21.2.3因式分解法解一元二次方程同步练习题
(第七次课)因式分解法及解一元二次方程复习
21．2.3因式分解法及解一元二次方程复习1. 会用因式分解法(提公因式法、公式法)解某些简单的数字系数的一元二次方程．2. 能根据具体的一元二次方程的特征，灵活选择方程的解法，体会解决问题方法的多样性．重点：用因式分解法解一元二次方程．难点：理解因式分解法解一元二次方程的基本思想．将下列各题因式分解：(1)am＋bm＋cm＝(____)m；(2)a2－b2＝____；(3)a2±2ab＋b2＝____．一、自学指导问题：根据物理学规律，如果把一个物体从地面以10 m/s的速度竖直上抛，那么经过x s物体离地的高度(单位：m)为10x－4.9x2.你能根据上述规律求出物体经过多少秒落回地面吗？(精确到0.01s)设物体经过x s落回地面，这时它离地面的高度为0，即，①思考：除配方法或公式法以外，能否找到更简单的方法解方程①？分析：方程①的右边为0，左边可以因式分解得：于是得或，②∴x1＝___，x2≈．上述解中，x2≈2.04表示物体约在2.04 s时落回地面，而x1＝0表示物体被上抛离开地面的时刻，即0 s 时物体被抛出，此刻物体的高度是0 m.点拨精讲：(1)对于一元二次方程，先将方程右边化为0，然后对方程左边进行因式分解，使方程化为两个一次式的乘积的形式，再使这两个一次因式分别等于零，从而实现降次，这种解法叫做因式分解法．(2)如果a·b＝0，那么a＝0或b＝0，这是因式分解法的根据．如：如果(x＋1)(x－1)＝0，那么__或___，即或．二、自学检测：1．说出下列方程的根：(1)x(x－8)＝0；(2)(3x＋1)(2x－5)＝0.2．用因式分解法解下列方程：(1)x2－4x＝0; (2)4x2－49＝0；(3)5x2－20x＋20＝0.一、小组合作：1．用因式分解法解下列方程：(1)5x 2－4x ＝0； (2)3x(2x ＋1)＝4x ＋2；(3)(x ＋5)2＝3x ＋15.2．用因式分解法解下列方程：(1)4x 2－144＝0；(2)(2x －1)2＝(3－x)2；(3)5x 2－2x －14＝x 2－2x ＋34；(4)3x 2－12x ＝－12.二、跟踪练习1．用因式分解法解下列方程：(1)x 2＋x ＝0; (2)x 2－23x ＝0；(3)3x 2－6x ＝－3; (4)4x 2－121＝0；(5)(x －4)2＝(5－2x)2.点拨精讲：因式分解法解一元二次方程的一般步骤：(1)将方程右边化为；(2)将方程左边分解成两个一次式的；(3)令每个因式分别为，得到两个一元一次方程；(4)解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解．2．把小圆形场地的半径增加5 m 得到大圆形场地，场地面积增加了一倍，求小圆形场地的半径．1．用因式分解法解方程的根据由ab ＝0得 a ＝0或b ＝0，即“二次降为一次”．2．正确的因式分解是解题的关键．。
21.2.3解一元二次方程之因式分解法 同步练习(含答案)
21.2.3 解一元二次方程（因式分解法）一、 单选题（共10小题)1．若关于x 的方程kx 2-（k +1）x +1=0的根是整数，则满足条件的整数k 的个数为（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个2．方程 x 2 = x 的解是（ ）A ．x = 1B ．x 1 = 1 ， x 2 = 0C ．x = 0D ．x 1 = -1 ， x 2 = 03．一元二次方程220x x -=的解为（ ）A ．122x x ==B ．10x =，22x =C ．10x =，22x =-D ．120x x ==4．一个等腰三角形的底边长是6，腰长是一元二次方程28150x x -+=的一根，则此三角形的周长是（ ） A ．16 B ．12 C ．14 D ．12或165．若2230x px q -+=的两根分别是3-与5，则多项式2246x px q -+可以分解为（ ） A ．()()35x x +- B ．()()35x x -+ C ．()()235x x +- D ．()()235x x -+ 6．已知()22222(a b )a b120----=，则22a b -的值是( ) A ．3- B ．4 C ．3-或4D ．3或4- 7．方程x 2﹣6x+5=0较小的根为p ，方程5x 2﹣4x ﹣1=0较大的根为q ，则p+q 等于（ ）A ．3B ．2C ．1D ．8．已知实数x 、y 满足(x 2+y 2+1)(x 2+y 2−3)=5，则x 2+y 2的值为（ ）A ．4B ．-2C ．4或-2D ．4或29．一元二次方程x 2+px +q =0的两根为3、4，那么二次三项式x 2+px +q 可分解为（ ）A ．(x +3)(x −4)B ．(x −3)(x +4)C ．(x −3)(x −4)D ．(x +3)(x +4)10．一元二次方程2x （x+1）=（x+1）的根是（ ）A ．x=0B ．x=1C ．1201x x == D ．12112x x ==-二、 填空题（共5小题)11．一元二次方程()()320x x --=的根是_____． 12．对于实数,a b ，定义运算“◎”如下：a ◎b 22()()a b a b =+--．若()2m +◎()3m -24=，则m =_____．13．一元二次方程()22x x x -=-的根是_____.14．三角形的两边长分别为3和6，第三边的长是方程2x -6x+8=0的解，则此三角形的第三边长是_____ 15．方程(5)2x x x -=的根是________.三、解答题（共2小题)16．解方程：（1）()241360x --=（2）22240x x +-=17．计算：（1）2460x x --=（2）()330x x x -+-=参考答案一、单选题（共10小题)1．若关于x 的方程kx 2-（k +1）x +1=0的根是整数，则满足条件的整数k 的个数为（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 【答案】C【解析】当k=0时，可求出x 的值，根据x 的值为整数可得出k=0符合题意；k≠0时，利用分解因式法解一元二次方程可求出x 的值，再根据x 的值为整数结合k 的值为整数即可得出k 的值．综上即可得出结论．【详解】当k=0时，原方程为-x+1=0，解得：x=1，∴k=0符合题意；当k≠0时，kx 2-（k+1）x+1=（kx -1）（x -1）=0，解得：x 1=1，x 2=1k， ∵方程的根是整数， ∴1k为整数，k 为整数， ∴k=±1．综上可知：满足条件的整数k 为0、1和-1．故选C ．【点评】本题考查了因式分解法解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键． 2．方程 x 2 = x 的解是（ ）A ．x = 1B ．x 1 = 1 ， x 2 = 0C ．x = 0D ．x 1 = -1 ， x 2 = 0【答案】B【解析】先变形得一元二次方程的一般形式，再用分解因式法解方程即可.【详解】解：移项，得x 2－x =0，原方程即为(1)0-=x x ，所以，x =0或x －1=0，所以x 1 = 1 ， x 2 = 0.故选B.【点评】本题考查了一元二次方程的解法，熟知一元二次方程的四种解法（完全开平方法、配方法、公式法和分解因式法）并能根据方程的特点灵活应用是求解的关键.3．一元二次方程220x x -=的解为（ ）A ．122x x ==B ．10x =，22x =C ．10x =，22x =-D ．120x x ==【答案】B【解析】利用因式分解法解方程．【详解】x （x -2）=0，x=0或x -2=0，所以x 1=0，x 2=2．故选B ．【点评】本题考查了解一元二次方程-因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．4．一个等腰三角形的底边长是6，腰长是一元二次方程28150x x -+=的一根，则此三角形的周长是（ ） A ．16B ．12C ．14D ．12或16 【答案】A【解析】通过解一元二次方程28150x x -+=求得等腰三角形的两个腰长，然后求该等腰三角形的周长．【详解】解方程28150x x -+=，得：3x =或5x =，若腰长为3，则三角形的三边为3、3、6，显然不能构成三角形；若腰长为5，则三角形三边长为5、5、6，此时三角形的周长为16，故选：A ．【点评】此题考查三角形三边关系，等腰三角形的性质，解一元二次方程-因式分解法，解题关键在于掌握运算法则5．若2230x px q -+=的两根分别是3-与5，则多项式2246x px q -+可以分解为（ ）A ．()()35x x +-B ．()()35x x -+C ．()()235x x +-D ．()()235x x -+ 【答案】C【解析】先提取公因式2，再根据已知分解即可．【详解】∵x 2-2px+3q=0的两根分别是-3与5，∴2x 2-4px+6q=2（x 2-2px+3p ）=2（x+3）（x -5），故选：C ．【点评】考查了解一元二次方程和分解因式，注意：能够根据方程的解分解因式是解此题的关键． 6．已知()22222(a b )a b120----=，则22a b -的值是( ) A ．3-B ．4C ．3-或4D ．3或4- 【答案】C【解析】设22t a b =-，则原方程转化为2120t t --=，利用因式分解法解该方程即可．【详解】设22t a b =-，则由原方程，得2120t t --=，整理，得()()430t t -+=，解得4t =或3t =-．故选C ．【点评】考查了换元法解一元二次方程.换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理．7．方程x 2﹣6x+5=0较小的根为p ，方程5x 2﹣4x ﹣1=0较大的根为q ，则p+q 等于（ ）A ．3B ．2C ．1D ．【答案】B【解析】求出两个方程的根，确定出p 与q 的值，代入原式计算即可求出值．【详解】方程x 2-6x+5=0较小的根为p=1，方程5x 2-4x -1=0较大的根为q=1，则p+q=2，故选B ．【点评】此题考查了解一元二次方程-因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．8．已知实数x 、y 满足(x 2+y 2+1)(x 2+y 2−3)=5，则x 2+y 2的值为（ ）A ．4B ．-2C ．4或-2D ．4或2【答案】A【解析】把x 2+y 2当作一个整体，原式变为（x 2+y 2）2-2（x 2+y 2）-8=0，即可求得（x 2+y 2）的值是-2或4．再根据非负数的性质即可.【详解】（x 2+y 2+1）（x 2+y 2-3）=5，∴（x 2+y 2）2-2（x 2+y 2）-3=5，∴（x 2+y 2）2-2（x 2+y 2）-8=0，即：[（x 2+y 2）-1]2=9，∴（x 2+y 2）=-2或4．又∵x 2+y 2≥0∴x 2+y 2=4故选：A ．【点评】考查了利用换元思想解决方程，关键是把（x 2+y 2）看成一个整体来计算，即换元法思想．9．一元二次方程x 2+px +q =0的两根为3、4，那么二次三项式x 2+px +q 可分解为（ ）A ．(x +3)(x −4)B ．(x −3)(x +4)C ．(x −3)(x −4)D ．(x +3)(x +4)【答案】C【解析】只有把等号左边的二次三项式x 2+px +q 分解为(x －x 1)(x －x 2)，它的根才可能是x 1，x 2．【详解】若一元二次方程x 2＋px ＋q ＝0的两根为3、4，那么有：(x －3)(x －4)＝0，∴x 2＋px ＋q ＝(x －3)(x －4)．故选C.【点评】本题考查了因式分解法解一元二次方程：若一元二次方程的两根为x 1，x 2，那么一元二次方程可整理为(x －x 1)(x －x 2)＝0．10．一元二次方程2x （x+1）=（x+1）的根是（）A ．x=0B ．x=1C ．1201x x == D ．12112x x ==- 【答案】D【解析】移项，提公因式法分解因式，即可求得方程的根．【详解】解：2x （x+1）=（x+1），2x （x+1）-（x+1）=0，（2x -1）（x+1）=0，则方程的解是：x 1=12，x 2=-1． 故选：D ． 【点评】本题考查一元二次方程的解法-因式分解法，根据方程的特点灵活选用合适的方法是解题的关键．二、填空题（共5小题)11．一元二次方程()()320x x --=的根是_____．【答案】123,2==x x【解析】利用因式分解法把方程化为x -3=0或x -2=0，然后解两个一次方程即可．【详解】解：30x -=或20x -=，所以123,2==x x ．故答案为123,2==x x ．【点评】本题考查了解一元二次方程-因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．12．对于实数,a b ，定义运算“◎”如下：a ◎b 22()()a b a b =+--．若()2m +◎()3m -24=，则m =_____．【答案】-3或4【解析】利用新定义得到22[(2)(3)][(2)(3)]24m m m m ++--+--=，整理得到2(21)490m --=，然后利用因式分解法解方程．【详解】根据题意得，22[(2)(3)][(2)(3)]24m m m m ++--+--=， 2(21)490m --=，(2 m-1+7)(2 m-1-7)=0，2 m-1+7=0或2 m-1-7=0，所以123,4m m =-=．故答案为：3-或4．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．13．一元二次方程()22x x x -=-的根是_____.【答案】x 1=1, x 2=2.【解析】整体移项后，利用因式分解法进行求解即可得.【详解】x(x -2)-(x -2)=0，()()120x x --=，x -1=0或x -2=0，所以x 1=1， x 2=2，故答案为：x 1=1， x 2=2.【点评】本题考查了解一元二次方程——因式分解法，根据方程的特点熟练选择恰当的方法进行求解是关键.14．三角形的两边长分别为3和6，第三边的长是方程2x -6x+8=0的解，则此三角形的第三边长是_____【答案】4【解析】求出方程的解，有两种情况：x=2时，看看是否符合三角形三边关系定理；x=4时，看看是否符合三角形三边关系定理；求出即可．【详解】解：x 2-6x+8=0，（x -2）（x -4）=0，x -2=0，x -4=0，x 1=2，x 2=4，当x=2时，2+3＜6，不符合三角形的三边关系定理，所以x=2舍去，当x=4时，符合三角形的三边关系定理，此三角形的第三边长是4，故答案为：4．【点评】本题考查三角形的三边关系定理和解一元二次方程等知识点，关键是掌握三角形的三边关系定理，三角形的两边之和大于第三边．15．方程(5)2x x x -=的根是________.【答案】120,7x x ==【解析】首先将方程转化形式，再提取公因式，即可得解.【详解】解:原方程可转化为252x x x -=270x x -=()70x x -=∴方程的根为120,7x x ==.【点评】此题主要考查二元一次方程的解法，熟练运用，即可解题.三、解答题（共2小题)16．解方程：（1）()241360x --= （2）22240x x +-=【答案】（1）14x =，22x =-；（2）14x =，26x =-【解析】（1）方程变形后利用平方根的定义开方，即可求出解，（2）运用因式分解法求解即可.【详解】（1）()24136x -=， ()219x -=，13x -=±，14x ∴=，22x =-，（2）22240x x +-=()()460x x -+=，40x -=，+60x =，14x ∴=，26x =-.【点评】此题考查了一元二次方程的解法---直接开平方法和因式分解法.熟练掌握各自的解法是解本题的关键.17．计算：（1）2460x x --=（2）()330x x x -+-=【答案】(1)2x =;(2)121,3x x =-=【解析】(1) 方程利用配方法求出解即可；(2) 方程利用因式分解法求出解即可.【详解】(1) 移项,得:x 2-4x=6两边同时加上4,得:x 2-4x+4=10配方,得:(x -2)2=10两边开方,得:x -2=移项,得:x=2(2) ()330x x x -+-=分解因式得：(x -3)(x+1)=0可得x -3=0或x+1=0解得：121,3x x =-=.【点评】此题考查了解一元二次方程-因式分解法，配方法，熟练掌握各种解法是解本题的关键．。
人教版数学九年级上册解一元二次方程因式分解法同步练习题含答案与解析
21.2 解一元二次方程 21.2.3 因式分解法一、单项选择题1. 一元二次方程x 2－x ＋＝0的根是( ) A ．， B ．x 1＝2，x 2＝－2 C ．x 1＝x 2＝ D ．x 1＝x 2＝2. 方程3x 2=0与方程3x 2=3x 的解（ ）A ．都是x=0B ．有一个相同的解x=0C ．都不相同D ．无法确定3．解方程(x ＋5)2－3(x ＋5)＝0，较为简便的方法是( )A ．直接开平方法B ．因式分解法C ．配方法D ．公式法4．方程x(x －4)＝32－8x 的解是( )A ．x ＝－8B ．x 1＝4，x 2＝－8C ．x 1＝－4，x 2＝8D ．x 1＝2，x 2＝－85. 一个三角形的两边长为3和6，第三边的边长是方程（x-3）（x-4）=0的根，则这个三角形的周长（ ）A ．13B ．11或13C ．11D ．11和136、要使4452-+-x x x 的值为0，x 的值为（ ）A ．4或1B ．4C ．1D ．-4或-114112x =21=2x -12-127、已知x2-5xy+6y2=0，那么x与y的关系是（）A．2x=y或3x=y B．2x=y或3y=xC．x=2y或x=3y D．x=2y或y=3x8、已知（a2+b2）2-2（a2+b2）+1=0，则a2+b2的值为（）A．0 B．-1 C．1 D．±1二、填空题9．方程(x－1)(x＋2)＝2(x＋2)的根是__________．10．如果代数式3x2－6的值为21，那么x的值为__________．11．已知x＝2是一元二次方程(m－2)x2＋4x－m2＝0的一个根，则m的值是______．12. 一元二次方程x(x－1)＝0的解是__________．13. 一元二次方程x2-3x=0的根是__________．14. 方程（x+1）（3x-2）=0的根是15. 请写出一个根为x=1，另一个根满足-1＜x＜1的一元二次方程：16. 已知一元二次方程（m-1）x2+7mx+m2+3m-4=0有一根为0，则m=y=17. 若2x2+9xy-5y2=0，则x三、解答题18. 用因式分解法解下列一元二次方程：(1)(x－1)(x＋3)＝－3；(2)(3x－1)2＝4(2x＋3)2.19. 如果方程x2＋mx－2m＝0的一个根为－1，求方程x2－6mx ＝0的根.20. 用因式分解法解方程x2－mx－7＝0时，将左边分解后有一个因式为x＋1，求m的值.21. 若m是关于x的方程x2+nx+m=0的根，切m≠0，则m+n的值是多少？22. 有一大一小两个正方形，小正方形的边长比大正方形边长的一半多4cm，大正方形的面积比小正方形面积的2倍少32cm2，求这两个正方形的边长．23. 阅读材料：为解方程（x 2-1）2-5（x 2-1）+4=0，我们可以将x 2-1看作一个整体，然后设x 2-1=y ①，那么原方程可化为y 2-5y+4=0，解得y 1=1，y 2=4，当y=1时，x 2-1=1，∴x 2=2，∴x=±2；当y=4时，x 2-1=4，∴x 2=5，∴x=±5，故原 方程的解为x 1=2，x 2= -2，x 3=5，x 4= -5解答问题：（1）上述解题过程，在由原方程得到方程①的过程中，利用 法达到了解方程的目的，体现了转化的数学思想。
21.2.3因式分解法解一元二次方程
配方法
10 x 4.9 x 2 0
解： x 2
100 x0 49
公式法
10 x 4.9 x 2 0
解： 4.9 x 2 10 x 0
2
100 50 50 2 x x 0 49 49 49
50 50 x 49 49
笔记： 2、分解因式法解一元二次方程的步骤是: 1.将方程右边等于0; 2. 将方程左边因式分解为A×B; 3. 根据“ab=0,则a=0或b=0”,转化为两个一元一次方程. 4. 分别解这两个一元一次方程，它们的根就是原方程的根.
（2）、求出
的值。
b2 4ac
2
的值，
特别注意:当
b 4ac 0
时无解
2
（3）、代入求根公式 : （4）、写出方程的解：
b b 4ac x 2a
x1、 x2
分解因式的方法有那些?
（1）提取公因式法: am+bm+cm=m(a+b+c).
（2）公式法:
a2-b2=(a+b)(a-b), a2±2ab+b2=(a±b)2. （3）十字相乘法: x2+(a+b)x+ab= (x+a)(x+b).
(2)移项、合并同类项，得
4 x 2 1 0.
因式分解，得 ( 2x＋1)( 2x－1 )=0. 2x＋1=0或2x－1=0, 于是得
1 1 x1 , x2 . 2 2
x2+6x-7=0
解： ( x 1)( x 7) 0
x 1 0或x 7 0
x1 1, x2 7
九年级数学上册 第二十一章 一元二次方程21.2 解一元二次方程21.2.3 因式分解法作业_1
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内容 总结 (nèiróng)
No 第二十一章 一元二次方程(fāngchéng)。解：x1＝0，x2＝3。解：x1＝x2＝－2。解：x1＝－5，x2＝1。7．请
选择你认为适当的方法解下列方程(fāngchéng)．。10．若一元二次方程(fāngchéng)式x2－8x－3×11＝0的两根为a， b，。x2－4x－5＝0。解：x1＝0，x2＝4。∴x1＝－a，x2＝－b.。(4)用因式分解法解方程(fāngchéng)x2－kx－16＝0 时，得到的两根均为整数，。2
问题：
(1)方程x2－3x＋2＝0的两个根是( ) C A．x1＝－1，x2＝1 B．x1＝x2＝－1 C．x1＝1，x2＝2 D．x1＝x2＝2
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(2)(2019·通辽)一个菱形的边长是方程(fāngchéng)x2－8x＋15＝0的一个根，
其中一条对角线长为8，则该菱形的面积为( )
解：直接开平方法，x1＝1＋ 3 ，x2＝1－ 3 解：公式法，x1＝－12 ，x2＝1
(2)x2＝2x＋4；
(4)3(2x－5)＝2x(2x－5).
解：配方法，x1＝1＋ 5 ，x2＝1－ 5
解：因式分解法，x1＝52，共十九页。
8．方程(fāngchéng)3x(x＋1)＝3x＋3的解为(D ) A．x＝1 B．x＝－1 C．x1＝0，x2＝－1 D．x1＝1，x2＝－1
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21.2.3 解一元二次方程-因式分解法同步练习(解析版)
21.2.2因式分解法同步练习一、单选题1、一元二次方程()x x 22x -=-的根是（ ）A. -1B. 2C. 1和2D. -1和22、已知三角形的两边长为4和5，第三边的长是方程x 2-5x +6=0的一个根，则这个三角形的周长是（ ）A. 11B. 12C. 11或12D. 153、关于x 的一元二次方程x 2-4x +3=0的解为（ ）A. x 1=-1，x 2=3B. x 1=1，x 2=-3C. x 1=1，x 2=3D. x 1=-1，x 2=-34、已知2340x x --=，则代数式24x x x --的值是（ ） A. 3 B. 2 C. 13 D. 125、一个等腰三角形的底边长是6，腰长是一元二次方程28150x x -+=的一根，则此三角形的周长是（ ）A. 16B. 12C. 14D. 12或166、若x ＝-2是关于x 的一元二次方程x 2＋32ax -a 2＝0的一个根，则a 的值为（ ） A. -1或4 B. -1或-4 C. 1或-4 D. 1或47、已知()222226x y y x +-=+，则22x y +的值是（ ） A. -2 B. 3 C. -2或3 D. -2且38、已知x 、y 都是实数，且（x 2+y 2）（x 2+y 2+2）-3＝0，那么x 2+y 2的值是（ ）A. -3B. 1C. -3或1D. -1或39、若方程()()2310x x -+=，则31x +的值为（ ）A. 7B. 2C. 0D. 7或010、若实数x 、y 满足(3)()20x y x y +-++=，则x +y 的值为（ ）A. -1或-2；B. -1或2；C. 1或-2；D. 1或2；11、我们知道方程x 2+2x -3=0的解是x 1=1，x 2=-3，现给出另一个方程（2x +3）2+2（2x +3）-3=0，它的解是（ ）A. x 1=1，x 2=3B. x 1=1，x 2=-3C. x 1=-1，x 2=3D. x 1=-1，x 2=-3二、填空题12、若关于x 的方程()(4)0x a x +-=和2340x x --=的解完全相同，则a 的值为______． 13、已知在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝5，第三边BC 的长为一元二次方程x 2-6x ＋8＝0的一个根，则该三角形为______三角形．14、若多项式x 2-mx +n （m 、n 是常数）分解因式后，有一个因式是x -2，则2m -n 的值为______． 15、我们知道方程x 2-2x +1=0的解是x 1=x 2=1，则给出的另一个方程（x -1）2-2（x -1）+1=0的解是______．16、如果（x 2+y 2）2+3（x 2+y 2）-4=0，那么x 2+y 2的值为______．17、方程34x x =的实数根是______．三、解答题18、解方程：（1）2450x x +-=（配方法）；（2）x 2−5x +6=0（因式分解法）；（3）22730x x -+=（公式法）．19、选择适当方法解下列方程（1）（3x -1）2＝（x -1）2（2）3x （x -1）＝2-2x20、阅读下面的材料，回答问题：解方程x4-5x2+4＝0，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：设x2＝y，那么x4＝y2，于是原方程可变为y2-5y+4＝0①，解得y1＝1，y2＝4．当y＝1时，x2＝1，∴x＝±1；当y＝4时，x2＝4，∴x＝±2；∴原方程有四个根：x1＝1，x2＝-1，x3＝2，x4＝-2．（1）在由原方程得到方程①的过程中，利用______法达到______的目的，体现了数学的转化思想．（2）解方程（x2+x）2-4（x2+x）-12＝0．1、答案：①x1=-1，x2=2；②x1=-1，x2=3；③x1=-1，x2=4；（2）①x1=-1，x2=10；②x1=-1，x2=10；（3）x2-nx-（n+1）=0分析：本题考查了用因式分解法和配方法解一元二次方程，数字类探索与规律，掌握因式分解法是解（1）的关键，掌握配方法是解（2）的关键，观察出二次项系数、一次项系数、常数项与两根之间的关系是解（3）的关键．解答：①∵x2-x-2=0，∴（x+1）（x−2）=0，∴x1=-1，x2=2；②∵x2-2x-3=0，∴（x+1）（x−3）=0，∴x1=-1，x2=3；③∵x2-3x-4=0，∴（x+1）（x−4）=0，∴x1=-1，x2=4；…（2）根据以上方程特征及其解的特征，请猜想：①方程x2-9x-10=0的解为x1=-1，x2=10；②x2-9x-10=0，移项，得x2-9x=10，配方，得x2-9x+814=10+814，即（x-92）2=1214，开方，得x-92=112．x1=-1，x2=10；（3）应用：关于x的方程x2-nx-（n+1）=0的解为x1=-1，x2=n+1．2、答案：D分析：本题考查了因式分解法解一元二次方程．解答：()x x 22x -=-⇒()()x x 2x 20-+-=⇒()()x 2x 10-+=⇒x 20x 10-=+=⇒或12x 2x 1，==-，选D ．3、答案：C分析：本题考查了因式分解法解一元二次方程．解答：x 2-5x +6=0，解得x 1=2，x 2=3，∴三角形周长是4+5+2=11，4+5+3=12，选C ．4、答案：C分析：本题考查了因式分解法解一元二次方程．解答：x 2-4x +3=0，分解因式得：（x -1）（x -3）=0，解得：x 1=1，x 2=3，选C ．5、答案：D分析：本题考查了因式分解法解一元二次方程、代数式求值．解答：x 2-3x -4=0，（x -4）（x +1）=0，解得x 1=4，x 2=-1，∴当x =4时，24x x x --=12；当x =-1时，24x x x --=12． 选D ．6、答案：A分析：本题考查了因式分解法解一元二次方程、三角形的三边关系．解答：解方程28150x x -+=，得：3x =或5x =，若腰长为3，则三角形的三边为3、3、6，显然不能构成三角形；若腰长为5，则三角形三边长为5、5、6，此时三角形的周长为16，选A ．7、答案：C分析：本题考查了因式分解法解一元二次方程．解答：∵x =-2是关于x 的一元二次方程22302x ax a +-=的一个根， ∴（-2）2+32a ×（-2）-a 2=0，即a 2+3a -4=0， 整理，得（a +4）（a -1）=0，解得a 1=-4，a 2=1．即a 的值是1或-4．选C ．8、答案：B分析：本题考查了因式分解法解一元二次方程．解答：根据题意，先移项得()2222260x y y x +---=， 即()2222260x y x y （）+-+-=，然后根据“十字相乘法”可得2222(2)(3)0x y x y +++-=，由此解得22x y +=-2（舍去）或223x y +=．选B ．9、答案：B分析：本题考查了因式分解法解一元二次方程．解答：∵（x 2＋y 2）（x 2＋y 2＋2）-3=0，∴（x 2＋y 2）2+2（x 2＋y 2）-3=0，解得：x 2＋y 2=-3或x 2＋y 2=1∵x 2＋y 2＞0∴x 2＋y 2=1选B ．10、答案：D分析：本题考查了解一元二次方程−因式分解法，利用此方法解方程时首先将方程右边化为0，左边的多项式分解因式，然后利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．解答：方程(2)(31)0x x -+=，可得20x -=或310x +=， 解得：12123x x ==-，，当2x =时，313217x +=⨯+=； 当13x =-时，1313103x +=⨯-+=（）． 选D ．11、答案：D分析：本题考查了因式分解法解一元二次方程．解答：t =x +y ，则由原方程，得t （t -3）+2=0，整理，得（t -1）（t -2）=0．解得t =1或t =2，∴x +y 的值为1或2．选D ．12、答案：D分析：本题考查了因式分解法解一元二次方程．解答：将x 1=1，x 2=-3代入到x 2+2x -3=0得12+2×1-3=0，（-3）2+2×（-3）-3=0对比方程（2x +3）2+2（2x +3）-3=0，可得2x +3=1或-3解得：x 1=-1，x 2=-3选D ．二、填空题13、答案：1分析：本题考查了因式分解法解一元二次方程．解答：解：2340x x --=，∴(4)(1)0x x -+=，∵关于x 的方程()(4)0x a x +-=和2340x x --=的解完全相同，∴a =1，故答案为：1．14、答案：直角分析：本题考查了因式分解法解一元二次方程、勾股定理的逆定理．解答：解一元二次方程x 2-6x +8=0，得，x =2或4，∵AB =3，AC =5，∴2＜BC ＜8，∵第三边BC 的长为一元二次方程x 2-6x ＋8＝0的一个根，∴BC =4，当BC =4时，AB 2+BC 2=AC 2，△ABC 是直角三角形．故答案为：直角．15、答案：4分析：本题考查了因式分解法解一元二次方程．解答：设另一个因式为x -a ，则x 2-mx +n =（x -2）（x -a ）=x 2-ax -2x +2a =x 2-（a +2）x +2a ，得：22a m a n +=⎧⎨=⎩， ∴2m -n =2（a +2）-2a =4，故答案为4．16、答案：x 1=x 2=2分析：本题考查了换元法解一元二次方程．解答：∵方程x 2-2x +1=0的解是x 1=x 2=1，∴方程（x -1）2-2（x -1）+1=0的解满足：x −1=1，∴x 1=x 2=2．17、答案：1分析：先设22x y m +=，则原方程可变形为：2340m m +-=，解方程即可求得m 的值，从而求得22x y +的值．解答：设22x y m +=，则原方程可变形为：2340m m +-=，分解因式得，(1)(4)0m m -+=∴m =-4，m =1，∵22xy +≥0 ∴22x y +=1 故答案为：1．18、答案：10x =，22x =，32x =-分析：本题考查了因式分解法解方程．解答：34x x =340x x -=2(4)0x x -=x （x -2）（x +2）=0∴10x =，22x =，32x =-．故答案为：10x =，22x =，32x =-．三、解答题19、答案：（1）x 1=1，x 2=−5；（2）x 1=2，x 2=3；（3）x 1=3，x 2=12． 分析：本题考查的是一元二次方程的解法，掌握一元二次方程的解法：配方法，公式法，因式分解法的解答步骤是关键．解答：（1）2450x x +-=，245x x +=，24454x x ++=+，()229x +=，23x +=±，23x +=或23x +=-，∴121,5x x ==-．（2）x 2-5x +6=0，（x -2）（x -3）=0，x -2=0或x -3=0，∴x 1=2，x 2=3，（3）22730x x -+=，∵a =2，b =−7，c =3，2449423250b ac -=-⨯⨯=>，754x ±==， ∴1213,2x x ==． 20、答案：（1）x 1＝0，x 2＝12；（2）x 1＝1，x 2＝-23． 分析：本题考查了因式分解法解一元二次方程．解答：（1）3x -1＝±（x -1），即3x -1＝x -1或3x -1＝-（x -1），∴x 1＝0，x 2＝12； （2）3x （x -1）+2（x -1）＝0，（x -1）（3x +2）＝0，x -1＝0或3x +2＝0，∴x 1＝1，x 2＝-23． 20、答案：（1）换元，降次；（2）x 1=-3，x 2=2．分析：本题考查了因式分解法解一元二次方程．解答：解：（1）在由原方程得到方程①的过程中，利用换元法达到降次的目的，体现了数学的转化思想；（2）设x 2+x =y ，原方程可化为y 2-4y -12=0，解得y 1=6，y 2=-2．由x 2+x =6，得x 1=-3，x 2=2．由x2+x=-2，得方程x2+x+2=0，b2-4ac=1-4×2=-7＜0，此时方程无实根．∴原方程的解为x1=-3，x2=2．【答题】根据要求，解答下列问题：（1）①方程x2-x-2=0的解为______；②方程x2-2x-3=0的解为______；③方程x2-3x-4=0的解为______；…（2）根据以上方程特征及其解的特征，请猜想：①方程x2-9x-10=0的解为______；②请用配方法解方程x2-9x-10=0，以验证猜想结论的正确性．（3）应用：关于x的方程______的解为x1=-1，x2=n+1．。
因式分解法解一元二次方程例题
(3)3x²-6x=-3；
因式分解，得
(4)4x²-121=0；
( x-4-5 + 2x )( x-4 + 5-2x ) = 0.
(5)3x(2x+1)=4x+2；
则有 3x-9 = 0 或 1-x = 0 ，
(6)(x-4)²=(5-2x)².
x1 = 3， x2 = 1.
练习
2.把小圆形场地的半径增加5 m得到大圆形场地，场
例 解下列方程：
(1)x(x-2)+x-2=0；
(2)5x²-2x- =x²-2x+ .
解：(1)因式分解，得
(2)移项、合并同类项，得
(x-2)(x+1)=0.
于是得
x-2＝0或x+1=0，
4x²-1=0
因式分解，得 (2x＋1)(2x-1)=0.
即
2x＋1=0或2x-1=0，
解得
解得
x1=2，x2=-1.
则有 2x + 11 = 0 或 2x -11= 0，
x1=- ，x2= .
练习
1.解下列方程：
(5)3x(2x+1)=4x+2
(1)x²+x=0；
解：化为一般式为
(2)x²-2 x=0；
6x2 - x -2 = 0.
(3)3x²-6x=-3；
因式分解，得
(4)4x²-121=0；
( 3x-2 )(2x + 1) = 0.
作业
解下列方程：
(1)x²=3x
(1)x1 = 0， x2 = 3.
(2)5(x²-x)=3(x²+x)
21.2.3用十字相乘法解一元二次方程
状，并说明理由；
(3)如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程 的根．
解：(1)△ABC是等腰三角形．理由： 把x＝－1代入方程，得2a－2b＝0.
∴a＝b，∴△ABC是等腰三角形．
(2)△ABC是直角三角形．理由： ∵方程有两个相等的实数根，
∴Δ＝(2b)2－4(a＋c)(a－c)＝0，
∴b2＋c2＝a2， ∴△ABC是直角三角形． (3)∵△ABC是等边三角形，∴a＝b＝c， ∴原方程变为2ax2＋2ax＝0.
2、x2-x-12=0 解：x2-x-12=0 (x+3)(x-4)=0 x+3=0 X=-3 x-4=0 X=4 ∴x1=-3, x2=4 x x
3
-4
3x -4x =-x
3、x2-6x+8=0 解：x2-6x+8=0 (x-2)(x-4)=0
x
x
-2
-4
x-2=0 x=2 x-4=0.
作业
解方程1x 2 6 x 8 0;
2 2
2x 2 5 x 6 0;
3x x 20 0; 4x 2 x 8 0 2 2 5 y 3x 2 0; 6x 11x 30 0
用适当方法解下列方程
当n＝8时，n－2＝6，n＋2＝10， 1 三角形的面积为 × 6× 8＝ 24. 2 答：这个直角三角形的三边长分别为 6，8，10，面积为 24.
8．[2014· 株洲]已知关于x的一元二次方程(a＋c)x2＋2bx＋ (a－c)＝0，其中a，b，c分别为△ABC的三边的长． (1)如果x＝－1是方程的根，试判断△ABC的形状，并 说明理由； (2)如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形
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21.2.3因式分解法解一元二次方程同步练习题
一．选择题
1、 方程(x －16)(x ＋8)＝0的根是( )
A ．x 1＝－16，x 2＝8
B ．x 1＝16，x 2＝－8
C ．x 1＝16，x 2＝8
D ．x 1＝－16，x 2＝－8
2、 下列方程4x 2－3x －1＝0，5x 2－7x ＋2＝0，13x 2－15x ＋2＝0中，有一个公共解是( )
A ．x ＝2
1 B ．x ＝
2 C ．x ＝1 D ．x ＝－1
3、 方程5x(x ＋3)＝3(x ＋3)解为( )
A ．x 1＝53，x 2＝3
B ．x ＝53
C ．x 1＝－53，x 2＝－3
D ．x 1＝5
3
，x 2＝－3
4、 方程(y －5)(y ＋2)＝1的根为( )
A ．y 1＝5，y 2＝－2
B ．y ＝5
C ．y ＝－2
D ．以上答案都不对
5、 方程(x －1)2－4(x ＋2)2＝0的根为( )
A ．x 1＝1，x 2＝－5
B ．x 1＝－1，x 2＝－5
C ．x 1＝1，x 2＝5
D ．x 1＝－1，x 2＝5
6、 一元二次方程x 2＋5x ＝0的较大的一个根设为m ，x 2－3x ＋2＝0较小的根设为n ，则m ＋n 的值为( )
A ．1
B ．2
C ．－4
D ．4
7、 已知三角形两边长为4和7，第三边的长是方程x 2－16x ＋55＝0的一个根，则第三边长是( )
A ．5
B ．5或11
C ．6
D ．11
二．填空题
1、 方程t(t ＋3)＝28的解为_______．
2、 方程(2x ＋1)2＋3(2x ＋1)＝0的解为__________．
3、 方程(2y ＋1)2＋3(2y ＋1)＋2＝0的解为__________．
4、 关于x 的方程x 2＋(m ＋n)x ＋mn ＝0的解为__________．
5、 方程x(x －5)＝5 －x 的解为__________．
三．用因式分解法解下列方程：
1、x 2＋12x ＝0；
2、4x 2－1＝0；
3、 x 2＝7x ；
4、x 2－4x －21＝0；
5、(x －1)(x ＋3)＝12；
6、3x 2＋2x －1＝0；
四．用适当方法解下列方程：
1、x 2－4x ＋3＝0；
2、(x －2)2＝256；
3、x 2－3x ＋1＝0；
4、x 2－2x －3＝0；
5、(2t ＋3)2＝3(2t ＋3)；
6、(3－y)2＋y 2＝9；
7、(1＋2)x 2－(1－2)x ＝0； 8、2x 2
－8x ＝7；
五.解答题
1．一跳水运动员从10米高台上跳水，他跳下的高度h(单位：米)与所用的时间t(单位：秒)的关系式
h ＝－5(t －2)(t ＋1)．求运动员起跳到入水所用的时间．
2．若x 2＋3xy －4y 2＝0(y ≠0)，求y x y
x +-的值． 3．若(x 2＋y 2)(x 2－1＋y 2)－12＝0．求x 2＋y 2
的值．
4．为解方程(x 2－1)2－5(x 2－1)＋4＝0，我们可以将x 2－1视为一个整体，然后设x 2－1＝y ，
则y 2＝(x 2－1)2，原方程化为y 2－5y ＋4＝0，解此方程，得y 1＝1，y 2＝4．
当y ＝1时，x 2－1＝1，x 2＝2，∴x ＝±
2． 当y ＝4时，x 2－1＝4，x 2＝5，∴x ＝±
5． ∴原方程的解为x 1＝－2，x 2＝2，x 3＝－5，x 4＝5．
以上方法就叫换元法，达到了降次的目的，体现了转化的思想．
(1) 运用上述方法解方程：x 4－3x 2－4＝0．
(2) 既然可以将x 2－1看作一个整体，你能直接运用因式分解法解这个方程吗？。