排列组合问题2：加法原理和乘法原理
加法原理和乘法原理导言：
加法原理和乘法原理，是排列组合中的二个基本原理，在解决计数问题中经常运用。
把握这两个原理，并能正确区分这两个原理，至关重要。
一、概念
（一）加法原理
如果完成某件事共有几类不同的方法，而每类方法中，又有几种不同的方法，任选一种方法都可以完成此事，那么完成这件事的方法总数就等于各种方法的总和，这一原理称为加法原理。
例：从甲地到乙地，一天中火车有4班，汽车有2班，轮船有3班，那么，一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地，共有多少种不同的走法？
解析：把乘坐不同班次的车、船称为不同的走法。
要完成从甲地到乙地这件事，可以乘火车，也可以乘汽车，还可以乘轮船，一天中，乘火车有4种走法，乘汽车有2种走法，乘轮船有3种走法。
而乘坐火
车、汽车、轮船中的任何一班次，都可以从甲地到乙地，符合加法原理。
所以从甲地到乙地的总的走法=乘火车的4种走法+乘汽车的2种走法+乘轮船的3种走法=9种不同的走法
（二）乘法原理
如果做某件事，需要分几个步骤才能完成，而每个步骤又有几种不同的方法，任选一种方法都不能完成这件事，那么完成这件事的方法总数，就等于完成各步骤方法的乘积。
例：用1、2、3、4这四个数字可以组成多少个不同的三位数？
解析：要完成组成一个三位数这件事，要分三个步骤做，首先选百位上的数，再选十位上的数，最后选个位上的数。
选百位上的数这一步骤中，可选1、2、3、4任何一个，共4种方法选十位上的数这一步骤中，可选除百位上已选好那个数字之外的三个数字，共3种方法
选个位上的数这一步骤中，可选除百、十位上已选好的两个数字之外的另两个数字，共2种方法
单独挑上面的任何一步中的任何一种方法，都不能组成一个三位数，符合乘法原理
所以，可以组成：4×3×2=24（个）不同的三位数
二、加法原理和乘法原理的区别
什么时候使用加法原理，什么时候使用乘法原理，最关键是要把握住加法原理与乘法原理的区别。
从上面两个例子我们容易发现，加法原理与乘法原理最大的区别就是：如果完成一件事有几类方法，不论哪一类方法，都能完成这件事时，运用加法原理，简称为“分类-----加法”；如果完成一件事要分几个步骤，而无论哪一个步骤，都只是完成这件事的一部分，只有每一步都完成了，这件事才得以完成，这里运用乘法原理，简称为“分步----乘法”。
三、加乘法原理的综合应用
有时候，做某件事有几类方法，而每一类方法又要分几个步骤完成。
在计算做这件事的方法时，既要用到加法原理，也要用到乘法原理，这就是加乘法原理的综合应用。
例：从甲地到乙地有4条路可走，从乙地到丙地有2条路可走，从甲地到丙地有3条路可走，那么，从甲地到丙地共有多少种走法？
解析：从甲地到丙地共有两大类不同的走法：可以直接从甲地到丙地，也可以从甲地先到乙地再到丙地，选择任何一类方法，都可以从甲地到丙地，符合加法原理；而在第二类方法中（即从甲地先到乙地再到
丙地），又分两步完成：第一步从甲地先到乙地，有4种走法，第二步再从乙地到丙地，有2种走法，这里的任何一种方法都不能完成从甲地到丙地这件事，符合乘法原理，这时共有4×2=8种走法。
所以从甲地到丙地总的走法=第一类方法+第二类方法
=3+4×2=11（种）
四、加法原理和乘法原理的应用
例1．（数字排列问题）用数字1、2、3、4、5可以组成多少个没有重复数字的三位数？
解析：组成一个三位数，要分三个步骤，先选百位数，再选十位数，最后选个位数，使用乘法原理
5×4×3=60（个）
例2．（数字排列问题）一种电子表6点24分30秒时，显示数字是：6:2430，那么从8点到9点这段时间里，此表5个数字都不相同的情况一共有多少种？
解析：在8点到9点间，电子表的第一位数字肯定8，在这段时间内是固定不变的，可以不考虑；第2位和第4位的取值范围只能是0、
1、2、3、4、5，第3位和第5位只能从0、1、2、3、4、5、6、7、9。
题中要求5个数字各不相同。
所以我们要分开来考虑：
①第2位到第5位只取0----5中的数，有6×5×4×3=360种情况
②第2位和第4位只取0---5中的数，而第3位和第5位只取6、7、9中的数，有6×5×3×2=180种情况
③第2位、第3位和第4位只取0---5中的数，第5位只取6、7、9中的数，有6×5×4×3=360种情况
④第2位、第4位和第5位只取0---5中的数，第3位只取6、7、9中的数，有6×5×4×3=360种情况
所以，此表在8到9点间5个数字不同的情况共有：
360+180+360+360=1260种
例3．（数字排列问题）从1到400的所有自然数中，不含数字3的自然数有多少个？
解析：在一位数前面添两个零，如把2写成002；在两位数前面添一个零，如把12写成012，这样，1—400中的数全成了“三位数”了，除去数字400外，考虑不含数字“3”的这样的“三位数”的个数，分三步考虑：百位、十位、个位上不含数字“3”，符合乘法原理。
百位上可取0、1、2，有三种取法；十位上都可取0、1、2、4、5、6、7、8、9，有9种取法；个位与十位情况一样，也有9种取法。
根据乘法原理，这样的数有：3×9×9=243（个）。
数“000”不合要求，另外还需要补上符合要求的数“400”，所以不含数字“3”的自然数有：243-1+1=243（个）；（提示：这243个数中，有首位是“0”的，把“0”删掉，就成了一位数和两位数，不影响最后的个数。
）
例4．（站队排列问题）有6个同学排成一排照相，共有多少种不同的站法？
解析：6人中任何一位的位置换了，就是一种站法。
把这6个位置用字母表示为：A、B、C、D、E、F。
要排成一排，要分六步，依次排A、B、C、D、E、F这六个位置，使用乘法原理；A位置中有6种站法，B 位置中就只剩5种站法、、、、、如此下去，F位置上就只剩1种站法，根据乘法原理，总的站法是：6×5×4×3×2×1=720种不同的站法
思考：看看下题与例4有何区别，又如何解答
A、B、C、D、E 5人排成一排，如果C不站在中间，一共有多少有种不同的排法？
例5．（取物排列问题）有5件不同的上衣，3条不同的裤子，4顶不同的帽子，从中取出一顶帽子、一件上衣和一条裤子配成一套装束，最多有多少种不同的装束？
解析：要完成一套装束要分三步完成，先取帽子，再取上衣，最后取裤子，而每一步分别有4、5、3种不同的方法，根据乘法原理，共有4×5×3=60种不同的装束
例6．（信号排列问题）有5面颜色不同的小旗，任意取3面排成一行表示一种信号，问：一共可以表示多少种不同的信号？
解析：一种信号上有三个位置，要完成一种信号要分三步选好这三个位置上的小旗。
而每个位置上依次有5、4、3种不同的选小旗的选法，根据乘法原理，一共可以表示：5×4×3=60种不同的信号。
例7．（涂色问题）如图，用红、绿、蓝、黄四色去涂编号为1、2、3、4号的长方形，要求任何相邻的两个长方形的颜色都不相同，一共有多少种不同的涂法？
解析：要分4种情况考虑：
① 1、2、3、4号长方形颜色都不相同，根据乘法原理，有4×3×2×1=24种涂法
②只有1、4号长方形同色，有4×3×2=24种
③只有2、3号长方形同色，有4×3×2=24种
④2、4和1、3号长方形分别同色，有4×3=12种
最后用加法原理
共有24+24+24+12=84种不同的涂法
例8．深圳市的电话号码全是8位数，若前3位只能用1----9这9
个数字，则深圳市可以安装多少台不同的电话号码的电话？
解析：要确定一个电话号码，就必须确定8位数上各个位置的数字，要分八个步骤完成。
使用乘法原理。
根据题目要求，先确定电话号码前3位数字的取法，由于数字可以重复，前3位上的每一位置上都可以取1、2、3、4、5、6、7、8、9中的一个数，各有9种取法。
电话号码中的后5位的每一个位置上都可以取0、1、2、3、4、5、6、7、8、9，各有10种取法。
根据乘法原理，共有不同的电话号码的电话：9×9×9×10×10×10×10×10=72900000台
例9．（棋子排列问题）如图，现在要把A、B、C、D、E 5个棋子放在方格里，每行和每列只能出现一个棋子，一共有多少种放法？
解析：要将5个棋子放入格子中，要分5步完成。
第一步先放A，有5×5=25个方格就有25种不同的放法；第二步放B，对应A的放法，由于不能在同一行与同一列，B放的行数和列数都会减少1，所以只能放在4×4=16个格子里，有16种放法；同理可推出，第三步放C，有3×3=9种放法；第四步放D，有2×2=4种放法；第五步放E，有1×1=1种放法。
根据乘法原理。
总的放法有：25×16×9×4×1=14400种。
(最新整理)《排列组合专题》PPT课件
2021/7/26
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例9．有男女各五个人，其中有３对是夫妻，沿 圆桌就座，若每对夫妻都坐在相邻的位置，问有 多少种坐法？
设３对夫妻分别为Ａ和a,Ｂ和b,Ｃ和c，先让Ａ，Ｂ， Ｃ三人和另外４个人沿圆桌就座的方法为６！种．
又对上述每种坐法，a坐在Ａ的邻座的方式有左右两 种，b,c也如此．
所以共有６！＊２＊２＊２＝５７６０种．
将0到299的整数都看成三位数，其中数字3不 出现的，百位数字可以是0，1或2三种情况。十位 数字与个位数字均有九种，因此除去0共有
3×9×9－1=242(个)．
2021/7/26
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例10、
在小于10000的自然数中，含有数字1的数有 多少个？
不妨将0至9999的自然数均看作四位数，凡位数不到 四位的自然数在前面补0,使之成为四位数。
所以符合题意的个数为：
1× P18× P28＝448
2021/7/26
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例4、用0、1、2、3、4、5六个数字，可以 组成多少个没有重复数字的三位偶数？
1.个位为0,十位为1、2、3、4、5中的一个，百位为剩下的 四个数字中的一个，所以这样的偶数共有1×P15×P14
2.个位为2,百位为1、3、4、5中的一个，十位为剩下的四个 数字中的一个，所以这样的偶数共有1×P14×P14
2021/7/26
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例8、求正整数1400的正因数的个
数．
因为任何一个正整数的任何一个正因数(除1外)都是这个 数的一些质因数的积，因此，我们先把1400分解成质因数的 连乘积1400=23527.所以这个数的任何一个正因数都是由2， 5，7中的若干个相乘而得到(有的可重复)。
于是取1400的一个正因数，这件事情是分如下三个步骤 完成的：
排列组合的解法
1．加法原理和乘法原理两个原理是理解排列与组合的概念，推导排列数及组合数公式，分析和解决排列与组合的应用问题的基本原则和依据；完成一件事共有多少种不同方法，这是两个原理所要回答的共同问题。
而两者的区别在于完成一件事可分几类办法和需要分几个步骤。
例1．书架上放有3本不同的数学书，5本不同的语文书，6本不同的英语书。
（1）若从这些书中任取一本，有多少种不同的取法？（2）若从这些书中取数学书、语文书、英语书各一本，有多少种不同的取法？（3）若从这些书中取不同的科目的书两本，有多少种不同的取法。
解：（1）由于从书架上任取一本书，就可以完成这件事，故应分类，由于有3种书，则分为3类然后依据加法原理，得到的取法种数是：3+5+6=14种。
（2）由于从书架上任取数学书、语文书、英语书各1本，需要分成3个步骤完成，据乘法原理，得到不同的取法种数是：3×5×6=90（种）。
（3）由于从书架上任取不同科目的书两本，可以有3类情况（数语各1本，数英各1本，语英各1本）而在每一类情况中又需分2个步骤才能完成。
故应依据加法与乘法两个原理计算出共得到的不同的取法种数是：3×5+3×6+5×6=63（种）。
例2．已知两个集合A={1，2，3}，B={a,b,c,d，e}，从A到B建立映射，问可建立多少个不同的映射？分析：首先应明确本题中的“这件事是指映射，何谓映射？即对A中的每一个元素，在B中都有唯一的元素与之对应。
”因A中有3个元素，则必须将这3个元素都在B中找到家，这件事才完成。
因此，应分3个步骤，当这三个步骤全进行完，一个映射就被建立了，据乘法原理，共可建立不同的映射数目为：5×5×5=53（种）。
2．排列数与组合数的两个公式排列数与组合数公式各有两种形式，一是连乘积的形式，这种形式主要用于计算；二是阶乘的形式，这种形式主要用于化简与证明。
连乘积的形式阶乘形式Anm=n(n-1)(n-2)……(n-m+1) =Cnm=例3．求证：Anm+mAnm-1=An+1m证明：左边=∴等式成立。
3、组合数学第三章排列组合(1)
P（5，3）
（2）同（1），若不限制每天考试的次数，问有多 少种排法？
53
例3.8 排列26个字母，使得在a 和 b之间正好有7个 字母，问有多少种排法？
例3 用26个字母排列，是元音 a,e,i,o,u 组不相继 出现，有多少种排法？
（1）排列所有辅音：P(21,21)=21！ （2）在辅音前后的22个空档中排元音:
n2 +... + nk .
2若r=n,则N= n! ; n1 !n2 !...nk !
3若r < n且对一切i,i =1, 2,..., k,有ni ? r,则N=kr ; 4若r < n,且存在着某个ni < r,则对N没有一般的求解公式。
§3.5 多重集的组合
多重集S中r个元素进行无序选择，构成一个多重 集的r-组合。 篮子里有2个苹果，1个桔子，3个香蕉，篮子里 的水果构成“多重集”。
解1 (1)任意坐： n=9! (2)不相邻：A先就坐，B不相邻：7 其余8人排序：8！ m=7*8！ (3) P=m/n=7*8!/9!=7/9
例6 10个人为圆桌任意就坐，求指定的两个人 A与B不相邻的概率。
解2 (1)任意坐： n=9! (2)A,B相邻：A先就坐，B左右相邻：2 其余8人排序：8！ k=2*8！ (3)不相邻：m=9!-2*8! (4) 两人不相邻的概率 P=m/n=（9!-2*8!)/9!=1-2/9=7/9
证明
(1) 从{ 1,2,…,n }中选出2-组合有
C
2 n
(2) 另一种选法：
最大数为k的2-组合共有k-1个，k=1,2,…,n
有加法原理，共有 0+1+2+…+(n-1) 个2-组合
排列组合
练习5
8.用20个不同颜色的念珠穿成一条项链,能做 多少个不同的项链 9.在单词MISSISSIPPI 中字母的排列数是 10求取自1,2,...k的长为r的非减序列的个数为
• (20!/20)
(11!/(1!*4!*4!*2!) (c(r+k-1,r))
排列与组合的产生算法
1．排列的产生 方法１：（递归，深度优先产生） 程序如下： program pailei; const m=4; var a:array[1..m] of integer ; b:array[1..m] of boolean; /////////////////////////////////////////////////// procedure print; var i:integer; begin for i:=1 to m do write(a[i]); writeln; end; /////////////////////////////////////////////////// procedure try(dep:integer); var i:integer; begin for i:=1 to m do if b[i] then begin a[dep]:=i; b[i]:=false; if dep=m then print else try(dep+1); b[i]:=true; end; end; ////////////////////////////////////////////////////////////
排列与组合的概念与计算公式
３．其他排列与组合公式 • 从n个元素中取出r个元素的循环排列数＝ p(n,r)/r=n!/r(n-r)!. • n个元素被分成k类，每类的个数分别是 n1,n2,...nk这n个元素的全排列数为 =n!/(n1!*n2!*...*nk!). • k类元素,每类的个数无限,从中取出m个元素 的组合数为c(m+k-1,m).
排列组合与概率原理及解题技巧
排列组合与概率原理及解题技巧一、基础知识1．加法原理：做一件事有n 类办法，在第1类办法中有m 1种不同的方法，在第2类办法中有m 2种不同的方法，……，在第n 类办法中有m n 种不同的方法，那么完成这件事一共有N=m 1+m 2+…+m n 种不同的方法。
2．乘法原理：做一件事，完成它需要分n 个步骤，第1步有m 1种不同的方法，第2步有m 2种不同的方法，……，第n 步有m n 种不同的方法，那么完成这件事共有N=m 1×m 2×…×m n 种不同的方法。
3．排列与排列数：从n 个不同元素中，任取m(m ≤n)个元素，按照一定顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列，从n 个不同元素中取出m 个(m ≤n)元素的所有排列个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数，用m n A 表示，mn A =n(n-1)…(n-m+1)=)!(!m n n -,其中m,n ∈N,m ≤n,注：一般地0n A =1，0！=1，nn A =n!。
4．N 个不同元素的圆周排列数为nA n n =(n-1)!。
5．组合与组合数：一般地，从n 个不同元素中，任取m(m ≤n)个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合，即从n 个不同元素中不计顺序地取出m 个构成原集合的一个子集。
从n 个不同元素中取出m(m ≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数，用mn C 表示：.)!(!!!)1()1(m n m n m m n n n C m n -=+--=6．组合数的基本性质：（1）m n n m n C C -=；（2）11--+=n nm n m n C C C ；（3）kn k n C C kn =--11；（4）n nk k n n nnnC C C C 2010==+++∑= ；（5）111++++-=+++k m k k m k k k k k C C C C ；（6）kn m n m k k n C C C --=。
行测排列组合问题详解及秒杀方法
分析：（1）有种方法。
（2）有种方法。
（3）有种方法。
（4）有种方法。
（5）本题不能用插空法，不能连续进行插空。
用间接解法：全排列-甲乙相邻-丙丁相邻+甲乙相邻且丙丁相邻，共--+=23040种方法。
例12. 某人Βιβλιοθήκη 击8枪，命中4枪，恰好有三枪连续命中，有多少种不同的情况?
因而共有185种。
例7．现有印着0，l，3，5，7，9的六张卡片，如果允许9可以作6用，那么从中任意抽出三张可以组成多少个不同的三位数?
分析：有同学认为只要把0，l，3，5，7，9的排法数乘以2即为所求，但实际上抽出的三个数中有9的话才可能用6替换，因而必须分类。
抽出的三数含0，含9，有种方法；
(2)限制条件有时比较隐晦，需要我们对问题中的关键性词(特别是逻辑关联词和量词)准确理解；
(3)计算手段简单，与旧知识联系少，但选择正确合理的计算方案时需要的思维量较大；
(4)计算方案是否正确，往往不可用直观方法来检验，要求我们搞清概念、原理，并具有较强的分析能力。
二、两个基本计数原理及应用
例18．5男4女排成一排，要求男生必须按从高到矮的顺序，共有多少种不同的方法?
分析：首先不考虑男生的站位要求，共种；男生从左至右按从高到矮的顺序，只有一种站法，因而上述站法重复了次。因而有=9×8×7×6=3024种。
若男生从右至左按从高到矮的顺序，只有一种站法， 同理也有3024种，综上，有6048种。
(2)组合数：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个
这里要注意排列和组合的区别和联系，从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素，“按照一定的顺序排成一列”与“不管怎样的顺序并成一组”这是有本质区别的．
高数2-排列组合概率论
例10 从5个男生3个女生中选出3个学生组 团参加合唱比赛，要求选出的学生中至多 有1个女生，有多少种不同的组团方式？ 解：分两种情况考虑：一是没有1个女生； 二是恰有1个女生．
5 43 5 4 3 40 C C C C 3 2 1 2 1 1
3 5 0 3 2 5 1 3
概率论初步
• • • • 随机事件 事件的概率 条件概率、乘法公式、独立性 一维随机变量及其数字特征
• 确定性现象 • 随机现象
随机试验
在一定条件下必然发生某种结果的现象； 在一定条件下不能确定发生某种结果的现象．
• 随机试验
对随机现象进行观察或实验称为(随机)试验： ① 相同条件下可以重复进行； ② 每次试验的可能结果不止一个，并且能事 先明确试验的所有可能结果； ③ 每次试验在其最终结果揭晓之前，无法预 知会发生哪一个可能的结果．
历年试题——概率论初步之1110
随机事件A与B为互不相容事件，则 P(AB) = ( D ) A．P(A) + P(B) B．P(A)P(B) C．1 D．0 解：因为随机事件A与B为互不相容事件； 所以 P(A + B) = P(A) + P(B) 因为 P(A + B) = P(A) + P(B) P(A)P(B) 所以 P(AB) = 0
5 P5 5! 5 4 3 2 1 120
例5 数字1、2、3、4、5可以排成多少个不 同的3位偶数？ 解：按先排个位，再排百位和十位的顺序 排列，根据乘法原理进行计算
P P 2 4 3 24
1 2 2 4
组合
从 n 个不同元素里，任取 m (1 m n )个元 素组成一组，叫做从 n 个不同元素里取出 m 个元素的一个组合．从 n 个不同元素取 出 m (1 m n )个元素的所有组合的个数， 叫做 n 个不同元素取出 m 个元素的组合数， m 记作 C n ．
☆排列组合解题技巧归纳总结
排列组合解题技巧归纳总结教学内容1.分类计数原理(加法原理) 完成一件事，有n 类办法，在第1类办法中有1m 种不同的方法，在第2类办法中有2m 种不同的方法，…，在第n 类办法中有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有： 种不同的方法．2.分步计数原理（乘法原理）完成一件事，需要分成n 个步骤，做第1步有1m 种不同的方法，做第2步有2m 种不同的方法，…，做第n 步有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有： 种不同的方法．3.分类计数原理分步计数原理区别分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事。
分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件． 解决排列组合综合性问题的一般过程如下: 1.认真审题弄清要做什么事2.怎样做才能完成所要做的事,即采取分步还是分类,或是分步与分类同时进行,确定分多少步及多少类。
3.确定每一步或每一类是排列问题(有序)还是组合(无序)问题,元素总数是多少及取出多少个元素.4.解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略 一.特殊元素和特殊位置优先策略例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数.解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排,以免不合要求的元素占了这两个位置.先排末位共有13C然后排首位共有14C 最后排其它位置共有34A由分步计数原理得113434288C C A = 练习题:7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法？ 二.相邻元素捆绑策略例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法.解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排。
由分步计数原理可得共有522522480A A A =种不同的排法 练习题:某人射击8枪，命中4枪，4枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不同种数为 20三.不相邻问题插空策略例3.一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出场顺序有多少种？解:分两步进行第一步排2个相声和3个独唱共有55A 种，第二步将4舞蹈插入第一步排好的6个元素中间包含首尾两个空位共有种46A 不同的方法,由分步计数原理,节目的不同顺序共有5456A A 种练习题：某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个新节目插入原节目单中，且两个新节目不相邻，那么不同插法的种数为 30四.定序问题倍缩空位插入策略例4.7人排队,其中甲乙丙3人顺序一定共有多少不同的排法解:(倍缩法)对于某几个元素顺序一定的排列问题,可先把这几个元素与其他元素一起进行排列,然后用总排列数除以这几个元素之间的全排列数,则共有不同排法种数是：7373/A A(空位法)设想有7把椅子让除甲乙丙以外的四人就坐共有47A 种方法，其余的三个位置甲乙丙共有 1种坐法，则共有47A 种方法。
排列组合学案
排列、组合排列组合学案（1）加法原理和乘法原理 (一)目标1.理解分类计数原理与分步计数原理,培养归纳概括能力；2.会利用两个原理分析和解决一些简单的应用问题.新课问题1 一次集会共50人参加，结束时，大家两两握手，互相道别，请你统计一下，大家握手次数共有多少？问题2某商场有东南西北四个大门，当你从一个大门进去又从另一个大门出来，问你共有多少种不同走法？如果你能得到结果，那么你能归纳出规律吗？ 我们再看：问题三 从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车，一天中火车有3班，汽车有2班，那么一天中，乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种方法？问题四 从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车，还可以乘轮船一天中，火车有4 班, 汽车有2班，轮船有3班那么一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法?1．分类计数原理(加法原理)：问题五 从甲地到乙地，要从甲地先乘火车到丙地，再于次日从丙地乘汽车到乙地，一天中，火车有3班，汽车有2班，那么两天中，从甲地到乙地共有多少种不同的走法？问题六 如图,由A 村去B 村的道路有2条，由B 村去C 村的道路有3条从A 村经B 村去C 村，共有多少种不同的走法？2.分步计数原理(乘法原理)：例1 书架的第1层放有4本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放有2本不同的体育书，（1）从书架上任取1本书，有多少种不同的取法？（2）从书架的第1、2、3层各取1本书，有多少种不同的取法？A村C村B村例2 一种号码拨号锁有4个拨号盘，每个拨号盘上有从0到9共10个数字，这4个拨号盘可以组成多少个四位数号码？例3 要从甲、乙、丙3名工人中选出2名分别上日班和晚班，有多少种不同的选法？例4 甲厂生产的收音机外壳形状有3种，颜色有4种，乙厂生产的收音机外壳形状有4种，颜色有5种，这两厂生产的收音机仅从外壳的形状和颜色看，共有所少种不同的品种？练习1．书架上层放有6本不同的数学书，下层放有5本不同的语文书(1) 从中任取一本，有多少种不同的取法？(2)从中任取数学书与语文书各一本，有多少种不同的取法？2. 某班级有男学生5人，女学生4人(1)从中任选一人去领奖, 有多少种不同的选法？(2) 从中任选男、女学生各一人去参加座谈会，有多少种不同的选法？3.满足A∪B=｛1,2｝的集合A、B共有多少组?4.从甲地到乙地有2条路可通,从乙地到丙地有3条路可通;从甲地到丁地有4条路可通, 从丁地到丙地有2条路可通从甲地到丙地共有多少种不同的走法？排列组合学案（2）加法原理和乘法原理(二)目标1.进一步理解两个基本原理；2.会利用两个原理分析和解决一些简单的应用问题.复习1.分类计数原理：2.分步计数原理：新课例1在1～20共20个整数中取两个数相加,使其和为偶数的不同取法共有多少种?例2 在1～20共20个整数中取两个数相加,使其和大于20的不同取法共有多少种?例3 如图,要给①,②,③,④四块区域分别涂上五种颜色中的某一种, 允许同一种颜色使用多次,但相邻区域必须涂不同颜色,则不同涂色 方法种数为( )A. 180B. 160C. 96D. 60例4 如下图,共有多少个不同的三角形?练习1.用1,2,3,4,5可组成多少个三位数?(各位上的数字允许重复)2.用数字1,2,3可写出多少个小于1000的正整数? (各位上的数字允许重复)3.集合A=｛a ,b,c,d,e ｝,集合B=｛1,2,3｝,问A 到B 的不同映射f 共有多少个?B 到A 的映射g 共有多少个?4.将3封信投入4个不同的邮筒的投法共有多少种?5. 4名学生从3个不同的楼梯下楼的方法数.6. 4名学生分配到3个车间去劳动,共有多少中不同的分配方案?7. 求集合｛1,2,3,4,5｝的子集的个数.作业1．用0，1，2，3，4，5这六个数字， （1）可以组成多少个数字不重复的三位数？ （2）可以组成多少个数字允许重复的三位数？（3）可以组成多少个数字不允许重复的三位数的奇数？ （4）可以组成多少个数字不重复的小于1000的自然数？（5）可以组成多少个大于3000，小于5421的数字不重复的四位数？2．求下列集合的元素个数．（1）{(,)|,,6}M x y x y N x y =∈+≤； （2）{(,)|,,14,15}H x y x y N x y =∈≤≤≤≤．3．有四位同学参加三项不同的比赛，（1）每位同学必须参加一项竞赛，有多少种不同的结果？ （2）每项竞赛只许一位学生参加，有多少种不同的结果？4．①设{,,,,,}A a b c d e f =，{,,}B x y z =，从A 到B 共有多少个不同映射？②6个人分到3个车间，共有多少种分法？5.甲、乙、丙、丁四个人各写一张贺卡,放在一起,再各取一张不是自己所写的贺卡,共有多少种不同的取法?排列组合学案（3）排列 (一)目标1. 理解排列、排列数的概念，了解排列数公式的推导；2. 能用“树型图”写出一个排列中所有的排列； 3．能用排列数公式计算.复习1.分类计数原理：2.分步计数原理： 新课问题1．从甲、乙、丙3名同学中选取2名同学参加某一天的一项活动，其中一名同学参加上午的活动，一名同学参加下午的活动，有多少种不同的方法？问题2．从,,,a b c d 这四个字母中，每次取出3个按顺序排成一列，共有多少种不同的排法？1．排列的概念：3．排列数的定义：4．排列数公式：例1．计算：（1）316P ； （2）66P ； （3）46P ．解：例2．（1）若17161554mn P =⨯⨯⨯⨯⨯，则n = ，m = ． （2）若,n N ∈则(55)(56)(68)(69)n n n n ---- 用排列数符号表示 ．解：例3．（1）从2,3,5,7,11这五个数字中，任取2个数字组成分数，不同值的分数共有多少个？ （2）5人站成一排照相，共有多少种不同的站法？（3）某年全国足球甲级（A 组）联赛共有14队参加，每队都要与其余各队在主客场分别比赛1次，共进行多少场比赛？解：练习1．四支足球队争夺冠、亚军，不同的结果有（ ）A ．8种B ．10种C ．12种D ．16种2．信号兵用3种不同颜色的旗子各一面，每次打出3面，最多能打出不同的信号有（ ）A ．3种B ．6种C ．1种D ．27种3．,k N +∈且40,k ≤则(50)(51)(52)(79)k k k k ---- 用排列数符号表示为（ ）A ．5079k k P --B ．2979k P -C ．3079k P -D ．3050k P -4．5人站成一排照相，甲不站在排头的排法有（ ）A ．24种B ．72种C ．96种D ．120种5．给出下列问题：①有10个车站，共需要准备多少种车票？ ②有10个车站，共有多少中不同的票价？③平面内有10个点，共可作出多少条不同的有向线段？④有10个同学，假期约定每两人通电话一次，共需通话多少次？⑤从10个同学中选出2名分别参加数学和物理竞赛，有多少中选派方法？ 以上问题中，属于排列问题的是 （填写问题的编号）6．若{|,||4}x x Z x ∈∈< ，{|,||5}y y y Z y ∈∈<，则以(,)x y 为坐标的点共有 个7．从参加乒乓球团体比赛的5名运动员中选出3名进行某场比赛，并排定他们的出场顺序，有多少种不同的方法？8．从4种蔬菜品种中选出3种，分别种植在不同土质的3块土地上进行试验，有多少中不同的种植方法？9．计算：（1）325454P P + （2）12344444P P P P +++10．分别写出从,,,a b c d 这4个字母里每次取出两个字母的所有排列；11．写出从,,,,,a b c d e f 这六个元素中每次取出3个元素且必须含有元素a 的所有排列排列组合学案（4）排列 (二)目标1．进一步理解排列和排列数的概念，理解阶乘的意义，会求正整数的阶乘； 2．掌握排列数的另一个计算公式，并能熟练应用公式解决排列数的化简、证明等问题复习1．分类计数原理：做一件事情，完成它可以有n 类办法，在第一类办法中有1m 种不同的方法，在第二类办法中有2m 种不同的方法，……，在第n 类办法中有n m 种不同的方法那么完成这件事共有12n N m m m =+++种不同的方法2．分步计数原理：做一件事情，完成它需要分成n 个步骤，做第一步有1m 种不同的方法，做第二步有2m 种不同的方法，……，做第n 步有n m 种不同的方法，那么完成这件事有12n N m m m =⨯⨯⨯ 种不同的方法3．排列的概念：从n 个不同元素中，任取m （m n ≤）个元素（这里的被取元素各不相同）按照一定．．的顺序．．．排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列．．．． 说明：（1）排列的定义包括两个方面：①取出元素，②按一定的顺序排列；4．排列数的定义：从n 个不同元素中，任取m （m n ≤）个元素的所有排列的个数叫做从n 个元素中取出m 元素的排列数，用符号m n P 表示注意区别排列和排列数的不同：“一个排列”是指：从n 个不同元素中，任取m 个元素按照一定的顺序．．．．．排成一列，不是数；“排列数”是指从n 个不同元素中，任取m （m n ≤）个元素的所有排列的个数，是一个数所以符号m n P 只表示排列数，而不表示具体的排列5．排列数公式：(1)(2)(1)m nP n n n n m =---+（,,m n N m n *∈≤） 说明：（1）公式特征：第一个因数是n ，后面每一个因数比它前面一个 少1，最后一个因数是1n m -+，共有m 个因数；（2）全排列：当n m =时即n 个不同元素全部取出的一个排列全排列数：(1)(2)21!nn P n n n n =--⋅=（叫做n 的阶乘） 新课1．阶乘的概念：2．排列数的另一个计算公式：(1)(2)(1)m n P n n n n m =---+＝例1．计算：①66248108!P P P +-；② 11(1)!()!n m m P m n ----． 解：例2．解方程：3322126x x x P P P +=+．解：例3．（选讲）解不等式：2996xx P P ->．解：例4．求证：（1）nmn m n n n m P P P --=⋅；（2）(2)!135(21)2!n n n n =⋅⋅-⋅ ． 证明：练习1．若!3!n x =，则x = （ ） ()A 3n P ()B 3n n P - ()C 3n P ()D 33n P - 2．与37107P P ⋅不等的是 （ ） ()A 910P ()B 8881P ()C 9910P ()D 1010P 3．若532m mP P =，则m 的值为 （ ） ()A 5 ()B 3 ()C 6 ()D 74.将1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格里，没格填一个数字，则每个方格的标号与所填的数字均不相同的填法（ ）种.A ． 6B ． 9C ． 11D ． 235．有5列火车停在某车站并排的五条轨道上，若快车A 不能停在第三条轨道上，货车B 不能停在第一条轨道上，则五列火车的停车方法有（ ）种.A ．78B ．72C ．120D ．966．由0，3，5，7这五个数组成无重复数字的三位数，其中是5的倍数的共有多少个（ ）A ．9B ．21C ． 24D ．427．从9,5,0,1,2,3,7--七个数中，每次选不重复的三个数作为直线方程0ax by c ++=的系数，则倾斜角为钝角的直线共有（ ）条.A ． 14B ．30C ． 70D ．608．计算：5699610239!P P P +=- ； 11(1)!()!n m m P m n ---=⋅- ． 9．若11(1)!242m m m P --+<≤，则m 的解集是 ． 10．（1）已知101095mP =⨯⨯⨯，那么m = ；（2）已知9!362880=，那么79P = ； （3）已知256n P =，那么n = ； （4）已知2247n n P P -=，那么n = ．11.从4种蔬菜品种中选出3种，分别种在不同土质的3块土地上进行实验，有 _____种不同的种植方法 12．9位同学排成三排，每排3人，其中甲不站在前排，乙不站在后排，这样的排法种数共有 种.13．一个火车站有8股岔道，停放4列不同的火车，有多少种不同的停放方法（假定每股岔道只能停放1列火车）？14．一部纪录影片在4个单位轮映，每一单位放映1场，有多少种轮映次序？15.（1）有5本不同的书，从中选3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？（2）有5种不同的书，要买3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？16.某信号兵用红、黄、蓝3面旗从上到下挂在竖直的旗杆上表示信号，每次可以任意挂1面、2面或3面，并且不同的顺序表示不同的信号，一共可以表示多少种不同的信号？17.将4位司机、4位售票员分配到四辆不同班次的公共汽车上，每一辆汽车分别有一位司机和一位售票员，共有多少种不同的分配方案？18. 用0到9这10个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？19. （1）7位同学站成一排，共有多少种不同的排法？（2）7位同学站成两排（前3后4），共有多少种不同的排法？（3）7位同学站成一排，其中甲站在中间的位置，共有多少种不同的排法？（4）7位同学站成一排，甲、乙只能站在两端的排法共有多少种？（5）7位同学站成一排，甲、乙不能站在排头和排尾的排法共有多少种？20. （1）由数字1，2，3，4，5可以组成多少个无重复数字的正整数？（2）由数字1，2，3，4，5可以组成多少个无重复数字，并且比13000大的正整数？21．学校要安排一场文艺晚会的11个节目的出场顺序，除第1个节目和最后1个节目已确定外，4个音乐节目要求排在第2、5、7、10的位置，3个舞蹈节目要求排在第3、6、9的位置，2个曲艺节目要求排在第4、8的位置，共有多少种不同的排法？22．某产品的加工需要经过5道工序，（1）如果其中某一工序不能放在最后加工，有多少种排列加工顺序的方法？（2）如果其中某两工序不能放在最前，也不能放在最后，有多少种排列加工顺序的方法？23．一天的课表有6节课，其中上午4节，下午2节，要排语文、数学、外语、微机、体育、地理六节课，要求上午不排体育，数学必须排在上午，微机必须排在下午，共有多少种不同的排法？24. 由数字0，1，2，3，4，（1）可组成多少个没有重复数字且比20000大的自然数？（2）2不在千位，且4不在十位的五位数有多少个？作业1．停车场上有一排七个停车位，现有四辆汽车需要停放，若要使三个空位连在一起，则停放方法数为（ ）A ．47PB ．37PC ．55PD ．5353P P ⋅ 2．五种不同商品在货架上排成一排，其中,A B 两种必须连排，而,C D 两种不能连排，则不同的排法共有（ ） A ．12种 B ．20种 C ．24种 D ．48种3．6张同排连号的电影票，分给3名教师与3名学生，若要求师生相间而坐，则不同的分法有 （ ）A ．3334P P ⋅B ．3333P P ⋅C ．3344P P ⋅D ．33332P P ⋅4．某人射出8发子弹，命中4发，若命中的4发中仅有3发是连在一起的，那么该人射出的8发，按“命中”与“不命中”报告结果，不同的结果有（ ）A ．720种B ．480种C ．24种D ．20种5．设*,x y N ∈且4x y +≤，则在直角坐标系中满足条件的点(,)M x y 共有 个6．7人站一排，甲不站排头，也不站排尾，不同的站法种数有 种；甲不站排头，乙不站排尾，不同站法种数有 种7．一部电影在相邻5个城市轮流放映，每个城市都有3个放映点，如果规定必须在一个城市的各个放映点放映完以后才能转入另一个城市，则不同的轮映次序有 种（只列式，不计算）．8．一天课表中，6节课要安排3门理科，3门文科，要使文、理科间排，不同的排课方法有 种；要使3门理科的数学与物理连排，化学不得与数学、物理连排，不同的排课方法有 种9．某商场中有10个展架排成一排，展示10台不同的电视机，其中甲厂5台，乙厂3台，丙厂2台，若要求同厂的产品分别集中，且甲厂产品不放两端，则不同的陈列方式有多少种？10．用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的四位数，其中（1）三个偶数字连在一起的四位数有多少个？（2）十位数字比个位数字大的有多少个？11．在上题中，含有2和3并且2和3不相邻的四位数有多少个？12. 从10个不同的文艺节目中选6个编成一个节目单，如果某女演员的独唱节目一定不能排在第二个节目的位置上，则共有多少种不同的排法？13. 7位同学站成一排，（1）甲、乙两同学必须相邻的排法共有多少种？（2）甲、乙和丙三个同学都相邻的排法共有多少种？（3）甲、乙两同学必须相邻，而且丙不能站在排头和排尾的排法有多少种？ （4）甲、乙、丙三个同学必须站在一起，另外四个人也必须站在一起。
排列组合常见问题的策略
一般地,元素分成多排的排列问题, 可归结为一排考虑,再分段研究. 前排 后排
练习题
有两排座位，前排11个座位，后排 12个座位，现安排2人就座规定前排 中间的3个座位不能坐，并且这2人 不左右相邻，那么不同排法的种数 是______
练习题 10人身高各不相等,排成前后排，每排5人,要 求从左至右身高逐渐增加，共有多少排法？
1.某班元旦联欢会准备了5个节目，并且安排好了出场顺序， 临上场前又有2个新节目 加入，要求原有节目的顺序不变，有（ ）中安排方法
六．顶针问题（不配对问题）
• • • 1. 将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格里，每格填一个数， 则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有（ ） 2. 编号为1、2、3、4、5的五个人分别去坐编号为1、2、3、4、5的五个座 位，其中有且只有两个的编号与座位号一致的坐法是（ ） 3. 同室4人各写一张贺年卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人送出的贺 年卡，则4张贺年卡不同的分配方式共有( )
例2：（2009四川卷理）3位男生和3位女生共6位同学站成一排，若男生甲不站两端， 3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是（ ） A. 360 B. 288 C. 216 D. 96 对应练习题 1. 2. 3. 4对孪生兄弟排成一排,每对孪生兄弟有1人的排法数是多少? 有8本互不相同的书,数学3本,外语2本,其他书3本,将它们排成一行 放在书架上,其中数学书放在一起,外语书放在一起,有多少种放法?
十一．染色问题
• • • • 涂色问题的常用方法有： （1）可根据共用了多少种颜色分类讨论; （2）根据相对区域是否同色分类讨论; （3）将空间问题平面化，转化成平面区域 涂色问题。
• 【例1】 将一个四棱锥的每个顶点染上一种 颜色，并使同一条棱的两端点异色，如果 只有5种颜色可供使用，那么不同的染色方 法的总数是_______.