23用公式法求解一元二次方程教学设计

第二章一元二次方程

３．用公式法求解一元二次方程（一）

横山县第三中学柳金帛

一、学生知识状况分析

学生的知识技能基础：学生通过前几节课的学习，认识了一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0(a≠0),并且已经能够熟练地将一元二次方程化成它们的一般形式；在上一节课的基础上，大部分学生能够利用配方法解一元二次方程，但仍有一部分认知较慢、运算不扎实的同学不能够熟练使用配方法解一元二次方程.

学生活动经验基础：学生已经具备利用配方法解一元二次方程的经验；学生通过《规律的探求》、《勾股定理的探求》、《一次函数的图像》中一次函数增减性的总结等章节的学习，已经逐渐形成对于一些规律性的问题，用公式加以归纳总结的数学建模意识，并且已经具备本节课所需要的推理技能和逻辑思维能力.

二、教学任务分析

公式法实际上是配方法的一般化和程式化，然后再利用总结出来的公式更加便利地求解一元二次方程。所以首先要夯实上节课的配方法，在此基础上再进行一般规律性的探求——推导求根公式，最后，用公式法解一元二次方程。

其中，引导学生自主的探索，正确地导出一元二次方程的求根公式是本节课的重点、难点之一；正确、熟练地使用一元二次方程的求根公式解方程，提高学生的综合运算能力是本节课的另一个重点和难点。

为此，本节课的教学目标是：

①在教师的指导下，学生能够正确的导出一元二次方程的求根公式，并在探求过程中培养学生的数学建模意识和合情推理能力。

②能够根据方程的系数，判断出方程的根的情况，在此过程中，培养学生观察和总结的能力.

③通过正确、熟练的使用求根公式解一元二次方程，提高学生的综合运算能力。

④通过在探求公式过程中同学间的交流、使用公式过程中的小技巧的交流，进一步发展学生合作交流的意识和能力

三、教学过程分析

本课时分为以下五个教学环节：第一环节：回忆巩固；第二环节：探究新知；第三环节：巩固新知；第四环节：收获与感悟；第五环节：布置作业。

第一环节；回忆巩固

活动内容：

①用配方法解下列方程：(1)2x 2+3=7x (2)3x 2+2x+1=0

全班同学在练习本上运算,可找位同学上黑板演算

②由学生总结用配方法解方程的一般方法:

第一题： 2x2+3=7x

解：将方程化成一般形式: 2x2-7x +3=0

两边都除以一次项系数:2 023272=+-x x

配方:加上再减去一次项系数一半的平方 0231649)47(2722=+-+-

x x

即: 016

25)47(2=--x

1625)47(2=-x 两边开平方取“±” 得： 4547±=-x

4547±=

x 写出方程的根 ∴ x1=3 , x2=21

第二题： 3x2+2x+1=0

解：两边都除以一次项系数:3

031322=++x x 配方:加上再减去一次项系数一半的平方 02391)31(3222=+-++x x

即: 01825)31(2=++x

1825)31(2-=+x ∵01825<-

∴原方程无解

活动目的：

（1）进一步夯实用配方法解方程的一般步骤.在这里相对于书上的解题方法作了小小的改动：没有把常数项移到方程右边，而是在方程的左边直接加上再减去一次项系数一半的平方，这样做的目的是为了与以后二次函数一般式化顶点式保持一致。

（2）选择了一个没有解的方程，让学生切实感受并不是所有的一元二次方程在实数范围内都有解。

（3）教师还可以根据上节课作业情况，选学生出错多的题目纠错、练习. 活动的实际效果：

通过对旧知识的回顾，学生再次经历了配方法解方程的全过程，由于是旧知识，学生容易做出正确答案，并获得成功的喜悦，调动了学生的学习热情，唤醒学生的思维，为后面的探索奠定了良好的基础。

第二环节 探究新知

（1）活动1：自主推导求根公式。

提出问题：解一元二次方程：ax 2+bx+c=0(a ≠0)

学生在演算纸上自主推导、并针对自己推导过程中预见的问题在小范围内自由研讨。最后由师生共同归纳、总结，得出求根公式.

解：两边都除以一次项系数:a 02=++a

c x a b x

问：为什么可以两边都除以一次项系数:a

答：因为a ≠0

配方:加上再减去一次项系数一半的平方

4)2(22

2

2

=+-++a c a b a b x a b x 即: 044)(2

22=--+a ac b a b x 2

2244)(a ac b a b x -=+ 问：现在可以两边开平方吗？

答：不可以，因为不能保证 0442

2

≥-a ac b 问：什么情况下 0442

2

≥-a ac b 学生讨论后回答：

答： ∵ a ≠0

∴ 4a 2>0 要使0442

2

≥-a ac b 只要 b 2-4ac ≥0即可

∴当b 2-4ac ≥0时，两边开平方取“±” 得： 2

2

44a ac b a b x -±=+ a

ac b a b x 242-±=+ a

ac b a b x 242

-±-= a

ac b b x 242-±-= 问：如果b 2-4ac<0时，会出现什么问题？

答：方程无解

如果b 2-4ac=0呢？答;方程有两个相等的实数根。

活动目的：

学生能否自主推导出来并不重要，重要的是由学生亲身经历公式的推导过程，只有经历了这一过程，他们才能发现问题、汲取教训、总结经验，形成自己的认识.在集体交流的时候，才能有感而发。

活动的实际效果：

学生的主要问题通常出现在这样的几个地方：

（1）04)2(2222=+-++a

c a b a b x a b x 中a c a b +-224运算的符号出现错误和通分出现错误 （2）不能主动意识到只有当b 2-4ac ≥0时，两边才能开平方

（3）两边开平方，忽略取“±”。

大部分学生需要在教师的帮助下，才能完善公式的推导。

（2）活动2：归纳总结公式法定义和根的判别式。

第三环节：巩固新知

活动内容：

１、判断下列方程是否有解：（学生口答）

(1) 2x 2+3=7x （2）x 2-7x=18 （3）3x 2+2x+1=0（4）9x 2+6x+1=0

(5)16x 2+8x=3 (6) 2x 2-9x+8=0

学生迅速演算或口算出b 2-4ac,从而判断出根的情况。

问第（3）题的判断，与第一环节中的第（2）题对比，哪种方法更简捷？ ２、上述方程如果有解，求出方程的解

学生口述，教师板书第（1）题，第（4）题

例：解方程 2x 2+3=7x

先将方程化成一般形式 解： 2x 2-7x+3=0

确定a,b,c 的值 a=2, b=-7, c=3 判断方程是否有根 ∵b 2-4ac=(-7)2-4×2×

3=25>0 ∴4

5722257242±=?±=-±-=a

ac b b x

写出方程的根 即x 1=3,x 2=-21

问：与第一环节中的第（1）题对比，哪种解法更简捷？

例：解方程 9x 2+6x+1=0

确定a,b,c 的值 解：a=9, b=6, c=1

判断方程是否有根 ∵b 2-4ac=62-4×9×1=0

∴3

118

069

206242-=±-=?±-=-±-=a

ac b b x （剩下的题目教师根据时间情况选择使用，个别学生上黑板做题，其他同学在座位上练习）

３、课本随堂练习1、2.

活动目的：通过让学生或口述交流或上黑板解方程，公示学生的思维过程，查缺补漏，了解学生的掌握情况和灵活运用所学知识的程度。

活动实际效果：教师引导学生分析，学生口答、板书，笔答，对比，评价，总结．大部分学生能够正确、熟练的用公式法解方程。

第四环节：收获与感悟

活动内容：

提出问题：

1、一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)的求根公式是什么？

2、如何判断一元二次方程根的情况？

3、用公式法解方程应注意的问题是什么？

4、你在解方程的过程中有哪些小技巧？

让学生在四人小组中进行回顾与反思后，进行组间交流发言。

活动目的：鼓励学生回顾本节课知识方面有哪些收获，解题技能方面有哪些提高，通过回顾进一步巩固知识，将新知识纳入到学生个人已有的知识体系中。

活动实际效果：学生通过回顾本节课的学习，感受到公式推导的全过程，发展了逻辑思维能力，提高了推理技能，在使用公式解方程的过程中，感受到有的一元二次方程的有根，而有的没有根，通过解方程，进一步提高了学生的运算能力。

第五环节：布置作业

用公式法解下列方程（教师可根据实际情况选用）

1、课本47页1,2题。

2、程解应用题

（1）已知长方形城门的高比宽多6尺8寸,门的对角线长1丈,那么,门的高和宽各是多少?

（2）一张桌子长4米,宽2米,台布的面积是桌面面积的2倍,铺在桌子上时,各边下垂的长度相同,求台布的长和宽

四、教学反思

1、要创造性的使用教材

教材只是为教师提供最基本的教学素材，教师完全可以根据学生的实际情况进行适当调整。本节课教师就根据学生实际情况，调整了配方时的个别过程，使之与后续知识学习相一致，添加了例题和练习题。

2、要为学生的终身学习奠基

这节课不能够仅仅让学生背公式、套公式解方程，而应让学生初步建立对一些规律性的问题加以归纳、总结的数学建模意识，亲身体会公式推导的全过程，提高学生推理技能和逻辑思维能力；进一步发展学生合作交流的意识和能力．帮助学生形成积极主动的求知态度.