初等数论一-夏子厚

第一节 整除与带余数除法
• 定义1 设a，b是整数，b 0，如果存在 整数q，使得
• a = bq • 成立，则称b整除a或a被b整除，此时a 是b的倍数，b是a的因数（约数或除 数），并且记作：ba；如果不存在整 数q使得a = bq成立，则称b不能整除a或 | a。 a不被b整除，记作：b
表示集合
• A = { y|y =a1x1 a2x2 anxn，xiZ，1 i n }
• 中的最小正数，则对于任何yA，y0y；特别地，
y0ai，1 i n。（证明留给学生自己）
• （2）此类题目的证明方法具有一般性，通常是针
对所给的“最小正数”的概念进行反证法。
《初等数论》课程内容
• 第三章 同余性质
• • • • 第一节 第二节 第三节 第四节 同余的概念及其基本性质 完全剩余系 欧拉函数与简化剩余系 欧拉定理与费马定理
《初等数论》课程内容
• 第四章 同余方程
• • • • • • 第一节 第二节 第三节 第四节 第五节 第六节 一次同余方程 孙子定理（中国剩余定理） 质数模的同余方程 二次同余方程与平方剩余 勒让德符号与二次互反律 雅可比符号
• (ⅱ) 若在r1, r2, , r5中数0，1，2至少有一个不 出现，这样至少有三个ri要取相同的值，不妨设 r1 = r2 = r3 = r（r = 0，1或2），此时a1 a2 a3 = 3(q1 q2 q3) 3r可以被3整除。 • 综合(ⅰ) 、(ⅱ)可知，所证结论成立。
y0 ai xi0 ( xi0 Z ,1 i n)
i 1 n
设d是a1, a2,
n
, an的任意一个公因数，则d∣y0 ai xi0
i 1
，
所以d≤y0。又由本章第1节例2的注（1）知， y0ai，1 i n，因此y0也是a1, a2, , an的一个 公因数。故y0一定是a1, a2, , an所有公因数中 的最大正数。由此即得：y0=（a1, a2, , an）。
第二节 最大公因数
• 例1 设a1, a2, , an为不全为零的整数， 以y0表示集合 • A = { y |y =
a x
i 1
n
i i
=a1x1 anxn，
xiZ，1 i n }
• 中的最小正数，则y0=（a1, a2, , an）。
第二节 最大公因数
• 证明：由于y0是集合A中的最小正数，故
• 则a必在上述序列的某两项之间，即存在整 数q，使得：
• qb a <(q+1) b • 成立，令a-qb=r，则a=bq+r，且0 r < b。
第一节 整除与带余数除法
• 唯一性 假设有两对整数q ，r 与q ，r 都使得式(1)成立，即 • a = q b r = q b r ，0 r , r < b， • 则 (q q )b = r r ，0 |r r | < b， • … … … … … … … (2) • 因此由b | |r r |知r r = 0，r = r • 再由式(2)得出q = q • 从而q和r是唯一的。
《初等数论》课程内容
• 第一章 整除性质
• • • • • • 第一节 整除与带余除法 第二节 最大公因数 第三节 最小公倍数 第四节 辗转相除法 第五节 算术基本定理 第六节 函数[X]、{X}的性质及其应用
《初等数论》课程内容
• 第二章 不定方程
• • • 第一节 二元一次不定方程 第二节 多元一次不定方程 第三节 勾股数x2 y2 = z2
第一节 整除与带余数除法
• 定理1 下面的结论成立：
• (1) ab，bc ac；（传递性）
• (2) ma，mb m(a±b)
• (3) mai，i = 1, 2, , n
• ma1q1 a2q2 anqn，
•
此处qi∈Z（i = 1, 2, , n）。
第一节 整除与带余数除法
• 注：
① ab ab；
② ba bcac，此处c是任意的非零整数；
③ b a ， a 0 |b | |a |；
• b a 且 |a | < | b | a = 0 。
④an- bn=(a-b) M1, n∈Z | an+bn=(a+b)M2, n 为奇数 , M1 , M2∈Z
第一节 整除与带余数除法
• 定理2(带余数除法)
• 设a与b是两个整数，b >0，则存在唯一 的两个整数q和r，使得 • a = bq r，0 r < b。 (1)
• 此外，ba的充要条件是r=0
第一节 整除与带余数除法
• 证明：
• 存在性 作整数序列：
• …，-3b，-2b，-b，0，b，2b，3b，….
第一节 整除与带余数除法
• 思考与练习1.1
• 1、证明：mai ma1q1 a2q2 anqn， qi∈Z。i = 1, 2, , n • 2、证明：6︱n(n+1)(2n+1) n∈N。
• 3、设a1, a2, , an为不全为零的整数，以y0 表示集合A = { y|y =a1x1 anxn，xiZ， 1 i n }中的最小正数，则对于任何yA， y0y；特别地，y0ai，1 i n。
b的因数也就是0与b的公因数；
(2) （0，b）=︱b ︱。
第二节 最大公因数
定理3 若a，b，c是任意三个不全为零的
整数，且a =bqc，其中q是非零整数，
则 a，b与b，c有相同的公因数，
因而 (a, b) = (b, c)。 证明留给学生自己。
第二节 最大公因数
• 定理4 对于任意的n个整数a1, a2, , an，记
dn 2 = (dn 3, an 2) dn 2an 2，dn 2dn 3
• dnan，dnan 1，dnan 2，dndn 3， d2 = (a1, a2) dnan，dnan 1，，dna2，dna1 即dn是a1, a2, , an的一个公因数。
• 由定理1可知，在讨论(a1, a2, , an)时，不妨假设
a1, a2, , an是正整数，以后我们就维持这一假设。
第二节 最大公因数
• 若(a1, a2, , an) = 1，
• 则称a1, a2, , an是互质的；
• 若(ai, a j) = 1，1 i, j n，i j，
你能将上例推广？
第一节 整除与带余数除法
• 例2 若 ax0+by0 是形如ax+by （x,y∈Z，
a，b是两个不全为零的整数）的数中的
最小正数，则
• ax0+by0∣ax+by 。
第一节 整除与带余数除法
• 证明：由于a,b不全为0，所以在整数集合
• S ={ax+by ∣ x,y∈Z} 中存在正整数，因而有形 如ax+by的最小正数ax0+by0 。
第二节 最大公因数
• 定理1 若a1, a2, , an为任意n个不全为零的整数。
则：
• (1) a1, a2, , an与|a1|, |a2|, , |an|的公因数相同；
• (2) (a1, a2, , an) = (|a1|, |a2|, , |an|)。
• （证明了（1）也就证明了（2））
• 对任意的 x,y∈Z ，由带余除法有 • ax+by=（ax0+by0）q+r , 0≤r< ax0+by0 。 • 则 r =(x-x0q)a+(y-y0q)b ∈S ，
• 由ax0+by0 是S中的最小整数知 r =0。
• 故ax0+by0∣ax+by 。
第一节 整除与带余数除法
• 注：（1）设a1, a2, , an为不全为零的整数，以y0
初等数论(一)
Number Theory
（Chap1）
初始版：信阳职业技术学院 夏子厚 修改：贾祥雪
为什么学数论
• 有用 • 在研究函数，尤其是周期函数的时候经 常性要用到。 • 大学学习抽象代数及其后续课程的基础 • 计算机专业的必修课！尤其应用到算法 和密码两大领域 • 好玩，简单，美 • 自主招生、竞赛中考数论
（即：对于a1, a2, , an的任何公因数d， ddn ）
第二节 最大公因数
• 证明：dn = (dn 1, an) dnan，dndn 1，
dn 1 = (dn 2, an 1) dn 1an 1，dn 1dn 2，
• dnan，dnan 1，dndn 2，
(a1, a2) = d2，(d2, a3) = d3，，(dn 2, an 1) = dn 1
(dn 1, an) = dn，则：dn = (a1, a2, , an)。
证明（1）dn是a1, a2, , an的一个公因数；
（2） dn是a1, a2, , an的公约数中的最大者。
第一节 整除与带余数除法
• 定义2 称式(1)中的q是a被b除的商，r是a 被b除的余数。 • 我们设b=15，则：
• 当a=255时，a=17b+0, r=0<15, 而q=17;
• 当a=417时，a=27b+12,r=12<15,而q=27;
• 当a=-81时，a=-6b+9, r=9<15, 而q=-6。
第二节 最大公因数
由d2, , dn的定义，依次得出 • da1，da2 dd2， dd2，da3 dd3， ddn 1，dan ddn， • 因此 dn是a1, a2, , an的公约数中的最大者。 • 故 dn = (a1, a2, , an)。