一致收敛函数列与函数项级数的性质

§2 一致收敛函数列与函数项级数的性质教学计划：４课时．教学目的：让学生掌握一致收敛函数列与函数项级数的性质及其应用． 教学重点：函数列与函数项级数的确定的函数的连续性、可积性与可微性． 教学难点：在一致收敛的条件下证明各项分析性质． 教学方法：讲授法． 教学步骤：本节讨论由函数列与函数项级数的确定的函数的连续性、可积性与可微性．定理13．8 设函数列{}n f 在()()b x x a o o ,, 上一致收敛于()x f ，且对每个n ，()n n x x a x f o=→lim 则n n a ∞→lim 和()x f ox x →lim 均存在且相等．证 先证{}n a 是收敛数列.对任意0>ε，由于{}n f 一致收敛，故有N ，当N n >和任意正整数p ，对一切()()b x x a x o o ,, ∈有()().ε<-+x f x f p n n (1)从而()()ε≤-=-+→+x f x f a a p n n x x p n n 0lim这样由柯西准则可知{}n a 是收敛数列．设.lim A a n n =∞→．再证().lim 0A x f x x =→由于)(x f n 一致收敛于)(x f 及n a 收敛于A ，因此对任意,0>ε存在正数N ，当N n >时，对任意),(),(00b x U x a x ∈33)()(εε<-<-A a x f x f n 和同时成立.特别取,1+=N n 有.3,3)()(11εε<-<-++A a x f x f N N又(),lim 110++→=N N x x a x f ，故存在,0>δ，当δ<-<00x x 时，.3)(11ε<-++N N a x f这样，当x 满足δ<-<00x x 时，A a a x f x f x f A x f N N N N -+-+-≤-++++1111)()()()(,333εεεε=++<即 ().lim 0A x f x x =→ □这个定理指出：在一致收敛的条件下，{})(x f n 中两个独立变量x 与n ，在分别求极限时其求极限的顺序可以交换，即()().lim lim lim lim 00x f x f n x x n n n x x →∞→∞→→= (2) 类似地，若)(x f n 在()b a ,上一致收敛且)(lim x f n ax +→存在，可推得()().lim lim lim lim x f x f n ax n n n a x ++→∞→∞→→=；若)(x f n 在()b a ,上一致收敛和)(lim x f n bx +→存在，则可推得()().lim lim lim lim x f x f n bx n n n b x ++→∞→∞→→=．由定理13.8可得到以下定理．定理13.9（连续性） 若函数列{}n f 在区间I 上一致收敛，且每一项都连续，则其极限函数f 在I 上也连续．证 设0x 为I 上任一点。

由于()()00lim x f x f n n x x =→，于是由定理13.8知()x f x x 0lim →亦存在，且()()()00lim lim 0x f x f x f n n x x ==∞→→，因此)(x f 在0x 上连续． □由定理13.9可知：若各项为连续函数的函数列在区间I 上其极限函数不连续，则此函数列在区间I 上不一致收敛. 例如：函数列{}nx 的各项在(]1,1-上都是连续的，但其极限函数()⎩⎨⎧=<<-=1,1,11,0x x x f在1=x 时不连续，从而推得{}nx 在(]1,1-上不一致收敛。

定理13.10（可积性） 若函数列{}n f 在[]b a ,上一致收敛，且每一项都连续，则()().lim lim dx x f dx x f n b a n n n ba ⎰=⎰∞→∞→ ()3证 设f 为函数列{}n f 在[]b a ,上的极限函数。

由定理13.9，f 在[]b a ,上连续，从而() ,2,1=n f n 与f 在[]b a ,上都可积．因为在[]b a ,上()∞→→→n f f n，故对任给正数ε，存在N ，当N n >时，对一切[]b a x ,∈，都有()().ε<-x f x f n再根据定积分的性质，当N n >时有()()()()()dx x f x f dx x f dx x f n ba b a n b a -⎰=⎰-⎰()()dx x f x f n b a -⎰≤().a b -≤ε这就证明了等式（3）． □ 这个定理指出：在一致收敛的条件下，极限运算与积分运算的顺序可以交换． 例1 设函数⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤≤=<≤-<≤,11,0.,2,1,121,22,210,2)(x n n n x n x na a nx na x f n n n n其图象如图413-所示．显然{})(x f n 是[]1,0上连续函数列，且对任意[].0)(lim ,1,0=∈∞→x f x n n 又[]n n x a x f =-∈0)(sup 1,0，因此{})(x f n 在[]1,0上一致收敛于0的充要条件是().0∞→→n a n由于n a dx x f n n 2)(10=⎰，因此→⎰10)(dx x f n 0)(10=⎰dx x f 的充要条件是.02lim ==∞→na nn 这样当1≡n a 时，虽然(){}x f n 不一致收敛于()x f ，但定理10.13的结论仍成立．但当n a n =时，(){}x f n 不一定收敛于()x f ，且()211≡⎰dx x f n 也不收敛于()010=⎰dx x f n .例1说明当(){}x f n 收敛于()x f 时，一致收敛性是极限运算与积分运算交换的充分条件，但不是必要条件．定理11.13（可微性）设{}n f 为定义在[]b a ,上的函数列，若[]b a x o ,∈为{}n f 的收敛点，{}n f 的每一项在[]b a ,上有连续的导数，且{}n f '在[]b a ,上一致收敛，则()()().lim lim x f dx dx f dx d n n n n ∞→∞→= （4）证 设()()()[]b a x n g f n A x f n o n ,,',∈∞→→→∞→→，我们要证明函数列{}n f 在区间[]b a ,上收敛，且其极限函数的导数存在且等于g ．由定理条件，对任一[]b a x ,∈，总有()()().'dt t f x f x f xx n o n n o⎰+=当∞→n 时，右边第一项极限为A ，第二项极限为()dt t g x x o⎰（定理10.13），所以左边极限存在，记为f ，则有()()()(),lim dt t g x f x f x f xx o n n o⎰+==∞→其中().A x f o =。

由g 的连续性及微积分学基本定理（第十章§5）推得.'g f = 这就证明了等式（4）． □ 在定理11.13的条件下，还可推出[]b a ,上(),∞→→→n f f n请读者自己证明．与前面两个定理一样，一致收敛条件是极限运算与求导运算交换的充分条件，而不是必要条件．例2 函数列 () ,2,1),1ln(2122=+=n x n n x f n 与 ,2,1,1'22=+=n xn nx f n 在[]1,0上都收敛于0，由于[]()(),21''max lim 1,0=-∈∞→x f x f n x n 所以导函数()x f n '在[]1,0上不一致收敛，但有()()[].'.lim 0'lim x f x f n n n n ∞→∞→== □在上述三个定理中，我们都 可举出函数列不一致收敛但定理结论成立的例子。

在今后的进一步学习中(如实变函数论)我们将讨论使上述定理 成立的较弱的条件。

但在目前的一般情况下，只有满足一致收敛的条件，才能保证定理结论的成立。

现在讨论定义在区间[]b a ,上函数项级数++++)()()(21x u x u x u n ()5 的连续性、逐项求积与逐项求导的性质，这些性质可由函数列的相应性质推出． 定理12.13（连续性）若函数列级数()x u n∑在区间[]b a ,上一致收敛，且每一项都连续，则其和函数在[]b a ,上也连续．这个定理指出：在一致收敛条件下，（无限项）求和运算与求极限运算可以交换顺序，即()()().lim lim ∑∑→→=⎪⎭⎫ ⎝⎛x u x u nx x nx x oo()6 定理13.13（逐项求积）若函数列级数()x u n ∑在[]b a ,上一致收敛，且每一项()x u n都连续，则()().dx x u dx x u banb an⎰∑⎰= ()7 定理14.13（逐项求导）若函数列级数()x u n ∑在[]b a ,上每一项都有连续的导函数，[]b a x o,∈为()x u n ∑的收敛点，且()x u n ∑'在[]b a ,上一致收敛，则()()().∑∑=⎪⎭⎫⎝⎛x u dx dx u dx d nn ()8 定理13.13和14.13指出，在一致收敛条件下，逐项求积或求导后求和等于求和后再求积或求导．最后，我们指出，本节中六个定理的意义不只是检验函数列或函数项级数是否满足关系式），（8)6(),4()2(--更重要的根据定理的条件，即使没有求出极限函数或函数，也能由函数列或函数项级数本身获得极限函数或和函数的解析性质． 例3 设()),1ln(1223x n nx u n +=.,2,1 =n 证明函数项级数()∑x u n 在[]1,0上一致收敛,并讨论其和函数在[]1,0上的连续性、可积性与可微性．证 对每一个，易见()x u n 为[]1,0上增函数，故有 ()()(),1ln 1123n nu x u n n +=≤ .,2,1 =n 又当1≥t 时，有不等式()t t <+21ln ，所以()(),111ln 12323nn n n n x u n =•<+≤ .,2,1 =n 以收敛数∑21n 为()x u n ∑的优级数，推得()x u n ∑在[]1,0上一致收敛．由于每一个()x u n 在[]1,0上连续，根据定理12.13与定理13.13，()x u n ∑的和函数()x S 在[]1,0上连续且可积。