高考数学指南：转化与化归思想在数学答题中的应用（含范例详解）
转化与化归思想在高中数学中的应用
考 点 聚 焦
管 昭 岛 昭 国 圆圈 宙 岛 （ ０ ） 团 昏（ ０ ） 圈 国 国
■ 曹利 霞
转化就 是数学命题 由一种形式 向另一种形式 的 变换过 程 ，化 归就是把待解决 的问题通过某种转化 过程归结 为一类 已经解决 或 比较容 易解决 的问题 。 转化与化 归思想是 中学数 学最基本 的思想方 法 ， 堪 称数学思想的精髓 所在 ， 因为数形结合思想 、 函数与 方程思想 、分类讨论 思想都是转化与化 归思 想的具 体体现 ， 各种变换 的方法 、 分析法 、 反证法 、 待定系数 法、 构造法等都是转化与化归 的手段 。 下面谈 谈转 化与化归思想 在高中数 学应 用中主 要 涉及 的 基 本类 型 。
１ ． 正 与 反 的 相 互 转 化
表 面看来似乎 只有相 等的数量关 系 ，根据这些相 等 关系又难以解决 问题 ， 但若能挖掘其 中的不等关系 ， 建立不等式（ 组） ， 往往能获得简捷求解的效果 。
例３ 已知都是实数 ，且０ 、 ｖ ／ Ｔ 二 ＋ ６ 、 嚼 ＝ １ ， 求证 ： ａ ２ ＋ ｂ ２ ： １ 。 分析 ： 利用均值不等式先得到一个不等关系 ， 再 结合已知中的相等关系寻求ｎ 与６ 之 间的关系 。
解： ． ． ． ０ ～
’ ． ．
≤
２
， ６ ～
≤
２
．
ａ ｘ ／ １ 一 ｂ ＋ ６ ｘ ／ １ 一 ａ ２ ≤１ 。又 ａ ｘ ／ １ 一 ｂ ＋ ６ 、 ／ １ 一 ＝
对于那些从“ 正面进攻 ” 很难奏效或运算 比较繁 琐的问题 ， 可先攻其反 面， 运用补集思想从而使正面 得 以解 决 。 例 １ 某 射手射击 １ 次击 中目标 的概率 是０ ． ９ ， 他 连续射击４ 次且 他各次射击 是否击 中 目标是相 互独 立 的， 则他至少击 中 目标 １ 次的概率为— — 。 分析 ： 至少击 中 目标一次 的情况包括 １ 次、 ２ 次、 ３ 次、 ４ 次击 中 目标 共 四种情 况 ，可转 化 为其对 立事 件—— “ 一次都未 中” 来求解 。 略解 ： 由上述 分析可知 ， 他 四次射击 未中 １ 次 的 概率Ｐ ｉ ＝ Ｃ ４ ０ ． １ ＝ Ｏ ． １ ４ ， 他至少 射击 击 中 目标 １ 次 的概率 为 １ 一 Ｐ １ ＝ １ —
“转化与化归”思想在高中数学解题教学中的应用
解题研究２０２３年１２月上半月㊀㊀㊀转化与化归 思想在高中数学解题教学中的应用◉哈尔滨师范大学教师教育学院㊀李㊀硕㊀㊀转化与化归 思想是高学数学中的一种重要的数学思想,运用非常广泛,尤其是一些特殊的问题,运用 转化与化归 思想解题可以提高效率,同时还可以降低问题解决的难度．因此,在数学课堂引入并应用转化与化归思想,能够让学生在学习数学及解题的过程中,加深对数学概念的理解,同时也能有效锻炼数学思维,提高学习效率,进一步发展数学核心素养．在高中数学的解题过程中,基于 转化与化归 思想的三大原则,主要运用的解题方法包括特殊与一般的转化㊁命题的等价转化,以及函数㊁方程㊁不等式之间的转化等一些常见的转化方法．１特殊与一般的转化将一般问题进行特殊化处理,可使问题的解决变得更为直接和简便,并且还能从特殊情况中寻找问题解决的常规思维;除此之外,对特殊性问题进行概括性研究,实现特殊问题一般化,也能从宏观与全局的角度把握特殊性问题的普遍规律,并能有效地解决特殊性问题．例１㊀ 蒙日圆 涉及几何学中的一个著名定理,该定理的内容为:椭圆上两条互相垂直的切线的交点必在一个与椭圆同心的圆上,该圆称为原椭圆的蒙日圆．若椭圆C :x ２a ＋１＋y ２a ＝１(a ＞０)的离心率为１２,则椭圆C 的蒙日圆的方程为(㊀㊀)．A．x ２＋y ２＝９㊀㊀㊀㊀㊀B ．x ２＋y ２＝７C ．x ２＋y ２＝５D．x ２＋y ２＝４分析:根据题目中的已知条件,在椭圆上,两条相互垂直的切线可以随意选择,但其交点位于与椭圆同心的圆却是唯一的,也即答案是唯一的．由此,可以通过选取一般问题的特殊情形找到一般的解题思路,不妨利用过椭圆的右顶点和上顶点的两条切线进行解题．解:因为椭圆C :x ２a ＋１＋y ２a＝１(a ＞０)的离心率为１２,所以１a ＋１＝１２,解得a ＝３．所以椭圆C 的方程为x ２４＋y ２３＝１,且椭圆C 的上顶点为A (０,３),右顶点为B (２,０),则椭圆在A ,B 两点的切线方程分别为y ＝３和x ＝２,这两条切线的交点坐标为M (２,３)．由题意可知,交点M 必在一个与椭圆C 同心的圆上,可得与椭圆C 同心的圆的半径r ＝２２＋(３)２＝７．所以椭圆C 的蒙日圆方程为x ２＋y ２＝７．故选:B ．以问题的特征为依据,对命题进行转化,将原问题转化为与之相关的㊁容易解决的新问题,这也是解决数学问题常见的转化思路,并且可以通过这种转化逐步培养识别关键信息的能力．２命题的等价转化把题目中已有的条件或者结论进行相应的转化,化难为易,是解决较难问题常用的转化手段．其主要方法包括:数与形的转化㊁正与反的转化㊁常量与变量的转化㊁图形形体及位置的转化等．例２㊀由命题 存在x ０ɪR ,使e |x －１|－m ɤ０是假命题,得m 的取值范围是(－ɕ,a ),则实数a 的值是．分析:利用转化思想可以将命题 存在x ０ɪR ,使e |x －１|－m ɤ０ 是假命题转化为 对任意x ɪR ,e|x －１|－m ＞０是真命题,由此得出m ＜e |x －１|恒成立,进而通过m 的取值范围来求a 的值．解:由命题 存在x ０ɪR ,使e |x －１|－m ɤ０是假命题,可知 对任意x ɪR ,e |x －１|－m ＞０是真命题,由此可得m 的取值范围是(－ɕ,１),而(－ɕ,a )与(－ɕ,１)为同一区间,故a ＝１．例３㊀若对于任意t ɪ[１,２],函数g (x )＝x ３＋(m ２＋２)x ２－２x 在区间(t ,３)上总不为单调函数,则实数m 的取值范围是．分析:根据函数g (x )＝x ３＋(m ２＋２)x ２－２x 在区间(t ,３)上总不为单调函数,可以利用正难则反的转化思想先找出g (x )在(t ,３)上单调的条件,再利用补集思想求出m 的取值范围．８５２０２３年１２月上半月㊀解题研究㊀㊀㊀㊀解:求得g ᶄ(x )＝３x ２＋(m ＋４)x －２．若g (x )在(t ,３)上单调递增,则g ᶄ(x )ȡ０,即３x ２＋(m ＋４)x －２ȡ０,亦即m ＋４ȡ２x－３x 在x ɪ(t ,３)上恒成立．故m ＋４ȡ２t－３t 在t ɪ[１,２]上恒成立,则m ＋４ȡ－１,即m ȡ－５．若g (x )在(t ,３)上单调递减,则g ᶄ(x )ɤ０,即m ＋４ɤ２x－３x 在x ɪ(t ,３)上恒成立,所以m ＋４ɤ２３－９,即m ɤ－３７３．综上,符合题意的m 的取值范围为－３７３＜m ＜－５．根据命题的等价性对题目条件进行明晰化处理是解题常见的思路;对复杂问题采用正难则反的转化思想,更有利于问题得到快速解答．３函数㊁方程㊁不等式之间的转化函数与方程㊁不等式之间有着千丝万缕的关联,通过结合函数y ＝f (x )图象可以确定方程f (x )＝０,不等式f (x )＞０和f (x )＜０的解集．例４㊀若２x －２y＜３－x －３－y ,则(㊀㊀)．A．l n (y －x ＋１)＞０B ．l n (y －x ＋１)＜０C ．l n |x －y |＞０D．l n |x －y |＜０分析:由题意,可将２x －２y＜３－x －３－y 转化为２x －３－x ＜２y－３－y ,进而实现不等式与函数之间的转化,从而解得答案．解:由２x －２y ＜３－x －３－y ,得２x －３－x ＜２y －３－y ．故构造函数y ＝２x －３－x ,即y ＝２x －(１３)x．由于函数y ＝２x－(１３)x 在R 上单调递增,因此x ＜y ,即y －x ＋１＞１．所以l n (y －x ＋１)＞l n １＝０．故选择:A ．例５㊀已知函数f (x )＝e l n x ,g (x )＝１ef (x )－(x ＋１)．(e ＝２．７１８ )(１)求函数g (x )的最大值;(２)求证:１＋１２＋１３＋ ＋１n ＞l n (n ＋１)(n ɪN ＋)．分析:第(１)问要求函数g (x )的最大值,关键在于需要运用转化与划归思想,通过g ᶄ(x )得出函数g (x )单调性,即可求出g (x )的最大值．将第(１)问得出的g (x )最大值－２转化成l n x －(x ＋１)ɤ－２,即l n x ɤx －１(当且仅当x ＝１时等号成立),再利用换元法最终证明出结论．解:(１)由g (x )＝１ef (x )－(x ＋１),即g (x )＝l n x －(x ＋１),得g ᶄ(x )＝１x－１(x ＞０)．令g ᶄ(x )＞０,则０＜x ＜１;令g ᶄ(x )＜０,则x ＞１．所以,函数g (x )在区间(０,１)上单调递增,在区间(１,＋ɕ)上单调递减．故g (x )的最大值为＝g (１)＝－２．(２)证明:由(１)知x ＝１是函数g (x )的极大值点,也是最大值点,故g (x )ɤg (１)＝－２．所以l n x －(x ＋１)ɤ－２,即l n x ɤx －１(当且仅当x ＝１时等号成立)．令t ＝x －１,则有t ȡl n (t ＋１)(t ＞－１)．取t ＝１n (n ɪN ＋),则有１n ＞l n (１＋１n)＝l n(n ＋１n )．故１＞l n２,１２＞l n ３２,１３＞l n ４３,,１n＞l n(n ＋１n )．上面n 个不等式叠加,得１＋１２＋１３＋ ＋１n＞l n (２ˑ３２ˑ４３ˑ ˑn ＋１n)＝l n (n ＋１)．故１＋１２＋１３＋ ＋１n ＞l n (n ＋１)(n ɪN ＋)．在分析此类题目的过程中,利用函数㊁方程㊁不等式进行转化与化归更有利于问题的解决,因此,利用转化与划归思想不仅能让整个数学知识的体系变得更加紧密,同时也能对学生从系统性角度掌握数学知识之间的联系提供非常大的帮助．转化与化归思想所蕴含的内容丰富且深奥,为高中数学问题的解决提供了多种思路,对高中数学的学习也有极大的指导与启发作用,值得我们不断地探索与研究．因此,在解决高中数学问题的过程中,要灵活运用 转化与化归 的解题思想．有些数学问题看似复杂,但通过分析可知出题者采用的是 障眼法 ,其中有的是多余或无用的条件．同时,在高中数学课堂教学中,教师可以在解题教学过程中渗透转化与化归思想,加强学生在特殊与一般转化㊁命题的等价转化以及函数㊁方程㊁不等式之间的转化等方面的技能,逐步锻炼学生简化题目内容的能力和意识,最大程度提高解题效率．Z９５。
高中数学解题中化归思想的运用
高中数学解题中化归思想的运用
化归思想是高中数学解题中常用的一种策略，通过巧妙的变量替换和代数运算，将原题化简至更简单的形式，从而更容易解决问题。
下面将介绍化归思想在高中数学解题中的具体应用。
化归思想可以应用于各个数学分支，如代数、几何、概率等。
在解代数方程或方程组的问题中，化归思想经常被用来简化方程的形式，从而使方程更易于解。
在求解代数方程式时，可以通过变量替换将复杂的方程转化为简单的形式。
在求解关于x的一元二次方程时，可以通过令x=t-1来将一元二次方程转化为一元一次方程，从而更容易解出方程的解。
在解方程组的问题中，化归思想可以通过代换、相减、相加等操作将一个复杂的方程组化简为一个或多个简单的方程。
在二元一次方程组的解题中，可以通过相减或相加将两个方程的某个变量消去，从而得到一个只含有一个变量的方程，方便解出变量的取值。
在几何问题中，化归思想可以通过变换图形的形式，将原问题转化为一个更简单的几何问题。
在解决平行线和穿过平行线的直线的问题时，可以通过使用相似三角形的性质来化简几何关系，从而简化问题的解决过程。
在概率问题中，化归思想可以通过计算条件概率或利用性质将复杂的概率问题转化为一个简单的概率问题。
在解决带有条件概率的问题时，可以应用化归思想将原问题转化为一个不带有条件概率的问题，然后根据条件概率的性质进行计算。
化归思想的运用需要灵活的思维和良好的代数计算能力。
在使用化归思想时，需要审题仔细，理解问题的本质，并根据问题的具体要求选择适当的变量替换和代数运算方法。
我们还要遵循数学的规律和原理，保证化简后的问题与原问题是等价的，不会引入新的约束条件或丢失原有的信息。
高考数学题中蕴含的转化与化归思想
高考数学题中蕴含的转化与化归思想【摘要】高考数学题中蕴含着转化与化归思想，这些思想在解题过程中起着重要的作用。
转化思想可以帮助我们将复杂的问题简化为易解的形式，而化归思想则能够将抽象的问题具体化，从而更容易理解和解决。
通过一些实际的例子，我们可以看到这两种思想在高考数学中的应用，例如利用变量代换、公式变形等方法来解决复杂的数学问题。
为了培养学生的转化与化归思想，可以通过多做题、引导思考、训练技巧等方式来提升学生的解题能力。
转化与化归思想在高考数学中具有重要的意义，未来的发展方向应该是更加注重培养学生的解决问题的能力。
转化与化归思想在高考数学中的重要性不言而喻，学生应该加强对这两种思想的理解和应用，以提高数学解题能力。
【关键词】高考数学题，转化，化归思想，重要性，应用举例，训练方法，培养，未来发展方向，总结1. 引言1.1 高考数学题的特点高考数学题的特点在于其题目形式多样，涵盖了代数、几何、概率统计等各个方面的知识点，考查学生对数学知识的综合运用能力。
高考数学题通常设计精巧，题目设置灵活，既有基础题目考查学生基本计算能力，又有探究性题目考查学生的思维能力和解决问题的方法。
高考数学题难度适中，旨在考查学生对知识的掌握程度和运用能力，而非考查学生的记忆能力。
考生在应对高考数学题时，需要善于分析问题，灵活运用数学知识进行解题。
转化与化归思想在高考数学中显得尤为重要。
转化是指将问题从一个形式转化为另一个形式，为解题提供新的角度和思路；化归是指将复杂问题化简为简单问题，减少解题难度。
运用转化与化归思想可以帮助考生更好地理解问题、发现问题的本质、找到解题的方法。
高考数学题的特点主要体现在题目设计的多样性和灵活性，并且难度适中。
考生在应对这些问题时，需要善于运用转化与化归思想，帮助解题更加高效和准确。
1.2 转化与化归思想的重要性转化与化归思想在高考数学中的重要性，是因为这两种思想是高考数学题目中常见的解题方法，能够帮助学生在解题过程中更快更准确地找到解题思路。
转化与化归思想在数学解题中的应用
转化与化归思想在数学解题中的应用作者：黄淑红来源：《数学教学通讯·中等教育》2015年第09期摘要：数学中的转化与化归思想是指将陌生问题向已知、熟悉的问题转化，通过一般与特殊的转化、等与不等的转化、变量与常量的转化、数与形的转化、正与反的转化、抽象与具体的转化，使问题化难为易. 特殊化常表现为范围的收缩或限制，即从较大范围的问题向较小范围的问题过渡，或从某类问题向其子类某问题的过渡，从而使问题迎刃而解.关键词：转化；化归；一般；特殊数学中转化与化归的思想方法，指的是在研究和解决有关数学问题时，通过某种转化过程，归结到一类已经解决或比较容易解决的问题上，最终求得问题的答案的一种手段和方法. 转化与化归思想方法的特点是实现问题的规范化、模式化，以便达到应用已知的理论、方法和技巧解决问题的目的.数学教学中常遇到一些结构复杂，抽象概括的数学问题，这类题目直接求解较为困难，若把原题做适当的变更，即把原题目变更成一个或几个简单易于解答的题目，通过对变更后题目的研究，即转化与化归之后可成功地完成对原题目的求解. 近年来，高考数学考题越来越注重以思想方法为主的考查方向，在各种数学思想方法中，转化与化归思想运用篇幅的比重也越来越大.转化与化归思想方法在中学数学应用中主要涉及的基本类型有：一般与特殊的转化、等与不等的转化、变量与常量的转化、数与形的转化、正与反的转化、抽象与具体的转化.本文结合实例展示一般与特殊的转化即特殊化策略的妙用.[⇩] 一般与特殊的转化的基本思想视原问题为一般，构造其特殊问题，通过对特殊问题的解决而获得原问题的解决策略即为一般与特殊的转化思想. 相对于”一般”而言，”特殊”问题往往显得简单、直观和具体，容易解决，并且在特殊问题的解决过程中，常常孕育着一般问题的求解策略. 特殊化常表现为范围的收缩或限制，即从较大范围的问题向较小范围的问题过渡，或从某类问题向其子类某问题的过渡.特别在解答选择、填空题时，当题目已知条件含有某些不确定的量，但结论唯一或题设条件中提供的信息暗示答案是一个定值时，可以将题中不定量选取一些符合条件的恰当特殊值（或特殊函数，或特殊角、特殊数列、图形特殊位置、特殊点、特殊方程等）将字母具体化，把一般形式变为特殊形式，从而得出探求的结论. 这样可大大地简化推理、论证的过程.问题1 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，如果a，b，c成等差数列，则=__________.分析：此题答案唯一，若将题设条件加强，即三边成等差数列的直角三角形或等边三角形，则较易得到结果.解法一：取特殊值，a=3，b=4，c=5，则cosA=，cosC=0，=.解法二：取特殊角，A=B=C=60°，则cosA=cosC=，=.本题若不用特殊值法，而是运用余弦定理将cosA，cosC转化为边的关系，则会陷入烦琐的计算而不易得到正确结果.问题2 已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足=sinA-sinB，则C=__________ .分析：题目中给出了△ABC的边和角满足的一个关系式，因此可考虑一些特殊的三角形是否满足关系式. 如：等边三角形、直角三角形等，若满足，则可求出此时角C的大小.解：当△ABC是一个等边三角形时，显然满足=sinA-sinB，而此时C=60°，故角C的大小为60°.当然，此题还可运用正弦定理将角的关系转化为边的关系，结合余弦定理求得角C的大小，但求解过程相对曲折.解：由=sinA-sinB可得=a-b，整理得a2-c2=ab-b2，即a2+b2-c2=ab，由余弦定理得cosC==，所以C=60°.数学题目有的具有一般性，有的具有特殊性，解题时，有时需要把一般问题化归为特殊问题，有时需要把特殊问题化归为一般问题.问题3 设等比数列{an}的公比为q，前n项和为Sn，若Sn+1，Sn，Sn+2成等差数列，则q=__________.分析：由于该题为填空题，我们不妨用特殊情况来求q的值. 如：S2，S1，S3成等差数列，求q的值.这样就避免了一般性的复杂运算.略解：S2=a1+a1q，S1=a1，S3=a1+a1q+a1q2.因为S2+S3=2S1，所以2a1+2a1q+a1q2=2a1（a1≠0）.所以q=-2或q=0（舍去）.点评：当问题难以入手时，应先对特殊情况或简单情形进行观察、分析，发现问题中特殊的数量或关系结构或部分元素，然后推广到一般情形，以完成从特殊情形的研究到一般问题的解答的过渡，这就是特殊化的化归策略.问题4 在数列{an}中，a1=2，an+1=λan+λn+1+（2-λ）2n（n∈N*），其中λ>0，求数列{an}的通项公式.解：a2=2λ+λ2+（2-λ）×2=λ2+22，a3=λ（λ2+22）+λ3+（2-λ）×22=2λ3+23，a4=λ（2λ3+23）+λ4+（2-λ）×23=3λ4+24，由此猜想数列{an}的通项公式为an=（n-1）λn+2n，n∈N*.下面用数学归纳法证明.（1）当n=1时，a1=2，等式成立.（2）假设当n=k（k≥2且k∈N*）时等式成立，即ak=（k-1）λk+2k，那么ak+1=λak+λk+1+（2-λ）2k=λ（k-1）λk+λ·2k+λk+1+2k+1-λ·2k=[（k-1）+1]λk+1+2k+1.这就是说，当n=k+1时等式成立.由（1）（2）可知，an=（n-1）λn+2n对任意n∈N*都成立.本题求an时采用了特殊化的方法，这是归纳——猜想——证明的归纳推理，当问题难以入手时，应先对特殊情况进行研究.问题5 ，，（其中e为自然常数）的大小关系是__________.解：由于=，=，=，故可构造函数f（x）=，于是f（4）=，f（5）=，f（6）=，而f ′（x）=′==，令f ′（x）>0得x2，即函数f（x）在（2，+∞）上单调递增，因此有f（4）通过以上分析和讨论可知，特殊化的解题策略没有完整的章法可循，但可得到一些有益的借鉴. （1）当问题较难入手时，可以先找出一种使结论显然成立的情形或简单情形，由此获得启示或为一般情形提供某种对比，从而进一步求得问题的解答；（2）特殊化策略要求注意抓住问题中的特殊因素，这样，往往可以直接切中问题的要害；（3）在特殊化时，不应对任意的特例进行考察，应注意那些我们较为熟悉的，较有把握的对象，即特殊化应具有目的性.。
转化与化归在高中数学中的应用
转化与化归在高中数学中的应用作者：谢勇华来源：《广东教育·高中》2017年第04期数学中的转化与化归思想方法，指在研究和解决有关数学问题时，采用某种手段将问题通过变换使之转化，归结到一类已经解决或比较容易解决的问题，最终求得问题的解答的一种手段和方法.转化与化归的思想方法的特点是实现问题的规范化，模式化，以便应用已知的理论，方法和技巧达到问题的解决.在化归思维过程中，我们对原来问题中的条件进行了简化，分化，转化，特殊化的变形，最后将原问题归结为简单的，熟悉的问题而得到解决.下面结合实例介绍转化与化归思想的应用与常用的转化方法.一、高维与低维的转化与化归在数学解题中，对立体几何问题（三维）常常需要化归到熟知的平面几何问题（二维），化归的手段主要有平移、旋转、展开、射影和截面等；对于高次方程或不等式常常需要化归到熟知的一次方程或不等式的求解，化归的手段是降次.例1. 如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，点E在线段PC上，PC⊥平面BDE.（1）证明：BD⊥平面PAC；（2）若PA=1，AD=2，求二面角B-PC-A的正切值.解析：（1）∵PA⊥平面ABCD，BD？奂平面ABCD，∴PA⊥BD.又∵PC⊥平面BDE，BD？奂平面BDE，∴PC⊥BD，而PA？奂平面PAC，PC？奂平面PAC，且PA∩PC=P，∴BD⊥平面PAC.（2）∵BD⊥平面PAC，AC？奂平面PAC，∴BD⊥AC，于是矩形ABCD是正方形，AB=AD=2，AC=BD=2■=2OC=2OB.由PC⊥平面BDE，BE，OE？奂平面BDE，∴BE⊥PC，OE⊥PC.于是∠BEO是二面角B-PC-A的平面角，又BO⊥平面PAC，OE？奂平面PAC？圯BO⊥OE，从而tan∠BEO=■.易知PA⊥AC，在Rt？驻PAC中有：PC=■=3，在Rt？驻OEC中，OE=OC·sin∠ACP=OC·■=■×■=■，于是tan∠BEO=■=■=3，从而二面角B-PC-A的平面角的正切值为3.点评：在立体几何中常将面面垂直转化为线面垂直、线面垂直转化为线线垂直，将空间中的二面角、斜线与平面所成角转化为平面上的角来求解.变式1.“神舟六号”飞船上使用一种非常精密的滚球轴承，如图所示，该滚球轴承的内外圆的半径分别为1mm、3mm，则这个轴承里最多可放滚珠个.解析：如图，设两滚球P，Q相切于点，轴承中心为O，连接OT，设滚球半径为d，内、外圆半径分别为r、R，则R=3，d=r=1.在Rt？驻OTP中，∠POT=■，OP=2，PT=1，则有sin■=■=■，得？琢=2×■=■，即在圆心角为■的轨道内，可放一个滚珠，故圆心角为周角（2π弧度）时可放的滚珠为■=■=6个.点评：本题考查了球体知识的相切问题，通过作轴截面将空间立体图形问题转化为平面图形问题，利用平面几何的知识得以顺利解决.二、数与形的相互转化与化归在数学解题中，一方面，许多数量关系的抽象概念若能赋予几何意义，往往变得直观形象，有利于解题途径的探求；另一方面，一些涉及图形的问题如能化为数量关系的研究，又可以获得简捷而一般的解法.这就是数形结合的相互转化.数与形转换常有三条途径：（1）建系：通过坐标系的建立，引入数量化静为动，以动求解；（2）转化：通过分析数与式的结构特点，把问题转化到形的角度来考虑，如将■转化为勾股定理或平面上两点间的距离等；（3）构造：通过对数（式）与形特点的分析，联想相关知识构造图形或函数等，比如构造一个几何图形，构造一个函数，构造一个图表等.例2. 设函数f（x）=-a+■，g（x）=ax+a，若恒有f（x）≤g（x）成立，试求实数a的取值范围.解析：由题意得f（x）≤g（x）？圳■≤ax+2a，令y1=■……①y2=ax+2a ……②①可化为（x-2）2+y21=4（0≤x≤4，y1≥0），它表示以（2，0）为圆心，2 为半径的上半圆；②表示经过定点（2，0），以a为斜率的直线，要使f（x）≤g（x）恒成立，只需①所表示的半圆在②所表示的直线下方就可以了（如图所示）. 当直线与半圆相切时就有■=2，即a=±■，由图可知，要使f（x）≤g（x）恒成立，实数a的取值范围是a≥■.点评：本题通过对已知不等式变形处理后，挖掘不等式两边式子的几何意义，通过构造函数，运用数形结合的思想来求参数的取值范围，不仅能使问题变得直观，同时也起到了化繁为简的效果.变式2.（衡水中学2017届高三上学期一调理科）若实数a，b，c，d满足（b+a2-3lna）2+（c-d+2）2=0，则（a-c）2+（b-d）2的最小值为（）A. ■B. 2C. 2■D. 8解析：因为（b+a2-3lna）2+（c-d+2）2=0，所以b=3lna-a2，且d=c+2，设b=y，a=x，则有y=3lnx-x2，由d=c+2，设d=y，c=x，则有y=x+2，所以（a-c）2+（b-d）2表示曲线y=3lnx-x2与直线y=x+2上两点间距离的平方值. 求（a-c）2+（b-d）2的最小值即曲线上一点到直线距离最小值的平方.对y=3lnx-x2求导，得y′=■-2x，与直线y=x+2平行的切线斜率k=■-2x=1，解得x=1或x=-■（舍去），故切点坐标为（1，-1），则切点到直线y=x+2的距离为L=■=2■，所以L2=8，即（a-c）2+（b-d）2最小值为8. 故选D.点评：因为所求（a-c）2+（b-d）2有明显的几何意义，所以将条件转化为两曲线上的点的坐标间的关系，从而问题转化为求两曲线上动点间距离的最小值，考察了利用导数研究曲线在某点的切线方程及其应用.三、一般与特殊的相互转化与化归在数学解题中，一方面，一般成立，特殊必成立，因此解决一些一般性问题时，赋予某些特殊求解，可以起到事半功倍的作用.另一方面，从特殊可以探索到一般性的规律.这种辩证思想在高中数学中普遍存在，经常运用，这也是化归思想的体现.一般问题特殊化，使问题处理变得直接、简单.特殊问题一般化，可以使我们把握问题的一般规律，从而达到成批处理问题的效果.例3. 设等比数列{an}的公比为q，前n项和为Sn，若Sn+1、Sn、Sn+2成等差数列，则q= __________.解析：不妨设n=1，则S2=a1+a1q，S1=a1，S3=a1+a1q+a1q2.∵S2+S3=2S1，∴2a1+2a1q+a1q2=2a1（a1≠0），∴q=-2或q=0（舍去）.点评：由于该题为填空题，我们可以用特殊情况来求q的值，这样就避免了一般性的复杂运算.变式3.（河南省2017届高三天一大联考（一））已知函数f（x+■）=■，则f（■）+f （■）+…+f（■）=（）A. 2017B. 2016C. 4034D. 4032解析：先化简f（x+■）= ■，得到f（x+■）=■=2+■，注意到g（x）=■为奇函数，故f （x+■）关于（0，2）对称，函数f（x）图像关于点（■，2）成中心对称图形，对称的两点的纵坐标和为4，即f（x）+f（1-x）=4.所以f（■）+f（■）+…+f（■）=[f（■）+f（■）]+[f（■）+f（■）]+…+[f（■）+f（■）]=4×■=4032，故选D.点评：本题从所求式子中自变量的特点：■+■=■+■=…=■+■=1，容易联想到倒序相加法，从而寻求一般性结论即f（x）与f（1-x）的关系. 即将特殊问题一般化，可以使我们从宏观整体的高度把握问题的一般规律，从而达到成批的处理问题的效果.四、正与反的相互转化与化归一些数学问题，如果从条件出发，正面考虑较难较繁，不妨调整思考方向，从问题的结论入手，或从问题的条件与结论的反面入手进行思考，运用补集思想，迂回地得到解题思路，从而使正面得以解决.如含有“至多”“至少”及否定性命题、对立事件的概率、间接法求解排列组合问题等，举不胜举. “正难则反”是一种重要的解题策略，灵活用之，能使许多难题和生活中的问题获得巧解.例4. 若对于任意t∈[1，2]，函数f（x）=x3+（■+2）x2-2x在区间（t，3）上总不为单调函数，则实数m的取值范围是__________.解析：f′（x）=3x2+（m+4）x-2，若f（x）在区间（t，3）上总为单调函数，则①f′（x）≥0在（t，3）上恒成立，或②f′（x）≤0在（t，3）在上恒成立.由①得3x2+（m+4）x-2≥0，即m+4≥■-3x在x∈（t，3）上恒成立，所以m+4≥■-3t恒成立，则m+4≥-1，即m≥-5.由②得m+4≤■-3x在x∈（t，3）上恒成立，所以m+4≤■-9恒成立，则m≥-■.所以，函数f（x）在区间（t，3）上总不为单调函数的的取值范围为（-■，-5）.点评：否定性命题，常要利用正反的相互转化，先从正面求解，再取正面答案的补集即可.变式4. 在由数字0，1，2，3，4，5所组成的没有重复数字的四位数中，不能被5整除的数共有________个.解析：所有四位数有A15 ·A35=300个，末位为0时有A35=60个，末位为5时有个A14 ·A24=48个，∴满足题意的数共有300-60-48=192个.点评：不能被5整除的数要分类讨论，情况较多，这时我们不妨换一个角度，从反面入手考虑.注意到不能被5整除实质上是末位数字不是0，也不是5.用间接法.一般地，题目若出现多种成立的情形，则不成立的情形相对很少，从反面考虑较简单.五、整体与部分的相互转化与化归在一个数学问题中，整体和部分不可分割.整体是由部分构成，离开了部分，整体就不复存在.一方面将问题的局部分析清楚后，再整合成一个整体；另一方面也可以将问题放在一个更大范围内研究，当成它的局部，将大问题研究清楚了，原问题也就得到解决.如分类与讨论问题、分段函数问题、立体几何中的分割与补体等.例5.（河北石家庄二中2017届高三联考试题节选）设f（x）=ax2+2ax-ln（x+1），若f （x）+e-a>■在区间（0，+∞）内恒成立（e为自然对数的底数），求实数a的取值范围.解析：令g（x）=■-■，则g（x）=■>0（易证）.当a≤0，x>0时，f（x）=a（x2+2x）-ln（x+1）故当f（x）>g（x）在区间（0，+∞）内恒成立时，必有a>0.当00. 由（1）可知函数f（x）在（0，-1+■）上单调递减，即x∈（0，-1+■）时，f（x）当a≥■时，令h（x）=f（x）-g（x），x>0，则h′（x）=2ax+2a-■+■-■≥2ax+2a-■-■=■≥■>0.所以h（x）在x>0时单调递增，所以h（x）>h（0）=0恒成立，即f（x）>g（x）恒成立，满足题意。
转化与化归思想在数学解题中的应用
转化与化归思想在数学解题中的应用转化与化归思想，是将一个问题由难化易，由繁化简的过程。
是一种把待解决或未解决的问题，通过某种转化过程归结到一类已经能解决或比较容易解决的问题中去，最终求得问题解答的数学思想。
化归法和数形结合方法是转化思想在数学方法上的体现，是数学中普遍适用的重要方法。
转化与化归思想作为重要的数学思想之一，是中学数学中最重要的解题意识，在数学教学活动中充分注意这种意识的培养，可以提高学生的思维品质，培养学生的创新能力。
数学中的化归有其特定的方向，一般为：化复杂为简单；化抽象为具体；化生疏为熟悉；化难为易；化一般为特殊；化特殊为一般；化“综合”为“单一”；化“高维”为“低维”等。
在初中数学学习过程中化归思想存在解决问题的各个方面，是在数学学习过程中快速解决问题的有效途径。
一、数与形的转化数与形是密切相关的两个数学表象，它们是一一对应的关系，且相互依存、相互促进.在解决数学问题时，我们要把它们有机的结合起来，并相互转化。
化归思想在初中数学学习中的应用就是教会学生能够以动态的视角去学习相关的知识，能够发现知识之间的相关性，从而使得在初中数学中学习的知识都能够很好的融入到学生的知识体系中。
例如讲三角形、特殊四边形等形的问题时可以转化为数量关系来处理，就数论形；如图1两个正方形并列摆放，大正方形的边长是小正方形边长的2倍。
问题：只允许剪两刀，使裁剪后的图形能拼成一个大正方形。
这个问题很多学生看到后都进行了动手操作，这里画一条线，那里剪一下，试了很多次也不能找到正确答案。
实际上，我们只需把形转化为数，利用数的角度很容易就能理解明白，且迅速解决。
解决办法如图2.在学习函数问题时我们可以用函数图像来直观描述，以形究数，从而使问题简明易解。
例如，在讲解二次函数的性质及应用时，有这样一个问题：二次函数y=ax2+bx+c经过A（-1,0），B（0,4），C三点，C点在y轴正半轴上，且AB=OC,求（1）点C的坐标，（2）求出二次函数解析式，并求出顶点坐标，（3）当x取何值时，y＞0，y＜0，y=0？解决这个问题时一部分同学直接借助所给条件直接去求，这样既浪费时间，又不能清晰的理解。
化归与转化思想在高考数学解题中的运用
GUAN ＧＤONG JIAO YU GAO ZHONG2021年第2化归与转化思想在高考数学解题中的运用■甘肃省秦安县第二中学罗文军yxo化归与转换的思想，就是在研究和解决数学问题时采用某种方式，借助某种函数性质、图像、公式或已知条件将问题通过变换加以转化，进而达到解决问题的思想等价转化总是将抽象转化为具体，复杂转化为简单、未知转化为已知，通过变换迅速而合理的寻找和选择问题解决的途径和方法.1．化归与转化的思想方法：解决数学问题时，常遇到一些问题直接求解较为困难，通过观察、分析、类比、联想等思维过程，选择运用恰当的数学方法进行变换，将原问题转化为一个新问题（相对来说，对自己较熟悉的问题），通过新问题的求解，达到解决原问题的目的.2．化归与转化应遵循的基本原则：（1）熟悉化原则；（2）简单化原则；（3）和谐化原则；（4）直观化原则；（5）正难则反原则3．化归与转化的途径：（1）从问题的反面思考；（2）局部向整体的转化；（3）未知向已知转化；（4）固定向重组的转化；（5）抽象向具体转化；（6）个别向一般的转化；（7）数向形的转化；（8）定量向定性的转化；（9）主元向辅元的转化.以下结合一些经典试题，谈谈化归与转化思想在高三解题中的运用.题型一：化归与转化思想简单化原则的体现化归与转化思想简单化原则在解题中的体现主要有：（1）将比较代数式的大小的问题，运用同构法，通过构造函数，化归为利用函数的单调性根据自变量的大小比较函数值的大小或者根据函数值的大小比较自变量的大小；（2）将概率与统计问题化归为集合间的基本关系与基本运算问题.例1.若2a +log 2a ＝4b +2log 4b ，则（）A.a ＞2b B.a ＜2b C.a ＞b 2 D.a ＜b 2【解析】由指数幂的运算性质和对数的运算性质可得，2a +log 2a ＝4b +2log 4b ＝22b +log 2b ，又因为22b +log 2b ＜22b +log 22b ＝22b +1+log 2b ，所以2a +log 2a ＜22b +log 22b .令ｆ（ｘ）＝2x +log 2ｘ，由指数函数和对数函数性质以及函数单调性的性质可得ｆ（ｘ）在（0，+∞）上单调递增，由ｆ（a ）＜ｆ（2a ），可得a ＜2b .【评析】本题考查了指数幂和对数的运算，函数的单调性的性质，构造函数后，把问题化归与转化为根据函数单调性，由函数值的大小比较自变量的大小，体现了化归与转化思想的简单化原则.例2.设命题p ∶4x-3≤1，命题q ∶x 2-（2a+1）x +a （a +1）≤0.若劭p 是劭q 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是__________.【解析】由4x-3≤1，得１２≤x ≤１，记A ＝{x │１２≤x ≤１}；由x ２-（２a+1）x+a （a+1）≤0，可得a ≤x ≤a +1，记B ＝{x │a ≤x ≤a +1}.因为劭p 是劭q 的必要不充分条件，所以q 是p 的必要不充分条件，所以p 是q 的充分不必要条件，所以A 芴B ，所以a ≤１２，a+１≥11，解得0≤a ≤１２，所以实数a 的取值范围是[0，１２].【评注】本题的解答中，先把两个命题中的不等式的解集分别用集合A 和集合B 表示，再由劭p 是劭q 是的必要不充分条件转化为p 是q 的充分不必要条件，再转化为集合A 为集合B 的真子集，解得a 的范围.题型二：化归与转化思想直观化原则的体现化归与转化思想直观化原则在解题中的体现主要有：（1）画出函数图像后，利用函数图像研究函数的性质，进而直观的解决与函数有关的问题；（2）立体几何问题中，将立体问题平面化，画出轴截面或者中截面，利用平面几何问题破解题目.例3.设a ，b ∈R ，则|“a ＞b ”是“a a ＞b b ”的（）A.充要不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充要也不必要条件【解析】构造函数ｆ（ｘ）＝x x ＝ｘ２，ｘ≥0-x ２，ｘ＜1函数图像如图1，由图像可知ｆ（ｘ）＝x x 在R 上单调递增.当a ＞b 时，ｆ（a ）＞ｆ（b ），即a a ＞b b ，a ＞b 圯a a ＞b b .当ｆ（a ）＞ｆ（b ），即a a ＞b b 时，a ＞b ，a a ＞b b 圯a ＞b ，所以a ＞b 圳a a ＞b b ，“a ＞b ”是“a a ＞b b ”的充要条件，故选C.【评注】本题是一道比较复杂的充分必要条件问题，通过观察题目，通过类比和联想，运用化归与转化思想，构造函数ｆ（ｘ）＝x x 后，画出这个函数的图像，运用图像法判断这个函数在其定义域R 上为单调递增函数，把a 和b 看成这个函数的两个自变量，a a 和b b 分别看成这个函数的函数值ｆ（a ）29数学有数和ｆ（b），由增函数的性质可以得出，ａ＞b圳a a＞b b，所以ａ＞b是a a＞b b的充分必要条件，体现了化归与转化思想的简单化和直观化原则.例4.已知某个机械零件是由两个有公共底面的圆锥组成的，且这两个圆锥有公共点的母线互相垂直，把这个机械零件打磨成球形，该球的半径最大为1，设这两个圆锥的高分别为h1，h２，则h1+h２的最小值为________．【答案】22姨.【解析】由题意可知，打磨后所得半径最大的球是由这两个圆锥构成的组合体的内切球，内切球的半径R=1，如图为这个组合体的轴截面示意图，圆O为内切球的轴截面，E，F，G，H分别为切点，连接OA，OB，OC，OD，OE，OF，OG，OH，由题意可知AB⊥BC，AD⊥DC，AC＝h1+h2，R＝OE＝OF＝OG＝OH＝1，则S四边形ABCD＝S△AOB+S△BOC+S△COD+S△AOD，即AB×BC＝１２R×AB+１２R×BC+１２R×CD+１２R×AD＝１２R（2AB+2BC）＝R（AB+BC），所以AB×BC＝AB+BC.由基本不等式可得AB×BC＝AB+BC≥2AB×BC姨，则AB×BC≥4，当且仅当AB＝BC时等号成立．所以（h1+h2）2＝AC2＝AB2+BC2≥2AB×BC≥8，当且仅当AB＝BC时等号成立，故h1+h2的最小值为22姨.【评注】本题的解答运用了化归与转化的思想，通过研究组合体和其内切球的轴截面，把空间立体几何问题化归为平面几何问题，做到了把问题直观化的原则.题型三：化归与转化思想熟悉化原则的体现化归与转化思想熟悉化原则在解题中的体现主要有：（1）不等式题目中，把含一个参数的不等式恒成立问题，通过分离变量，化归为求函数在给定区间上的最值问题；（2）立体几何题目中，利用长方体或者正方体模型，把一些三棱锥、四棱锥和三棱柱的外接球问题化归为熟悉的长方体或者正方体的外接球问题.例5.若对任意的ｘ∈（0，+∞），ax-ln（2ｘ）≥1恒成立，则实数a的最小值是_______【解析】由已知可得，对任意的ｘ∈（0，+∞），a≥ln（2ｘ）+1ｘ恒成立，令g（ｘ）＝ln（2ｘ）+1ｘ，g′（ｘ）＝１ｘ·ｘ-ln（2ｘ）ｘ2＝1-ln（2ｘ）ｘ2，令g′（ｘ）＝0，则1-ln（2ｘ）＝0，则ｘ＝e2，当0＜ｘ＜e2时，g′（ｘ）＞0，g（ｘ）单调递增；当ｘ＞e2时，g′（ｘ）＜0，g（ｘ）单调递减，所以当ｘ＝e2时，g（ｘ）取得最大值g（ｘ）max＝g（e2）＝ln e+1e2＝4e，所以a≥4e，所以a的最小值为4e.【评注】本题的解答运用了分离变量法，分离变量后，构造函数后，把a≥g（ｘ）在（0，+∞）上恒成立等价转化为a≥[g（ｘ）]max（ｘ∈（0，+∞）），转化为求函数g（ｘ）在（0，+∞）上的最大值问题，g（ｘ）的最大值即为a的最小值，本题体现了化归与转化思想的熟悉化原则.例6.设数列{a n}的前n项为S n，a1＝1，当n≥2时，a n＝2a n S n-2S2n.（1）求数列{a n}的通项公式；（2）是否存在正数k，使（1+S1）（1+S2）…（1+S n）≥k2n+1姨对一切正整数n都成立？若存在，求k的取值范围，若不存在，请说明理由.解：（1）因为当n≥2时，a n＝2a n S n-2S2n，所以a n＝2S2n2S n-1，n≥2，所以（S n-S n-1）（2S n-1）＝2S2n，所以S n-S n-1＝-2S n S n-1，所以１S n-１S n-1＝2，n≥2，所以数列{１S n}是以１S1＝1为首项，以2为公差的等差数列，所以１S n＝1+2（n-1）＝2n-1，所以S n＝１2n-1，所以，当n≥2时，a n＝S n-S n-1＝１2n-1-１2n-３＝-2（2n-1）（2n-3），因为a1＝S1＝1，所以a n＝1，n=1-2（2n-1）（2n-3）.n≥≥2（2）设ｆ（n）＝（1+S1）（1+S2）…（1+S n）2n+1姨，则ｆ（n+1）ｆ（n）＝2n+22n+1姨2n+3姨＝4n2+8n+44n2+8n+3姨＞1，所以ｆ（n）在n∈N鄢上递增，要使ｆ（n）≥k恒成立，只需要ｆ（n）min≥k，因为ｆ（n）min＝ｆ（1）＝2３姨３，所以0＜k≤2３姨3.【评注】第（1）问运用了数列的前n项和S n与通项a n之间的关系a n＝S n-S n-1（n≥2），把a n转化为S n-S n-1，再合并同类项后运用取倒数法，再根据等差数列的定义得出数列{１S n}的通项公式，再得出数列{a n}的通项公式；第（2）问分离变量后构造函数ｆ（n），用作商法判断ｆ（n）的单调性，把不等式ｆ（n）≥k在n∈N鄢上恒成立等价转化为ｆ（n）min≥k（n∈N鄢），两问都运用到了化归与转化思想.AEBFHDGOC302021年第2GUAN ＧＤONG JIAO YU GAO ZHONG2021年第2题型四：化归与转化思想和谐化原则的体现化归与转化思想和谐化原则在解题中的体现主要有：（1）解三角形问题中利用正弦定理实现边角的互化；（2）在三角函数问题中，将形如y=a sin x+b cos x 的函数问题利用辅助角公式化归为形如y=A sin （棕x+渍）的函数问题；（3）解析几何中，将两直线垂直化归为斜率乘积为-1或者方向向量的数量积为0；（4）将形如滋＝y -b x -a形式的最值问题，转化为动直线斜率的最值问题.例7.△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知b -c ＝a ·cos C -c ·cos A .（1）求角A ；（2）若a ＝3，求b +2c 的最大值.【解析】（1）因为b -c ＝a ·cos C -c ·cos A ，由正弦定理可得，sin B -sin C ＝sin A cos C -sin C cos A ，所以sin B -sin C ＝sin （A -C ）所以sin （A +C ）-sin C ＝sin （A -C ），所以sin A cos C +cos A sin C -sin C ＝sin A cos C -cos A sin C ，所以cos A ＝１２，因为0＜A ＜仔，所以A ＝仔３.（2）由（1）可得，C ＝２仔３-B ，由正弦定理得，a sin A ＝b sin B ＝c sin C＝2R ，所以３sin 仔３＝b sin B ＝c sin （２仔３-B ），所以b ＝2３姨sin B ，c ＝2３姨sin （２仔３-B ），所以b +2c ＝2３姨sin B +4３姨sin （２仔３-B ）＝2３姨（2sin B +３姨cos B ）＝221姨sin （B +渍），其中tan 渍＝３姨2，渍∈（0，仔2），由B ∈（0，２仔３），存在B 使得B +渍＝仔2，所以sin （B +渍）的最大值为1，所以b+２c 的最大值为221姨.【评注】第（1）问运用正弦定理实现边转化为角，再逆用两角差的正弦公式，运用内角和定理以及诱导公式，再运用两角和的正弦公式和两角差的正弦公式，得出cos A 的值，得出角A 的值；第（2）问运用了正弦定理将关于边的最值问题化为角的最值问题，运用三角形内角和定理以及诱导公式，再运用辅助角公式，化为三角函数在给定范围上的最值问题；两问都运用了化归与转化思想，体现了和谐化原则.例8.已知函数f （ｘ）＝ｘ2ｘ-1，则f （12019）+f （22019）+f （32019）+…+f （20182019）的值为_____.【解析】由于直接计算有困难，先探求一般的规律，因为f （ｘ）＝ｘ2ｘ-1，所以f （1-ｘ）＝1-ｘ2（1-ｘ）-1＝1-ｘ1-2ｘ＝ｘ-12ｘ-1，所以f （ｘ）+f （1-ｘ）＝1，倒叙相加可得f （12019）+f （22019）+f （32019）+…+f （20182019）＝1009.【评注】本题的解答中体现了特殊问题转化为一般化，运用了化归与转化思想，先通过探究在宏观上把握问题的一般规律，再将特殊问题破解.题型五：化归与转化思想的正难则反原则在解题中的体现化归与转化思想的正难则反原则在高中数学解题中的体现主要有：（1）间接证明方法中的反证法在解题中的运用；（2）概率问题中对立事件和互斥事件的概率公式的运用.例9.等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a １＝1+2姨，S 3＝9+32姨.（1）求数列{a n }的通项a n 与前n 项和S n ；（2）设b n ＝S n n（n ∈N 鄢），求证：数列{b n }中任意不同的三项都不可能成为等比数列．【解析】（1）设公差为d ，由已知得ａ1＝2姨+1，3ａ1+3d ＝9+32姨姨，所以d ＝2，故a n ＝2n -1+2姨，S n ＝n （n +2姨）．（2）证明：由（1）得b n ＝S n n＝n +2姨.假设数列{b n }中存在三项b p 、b q 、b r （p 、q 、r 互不相等）成等比数列，则b 2q ＝b p b r ，即（q +2姨）2＝（p +2姨）（r +2姨），所以（q 2-pr ）+（2q -p-r ）2姨＝0.因为p ，q ，r ∈N 鄢，所以q ２-pr ＝0，2q-p-r ＝0姨，所以（p+r 2）２＝pr ，（p-r ）２＝0，所以p ＝r ，这与p ≠r 矛盾．所以数列{b n }中任意不同的三项都不可能成为等比数列.【评注】本题的解答的第（2）问中运用了反证法，先反设假定要证的结论不成立，而设出结论的反面成立，将这个反设作为条件，运用等比数列的定义和通项公式，通过推理，得出p ＝r 与已知条件相矛盾，所以反设错误，所以要证明的结论成立，反证法归属于间接证明方法，第（2）问运用了化归与转化的思想.例10.掷一个骰子的试验，事件A 表示“小于5的偶数点出现”，事件B 表示“小于5的点数出现”，则一次试验中，事件A +B 发生的概率为____.【答案】23.【解析】掷一个骰子的试验有6种可能结果，依题意P （A ）＝26＝13，P （B ）＝46＝23，所以P （B ）＝1-P （B ）＝1-23＝13，显然A 与B 互斥，从而P （A+B ）＝P （A ）+P （B ）＝13+13＝23.【评注】先由古典概型概率公式求出事件A 和事件B 的概率，再由对立事件概率公式求出事件B 的对立事件B 的概率，再由互斥事件概率公式，把事件A+B 的概率化归为求P （A ）和P （B ）的和，运用了化归与转化思想.责任编辑徐国坚31。
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高考数学指南：转化与化归思想在数学答题中的应用（含范例
详解）
所谓转化与化归思想，就是将待解决的问题和未解决的问题，采取某种策略，转化归结为一个已经能解决的问题；或者归结为一个熟知的具有确定解决方法和程序的问题；归结为一个比较容易解决的问题，最终求得原问题的解。
一、转化与化归思想的原则
(1)熟悉已知化原则：将陌生的问题转化为熟悉的问题，将未知的问题转化为已知问题，以便于我们运用熟知的知识、经验和问题来解决。
(2)简单化原则：将复杂问题转化为简单问题，如三维空间问题转化为二维平面问题，通过简单问题的解决思路和方法，获得对复杂问题的解答启示和思路以达到解决复杂问题的目的。
(3)具体原则：化归方向应由抽象到具体。
(4)和谐统一性原则：转化问题的条件或结论，使其表现形式更符合数与形内部所表示的和谐统一的形式；或者转化命题，使其推演有利于运用某种数学方法或符合人们的思维规律。
(5)正难则反的原则：当问题正面讨论遇到困难时，应想到问题的反面；或问题的正面较复杂时，其反面一般是简单的；设法从问题的反面去探求，使问题获得解决。
二、转化与化归思想常用到的方法
(1)直接转化法：把原问题直接转化为基本定理、基本公式或基本图形问题。
(2)换元法：运用“换元”把超越式转化为有理式或使整式降幂等，把较复杂的函数、方程、不等式问题转化为易于解决的基本问题。
(3)数形结合法：研究原问题中数量关系(解析式)与空间形式(图形)关系，通过互相变换获得转化途径。
(4)构造法：“构造”一个合适的数学模型，把问题变为易于解决的问题。
(5)坐标法：以坐标系为工具，用计算方法解决几何问题，是转化方法的一个重要途径。
(6)类比法：运用类比推理，猜测问题的结论，易于确定转化途径。
(7)特殊化方法：把原问题的形式向特殊化形式转化，并证明特殊化后的结论适合原问题。
(8)等价问题法：把原问题转化为一个易于解决的等价命题，达到转化的目的。
(9)加强命题法：在证明不等式时，原命题难以得证，往往把命题的结论加强，即命题的结论加强为原命题的充分条件，反而能将原命题转化为一个较易证明的命题，比如在证明不等式时，原命题往往难以得证，这时常把结论加强，使之成为原命题充分条件，从而易证。
(10)补集法：如果正面解决问题有困难，可把原问题结果看作集合A，而包含问题的整体问题的结果类比为全集U，通过解决全集U 及补集∁UA 使原问题得以解决。
三、典型试题解析
1、特殊与一般的转化
归纳拓展本题求a n时采用了特殊化的方法，这是归纳——猜想——证明的归纳推理。
当问题难以入手时，应先对特殊情况或简单情形进行观察、分析，发现问题中特殊的数量或关系结构或部分元素，然后推广到一般情形，以完成从特殊情形的研究到一般问题的解答的过渡，这就是特殊化的化归策略。
数学题目有的具有一般性，有的具有特殊性，解题时，有时需要把一般问题化归为特殊问题，有时需要把特殊问题化归为一般问题。
2、正难则反的转化与化归
归纳拓展本题若从正面讨论则需分类讨论求解，繁不堪言，但从其反面“三条抛物线都不与x轴相交”着手，求出a的取值范围，再求其补集，则使问题简单得多了。
一个题目若出现多种成立的情况，则不成立的情况一般较少，易从反面考虑，在概率计算中有较多这样的问题。
3、抽象问题与具体问题的转化
4、函数、不等式、方程之间的转化
归纳拓展本题的求解涉及两类题型和求解的方法：
(1)求参数的范围问题，方法是通过对函数单调性的研究，转化为不等式的恒成立问题，进而转化为求函数的最值问题求解。
(2)研究函数的零点问题，方法是通过研究函数在某区间有最大(或最小)值f(t)，而函数又在此区间有零点，则结合图形分析，可得f(t)≥0(或f(t)≤0)。