《管理运筹学》第二版课后习题参考答案

《管理运筹学》(第二版)课后习题参考答案

第1章线性规划(复习思考题)

1.什么是线性规划？线性规划的三要素是什么？

答：线性规划(Lin ear Programmi ng, LP )是运筹学中最成熟的一个分支，并且是应用最广泛的一个运筹学分支。线性规划属于规划论中的静态规划，是一种重要的优化工具，能够解决有限资源的最佳分配问题。

建立线性规划问题要具备三要素：决策变量、约束条件、目标函数。决策变量是决策问题待定的量值，取值一般为非负；约束条件是指决策变量取值时受到的各种资源条件的限制，保障决策方案的可行性；目标函数是决策者希望实现的目标，为决策变量的线性函数表达式，有的目标要实现极大值，有的则要求极小值。

2.求解线性规划问题时可能出现几种结果，哪种结果说明建模时有错误？

答：(1)唯一最优解：只有一个最优点；

(2)多重最优解：无穷多个最优解；

(3)无界解：可行域无界，目标值无限增大；

(4)没有可行解：线性规划问题的可行域是空集。

当无界解和没有可行解时，可能是建模时有错。

3.什么是线性规划的标准型？松弛变量和剩余变量的管理含义是什么？

答：线性规划的标准型是：目标函数极大化，约束条件为等式，右端常数项b i 0，

决策变量满足非负性。

如果加入的这个非负变量取值为非零的话，则说明该约束限定没有约束力，对企业来说不是紧缺资源，所以称为松弛变量；剩余变量取值为非零的话，则说明“2型约束的左边取值大于右边规划值，出现剩余量。

4.试述线性规划问题的可行解、基础解、基可行解、最优解的概念及其相互关系。

答：可行解：满足约束条件AX b，X 0的解，称为可行解。

基可行解：满足非负性约束的基解，称为基可行解

可行基：对应于基可行解的基，称为可行基。

最优解：使目标函数最优的可行解，称为最优解。

最优基：最优解对应的基矩阵，称为最优基。

它们的相互关系如右图所示：

5 ?用表格单纯形法求解如下线性规划

8论3X2 x3 2

s.t. 6X-I X2 X38

X i, X2,X3

解：标准化maxZ 4X1 X22X3

8X I 3X2 X3 X4 2

s.t. 6x i X2 X3 X5 8

X i,X2,X3,X4,X5 0

列出单纯形表

故最优解为 X* （0,0,2,0,6）T，即X i 0,X2 0,X3 2，此时最优值为Z（X*） 4 .

6.表1 —15中给出了求极大化问题的单纯形表，问表中 a i,a2,C i,C2,d为何值及变量属于哪一类型时有：（1）表中解为唯一最优解；（2）表中解为无穷多最优解之一；（3）下一步迭代将以X1代替基变量X5 ; （4）该线性规划问题具有无界解；（5）该线性规划问题无可行解。

1 15

0 2 -1 -5 0 1 0 0 3 -3 0 0 1

0 0 0

解：(1) d 0,c1 0, c20 ;

(2) d 0,G 0,C2 0 (C1,C2中至少有一个为零)

(3)

d 3 C1 0, 0,—一；

4 a2

(4) C2 0,a10；

(5)&为人工变量，且G为包含M的大于零的数，- —;或者x为人工变量,

4 a2

且C2为包含M的大于零的数，a i 0,d 0 .

7 ?用大M法求解如下线性规划

X1 2x

2

X3 18

2x1 X

2 3x

3 16

s.t.

X1 X2 X3 10

X1,x 2> X3 0

解：加入人工变

量,

进行人造基后的数学模型如下X1 2X2X3 X4 18

2x1 X

2 3X

3 X5 16

s.t.

10

X1 X2 X3 X6

X i 0 (i 1,2, ,6) 列出单纯形表

-M

14/3

1/3

[2/3] 0 0

—1/3 1

14/2

1 —1/2

0 0 1 1/2 —5/2 —

6

3

[1/2] 0 1 0 1/2

—1/2

6 3

7 1/2 1 0 0 —1/2 3/2

14

1/2

0 0 0 —3/2

4 0 0 1 1 1 —3

5

6

1 0 2

0 1

—1

3

4 0 1 —1 0 —1 2

—1

—2

—1 — M

故最优解为 X* (6,4,0,4,0,0)T

，即 X i 6,X 2 4, X 3 0，此时最优值为 Z(X*)

42 .

8. A , B , C 三个城市每年需分别供应电力 320, 250和350单位，由I , II 两个电

站提供，它们的最大可供电量分别为 400单位和450单位，单位费用如表1 —16所示。 由于需要量大于可供量，决定城市A 的供应量可减少0?30单位，城市B 的供应量不变, 城市C 的供应量不能少于270单位。试建立线性规划模型，求将可供电量用完的最低总 费用分配方案。

表1 —16

单位电力输电费(单位：元)

城市^ A B C I 15 18 22 II

21

25

16

解：设X j 为“第i 电站向第j 城市分配的电量” (i=1,2; j=1,2,3)，建立模型如下:

9.

某公司在3年的计划期内，有4个

建设项目可以投资：项目I 从第一年到第三年 年初都可以投资。预计每年年初投资，年末可收回本利

120%，每年又可以重新将所获本

X 11

400

X

21 450 X 11

290

X 11 s.t. X

12

X 13 X 13 X j

0,

i

x 21 320

x 22 250 x 23 270 x 23 350

1,2; j

X

22

X

23

X

21

利纳入投资计划；项目II 需要在第一年初投资，经过两年可收回本利150%，又可以重新 将所获本利纳入投资计划，但用于该项目的最大投资不得超过 20万元；项目III 需要在

第二年年初投资，经过两年可收回本利 160%，但用于该项目的最大投资不得超过 15万 元；项

目IV 需要在第三年年初投资，年末可收回本利

140%，但用于该项目的最大投资

不得超过10万元。在这个计划期内，该公司第一年可供投资的资金有 30万元。问怎样

的投资方案，才能使该公司在这个计划期获得最大利润？

解：设X i ⑴表示第一次投资项目i ，设X i ⑵表示第二次投资项目i ，设X i ⑶表示第三次 投资项目i ,（i=1,2,3,4）,则建立的线性规划模型为

10. 某家具制造厂生产五种不同规格的家具。每种家具都要经过机械成型、打磨、 上漆

几道重要工序。每种家具的每道工序所用的时间、每道工序的可用时间、每种家具 的利润由表

1 —17给出。问工厂应如何安排生产，使总利润最大？

表1 —17

家具生产工艺耗时和利润表

生产工序

所需时间（小时）

每道工序可用时 间（小时）

1

2 3 4 5 成型 3 4 6 2 3 3600 打磨 4 3 5 6 4 3950 上漆 2 3 3 4 3

2800

利润（百元）

2.7

3

4.5

2.5

3

解：设X i 表示第i 种规格的家具的生产量（i=1,2,…,5）,则

3x 1 4X 2

6X 3 2X 4 3X

5

3600 4X 1 3X 2 5x 3

6X 4

4X 5

3950 s.t.

2x 1 3X 2 3X

3

4X 4 3X

5

2800

X i 0,i 1,2, ,5

通过 LINGO 软件计算得：X 1

0,X 2 38以 254, X 4 0, X 5 642,Z 3181 .

11.

某厂生产甲、乙、

30 (3) (1) (2)

x-i x 4 1.2x-i

1.5xy '1.2X 1

(1)

30 X 1

(1)

xj

s.t.

(1)

X 2

20

x 31)

15

(1)

X 4 10

x (1)

,x (2)

(3) ,X

i

0,i 1,2,3,4

通过LINGO 软件计算得：x （1）

10, x 21)

20, x 31)

0, x 1

(2)

12,X ；

2)

⑴

X 1

（1

X

2 X 1(2)

xf 1.2X !(1)

30 X 1⑴ X 2

1)

X

1

44

(2)