⊥于T ，求证：TC RS =； ②如图三，26m −<<时，①中的结论还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．【分析】（1）由题意得M 的半径4MC =，即可求得点A 、B 的坐标；（2）过点C 作CT y ⊥轴于T ，过点E 作//EK y 轴，交CT 于L ，交FG 于K ，连接CM ，可证得CPM DPO ∆∆∽，可求得5OD =，即(0,5)D ，利用待定系数法可得直线AD 、PD 的解析式分别为552y x =+或152y x =−+，再由CF AD ⊥，可得直线CF 的解析式为22455y x =−+，由旋转可得90ECF ∠=︒，CE CF =，进而可得()CDT ECL AAS ∆≅∆，得出1CL DT ==，2EL CT ==，18(3,)5K ，再运用待定系数法可得直线BE 的解析式为212y x =−+，联立直线CF 与直线BE 的解析式可得9(2G ，3)，再运用三角形面积公式即可求得答案；（3）①连接BS 、BR ，可证得ABC ∆是等腰直角三角形，得出45ABC ∠=︒，由AB 是M 的直径，可得90ACB ARB ∠=∠=︒，再由BC 是N 的直径，可得90BSC ∠=︒，推出BSR ∆是等腰直角三角形，可得BS RS =，再证得()ACT CBS AAS ∆≅∆，得出TC BS =，即可证得结论；②TC RS =仍然成立．证明方法与①相同．【解答】（1）解：(2,0)M ，(2,4)C ，M ∴的半径4MC =，M ∴的直径8AB =，(2,0)A ∴−，(6,0)B ；（2）解：如图一，过点C 作CT y ⊥轴于T ，过点E 作//EK y 轴，交CT 于L ，交FG 于K ，连接CM ，则4CM =，90CTD CLE CMP DOP ∠=∠=∠=︒=∠，CPM DPO ∠=∠，CPM DPO ∴∆∆∽， ∴OD OP CM MP=，即1048OD =，5OD ∴=， (0,5)D ∴，又(10,0)P ，设直线AD 、PD 的解析式分别为15y k x =+，25y k x =+，则1250k −+=，21050k +=，111205k b b −+=⎧⎨=⎩或2221005k b b +=⎧⎨=⎩， 解得：152k =，212k =−， ∴直线AD 、PD 的解析式分别为552y x =+或152y x =−+， CF AD ⊥，∴设直线CF 的解析式为25y x b =−+，把(2,4)C 代入得：2245b −⨯+=， 解得：245b =，∴直线CF 的解析式为22455y x =−+， 由旋转得：90ECF ∠=︒，CE CF =，。
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初三数学期中试卷
班级 姓名 学号 得分
一、 单选题.(本大题共12小题，每题4分，共48分)
1、下列运算中正确的是 （ ） A 2+3=5 B 2·3=6 C 3222+=5 D 2·3=6
2 下列根式中，为最简二次根式的是
( ) A 12 B
21 C b a D b a 22+ 3 运算354
的结果是
( )
A 22
B 23
C 32
D 33
4 方程x 4－1=0的实数根个数是
( )
A 1
B 2
C 3
D 4
5 以－1和6为两根的一元二次方程是
( )
A x 2+5x+6=0
B x 2－5x+6=0
C x 2+5x －6=0 Dx 2－5x －6=0
6 下列方程中，有实数根的方程是
( )
A 2+x =－x
B 22+x =x
C 2+x =－1
D 22+x =1
7 将二次函数y=x 2的图象平移后，可得到二次函数y=(x+1)2的图
象，平移的方法是
( )
A 向上平移1个单位
B 向下平移1个单位
C 向左平移1个单位
D 向右平移1个单位
8 抛物线y=x 2+x 的顶点在
( )
A 第一象限
B 第二象限
C 第三象限
D 第四象限
9 抛物线y=－x 2+2x+7与坐标轴的交点个数为 ( )
A 3个
B 2个
C 1个
D 0个
10 函数y=－2x 2+8x －1的最大值为
( )
A 7
B －7
C 1
D －1
11 已知二次函数y=－2x 2+4x+K （其中K 为常数）分别取x 1=－0.99 x 2=0.98 x 3=0.99 , 那么对应的函数值为y 1,y 2,y 3中，最大的为（ )
A y 3
B y 2
C y 1
D 不能确定，与K 的取值有关 12 使抛物线y=x 2+mx+m 的顶点位置最高，m 的值应该取
( )
A 0
B －2
C 2
D 不存在
二、 填空题(本大题共六个小题，每小题5分，共30分).
13 根式x -2002中 , x 的取值范畴是
14 化简①821+= ②当x>1时，化简()x -12
= 15 若用换元法解方程3x 2+2x －1+2x x 232+=0,设x x 232+=y ，则
原方程可化为关于y 的一元二次方程是
16 在实数范畴内分解因式 2x 2－4x －1=
17 方程组的 x 2 +y 2=1 解是
y=x+1
18 行驶中的汽车从刹车开始到停止的距离S(叫做制动距离)大致
与汽车行驶速度V 的平方成正比，已知每小时行驶30千米的汽
车的制动距离为5米，那么S 关于V 的函数关系式为
三、解答题 (本大题共七小题，共计72分)以下各题须写出解答过程.
19 (3－1)2 +132
+ （8分）
20 解方程：x = 2+x （8分）
21 己知3是方程2x 2－8x+C=0的一个根，求方程的另一个根及C
的值. （8分）
22 已知y 是关于x 的二次函数，x 与y 的对应值如下表所示：
（10分）
① 求y 关于x 的二次函数解析式. ② 填出表中空格数值.
23 已知x 1,x 2是关于x 的方程x 2－x+a=0的两个实数根，且
22
2111x x =3，求a 的值. （12分）
24己知抛物线y=x2－(a+2)x＋9的顶点在坐标轴上，求a的值 .
25己知二次函数y=x2＋kx－3图象与y轴交于点C，并与x轴交
于两点A，B. 如图：
①求实数K的值.
②若P为上述抛物线上的一个
动点(除C点外)，求使S△ABP=S△ABC
成立的点P的坐标.。