第十章 变化的电磁场

E
i
R B E 2r t
2
r
O
R
螺线管内外感生电场随离轴线距离的变化曲线
例10-6 在半径为R的圆柱形体积内充满磁感应强度为 B（t）的均匀磁场,有一长度为 l 的金属棒放在磁场中 ,如图所示,设dB/dt为已知，求棒两端的感生电动势. 解法1:选闭合回路 oab ,方向为逆时针 a b o
= NBl 2p nsin2p nt
c
2

o
b
vB
en
（1）当 300
v
v
ei = NBl 2p nsin30 = 0.66V
2
o
vB
a
d o
（2）当 sin 2nt 1
o o q = 90 q = 270 即当 等位置时电动势 i 最大
i NBl 2n 1.32V
→ B R a o b
= e ab
方向为a→b
L
解法2:直接对感应电场积分,方向为a→b
r r e E d r i =蝌 i?
b a
b
b
E o s q d l ic
a
=
ò
a b
r cos q ¶ B dl 2 ¶t
b
I
h抖 B h B = 蝌 dl = 2 抖 t 2 t a
dl
a
→ B R a o
1 1 2 B LL BL 2 2 1 2 1 2 BL BL 所以，铜棒中的电动势为 i t 2 t 2
结果与上一解法完全相同
如果是铜盘转动，等效于无数铜棒并联，因此，铜盘 中心与边缘电势差仍为0.39V。此为一种简易发电机 模型。
例10-3 如图，长直导线中电流为I=10A，在其附近 有一长为l=0.2m的金属棒MN，以速度v=2m/s平行于 导线做匀速运动，如果靠近导线的一端M 距离导线 为a=0.1m，求金属棒中的动生电动势。 解： 金属棒上取长度元dx，每一 dx处磁场可看作均匀的

o
b
vB
en
解： 取逆时针的绕行方向为正 方向，线圈平面与磁场方 向垂直时为计时起点 (t=0),当线圈转过角时， 通过单匝线圈磁通量为
c
v
vB
v
a
d o
BS cos Bl cos 设线圈转动角速度为 2n 2nt
2
\
dΦ d ei = - N = N ( Bl 2 cos2p nt ) dt dt
o I 0lI 0 sin t a b ldx ln 2x 2 a
所以，在维持导线向右匀速运动过程中，外力必须 克服安培力而作功，电源（即导线MN）向回路中 提供的电能来自于外界提供的机械能。
例10-2 如图已知铜棒OA长L=50m,处在方向垂直 纸面向内的均匀磁场（B =0.01T)中，沿逆时针方向 绕O轴转动，角速率ω=100πrad/s, 求铜棒中的动生 电动势大小及方向。如果是半径为50cm的铜盘以上 述角速度转动，求盘中心和边缘之间的电势差。
解：某一瞬间，距离直导线x处的磁 感应强度为 I
a
b
B
2x
o
I
l
选顺时针方向为矩形线圈的绕行 正方向，则通过图中阴影部分的 磁通量为
x
dx
在该瞬时t，通过整个线圈的磁通量为
m I ldx dΦ = bcos0 dS = 2p x
o
a b a
d
由于电流随时间变化，通过线圈的磁通量也随时间 变化，故线圈内的感应电动势为 m0lI 0 骣 dF a + b÷ d ç ei = =ln ç sin w t ÷ ç 桫 a ÷dt dt 2p 0lI 0 a b ln cost 2 a 感应电动势随时间按余弦规律变化，其方向也随余 弦值的正负作顺、逆时针转向的变化。
解: 在铜棒上距O点为l 处取线元 d l ，其方向 沿O指向A，其运动速度 的大小为 v l。
v
O
A
所以 d l 上的动生电动势为
显然 d l相互垂直， B、 v、

dl
d i (v B) d l vB d l
L 0 1 2
由此可得金属棒上总电动势为
r r e E r i =ò i d Ñ
L
b
r r = E d r i? 蝌
o
r r E d r i?
r r E r i d
I
a
b
r 抖 B r = - ? d S ò 抖 t
0 a r d Φ ¶ B r ==- ò d S d t ¶ t
2 B 1 2 L LR t2 4
r r = 0+ òE dr i?
2 1
I
R2
R1 r
I
dr
LI
R2 L ln Il 2 R1
dr
l
l
例10-8 试分析有自感的电路中电流的变化。 解： 由于线圈中自感的存在，当电路中电流改变时 ，电路中会产生自感电动势。根据楞次定律， 自感电动势总是要反抗电路中电流的变化。即 自感现象具有使电路中保持原有电流不变的特 性，它使电路在接通和断开时，电路中的电流 不能突变，要经历一个短暂的过程才能达到稳 定。
L L
E

E
R

B r E
E
2rE i
B dS t S
1 d 或Ei 2 r dt
（1）当 r R 时
B E i 2 r r t
dt
初始条件： t 0时，I 0 R
dI - L = IR dt

I

R
e
R t L
I 0e
R t L
I

R
e
R t L
I 0e
R t L
这就是RL电路断开电源后电路中电流的衰变规律，可 以看出电路接通后电路中的电流逐渐减小，经 L R 后，电流降为原来的37%。
dB 随时间作线性变化（ = 常量 ） 时，求管内外 dt
例10-5 在半径为 R 的无限长螺线管内部的磁场 B
。
Ei 的感生电场
解：由场的对称性，变化 磁场所激发的感生电场的电 场线在管内外都是与螺线管 同轴的同心圆。任取一电场 线作为闭合回路。
d l l i id E E
上面的电路中，断开S1后如不接通S2，由于开关两接 头之间空气隙电阻很大，电流将骤然降为零。dI/dt 将会很大，使得电路中自感电动势很大，常使电键两 端出现电火花，甚至出现电弧。在强电流电路或含有 铁磁性物质的电路中尤为显著。为避免出现事故，常 采用逐渐增加电阻的方法断开电路。
形状规则回路系互感的计算 例10-9一密绕的螺绕环，单位长度的匝数为n=2000m1,环的面积为S=10cm2,另有一N=10匝的小线圈绕在 环上，如图所示.(1）求两个环间的互感；（2）当螺 绕环中的电流变化率为dI/dt=10A/s时，求在小线圈中 产生的互感电动势的大小。 N 解： （1）设螺绕环中通有电流I,则 螺绕环中磁感应强度大小为

b
2 h B B 1 L 2 L LR 2 t t2 4
L
例10-7 由两个“无限长”的同轴圆筒状导体 的磁介质，电 所组成的电缆，其间充满磁导率为 I 缆中沿内圆筒和外圆筒流过的电流 大小相等而方 向相反。设内外圆筒的半径分别为 R1 和 R2 ，求电
缆单位长度的自感。
例10-4 边长为 l 5cm的正方形线圈，在磁感应强度 为B = 0.84T 的磁场中绕轴转动，线圈铜线的电阻率 为 r = 1.7醋 10- 8 Ω m,截面积 S = 0.5mm 2 ，共10匝。 线圈转速为 n = 10r/s ，转轴与磁场方向垂直。求（1）当 线圈由其平面与磁场垂直而转过300时线圈内的动生电动 势；（2）线圈转动时的最大电动势及该时刻线圈的位置； （3）由图示位置开始转过1s时线圈内的动生电动势。
I
解： 应用安培 环路定理，可知在内 圆筒之内以及外圆筒 之外的空间中磁感应 强度都为零。在内外 两圆筒之间，离开轴 线距离为 处的磁感 应强度为
R2
R1 r
I
dr
l
r
I B 2r
在内外圆筒之间，取如图所示的截面。
Il d r d Bl d r 2 r R Il d r d R 2 r Il R2 ln 2 R1
1 I 1 0.63 0.63 I 0 即经L/R时间电流 R R e 达到稳定值的63%

L R 称为RL电路的时间常数或弛豫时间,衡量 自感电路中电流变化快慢的物理量。
当上述电路中电流达到稳定值 I 0 R 后，迅速闭 合S2而断开S1，则由于自感作用，电路中的电流不 会迅速减为零。设迅速闭合S2而断开S1后某一瞬间 dI I , L 电路中的电流和自感电动势分别为
0.01100 0.5 i Bl d l BL 0.39V 2
2 2
由图可知，v B 的方向由A指向O，此即电动势的方向
Vo VA 0.39V 解法二： 设铜棒在Δt时间内转过角度Δθ。则这段时 间内铜棒所切割的磁感应线数等于它所扫 过的扇形面积内所通过的磁通量，即
I M x
0 I B 2x
v
dx l
N
因此，dx小段上的动生电动势为 m0 I dei = Bvdx = vdx 总的的动生电动势为 2p x
ei = dei = 蝌
a+ l a
a
骣 m0 I m0 I a+ ç vdx = vln ç 桫a 2p x 2p x ç