广东省东莞市虎门市捷胜中学中考数学一模试卷(含解析)【含解析】
2022年广东省东莞市中考数学一模试题及答案解析
2022年广东省东莞市中考数学一模试卷一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。
在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1. −3的相反数是( )A. −3B. −13C. 3D. ±32. 目前发现的新冠病毒其直径约为0.00012毫米，将0.00012用科学记数法表示为( )A. 0.12×10−3B. 1.2×10−4C. 1.2×10−5D. 12×10−33. 若一个正多边形的一个外角是36°，则这个正多边形的边数是( )A. 7B. 8C. 9D. 104. 下列运算正确的是( )A. a3+a3=a6B. a2⋅a3=a6C. (ab)2=ab2D. (a2)4=a85. 下列哪个图形是正方体的展开图( )A. B.C. D.6. 分别标有数字0，π，13，−1，√2的五张卡片，除数字不同外其他均相同，从中任抽一张，那么抽到无理数的概率是( )A. 15B. 25C. 35D. 457. 关于x的一元二次方程x2−6x+m=0有两个不相等的实数根，则m的值可能是( )A. 8B. 9C. 10D. 118. 如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，若四边形OBCD为菱形，则∠BAD的度数为( )A. 45°B. 60°C. 72°D. 36°9. 如图，点A，B，C在正方形网格的格点上，则sin∠BAC等于( )A. √23B. √105C. √510D. √5510. 如图，已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，有下列5个结论：①abc>0；②4a+2b+c>0；③b−a>c；④若B(−12,y1)，C(32,y2)为函数图象上的两点，则y1>y2；⑤a+b>m(am+b)(m≠1的实数).其中正确结论的个数是( )A. 1B. 2C. 3D. 4二、填空题（本大题共7小题，共28.0分）11. 已知点P(−2,1)，则点P关于x轴对称的点的坐标是______．12. 将抛物线y=2x2向右平移1个单位，所得抛物线的解析式为______．13. 如图，AB//CD，CB平分∠ECD，若∠B=26°，则∠1的度数是______ ．14. 若实数m，n满足(m−6)2+√n+2=0，则√m+n的值是______．15. 如图，已知一次函数y=kx+3和y=−x+b的图象交于点P(2,4)，则关于x的方程kx+ 3=−x+b的解是_____________．16. 若x−y−3=0，则代数式x2−y2−6y的值等于______．17. 如图，在矩形ABCD中，E为AB的中点，P为BC边上的任意一点，把△PBE沿PE折叠，得到△PFE，连接CF.若AB=10，BC=12，则CF的最小值为______．三、计算题（本大题共1小题，共6.0分）18. 计算：|1−√2|−2sin45°+(3.14−π)0−(−1)−2．2四、解答题（本大题共7小题，共56.0分。
2023年广东省东莞市虎门外语学校中考数学一模试卷【答案版】
2023年广东省东莞市虎门外语学校中考数学一模试卷一、选择题（每小题3分，共30分） 1．如图几何体的俯视图是（ ）A ．B ．C ．D ．2．下列统计量中，反映一组数据波动情况的是（ ） A ．平均数B ．众数C ．频率D ．方差3．下列长度的三条线段不能组成直角三角形的是（ ） A ．3cm ，4cm ，5cm B ．4cm ，3cm ，√7cmC ．6cm ，8cm ，9cmD ．1cm ，√2cm ，√3cm4．函数y =√x −1中，自变量x 的取值范围是（ ） A ．x ＞1B ．x ≥1C ．x ＜1D ．x ≤15．不等式组{x +1≥24x −8＜0的解集在数轴上表示正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．6．对于抛物线y ＝﹣（x ﹣1）2+2，下列说法中错误的是（ ） A ．对称轴是直线x ＝1B ．顶点坐标是（1，2）C ．当x ＞1时，y 随x 的增大而减小D ．当x ＝1时，函数y 的最小值为27．如图，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，点D 是AC ̂的中点，点E 是BC ̂上的一点，若∠ADC ＝110°，则∠DEC 的度数是（ ）A ．35°B ．45°C ．50°D ．55°8．小明和小强两人在公路上匀速骑行，小强骑行28km 所用时间与小明骑行24km 所用时间相等，已知小强每小时比小明多骑行2km ，小强每小时骑行多少千米？设小强每小时骑行xkm ，所列方程正确的是（ ） A ．28x=24x+2B ．28x+2=24xC ．28x−2=24xD ．28x=24x−29．已知3m ＝2，3n ＝5，则32m +n ＝（ ） A ．45B ．10C ．9D ．2010．如图，在平行四边形ABCD 中，用直尺和圆规作∠BAD 的平分线AG 交BC 于点E ，若BF ＝6，AB ＝5，则AE 的长为（ ）A ．10B ．8C ．6D ．4二、填空题（每小题4分，共28分）11．2022年10月16日，中国共产党第二十次全国代表大会在北京人民大会堂开幕，开幕式中一组组亮眼的数据，展示了新时代十年发展的新成就．其中，国内生产总值从540000亿元增长到1140000亿元．把“1140000”用科学记数法表示，1140000＝ ． 12．因式分解：2x 3﹣8x ＝ ．13．为减少安全隐患，某学校将一批方角型书桌更换为圆角型书桌．已知此书桌桌角所在圆的半径为5cm ，所对的圆心角为90°，则一个桌角的弧长为 cm ．14．若一元二次方程x 2﹣2x ﹣2＝0有两个实数根x 1，x 2，则x 12+x 22的值是 ．15．如图，正方形ABCD 的两条对角线AC ，BD 相交于点O ，点E 在BD 上，且BE ＝BC ．则∠BEC 的度数为 ．16．如图，某同学准备用一根内半径为5cm 的塑料管裁一个引水槽，使槽口宽度AB 为8cm ，则槽的深度CD 为 cm ．17．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ＝4，P 是△ABC 的高CD 上一个动点，以B 点为旋转中心把线段BP 逆时针旋转45°得到BP ′，连接DP ′，则DP ′的最小值是 ．三、解答题（一）（每题6分，共18分）18．化简求值：(2x−2x −1)÷x 2−4x+4x 2−x，其中x ＝5．19．如图，在平行四边形ABCD 中，DE ⊥AC ，BF ⊥AC ，垂足分别为点E ，F ． 求证：AE ＝CF ．20．某厂家生产一批遮阳伞，每个遮阳伞的成本价是20元，试销售时发现：遮阳伞每天的销售量y （个）与销售单价x （元）之间是一次函数关系，当销售单价为28元时，每天的销售量为260个；当销售单价为30元时，每天的销售量为240个．（1）求遮阳伞每天的销售量y （个）与销售单价x （元）之间的函数关系式；（2）设遮阳伞每天的销售利润为w （元），当销售单价定为多少元时，才能使每天的销售利润最大？ 四、解答题（二）（每题8分，共24分）21．（8分）劳动教育是学校贯彻“五育并举”的重要举措，某校倡议学生在家帮助父母做一些力所能及的家务，小杨随机抽取该校部分学生进行问卷调查，问卷调查表如图所示，并根据调查结果绘制了两幅不完整的统计图．（1）求小杨共调查了多少人和扇形统计图中表示选项“D ”的扇形的圆心角度数； （2）将条形统计图补充完整；（3）该校有2200名学生，根据抽样调查结果，请你估计该校平均每周做家务的时间不少于2小时的学生人数．22．（8分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线y ＝﹣x +6与反比例函数y =kx 的图象交于点A （1，a ）和点B ．（1）求反比例函数的表达式；（2）若点C 为线段AB 上一点，过点C 作CD ∥x 轴交双曲线于点D ，连接OC ，OD ，若△OCD 的面积为32，求点C 的坐标．23．（8分）如图，在等腰△ABC 中，AB ＝AC ．E 为BC 的中点，BD 平分∠ABC 交AE 于D ．经过B ，D 两点的⊙O 交BC 于点G ．交AB 于点F ．FB 恰为⊙O 的直径． （1）求证：AE 与⊙O 相切．（2）当AC ＝10，cos C =35时，求⊙O 的半径．五、解答题（二）（每题10分，共20分）15-12t （2224．（10分）（1）问题发现：如图1，在△OAB 和△OCD 中，OA ＝OB ，OC ＝OD ，∠AOB ＝∠COD ＝40°，连接AC ，BD 交于点M ，填空：AC BD= ；∠AMB ＝ ；（2）类比探究：如图2，在△OAB 和△OCD 中，∠AOB ＝∠COD ＝90°，∠OAB ＝∠OCD ＝30°，连接AC 交BD 的延长线于点M ，请判断AC BD的值及∠AMB 的度数，并说明理由；（3）拓展延伸：如图3，在（2）的条件下，将△OCD 绕点O 旋转至点C 与点M 重合，若OD ＝1，OB =√7，填空：AC ＝ ．25．（10分）如图1，四边形OABC 是矩形，点A 的坐标为（3，0），点C 的坐标为（0，6），点P 从点O 出发，沿OA 以每秒1个单位长度的速度向点A 运动，同时点Q 从点A 出发，沿AB 以每秒2单位长度的速度向点B 运动，当点P 与点A 重合时运动停止，设运动时间为t 秒． （1）当t ＝2时，填空：线段AP ＝ ，BQ ＝ ； （2）当△CBQ 与△P AQ 相似时，求t 的值；（3）当t ＝1时，抛物线y ＝x 2+bx +c 经过P ，Q 两点，与y 轴交于点M ，抛物线的顶点为K ，如图2所示，问该抛物线上是否存在点D ，使∠MQD =12∠MKQ ？若存在，求出抛物线的解析式并直接写出所有满足条件的D 的坐标；若不存在，说明理由．2023年广东省东莞市虎门外语学校中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题3分，共30分）1．如图几何体的俯视图是（）A．B．C．D．解：这个组合体的俯视图如图所示：故选：B．2．下列统计量中，反映一组数据波动情况的是（）A．平均数B．众数C．频率D．方差解：由于方差和标准差反映数据的波动情况．故选：D．3．下列长度的三条线段不能组成直角三角形的是（）A．3cm，4cm，5cm B．4cm，3cm，√7cmC．6cm，8cm，9cm D．1cm，√2cm，√3cm解：A、32+42＝52，故选项A中的三条线段能构成直角三角形；B、32+（√7）2＝42，故选项B中的三条线段能构成直角三角形；C、62+82≠92，故选项C中的三条线段不能构成直角三角形；D、12+（√2）2＝（√3）2，故选项D中的三条线段能构成直角三角形．故选：C．4．函数y=√x−1中，自变量x的取值范围是（）A．x＞1B．x≥1C．x＜1D．x≤1解：由题意得，x﹣1≥0，解得x≥1．故选：B．5．不等式组{x +1≥24x −8＜0的解集在数轴上表示正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．解：解不等式x +1≥2，得：x ≥1， 解不等式4x ﹣8＜0，得：x ＜2， 则不等式组的解集为1≤x ＜2， 将不等式组的解集表示在数轴上如下：故选：D ．6．对于抛物线y ＝﹣（x ﹣1）2+2，下列说法中错误的是（ ） A ．对称轴是直线x ＝1B ．顶点坐标是（1，2）C ．当x ＞1时，y 随x 的增大而减小D ．当x ＝1时，函数y 的最小值为2解：∵抛物线y ＝﹣（x ﹣1）2+2，∴a ＝﹣1，对称轴为直线x ＝1，顶点坐标为（1，2）， 当x ＞1时，y 随x 的增大而减小，当x ＝1时，抛物线有最大值为2，D 选项错误． 故选：D ．7．如图，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，点D 是AC ̂的中点，点E 是BC ̂上的一点，若∠ADC ＝110°，则∠DEC 的度数是（ ）A ．35°B ．45°C ．50°D ．55°解：连接BD ，如图．∵四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形， ∴∠ABC +∠ADC ＝180°， ∵∠ADC ＝110°， ∴∠ABC ＝70°， ∵点D 是AĈ的中点， ∴∠ABD ＝∠CBD ＝35°， ∴∠DEC ＝∠CBD ＝35°， 故选：A ．8．小明和小强两人在公路上匀速骑行，小强骑行28km 所用时间与小明骑行24km 所用时间相等，已知小强每小时比小明多骑行2km ，小强每小时骑行多少千米？设小强每小时骑行xkm ，所列方程正确的是（ ） A ．28x=24x+2B ．28x+2=24xC ．28x−2=24xD ．28x=24x−2解：∵小强每小时比小明多骑行2km ，小强每小时骑行x km ， ∴小明每小时骑行（x ﹣2）km ． 依题意得：28x=24x−2．故选：D ．9．已知3m ＝2，3n ＝5，则32m +n ＝（ ） A ．45B ．10C ．9D ．20解：当3m ＝2，3n ＝5时，32m +n ＝32m ×3n ＝（3m ）2×3n ＝22×5＝4×5＝20． 故选：D ．10．如图，在平行四边形ABCD 中，用直尺和圆规作∠BAD 的平分线AG 交BC 于点E ，若BF ＝6，AB ＝5，则AE 的长为（ ）A．10B．8C．6D．4解：连接EF，AE交BF于O点，如图，由作法得AB＝AF，AE平分∠BAD，即∠BAE＝∠DAE，∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BC，∴∠DAE＝∠BEA，∴∠BAE＝∠BEA，∴BA＝BE，∴AF＝BE，∴四边形ABEF为平行四边形，而AB＝AF，∴四边形ABEF为菱形，∴AE⊥BF，BO＝OF＝3，在Rt△AOB中，OA=√52−32=4，∴AE＝2OA＝8．故选：B．二、填空题（每小题4分，共28分）11．2022年10月16日，中国共产党第二十次全国代表大会在北京人民大会堂开幕，开幕式中一组组亮眼的数据，展示了新时代十年发展的新成就．其中，国内生产总值从540000亿元增长到1140000亿元．把“1140000”用科学记数法表示，1140000＝ 1.14×106．解：1140000＝1.14×106．故答案为：1.14×106．12．因式分解：2x 3﹣8x ＝ 2x （x +2）（x ﹣2） ．解：2x 3﹣8x ＝2x （x 2﹣4）＝2x （x +2）（x ﹣2）．故答案为：2x （x +2）（x ﹣2）．13．为减少安全隐患，某学校将一批方角型书桌更换为圆角型书桌．已知此书桌桌角所在圆的半径为5cm ，所对的圆心角为90°，则一个桌角的弧长为52π cm ． 解：l =90π×5180=52π（cm ）． 故答案为：52π．14．若一元二次方程x 2﹣2x ﹣2＝0有两个实数根x 1，x 2，则x 12+x 22的值是 8 ．解：∵x 2﹣2x ﹣2＝0有两个实数根x 1，x 2，∴x 1+x 2＝2，x 1x 2＝﹣2，∴x 12+x 22＝（x 1+x 2）2﹣2x 1x 2＝22﹣2×（﹣2）＝4+4＝8．故答案为：8．15．如图，正方形ABCD 的两条对角线AC ，BD 相交于点O ，点E 在BD 上，且BE ＝BC ．则∠BEC 的度数为 67.5° ．解：∵四边形ABCD 是正方形．∴BC ＝CD ，∠DBC ＝45°，∵BE ＝CD ，∴BE ＝BC ，∴∠BEC ＝∠BCE ＝（180°﹣45°）÷2＝67.5°，故答案为：67.5°16．如图，某同学准备用一根内半径为5cm 的塑料管裁一个引水槽，使槽口宽度AB 为8cm ，则槽的深度CD 为 2 cm ．解：如图，由题意可知，OA ＝5cm ，OC ⊥AB ，则AD =DB =12AB =4cm ，在Rt △ADO 中，由勾股定理得，OD =√OA 2−AD 2=3（cm ），∴CD ＝OC ﹣OD ＝5﹣3＝2（cm ）．故答案为2．17．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ＝4，P 是△ABC 的高CD 上一个动点，以B 点为旋转中心把线段BP 逆时针旋转45°得到BP ′，连接DP ′，则DP ′的最小值是 2√2−2 ．解：如图，在BC 上截取BE ＝BD ，连接EP ，∵∠ACB ＝90°，AC ＝BC ＝4，CD ⊥AB ，∴BA ＝4√2，∠ABC ＝∠BAC ＝∠BCD ＝∠DCA ＝45°，BD ＝CD ＝AD ＝2√2=BE ，∵以B 点为旋转中心把线段BP 逆时针旋转45°得到BP ′，∴BP ＝BP '，∠PBP '＝45°＝∠ABC ，∴∠DBP '＝∠CBP ，在△BDP '和△BEP 中，{BD =BE∠DBP′=∠CBP BP =BP′，∴△BDP '≌△BEP （SAS ），∴PE ＝P 'D ，∴当PE ⊥CD 时，PE 有最小值，即DP '有最小值，∵PE ⊥CD ，∠BCD ＝45°，∴CE =√2PE ＝BC ﹣BE ＝4﹣2√2，∴PE ＝2√2−2，故答案为：2√2−2．三、解答题（一）（每题6分，共18分）18．化简求值：(2x−2x −1)÷x 2−4x+4x 2−x，其中x ＝5． 解：（2x−2x −1）÷x 2−4x+4x 2−x =2x−2−x x ÷(x−2)2x(x−1) =x−2x ⋅x(x−1)(x−2)2 =x−1x−2， 当x ＝5时，原式=5−15−2=43．19．如图，在平行四边形ABCD 中，DE ⊥AC ，BF ⊥AC ，垂足分别为点E ，F ．求证：AE ＝CF ．证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ＝BC ，AD ∥BC ，∴∠DAE ＝∠BCF ，∵DE ⊥AC ，BF ⊥AC ，∴∠DEA ＝∠BFC ＝90°，在△DEA 与△BFC 中，{∠DEA =∠BFC∠DAE =∠BCF AD =CB，∴△DEA ≌△BFC （AAS ），∴AE ＝CF ．20．某厂家生产一批遮阳伞，每个遮阳伞的成本价是20元，试销售时发现：遮阳伞每天的销售量y （个）与销售单价x （元）之间是一次函数关系，当销售单价为28元时，每天的销售量为260个；当销售单价为30元时，每天的销售量为240个．（1）求遮阳伞每天的销售量y （个）与销售单价x （元）之间的函数关系式；（2）设遮阳伞每天的销售利润为w （元），当销售单价定为多少元时，才能使每天的销售利润最大？ 解：（1）设函数关系式为y ＝kx +b ，由题意可得：{260=28k +b 240=30k +b， 解得：{k =−10b =540， ∴函数关系式为y ＝﹣10x +540；（2）由题意可得：w ＝（x ﹣20）y ＝（x ﹣20）（﹣10x +540）＝﹣10（x ﹣37）2+2890，∵﹣10＜0，∴当x ＝37时，w 有最大值为2890，答：当销售单价定为37元时，才能使每天的销售利润最大．四、解答题（二）（每题8分，共24分）21．（8分）劳动教育是学校贯彻“五育并举”的重要举措，某校倡议学生在家帮助父母做一些力所能及的家务，小杨随机抽取该校部分学生进行问卷调查，问卷调查表如图所示，并根据调查结果绘制了两幅不完整的统计图．（1）求小杨共调查了多少人和扇形统计图中表示选项“D ”的扇形的圆心角度数；（2）将条形统计图补充完整；（3）该校有2200名学生，根据抽样调查结果，请你估计该校平均每周做家务的时间不少于2小时的学生人数．解：（1）本次问卷调查的学生数是：20÷40%＝50（人），选项“D ”的扇形的圆心角度数为：360°×1050=72°， （2）C 等级人数为50×32%＝16（人），补全条形统计图如图：（3）2200×16+1050=1144（人）， 答：估计该校平均每周做家务的时间不少于2小时的学生有1144人．22．（8分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线y ＝﹣x +6与反比例函数y =k x的图象交于点A （1，a ）和点B ．（1）求反比例函数的表达式；（2）若点C 为线段AB 上一点，过点C 作CD ∥x 轴交双曲线于点D ，连接OC ，OD ，若△OCD 的面积为32，求点C 的坐标．解：（1）将点A 的坐标代入一次函数表达式得：a ＝﹣1+6＝5，即点A （1，5），将点A 的坐标代入反比例函数表达式得：k ＝1×5＝5，即反比例函数的表达式为：y =5x．（2）设点C （6﹣t ，t ），则点D （5t ，t ），∴△OCD的面积=12×CD×y C=12×（6﹣t−5t）×t=32，∴解得：t＝2或4．即点C的坐标为：（4，2）或（2，4）．23．（8分）如图，在等腰△ABC中，AB＝AC．E为BC的中点，BD平分∠ABC交AE于D．经过B，D 两点的⊙O交BC于点G．交AB于点F．FB恰为⊙O的直径．（1）求证：AE与⊙O相切．（2）当AC＝10，cos C=35时，求⊙O的半径．（1）证明：连接OD，则OD＝OB，∴∠OBD＝∠OMB，∵BD平分∠ABC，∴∠OBD＝∠EBD，∴∠ODB＝∠EBD，∴OD∥BE，∴∠ADO＝∠AEB，在△ABC中，AB＝AC，AE是角平分线，∴AE⊥BC，∴∠ADO＝∠AEB＝90°，∵OD是⊙O的半径，∴AE与⊙O相切；（2）解：在△ABC中，AB＝AC＝10，E为BC的中点，∴BE=12 BC，∴在Rt△ABE中，cos C=BEAB=BE10=35，∴BE＝6，设⊙O 的半径为r ，则AO ＝10﹣r ，∵OD ∥BC ，∴△AOD ∽△ABE ，∴OD BE=AO AB ， 即r 6=10−r 10， ∴r =154，即⊙O 的半径为154．五、解答题（二）（每题10分，共20分）15-12t （2224．（10分）（1）问题发现：如图1，在△OAB 和△OCD 中，OA ＝OB ，OC ＝OD ，∠AOB ＝∠COD ＝40°，连接AC ，BD 交于点M ，填空：AC BD = 1 ；∠AMB ＝ 40° ；（2）类比探究：如图2，在△OAB 和△OCD 中，∠AOB ＝∠COD ＝90°，∠OAB ＝∠OCD ＝30°，连接AC 交BD 的延长线于点M ，请判断AC BD 的值及∠AMB 的度数，并说明理由；（3）拓展延伸：如图3，在（2）的条件下，将△OCD 绕点O 旋转至点C 与点M 重合，若OD ＝1，OB =√7，填空：AC ＝ 3√3或2√3 ．解：（1）如图1，∵∠AOB ＝∠COD ＝40°，∴∠COA ＝∠DOB ，∵OC ＝OD ，OA ＝OB ，∴△COA ≌△DOB （SAS ），∴AC ＝BD ，∴AC BD =1；∵△COA ≌△DOB ，∴∠CAO ＝∠DBO ，∵∠AOB ＝40°，∴∠OAB +∠ABO ＝140°，在△AMB 中，∠AMB ＝180°﹣（∠CAO +∠OAB +∠ABD ）＝180°﹣（∠DBO +∠OAB +∠ABD ）＝180°﹣140°＝40°，故答案为：1；40°；（2）如图2，AC BD =√3，∠AMB ＝90°，理由是：Rt △COD 中，∠DCO ＝30°，∠DOC ＝90°，∴OD OC =tan30°=√33，同理得：OB OA =tan30°=√33， ∴OD OC =OB OA ，∵∠AOB ＝∠COD ＝90°，∴∠AOC ＝∠BOD ，∴△AOC ∽△BOD ，∴AC BD =OC OD =√3，∠CAO ＝∠DBO ，在△AMB 中，∠AMB ＝180°﹣（∠MAB +∠ABM ）＝180°﹣（∠OAB +∠ABM +∠DBO ）＝90°；（3）点C 与点M 重合时，如图，同理得：△AOC ∽△BOD ，∴∠AMB ＝90°，AC BD =√3，设BD ＝x ，则AC =√3x ，Rt △COD 中，∠OCD ＝30°，OD ＝1，∴CD ＝2，BC ＝x ﹣2，Rt △AOB 中，∠OAB ＝30°，OB =√7，∴AB ＝2OB ＝2√7，在Rt △AMB 中，由勾股定理得：AC 2+BC 2＝AB 2，(√3x)2+(x −2)2=(2√7)2，x 2﹣x ﹣6＝0，（x ﹣3）（x +2）＝0，x 1＝3，x 2＝﹣2，∴AC ＝3√3；②点C 与点M 重合时，如图4，同理得：∠AMB＝90°，ACBD=√3，设BD＝x，则AC=√3x，在Rt△AMB中，由勾股定理得：AC2+BC2＝AB2，(√3x)2+（x+2）2=(2√7)2x2+x﹣6＝0，（x+3）（x﹣2）＝0，x1＝﹣3，x2＝2，∴AC＝2√3；综上所述，AC的长为3√3或2√3．故答案为：3√3或2√325．（10分）如图1，四边形OABC是矩形，点A的坐标为（3，0），点C的坐标为（0，6），点P从点O 出发，沿OA以每秒1个单位长度的速度向点A运动，同时点Q从点A出发，沿AB以每秒2单位长度的速度向点B运动，当点P与点A重合时运动停止，设运动时间为t秒．（1）当t＝2时，填空：线段AP＝1，BQ＝2；（2）当△CBQ与△P AQ相似时，求t的值；（3）当t＝1时，抛物线y＝x2+bx+c经过P，Q两点，与y轴交于点M，抛物线的顶点为K，如图2所示，问该抛物线上是否存在点D，使∠MQD=12∠MKQ？若存在，求出抛物线的解析式并直接写出所有满足条件的D的坐标；若不存在，说明理由．解：（1）如图1，∵点A 的坐标为（3，0），∴OA ＝3，当t ＝2时，OP ＝t ＝2，AQ ＝2t ＝4，∴P （2，0），Q （3，4），∴AP ＝OA ﹣OP ＝3﹣2＝1，∴BQ ＝AB ﹣AQ ＝6﹣4＝2，故答案为：1；2；（2）如图1，∵当点P 与点A 重合时运动停止，且△P AQ 可以构成三角形， ∴0＜t ＜3，∵四边形OABC 是矩形，∴∠B ＝∠P AQ ＝90°，∴当△CBQ 与△P AQ 相似时，存在两种情况：①当△P AQ ∽△QBC 时，PA AQ =QB BC ， ∴3−t 2t =6−2t 3，∴4t 2﹣15t +9＝0，∴（t ﹣3）（t −34）＝0，∴t 1＝3（舍），t 2=34，②当△P AQ ∽△CBQ 时，∴PA AQ =BC BQ ， ∴3−t 2t =36−2t， ∴t 2﹣9t +9＝0，∴t =9±3√52， ∵9+3√52＞3， ∴t =9+3√52不符合题意，舍去， 综上所述，当△CBQ 与△P AQ 相似时，t 的值是34或9−3√52； （3）当t ＝1时，P （1，0），Q （3，2），把P （1，0），Q （3，2）代入抛物线y ＝x 2+bx +c 中得：{1+b +c =09+3b +c =2， 解得：{b =−3c =2， ∴抛物线：y ＝x 2﹣3x +2＝（x −32）2−14，∴顶点K （32，−14）， ∵Q （3，2），M （0，2），∴MQ ∥x 轴，如图2作抛物线对称轴，交MQ 于E ，设DQ 交y 轴于H ，∴KM ＝KQ ，KE ⊥MQ ，∴∠MKE ＝∠QKE =12∠MKQ ，如图2，∠MQD =12∠MKQ ＝∠QKE ，∴tan ∠MQD ＝tan ∠QKE =MH MQ =EQ EK ， 即MH 3=322+14，MH ＝2，∴H （0，4），∴HQ 的解析式为：y =−23x +4，则{y =−23x +4y =x 2−3x +2， ∴x 2﹣3x +2=−23x +4，解得：x 1＝3（舍），x 2=−23，∴D （−23，409）；同理，在M 的下方，y 轴上存在点H ，如图3，使∠HQM =12∠MKQ ＝∠QKE ， 由对称性得：H （0，0）， ∴OQ 的解析式：y =23x ， 则{y =23xy =x 2−3x +2， ∴x 2﹣3x +2=23x ，解得：x 1＝3（舍），x 2=23， ∴D （23，49）； 综上所述，点D 的坐标为：D （−23，409）或（23，49）．。
广东省东莞市中考数学一模试卷(含解析)(1)
中考数学一模试卷、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分，在每小题列出的四个选项中，只有一个是正确的，请把答题卡上对应题目所选的选项涂黑）12的绝对值是（）A. 2B. - 2C.D.丄222 •为了响应中央号召，今年我市加大财政支农力度，全市农业支出累计达到235000 000元，其中235000 000元用科学记数法可表示为（）A. 2.34 X 108元B. 2.35 X 108元C. 2.35 X 109元D. 2.34 X 109元3. 下面几个几何体，主视图是圆的是（）4. 用配方法解方程x2- 2x - 5=0时，原方程应变形为（）2 2 2 2A. （x+1）=6 B . （x+2）=9 C. （x - 1）=6 D. （x- 2）=95. 河堤横断面如图所示，坝高BC=6米，迎水坡AB的坡长比为1:，则AB的长为（）A. 5 .二米 B . 4 二米 C. 12 米D. 6 .二米6. 一元二次方程x2- 4x+5=0的根的情况是（）A.没有实数根B.有两个相等的实数根C.有两个不相等的实数根D.无法确定7. 如图是小刘做的一个风筝支架示意图，已知BC// PQ AB: AP=2 5, AQ=20cm则CQ的长是（）A. 8cmB. 12cmC. 30cm D. 50cm&如图，在矩形ABCD中, AB=2 / AOB=60，贝U OB的长为（）A. 1B. 2C. 3D. 49.如图，A D是O O上的两个点，BC是直径.若/ D=32，则/ OAC=（）A. 64°B. 58°C. 72°D. 55°二、填空题（本大题6小题，每小题4分，共24分，请将下列各题的正确答案填写在答题卡相应的位置上）11. 分解因式：x2- 4= ____ .12. 某药店响应国家政策，某品牌药连续两次降价，由开始每盒16元下降到每盒14元.设每次降价的平均百分率是x，则列出关于x的方程是 ________ .13 .若两个相似三角形的周长之比为2: 3,较小三角形的面积为8cm2,则较大三角形面积是___ CR?.214 .已知点A （1 , y1）, B （2, y2）是如图所示的反比例函数y=—图象上两点，贝U y1 __________ y2（填 >,V 或=）.一次函数y=ax+b与二次函数y=bx2+a的图象可能是（16•如图，在平面直角坐标系中，边长不等的正方形依次排列，每个正方形都有一个顶点落在函数y=x的图象上，从左向右第3个正方形中的一个顶点A的坐标为（8, 4）,阴影三角形部分的面积从左向右依次记为S、S2、S3、，、S,则S n的值为______ •（用含n的代数式表示，n为正整数）三、解答题（一）（本大题3小题，每小题6分，共18分）17•计算：（）-（ - 1）2017-（n - 3）°+ —•18.如图，在等腰直角△ ABC中，/ ACB=90 , AC=BC=W（1 ）作0 0,使它过点A、B C （要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）ABCDEF勺外接圆半径为2cm,则正六边形的边心距是cm（2）在（1）所作的圆中，圆心角/ B0C —°，圆的半径为_______ ，劣弧■的长为19•商店只有雪碧、可乐、果汁、奶汁四种饮料，每种饮料数量充足，某同学去该店购买饮料，每种饮料被选中的可能性相同.（1）若他去买一瓶饮料，则他买到奶汁的概率是_____ ；（2）若他两次去买饮料，每次买一瓶，且两次所买饮料品种不同，请用树状图或列表法求出他恰好买到雪碧和奶汁的概率.四、解答题（二）（本大题3小题，每小题7分，共21分）20. 某商店购买一批单价为20元的日用品，如果以单价30元销售，那么半月内可以售出400件•据销售经验，提高销售单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高一元，销售量相应减少20件•如何提高销售价，才能在半月内获得最大利润？21. 如图，AB CD为两个建筑物，建筑物AB的高度为60米，从建筑物AB的顶点A点测得建筑物CD的顶点C点的俯角/ EAC为30°,测得建筑物CD的底部D点的俯角/ EAD为45°.（1 ）求两建筑物底部之间水平距离BD的长度；（2 ）求建筑物CD的高度（结果保留根号）.R D22. 平行四边形ABCD的对角线AC和BD交于O点，分别过顶点B, C作两对角线的平行线交于点E,得平行四边形OBEC（1）如果四边形ABCD为矩形（如图），四边形OBEC为何种四边形？请证明你的结论；（2）当四边形ABCD是__ 形时，四边形OBEC是正方形.D C五、解答题（（本大题3小题，每小题9分，共27 分）23. 如图，一次函数y= - x+4的图象与反比例函数y= ' （k为常数，且0）的图象交于A （1，a），B （3，b）两点.(1) 求反比例函数的表达式；(2) 在x轴上找一点P,使PA+PB 的值最小，求满足条件的点P的坐标;(3 )求厶PAB的面积.24. 如图，AB CD为O O的直径，弦AE// CD,连接BE交CD于点F,过点E作直线EP与CD的延长线交于点P,使/ PED=/ C.以1个单位/秒的速度在y轴上向下运动，动点Q同时从点轴上向右运动，过点P作PD丄y轴，交OB于D,连接DQ停止运动.设运动的时间为t秒.(1 )当t=1时，求线段DP的长；(2)连接CD设厶CDQ勺面积为S,求S关于t的函数解析式，并求出S的最大值；(3)运动过程中是否存在某一时刻，使厶ODQ WA ABC相似？若存在，请求出所有满足要求的t的值；若不存在，请说明理由.3；B4/V P(1)求证：PE是O O的切线;(2)求证：ED平分/ BEP(3)若O O的半径为5, CF=2EF求PD的长.A (0, 4),B (- 3, 4),C (- 6, 0),动点P从点A出发C出发以2个单位/秒的速度在x当点P与点O重合时，两动点均参考答案与试题解析一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分，在每小题列出的四个选项中，只有一个是正确的，请把答题卡上对应题目所选的选项涂黑）12的绝对值是（）A. 2B. - 2C. —D.—2 2【考点】绝对值.【分析】根据负数的绝对值等于它的相反数解答.【解答】解：-2的绝对值是2,即| - 2|=2 .故选：A.2 •为了响应中央号召，今年我市加大财政支农力度，全市农业支出累计达到235000 000元，其中235000 000元用科学记数法可表示为（）A. 2.34 X 108元B. 2.35 X 108元C. 2.35 X 109元D. 2.34 X 109元【考点】科学记数法一表示较大的数.【分析】科学记数法的表示形式为a x I0n的形式，其中1w|a| v 10, n为整数.确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同. 当原数绝对值〉1时，n是正数；当原数的绝对值v 1时，n是负数.【解答】解：将235000 000用科学记数法表示为：2.35 x 108.故选：B.3.下面几个几何体，主视图是圆的是( )【考点】简单几何体的三视图.【分析】分别判断A B, C, D的主视图，即可解答.【解答】解：A、主视图为正方形，故错误；B主视图为圆，正确；C主视图为三角形，故错误；D主视图为长方形，故错误；故选：B.4 .用配方法解方程x2- 2x - 5=0时，原方程应变形为( )A. ( x+1) 2=6B. ( x+2) 2=9C. (x - 1) 2=6D. ( x- 2) 2=9【考点】解一元二次方程-配方法.【分析】配方法的一般步骤：(1)把常数项移到等号的右边；(2)把二次项的系数化为1；(3 )等式两边同时加上一次项系数一半的平方.【解答】解：由原方程移项，得2x - 2x=5，方程的两边同时加上一次项系数- 2的一半的平方1,得x2- 2x+ 仁6■'■( x - 1) 2=6.故选：C.5. 河堤横断面如图所示，坝高BC=6米,迎水坡AB的坡长比为1:二，则AB的长为()A. 5 .二米B. 4 二米C. 12 米D. 6「米【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题.【分析】根据坡比求出AC的长，再根据勾股定理求出AB的长.【解答】解：•••河堤横断面迎水坡AB的坡比是1：.= BC=6m --AC=6、J .■■mi,••• AB=二厂’-：厂=12m-故选C.6. 一元二次方程x2- 4x+5=0的根的情况是( )A.没有实数根B.有两个相等的实数根C.有两个不相等的实数根D •无法确定【考点】根的判别式.【分析】根据方程的系数结合根的判别式即可得出△=-4 V 0，由此即可得出方程无解.【解答】解：•••在方程x2- 4x+5=0 中，△ = (- 4) 2- 4 X 1 X 5=- 4 V 0,•方程x2- 4x+5=0没有实数根.故选A.A. 8cmB. 12cmC. 30cmD. 50cm【考点】平行线分线段成比例.【分析】利用相似三角形的判定与性质得出上二=匚二二,求出AC的长，进而求出CQ的长.AP AQ PQ【解答】解：I BC// PQ7. 如图是小刘做的一个风筝支架示意图，已知BC// PQ AB: AP=2 5, AQ=20cm 则CQ的•••△ AB3A APQ• '：=•AP AQ，■/ AB: AP=2 5, AQ=20cm•20 = 5，解得：AC=8cm•CQ=A Q AC=20- 8=12 (cm),故选B.&如图，在矩形ABCD中, AB=2 / AOB=60，贝U OB的长为( )A. 1B. 2C. 3D. 4【考点】矩形的性质.【分析】根据矩形的对角线互相平分且相等可得OA=OB然后判断出△ AOB是等边三角形,根据等边三角形的性质可得OB=AB即可.【解答】解：在矩形ABCD中, OA=OB•••/ AOB=60 ,•△ AOB是等边三角形，•OB=AB=2故选：B.9. 如图，A D是O O上的两个点，BC是直径.若/ D=32，则/ OAC=( )A. 64°B. 58°C. 72°D. 55°【考点】圆周角定理.【分析】先根据圆周角定理求出/ B及/ BAC的度数，再由等腰三角形的性质求出/ OAB的度数，进而可得出结论.【解答】解：I BC是直径，/ D=32 ,•••/ B=Z D=32，/ BAC=90 .•/ OA=OB•••/ BAO=z B=32°,•••/ 0AC2 BAC- / BAO=90 - 32°=58°.故选B.10. 在同一坐标系中，一次函数y=ax+b与二次函数y=bx2+a的图象可能是（）【考点】二次函数的图象；一次函数的图象.【分析】本题可先由一次函数y=ax+b图象得到字母系数的正负，再与二次函数y=bx2+a的图象相比较看是否一致.【解答】解：A、由抛物线可知，图象与y轴交在负半轴a v 0，由直线可知，图象过一，三象限，a> 0,故此选项错误；B由抛物线可知，图象与y轴交在正半轴a> 0，二次项系数b为负数，与一次函数y=ax+b 中b> 0矛盾，故此选项错误；C由抛物线可知，图象与y轴交在负半轴a v 0，由直线可知，图象过二，四象限a v 0,故此选项正确；D由直线可知，图象与y轴交于负半轴，b v 0，由抛物线可知，开口向上，b>0矛盾，故此选项错误；故选C.二、填空题(本大题6小题，每小题4分，共24分，请将下列各题的正确答案填写在答题卡相应的位置上)11. 分解因式：X2-4= (x+2) (x - 2) .【考点】因式分解-运用公式法.【分析】直接利用平方差公式进行因式分解即可.【解答】解：X2- 4= (x+2) (x - 2).故答案为：(x+2) (x-2).12•某药店响应国家政策，某品牌药连续两次降价，由开始每盒16元下降到每盒14元•设每次降价的平均百分率是x，则列出关于x的方程是16 (1- x) 2=14 .【考点】由实际问题抽象出一元二次方程.【分析】设该药品平均每次降价的百分率是x，则第一次降价后的价格是16X( 1-x)，第二次降价后的价格是在第一次降价后的价格的基础上进行降价的为16 (1 - x) (1 - x) =14, 解方程即可.【解答】解：设该药品平均每次降价的百分率是x,根据题意得16 X( 1-x) (1- x) =14,整理得：16 (1 - x) 2=14.故答案为：16 (1 - x) 2=14.13•若两个相似三角形的周长之比为2: 3,较小三角形的面积为8cm2,则较大三角形面积是18 cm.【考点】相似三角形的性质.【分析】根据相似三角形周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方求出面积比，根据题意计算即可.【解答】解：•••两个相似三角形的周长之比为2：3,•••两个相似三角形的相似比是2：3,•••两个相似三角形的面积比是4: 9,又较小三角形的面积为 8cm 2, 较大三角形的面积为 18cm , 故答案为：18.【考点】 反比例函数图象上点的坐标特征.【分析】先确定k 的值为2，得在每一分支上，y 随x 的增大而减小，通过判断 x 的大小来 确定y 的值.【解答】解：T k=2> 0,•••在每一分支上，y 随x 的增大而减小， •/ 1 v 2, • y 1> y 2, 故答案为：〉.ABCDEF 勺外接圆半径为 2cm,则正六边形的边心距是 _ ：-_cm.【分析】正六边形的边长与外接圆的半径相等， 构建直角三角形，利用直角三角形的边角关 系即可求出.【解答】解：已知正六边形 ABCDEF 勺外接圆半径为 2cm,连接0A 作OM L AB 得到/ AOM=30 度，因而 0M=0A?cos30= :_cm.正六边形的边心距是 _cm14.已知点 B(2, y 2)是如图所示的反比例函数 y=图象上两点，贝U y 1 〉 y 2A （ 1,y ）,”）.16•如图，在平面直角坐标系中，边长不等的正方形依次排列，每个正方形都有一个顶点落在函数y=x的图象上，从左向右第3个正方形中的一个顶点A的坐标为（8，4）,阴影三角形部分的面积从左向右依次记为S、S、S、，、S，则S的值为24「5•（用含n的代数式表示，n为正整数）耶/【考点】正方形的性质；一次函数图象上点的坐标特征.【分析】根据直线解析式判断出直线与x轴的夹角为45°，从而得到直线与正方形的边围成的三角形是等腰直角三角形，再根据点A的坐标求出正方形的边长并得到变化规律表示出第n个正方形的边长，然后根据阴影部分的面积等于一个等腰直角三角形的面积加上梯形的面积再减去一个直角三角形的面积列式求解并根据结果的规律解答即可.【解答】解：•••函数y=x与x轴的夹角为45°,•••直线y=x与正方形的边围成的三角形是等腰直角三角形，A （8, 4）,•••第四个正方形的边长为8,第三个正方形的边长为4,第二个正方形的边长为2,第一个正方形的边长为 1 ,第n个正方形的边长为2n「1,由图可知，S i = X 1X 1+ X( 1+2)X 2-X( 1+2)X 2=,2 2 2 2S=— X 4 X 4+— X( 4+8)X 8 — — X( 4+8) X 8=8,S 为第2n 与第2n - 1个正方形中的阴影部分，第2n 个正方形的边长为 22n —1，第2n — 1个正方形的边长为 22n — 2三、解答题（一）（本大题3小题，每小题6分，共18分） 17•计算：（一）—1 —（- 1） 2017—（ n - 3） °+ ■— •【考点】实数的运算；零指数幕；负整数指数幕.【分析】原式利用零指数幕、负整数指数幕法则， 乘方的意义，以及二次根式性质计算即可 得到结果.【解答】解：原式=2+1 — 1+2 -=2+2二.18.如图，在等腰直角△ ABC 中，/ ACB=90 , AC=BC=W（1 ）作0 0,使它过点A 、B C （要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）所作的圆中，圆心角/ B0C= 90°，圆的半径为 1 ，劣弧」的长为—7-2?22n — 2=24n —5【考点】作图一复杂作图；等腰直角三角形；圆周角定理；弧长的计算.【分析】(1)先作出AC 的垂直平分线，交 AB 于点O 则点o 即为圆心，最后作出△ 外接圆即可;(2)根据圆周角定理即可得到/BOC 的度数，根据 Rt △ AOC 即可得出 AO 的长,BOC=90 , BO=1,运用公式即可得到劣弧奁的长.(2 )如图所示，/ BOC=Z A=90,Rt △ AOC 中, AO=ACC cos / A= 一 X —=1,即圆的半径为 1 ,19•商店只有雪碧、可乐、果汁、奶汁四种饮料，每种饮料数量充足，某同学去该店购买饮 料，每种饮料被选中的可能性相同.ABC 的根据/亠 9QX It X 1 1(1) 若他去买一瓶饮料，则他买到奶汁的概率是；—4—(2) 若他两次去买饮料，每次买一瓶，且两次所买饮料品种不同，请用树状图或列表法求 出他恰好买到雪碧和奶汁的概率.【考点】列表法与树状图法；概率公式.【分析】(1)由商店只有雪碧、可乐、果汁、奶汁四种饮料，每种饮料数量充足，某同学去 该店购买饮料，每种饮料被选中的可能性相同，直接利用概率公式求解即可求得答案；(2)首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与他恰好买到雪碧和 奶汁的情况，再利用概率公式即可求得答案.【解答】解：(1)v 商店只有雪碧、可乐、果汁、奶汁四种饮料，每种饮料数量充足，某同 学去该店购买饮料，每种饮料被选中的可能性相同， •••他去买一瓶饮料，则他买到奶汁的概率是：；4故答案为：；4(2)画树状图得:•••共有12种等可能的结果，他恰好买到雪碧和奶汁的有 2种情况,•他恰好买到雪碧和奶汁的概率为:四、解答题(二)(本大题3小题，每小题7分，共21分) 20.某商店购买一批单价为 20元的日用品，如果以单价 30元销售，那么半月内可以售出400件•据销售经验，提高销售单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高一元，销售量 相应减少20件•如何提高销售价，才能在半月内获得最大利润？ 【考点】二次函数的应用.【分析】总利润=每件日用品的利润X 可卖出的件数，利用公式法可得二次函数的最值，减 去原价即雪碧 可果奶 茨汁汁可乐/N煮晏奶 碧汁汁異汁/K 雪可奶碧乐汁奶汁/1\ 雪可異 碧乐汁开姑为提高的售价.【解答】解：设销售单价为x元，销售利润为y元.2根据题意，得y= (x-20) [400 - 20 ( x- 30) ]= (x- 20) =- 20x+1400x- 20000, 当x= - 1' =35时，y 最大=4500,:这时，x- 30=35- 30=5.所以，销售单价提高5元，才能在半月内获得最大利润4500元.21. 如图，AB CD为两个建筑物，建筑物AB的高度为60米，从建筑物AB的顶点A点测得建筑物CD的顶点C点的俯角/ EAC为30°,测得建筑物CD的底部D点的俯角/ EAD为45°.(1 )求两建筑物底部之间水平距离BD的长度；(2 )求建筑物CD的高度(结果保留根号).【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题.【分析】(1)根据题意得：BD// AE,从而得到/ BAD=/ ADB=45，利用BD=AB=60求得两建筑物底部之间水平距离BD的长度为60米；(2)延长AE、DC交于点F,根据题意得四边形ABDF为正方形，根据AF=BD=DF=60在Rt△ AFC中利用/ FAC=30求得CF,然后即可求得CD的长.【解答】解：(1)根据题意得：BD// AE,•••/ ADB玄EAD=45 ,•••/ ABD=90 ,•••/ BAD玄ADB=45 ,• BD=AB=60•两建筑物底部之间水平距离BD的长度为60米；(2)延长AE 、DC 交于点F ,根据题意得四边形 ABDF 为正方形, • AF=BD=DF=60在 Rt △ AFC 中，/ FAC=30 ,又••• FD=6Q• CD=60- 20 二, •建筑物 CD 的高度为（60 - 20 .二）米.22. 平行四边形ABCD 的对角线AC 和BD 交于O 点，分别过顶点B, C 作两对角线的平行线交 于点E ，得平行四边形 OBEC（1） 如果四边形 ABCD 为矩形（如图），四边形OBEC 为何种四边形？请证明你的结论； （2） 当四边形 ABCD 是 正方 形时，四边形 OBEC 是正方形.【考点】正方形的判定；平行四边形的性质.【分析】（1）四边形OBEC 为菱形，理由为：利用两对边平行的四边形为平行四边形得到 OBEC为平行四边形，再利用矩形的性质确定出 OB=OC 利用邻边相等的平行四边形为菱形即可得证；（2）当四边形ABCD 为正方形时，得到/ COB 为直角，利用一个角为直角的菱形为正方形即 可得证.【解答】 解：（1）四边形OBEC 是菱形， 证明：••• BE// OC CE// OB •四边形OBEC 为平行四边形， 又•••四边形ABCD 是矩形， •OC=0.5AC OB=0.5BD, AC=BD••• CF=AF?tar ^ FAC=60X•OC=O B•平行四边形OBEC为菱形；(2)当四边形ABCD是正方形时，四边形OBEC是正方形，当四边形ABCD为正方形时，则有/ COB为直角，OB=OC•••四边形OBEC为平行四边形，•••四边形OBEC为正方形.故答案为：正方五、解答题(三)(本大题3小题，每小题9分，共27分)23. 如图，一次函数y= - x+4的图象与反比例函数y=「( k为常数，且0)的图象交于Ax(1, a), B (3, b)两点.(1)求反比例函数的表达式；(2)在x轴上找一点P,使PA+PB的值最小，求满足条件的点P的坐标；(3 )求厶PAB的面积.【考点】反比例函数与一次函数的交点问题；轴对称-最短路线问题.【分析】(1 )将A的坐标代入一次函数即可求出a的值，从而求出A的坐标，将A的坐标代入反比例函数即可求出k的值.(2)作出B关于x轴的对称点D,求出点D的坐标，然后求出直线AD的解析式，令y=0即可求出点P的坐标.(3)由图形可知S A PAB=S A ABD-S A PBD,从而求出厶ABD与△ PBD的面积即可.【解答】解：(1)把点A (1, a)代入一次函数y= - x+4,得a= - 1+4,解得a=3,•- A (1, 3),点A (1, 3)代入反比例函数y=,得k=3 ,•••反比例函数的表达式沪, (2 )把B ( 3, b )代入上式子得， •••点 B 坐标(3, 1);作点B 作关于x 轴的对称点D,交x 轴于点C ,连接AD,交x 轴于点P,此时PA+PB 的值最 小，设直线AD 的解析式为y=mx+ n,解得 m=- 2, n=5,•直线AD 的解析式为y= - 2x+5•点P 坐标(，0),24. 如图，AB CD 为O O 的直径，弦 AE// CD ,连接BE 交CD 于点F ,过点E 作直线EP 与CD 的延长线交于点 P,使/ PED 2 C. (1) 求证：PE 是O O 的切线； (2) 求证：ED 平分/ BEP(3) 若0 O 的半径为5, CF=2EF 求PD 的长.把A , D 两点代入得nrfn=3令 y=0, 得x =,「2 一-"p【考点】切线的判定.【分析】(1)如图，连接0E欲证明PE是O O的切线，只需推知OE! PE即可；(2)由圆周角定理得到/ AEB=/ CED=90 ,根据“同角的余角相等”推知/ 3=/ 4,结合已知条件证得结论；(3)设EF=x,则CF=2x,在RT^ OEF中，根据勾股定理得出52=x2+ (2x - 5) 2,求得EF=4, 进而求得BE=8 CF=8,在RT^AEB中，根据勾股定理求得AE=6,然后根据厶AEB^A EFP, 得出：='一，求得PF=「，即可求得PD的长.8 6 3【解答】(1)证明：如图，连接0E•/ CD是圆0的直径，•••/ CED=90 .•/ OC=OE•••/ 1 = / 2.又•••/ PED/ C,即/ PED=Z 1,•/ PED玄2,•/ PED+Z OED/ 2+/ OED=90，即/ OEP=90 ,•OE! EP,又•••点E在圆上，•PE是O O的切线；(2)证明：T AB CD为O O的直径,•/ AEB=/ CED=90 ,•/ 3=/ 4 (同角的余角相等).又•••/ PED/ 1 ,•/ PED玄4,即ED平分/ BEP(3)解：设EF=x,则CF=2x,vO O的半径为5,OF=2x_ 5,在RT^ OEF中，0h=0F+EF\ 即卩52=x2+ (2x - 5) 2,解得x=4,••• EF=4,••• BE=2EF=8 CF=2EF=8•DF=CD- CF=10- 8=2,•/ AB为O O的直径，•••/ AEB=90 ,•/ AB=10, BE=8,•AE=6,•••/ BEP=/ A, / EFP=/ AEB=90 ,• △AEB^A EFP,，即PF='• PD=PF- DF=」-2=二.3325. 如图，在直角坐标系中，点A (0, 4), B (- 3, 4), C (- 6, 0),动点P从点A出发以1个单位/秒的速度在y轴上向下运动，动点Q同时从点C出发以2个单位/秒的速度在x 轴上向右运动，过点P作PD丄y轴，交OB于D,连接DQ当点P与点O重合时，两动点均停止运动.设运动的时间为t秒.(1 )当t=1时，求线段DP的长；(2)连接CD设厶CDQ勺面积为S,求S关于t的函数解析式，并求出S的最大值;（3）运动过程中是否存在某一时刻， 使厶ODQ WA ABC 相似？若存在，请求出所有满足要求 的t 的值；若不存在，请说明理由.1B4/VPCQ0 i【分析】(1)先由 A (0, 4), B (- 3, 4), C (- 6, 0)得出 OA=4 AB=3, CO=6 再根据当 t=1时，AP=1,贝U OP=3再证出=丄，最后代入计算即可，AB 0A（2）先作 DEL CO 于点E ,根据 DE=OP=-t 得出S=_ X CQ< DE=- 12+4t ，从而求出当t=2 时，S 有最大值，0< t V 3时，点Q 在CO 上运动，根据 AB// CO 得出/ BOC K ABOv/ ABC 证得 BO=B （从而得出/ BOC K BCO>Z BCA 根据 AB// CO得出/ BAC K AC* / BCO= / BOC 从而证出当 0W t w 3时，△ ODQ WA ABC 不可能相似；②当 3v t < 4时，点Q 在x 轴 正半轴上运动，延长 AB,根据 AB// CO 得出/ ABC / DOQ OQ=2t- 6,再由 DP// AB 可得 OD=4丄，最后根据=丄和’时，分别进行计算，求出 t 的值，即可得出答案.4 BC BA BA BC【解答】 解：（1）如图 1，由 A （0，4），B （- 3，4），C （- 6，0）可知 OA=4 AB=3, CO=6 当 t=1 时，AP=1,则 OP=3 ••• PD 丄y 轴，AB 丄y 轴, ••• PD// AB,（2）如图2,：•运动的时间为t 秒，动点Q 同时从点C 出发以2个单位/秒的速度在x 轴上向右运动，（3）分两种情况讨论：①当--CQ=2t, ••• AP=t, OP=4^ t ,作DE L CO于点E,贝U DE=OP=4 t ,• S= X CQ< DE= X 2t X( 4 - t ) = —12+4t= -(t - 2) 2+4, 2 2当t=2时，S最大值=4;(3)如图3,分两种情况讨论：①当O W t V 3时，点Q在CO上运动(当t=3时，△ ODC不存在)，•/ AB// CO•••/ BOC K ABOc Z ABC可证得BO=BC•••/ BOC K BCO>Z BCA•/ AB/ CO• K BAC=/ ACQ K BCO K BOC•••当O W t W 3 时，△ ODC^A ABC不可能相似；②当3V t W 4时，点Q在x轴正半轴上运动，延长AB,•/ AB/ CO• K FBC=/ BCO K BOC• K ABC=/ DOQ OQ=2t - 6 ,由DP// AB可得OD="!,4当=:时,驾t 2t-6 .172当「时,= t=— ,;•存在t=£和t=—訂,使厶ODQf A ABC相似.。
2020东莞中考数学第一次模拟试卷(含答案)
）21212注意事项：2019-2020 学年东莞联考第二学期初三第一次模拟考试数学试卷1. 答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2. 请将答案正确填写在答题卡上第 I 卷（选择题)一、单选题（每小题 3 分，共 30 分） 1．下列四个实数中，最小的实数是（ ） A ． 0.001B ．﹣C ．0D ．﹣22．下列图形是轴对称又是中心对称图形的是 ()AB C D3. 下列因式分解正确的是（）A ．x 2﹣1=(x ﹣1)2B ．x 2﹣9y 2=(x ﹣9y )(x +9y )C ． a 2 - a = a (a - 1)D ． a 2 + 2a + 1 = a (a + 2) + 14. 某班数学兴趣小组 10 名同学的年龄情况如下表：则这 10 名同学年龄的平均数和中位数分别是（）A ．13.5，13.5B ．13.5，13C ．13，13.5D ．13，145. 一个多边形的每个外角都等于 45°，则这个多边形的边数是（ ） A ．11B ．10C ．9D ．86. 能判定四边形 ABCD 为平行四边形的条件是（）A ．AB ∥CD ，AD =BC B ．∠A =∠B ，∠C =∠D C ．AB =CD ，AD =BC D ．AB =AD ，CB =CD7. 如图，扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条 AB ，AC 夹角为 150°，AB 的长为 36cm ，BD 的长为 18cm ，则的长为（ ）cm15 A.πB ．15πC ．18πD ．36π48. 若关于 x 的一元二次方程 x 2+6x -a =0 无实数根，则 a 的值可以是下列选项中的（A ．-10B ．-9C ．9D ．109. 等腰三角形的一边长为 5，周长为 20．则这个等腰三角形的底边长为（）A ．5B ．10C ．5 或 10D ．5 或 7.510. 如图，函数 y =ax 2+bx +c （a ，b ，c 为常数，且 a ≠0）经过点（-1，0）、（m ，0），且 1<m <2，下列结论：①ab <0；②0< -b < 1；③若点 A （-2，y ），B （2，y ）在抛物线上，则 y <y ；2a 2④a (m -1)+b =0．其中结论正确的有（）个A ．1B ．2C ．3D ．4年龄（岁） 12 13 14 15 人数1441⎨1- x 投石子的总次数 50 次 150 次 300 次 600 次 石子落在空白 区域内的次数 14 次85 次199 次400 次石子落在空白区域内的频率7 25 17 30 199 300 2 3二、填空题（每小题 4 分，共 28 分）11. 计算 (3x )3÷ 2x 的结果为 ．12. 根据规划，“一带一路”地区覆盖总人口约 4 400 000 000 人，这个数用科学记数法表示为．⎧x + 4 < 313.不等式组⎪≤ 1的解集是．⎩⎪ 314. 已知在半径为 3 的⊙O 中，弦 AB 的长为 4，那么圆心 O 到 AB 的距离为 ． 15．设 a 为一元二次方程 2x 2+3x ﹣2020=0 的一个实数根，则 4a 2+6a +2 =．16. 如图，小明在操场上做游戏，他在沙地上画了一个面积为 15 的矩形，并在四个角画上面积不等的扇形，在不远处的固定位置向矩形内部投石子，记录如下（石子不会落在矩形外面和各区域边缘）： 请根据表格中的数据估计矩形中空白部分的面积是．17. 如图，在菱形 ABCD 中，∠BAD =60°，AC 与 BD 交于点 O ，E 为 CD 延长线上的一点，且 CD =DE ，连接BE 分别交 AC ，AD 于点 F ，G ，连接 OG ，则下列结论中一定成立的是 ．1①OG = 2AB ；②与△EGD 全等的三角形共有 5 个；③S 四边形 ODGF >S △ABF ；④由点 A 、B 、D 、E 构成的四边形是菱形.三、解答题（每小题 6 分，共 18 分） 18．计算： (1- 3 8)0- 2 cos 45︒+ |1-| -( 1 )-1 4第 17 题图a 2 -119.先化简，再求值： - a 2- 2a +1 a 2 - 2a a - 2÷ a ，其中 a = +1 .20．如图，已知△ABC 中，∠BAC =20°，∠BCA =125°．（1） 尺规作图：作 AC 的垂直平分线，交 BC 的延长线于点 D （不写作法，保留作图痕迹）（2） 连接 AD ，求∠BAD 的度数．2 22 21. 某中学八年级学生在寒假期间积极抗击疫情，开展老师“在你身边”评星活动，学生可以从“自理星” 、“ 读书星”、“健康星”、“孝敬星”、“ 劳动星”等中选一个项目参加争星竞选，根据该校八年级学生的“争星”报名情况，绘制成了如下两幅不完整的统计图，请根据图中信息回答下列问题：（1）参加年级评星的学生共有人；将条形统计图补充完整；（2） 扇形统计图中“读书星”对应的扇形圆心角度数是；（3） 若八年级 1 班准备推荐甲、乙、丙、丁四名同学中的 2 名代表班级参加学校的“劳动星” 报名，请用表格或树状图分析甲和乙同学同时被选中的概率．22.某工厂准备今年春季开工前美化厂区，计划对面积为 2000m 2 的区域进行绿化，安排甲、乙两个工程队完成． 已知甲队每天能完成绿化的面积是乙队每天能完成绿化的面积的 2 倍，并且在独立完成面积为 480m 2 区域的绿化时，甲队比乙队少用 6 天．（1） 求甲、乙两工程队每天能完成绿化的面积分别是多少 m 2？（2） 若工厂每天需付给甲队的绿化费用为 0.4 万元，乙队为 0.5 万元，要使这次的绿化总费用不超过 10 万元，至少应安排甲队工作多少天？23.如图，两个全等的等腰直角三角形放置在平面直角坐标系中，OA 在 x 轴上，∠COD =∠OAB =90°，OC = ， k反比例函数 y = 的图象经过点 B ．x（1） 求反比例函数的解析式；k （2） 把△OCD 沿射线 OB 移动，当点 D 落在 y =x求点 D ′的坐标．图象上的 D ′ 时，24.如图，AB 为⊙O 的直径，CD⊥AB 于点E，F 是CD 上一点，且BF=DF，延长FB 至点P，连接CP，使PC=PF，延长BF 与⊙O 交于点G，连结BD，GD．（1）连结BC，求证：CD=GB；（2）求证：PC 是⊙O 的切线；1（3）若tan G=3，且AE﹣BE=3，求FD 的值．25.如图，抛物线y=x2+bx+c的与x轴交于点A（-1，0），与y轴交于点C（0，-3），（1）求该抛物线的解析式及顶点的坐标；（2）若P 是线段OB 上一动点，过P 作y 轴的平行线交抛物线于点H，交BC 于点N，设OP= t 时，△BCH 的面积为S．求S 关于t 的函数关系式；若S 有最大值，请求出S 的最大值，若没有，请说明理由；（3）若P 是x 轴上一个动点，过P 作射线PQ∥AC 交抛物线于点Q，随着P 点的运动，在x 轴上是否存在这样的点P，使以A、P、Q、C 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出P 点的坐标；若不存在，请说明理由．8 35 2019-2020 学年第二学期初三第一次模拟考试答案及评分标准1． D2． C3．C4．A5．D6．C7. B8．A9．A10．C11．27x22或 13.5x 212． 4.4⨯10913．-2 ≤ x <-1 14． 15. 404216. 1017.①④18．解：原式=1- 2 ⨯2+2-1- 44 分= - 46 分19 （a +1)(a-1)a (a - 2).解：原式=(a -1)2- a - 2÷ a…………2 分= a +1 -1 a -1= a +1 -a -1…………3 分当a=+1 时， a -1 a -1=a +1- a +1a -1原式=2= 2 =2 +1-1 2…………6 分2=a -1…………4 分20．解：（1）如图，点 D 为所求； ......................................................... 3 分（2）∵∠BCA =125°，∴∠ACD =180°-∠BCA =180°-125°=55°， ......... 4 分∵ED 垂直平分 AC ，∴DC =AD ， .................................. 5 分 ∴∠ACD =∠CAD =55°，∴∠BAD ＝∠BAC +∠CAD=20°+55°=75°． ..... 6 分21．解：（1）50，.....1 分补全条形统计图如下：..... 2 分（2） 72°；……3 分2 222 22 （3）树状图为：……….4 分共有 12 种等可能的结果，其中甲和乙同学同时被选中的结果有 2 种………. 6 分∴P(甲和乙同学同时被选中)= 2 =1……….8 分12 622. 解：（1）设乙工程队每天能完成绿化的面积是 x （m 2），根据题意得：1 分480- 480= 6 2 分x 2x解得：x =40，3 分经检验：x =40 是原方程的解，4 分则甲工程队每天能完成绿化的面积是 40×2=80答：甲、乙两工程队每天能完成绿化的面积分别是 80m 2、40m 2； 5 分 （2）设应安排甲队工作 y 天，根据题意得：6 分0.4 y +2000 - 80 y⨯ 0.5 ≤ 107 分40解得：y ≥25，答：至少应安排甲队工作 25 天．8 分23. 解：（1）∵△AOB 和△COD 为全等的等腰直角三角形，OC = ，∴AB =OA =OC =OD =，∴点 B 坐标为（， ）， …… 1 分代入 y =k得，k = 2 ⨯ x∴反比例函数解析式为y =2x=2；……………. 2 分…………….3 分（2）依题意，得 DD ′∥OB ，过 D ′作 D ′E ⊥x 轴于点 E ，交 DC 于点 F ，设 CD 交 y 轴于点 M ， (4)分∵OC =OD =，∠AOB =∠COM =45°，∴OM =MC =MD =1，……5 分∴点 D 坐标为（-1，1），设 D ′横坐标为 t ，则 OE =MF =t ，……. 6 分2 2 2∴D ′F =DF =t +1，∴D ′E =D ′F +EF =t +2，∴D ′（t ，t +2）， ∵D ′在反比例函数图象上，∴t (t +2)=2，解得t 1 =-1+，t 2 = -1- （舍去）， .................... 7 分∴D ′（ ﹣1，+1） ................... 8 分24．解：（1）证明：∵BF =DF ，∴∠FBD =∠FDB ，…..1 分∴∠BCD =∠DGB ∵ BD =DB∴△BCD ≌△DGB （AAS ）…..2 分∴CD =GB ...................... 3 分（2） 证明：连接 OC ． .................... 4 分∵ ∴∠COB =2∠EDB∵∠PFC =∠FDB +∠FBD =2∠FDB ，∴∠COB =∠PFC ， ∵PF =PC ，∴∠PFC =∠PCF ，∴∠PCF =∠COB ， ...................... 5 分∵AB ⊥CD ，∴∠COB +∠OCE =90°，∴∠OCE +∠PFC =90°，即∠OCP =90°，∴OC ⊥PC ， ……6 分∴PC 是圆 O 的切线． .................. 7 分（3） 连接 AC ，∵直径 AB ⊥弦 CD 于 E ， ∴，CE =DE ，∴∠BCD =∠BDC=∠A =∠G ，∵tan G= 1 ， ∴tan ∠BCD=BE =1，tan A=CE = 13CE 3AE 3设 BE =x ，则 CE =3x ，AE =9x∵ AE ﹣BE = 8 33∴9x -x =8 33解得 x=3 ， .. 8 分3∴BE=∴BC= 3，CE = 3== 30 ，CD =2CE =2330，∵∠FBD =∠FDB ，∠BDC =∠BCD ，∴∠FBD =∠BCD∵ 3 33CE 2 + BE 2( 3)2+ ( 3 )2 3 33 33∵∠FDB=∠BDC ∴△DFB △DBC，....... 9 分分 5 分 6 分 ⎨ ⎨⎩ ⎩ - 3 2 30 即 3 = DF DB = DF ∴FD=5 3……………10 分2 3 30 DC DB9325. 解：（1）将 A （-1，0），C （0，-3）代入 y=x 2+bx +c ，得⎧1- b + c = 0⎩c = -3……………1 分解得⎧b = -2 ， ∴抛物线的表达式为：y =x 2﹣2x ﹣3=（x -1)2- 4 ； ........ 2 分⎩c = -3∴顶点坐标为（1，﹣4）． .......................................................................... 3 分（2）如图 1，连接 BC 、CH 、BH ，设 H (t ， t 2﹣2t ﹣3)；设直线 BC 解析式为 y = kx + m ，代入 B ( 3， 0 ）， C ( 0，-3)，得⎧3k + m =⎨m = -3⎧k = 1 ， 解得⎨m = -3∴直线 BC 的解析式为 y =x ﹣3； ............................ 4 ∴N (t ，t ﹣3)∴S △1 BCH=2 • N H •OB = 1 2 •( t ﹣3 - t 2+2t +3) •3= （t - 3t ) …… 2 则当t = 3 时，S 有最大值，最大值是 27…..2 8（3）存在，………7 分P （1，0），（2+，0），（2- ，0） …….10 分理由如下：①如图 2，当 Q 在 x 轴下方时，作 QE ⊥x 轴于 E ，∵PQ ∥AC∴当 PQ =AC 时，四边形 ACQP 为平行四边形， ∴△PEQ ≌△AOC ， ∴EQ =OC =3，∴-(x 2-2x -3)=3，77∴P（1，0）．……… 8 分7 7 ②如图 3，当 Q 在 x 轴上方时，作 QF ⊥x 轴于 F ，∵PQ ∥AC∴当 PQ =AC 时，四边形 ACQP 为平行四边形， ∴△PFQ ≌△AOC ，∴FQ =OC =3， ∴x 2﹣2x ﹣3=3，解得 x =1+ 或 x =1﹣ ，∴P （2+ ，0），（2- ，0）．综上所述，P 点为（1，0），（2+ 7 7 7 7Q P，0），（2-，0）．…….10 分。
广东省东莞市XX学校中考数学一模试卷含答案解析
广东省东莞市XX学校中考数学一模试卷一.选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分.在每小题列出的四个选项中，只有一个是正确的，请将下列各题的正确答案填写在答题卡相应位置上）1．（3分）随着空气质量的恶化，雾霾天气现象增多，危害加重．森林是“地球之肺”，每年能为人类提供大约28.3亿吨的有机物，2830000000可用科学记数法表示为（）A．28.3×108B．2.83×109C．2.83×10 D．2.83×1072．（3分）下列图形既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A． B． C．D．3．（3分）某大米包装袋上标注着“净含量10kg±150g”，小华从商店买了2袋大米，这两袋大米相差的克数不可能是（）A．100g B．150g C．300g D．400g4．（3分）下列因式分解正确的是（）A．x2﹣4=（x+4）（x﹣4）B．x2+x+1=（x+1）2C．x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4 D．2x+4=2（x+2）5．（3分）一个菱形的两条对角线的长分别为5和8，那么这个菱形的面积是（）A．40 B．20 C．10 D．256．（3分）一个不透明的袋子中装有2个红球、3个白球，每个球除颜色外都相同．从中任意摸出3个球，下列事件为必然事件的是（）A．至少有1个球是红球B．至少有1个球是白球C．至少有2个球是红球D．至少有2个球是白球7．（3分）如图，一只蚂蚁从长宽都是3，高是8的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，那么它所行的最短路线的长是（）A．（3+8）cm B．10cm C．14cm D．无法确定8．（3分）使式子有意义的x的值是（）A．x＞0 B．x≠9 C．x≥0或x≠9 D．x＞0或x≠99．（3分）如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC上的点，且DE∥BC，若，DE=3，则BC的长度是（）A．6 B．8 C．9 D．1010．（3分）已知抛物线y=x2+bx+c的部分图象如图所示，若y＜0，则x的取值范围是（）A．﹣1＜x＜4 B．﹣1＜x＜3 C．x＜﹣1或x＞4 D．x＜﹣1或x＞3二.填空题（本大题6小题，每小题4分，共24分.）11．（4分）写出一个二次项系数为1，且一个根是3的一元二次方程．12．（4分）点C在射线AB上，若AB=3，BC=2，则AC为．13．（4分）如图，已知△ABC≌△ADE，若AB=7，AC=3，则BE的值为．14．（4分）如图，⊙O的直径CD经过弦EF的中点G，∠DCF=20°，则∠EOD等于．15．（4分）不等式组的解为．16．（4分）如图所示，△ABC中，∠BAC=33°，将△ABC绕点A按顺时针方向旋转50°，对应得到△AB′C′，则∠B′AC的度数为．三.解答题（一）（本大题3小题，每小题6分，共18分）17．（6分）计算：（16﹣2x）÷318．（6分）已知，xyz≠0，求的值．19．（6分）如图，已知在四边形ABCD中，∠A=90°，AB=2cm，AD=cm，CD=5cm，BC=4cm，求四边形ABCD的面积．四.解答题（二）（本大题3小题，每小题7分，共21分）20．（7分）怡然美食店的A、B两种菜品，每份成本均为14元，售价分别为20元、18元，这两种菜品每天的营业额共为1120元，总利润为280元．（1）该店每天卖出这两种菜品共多少份？（2）该店为了增加利润，准备降低A种菜品的售价，同时提高B种菜品的售价，售卖时发现，A种菜品售价每降0.5元可多卖1份；B种菜品售价每提高0.5元就少卖1份，如果这两种菜品每天销售总份数不变，那么这两种菜品一天的总利润最多是多少？21．（7分）第15中学的九年级学生在社会实践中，调查了500位杭州市民某天早上出行上班所用的交通工具，结果用以下扇形统计图表示．（1）请你将这个统计图改成用折线统计图表示的形式；（2）请根据此项调查，对城市交通给政府提出一条建议．22．（7分）在平面直角坐标系中按下列要求作图．（1）作出三象限中的小鱼关于x轴的对称图形；（2）将（1）中得到的图形再向右平移6个单位长度．23．（7分）如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=54°，以AB为直径的⊙O分别交AC，BC于点D，E，过点B作⊙O的切线，交AC的延长线于点F．（1）求证：BE=CE；（2）求∠CBF的度数；（3）若AB=6，求弧AD的长．24．（7分）如图，已知：在△ABC中，∠A=90°，AB=AC=1，P是AC上不与A、C 重合的一动点，PQ⊥BC于Q，QR⊥AB于R．（1）求证：PQ=CQ；（2）设CP的长为x，QR的长为y，求y与x之间的函数关系式及自变量x的取值范围，并在平面直角坐标系作出函数图象．（3）PR能否平行于BC？如果能，试求出x的值；若不能，请简述理由．25．（7分）已知如图1，抛物线y=﹣x2﹣x+3与x轴交于A和B两点（点A 在点B的左侧），与y轴相交于点C，点D的坐标是（0，﹣1），连接BC、AC（1）求出直线AD的解析式；（2）如图2，若在直线AC上方的抛物线上有一点F，当△ADF的面积最大时，有一线段MN=（点M在点N的左侧）在直线BD上移动，首尾顺次连接点A、M、N、F构成四边形AMNF，请求出四边形AMNF的周长最小时点N的横坐标；（3）如图3，将△DBC绕点D逆时针旋转α°（0＜α°＜180°），记旋转中的△DBC 为△DB′C′，若直线B′C′与直线AC交于点P，直线B′C′与直线DC交于点Q，当△CPQ是等腰三角形时，求CP的值．广东省东莞市XX学校中考数学一模试卷参考答案与试题解析一.选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分.在每小题列出的四个选项中，只有一个是正确的，请将下列各题的正确答案填写在答题卡相应位置上）1．（3分）随着空气质量的恶化，雾霾天气现象增多，危害加重．森林是“地球之肺”，每年能为人类提供大约28.3亿吨的有机物，2830000000可用科学记数法表示为（）A．28.3×108B．2.83×109C．2.83×10 D．2.83×107【解答】解：2830000000=2.83×109，故选：B．2．（3分）下列图形既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A． B． C．D．【解答】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意；B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意；C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；D、是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项符合题意；故选：D．3．（3分）某大米包装袋上标注着“净含量10kg±150g”，小华从商店买了2袋大米，这两袋大米相差的克数不可能是（）A．100g B．150g C．300g D．400g【解答】解：根据题意得：10+0.15=10.15（kg），10﹣0.15=9.85（kg），因为两袋两大米最多差10.15﹣9.85=0.3（kg）=300（g），所以这两袋大米相差的克数不可能是400g；故选：D．4．（3分）下列因式分解正确的是（）A．x2﹣4=（x+4）（x﹣4）B．x2+x+1=（x+1）2C．x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4 D．2x+4=2（x+2）【解答】解：A、x2﹣4=（x+2）（x﹣2），故此选项错误；B、x2+2x+1=（x+1）2，故此选项错误；C、等式的右边不是乘积形式，不是因式分解，故此选项错误；D、2x+4=2（x+2），故此选项正确；故选：D．5．（3分）一个菱形的两条对角线的长分别为5和8，那么这个菱形的面积是（）A．40 B．20 C．10 D．25【解答】解：∵菱形的两条对角线的长分别为5和8，∴这个菱形的面积是，故选：B．6．（3分）一个不透明的袋子中装有2个红球、3个白球，每个球除颜色外都相同．从中任意摸出3个球，下列事件为必然事件的是（）A．至少有1个球是红球B．至少有1个球是白球C．至少有2个球是红球D．至少有2个球是白球【解答】解：A、至少有1个球是红球是随机事件，选项错误；B、至少有1个球是白球是必然事件，选项正确；C、至少有2个球是红球是随机事件，选项错误；D、至少有2个球是白球是随机事件，选项错误．故选：B．7．（3分）如图，一只蚂蚁从长宽都是3，高是8的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，那么它所行的最短路线的长是（）A．（3+8）cm B．10cm C．14cm D．无法确定【解答】解：将点A和点B所在的两个面展开，则矩形的长和宽分别为6和8，故矩形对角线长AB==10，即蚂蚁所行的最短路线长是10．故选：B．8．（3分）使式子有意义的x的值是（）A．x＞0 B．x≠9 C．x≥0或x≠9 D．x＞0或x≠9【解答】解：当x满足，即x≥0且x≠9时，式子有意义．故选：C．9．（3分）如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC上的点，且DE∥BC，若，DE=3，则BC的长度是（）A．6 B．8 C．9 D．10【解答】解：∵，∴=，∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴==，∵DE=3，∴BC=9，故选：C．10．（3分）已知抛物线y=x2+bx+c的部分图象如图所示，若y＜0，则x的取值范围是（）A．﹣1＜x＜4 B．﹣1＜x＜3 C．x＜﹣1或x＞4 D．x＜﹣1或x＞3【解答】解：由图象知，抛物线与x轴交于（﹣1，0），对称轴为x=1，∴抛物线与x轴的另一交点坐标为（3，0），∵y＜0时，函数的图象位于x轴的下方，且当﹣1＜x＜3时函数图象位于x轴的下方，∴当﹣1＜x＜3时，y＜0．故选：B．二.填空题（本大题6小题，每小题4分，共24分.）11．（4分）写出一个二次项系数为1，且一个根是3的一元二次方程x2﹣3x=0．【解答】解：根据题意，设该一元二次方程为：（x+b）（x+a）=0；∵该方程的一个根是3，∴该一元二次方程可以是：x（x﹣3）=0．即x2﹣3x=0故答案是：x2﹣3x=0．12．（4分）点C在射线AB上，若AB=3，BC=2，则AC为1或5．【解答】解：当C在线段AB上时，AC=AB﹣BC3﹣2=1，当C在线段AB的延长线时，AC=AB+BC=3+2=5，即AC=1或5，故答案为：1或5．13．（4分）如图，已知△ABC≌△ADE，若AB=7，AC=3，则BE的值为4．【解答】解：∵△ABC≌△ADE，∴AE=AC，∵AB=7，AC=3，∴BE=AB﹣AE=AB﹣AC=7﹣3=4．故答案为：4．14．（4分）如图，⊙O的直径CD经过弦EF的中点G，∠DCF=20°，则∠EOD等于40°．【解答】解：∵⊙O的直径CD过弦EF的中点G，∠DCF=20°，∴弧DF=弧DE，且弧的度数是40°，∴∠DOE=40°，答案为40°．15．（4分）不等式组的解为3≤x＜4．【解答】解：解不等式x﹣3≥0，得：x≥3，解不等式3x＜2x+4，得：x＜4，∴不等式组的解集为3≤x＜4，故答案为：3≤x＜4．16．（4分）如图所示，△ABC中，∠BAC=33°，将△ABC绕点A按顺时针方向旋转50°，对应得到△AB′C′，则∠B′AC的度数为17°．【解答】解：∵∠BAC=33°，将△ABC绕点A按顺时针方向旋转50°，对应得到△AB′C′，∴∠B'AC'=33°，∠BAB'=50°，∴∠B′AC的度数=50°﹣33°=17°．故答案为：17°．三.解答题（一）（本大题3小题，每小题6分，共18分）17．（6分）计算：（16﹣2x）÷3【解答】解：原式=（8﹣2）÷3=6÷3=218．（6分）已知，xyz≠0，求的值．【解答】解：由原方程组得，①×4﹣②，得：21y=14z，y=z，将y=z代入①，得：x+z=3z，解得x=z，将x=z、y=z代入得：原式===．19．（6分）如图，已知在四边形ABCD中，∠A=90°，AB=2cm，AD=cm，CD=5cm，BC=4cm，求四边形ABCD的面积．【解答】解：连接BD．∵∠A=90°，AB=2cm，AD=，∴根据勾股定理可得BD=3，又∵CD=5，BC=4，∴CD2=BC2+BD2，∴△BCD是直角三角形，∴∠CBD=90°，=S△ABD+S△BCD=AB•AD+BC•BD=×2×+×4×3=+6（cm2）．∴S四边形ABCD四.解答题（二）（本大题3小题，每小题7分，共21分）20．（7分）怡然美食店的A、B两种菜品，每份成本均为14元，售价分别为20元、18元，这两种菜品每天的营业额共为1120元，总利润为280元．（1）该店每天卖出这两种菜品共多少份？（2）该店为了增加利润，准备降低A种菜品的售价，同时提高B种菜品的售价，售卖时发现，A种菜品售价每降0.5元可多卖1份；B种菜品售价每提高0.5元就少卖1份，如果这两种菜品每天销售总份数不变，那么这两种菜品一天的总利润最多是多少？【解答】解：（1）设该店每天卖出A、B两种菜品分别为x、y份，根据题意得，，解得：，答：该店每天卖出这两种菜品共60份；（2）设A种菜品售价降0.5a元，即每天卖（20+a）份；总利润为w元因为两种菜品每天销售总份数不变，所以B种菜品卖（40﹣a）份每份售价提高0.5a元．w=（20﹣14﹣0.5a）（20+a）+（18﹣14+0.5a）（40﹣a）=（6﹣0.5a）（20+a）+（4+0.5a）（40﹣a）=（﹣0.5a2﹣4a+120）+（﹣0.5a2+16a+160）=﹣a2+12a+280=﹣（a﹣6）2+316当a=6，w最大，w=316答：这两种菜品每天的总利润最多是316元．21．（7分）第15中学的九年级学生在社会实践中，调查了500位杭州市民某天早上出行上班所用的交通工具，结果用以下扇形统计图表示．（1）请你将这个统计图改成用折线统计图表示的形式；（2）请根据此项调查，对城市交通给政府提出一条建议．【解答】解：（1）如下图：步行：500×6%=30人，自行车：500×20%=100人，电动车：500×12%=60人，公交车：500×56%=280人，私家车：500×6%=30人，（2）诸如公交优先，或宣传步行有利健康等．22．（7分）在平面直角坐标系中按下列要求作图．（1）作出三象限中的小鱼关于x轴的对称图形；（2）将（1）中得到的图形再向右平移6个单位长度．【解答】解：如图所示：23．（7分）如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=54°，以AB为直径的⊙O分别交AC，BC于点D，E，过点B作⊙O的切线，交AC的延长线于点F．（1）求证：BE=CE；（2）求∠CBF的度数；（3）若AB=6，求弧AD的长．【解答】证明：（1）连接AE∵AB是⊙O直径∴∠AEB=90°（即AE⊥BC）∵AB=AC∴BE=CE（2）∵∠BAC=54°，AB=AC∴∠ABC=63°∵BF是⊙O切线∴∠ABF=90°∴∠CBF=∠ABF﹣∠ABC=27°（3）连接OD∵OA=OD∠BAC=54°∴∠AOD=72°∵AB=6∴OA=3∴的长=．24．（7分）如图，已知：在△ABC中，∠A=90°，AB=AC=1，P是AC上不与A、C 重合的一动点，PQ⊥BC于Q，QR⊥AB于R．（1）求证：PQ=CQ；（2）设CP的长为x，QR的长为y，求y与x之间的函数关系式及自变量x的取值范围，并在平面直角坐标系作出函数图象．（3）PR能否平行于BC？如果能，试求出x的值；若不能，请简述理由．【解答】（1）证明：∵∠A=90°，AB=AC=1，∴△ABC为等腰直角三角形，∴∠B=∠C=45°，∵PQ⊥CQ，∴△PCQ为等腰直角三角形，∴PQ=CQ；（2）解：∵△ABC为等腰直角三角形，∴BC=AB=，∵△PCQ为等腰直角三角形，∴CQ=PC=x，同理可证得为△BQR等腰直角三角形，∴BQ=RQ=y，∵BQ+CQ=BC，∴y+x=，∴y=﹣x+1（0＜x＜1），如图，（3）解：能．理由如下：∵AR=1﹣y，AP=1﹣x，∴AR=1﹣（﹣x+1），当AR=AP时，PR∥BC，即1﹣（﹣x+1）=1﹣x，解得x=，∵0＜x＜1，∴PR能平行于BC．25．（7分）已知如图1，抛物线y=﹣x2﹣x+3与x轴交于A和B两点（点A 在点B的左侧），与y轴相交于点C，点D的坐标是（0，﹣1），连接BC、AC（1）求出直线AD的解析式；（2）如图2，若在直线AC上方的抛物线上有一点F，当△ADF的面积最大时，有一线段MN=（点M在点N的左侧）在直线BD上移动，首尾顺次连接点A、M、N、F构成四边形AMNF，请求出四边形AMNF的周长最小时点N的横坐标；（3）如图3，将△DBC绕点D逆时针旋转α°（0＜α°＜180°），记旋转中的△DBC 为△DB′C′，若直线B′C′与直线AC交于点P，直线B′C′与直线DC交于点Q，当△CPQ是等腰三角形时，求CP的值．【解答】解：（1）∵抛物线y=﹣x2﹣x+3与x轴交于A和B两点，∴0=﹣x2﹣x+3，∴x=2或x=﹣4，∴A（﹣4，0），B（2，0），∵D（0，﹣1），∴直线AD解析式为y=﹣x﹣1；（2）如图1，过点F作FH⊥x轴，交AD于H，设F（m，﹣m2﹣m+3），H（m，﹣m﹣1），∴FH=﹣m2﹣m+3﹣（﹣m﹣1）=﹣m2﹣m+4，∴S△ADF =S△AFH+S△DFH=FH×|y D﹣y A|=2FH=2（﹣m2﹣m+4）=﹣m2﹣m+8=﹣（m+）2+，当m=﹣时，S△ADF最大，∴F（﹣，）如图2，作点A关于直线BD的对称点A1，把A1沿平行直线BD方向平移到A2，且A1A2=，连接A2F，交直线BD于点N，把点N沿直线BD向左平移得点M，此时四边形AMNF的周长最小．∵OB=2，OD=1，∴tan∠OBD=，∵AB=6，∴AK=，∴AA1=2AK=，在Rt△ABK中，AH=，A1H=，∴OH=OA﹣AH=，∴A1（﹣，﹣），过A2作A2P⊥A2H，∴∠A1A2P=∠ABK，∵A1A2=，∴A2P=2，A1P=1，∴A2（，﹣）∵F（﹣，）∴A2F的解析式为y=﹣x﹣①，∵B（2，0），D（0，﹣1），∴直线BD解析式为y=x﹣1②，联立①②得，x=﹣，∴N点的横坐标为：﹣．（3）∵C（0，3），B（2，0），D（0，﹣1）∴CD=4，BC=，OB=2，BC边上的高为DH，根据等面积法得，BC×DH=CD×OB，∴DH==，∵A（﹣4，0），C（0，3），∴OA=4，OC=3，∴tan∠ACD=，①当PC=PQ时，简图如图1，过点P作PG⊥CD，过点D作DH⊥PQ，∵tan∠ACD=∴设CG=3a，则QG=3a，PG=4a，PQ=PC=5a，∴DQ=CD﹣CQ=4﹣6a∵△PGQ∽△DHQ，∴，∴，∴a=，∴PC=5a=；②当PC=CQ时，简图如图2，过点P作PG⊥CD，∵tan∠ACD=∴设CG=3a，则PG=4a，∴CQ=PC=5a，∴QG=CQ﹣CG=2a，∴PQ=2a，∴DQ=CD﹣CQ=4﹣5a∵△PGQ∽△DHQ，同①的方法得出，PC=4﹣，③当QC=PQ时，简图如图1过点Q作QG⊥PC，过点C作CN⊥PQ，设CG=3a，则QG=4a，PQ=CQ=5a，∴PG=3a，∴PC=6a∴DQ=CD﹣CQ=4﹣5a，利用等面积法得，CN×PQ=PC×QG，∴CN=a，∵△CQN∽△DQH同①的方法得出PC=④当PC=CQ时，简图如图4，过点P作PG⊥CD，过H作HD⊥PQ，设CG=3a，则PG=4a，CQ=PC=5a，∴QD=4+5a，PQ=4，∵△QPG∽△QDH，同①方法得出．CP=综上所述，PC的值为：；4﹣，，=．。
2020年广东省东莞市中考数学一模试卷(有答案解析)
2020年广东省东莞市中考数学一模试卷一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.计算的结果是A. 2B.C.D.2.下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是A. B. C. D.3.我市2019年参加中考的考生人数约为52400人，将52400用科学记数法表示为A. B. C. D.4.下列运算正确的是A. B.C. D.5.函数中自变量x的取值范围是A. 且B.C.D.6.如图，PA、PB分别与相切于A、B两点，若，则的度数为A.B.C.D.7.某学校九年级一班十名同学定点投篮测试，每人投篮六次，投中的次数统计如下：5，4，3，5，5，2，5，3，4，1，则这组数据的中位数，众数分别为A. 4，5B. 5，4C. 4，4D. 5，58.一个多边形每个外角都等于，这个多边形是A. 六边形B. 正八边形C. 正十边形D. 正十二边形9.如图在同一个坐标系中函数和的图象可能的是A. B.C. D.10.如图，在等腰中，，，点P从点B出发，以的速度沿BC方向运动到点C停止，同时点Q从点B出发，以的速度沿方向运动到点C 停止，若的面积为，运动时间为，则下列最能反映y与x之间函数关系的图象是A. B.C. D.二、填空题（本大题共7小题，共28.0分）11.实数81的平方根是______．12.分解因式：______．13.抛物线的顶点坐标为______．14.如图，中，，，，AC的垂直平分线DE分别交AB，AC于D，E两点，则CD的长为______．15.如图，AB是的直径，点C、D在圆上，，则等于______度．16.已知一副直角三角板如图放置，其中，，把的三角板向右平移，使顶点B落在的三角板的斜边DF上，则两个三角板重叠部分阴影部分的面积为______．17.二次函数的图象如图，对称轴是直线，有以下结论：；；；；其中正确的结论有______．三、计算题（本大题共2小题，共14.0分）18.计算：．19.如图，在中，点D，E分别在边AB，AC上，，线段AG分别交线段DE，BC于点F，G，且．求证：∽；若，求的值．四、解答题（本大题共6小题，共48.0分）20.先化简：，请在，0，1，2，3当中选一个合适的数a代入求值．21.如图，在中，．用尺规作图法作AB边上的垂直平分线DE，交AC于点D，交AB于点保留作图痕迹，不要求写作法和证明；连结BD，若BD平分，求的度数．22.央视“经典咏流传”开播以来受到社会广泛关注我市某校就“中华文化我传承--地方戏曲进校园”的喜爱情况进行了随机调查．对收集的信息进行统计，绘制了下面两幅尚不完整的统计图．请你根据统计图所提供的信息解答下列问题：图中A表示“很喜欢”，B表示“喜欢”、C表示“一般”，D表示“不喜欢”．被调查的总人数是______人，扇形统计图中C部分所对应的扇形圆心角的度数为______；补全条形统计图；若该校共有学生1800人，请根据上述调查结果，估计该校学生中A类有______人；在抽取的A类5人中，刚好有3个女生2个男生，从中随机抽取两个同学担任两角色，用树形图或列表法求出被抽到的两个学生性别相同的概率．23.草莓是云南多地盛产的一种水果，今年某水果销售店在草莓销售旺季试销售成本为每千克18元的草莓，规定试销期间销售单价不低于成本单价，也不高于每千克40元．经试销发现，销售量与销售单价元符合一次函数关系，如图是y与x的函数关系图象．求y与x的函数解析式；设该水果销售店试销草莓获得的利润为W元，求W的最大值．24.如图，在中，，AE是的平分线，的平分线BM交AE于点M，点O在AB上，以点O为圆心，OB的长为半径的圆经过点M，交BC于点G，交AB于点F．求证：AE为的切线；当，时，求的半径；在的条件下，求线段BG的长．25.如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC为菱形，点C的坐标为，，垂直于x轴的直线l从y轴出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，设直线l与菱形OABC的两边分别交于点M、点M在点N的上方．求A、B两点的坐标；设的面积为S，直线l运动时间为t秒，求S与t的函数表达式；在的条件下，t为何值时，S最大？并求出S的最大值．-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：解：的结果是2．故选：A．根据负数的绝对值是它的相反数，可得答案．本题考查了绝对值，利用了负数的绝对值它的相反数是解题关键．2.答案：C解析：解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意；B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；C、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意；D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意．故选：C．根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．3.答案：C解析：解：，故选：C．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n 是正数；当原数的绝对值时，n是负数．此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n 为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．4.答案：B解析：解：A、，故错误；B、正确；C、，故错误；D、，故错误；故选：B．根据同底数幂的除法，底数不变指数相减；合并同类项，系数相加字母和字母的指数不变；同底数幂的乘法，底数不变指数相加；幂的乘方，底数不变指数相乘，对各选项计算后利用排除法求解．本题考查同底数幂的除法，合并同类项，同底数幂的乘法，幂的乘方很容易混淆，一定要记准法则才能做题．5.答案：A解析：解：根据题意得到：，解得且，根据分式的分母不为0；偶次根式被开方数大于或等于0；当一个式子中同时出现这两点时，应该是取让两个条件都满足的公共部分．本题考查了函数自变量的取值范围问题，判断一个式子是否有意义，应考虑分母上若有字母，字母的取值不能使分母为零，二次根号下字母的取值应使被开方数为非负数．易错易混点：学生易对二次根式的非负性和分母不等于0混淆．6.答案：C解析：解：、PB是的切线，，，，又，则．故选：C．由PA与PB都为圆O的切线，利用切线的性质得到OA垂直于AP，OB垂直于BP，可得出两个角为直角，再由同弧所对的圆心角等于所对圆周角的2倍，由已知的度数求出的度数，在四边形PABO中，根据四边形的内角和定理即可求出的度数．本题主要考查了切线的性质，四边形的内角与外角，以及圆周角定理，熟练运用性质及定理是解本题的关键．7.答案：A解析：解：将数据从小到大排列为：1，2，3，3，4，4，5，5，5，5，这组数据的众数为：5；中位数为：4．故选：A．根据众数及中位数的定义，结合所给数据即可作出判断．本题考查了众数、中位数的知识，解答本题的关键是掌握众数及中位数的定义．8.答案：D解析：解：多边形的外角和为，，这个多边形是正十二边形，故选：D．根据多边形的外角和为，而多边形每个外角都等于，可求多边形外角的个数，确定多边形的边数．本题考查了多边形内角与外角．关键是利用多边形的外角和为的性质，求多边形的边数．9.答案：C解析：解：当时，函数的图象经过一、三、四象限；函数的开口向上，对称轴在y轴上；当时，函数的图象经过二、三、四象限；函数的开口向下，对称轴在y轴上，故C正确．故选：C．分与两种情况进行讨论即可．本题考查了一次函数、二次函数的图象和系数的关系，是基础知识要熟练掌握．解析：解：作于H，，，，，，，点P运动的速度为，Q点运动的速度为，点P从B点运动到C需4s，Q点运动到C需8s，当时，作于D，如图1，，，在中，，，当时，作于D，如图2，，在中，，，综上所述，．故选：D．作于H，根据等腰三角形的性质得，利用可计算出，，则，利用速度公式可得点P从B点运动到C需4s，Q点运动到C需8s，然后分类讨论：当时，作于D，如图1，，，，利用三角形面积公式得到；当时，作于D，如图2，，，，利用三角形面积公式得，于是可得时，函数图象为抛物线的一部分，当时，函数图象为线段，则易得答案为D．本题考查了动点问题的函数图象：通过分类讨论，利用三角形面积公式得到y与x的函数关系，然后根据二次函数和一次函数图象与性质解决问题．11.答案：解析：【分析】此题主要考查了平方根的性质，要注意区分平方根、算术平方根的概念．首先根据平方根的定义可以求得结果．解：实数81的平方根是：．故答案为：．12.答案：解析：解：--提取公因式．注意将提取公因式与乘法公式综合应用，将整式提取公因式后再次利用公式分解．本题考查的是提公因式法与公式法分解因式的综合运用．分解因式时，有公因式的，先提公因式，再考虑运用何种公式法来分解．13.答案：解析：解：，把代入得：．则顶点的坐标是．故答案是：．利用顶点的公式首先求得横坐标，然后把横坐标的值代入解析式即可求得纵坐标．本题考查了二次函数的顶点坐标的求解方法，可以利用配方法求解，也可以利用公式法求解．14.答案：解析：解：是AC的垂直平分线，，，设，则，在中，，即，解得．故答案为：．先根据线段垂直平分线的性质得出，故AB，设，则，在中根据勾股定理求出x的值即可．本题考查的是线段垂直平分线的性质，熟知垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等是解答此题的关键．15.答案：23解析：解：由圆周角定理得，，是的直径，，，故答案为：23．根据圆周角定理得到、，根据直角三角形的性质计算，得到答案．本题考查的是圆周角定理、直角三角形的性质，掌握在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半是解题的关键．16.答案：解析：解：在直角中，，，．又，则．在直角中，，，，则，，，阴影部分的面积为：．故答案是：．根据特殊角的锐角三角函数值，求出EC、EG、AE的长，得到阴影部分的面积．本题考查的是平移的性质，需要正确运用锐角三角函数和特殊角的三角函数值．17.答案：解析：解：由图象可知：，，又对称轴是直线，根据对称轴在y轴左侧，a，b同号，可得，，故正确；抛物线与x轴有两个交点，，，故正确；对称轴是直线，，，，故正确；当时，，，故正确；对称轴是直线，且由图象可得：当时，，当时，，，故错误．综上，正确的有．故答案为：．由图象可知：，，根据对称轴及a与b的符号关系可得，则可判断的正误；根据抛物线与x轴有两个交点，可得，则可判断的正误；由对称轴是直线，可判断的正误；由当时，，可判断的正误；由当时，，可判断的正误．本题考查了二次函数与不等式的关系，数形结合并明确二次函数的相关性质是解题的关键．18.答案：解：原式．解析：原式第一项利用负指数幂法则计算，第二项利用特殊角的三角函数值计算，第三项利用零指数幂法则计算，最后一项化为最简二次根式，计算即可得到结果．此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．19.答案：证明：，，∽，，又，∽；解：∽，，，，．解析：由、利用相似三角形的判定即可证出∽；根据相似三角形的性质再得出，即可证出∽；由的结论以及相似三角形的性质即可求出答案．本题考查相似三角形的性质和判定，记住相似三角形的判定方法是解决问题的关键，属于基础题．20.答案：解：原式，当，0，1时，分式无意义，故当时，原式．解析：直接将括号里面通分运算，再利用分式的混合运算法则计算得出答案．此题主要考查了分式的化简求值，正确掌握分式的混合运算是解题关键．21.答案：解：如图所示，DE为所求作的垂直平分线；是AB边上的垂直平分线，，，平分，，，，．解析：直接利用线段垂直平分线的作法得出即可；利用线段垂直平分线的性质得出，再利用角平分线的性质求出即可．此题主要考查了基本作图以及线段垂直平分线的性质与作法，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题关键．22.答案：；见解析；解析：解：被调查的总人数为人，扇形统计图中C部分所对应的扇形圆心角的度数为，故答案为：50、；类别人数为人，补全图形如下：估计该校学生中A类有人，故答案为：180；列表如下：女女女男男女---女女女女男女男女女女女---女女男女男女女女女女女---男女男女男女男女男女男---男男男女男女男女男男男---所有等可能的结果为种，其中被抽到的两个学生性别相同的结果数为8，被抽到的两个学生性别相同的概率为．由A类别人数及其所占百分比可得总人数，用乘以C部分人数所占比例可得；总人数减去其他类别人数求得B的人数，据此即可补全条形图；用总人数乘以样本中A类别人数所占百分比可得；用树状图或列表法即可求出抽到性别相同的两个学生的概率．此题考查了列表法或树状图法求概率以及条形统计图与扇形统计图的应用．解题时注意：概率所求情况数与总情况数之比．一般来说，用样本去估计总体时，样本越具有代表性、容量越大，这时对总体的估计也就越精确．23.答案：解：设，将、和、代入，得：，解得：，；根据题意，得：，，当时，W随x的增大而增大，在中，当时，W取得最大值，最大值为8548．解析：利用待定系数法求解可得；根据总利润每千克的利润销售量列出函数解析式，并配方成顶点式，再利用二次函数的性质求解可得．本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式，并根据总利润每千克的利润销售量的数量关系列出函数解析式，熟练掌握二次函数的性质．24.答案：证明：连接OM，如图1，是的平分线，，，，，，，AE是的平分线，，，为的切线；解：设的半径为r，，AE是的平分线，，，∽，，即，解得，即设的半径为；解：作于H，如图，，，四边形OHEM为矩形，，，，，．解析：连接OM，如图1，先证明，再根据等腰三角形的性质判断，则，然后根据切线的判定定理得到AE为的切线；设的半径为r，利用等腰三角形的性质得到，再证明∽，则利用相似比得到，然后解关于r的方程即可；作于H，如图，易得四边形OHEM为矩形，则，所以，再根据垂径定理得到，所以．本题考查了圆的综合题：熟练掌握垂径定理、切线的判定和等腰三角形的性质；会运用相似三角形的判定与性质计算线段的进行几何计算．25.答案：解：过点A作于D，四边形OABC为菱形，点C的坐标为，．，，．，；直线l从y轴出发，沿x轴正方向运动与菱形OABC的两边相交有三种情况：时，直线l与OA、OC两边相交，如图．，．；当时，直线l与AB、OC两边相交，如图．；当时，直线l与AB、BC两边相交，如图．设直线l与x轴交于点H．，；由知，当时，，当时，，当时，当时，综上所述，当时，．解析：过A作于D，在直角三角形OAD中，可根据OA的长和的度数求出OD 和AD的长，即可得出A点坐标，将A的坐标向右平移8个单位即可得出B点坐标．当l过A点时，，因此；当l过C点时，，此时因此本题可分三种情况：当时，直线l与OA、OC两边相交，此时，，根据三角形的面积公式即可得出S，t的函数关系式．当时，直线l与AB、OC两边相交，此时三角形OMN中，NM的长与AD的长相同，而，可得出S，t的函数关系式．当时，直线l与AB、BC两边相交，可设直线l与x轴交点为H，那么三角形OMN可以MN为底，OH为高来计算其面积．OH的长为t，而MN的长可通过来求得，可得出关于S，t的函数关系式．根据中各函数的性质和各自的自变量的取值范围可得出S的最大值及对应的t的值．本题是四边形综合题，考查了菱形的性质，图形面积的求法，二次函数的应用等知识，利用分类讨论思想和数形结合的数学数形方法解决问题是本题的关键．。
广东省东莞市虎门市捷胜中学中考数学一模试卷(含解析)
2016年广东省东莞市虎门市捷胜中学中考数学一模试卷一、选择题（每题3分）1．﹣2的相反数是（）A．2 B．﹣2 C．D．2．节约是一种美德，节约是一种智慧．据不完全统计，全国每年浪费食物总量折合粮食可养活约3亿5千万人．350 000 000用科学记数法表示为（）A．3.5×107B．3.5×108C．3.5×109D．3.5×10103．下列几何体中，同一个几何体的主视图与俯视图不同的是（）A．B． C． D．4．下列运算正确的是（）A．2a+3b=5ab B．5a﹣2a=3a C．a2•a3=a6D．（a+b）2=a2+b25．如图，AB∥CD，∠CDE=140°，则∠A的度数为（）A．140°B．60° C．50° D．40°6．若一个多边形的每一个外角都是40°，则这个多边形是（）A．六边形B．八边形C．九边形D．十边形7．一个袋中装有2个红球，3个蓝球和5个白球，它们除颜色外完全相同，现在从中任意摸出一个球，则P（摸到红球）等于（）A．B．C．D．8．如图，要使平行四边形ABCD成为矩形，需添加的条件是（）A．AB=BC B．AC⊥BD C．∠ABC=90°D．∠1=∠29．下列一元二次方程有两个不等的实数根的是（）A．（n﹣25）2=0 B．y2+1=0 C．x2+3x﹣5=0 D．2m2+m=﹣110．二次函数y=ax2+bx+c与一次函数y=ax+c的图象大致可能是（）A．B．C．D．二、填空题（每题4分）11．在函数y=中，自变量x的取值范围是．12．不等式的解集是．13．如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，点E是CD的中点，若AD=4cm，则OE的长为cm．14．已知扇形的面积是3πcm2，扇形的圆心角是120°．则它的半径是．扇形的弧长是cm（结果保留π）．15．有一组数：，，，，…，则这组数的第8个为，第n个数为（用含n的代数式表示）16．已知一副直角三角板如图放置，其中BC=3，EF=4，把30°的三角板向右平移，使顶点B落在45°的三角板的斜边DF上，则两个三角板重叠部分（阴影部分）的面积为．三、解答题17．计算： +（）﹣1﹣2cos60°+0．18．先化简，再求值：﹣÷，其中x=．19．如图所示，在△ABC中，∠ABC=∠ACB．（1）尺规作图：过顶点A作△ABC的角平分线AD；（不写作法，保留作图痕迹）（2）在AD上任取一点E，连接BE、CE．求证：△ABE≌△ACE．四、解答题20．如图，小明家在A处，门前有一口池塘，隔着池塘有一条公路l，AB是A到l的小路．现新修一条路AC到公路l．小明测量出∠ACD=31°，∠ABD=45°，BC=50m．请你帮小明计算他家到公路l的距离AD的长度？（精确到0.1m；参考数据tan31°≈0.60，sin31°≈0.51，cos31°≈0.86）．21．某校体育组为了了解学生喜欢的体育项目，从全校同学中随机抽取了若干名同学进行调查，每位同学从兵乓球、篮球、羽毛球、排球、跳绳中选择一项最喜欢的项目，并将调查的结果绘制成如下的两幅统计图．根据以上统计图，解答下列问题：（1）这次抽样调查中，共调查了名学生；（2）补全条形统计图，并求扇形统计图中表示“乒乓球”的扇形的圆心角度数；（3）若全校有1500名同学，估计全校最喜欢篮球的有多少名同学？22．某商店第一次用600元购进2B铅笔若干支，第二次又用600元购进该款铅笔，但这次每支的进价是第一次进价的倍，购进数量比第一次少了30支．（1）求第一次每支铅笔的进价是多少元？（2）若要求这两次购进的铅笔按同一价格全部销售完毕后获利不低于420元，问每支售价至少是多少元？五、解答题23．已知：二次函数y=ax2+bx+6（a≠0）的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧，点A、点B的横坐标是一元二次方程x2﹣4x﹣12=0的两个根．（1）直接写出点A、点B的坐标：A ，B ．（2）求出该二次函数的解析式及对称轴；（3）若点P是抛物线对称轴上的一个动点，d=|BP﹣CP|，探究：是否存在一点P，使得d 的值最大？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．24．如图1，OA、OB是⊙O的半径，且OA⊥OB，点C是OB延长线上任意一点，过点C作CD 且⊙O于点D，连结AD交DC于点E．（1）求证：CD=CE；（2）如图2，若将图1中的半径OB所在直线向上平移，交OA于F，交⊙O于B′，其他条件不变，求证：∠C=2∠A；（3）如图3，在（2）的条件下，若CD=13，sinA=，求DE的长．25．已知：如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且AC=12cm，BD=16cm，点P从点B出发，沿BA方向匀速运动，速度为1cm/s，同时，直线EF从点D出发，沿DB方向匀速运动，速度为1cm/s，EF⊥BD，且与AD，BD，CD分别交于点E，Q，F；当直线EF停止运动时，点P也停止运动．连接PF，设运动时间为t（s）（0＜t＜8）．解答下列问题：（1）当t为何值时，四边形APFD是平行四边形？（2）设四边形APFE的面积为y（cm2），求y与t之间的函数关系式；并求出当t取何值时，y取得最大值？（3）是否存在某一时刻t，使S四边形APFE：S菱形ABCD=17：40？求出t的值．2016年广东省东莞市虎门市捷胜中学中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（每题3分）1．﹣2的相反数是（）A．2 B．﹣2 C．D．【考点】相反数．【分析】根据一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号，求解即可．【解答】解：﹣2的相反数是：﹣（﹣2）=2，故选A2．节约是一种美德，节约是一种智慧．据不完全统计，全国每年浪费食物总量折合粮食可养活约3亿5千万人．350 000 000用科学记数法表示为（）A．3.5×107B．3.5×108C．3.5×109D．3.5×1010【考点】科学记数法—表示较大的数．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值是易错点，由于350 000 000有9位，所以可以确定n=9﹣1=8．【解答】解：350 000 000=3.5×108．故选：B．3．下列几何体中，同一个几何体的主视图与俯视图不同的是（）A．B． C． D．【考点】简单几何体的三视图．【分析】主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、侧面和上面看，所得到的图形．【解答】解：A、圆柱的主视图与俯视图都是矩形，错误；B、正方体的主视图与俯视图都是正方形，错误；C、圆锥的主视图是等腰三角形，而俯视图是圆和圆心，正确；D、球体主视图与俯视图都是圆，错误；故选C．4．下列运算正确的是（）A．2a+3b=5ab B．5a﹣2a=3a C．a2•a3=a6D．（a+b）2=a2+b2【考点】同底数幂的乘法；合并同类项；完全平方公式．【分析】根据同类项、同底数幂的乘法和完全平方公式计算即可．【解答】解：A、2a与3b不能合并，错误；B、5a﹣2a=3a，正确；C、a2•a3=a5，错误；D、（a+b）2=a2+2ab+b2，错误；故选B．5．如图，AB∥CD，∠CDE=140°，则∠A的度数为（）A．140°B．60° C．50° D．40°【考点】平行线的性质．【分析】先求出∠CDE的邻补角，再根据两直线平行，内错角相等解答．【解答】解：∵∠CDE=140°，∴∠ADC=180°﹣140°=40°，∵AB∥CD，∴∠A=∠ADC=40°．故选：D．6．若一个多边形的每一个外角都是40°，则这个多边形是（）A．六边形B．八边形C．九边形D．十边形【考点】多边形内角与外角．【分析】根据任何多边形的外角和都是360度，利用360除以外角的度数就可以求出外角和中外角的个数，即多边形的边数．【解答】解：360÷40=9，即这个多边形的边数是9，故选C．7．一个袋中装有2个红球，3个蓝球和5个白球，它们除颜色外完全相同，现在从中任意摸出一个球，则P（摸到红球）等于（）A．B．C．D．【考点】概率公式．【分析】用红球的个数除以所有球的个数即可求得摸到红球的概率．【解答】解：∵共2+3+5=10个球，有2个红球，∴摸到红球的概率为=，故选C．8．如图，要使平行四边形ABCD成为矩形，需添加的条件是（）A．AB=BC B．AC⊥BD C．∠ABC=90°D．∠1=∠2【考点】矩形的判定．【分析】根据矩形的判定定理（①有一个角是直角的平行四边形是矩形，②有三个角是直角的四边形是矩形，③对角线相等的平行四边形是矩形）逐一判断即可．【解答】解：A、根据AB=BC和平行四边形ABCD不能得出四边形ABCD是矩形，故本选项错误；B、∵四边形ABCD是平行四边形，∴当AC⊥BD时四边形ABCD是菱形，故本选项错误；C、∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD，∴平行四边形ABCD是菱形，不能推出四边形ABCD是矩形，故本选项错误；D、∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠2=∠ACB，∵∠1=∠2，∴∠1=∠ACB，∴AB=BC，∴四边形ABCD是菱形，不能推出四边形ABCD是矩形，故本选项错误；故选C．9．下列一元二次方程有两个不等的实数根的是（）A．（n﹣25）2=0 B．y2+1=0 C．x2+3x﹣5=0 D．2m2+m=﹣1【考点】根的判别式．【分析】利用直接开平方法解方程可对A进行判断；对于B、C直接计算判别式的值，然后根据判别式的意义进行判断；对于D，先化为一般式，再计算判别式的值，然后根据判别式的意义进行判断．【解答】解：A、n1=n2=25，所以A选项错误；B、△=0﹣4×1×1＜0，方程没有实数根，所以B选项错误；C、△=32﹣4×1×（﹣5）＞0，方程有两个不相等的实数根，所以C选项正确；D、2m2+m+1=0，△=12﹣4×2×1＜0，方程没有实数根，所以D选项错误．故选C．10．二次函数y=ax2+bx+c与一次函数y=ax+c的图象大致可能是（）A．B．C．D．【考点】二次函数图象与系数的关系；一次函数图象与系数的关系．【分析】根据二次函数的开口方向，与y轴的交点以及一次函数经过的象限，与y轴的交点可得相关图象，分别判断即可．【解答】解：A、当a＜0时，二次函数开口向下，一次函数经过二、四象限，故A选项错误；B、当a＞0时，二次函数开口向上，一次函数经过一、三象限，故B选项错误；C、当a＜0时，二次函数开口向下，一次函数经过二、四象限，且两个函数图象交于y轴上的同一点，故C选项正确；D、∵一次函数和二次函数都经过y轴上的（0，c），∴两个函数图象交于y轴上的同一点，故D选项错误；故选：C．二、填空题（每题4分）11．在函数y=中，自变量x的取值范围是x≥﹣3 ．【考点】函数自变量的取值范围．【分析】因为二次根式的被开方数要为非负数，即x+3≥0，解此不等式即可．【解答】解：根据题意得：x+3≥0，解得：x≥﹣3．12．不等式的解集是﹣1＜x＜3 ．【考点】解一元一次不等式组．【分析】首先分别计算出两个不等式的解集，再根据大小小大中间找确定不等式组的解集．【解答】解：，由①得：x＜3，由②得：x＞﹣1，不等式组的解集为：﹣1＜x＜3，故答案为：﹣1＜x＜3．13．如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，点E是CD的中点，若AD=4cm，则OE的长为 2 cm．【考点】三角形中位线定理；平行四边形的性质．【分析】先说明OE是△ACD的中位线，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求解．【解答】解：∵▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，∴OA=OC，∵点E是CD的中点，∴CE=DE，∴OE是△ACD的中位线，∵AD=4cm，∴OE=AD=×4=2cm．故答案为：2．14．已知扇形的面积是3πcm2，扇形的圆心角是120°．则它的半径是3cm ．扇形的弧长是2πcm（结果保留π）．【考点】扇形面积的计算；弧长的计算．【分析】设扇形半径为r，把相应数值代入s=，即可求出r的值，利用所求r的值，代入公式l=即可解答．【解答】解：设扇形半径为r，∵扇形的面积是3πcm2，扇形的圆心角是120°，∴3π=，∴r=3，l==2π，故答案为3cm，2πcm．15．有一组数：，，，，…，则这组数的第8个为，第n个数为（用含n的代数式表示）【考点】规律型：数字的变化类．【分析】观察上述分数可发现，分子是从1开始的连续整数，分母都是一个数的平方与1的和，然后依据规律回答即可．【解答】解：根据数据可知， =， =， =， =，这组数的第8个为=，第n个数为，故答案为，16．已知一副直角三角板如图放置，其中BC=3，EF=4，把30°的三角板向右平移，使顶点B落在45°的三角板的斜边DF上，则两个三角板重叠部分（阴影部分）的面积为3﹣．【考点】平移的性质．【分析】根据特殊角的锐角三角函数值，求出EC、EG、AE的长，得到阴影部分的面积．【解答】解：∵∠F=45°，BC=3，∴CF=3，又EF=4，则EC=1，∵BC=3，∠A=30°，∴AC=3，则AE=3﹣1，∠A=30°，∴EG=3﹣，阴影部分的面积为：×3×3﹣×（3﹣1）×（3﹣）=3﹣．故答案为：3﹣．三、解答题17．计算： +（）﹣1﹣2cos60°+0．【考点】实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．【分析】表示4的算术平方根，等于2； =2，cos60°=，0=1，分别代入计算．【解答】解： +（）﹣1﹣2cos60°+0，=2+2﹣2×+1，=4﹣1+1，=4．18．先化简，再求值：﹣÷，其中x=．【考点】分式的化简求值．【分析】先算除法，再算加减，最后把x的值代入进行计算即可．【解答】解：原式=﹣•=﹣===，当x=﹣1时，原式==．19．如图所示，在△ABC中，∠ABC=∠ACB．（1）尺规作图：过顶点A作△ABC的角平分线AD；（不写作法，保留作图痕迹）（2）在AD上任取一点E，连接BE、CE．求证：△ABE≌△ACE．【考点】全等三角形的判定；等腰三角形的判定；作图—基本作图．【分析】（1）以A为圆心，以任意长为比较画弧，分别交AB和AC于一点，分别以这两点为圆心，以大于这两点之间的距离为半径画弧，两弧交于一点，过这点和A作射线，交BC于D，则，AD为所求；（2）推出∠BAE=∠CAE，根据SAS证△BAE和△CAE全等即可．【解答】（1）解：如图所示：（2）证明：∵AD是△ABC的角平分线，∴∠BAD=∠CAD，∵∠ABC=∠ACB，∴AB=AC，∵在△ABE和△ACE中，∴△ABE≌△ACE（SAS）．四、解答题20．如图，小明家在A处，门前有一口池塘，隔着池塘有一条公路l，AB是A到l的小路．现新修一条路AC到公路l．小明测量出∠ACD=31°，∠ABD=45°，BC=50m．请你帮小明计算他家到公路l的距离AD的长度？（精确到0.1m；参考数据tan31°≈0.60，sin31°≈0.51，cos31°≈0.86）．【考点】解直角三角形的应用．【分析】设BD=AD=xm，利用x表示出CD的长，然后在直角△ACD中，利用三角函数即可得到AD和CD的比值，即可列方程求得x的值．【解答】解∵∠2=45°∠3=90°∴∠4=45°∴∠2=∠4 即BD=AD设BD=AD=xm，∵AC=50m∴CD=x+50，在Pt△ACD中tanC=，10c=6x+3004x=300x≈75.0．答：AD=75.0m．21．某校体育组为了了解学生喜欢的体育项目，从全校同学中随机抽取了若干名同学进行调查，每位同学从兵乓球、篮球、羽毛球、排球、跳绳中选择一项最喜欢的项目，并将调查的结果绘制成如下的两幅统计图．根据以上统计图，解答下列问题：（1）这次抽样调查中，共调查了200 名学生；（2）补全条形统计图，并求扇形统计图中表示“乒乓球”的扇形的圆心角度数；（3）若全校有1500名同学，估计全校最喜欢篮球的有多少名同学？【考点】条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图．【分析】（1）根据喜爱羽毛球的人数除以喜爱羽毛球所占的百分比，可得答案；（2）根据总人数减去喜爱乒乓球的人数、篮球的人数、羽毛球的人数、排球的人数，可得答案；根据喜爱乒乓球的人数比上总人数乘以圆周角，可得答案；（3）根据喜爱篮球的人数比上总人数，可得喜爱篮球人数所占的百分比，根据全校总人数乘以喜爱篮球人数所占的百分比，可得答案．【解答】解：（1）30÷15%=200，故答案为：200；（2）跳绳人数为200﹣70﹣40﹣30﹣12=48人，圆心角=126°，如图：；（3）估计全校最喜欢“篮球”的学生人数为1500×=300人．22．某商店第一次用600元购进2B铅笔若干支，第二次又用600元购进该款铅笔，但这次每支的进价是第一次进价的倍，购进数量比第一次少了30支．（1）求第一次每支铅笔的进价是多少元？（2）若要求这两次购进的铅笔按同一价格全部销售完毕后获利不低于420元，问每支售价至少是多少元？【考点】分式方程的应用；一元一次不等式组的应用．【分析】（1）设第一次每支铅笔进价为x元，则第二次每支铅笔进价为x元，根据题意可列出分式方程解答；（2）设售价为y元，求出利润表达式，然后列不等式解答．【解答】解：（1）设第一次每支铅笔进价为x元，根据题意列方程得，﹣=30，解得x=4，经检验：x=4是原分式方程的解．答：第一次每支铅笔的进价为4元．（2）设售价为y元，第一次每支铅笔的进价为4元，则第二次每支铅笔的进价为4×=5元根据题意列不等式为：×（y﹣4）+×（y﹣5）≥420，解得y≥6．答：每支售价至少是6元．五、解答题23．已知：二次函数y=ax2+bx+6（a≠0）的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧，点A、点B的横坐标是一元二次方程x2﹣4x﹣12=0的两个根．（1）直接写出点A、点B的坐标：A （﹣2，0），B （6，0）．（2）求出该二次函数的解析式及对称轴；（3）若点P是抛物线对称轴上的一个动点，d=|BP﹣CP|，探究：是否存在一点P，使得d 的值最大？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【考点】二次函数综合题．【分析】（1）利用分解因式法解方程x2﹣4x﹣12=0，即可求出点A、B的横坐标，由此即可得出结论；（2）根据点A、B的坐标利用待定系数法即可求出抛物线的解析式，再利用配方法即可得出抛物线的对称轴；（3）连接AC并延长，交抛物线对称轴于点P，连接PB，利用三角形的三边关系来说明此时d最大．令抛物线解析式中x=0求出y值，即可得出点C的坐标，根据点A、C的坐标利用待定系数法即可求出直线AC的解析式，联立直线AC与抛物线的对称轴成方程组，解方程组即可得出点P的坐标，此题得解．【解答】解：（1）x2﹣4x﹣12=（x+2）（x﹣6）=0，解得：x1=﹣2，x2=6，∵点A在点B的左侧，∴A（﹣2，0），B（6，0）．故答案为：（﹣2，0）；（6，0）．（2）将A（﹣2，0）、B（6，0）代入y=ax2+bx+6中，得：，解得：，∴该二次函数的解析式为y=﹣x2+2x+6．∵y=﹣x2+2x+6=﹣（x﹣2）2+8，∴该抛物线的对称轴为x=2．（3）连接AC并延长，交抛物线对称轴于点P，连接PB，如图所示．∵A、B关于对称轴对称，∴PA=PB，∵三角形的两边之差小于第三边，∴当点A、C、P共线时，|BP﹣CP|最大．令y=﹣x2+2x+6中x=0，则y=6，∴C（0，6）．设直线AC的解析式为y=kx+b，将点A（﹣2，0）、C（0，6）代入y=kx+b中，得：，解得：，∴直线AC的解析式为y=3x+6．联立直线AC与抛物线对称轴得：，解得：．故存在一点P，使得d的值最大，此时点P的坐标为（2，12）．24．如图1，OA、OB是⊙O的半径，且OA⊥OB，点C是OB延长线上任意一点，过点C作CD 且⊙O于点D，连结AD交DC于点E．（1）求证：CD=CE；（2）如图2，若将图1中的半径OB所在直线向上平移，交OA于F，交⊙O于B′，其他条件不变，求证：∠C=2∠A；（3）如图3，在（2）的条件下，若CD=13，sinA=，求DE的长．【考点】圆的综合题．【分析】（1）连接OD，由OA⊥OB得出∠A+∠AEO=90°，由切线的性质得出∠CDE+∠ODE=90°，由∠A=∠ODE，证出∠AEO=∠CDE，由对顶角相等得出∠CDE=∠CED，即可得出CD=CE；（2）同（1）可证：CD=CE，作CM⊥AD于M，由等腰三角形的三线合一性质得出∠ECM=∠DCM=∠DCE，∠CME=90°，由角的互余关系和对顶角相等得出∠A=∠ECM，即可得出∠DCE=2∠A；（3）连接OD，作CM⊥AD于M，利用CD=CE，∠DCE=2∠A，由三角函数求出DM，得出DE的长即可．【解答】（1）证明：连接OD，如图1所示：∵OA⊥OB，∴∠AOE=90°，∴∠A+∠AEO=90°，∵CD是⊙O的切线，∴∠ODC=90°，即∠CDE+∠ODE=90°，又∵OA=OD，∴∠A=∠ODE，∴∠AEO=∠CDE，∵∠CED=∠AEO，∴∠CDE=∠CED，∴CD=CE；（2）证明：连接OD，作CM⊥AD于M，如图2所示：同（1）可证：CD=CE，则∠ECM=∠DCM=∠DCE，DE=2DM，∠CME=90°，∴∠ECM+∠CEM=90°，∵∠A+∠AEF=90°，∠AEF=∠CEM，∴∠A=∠ECM，∴∠A=∠DCE，即∠DCE=2∠A；（3）解：连接OD，作CM⊥AD于M，如图3所示：由（1）（2）可知：CD=CE，∠DCE=2∠A，∴DM=CD•sinA=13×=5，∴DE=2DM=10．25．已知：如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且AC=12cm，BD=16cm，点P从点B出发，沿BA方向匀速运动，速度为1cm/s，同时，直线EF从点D出发，沿DB方向匀速运动，速度为1cm/s，EF⊥BD，且与AD，BD，CD分别交于点E，Q，F；当直线EF停止运动时，点P也停止运动．连接PF，设运动时间为t（s）（0＜t＜8）．解答下列问题：（1）当t为何值时，四边形APFD是平行四边形？（2）设四边形APFE的面积为y（cm2），求y与t之间的函数关系式；并求出当t取何值时，y取得最大值？（3）是否存在某一时刻t，使S四边形APFE：S菱形ABCD=17：40？求出t的值．【考点】四边形综合题．【分析】（1）当AP=DF时，四边形APFD为平行四边形，用t表示出AP=10﹣t，DF=t，列等式计算；（2）作高CM，利用面积相等求出CM的长，由图可知：四边形APFE的面积=四边形APFD的面积﹣△EFD的面积；代入求出y与t之间的函数关系式，再求二次函数的顶点坐标的横坐标即可；（3）先计算菱形ABCD的面积，再将（2）得到的y代入到式子S四边形APFE：S菱形ABCD=17：40中，解出即可．【解答】解：（1）∵四边形ABCD为菱形，∴BO=BD=×16=8，AO=AC=×12=6，AC⊥BD，∴AB==10，由题意可知：BP=t，DQ=t，则AP=10﹣t，∵FQ∥OC，∴，∴，∴FQ=t，∵EF⊥BD，由勾股定理得：DF==t，∵AB∥CD，∴AP∥DF，∴当AP=DF时，四边形APFD为平行四边形，则10﹣t=t，t=；∴当t=时，四边形APFD是平行四边形；（2）过C作CM⊥AB于M，则S△ABC=AC•BO=AB•CM，∴AC•BO=AB•CM，∴12×8=10CM，∴DM=9.6，则y=S四边形APFD﹣S△EFD=×9.6×[（10﹣t）+t]﹣×t×2×t=﹣t2+1.2t+48，当t=﹣=0.8时，y有最大值；（3）存在，S菱形ABCD=×AC×BD=×12×16=96，∵S四边形APFE：S菱形ABCD=17：40，则，5t2﹣8t﹣48=0，解得：t1=4，t2=﹣（舍去），∵0＜t＜8，∴t=4符合题意，∴当t=4时，S四边形APFE：S菱形ABCD=17：40．广东省东莞市虎门市捷胜中学2016年中考数学一模试卷（含解析）21 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2017年广东东莞市虎门镇虎门捷胜中学初三一模数学试卷答案
D.3/2D.165∘学生版教师版答案版编辑教师版答案版/03≈1.42√≈1.73√2/03的图象有公共点，．直线轴，与轴交xyO，反比例函数的解析式是．A (1,2)D (−2,−1)l ⊥x x y =2xj i ao sh i .i zh ik an g.co m2018/12/03/12/0325.（1）当 时，四边形为正方形．答 案解 析（2）若以点、、为顶点的三角形与以点，，为顶点的三角形相似，求的值．答 案解 析（3）是否存在实数，使得点与点重合？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．答 案解 析如图，点为矩形的对称中心，，，点、、分别从、、三点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向匀速运动，点的运动速度为，点的运动速度为，点的运动速度为，当点到达点（即点与点重合）时，三个点随之停止运动．在运动过程中，关于直线的对称图形是．设点、、运动的时间为（单位：）．若四边形为正方形，则，，，即：，解得．或分两种情况，讨论如下：①若，则有，即，解得：；②若，则有，即，解得：（不合题意，舍去）或．∴当或时，以点、、为顶点的三角形与以点，，为顶点的三角形相似．不存在实数，使得点与点重合．假设存在实数，使得点与点重合．如图，过点作于点，则在中，，，，由勾股定理得：，即：．解得：．过点作于点，则在中，O ABCD AB =10cm BC =12cm E F G A B C E 1cm/s F 3cm/s G 1.5cm/s F C F C △EBF EF △E F B ′E F G t s t =s EBFB ′t =2.5EBFB ′BE =BF BE =10−t BF =3t 10−t =3t t =2.5E B F F C G t t =2.8s t =(−14+2)s 69−−√△EBF ∽△FCG =EB FC BF CG =10−t 12−3t 3t1.5tt =2.8△EBF ∽△GCF =EB CG BF FC =10−t 1.5t 3t12−3tt =−14−269−−√t =−14+269−−√t =2.8s t =(−14+2)s 69−−√E B F F C G t B ′O t t B ′O t B ′O O OM ⊥BC M Rt △OFM OF =BF =3t FM =BC −BF =6−3t 12OM =5O +F =O M 2M 2F 2+=52(6−3t )2(3t )2t =6136O ON ⊥AB N Rt △OEN。
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2016年广东省东莞市虎门市捷胜中学中考数学一模试卷一、选择题（每题3分）1．﹣2的相反数是（）A．2 B．﹣2 C．D．2．节约是一种美德，节约是一种智慧．据不完全统计，全国每年浪费食物总量折合粮食可养活约3亿5千万人．350 000 000用科学记数法表示为（）A．3.5×107B．3.5×108C．3.5×109D．3.5×10103．下列几何体中，同一个几何体的主视图与俯视图不同的是（）A．B． C． D．4．下列运算正确的是（）A．2a+3b=5ab B．5a﹣2a=3a C．a2•a3=a6D．（a+b）2=a2+b25．如图，AB∥CD，∠CDE=140°，则∠A的度数为（）A．140°B．60° C．50° D．40°6．若一个多边形的每一个外角都是40°，则这个多边形是（）A．六边形B．八边形C．九边形D．十边形7．一个袋中装有2个红球，3个蓝球和5个白球，它们除颜色外完全相同，现在从中任意摸出一个球，则P（摸到红球）等于（）A．B．C．D．8．如图，要使平行四边形ABCD成为矩形，需添加的条件是（）A．AB=BC B．AC⊥BD C．∠ABC=90°D．∠1=∠29．下列一元二次方程有两个不等的实数根的是（）A．（n﹣25）2=0 B．y2+1=0 C．x2+3x﹣5=0 D．2m2+m=﹣110．二次函数y=ax2+bx+c与一次函数y=ax+c的图象大致可能是（）A．B．C．D．二、填空题（每题4分）11．在函数y=中，自变量x的取值范围是．12．不等式的解集是．13．如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，点E是CD的中点，若AD=4cm，则OE的长为cm．14．已知扇形的面积是3πcm2，扇形的圆心角是120°．则它的半径是．扇形的弧长是cm（结果保留π）．15．有一组数：，，，，…，则这组数的第8个为，第n个数为（用含n的代数式表示）16．已知一副直角三角板如图放置，其中BC=3，EF=4，把30°的三角板向右平移，使顶点B落在45°的三角板的斜边DF上，则两个三角板重叠部分（阴影部分）的面积为．三、解答题17．计算： +（）﹣1﹣2cos60°+0．18．先化简，再求值：﹣÷，其中x=．19．如图所示，在△ABC中，∠ABC=∠ACB．（1）尺规作图：过顶点A作△ABC的角平分线AD；（不写作法，保留作图痕迹）（2）在AD上任取一点E，连接BE、CE．求证：△ABE≌△ACE．四、解答题20．如图，小明家在A处，门前有一口池塘，隔着池塘有一条公路l，AB是A到l的小路．现新修一条路AC到公路l．小明测量出∠ACD=31°，∠ABD=45°，BC=50m．请你帮小明计算他家到公路l的距离AD的长度？（精确到0.1m；参考数据tan31°≈0.60，sin31°≈0.51，cos31°≈0.86）．21．某校体育组为了了解学生喜欢的体育项目，从全校同学中随机抽取了若干名同学进行调查，每位同学从兵乓球、篮球、羽毛球、排球、跳绳中选择一项最喜欢的项目，并将调查的结果绘制成如下的两幅统计图．根据以上统计图，解答下列问题：（1）这次抽样调查中，共调查了名学生；（2）补全条形统计图，并求扇形统计图中表示“乒乓球”的扇形的圆心角度数；（3）若全校有1500名同学，估计全校最喜欢篮球的有多少名同学？22．某商店第一次用600元购进2B铅笔若干支，第二次又用600元购进该款铅笔，但这次每支的进价是第一次进价的倍，购进数量比第一次少了30支．（1）求第一次每支铅笔的进价是多少元？（2）若要求这两次购进的铅笔按同一价格全部销售完毕后获利不低于420元，问每支售价至少是多少元？五、解答题23．已知：二次函数y=ax2+bx+6（a≠0）的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧，点A、点B的横坐标是一元二次方程x2﹣4x﹣12=0的两个根．（1）直接写出点A、点B的坐标：A ，B ．（2）求出该二次函数的解析式及对称轴；（3）若点P是抛物线对称轴上的一个动点，d=|BP﹣CP|，探究：是否存在一点P，使得d 的值最大？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．24．如图1，OA、OB是⊙O的半径，且OA⊥OB，点C是OB延长线上任意一点，过点C作CD 且⊙O于点D，连结AD交DC于点E．（1）求证：CD=CE；（2）如图2，若将图1中的半径OB所在直线向上平移，交OA于F，交⊙O于B′，其他条件不变，求证：∠C=2∠A；（3）如图3，在（2）的条件下，若CD=13，sinA=，求DE的长．25．已知：如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且AC=12cm，BD=16cm，点P从点B出发，沿BA方向匀速运动，速度为1cm/s，同时，直线EF从点D出发，沿DB方向匀速运动，速度为1cm/s，EF⊥BD，且与AD，BD，CD分别交于点E，Q，F；当直线EF停止运动时，点P也停止运动．连接PF，设运动时间为t（s）（0＜t＜8）．解答下列问题：（1）当t为何值时，四边形APFD是平行四边形？（2）设四边形APFE的面积为y（cm2），求y与t之间的函数关系式；并求出当t取何值时，y取得最大值？（3）是否存在某一时刻t，使S四边形APFE：S菱形ABCD=17：40？求出t的值．2016年广东省东莞市虎门市捷胜中学中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（每题3分）1．﹣2的相反数是（）A．2 B．﹣2 C．D．【考点】相反数．【分析】根据一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号，求解即可．【解答】解：﹣2的相反数是：﹣（﹣2）=2，故选A2．节约是一种美德，节约是一种智慧．据不完全统计，全国每年浪费食物总量折合粮食可养活约3亿5千万人．350 000 000用科学记数法表示为（）A．3.5×107B．3.5×108C．3.5×109D．3.5×1010【考点】科学记数法—表示较大的数．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值是易错点，由于350 000 000有9位，所以可以确定n=9﹣1=8．【解答】解：350 000 000=3.5×108．故选：B．3．下列几何体中，同一个几何体的主视图与俯视图不同的是（）A．B． C． D．【考点】简单几何体的三视图．【分析】主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、侧面和上面看，所得到的图形．【解答】解：A、圆柱的主视图与俯视图都是矩形，错误；B、正方体的主视图与俯视图都是正方形，错误；C、圆锥的主视图是等腰三角形，而俯视图是圆和圆心，正确；D、球体主视图与俯视图都是圆，错误；故选C．4．下列运算正确的是（）A．2a+3b=5ab B．5a﹣2a=3a C．a2•a3=a6D．（a+b）2=a2+b2【考点】同底数幂的乘法；合并同类项；完全平方公式．【分析】根据同类项、同底数幂的乘法和完全平方公式计算即可．【解答】解：A、2a与3b不能合并，错误；B、5a﹣2a=3a，正确；C、a2•a3=a5，错误；D、（a+b）2=a2+2ab+b2，错误；故选B．5．如图，AB∥CD，∠CDE=140°，则∠A的度数为（）A．140°B．60° C．50° D．40°【考点】平行线的性质．【分析】先求出∠CDE的邻补角，再根据两直线平行，内错角相等解答．【解答】解：∵∠CDE=140°，∴∠ADC=180°﹣140°=40°，∵AB∥CD，∴∠A=∠ADC=40°．故选：D．6．若一个多边形的每一个外角都是40°，则这个多边形是（）A．六边形B．八边形C．九边形D．十边形【考点】多边形内角与外角．【分析】根据任何多边形的外角和都是360度，利用360除以外角的度数就可以求出外角和中外角的个数，即多边形的边数．【解答】解：360÷40=9，即这个多边形的边数是9，故选C．7．一个袋中装有2个红球，3个蓝球和5个白球，它们除颜色外完全相同，现在从中任意摸出一个球，则P（摸到红球）等于（）A．B．C．D．【考点】概率公式．【分析】用红球的个数除以所有球的个数即可求得摸到红球的概率．【解答】解：∵共2+3+5=10个球，有2个红球，∴摸到红球的概率为=，故选C．8．如图，要使平行四边形ABCD成为矩形，需添加的条件是（）A．AB=BC B．AC⊥BD C．∠ABC=90°D．∠1=∠2【考点】矩形的判定．【分析】根据矩形的判定定理（①有一个角是直角的平行四边形是矩形，②有三个角是直角的四边形是矩形，③对角线相等的平行四边形是矩形）逐一判断即可．【解答】解：A、根据AB=BC和平行四边形ABCD不能得出四边形ABCD是矩形，故本选项错误；B、∵四边形ABCD是平行四边形，∴当AC⊥BD时四边形ABCD是菱形，故本选项错误；C、∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD，∴平行四边形ABCD是菱形，不能推出四边形ABCD是矩形，故本选项错误；D、∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠2=∠ACB，∵∠1=∠2，∴∠1=∠ACB，∴AB=BC，∴四边形ABCD是菱形，不能推出四边形ABCD是矩形，故本选项错误；故选C．9．下列一元二次方程有两个不等的实数根的是（）A．（n﹣25）2=0 B．y2+1=0 C．x2+3x﹣5=0 D．2m2+m=﹣1【考点】根的判别式．【分析】利用直接开平方法解方程可对A进行判断；对于B、C直接计算判别式的值，然后根据判别式的意义进行判断；对于D，先化为一般式，再计算判别式的值，然后根据判别式的意义进行判断．【解答】解：A、n1=n2=25，所以A选项错误；B、△=0﹣4×1×1＜0，方程没有实数根，所以B选项错误；C、△=32﹣4×1×（﹣5）＞0，方程有两个不相等的实数根，所以C选项正确；D、2m2+m+1=0，△=12﹣4×2×1＜0，方程没有实数根，所以D选项错误．故选C．10．二次函数y=ax2+bx+c与一次函数y=ax+c的图象大致可能是（）A．B．C．D．【考点】二次函数图象与系数的关系；一次函数图象与系数的关系．【分析】根据二次函数的开口方向，与y轴的交点以及一次函数经过的象限，与y轴的交点可得相关图象，分别判断即可．【解答】解：A、当a＜0时，二次函数开口向下，一次函数经过二、四象限，故A选项错误；B、当a＞0时，二次函数开口向上，一次函数经过一、三象限，故B选项错误；C、当a＜0时，二次函数开口向下，一次函数经过二、四象限，且两个函数图象交于y轴上的同一点，故C选项正确；D、∵一次函数和二次函数都经过y轴上的（0，c），∴两个函数图象交于y轴上的同一点，故D选项错误；故选：C．二、填空题（每题4分）11．在函数y=中，自变量x的取值范围是x≥﹣3 ．【考点】函数自变量的取值范围．【分析】因为二次根式的被开方数要为非负数，即x+3≥0，解此不等式即可．【解答】解：根据题意得：x+3≥0，解得：x≥﹣3．12．不等式的解集是﹣1＜x＜3 ．【考点】解一元一次不等式组．【分析】首先分别计算出两个不等式的解集，再根据大小小大中间找确定不等式组的解集．【解答】解：，由①得：x＜3，由②得：x＞﹣1，不等式组的解集为：﹣1＜x＜3，故答案为：﹣1＜x＜3．13．如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，点E是CD的中点，若AD=4cm，则OE的长为 2 cm．【考点】三角形中位线定理；平行四边形的性质．【分析】先说明OE是△ACD的中位线，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求解．【解答】解：∵▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，∴OA=OC，∵点E是CD的中点，∴CE=DE，∴OE是△ACD的中位线，∵AD=4cm，∴OE=AD=×4=2cm．故答案为：2．14．已知扇形的面积是3πcm2，扇形的圆心角是120°．则它的半径是3cm ．扇形的弧长是2πcm（结果保留π）．【考点】扇形面积的计算；弧长的计算．【分析】设扇形半径为r，把相应数值代入s=，即可求出r的值，利用所求r的值，代入公式l=即可解答．【解答】解：设扇形半径为r，∵扇形的面积是3πcm2，扇形的圆心角是120°，∴3π=，∴r=3，l==2π，故答案为3cm，2πcm．15．有一组数：，，，，…，则这组数的第8个为，第n个数为（用含n的代数式表示）【考点】规律型：数字的变化类．【分析】观察上述分数可发现，分子是从1开始的连续整数，分母都是一个数的平方与1的和，然后依据规律回答即可．【解答】解：根据数据可知， =， =， =， =，这组数的第8个为=，第n个数为，故答案为，16．已知一副直角三角板如图放置，其中BC=3，EF=4，把30°的三角板向右平移，使顶点B落在45°的三角板的斜边DF上，则两个三角板重叠部分（阴影部分）的面积为3﹣．【考点】平移的性质．【分析】根据特殊角的锐角三角函数值，求出EC、EG、AE的长，得到阴影部分的面积．【解答】解：∵∠F=45°，BC=3，∴CF=3，又EF=4，则EC=1，∵BC=3，∠A=30°，∴AC=3，则AE=3﹣1，∠A=30°，∴EG=3﹣，阴影部分的面积为：×3×3﹣×（3﹣1）×（3﹣）=3﹣．故答案为：3﹣．三、解答题17．计算： +（）﹣1﹣2cos60°+0．【考点】实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．【分析】表示4的算术平方根，等于2； =2，cos60°=，0=1，分别代入计算．【解答】解： +（）﹣1﹣2cos60°+0，=2+2﹣2×+1，=4﹣1+1，=4．18．先化简，再求值：﹣÷，其中x=．【考点】分式的化简求值．【分析】先算除法，再算加减，最后把x的值代入进行计算即可．【解答】解：原式=﹣•=﹣===，当x=﹣1时，原式==．19．如图所示，在△ABC 中，∠ABC=∠ACB ．（1）尺规作图：过顶点A 作△ABC 的角平分线AD ；（不写作法，保留作图痕迹）（2）在AD 上任取一点E ，连接BE 、CE ．求证：△ABE ≌△ACE ．【考点】全等三角形的判定；等腰三角形的判定；作图—基本作图．【分析】（1）以A 为圆心，以任意长为比较画弧，分别交AB 和AC 于一点，分别以这两点为圆心，以大于这两点之间的距离为半径画弧，两弧交于一点，过这点和A 作射线，交BC 于D ，则，AD 为所求；（2）推出∠BAE=∠CAE ，根据SAS 证△BAE 和△CAE 全等即可．【解答】（1）解：如图所示：（2）证明：∵AD 是△ABC 的角平分线，∴∠BAD=∠CAD ，∵∠ABC=∠ACB ，∴AB=AC ，∵在△ABE 和△ACE 中，∴△ABE ≌△ACE （SAS ）．四、解答题20．如图，小明家在A 处，门前有一口池塘，隔着池塘有一条公路l ，AB 是A 到l 的小路．现新修一条路AC 到公路l ．小明测量出∠ACD=31°，∠ABD=45°，BC=50m ．请你帮小明计算他家到公路l 的距离AD 的长度？（精确到0.1m ；参考数据 tan31°≈0.60，sin31°≈0.51，cos31°≈0.86）．【考点】解直角三角形的应用．【分析】设BD=AD=xm，利用x表示出CD的长，然后在直角△ACD中，利用三角函数即可得到AD和CD的比值，即可列方程求得x的值．【解答】解∵∠2=45°∠3=90°∴∠4=45°∴∠2=∠4 即BD=AD设BD=AD=xm，∵AC=50m∴CD=x+50，在Pt△ACD中tanC=，10c=6x+3004x=300x≈75.0．答：AD=75.0m．21．某校体育组为了了解学生喜欢的体育项目，从全校同学中随机抽取了若干名同学进行调查，每位同学从兵乓球、篮球、羽毛球、排球、跳绳中选择一项最喜欢的项目，并将调查的结果绘制成如下的两幅统计图．根据以上统计图，解答下列问题：（1）这次抽样调查中，共调查了200 名学生；（2）补全条形统计图，并求扇形统计图中表示“乒乓球”的扇形的圆心角度数；（3）若全校有1500名同学，估计全校最喜欢篮球的有多少名同学？【考点】条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图．【分析】（1）根据喜爱羽毛球的人数除以喜爱羽毛球所占的百分比，可得答案；（2）根据总人数减去喜爱乒乓球的人数、篮球的人数、羽毛球的人数、排球的人数，可得答案；根据喜爱乒乓球的人数比上总人数乘以圆周角，可得答案；（3）根据喜爱篮球的人数比上总人数，可得喜爱篮球人数所占的百分比，根据全校总人数乘以喜爱篮球人数所占的百分比，可得答案．【解答】解：（1）30÷15%=200，故答案为：200；（2）跳绳人数为200﹣70﹣40﹣30﹣12=48人，圆心角=126°，如图：；（3）估计全校最喜欢“篮球”的学生人数为1500×=300人．22．某商店第一次用600元购进2B铅笔若干支，第二次又用600元购进该款铅笔，但这次每支的进价是第一次进价的倍，购进数量比第一次少了30支．（1）求第一次每支铅笔的进价是多少元？（2）若要求这两次购进的铅笔按同一价格全部销售完毕后获利不低于420元，问每支售价至少是多少元？【考点】分式方程的应用；一元一次不等式组的应用．【分析】（1）设第一次每支铅笔进价为x元，则第二次每支铅笔进价为x元，根据题意可列出分式方程解答；（2）设售价为y元，求出利润表达式，然后列不等式解答．【解答】解：（1）设第一次每支铅笔进价为x元，根据题意列方程得，﹣=30，解得x=4，经检验：x=4是原分式方程的解．答：第一次每支铅笔的进价为4元．（2）设售价为y元，第一次每支铅笔的进价为4元，则第二次每支铅笔的进价为4×=5元根据题意列不等式为：×（y﹣4）+×（y﹣5）≥420，解得y≥6．答：每支售价至少是6元．五、解答题23．已知：二次函数y=ax2+bx+6（a≠0）的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧，点A、点B的横坐标是一元二次方程x2﹣4x﹣12=0的两个根．（1）直接写出点A、点B的坐标：A （﹣2，0），B （6，0）．（2）求出该二次函数的解析式及对称轴；（3）若点P是抛物线对称轴上的一个动点，d=|BP﹣CP|，探究：是否存在一点P，使得d 的值最大？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【考点】二次函数综合题．【分析】（1）利用分解因式法解方程x2﹣4x﹣12=0，即可求出点A、B的横坐标，由此即可得出结论；（2）根据点A、B的坐标利用待定系数法即可求出抛物线的解析式，再利用配方法即可得出抛物线的对称轴；（3）连接AC并延长，交抛物线对称轴于点P，连接PB，利用三角形的三边关系来说明此时d最大．令抛物线解析式中x=0求出y值，即可得出点C的坐标，根据点A、C的坐标利用待定系数法即可求出直线AC的解析式，联立直线AC与抛物线的对称轴成方程组，解方程组即可得出点P的坐标，此题得解．【解答】解：（1）x2﹣4x﹣12=（x+2）（x﹣6）=0，解得：x1=﹣2，x2=6，∵点A在点B的左侧，∴A（﹣2，0），B（6，0）．故答案为：（﹣2，0）；（6，0）．（2）将A（﹣2，0）、B（6，0）代入y=ax2+bx+6中，得：，解得：，∴该二次函数的解析式为y=﹣x2+2x+6．∵y=﹣x2+2x+6=﹣（x﹣2）2+8，∴该抛物线的对称轴为x=2．（3）连接AC并延长，交抛物线对称轴于点P，连接PB，如图所示．∵A、B关于对称轴对称，∴PA=PB，∵三角形的两边之差小于第三边，∴当点A、C、P共线时，|BP﹣CP|最大．令y=﹣x2+2x+6中x=0，则y=6，∴C（0，6）．设直线AC的解析式为y=kx+b，将点A（﹣2，0）、C（0，6）代入y=kx+b中，得：，解得：，∴直线AC的解析式为y=3x+6．联立直线AC与抛物线对称轴得：，解得：．故存在一点P，使得d的值最大，此时点P的坐标为（2，12）．24．如图1，OA、OB是⊙O的半径，且OA⊥OB，点C是OB延长线上任意一点，过点C作CD 且⊙O于点D，连结AD交DC于点E．（1）求证：CD=CE；（2）如图2，若将图1中的半径OB所在直线向上平移，交OA于F，交⊙O于B′，其他条件不变，求证：∠C=2∠A；（3）如图3，在（2）的条件下，若CD=13，sinA=，求DE的长．【考点】圆的综合题．【分析】（1）连接OD，由OA⊥OB得出∠A+∠AEO=90°，由切线的性质得出∠CDE+∠ODE=90°，由∠A=∠ODE，证出∠AEO=∠CDE，由对顶角相等得出∠CDE=∠CED，即可得出CD=CE；（2）同（1）可证：CD=CE，作CM⊥AD于M，由等腰三角形的三线合一性质得出∠ECM=∠DCM=∠DCE，∠CME=90°，由角的互余关系和对顶角相等得出∠A=∠ECM，即可得出∠DCE=2∠A；（3）连接OD，作CM⊥AD于M，利用CD=CE，∠DCE=2∠A，由三角函数求出DM，得出DE的长即可．【解答】（1）证明：连接OD，如图1所示：∵OA⊥OB，∴∠AOE=90°，∴∠A+∠AEO=90°，∵CD是⊙O的切线，∴∠ODC=90°，即∠CDE+∠ODE=90°，又∵OA=OD，∴∠A=∠ODE，∴∠AEO=∠CDE，∵∠CED=∠AEO，∴∠CDE=∠CED，∴CD=CE；（2）证明：连接OD，作CM⊥AD于M，如图2所示：同（1）可证：CD=CE，则∠ECM=∠DCM=∠DCE，DE=2DM，∠CME=90°，∴∠ECM+∠CEM=90°，∵∠A+∠AEF=90°，∠AEF=∠CEM，∴∠A=∠ECM，∴∠A=∠DCE，即∠DCE=2∠A；（3）解：连接OD，作CM⊥AD于M，如图3所示：由（1）（2）可知：CD=CE，∠DCE=2∠A，∴DM=CD•sinA=13×=5，∴DE=2DM=10．25．已知：如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且AC=12cm，BD=16cm，点P从点B出发，沿BA方向匀速运动，速度为1cm/s，同时，直线EF从点D出发，沿DB方向匀速运动，速度为1cm/s，EF⊥BD，且与AD，BD，CD分别交于点E，Q，F；当直线EF停止运动时，点P也停止运动．连接PF，设运动时间为t（s）（0＜t＜8）．解答下列问题：（1）当t为何值时，四边形APFD是平行四边形？（2）设四边形APFE的面积为y（cm2），求y与t之间的函数关系式；并求出当t取何值时，y取得最大值？（3）是否存在某一时刻t，使S四边形APFE：S菱形ABCD=17：40？求出t的值．【考点】四边形综合题．【分析】（1）当AP=DF时，四边形APFD为平行四边形，用t表示出AP=10﹣t，DF=t，列等式计算；（2）作高CM，利用面积相等求出CM的长，由图可知：四边形APFE的面积=四边形APFD的面积﹣△EFD的面积；代入求出y与t之间的函数关系式，再求二次函数的顶点坐标的横坐标即可；（3）先计算菱形ABCD的面积，再将（2）得到的y代入到式子S四边形APFE：S菱形ABCD=17：40中，解出即可．【解答】解：（1）∵四边形ABCD为菱形，∴BO=BD=×16=8，AO=AC=×12=6，AC⊥BD，∴AB==10，由题意可知：BP=t，DQ=t，则AP=10﹣t，∵FQ∥OC，∴，∴，∴FQ=t，∵EF⊥BD，由勾股定理得：DF==t，∵AB∥CD，∴AP∥DF，∴当AP=DF时，四边形APFD为平行四边形，则10﹣t=t，t=；∴当t=时，四边形APFD是平行四边形；（2）过C作CM⊥AB于M，则S△ABC=AC•BO=AB•CM，∴AC•BO=AB•CM，∴12×8=10CM，∴DM=9.6，则y=S四边形APFD﹣S△EFD=×9.6×[（10﹣t）+t]﹣×t×2×t=﹣t2+1.2t+48，当t=﹣=0.8时，y有最大值；（3）存在，S菱形ABCD=×AC×BD=×12×16=96，∵S四边形APFE：S菱形ABCD=17：40，则，5t2﹣8t﹣48=0，解得：t1=4，t2=﹣（舍去），∵0＜t＜8，∴t=4符合题意，∴当t=4时，S四边形APFE：S菱形ABCD=17：40．21。