初等数论1.7(小学教育专业)
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初等数论初等数论是数学中的一个分支，研究的是整数的性质和特殊的数学关系。
它是数学发展的基础，对于数学中的许多其他分支，如代数、几何和数值分析都具有重要的影响。
初等数论可以追溯到古希腊时代，当时的数学家们对整数之间的关系进行了研究，并推导出了许多重要的结论。
在初等数论中，最基础的概念是整数和素数。
整数是自然数、负自然数和零的总称，它们可以用来表示数量。
素数是只能被1和自身整除的正整数，它们没有其他的因子。
素数在初等数论中具有重要的地位，因为他们是其他整数的构成单元。
在初等数论中，我们可以探讨整数的因子分解。
因子分解是将一个整数表示为素数的乘积的过程。
例如，将数字20分解成素数的乘积可以得到2×2×5=20。
因子分解在数论中起着重要的作用，它有助于我们理解整数之间的数学关系。
初等数论中的另一个重要概念是最大公约数和最小公倍数。
最大公约数是两个整数中能够同时被整除的最大的正整数。
最小公倍数是能够同时整除两个整数的最小的正整数。
最大公约数和最小公倍数可以帮助我们解决一些实际问题，比如找到最简分数、解线性方程等。
初等数论中还有一个重要的概念是同余。
同余是指两个整数除以一个正整数得到的余数相同。
例如，当两个整数被3除得到的余数相同时，我们可以说这两个整数互为3的同余数。
同余关系在数论中起着重要的作用，它可以帮助我们研究整数之间的性质和特殊的数学规律。
初等数论还涉及到数论函数的研究。
数论函数是定义在整数上的函数，它们可以帮助我们描述整数的性质和特征。
常见的数论函数包括欧拉函数、莫比乌斯函数等。
这些函数在数论中有广泛的应用，可以帮助我们研究素数分布、整数方程的解等问题。
除了以上几个基本概念，初等数论还包括一些其他的内容，如二次剩余、费马小定理、威尔逊定理等。
这些概念和定理都有着重要的理论意义和实际应用。
初等数论在数学中具有广泛的应用。
它不仅是其他数学分支的基础，还有着许多实际应用。
例如，在计算机科学中，初等数论可以帮助我们设计和分析算法、构建密码系统等。
论初等数论与小学数学的关系
论初等数论与小学数学的关系—-“同余"在小学数学教学中的应用姓名：胡燕尔班级：070214 学号:15 刚翻开人教版大学本科小学教育专业教材《初等数论》的目录，许多在校本科小学教育专业的学生，包括我都存在这样的感觉,那就是觉得这些是再简单不过的内容：整除、质数与合数、最大公约数与最小公倍数、同余等等，这些内容在我们读小学的时候都已经学习过,似乎觉得没有必要再去研究，直到接触学习了这门课程，才扭转了我们的看法.初等数论是小学教育专业，尤其是理科方向学生的必修专业课程，也是从事小学数学教学的老师的进修课程。
其中包括整数的整除性、同余、同余方程、不定方程、不定方程、简单连分数几方面的知识。
这些方面的内容在符合了小学数学教师应具有的教学思维外,也有利于学习者积累从事小学数学教育工作必备的能力与知识。
有人说：“数学是思维的体操，科学的王冠，数论是王冠上的明珠。
”这颗明珠在小学数学中早已是熠熠闪光——我们小学所学习到的数论内容主要包含以下几类：整除问题：（1）整除的性质；（2)数的整除特征（小升初常考内容）余数问题:（1)带余除式的运用被除数=除数×商+余数.（余数总比除数小）（2）同余的性质和运用奇偶问题：（1)奇偶与加减运算；（2)奇偶与乘除运算质数合数：重点是质因数的分解约数倍数：(1）最大公约最小公倍两大定理（2）约数个数决定法则可见，初等数论的应用与小学数学教育事业是息息相关的。
对于初等数论，我学到的也只是九牛一毛，谈不上有什么有建设性的问题，只能粗略地谈谈初等数论中的核心内容-—同余，并通过其在初等数论在小学数学中的应用来说明两者的关系。
同余是由德国数学家高斯首先提出并系统地进行研究的，它是初等数论的核心部分.其中蕴含大量的数论所特有的思想、概念和方法，它的出现使数论成为一个独立的数学分支的标志。
在这一内容中包括其性质，剩余类与剩余系,欧拉定理和循环小数等几个知识点。
在没接触初等数论学习之前,我们对同余这个概念很陌生，其实同余在我们小学数学学习，奥数中已经有了很深入的运用。
初等数论 教案
初等数论教案教案标题：初等数论教学目标：1. 了解数论的基本概念和原理；2. 掌握数论中常见的数学方法和技巧；3. 培养学生的逻辑思维和问题解决能力；4. 培养学生对数学的兴趣和探究精神。
教学内容：1. 数的整除性质与整数的性质；2. 最大公约数与最小公倍数；3. 质数与合数；4. 素因数分解；5. 同余与模运算；6. 一次同余方程；7. 基本定理与欧拉函数。
教学步骤：第一步：导入（5分钟）引入数论的基本概念，介绍数论在数学中的重要性和应用领域，激发学生的学习兴趣。
第二步：知识讲解与讨论（20分钟）1. 数的整除性质与整数的性质：介绍整数的基本性质，包括奇偶性、约数、倍数等概念。
2. 最大公约数与最小公倍数：讲解最大公约数和最小公倍数的定义、性质和计算方法，并通过例题进行实际操作和讨论。
3. 质数与合数：介绍质数和合数的定义，让学生了解它们的特征和性质。
4. 素因数分解：讲解素因数分解的概念和方法，并通过实例演示如何进行素因数分解。
第三步：案例分析与解决问题（25分钟）1. 同余与模运算：介绍同余的概念和性质，讲解模运算的基本规则和应用。
2. 一次同余方程：讲解一次同余方程的定义和解法，并通过例题引导学生进行练习和思考。
3. 基本定理与欧拉函数：讲解基本定理和欧拉函数的定义和性质，通过实例演示如何应用基本定理和欧拉函数解决问题。
第四步：练习与巩固（15分钟）布置一些练习题，让学生独立完成，并及时给予指导和解答。
第五步：总结与拓展（10分钟）对本节课所学内容进行总结，并提出一些拓展问题或思考题，鼓励学生进一步思考和探究。
教学资源：1. 教材：根据教学内容选择合适的初等数论教材；2. 板书：用于记录重要知识点和解题思路；3. 练习题：提供给学生进行巩固和拓展练习。
评估方式：1. 课堂表现：观察学生在课堂上的参与度和回答问题的能力；2. 练习题成绩：评估学生对所学知识的掌握程度；3. 拓展问题回答：评估学生对数论知识的理解和应用能力。
初等数论课程设计
初等数论课程设计一、教学目标本课程旨在通过数论的学习，使学生掌握数论的基本概念、性质和定理，培养学生解决实际问题的能力，提高学生的逻辑思维和数学素养。
具体的教学目标如下：1.知识目标：（1）了解数论的基本概念，如整数、素数、最大公约数等。
（2）掌握数论的基本性质和定理，如素数的分布、费马小定理等。
（3）学会运用数论知识解决实际问题，如密码学、计算机科学中的问题。
2.技能目标：（1）能够运用数论知识进行计算和证明。
（2）培养学生的逻辑思维和分析问题的能力。
（3）提高学生的数学写作和表达能力。
3.情感态度价值观目标：（1）培养学生对数学的兴趣和热情，提高学生的数学素养。
（2）培养学生团队合作和自主学习的能力。
（3）培养学生的创新精神和批判性思维。
二、教学内容本课程的教学内容主要包括数论的基本概念、性质和定理。
具体安排如下：1.第一章：数论基础（1）整数和分数（2）素数和合数（3）最大公约数和最小公倍数2.第二章：素数的分布（1）素数定理（2）素数的计算（3）素数的存在性3.第三章：同余理论（1）同余的基本概念（2）费马小定理（3）欧拉定理4.第四章：数论应用（1）密码学中的应用（2）计算机科学中的应用（3）实际问题中的应用三、教学方法为了提高教学效果，本课程将采用多种教学方法相结合的方式进行教学。
具体方法如下：1.讲授法：通过教师的讲解，使学生掌握数论的基本概念和定理。
2.讨论法：引导学生进行分组讨论，培养学生的团队合作和分析问题的能力。
3.案例分析法：通过分析实际问题，使学生学会将数论知识应用于解决实际问题。
4.实验法：引导学生进行数学实验，培养学生的动手能力和创新精神。
四、教学资源为了支持教学内容和教学方法的实施，本课程将采用以下教学资源：1.教材：选用国内权威的数论教材，为学生提供系统的数论知识。
2.参考书：提供相关的数论参考书，丰富学生的学习资料。
3.多媒体资料：制作多媒体课件，提高课堂教学效果。
浅析小学教育专业初等数论课程例题和练习题
浅析小学教育专业初等数论课程例题和练习题1小学教育专业开设初等数论课程的必要性初等数论是一门古老的数学基础学科，主要研究整数的基本性质，它的理论和方法已广泛用于现代密码学、算子理论、最优设计、组合代数及信息科学等诸多领域.师范院校小学教育专业开设的初等数论课程作为一门专业主干课程，主要研究整数的整除与同余及不定方程，其中的许多内容如整除、约数、倍数、分解质因数等概念和性质都是现行小学数学的主要内容，对小学数学的教学和研究具有重要的指导作用，而小学教育专业的数学类课程设置的目标是为了培养合格的小学数学教师，所以小学教育专业开设初等数论课程很有必要。
由于初等数论要求论证严格，所以它是进行思维训练的有效工具，学习初等数论能发展学生的逻辑数学思维能力。
数论的许多问题本身很容易弄懂，容易引起人们的兴趣，例如哥德巴赫猜想，但要想解决却非常困难。
古今中外许多数学家都是由于被数论问题吸引而投身数学研究，并做出了巨大的贡献，在初等数论课程中有许多简明而又具创造性的问题，它们都是培养学生创造性的很好材料，所以学习初等数论能激发学生对数学的兴趣和创造力。
2小学教育专业初等数论课程例题和练习题的重要性例题和练习题是初等数论教材的重要组成部分，例题是实现课程目标、实施教学的重要资源，具有示范引领、揭示方法、介绍新知、巩固新知、思维训练等功能，而练习题则是将所学的知识进行应用的一个载体，也是教师检查学生学习状况的一个手段，所以初等数论课程的例题和练习题的选择很重要.当前高等院校数学系所开设的初等数论课程所用的教材虽然由于使用的时间长教材所配置的例题和练习题大部分比较合适，但也存在例题和练习题都偏少且练习题难度偏大和基础性的题目所占比例太小等问题[}z}，更何况小学教育专业是最近几年开设的新专业，所用的教材也是近几年编的，大部分的教材在教材内容的选取上比较适合小学教育专业，但例题和练习题的配置大部分是照搬数学系所用的题目，或者是为了应用某个定理而生造一些例题和练习题，因而很多例题和练习题不适合小学教育专业，尤其是与小学数学教学没有多少联系。
初等数论1.8(小学教育专业)
[ x],( x Z ) 性质3 [-x]= [ x] 1.( x Z )
性质4 若[x]=[y],则|x-y|<1.
性质5 [x]+[y] ≤[x+y]. 性质6 若x≥0,y≥0,则[xy]≥[x][y].
例1 求证：若a bq r , 其中a, b, q, r均为正整数, a 且0 r b, 求证:[ ] q. b [ x] x 例2 若x是实数,n是正整数,则[ ] [ ]. n n
定理1 设x是正实数,n是正整数,则从1到x的整数中, x n的倍数有[ ]个。 n
定理2 在n!的标准分解式中,质因数p的指数是. n n n k k 1 h [ ] [ 2 ] [ k ]( p n p ). p p p
例3 求7在2000！中的最高幂指数.
例4 求2001！中末尾0的个数.
1.7高斯函数
学习目标： 1.能熟练掌握高斯函数的性质 2.能熟练应用高斯函数的性质 3.培养学生的归纳能力 重点：高斯函数的性质 难点：高斯函数的性质 教学方法：讲授法 练习法 课时数：2 授课日期：2014.5.6
不超过实数x的最大整数记作[x].例如,[π ]=3,[-1.3]=-2. 函数y=[x],x∈R叫做高斯(gauss)函数.也叫做取整函 数。 显然[x]是整数,且满足x-1<[x] ≤x<[x]+1. 高斯函数的性质： 性质1：函数y=[x]是不减函数,即若x1 ≤x2 ,则有[x1] ≤[x2]. 性质2：若n是整数,则[x+n]=n+[x],即整数可以从方括 号中提出.
例5 求30!的标准分解式.
小结：本节主要讲述高斯函数的性质及其应用， 重点掌握高斯函数性质并能灵活运用。
《初等数论》教学大纲2024
引言概述：初等数论是数学的一个重要分支，它研究整数的性质和关系，是一门基础性的课程。
本文旨在为《初等数论》课程的教学制定一份详细的大纲，以帮助教师合理安排教学内容，提高教学效果。
正文内容：一、素数与合数1.素数的定义与性质素数的定义：只能被1和自身整除的正整数。
2.合数的定义与性质合数的定义：不是素数的正整数。
二、因数与倍数1.因数的概念因数的定义：能整除一个数的整数。
因子的分类：负因数、正因数、真因数。
2.最大公因数与最小公倍数最大公因数的定义与性质：两个数公共因子中最大的一个。
最小公倍数的定义与性质：两个数公共倍数中最小的一个。
三、整数的整除性与除法算法1.整除的概念与性质整除的定义：一个数能够被另一个数整除。
整除的性质：整数除法原则、整数的对称性。
2.整数的除法算法除法算法的步骤与原理：用减法、用乘法、整数除法算法的应用。
四、余数与模运算1.余数的概念与性质余数的定义：做除法时除不尽的部分。
余数的性质：余数的范围、余数的基本性质。
2.模运算的概念与性质模运算的定义：对于整数a和正整数n，a与n的商所得的余数。
模运算的性质：模运算的加法、减法和乘法规则。
五、同余与模运算应用1.同余的定义与性质同余的定义：对于整数a、b和正整数n，当a与b对n取余相等时，称a与b模n同余。
同余的性质：同余的传递性、同余的运算性质。
2.模运算的应用模运算在代数方程中的应用：线性同余方程、模运算的性质在方程求解中的应用。
总结：本文从素数与合数、因数与倍数、整除性与除法算法、余数与模运算以及同余与模运算应用等五个大点进行阐述。
通过这些内容的学习，学生将能够了解整数的性质和关系，理解数论的基本原理，为后续数学学习打下坚实的基础。
教师在教学过程中，应注重拓展学生的数学思维、培养其解决问题的能力，并结合实际生活和其他数学知识进行应用。
通过系统的教学大纲指导，教师能够更好地组织教学内容，提高学生的学习效果。
初等数论教案
初等数论教案一、引言初等数论是研究自然数的性质和关系的学科，属于数学的基础分支之一。
在教学中，我们需要引导学生了解数论的基本概念和方法，培养他们的数论思维和解题能力。
本教案将介绍如何系统地教授初等数论，以帮助学生建立坚实的数学基础。
二、教学目标1. 掌握数论的基本概念，包括质数、整除、最大公因数等。
2. 理解并运用数论的重要性质，如同余定理、欧拉定理等。
3. 培养学生的数论思维，能够独立解决数论问题。
4. 提高学生的数学证明能力，能够进行简单的数学推理和证明。
三、教学内容1. 质数与合数- 质数的定义与性质- 合数的定义与性质- 质因数分解的方法与应用2. 整除与倍数- 整除关系的定义与性质- 最大公因数与最小公倍数的计算方法- 用整除性质解决实际问题3. 同余- 同余关系的定义与性质- 同余定理的应用- 模运算的基本性质与运算规则4. 欧拉函数与欧拉定理- 欧拉函数的定义与性质- 欧拉定理的表述与证明- 欧拉定理在密码学中的应用5. 素数分布与素数定理- 素数的分布规律与猜想- 素数定理的表述与证明- 素数定理的应用与拓展四、教学方法1. 讲授与示范教师以简明的语言对数论的基本概念和性质进行讲解，辅以具体的例子进行示范。
2. 互动与讨论教师引导学生主动参与，提出问题并进行讨论，鼓励学生发表自己的观点和思考。
3. 实践与探究通过实际问题和实例的引导，鼓励学生灵活运用所学知识解决问题，并进行探究和发现。
4. 案例分析选取一些经典或有趣的数论问题进行案例分析，提高学生应用数论知识解决问题的能力。
五、教学评价1. 课堂表现评价考察学生对数论基本概念的理解、问题解决能力和参与互动的表现。
2. 作业评价布置适量的练习题和探究性的作业，评价学生对数论知识的掌握和应用能力。
3. 考试评价通过定期的小测验和期末考试评价学生的数论理论水平和解题能力。
六、教学资源1. 教材：根据教学内容选择合适的初等数论教材。
2. 多媒体：配备投影仪等多媒体设备，以便使用相关的课件和动态演示。
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一、正整数的正约数个数
在一间房子里有编号为1-100的100盏灯,每盏都配有 一个开关,开始灯全灭着.现有100个人依次进入房间, 第k个人把编号是k的倍数的灯的开关各拉一次,这样 操作完成之后,哪些编号的灯亮着。
为了叙述方便,我们把正整数n的正约数个数记作 d(n) . 例如,d(1)=1,d(2)=2,d(5)=2,d(8)=4,d(12)=6
例3 有一个小于2000的四位数,它恰有14个正约数,其 中有一个质约数的末位数字是1,求这个四位数. 定理2 正整数n为完全平方数的充要条件是d(n)为奇 数.
例4 求证：正整数n的所有正约数之积等于 nd ( n) .
二、正整数n的所有正约数之和
正整数n的所有正约数之和记作S(n) 1.当n只含有一个质约数时
思考：d(360)=
d(450000)=
1 2 定理1 设正整数n的标准分解式为n=p1 , p2 ,
m , pm ,则
d (n) (1 1)( 2 1)
例1 求d(300000).
(am 1).
例2 若n p q , 其中p, q为不同质数, 1,Байду номын сангаас 1.且n 2有 15个正约数,求d (n7 ).
pm )
m
1 1 2 1 p1 1 p2 1 p1 1 p2 1
m 1 pm 1 pm 1
例5 求S(360).
例6 求形如2k 3m的正整数, 且使其所有正约数之和 为403。
例7 求1998的所有正约数的倒数之和.
小结：本节主要讲述正整数的正约数个数与总和， 要求会求正整数正约数的个数，理解正约数总和 的求法，并能灵活运用。 作业：习题1.7第7题. 教学后记：基本能掌握主要知识点，但不是很熟 练，应多做练习题。
1.7正整数的正约数个数与总和
学习目标： 1.能熟练求正整数的正约数的个数 2.理解并掌握正整数n的所有正约数之和 3.培养学生的归纳能力 重点：正整数的正约数的个数 难点：正整数n的所有正约数之和 教学方法：讲授法 练习法 课时数：3 授课日期：2014.4.15/22
1 q 1 . p 1 q 1 p
m1
k 1
定理3 设正整数n p1 p2
S(n) (1 p
1 1
1
2
pm ,( p1 , p1 ,
p2 )
2
m
pm是互
1 m
异质数,1 ,1 , m为正整数), 则
p1 )(1 p
1 2
1
(1 p
一般地, 若n p m , 则
S (n) 1 p1 p 2
2.当n含有两个质约数时
m k
m1 p 1 m p . p 1
一般地, 若n p q ( p, q是互异质数,m,k 为正整数),则
S (n) (1 p1 p 2 p m )(1 q1 q 2 qk )