公式法解一元二次方程及答案详细解析
公式法解一元二次方程练习题及答案
公式法解一元二次方程练习题一．选择题（共11小题）1．一元二次方程x2+x﹣1＝0的根为（）A．x1=x2=−1+√52B．x1=−1−√52，x2=−1+√52C．x=−1+√52D．x=−1−√522．如果一元二次方程x2+px+q＝0能用公式法求解，那么必须满足的条件是（）A．p2﹣4q≥0B．p2﹣4q≤0C．p2﹣4q＞0D．p2﹣4q＜03．当﹣1＜k＜0时，关于x的一元二次方程x2+4x﹣k＝0根的情况是（）A．有两个相等的实数根B．有两个不等的实数根C．有一个实数根D．没有实数根4．关于x的一元二次方程x2﹣（2m﹣1）x﹣2m＝0（其中m≠−12）的根的情况是（）A．没有实数根B．有实数根C．有两个相等的实数根D．有两个不等的实数根5．如果一元二次方程2x2+3x+m＝0有两个相等的实数根，那么实数m的取值为（）A．m＜98B．m＞89C．m=98D．m=89 6．在平面直角坐标系中，若直线y＝﹣2x+a不经过第一象限，则关于x的方程ax2+x+2＝0的实根的个数是（）A．0B．1C．2D．1或27．关于x的方程（k﹣1）2x2+（2k+1）x+1＝0有实数根，则k的取值范围是（）A．k＞14且k≠1B．k≥14且k≠1C．k＞14D．k≥148．关于x的一元二次方程x2+bx+c＝0有两个相等的实数根，则b2﹣2（1+2c）＝（）A．﹣2B．2C．﹣4D．49．若关于x的一元二次方程kx2﹣2x+3＝0有两个实数根，则k的取值范围是（）A．k＜13B．k≤13C．k＜13且k≠0D．k≤13且k≠010．如果一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）能用公式法求解，那么必须满足的条件是（）A．b2﹣4ac≥0B．b2﹣4ac≤0C．b2﹣4ac＞0D．b2﹣4ac＜011．下列各项中，以x=b±√b2+4c2为根的一元二次方程可能是（）A．x2+bx+c＝0B．x2+bx﹣c＝0C．x2﹣bx+c＝0D．x2﹣bx﹣c＝0二．填空题（共2小题）12．关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+3x﹣1＝0有两个不等实数根，则实数m的取值范围是．13．如图，点A在数轴的负半轴，点B在数轴的正半轴，且点A对应的数是2x﹣1，点B对应的数是x2+x，已知AB＝5，则x的值为．三．解答题（共5小题）14．已知关于x的方程x2﹣（k+3）x+3k＝0．（1）求证：无论k取任何实数，该方程总有实数根；（2）若等腰三角形的三边长分别为a，b，c，其中a ＝1，并且b，c恰好是此方程的两个实数根，求此三角形的周长．15．关于x的一元二次方程为（m﹣1）x2﹣2mx+m+1＝0．（1）求出方程的根；（2）m为何整数时，此方程的两个根都为正整数？16．已知关于x的方程kx2﹣（k+2）x+2＝0．（1）证明：不论k为何值，方程总有实数根；（2）k为何整数时，方程的根为正整数．17．（1）解方程（x﹣3）2＝2x（3﹣x）；（2）已知关于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（a ﹣c）＝0，其中a，b，c分别为△ABC三边的长．①如果x＝﹣1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；②如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由；③如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．18．已知关于x的方程x2−(2k+1)x+4(k−12)=0．（1）求证：无论k取何值，此方程总有实数根；（2）若x＝1是这个方程的一个根，求k的值和它的另一个根；（3）若等腰△ABC的一边长a＝4，另两边b、c恰好是这个方程的两个根，求这个等腰三角形的周长是多少？公式法解一元二次方程练习题参考答案与试题解析一．选择题（共11小题）1．一元二次方程x2+x﹣1＝0的根为（）A．x1=x2=−1+√52B．x1=−1−√52，x2=−1+√52C．x=−1+√52D．x=−1−√52解：x2+x﹣1＝0由题意可得，a＝1，b＝1，c＝﹣1，∵Δ=b2−4ac=12−4×1×(−1)=√5，∴x=−b±√b2−4ac2a=−1±√52，即x1=−1−√52，x2=−1+√52，故选：B．2．如果一元二次方程x2+px+q＝0能用公式法求解，那么必须满足的条件是（）A．p2﹣4q≥0B．p2﹣4q≤0C．p2﹣4q＞0D．p2﹣4q＜0解：∵a＝1，b＝p，c＝q，∴Δ＝b2﹣4ac＝p2﹣4q≥0时，一元二次方程x2+px+q＝0能用公式法求解，故选：A．3．当﹣1＜k＜0时，关于x的一元二次方程x2+4x﹣k＝0根的情况是（）A．有两个相等的实数根B．有两个不等的实数根C．有一个实数根D．没有实数根解：x2+4x﹣k＝0，Δ＝42+4k＝4（4+k），∵﹣1＜k＜0，∴4+k＞0，∴Δ＞0，∴该方程有两个不等的实数根．故选：B．4．关于x的一元二次方程x2﹣（2m﹣1）x﹣2m＝0（其中m≠−12）的根的情况是（）A．没有实数根B．有实数根C．有两个相等的实数根D．有两个不等的实数根解：由题意，Δ＝b2﹣4ac＝[﹣（2m﹣1）]2﹣4×1×（﹣2m）＝4m2﹣4m+1+8m＝4m2+4m+1＝（2m+1）2．∵m≠−12，∴（2m+1）2＞0，∴方程有两个不相等的实数根．故选：D．5．如果一元二次方程2x2+3x+m＝0有两个相等的实数根，那么实数m的取值为（）A．m＜98B．m＞89C．m=98D．m=89解：∵一元二次方程2x2+3x+m＝0有两个相等的实数根，∴Δ＝32﹣4×2m＝9﹣8m＝0，解得：m=98．故选：C．6．在平面直角坐标系中，若直线y＝﹣2x+a不经过第一象限，则关于x的方程ax2+x+2＝0的实根的个数是（）A．0B．1C．2D．1或2解：∵直线y＝﹣2x+a不经过第一象限，∴a≤0，∵ax2+x+2＝0，当a＝0，方程ax2+x+2＝0为一元一次方程，即x+2＝0，解得x＝﹣2；方程有一个实数根，当a＜0时，方程ax2+x+2＝0为一元二次方程，∵Δ＝1﹣8a＞0，∴方程有2个实数根．故选：D．7．关于x的方程（k﹣1）2x2+（2k+1）x+1＝0有实数根，则k的取值范围是（）A．k＞14且k≠1B．k≥14且k≠1C．k＞14D．k≥14解：当k﹣1≠0，即k≠1时，此方程为一元二次方程．∵关于x的方程（k﹣1）2x2+（2k+1）x+1＝0有实数根，∴Δ＝（2k+1）2﹣4×（k﹣1）2×1＝12k﹣3≥0，解得k≥1 4；当k﹣1＝0，即k＝1时，方程为3x+1＝0，显然有解；综上，k的取值范围是k≥1 4，故选：D．8．关于x的一元二次方程x2+bx+c＝0有两个相等的实数根，则b2﹣2（1+2c）＝（）A．﹣2B．2C．﹣4D．4解：∵关于x的一元二次方程x2+bx+c＝0有两个相等的实数根，∴Δ＝b2﹣4c＝0，∴b2＝4c，∴b2﹣2（1+2c）＝b2﹣4c﹣2＝0﹣2＝﹣2．故选：A．9．若关于x的一元二次方程kx2﹣2x+3＝0有两个实数根，则k的取值范围是（）A．k＜13B．k≤13C．k＜13且k≠0D．k≤13且k≠0解：∵关于x的一元二次方程kx2﹣2x+3＝0，∴k≠0，∵方程有两个实数根，∴Δ＝（﹣2）2﹣4k×3≥0，解得k≤13，∴k的取值范围是k≤13且k≠0，故选：D．10．如果一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）能用公式法求解，那么必须满足的条件是（）A．b2﹣4ac≥0B．b2﹣4ac≤0C．b2﹣4ac＞0D．b2﹣4ac＜0解：若一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）能用公式法求解，则b2﹣4ac≥0；故选：A．11．下列各项中，以x=b±√b2+4c2为根的一元二次方程可能是（）A．x2+bx+c＝0B．x2+bx﹣c＝0C．x2﹣bx+c＝0D．x2﹣bx﹣c＝0解：利用公式法可知：A．x=−b±√b2−4c2，故不符合题意．B．x=−b±√b2+4c2，故不符合题意．C．x=b±√b2−4c2，故不符合题意．D ．x =b±√b 2+4c2，故符合题意．故选：D ．二．填空题（共2小题）12．关于x 的一元二次方程（m ﹣2）x 2+3x ﹣1＝0有两个不等实数根，则实数m 的取值范围是 m ＞−14且m ≠2 ．解：∵关于x 的一元二次方程（m ﹣2）x 2+3x ﹣1＝0总有两个不相等的实数根， ∴Δ＞0且m ﹣2≠0，∴9﹣4（m ﹣2）×（﹣1）＞0且m ﹣2≠0， ∴m ＞−14且m ≠2． 故答案为：m ＞−14且m ≠2．13．如图，点A 在数轴的负半轴，点B 在数轴的正半轴，且点A 对应的数是2x ﹣1，点B 对应的数是x 2+x ，已知AB ＝5，则x 的值为 1−√172．解：根据题意，得：x 2+x ﹣（2x ﹣1）＝5， 整理，得：x 2﹣x ﹣4＝0， ∵a ＝1，b ＝﹣1，c ＝﹣4，∴Δ＝（﹣1）2﹣4×1×（﹣4）＝17＞0，则x =−b±√b 2−4ac 2a =1±√172，∴x 1=1+√172，x 2=1−√172，∵点A 在数轴的负半轴， ∴2x ﹣1＜0，即x ＜12， ∴x =1−√172， 故答案为：1−√172．三．解答题（共5小题）14．已知关于x 的方程x 2﹣（k +3）x +3k ＝0． （1）求证：无论k 取任何实数，该方程总有实数根；（2）若等腰三角形的三边长分别为a ，b ，c ，其中a ＝1，并且b ，c 恰好是此方程的两个实数根，求此三角形的周长．（1）证明：∵关于x 的方程x 2﹣（k +3）x +3k ＝0， ∴Δ＝[﹣（k +3）]2﹣12k ＝k 2+6k +9﹣12k ＝k 2﹣6k +9 ＝（k ﹣3）2≥0，则无论k 取何实数值，方程总有实数根；（2）解：当b ＝c 时，k ＝3，方程为x 2﹣6x +9＝0， 解得：x 1＝x 2＝3，此时三边长为1，3，3，周长为1+3+3＝7； 当a ＝b ＝1或a ＝c ＝1时，把x ＝1代入方程得：1﹣（k +3）+3k ＝0，解得：k ＝1，此时方程为：x 2﹣4x +3＝0， 解得：x 1＝3，x 2＝1， 当x '＝1时，此时三边长为1，1，3，不能组成三角形， 当x ＝3时，此时三边长为1，3，3，周长为3+3+1＝7，综上所述，△ABC 的周长为7．15．关于x 的一元二次方程为（m ﹣1）x 2﹣2mx +m +1＝0．（1）求出方程的根；（2）m 为何整数时，此方程的两个根都为正整数？ 解：（1）[（m ﹣1）x ﹣（m +1）]（x ﹣1）＝0， （m ﹣1）x ﹣（m +1）＝0或x ﹣1＝0， 所以x 1=m+1m−1，x 2＝1；（2）x =m+1m−1=1+2m−1， 由于m 为整数，所以当m ﹣1＝1或2时，x =m+1m−1为正整数，此时m ＝2或m ＝3，所以m为2或3时，此方程的两个根都为正整数．16．已知关于x的方程kx2﹣（k+2）x+2＝0．（1）证明：不论k为何值，方程总有实数根；（2）k为何整数时，方程的根为正整数．解：（1）当k＝0时，方程有根x＝1；当k≠0时，Δ＝（k+2）2﹣8k＝（k﹣2）2≥0，综上，无论k为何值时，这个方程总有两个实数根；（2）当k＝0时，方程有根x＝1，符合题意；当k≠0时，∵kx2﹣（k+2）x+2＝0，∴（kx﹣2）（x﹣1）＝0，∴x1=2k，x2＝1，∵方程的两个实数根都是正整数，∴k＝1或2．综上，k的整数值为0、1、2．17．（1）解方程（x﹣3）2＝2x（3﹣x）；（2）已知关于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（a ﹣c）＝0，其中a，b，c分别为△ABC三边的长．①如果x＝﹣1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；②如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由；③如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．解：（1）（x﹣3）2＝2x（3﹣x）；移项得，（x﹣3）2+2x （x﹣3）＝0，∴（x﹣3）（x﹣3+2x）＝0，∴（x﹣3）（3x﹣3）＝0，∴x1＝3，x2＝1；（2）①△ABC为等腰三角形；理由如下：把x＝﹣1代入方程得a+c﹣2b+a﹣c＝0，则a＝b，∴△ABC为等腰三角形；②△ABC为直角三角形；理由如下：∵方程有两个相等的实数根，∴Δ＝（2b）2﹣4（a+c）（a﹣c）＝0，即b2+c2＝a2，∴△ABC为直角三角形；③∵△ABC为等边三角形，∴a＝b＝c，∴方程化为x2+x＝0，解得x1＝0，x2＝﹣1．18．已知关于x的方程x2−(2k+1)x+4(k−12)=0．（1）求证：无论k取何值，此方程总有实数根；（2）若x＝1是这个方程的一个根，求k的值和它的另一个根；（3）若等腰△ABC的一边长a＝4，另两边b、c恰好是这个方程的两个根，求这个等腰三角形的周长是多少？解：（1）Δ＝（2k+1）2﹣4×1×4（k−12）＝4（k−32）2≥0，此时方程有两个实数根．综上所述，无论k取何值，此方程总有实数根．（2）若x＝1是这个方程的一个根，则1﹣（2k+1）+4（k−12）＝0，解得k＝1，∴关于x的方程x2﹣3x+2＝0，解方程得x1＝1，x2＝2，∴方程的另一根是2；（3）当a＝4为底边，则b，c为腰长，则b＝c，则Δ＝0．∴4（k−32）2＝0，解得：k=32．此时原方程化为x2﹣4x+4＝0∴x1＝x2＝2，即b＝c＝2．此时△ABC三边为4，2，2，构不成三角形，当a＝4为腰，则b＝4为腰长，c为底，则16﹣4（2k+1）+4（k−12）＝0，求得k=5 2，∴关于x的方程为x2﹣6x+8＝0．解得x＝2或4，∴c＝2，∴周长为4+4+2＝10．故这个等腰三角形的周长是10．。
一元二次方程的解法详细解析
一元二次方程的解法详细解析
说明：公式法可以用于解任何一元二次方程，在找不到简单方法时，即考虑化为一般形式后使用公式法。
但在应用时要先明确公式中字母在题中所表示的量，再求出判别式的值，解得的根要进行化简。
例5：用分解因式法解下列方程。
（1）；（2）分析：分解因式法是把方程变形为一边是零，把另一边的二次三项式分解成两个一次因式的积的形式，让两个一次因式分别等于零，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程所得到的根，就是原方程的两个根。
第（1）题已经是一般式，可直接对左边分解因式；第（2）题必须先化简变为一般式后再进行分解因式。
解一元二次方程公式法
公式法是这样生产的
你能用公式法解方程 2x2-9x+8=0 吗?
解 : a 2 ,b 9 ,c 8 .1.变形:化已知方程为一般形式;
b 2 4 a c 9 2 4 2 8 1 7 0 .
x b b 2 4 ac 2a
9 17
22 9 17 .
4
2.确定系数:用a,b,c写出各项系数;
九年级数学(上)第二章 一 元二次方程
3.公式法(1) 一元二次方程解法
配方法
回顾与复习 1
我们通过配成完全平方式的方法,得到了一元 二次方程的根,这种解一元二次方程的方法称为 配方法(solving by completing the square)
助手 用配方法解一元二次方程的方法的
:
平方根的意义:
公式法将从这里诞生
你能用配方法解方程 2x2-9x+8=0 吗?
解:x29x40.
2
x2 9 x 4.
x29x292924.
x
2 9
2417
.
4
4 16
1.化1:把二次项系数化为1;
2.移项:把常数项移到方程的右边;
3.配方:方程两边都加上一次项系数绝对值 一半的平方;
4.变形:方程左分解因式,右边合并 同类;
8.x1909..xx2714x;3;xx139 .43.273. 16x2+8x=3 ；
1
1 参 考 答 案 ：2 12
2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
12
1
2
解:设这三个 一个连 直角续 三角偶 的 形三数 一 边的中 个 长x为间 ,为 根 三个据 连续题 偶 意得
x2 x 数 ,求2 这2 个三x角 形2 的2 .三边长.
一元二次方程的解法(公式法3种题型)(解析版)
一元二次方程的解法（公式法3种题型）1.了解求根公式的推导过程.（难点）2.掌握用公式法解一元二次方程.(重点）3.理解并会用判别式求一元二次方程的根.4.会用判别式判断一元二次方程的根的情况一、公式引入一元二次方程20ax bx c ++=（0a ≠），可用配方法进行求解：得：2224()24b b acx a a −+=．对上面这个方程进行讨论：因为0a ≠，所以240a >①当240b ac −≥时，22404b aca−≥利用开平方法，得：x += 即：x = ②当240b ac −<时，22404b ac a −< 这时，在实数范围内，x 取任何值都不能使方程2224()24b b acx a a−+=左右两边的值相等，所以原方程没有实数根．二、求根公式一元二次方程20ax bx c ++=（0a ≠），当240b ac −≥时，有两个实数根：1x =2x =这就是一元二次方程20ax bx c ++=（0a ≠）的求根公式． 三、用公式法解一元二次方程一般步骤①把一元二次方程化成一般形式20ax bx c ++=（0a ≠）； ②确定a 、b 、c 的值；③求出24b ac −的值（或代数式）；④若240b ac −≥，则把a 、b 、c 及24b ac −的值代入求根公式，求出1x 、2x ；若240b ac −<，则方程无解．四、 根的判别式1.一元二次方程根的判别式：我们把24b ac −叫做一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根的判别式，通常用符号“∆”表示，记作2=4b ac ∆−．2.一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠， 当2=40b ac ∆−>时，方程有两个不相等的实数根； 当2=40b ac ∆−=时，方程有两个相等的实数根；当2=40b ac ∆−<时，方程没有实数根．五、根的判别式的应用（1）不解方程判定方程根的情况； （2）根据参数系数的性质确定根的范围； （3）解与根有关的证明题．题型1根的判别式例1.选择：（1） 下列关于x 的一元二次方程中，有两个不．相等的实数根的方程是（ ）（A ）012=+x（B ）0122=++x x （C ）0322=++x x（D ）0322=−+x x（2） 不解方程，判别方程25750x x −+=的根的情况是（）（A ）有两个相等的实数根 （B ）有两个不相等的实数根 （C ）只有一个实数根（D ）没有实数根（3）方程2510x x −−=的根的情况是()（A ）有两个相等实根 （B ）有两个不等实根 （C ）没有实根（D ）无法确定（4） 一元二次方程2310x x +−=的根的情况为（）（A ）有两个不相等的实数根 （B ）有两个相等的实数根 （C ）只有一个实数根（D ）没有实数根【答案】（1）D ；（2）D ；（3）B ；（4）A ．【答案】【答案】【解析】（1）A ：1a =，0b =，1c =，2440b ac ∆=−=−<，方程无实根；B ：1a =，2b =，1c =，240b ac ∆=−=，方程有两个相等实根； C ：1a =，2b =，3c =，2480b ac ∆=−=−<，方程无实根；D ：1a =，2b =，3c =−，24160b ac ∆=−=>，方程有两不等实根实根，故选D ；（2）5a =，7b =−，5c =，24510b ac ∆=−=−<，方程无实根，故选D ； （3）1a =，5b =−，1c =−，24290b ac ∆=−=>，方程有两不等实根，故选B ； （4）1a =，3b =，1c =−，24130b ac ∆=−=>，方程有两个相等实根，故选A ．【总结】考查一元二次方程根的判别式判定方程根的情况，先列出方程中的a 、b 、c ，再代值计算∆，根据∆与0的大小关系确定方程根的情况，注意a 、c 异号时则必有两不等实根． 例2.不解方程，判别下列方程的根的情况： （1）24530x x −−=； （2）22430x x ++=；（3）223x +=；（4）22340x x +−=．【答案】（1）方程有两不等实根；（2）方程无实数根；（3）方程有两相等实根； （4）方程有两不等实根．【答案】【答案】【解析】（1）4a =，5b =−，3c =−，24730b ac ∆=−=>，方程有两不等实根；2a =，4b =，3c =，2480b ac ∆=−=−<，方程无实数根；2a =，b =−3c =，240b ac ∆=−=，方程有两相等实根；（4）2a =，3b =，4c =−，24410b ac ∆=−=>，方程有两不等实根．【总结】考查一元二次方程根的判别式判定方程根的情况，先将方程整理成一般形式，列出方程中的a 、b 、c ，再代值计算∆，根据∆与0的大小关系确定方程根的情况，注意a 、c 异号时则必有两不等实根．题型2用公式法解一元二次方程例3．（2022秋·江苏苏州·九年级校考期中）用公式法解方程：22720x x −+=．【答案】12x x ==【分析】根据公式法解一元二次方程即可求解．【详解】解：22720x x −+=，∴2,7,2a b c ==−=，244942233b ac ∆=−=−⨯⨯=，∴x ==，解得：12x x ==．【点睛】本题考查了公式法解一元二次方程，掌握一元二次方程的求根公式是解题的关键． 例4．用公式法解下列方程：（1）2320x x +−=；（2）25610x x −++=．【答案】（1）12x x ==；（2）12x x =．【解析】（1）132a b c ===−，，1742=−ac b ，则2173±−=x ，∴12x x ==；（2）561a b c =−==，，，则5642=−ac b ，则101426−±−=x ，∴123355x x −==，．【总结】本题主要考查一元二次方程求根公式x =的运用．例5.用公式法解下列方程：（1）291x +=；（220+−=．【答案】（1）12x x ==；（2）12x x ==【解析】（1）1,66,9=−==c b a ，则18042=−ac b ，则185666±=x ，∴原方程的解为：12x x ==；22,34,2−===c b a ，则6442=−ac b ，则22834±−=x ，∴原方程的解为：12x x ==【总结】本题主要考查一元二次方程求根公式的运用．题型3根的判别式的应用例6．（2022秋·江苏扬州·九年级校联考期中）关于x 的一元二次方程()21360x k x k +++−=．(1)求证：方程总有两个实数根；(2)若方程有一个根不小于7，求k 的取值范围． 【答案】(1)见解析． (2)5k ≤−．【分析】（1）计算根的判别式的值，利用配方法得到()25k ∆=−，根据非负数的性质得到0∆≥，然后根据判别式的意义得到结论； （2）利用求根公式得到13x =−，22kx =−．根据题意得到27k −≥，即可求得k 的取值范围．【详解】（1）解：()()21436k k ∆=+−−2211224k k k =++−+ 21025k k =−+()250k =−≥，∴方程总有实数根； （2）解：∵()250k ∆=−≥，∴()()152k k x −+±−=，解方程得：13x =−，22kx =−，由于方程有一个根不小于7， ∴27k −≥， 解得：5k ≤−．【点睛】本题考查的是根的判别式及一元二次方程的解的定义，在解答（2）时得到方程的两个根是解题的关键．例7．（2023·江苏苏州·统考一模）已知关于x 的一元二次方程22210x mx m −+−=． (1)若该方程有一个根是2x =，求m 的值；(2)求证：无论m 取什么值，该方程总有两个实数根． 【答案】(1)32m =(2)证明见解析【分析】（1）直接把2x =代入到原方程中得到关于m 的方程，解方程即可得到答案； （2）根据一元二次方程根的判别式进行求解即可．【详解】（1）解：∵关于x 的一元二次方程22210x mx m −+−=的一个根为2x =，∴224210m m −+−=，∴32m =；（2）证明：由题意得，()()()222242421484410b ac m m m m m ∆=−=−−−=−+=−≥，∴无论m 取什么值，该方程总有两个实数根．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解和根的判别式，对于一元二次方程()200ax bx c a ++=≠，若240b ac ∆=−>，则方程有两个不相等的实数根，若240b ac ∆=−=，则方程有两个相等的实数根，若24<0b ac ∆=−，则方程没有实数根；一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值．例8．（2023秋·江苏扬州·九年级校考期末）关于x 的一元二次方程()23220x k x k −+++=．(1)求证：方程总有两个实数根；(2)若方程有一个根小于2，求k 的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2)1k <【分析】（1）计算一元二次方程根的判别式，根据根的判别式进行判断即可得证；（2）根据公式法求得方程的解，得出122,1==+x x k ，根据题意列出不等式，解不等式即可求解． 【详解】（1）证明：关于x 的一元二次方程()23220x k x k −+++=，∴1,(3),22a b k c k ==−+=+ ∵[]224(3)41(22)−=−+−⨯⨯+b ac k k221k k =−+2(1)0k =−≥，∴此方程总有两个实数根； （2）∵()23220x k x k −+++=∵2(1)k ∆=−∴3(1)2+±−==k k x解得:122,1==+x x k ，∵方程有一个根小于2， ∴12k +<， 解得1k <．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程根的情况与判别式的关系是解题的关键．一、单选题1．（2023·江苏徐州·统考一模）关于一元二次方程2430x x ++=根的情况，下列说法中正确的是（ ） A ．有两个不相等的实数根 B ．有两个相等的实数根 C ．没有实数根 D ．无法确定【答案】A【分析】直接利用一元二次方程根的判别式即可得．【详解】解：2430x x ++=其中1a =，4b =，3c =，∴2Δ441340=−⨯⨯=>，∴方程有两个不相等的实数根． 故选：A ．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题关键． 2．（2023·江苏徐州·校考一模）关于x 的一元二次方程240x x k −+=有实数根，则k 的值可以是（ ） A ．4 B ．5 C ．6 D ．7【答案】A【分析】利用一元二次方程根的判别式求解即可．【详解】解：∵关于x 的一元二次方程240x x k −+=有实数根，∴()2440k ∆=−−≥，∴4k ≤，∴四个选项中只有A 选项符合题意， 故选A ．【点睛】本题主要考查次方程根的判别式，对于一元二次方程()200ax bx c a ++=≠，若240b ac ∆=−>，则方程有两个不相等的实数根，若240b ac ∆=−=，则方程有两个相等的实数根，若24<0b ac ∆=−，则方程没有实数根．3．（2023秋·江苏盐城·九年级统考期末）若关于x 的一元二次方程240x x k −−=没有实数根，则k 的值可以是（ ） A ．5− B ．4− C ．3− D ．2【答案】A【分析】利用一元二次方程根的判别式求解即可．【详解】解：∵关于x 的一元二次方程240x x k −−=无实数根，∴()2440k ∆=−+<，∴4k <−，∴四个选项中，只有A 选项符合题意， 故A ．【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程()200ax bx c a ++=≠，若240b ac ∆=−>，则方程有两个不相等的实数根，若240b ac ∆=−=，则方程有两个相等的实数根，若24<0b ac ∆=−，则方程没有实数根．4．（2023春·江苏盐城·九年级统考期末）若关于x 的一元二次方程220x x k −+=没有实数根，则k 的值可以是（ ） A ．2 B ．1 C ．0 D ．1−【答案】A【分析】根据一元二次方程根的判别式进行求解即可．【详解】解：∵关于x 的一元二次方程220x x k −+=没有实数根，∴()2240k ∆=−−<，∴1k >，∴四个选项中，只有选项A 符合题意， 故选A ．【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程()200ax bx c a ++=≠，若240b ac ∆=−>，则方程有两个不相等的实数根，若240b ac ∆=−=，则方程有两个相等的实数根，若24<0b ac ∆=−，则方程没有实数根．5．（2023秋·江苏·九年级统考期末）若关于x 的一元二次方程2440x x k −−+=没有实数根，则k 的取值范围为（ ） A ．0k > B ．4k > C ．0k < D ．4k <【答案】C【分析】根据一元二次方程根的判别式进行判断即可求解．【详解】解：∵关于x 的一元二次方程2440x x k −−+=没有实数根，∴()2416440b ac k ∆=−=−−<，解得：0k <故选：C ．【点睛】本题考查了一元二次方程20ax bx c ++= (0a a b c ≠，，，为常数)的根的判别式24b ac ∆=−，理解根的判别式对应的根的三种情况是解题的关键．当0∆>时，方程有两个不相等的实数根；当Δ0=时，方程有两个相等的实数根；当Δ0<时，方程没有实数根． 二、填空题6．（2023·江苏常州·校考一模）若关于x 的一元二次方程()22210k x x −−−=有实数根，则实数k 的取值范围是______． 【答案】1k ≥且2k ≠【分析】根据一元二次方程的定义和判别式的性质计算，即可得到答案．【详解】∵关于x 的一元二次方程()22210k x x −−−=有实数根， ∴()()()22024210k k −≠⎧⎪⎨−−−⨯−≥⎪⎩ ∴21k k ≠⎧⎨≥⎩，即1k ≥且2k ≠． 故答案为：1k ≥且2k ≠．【点睛】本题考查了一元二次方程的定义和跟的判别式，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的定义和判别式的性质，从而完成求解．7．（2023·江苏常州·统考一模）若关于x 的方程20x x m −+=（m 为常数）有两个相等的实数根，则m =______．【答案】14【分析】先根据方程有两个相等的实数根得出△0=，求出m 的值即可．【详解】解：关于x 的方程20(x x m m −+=为常数）有两个相等的实数根，∴△2(1)40m =−−=，解得14m =．故答案为：14．【点睛】本题考查的是根的判别式，孰知当△0=时，一元二次方程2(0)y ax bx c a =++≠有两个相等的实数根是解答此题的关键．8．（2023·江苏盐城·校考二模）已知关于x 的一元二次方程240x ax ++=有一个根为1，则a 的值为________．【答案】5a =−【分析】将1x =代入方程240x ax ++=，解方程即可得到a 的值．【详解】∵关于x 的一元二次方程240x ax ++=有一个根为1，∴将1x =代入方程240x ax ++=，得140a ++=，解得：5a =−， 故答案为：5−【点睛】本题主要考查一元二次方程的解，理解一元二次方程的解是使得方程左右两边相等的未知数的值是解题的关键．9．（2023·江苏宿迁·模拟预测）关于x 的方程()21210m x x −−+=有实数根，则m 的取值范围是______． 【答案】2m ≤/2m ≥【分析】分当10m −=时，当10m −≠，即1m ≠时，两种情况讨论求解即可． 【详解】解：当10m −=时，即1m =时，原方程即为210x −+=，解得12x =，符合题意；当10m −≠，即1m ≠时，∵关于x 的方程()21210m x x −−+= ∴()()22410m ∆=−−−≥，解得2m ≤且1m ≠； 综上所述，2m ≤， 故答案为：2m ≤．【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程()200ax bx c a ++=≠，若240b ac ∆=−>，则方程有两个不相等的实数根，若240b ac ∆=−=，则方程有两个相等的实数根，若24<0b ac ∆=−，则方程没有实数根．10．（2023·江苏·模拟预测）请填写一个常数，使得一元二次方程25x x −+____________0=没有实数根．【答案】7（答案不唯一）【分析】设这个常数为a ，根据根的判别式求出a 的取值范围即可得到答案． 【详解】解：设这个常数为a ，∴方程250x x a −+=没有实数根，∴()2540a ∆=−−<，∴254a >，∴7a =满足题意，故答案为：7（答案不唯一）．【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程()200ax bx c a ++=≠，若240b ac ∆=−>，则方程有两个不相等的实数根，若240b ac ∆=−=，则方程有两个相等的实数根，若24<0b ac ∆=−，则方程没有实数根．11．（2023秋·江苏无锡·九年级校联考期末）请填写一个常数，使得关于x 的方程24x x −+________=0有两个不相等的实数根． 【答案】1（答案不唯一）【分析】根据方程的系数结合根的判别式2=40b ac ∆−>，即可得出关于c 的不等式，求解即可得出答案．【详解】解：1a =，4b =−，设常数为c ，()22=44410b ac c ∆−=−−⨯⨯>4c ∴<故答案为：1（答案不唯一）．【点睛】本题考查了根的判别式，牢记“当0∆>时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键． 三、解答题12．（2022秋·江苏淮安·九年级统考期末）求证：关于x 的方程2()0()x m n x mn m n +++=≠有两个不相等的实数根． 【答案】见解析【分析】根据224()41b ac m n mn ∆=−=+−⨯⨯，再判断出的符号，即可得出结论． 【详解】解∶2222()412()m n mn m n mn m n ∆=+−⨯⨯=+−=−，m n ≠()2m n ∴−>∴方程有两个不相等的实数根．【点睛】本题考查了一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根的判别式2Δ4b ac =−：当0∆>，方程有两个不相等的实数根；当Δ0=，方程有两个相等的实数根；当Δ0<，方程没有实数根． 13．（2023·江苏盐城·校考一模）已知关于x 的一元二次方程210x ax a −+−=． (1)求证：方程总有两个实数根；(2)若该方程有一实数根大于4，求a 的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2)5a >【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式进行求解即可；（2）利用因式分解法解方程求出方程两个根为1211x x a ==−，，再根据该方程有一实数根大于4进行求解即可．【详解】（1）解：∵知关于x 的一元二次方程为210x ax a −+−=，∴()()()222414420a a a a a ∆=−−−=−+=−≥，∴方程总有两个实数根；（2）解：∵210x ax a −+−=，∴()()110x x a −+−=，∴10x −=或10x a +−=， 解得1211x x a ==−，，∵该方程有一实数根大于4， ∴14a −>， ∴5a >．【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，解一元二次方程，灵活运用所学知识是解题的关键． 14．（2023秋·江苏南通·九年级统考期末）关于x 的一元二次方程2(23)10mx m x m ++++=有两个不等的实数根．(1)求m 的取值范围；(2)当m 取最小整数时，求x 的值． 【答案】(1)98m >−且0m ≠(2)10x =，21x =【分析】（1）由0∆>得到关于m 的不等式，解之得到m 的范围，根据一元二次方程的定义求得答案； （2）由（1）知1m =−，还原方程，利用因式分解法求解可得．【详解】（1）解：由题意得：2(23)4(1)0m m m +−+>， 解得：98m >−且0m ≠；（2）由（1）知，m 最小整数为1−，此时方程为：20x x −+=，解得：10x =，21x =．【点睛】本题主要考查一元二次方程的定义及根的判别式，解题的关键是熟练掌握方程的根的情况与判别式的值之间的关系．【答案】(1)28n m =−(2)见解析【分析】（1）根据根的判别式符号进行求解；（2）根据判别式以及一元二次方程的解法即可求出答案． 【详解】（1）由题意得：()242n m ∆=−⋅−28n m ∆=+方程有两个相等的实数根， 0∴∆=280n m ∴+= 28n m ∴=−（2）当2n m =−()228m m ∆=−+2Δ44m m =++()224420m m m ++=+≥∴方程始终有两个实数根【点睛】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的判别式．一、单选题1．（2023春·江苏南京·九年级南京市竹山中学校考阶段练习）一元二次方程2440x x +−=的根的情况是（ ） A ．有两个相等的实数根 B ．有两个不相等的实数根 C ．没有实数根 D ．无法确定【答案】B【分析】利用一元二次方程根的判别式求解即可． 【详解】解：由题意得，()24414320∆=−⨯⨯−=>，∴原方程有两个不相等的实数根， 故选B ．【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程()200ax bx c a ++=≠，若240b ac ∆=−>，则方程有两个不相等的实数根，若240b ac ∆=−=，则方程有两个相等的实数根，若24<0b ac ∆=−，则方程没有实数根．2．（2022秋·江苏宿迁·九年级校考阶段练习）关于x 的一元二次方程250x ax −−=的根的情况是（ ） A ．有两个不相等的实数根 B ．可能有实数根，也可能没有 C ．有两个相等的实数根 D ．没有实数根【答案】A【分析】利用一元二次方程根的判别式求解即可．【详解】解：∵关于x 的一元二次方程为250x ax −−=，∴()()22451200a a ∆=−−⨯−⨯=+>，∴关于x 的一元二次方程250x ax −−=有两个不相等的实数根，故答案为：A ．【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程()200ax bx c a ++=≠，若240b ac ∆=−>，则方程有两个不相等的实数根，若240b ac ∆=−=，则方程有两个相等的实数根，若24<0b ac ∆=−，则方程没有实数根．3．（2023春·江苏宿迁·九年级统考阶段练习）若关于x 的一元二次方程22(1)0x x k +−−=有实数根，则k 的取值范围是（ ） A ．0k > B ．0k ≥ C ．0k < D ．0k ≤【答案】B【分析】根据一元二次方程有实数根，可知240b ac −≥，求出解即可．【详解】∵一元二次方程22(1)0x x k +−−=有实数根，∴240b ac −≥，即224[(1)]0k −−−≥， 解得0k ≥． 故选：B ．【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，掌握24b ac −与一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根的关系是解题的关键．即当240b ac −＞时，一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个不相等的实数根；当240b ac −=时，一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个相等的实数根；当240b ac −＜时，一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠没有实数根．5．（2023春·江苏盐城·九年级校考阶段练习）关于x 的一元二次方程2210kx x −−=有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是( ) A ．1k >−B ．1k <C ．1k >−且0k ≠D ．1k <且0k ≠【答案】C【分析】根据一元二次方程的定义，以及一元二次方程根的判别式得出不等式组，解不等式组即可求解．【详解】解：∵关于x 的一元二次方程2210kx x −−=有两个不相等的实数根，∴0k ≠且0∆>，即2(2)4(1)0k −−⨯⨯−>， 解得1k >−且0k ≠． 故选：C ．【点睛】本题考查了一元二次方程20ax bx c ++= (0a a b c ≠，，，为常数)的根的判别式24b ac ∆=−，理解根的判别式对应的根的三种情况是解题的关键．当0∆>时，方程有两个不相等的实数根；当Δ0=时，方程有两个相等的实数根；当Δ0<时，方程没有实数根． 二、填空题5．（2023春·江苏泰州·九年级校联考阶段练习）请填写一个常数，使得关于x 的方程22+−x x __________0=有两个相等的实数根． 【答案】1【分析】设这个常数为a ，利用一元二次方程根的判别式得出a 的方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：设这个常数为a ， ∵要使原方程有两个相等的实数根， ∴()2=240a ∆−−=，∴1a =，∴满足题意的常数可以为1， 故答案为：1．【点睛】本题考查了根的判别式，一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的根与24b ac ∆=−有如下关系：当0∆>时，方程有两个不相等的实数根；当Δ0=时，方程有两个相等的实数根；当Δ0<时，方程无实数根．6．（2023春·江苏泰州·九年级靖江市靖城中学校考阶段练习）方程220x x m −+=没有实数根，则m 的取值范围是______． 【答案】1m >/1m <【分析】根据一元二次方程无实数根得到Δ0<，代入即可得出答案．【详解】方程220x x m −+=没有实数根，4410m ∴∆=−⨯⨯<， 1m ∴>，故答案为：1m >．【点睛】本题考查一元二次方程有无实数根，熟记判别式24b ac ∆=−是解题的关键．三、解答题7．（2022秋·江苏连云港·九年级校考阶段练习）已知关于x 的一元二次方程210x ax a ++−=． (1)若该方程的一个根为2−，求a 的值及该方程的另一根； (2)求证：无论a 取何实数，该方程都有实数根． 【答案】(1)3a =，该方程的另一根为1− (2)证明见解析【分析】（1）先根据一元二次方程解的定义把2x =−代入到210x ax a ++−=中求出a 的值，再利用因式分解法解方程即可；（2）根据一元二次方程根的判别式进行求解即可．【详解】（1）解：∵关于x 的一元二次方程210x ax a ++−=的一个根为2−，∴4210a a −+−=， ∴3a =，∴原方程即为2320x x ++=，∴()()120x x ++=，解得=1x −或2x =−， ∴方程的另一个根为1−；（2）解：∵关于x 的一元二次方程为210x ax a ++−=，∴()()222414420a a a a a ∆=−−=−+=−≥，∴无论a 取何实数，该方程都有实数根．【点睛】本题主要考查了一元二次方程解的定义，解一元二次方程，一元二次方程判别式，对于一元二次方程()200ax bx c a ++=≠，若240b ac ∆=−>，则方程有两个不相等的实数根，若240b ac ∆=−=，则方程有两个相等的实数根，若24<0b ac ∆=−，则方程没有实数根．8．（2023春·江苏盐城·九年级校考阶段练习）关于x 的一元二次方程2430mx x -+=有实数根． (1)求m 的取值范围；(2)若m 为正整数，求出此时方程的根． 【答案】(1)43m ≤且0m ≠(2)11x =，23x =【分析】（1）由二次项系数非零及根的判别式0∆≥，可得出关于m 的一元一次不等式组，解之即可得出m 的取值范围；（2）由（1）的结论，结合m 为正整数，可得出m 的值，再其代入原方程，解之即可得出结论．【详解】（1）解：∵关于x 的一元二次方程2430mx x -+=有实数根，∴()20Δ4430m m ≠⎧⎪⎨=−−⨯⨯≥⎪⎩， 解得：43m ≤且0m ≠，∴m 的取值范围为43m ≤且0m ≠；（2）∵43m ≤且0m ≠，且m 为正整数， ∴1m =，∴原方程为2430x x −+=，即()()310x x −−=， 解得：11x =，23x =．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式、一元二次方程的定义以及因式分解法解一元二次方程，解题的关键是：（1）利用二次项系数非零及根的判别式0∆≥，找出关于m 的一元一次不等式组；（2）代入m 的值，求出方程的解．9．（2022秋·江苏南京·九年级校考阶段练习）已知关于x 的方程()242440mx m x m +−+−=（m 为常数，且0m ≠）(1)求证：方程总有实数根； (2)若该方程有两个实数根；①不论m 取何实数，该方程总有一个不变的实数根为______； ②若m 为整数，且方程的两个实数根都是整数，求m 的值． 【答案】(1)证明见解析 (2)①2−；②1m =±或2m =±【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式求解即可；（2）①利用公式法求出方程的两个实数根即可得到答案；②根据①所求两实数根，结合m 为整数，且方程的两个实数根都是整数进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意得()()22=442444b ac m m m ∆−=−−−2216164161640m m m m =−+−+=>，∴方程总有实数根； （2）解：①∵关于x 的方程()242440mx m x m +−+−=有两个实数根，∴2422m x m −±==， ∴1224222242222m m m x x m m m −+−−−====−，，∴不论m 取何实数，该方程总有一个不变的实数根为2−， 故答案为：2−；②由①得，方程的两个实数根为12222mx x m −==−，，∵m 为整数，且方程的两个实数根都是整数， ∴2222m m m −=−为整数，∴1m =±或2m =±．【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，公式法解一元二次方程，熟知一元二次方程的相关知识是解题的关键．10．（2022秋·江苏南通·九年级校考阶段练习）已知关于x 的方程2(1)(3)20m x m x +−++=． (1)证明：不论m 为何值时，方程总有实数根； (2)m 为何整数时，方程有两个不相等的正整数根． 【答案】(1)证明见解析(2)0m =【分析】（1）求出方程根的判别式，利用配方法进行变形，根据平方的非负性证明即可；（2）利用一元二次方程求根公式求出方程的两个根，根据题意求出m 的值．【详解】（1）（1）证明：①1m =−时，该方程为一元一次方程220x −+=，有实数根1x =；②1m ≠−时，该方程为一元二次方程，2(3)8(1)m m ∆=+−+221m m =−+2(1)m =−，不论m 为何值时，2(1)0m −…， ∴0∆…， ∴方程总有实数根；综上，不论m 为何值时，方程总有实数根．（2）解：解方程得，(3)(1)2(1)m m x m +±−=+， 11x =，221x m =+，方程有两个不相等的正整数根，m 为整数，0m ∴=．【点睛】本题考查的是一元二次方程根的判别式和求根公式的应用，掌握一元二次方程根的情况与判别式△的关系：0∆>⇔方程有两个不相等的实数根；0∆=⇔方程有两个相等的实数根；0∆<⇔方程没有实数根是解题的关键．【答案】22212x x x −−或【分析】根据分式的混合运算法则化简后，再求出x 的值，代入求值即可．【详解】解：221222121x x x x x x x ⎛⎫÷ ⎪⎝⎭−−−−+++()()()()()22112221121x x x x x x x x x x x ⎡⎤=÷⎢⎥⎣⎦+−−−−++++()()()()21211112x x x x x x +=⨯++−−()2211x x x =−− 22221x x x =−−∵210x x −−=，∴21x x −=，∴原式()2221x x x −=−2211x =−⨯12x =−， 对于210x x −−=来说，1,1,1,a b c ==−=−∵()()22414115b ac −=−−⨯⨯−=，∴x =，∴12x x ==，∴当x =时，原式12x =−，当x =时，原式12x =−=．【点睛】此题考查了分式的化简求值，解一元二次方程等知识，熟练掌握运算法则是解题的关键． 12．（2022秋·江苏盐城·九年级校考阶段练习）解下列方程：2231x x +=【答案】x x ==12，【分析】先将原方程化为一元二次方程的一般形式，然后用公式法求解即可；【详解】解：原方程可化为：22310x x +−=a b c ===−231 ， ，()b ac −=−⨯⨯−=>2243421170x ∴==x x ==12，【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，掌握一元二次方程的基本解法是解题的关键． 13．（2022秋·江苏无锡·九年级校联考阶段练习）已知关于x 的方程220x mx m +−=−．(1)当该方程的一个根为1−时，求m 的值及该方程的另一根；(2)求证：不论m 取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．【答案】(1)1=2m ，方程的另一根为32(2)见解析【分析】（1）把1x =−代入原方程求得m 的值，进一步求得方程的另一个根即可；（2）计算出根的判别式，进一步利用配方法和非负数的性质证得结论即可．【详解】（1）解：把1x =−代入方程 220x mx m +−=−得 120m m ++−=∴1=2m ，把1=2m 代入到原方程得 213022x x −−=∴1x =−或3=2x 故答案为：1=2m ，方程的另一根为32；（2）证明：∵方程220x mx m +−=−，∴根的判别式()()()224224m m m ∆=−−−=−+∵()220m −≥∴()2240m ∆=−+> ∴不论m 取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式的性质，对于一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的根的判别式24b ac ∆=−：当0∆>，方程有两个不相等的实数根；当0∆=，方程有两个相等的实数根；当0∆<，方程没有实数根；熟练掌握一元二次方程根的判别式的性质是解本题的关键． 14．（2022秋·江苏常州·九年级校考阶段练习）用指定方法解下列一元二次方程：(1)2820x x −−=（配方法）(2)2320x x ++=（公式法）【答案】(1)14x =+24x =−(2)11x =−，22x =−【分析】（1）将常数项移至方程的右边，然后两边都加上一次项系数的一半的平方配方成完全平方后，再开方，即可得出结果；（2）利用公式法计算即可．【详解】（1）解：2820x x −−=移项，得：282x x −=，配方，得：2228424x x −+=+，即()2418x −=，由此可得：4x −=±14x =+24x =−（2）解：2320x x ++=1a =，3b =，2c =，224341210b ac ∆=−=−⨯⨯=>，方程有两个不等的实数根，3131212x −±−±===⨯，即11x =−，22x =−．【点睛】本题考查了解一元二次方程，解本题的关键在熟练掌握用配方法和公式法解一元二次方程．解一元二次方程的基本思路是：将二次方程转化为一次方程，即降次．。
一元二次方程求根公式及讲解
主讲：黄冈中学高级教师一、一周知识概述1、一元二次方程的求根公式将一元二次方程ax2＋bx＋c=0(a≠0)进行配方，当b2－4ac≥0时的根为．该式称为一元二次方程的求根公式，用求根公式解一元二次方程的方法称为求根公式法，简称公式法．说明：(1)一元二次方程的公式的推导过程，就是用配方法解一般形式的一元二次方程ax2＋bx＋c=0(a≠0)；(2)由求根公式可知，一元二次方程的根是由系数a、b、c的值决定的；(3)应用求根公式可解任何一个有解的一元二次方程，但应用时必须先将其化为一般形式.2、一元二次方程的根的判别式（1）当b2－4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；（2）当b2－4ac=0时，方程有两个相等的实数根；（3）当b2－4ac＜0时，方程没有实数根．二、重难点知识总结1、对于一元二次方程的各种解法是重点，难点是对各种方法的选择，突破这一难点的关键是在对四种方法都会使用的基础上，熟悉各种方法的优缺点。
(1) “开平方法”一般解形如“”类型的题目，如果用“公式法”就显得多余的了。
(2)“因式分解法”是一种常用的方法，一般是首先考虑的方法。
(3) “配方法”是一种非常重要的方法，一般不使用，但若能恰当地使用，往往能起到简化作用，思考于“因式分解法”之后，“公式法”之前。
如方程；用因式分解，则6391这个数太大，不易分解；用公式法，也太繁；若配方，则方程化为，就易解，若一次项系数中有偶因数，一般也应考虑运用。
(4)“公式法”是一般方法，只要明确了二次项系数、一次项系数及常数项，若方程有实根，就一定可以用求根公式求出根，但因为要代入(≥0)求值，所以对某些特殊方程，解法又显得复杂了。
2、在运用b2－4ac的符号判断方程的根的情况时，应注意以下三点：（1）b2－4ac是一元二次方程的判别式，即只有确认方程为一元二次方程时，才能确定a、b、c，求出b2－4ac；（2）在运用上述结论时，必须先将方程化为一般形式，以便确认a、b、c；（3）根的判别式是指b2－4ac，而不是三、典型例题讲解例1、解下列方程：(1)；(2)；(3).分析：用求根公式法解一元二次方程的关键是找出a、b、c的值，再代入公式计算，解：(1)因为a=1，，c=10所以所以(2)原方程可化为因为a=1，，c=2所以所以.(3)原方程可化为因为a=1，，c=－1所以所以；所以．总结：(1)用求根公式法解一元二次方程首先将方程化为一般形式；如果二次项系数为负数，通常将其化为正数；如果方程的系数含有分母，通常先将其化为整数，求出的根要化为最简形式；(2)用求根公式法解方程按步骤进行．例2、用适当方法解下列方程：① ②③ ④⑤ ⑥⑦分析：要合理地选用适当的方法解一元二次方程，就必须熟悉各种方法的优缺点，处理好特殊方法和一般方法的关系。
初中数学：《公式法解一元二次方程》练习(含答案)
初中数学：《公式法解一元二次方程》练习（含答案）一、选择题：1．一元二次方程x（x﹣2）=0根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．只有一个实数根D．没有实数根2．已知b＜0,关于x的一元二次方程（x﹣1）2=b的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根 D．有两个实数根3．已知关于x的一元二次方程（x+1）2﹣m=0有两个实数根,则m的取值范围是（）A．m≥﹣ B．m≥0 C．m≥1 D．m≥24．关于x的一元二次方程kx2﹣x+1=0有两个不相等的实数根,则k的取值范围是（）A．k＜B．k＞C．k＜且k≠0 D．k＞且k≠0二、填空题5．一元二次方程x2+x=3中,a=______,b=______,c=______,则方程的根是______．6．若x1,x2分别是x2﹣3x+2=0的两根,则x1+x2=______．7．已知三角形两边长是方程x2﹣5x+6=0的两个根,则三角形的第三边c的取值范围是______．8．已知关于x的一元二次方程（k+1）x2﹣2x﹣1=0有两个不相同的实数根,则k的取值范围是______．9．写出一个一元二次方程,使它有两个不相等的实数根______．10．一次二元方程x2+x+=0根的情况是______．11．若关于x的方程ax2+2（a+2）x+a=0有实数解,那么实数a的取值范围是______．12．已知代数式7x（x+5）与代数式﹣6x2﹣37x﹣9的值互为相反数,则x=______．13．已知一次函数y=﹣x+4与反比例函数在同一直角坐标系内的图象没有交点,则k的取值范围是______．14．对于实数a,b,定义运算“﹡”：a﹡b=．例如4﹡2,因为4＞2,所以4﹡2=42﹣4×2=8．若x1,x2是一元二次方程x2﹣5x+6=0的两个根,则x1﹡x2=______．三、解答题（共4小题,满分0分）15．用公式法解方程：①4x2﹣4x+1=0②x2﹣x﹣3=0．16．不解方程,判断下列方程的根的情况：①2x2+3x﹣4=0②3x2+2=2x③x2=x﹣1．17．已知关于x的方程mx2﹣（3m﹣1）x+2m﹣2=0,求证：无论m取任何实数时,方程恒有实数根．18．已知关于x的一元二次方程：x2﹣（2k+1）x+4（k﹣）=0．（1）求证：这个方程总有两个实数根；（2）若等腰△ABC的一边长a=4,另两边长b、c恰好是这个方程的两个实数根,求△ABC的周长．《公式法》参考答案与试题解析一、选择题：1．一元二次方程x（x﹣2）=0根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．只有一个实数根D．没有实数根【解答】解：原方程变形为：x2﹣2x=0,∵△=（﹣2）2﹣4×1×0=4＞0,∴原方程有两个不相等的实数根．故选A．2．已知b＜0,关于x的一元二次方程（x﹣1）2=b的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根 D．有两个实数根【解答】解：∵（x﹣1）2=b中b＜0,∴没有实数根,故选：C．3．已知关于x的一元二次方程（x+1）2﹣m=0有两个实数根,则m的取值范围是（）A．m≥﹣ B．m≥0 C．m≥1 D．m≥2【解答】解；（x+1）2﹣m=0,（x+1）2=m,∵一元二次方程（x+1）2﹣m=0有两个实数根,∴m≥0,故选：B．4．关于x的一元二次方程kx2﹣x+1=0有两个不相等的实数根,则k的取值范围是（）A．k＜B．k＞C．k＜且k≠0 D．k＞且k≠0 【解答】解：根据题意得k≠0且△=（﹣1）2﹣4k＞0,解得k＜且k≠0．故选C．二、填空题5．一元二次方程x2+x=3中,a= ,b= 1 ,c= ﹣3 ,则方程的根是x1=﹣1+,x2=﹣1﹣．【解答】解：移项得, x+x﹣3=0∴a=,b=1,c=﹣3∴b2﹣4ac=7∴x1=﹣1+,x2=﹣1﹣．6．若x1,x2分别是x2﹣3x+2=0的两根,则x1+x2= 3 ．【解答】解：根据题意得x1+x2=3．故答案为3．7．已知三角形两边长是方程x2﹣5x+6=0的两个根,则三角形的第三边c的取值范围是1＜c ＜5 ．【解答】解：∵三角形两边长是方程x2﹣5x+6=0的两个根,∴x1+x2=5,x1x2=6∵（x1﹣x2）2=（x1+x2）2﹣4x1x2=25﹣24=1∴x1﹣x2=1,又∵x1﹣x2＜c＜x1+x2,∴1＜c＜5．故答案为：1＜c＜5．8．已知关于x的一元二次方程（k+1）x2﹣2x﹣1=0有两个不相同的实数根,则k的取值范围是k＞﹣2且k≠﹣1 ．【解答】解：根据题意得k+1≠0且△=（﹣2）2﹣4（k+1）•（﹣1）＞0,解得k＞﹣2且k≠﹣1．故答案为k＞﹣2且k≠﹣1．9．写出一个一元二次方程,使它有两个不相等的实数根x2+x﹣1=0 ．【解答】解：比如a=1,b=1,c=﹣1,∴△=b2﹣4ac=1+4=5＞0,∴方程为x2+x﹣1=0．10．一次二元方程x2+x+=0根的情况是方程有两个相等的实数根．【解答】解：∵△=12﹣4×=0,∴方程有两个相等的实数根故答案为方程有两个相等的实数根．11．若关于x的方程ax2+2（a+2）x+a=0有实数解,那么实数a的取值范围是a≥﹣1 ．【解答】解：当a=0时,方程是一元一次方程,有实数根,当a≠0时,方程是一元二次方程,若关于x的方程ax2+2（a+2）x+a=0有实数解,则△=[2（a+2）]2﹣4a•a≥0,解得：a≥﹣1．故答案为：a≥﹣1．12．已知代数式7x（x+5）与代数式﹣6x2﹣37x﹣9的值互为相反数,则x= 1±．【解答】解：根据题意得：7x（x+5）﹣6x2﹣37x﹣9=0,这里的：x2﹣2x﹣9=0,这里a=1,b=﹣2,c=﹣9,∵△=4+36=40,故答案为：1±13．已知一次函数y=﹣x+4与反比例函数在同一直角坐标系内的图象没有交点,则k的取值范围是k＞4 ．【解答】解：依题意可得x2﹣4x+k=0无解,也就是这个一元二次方程无实数根,那么根据根的判别式△=b2﹣4ac=16﹣4k,没有实数根,那么16﹣4k＜0,解此不等式可得k＞4．故答案为：k＞4．14．对于实数a,b,定义运算“﹡”：a﹡b=．例如4﹡2,因为4＞2,所以4﹡2=42﹣4×2=8．若x1,x2是一元二次方程x2﹣5x+6=0的两个根,则x1﹡x2= 3或﹣3 ．【解答】解：∵x1,x2是一元二次方程x2﹣5x+6=0的两个根,∴（x﹣3）（x﹣2）=0, 解得：x=3或2,①当x1=3,x2=2时,x1﹡x2=32﹣3×2=3；②当x1=2,x2=3时,x1﹡x2=3×2﹣32=﹣3．故答案为：3或﹣3．三、解答题（共4小题,满分0分）15．用公式法解方程：①4x2﹣4x+1=0②x2﹣x﹣3=0．【解答】解：（1）这里a=4,b=﹣4,c=1, ∵△=32﹣16=16,（2）这里a=1,b=﹣,c=﹣3,∵△=2+12=14,∴x=．16．不解方程,判断下列方程的根的情况：①2x2+3x﹣4=0②3x2+2=2x③x2=x﹣1．【解答】解：①△=32﹣4×2×（﹣4）=41＞0,所以方程两个不相等的实数根；②方程化为一般式为3x2﹣2x+2=0,△=（﹣2）2﹣4×3×2=0,所以方程有两个相等的实数根；③方程化为一般式为x2﹣x+1=0,△=（﹣）2﹣4××1＜0,所以方程无实数根．17．已知关于x的方程mx2﹣（3m﹣1）x+2m﹣2=0,求证：无论m取任何实数时,方程恒有实数根．【解答】证明：当m=0时,原方程为x﹣2=0,解得x=2；当m≠0时,△=（3m﹣1）2﹣4m（2m﹣2）=（m+1）2≥0,所以方程有两个实数根,所以无论m为何值原方程有实数根．18．已知关于x的一元二次方程：x2﹣（2k+1）x+4（k﹣）=0．（1）求证：这个方程总有两个实数根；（2）若等腰△ABC的一边长a=4,另两边长b、c恰好是这个方程的两个实数根,求△ABC的周长．【解答】（1）证明：△=（2k+1）2﹣4×1×4（k﹣）=4k2﹣12k+9=（2k﹣3）2,∵无论k取什么实数值,（2k﹣3）2≥0, ∴△≥0,∴无论k取什么实数值,方程总有实数根；（2）解：∵x=,∴x1=2k﹣1,x2=2,∵b,c恰好是这个方程的两个实数根,设b=2k﹣1,c=2,当a、b为腰,则a=b=4,即2k﹣1=4,解得k=,此时三角形的周长=4+4+2=10；当b、c为腰时,b=c=2,此时b+c=a,故此种情况不存在．综上所述,△ABC的周长为10．。
初中数学：《公式法解一元二次方程》练习(含答案)
初中数学：《公式法解一元二次方程》练习（含答案）一、选择题：1．一元二次方程x（x﹣2）=0根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．只有一个实数根D．没有实数根2．已知b＜0，关于x的一元二次方程（x﹣1）2=b的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根 D．有两个实数根3．已知关于x的一元二次方程（x+1）2﹣m=0有两个实数根，则m的取值范围是（）A．m≥﹣ B．m≥0 C．m≥1 D．m≥24．关于x的一元二次方程kx2﹣x+1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）A．k＜B．k＞C．k＜且k≠0 D．k＞且k≠0二、填空题5．一元二次方程x2+x=3中，a=______，b=______，c=______，则方程的根是______．6．若x1，x2分别是x2﹣3x+2=0的两根，则x1+x2=______．7．已知三角形两边长是方程x2﹣5x+6=0的两个根，则三角形的第三边c的取值范围是______．8．已知关于x的一元二次方程（k+1）x2﹣2x﹣1=0有两个不相同的实数根，则k的取值范围是______．9．写出一个一元二次方程，使它有两个不相等的实数根______．10．一次二元方程x2+x+=0根的情况是______．11．若关于x的方程ax2+2（a+2）x+a=0有实数解，那么实数a的取值范围是______．12．已知代数式7x（x+5）与代数式﹣6x2﹣37x﹣9的值互为相反数，则x=______．13．已知一次函数y=﹣x+4与反比例函数在同一直角坐标系内的图象没有交点，则k的取值范围是______．14．对于实数a，b，定义运算“﹡”：a﹡b=．例如4﹡2，因为4＞2，所以4﹡2=42﹣4×2=8．若x1，x2是一元二次方程x2﹣5x+6=0的两个根，则x1﹡x2=______．三、解答题（共4小题，满分0分）15．用公式法解方程：①4x2﹣4x+1=0②x2﹣x﹣3=0．16．不解方程，判断下列方程的根的情况：①2x2+3x﹣4=0②3x2+2=2x③x2=x﹣1．17．已知关于x的方程mx2﹣（3m﹣1）x+2m﹣2=0，求证：无论m取任何实数时，方程恒有实数根．18．已知关于x的一元二次方程：x2﹣（2k+1）x+4（k﹣）=0．（1）求证：这个方程总有两个实数根；（2）若等腰△ABC的一边长a=4，另两边长b、c恰好是这个方程的两个实数根，求△ABC的周长．《公式法》参考答案与试题解析一、选择题：1．一元二次方程x（x﹣2）=0根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．只有一个实数根D．没有实数根【解答】解：原方程变形为：x2﹣2x=0，∵△=（﹣2）2﹣4×1×0=4＞0，∴原方程有两个不相等的实数根．故选A．2．已知b＜0，关于x的一元二次方程（x﹣1）2=b的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根 D．有两个实数根【解答】解：∵（x﹣1）2=b中b＜0，∴没有实数根，故选：C．3．已知关于x的一元二次方程（x+1）2﹣m=0有两个实数根，则m的取值范围是（）A．m≥﹣ B．m≥0 C．m≥1 D．m≥2【解答】解；（x+1）2﹣m=0，（x+1）2=m，∵一元二次方程（x+1）2﹣m=0有两个实数根，∴m≥0，故选：B．4．关于x的一元二次方程kx2﹣x+1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）A．k＜B．k＞C．k＜且k≠0 D．k＞且k≠0【解答】解：根据题意得k≠0且△=（﹣1）2﹣4k＞0，解得k＜且k≠0．故选C．二、填空题5．一元二次方程x2+x=3中，a= ，b= 1 ，c= ﹣3 ，则方程的根是x1=﹣1+，x2=﹣1﹣．【解答】解：移项得，x+x﹣3=0∴a=，b=1，c=﹣3∴b2﹣4ac=7∴x1=﹣1+，x2=﹣1﹣．6．若x1，x2分别是x2﹣3x+2=0的两根，则x1+x2= 3 ．【解答】解：根据题意得x1+x2=3．故答案为3．7．已知三角形两边长是方程x2﹣5x+6=0的两个根，则三角形的第三边c的取值范围是1＜c ＜5 ．【解答】解：∵三角形两边长是方程x2﹣5x+6=0的两个根，∴x1+x2=5，x1x2=6∵（x1﹣x2）2=（x1+x2）2﹣4x1x2=25﹣24=1∴x1﹣x2=1，又∵x1﹣x2＜c＜x1+x2，∴1＜c＜5．故答案为：1＜c＜5．8．已知关于x的一元二次方程（k+1）x2﹣2x﹣1=0有两个不相同的实数根，则k的取值范围是k＞﹣2且k≠﹣1 ．【解答】解：根据题意得k+1≠0且△=（﹣2）2﹣4（k+1）•（﹣1）＞0，解得k＞﹣2且k≠﹣1．故答案为k＞﹣2且k≠﹣1．9．写出一个一元二次方程，使它有两个不相等的实数根x2+x﹣1=0 ．【解答】解：比如a=1，b=1，c=﹣1，∴△=b2﹣4ac=1+4=5＞0，∴方程为x2+x﹣1=0．10．一次二元方程x2+x+=0根的情况是方程有两个相等的实数根．【解答】解：∵△=12﹣4×=0，∴方程有两个相等的实数根故答案为方程有两个相等的实数根．11．若关于x的方程ax2+2（a+2）x+a=0有实数解，那么实数a的取值范围是a≥﹣1 ．【解答】解：当a=0时，方程是一元一次方程，有实数根，当a≠0时，方程是一元二次方程，若关于x的方程ax2+2（a+2）x+a=0有实数解，则△=[2（a+2）]2﹣4a•a≥0，解得：a≥﹣1．故答案为：a≥﹣1．12．已知代数式7x（x+5）与代数式﹣6x2﹣37x﹣9的值互为相反数，则x= 1±．【解答】解：根据题意得：7x（x+5）﹣6x2﹣37x﹣9=0，这里的：x2﹣2x﹣9=0，这里a=1，b=﹣2，c=﹣9，∵△=4+36=40，故答案为：1±13．已知一次函数y=﹣x+4与反比例函数在同一直角坐标系内的图象没有交点，则k的取值范围是k＞4 ．【解答】解：依题意可得x2﹣4x+k=0无解，也就是这个一元二次方程无实数根，那么根据根的判别式△=b2﹣4ac=16﹣4k，没有实数根，那么16﹣4k＜0，解此不等式可得k＞4．故答案为：k＞4．14．对于实数a，b，定义运算“﹡”：a﹡b=．例如4﹡2，因为4＞2，所以4﹡2=42﹣4×2=8．若x1，x2是一元二次方程x2﹣5x+6=0的两个根，则x1﹡x2= 3或﹣3 ．【解答】解：∵x1，x2是一元二次方程x2﹣5x+6=0的两个根，∴（x﹣3）（x﹣2）=0，解得：x=3或2，①当x1=3，x2=2时，x1﹡x2=32﹣3×2=3；②当x1=2，x2=3时，x1﹡x2=3×2﹣32=﹣3．故答案为：3或﹣3．三、解答题（共4小题，满分0分）15．用公式法解方程：①4x2﹣4x+1=0②x2﹣x﹣3=0．【解答】解：（1）这里a=4，b=﹣4，c=1，∵△=32﹣16=16，（2）这里a=1，b=﹣，c=﹣3，∵△=2+12=14，∴x=．16．不解方程，判断下列方程的根的情况：①2x2+3x﹣4=0②3x2+2=2x③x2=x﹣1．【解答】解：①△=32﹣4×2×（﹣4）=41＞0，所以方程两个不相等的实数根；②方程化为一般式为3x2﹣2x+2=0，△=（﹣2）2﹣4×3×2=0，所以方程有两个相等的实数根；③方程化为一般式为x2﹣x+1=0，△=（﹣）2﹣4××1＜0，所以方程无实数根．17．已知关于x的方程mx2﹣（3m﹣1）x+2m﹣2=0，求证：无论m取任何实数时，方程恒有实数根．【解答】证明：当m=0时，原方程为x﹣2=0，解得x=2；当m≠0时，△=（3m﹣1）2﹣4m（2m﹣2）=（m+1）2≥0，所以方程有两个实数根，所以无论m为何值原方程有实数根．18．已知关于x的一元二次方程：x2﹣（2k+1）x+4（k﹣）=0．（1）求证：这个方程总有两个实数根；（2）若等腰△ABC的一边长a=4，另两边长b、c恰好是这个方程的两个实数根，求△ABC的周长．【解答】（1）证明：△=（2k+1）2﹣4×1×4（k﹣）=4k2﹣12k+9=（2k﹣3）2，∵无论k取什么实数值，（2k﹣3）2≥0，∴△≥0，∴无论k取什么实数值，方程总有实数根；（2）解：∵x=，∴x1=2k﹣1，x2=2，∵b，c恰好是这个方程的两个实数根，设b=2k﹣1，c=2，当a、b为腰，则a=b=4，即2k﹣1=4，解得k=，此时三角形的周长=4+4+2=10；当b、c为腰时，b=c=2，此时b+c=a，故此种情况不存在．综上所述，△ABC的周长为10．。
一元二次方程公式法详细讲解
一元二次方程公式法详细讲解好嘞，以下是为您带来的一元二次方程公式法的详细讲解：咱先来说说啥是一元二次方程。
就比如这个式子：ax² + bx + c = 0 （a ≠ 0），这就是一元二次方程。
那为啥要研究它的解法呢？这就好比你在玩游戏，得知道规则才能通关，解一元二次方程就是我们在数学这个大游戏里的通关秘籍。
咱们今天的主角——公式法，那可是个厉害的角色！这个公式就是：x = [-b ± √(b² - 4ac)] / （2a）。
可别被这一长串式子吓到，咱们慢慢拆解。
先来说说这个“b² - 4ac”，它有个响亮的名字叫判别式，记为Δ 。
要是Δ 大于 0 ，那方程就有两个不相等的实数根；要是Δ 等于 0 ，就有两个相等的实数根；要是Δ 小于0 ，方程就没有实数根，只有虚数根。
这判别式就像个裁判，决定着方程根的情况。
我记得有一次给学生讲这个的时候，有个学生特别迷糊，就问我：“老师，这判别式到底有啥用啊？”我就跟他打了个比方：“这判别式就像是你去果园摘果子，Δ 大于 0 就表示果子又大又多，能摘两个不一样的；Δ 等于 0 呢，就只有一个特别大的果子等着你；Δ 小于 0 ，那就是果园里没果子，白跑一趟。
”这学生一听，恍然大悟，笑得可开心了。
那咱们再来说说怎么用这个公式解题。
比如说有个方程：x² + 2x - 3 = 0 ，这里 a = 1，b = 2，c = -3 ，先算Δ = 2² - 4×1×(-3) = 16 ，因为 16大于 0 ，所以方程有两个不相等的实数根。
再把数字代入公式，x = [-2 ± √16] / （2×1），算出来 x₁ = 1，x₂ = -3 。
再举个例子，3x² - 6x + 3 = 0 ，这里 a = 3，b = -6，c = 3 ，Δ = (-6)²- 4×3×3 = 0 ，所以方程有两个相等的实数根，x = [-(-6) ± √0] / （2×3），算出来 x₁ = x₂ = 1 。
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公式法解一元二次方程及答案详细解析TTA standardization office【TTA 5AB- TTAK 08- TTA 2C】21.2.2公式法一．选择题（共5小题）1．用公式法解一元二次方程x2﹣5x=6，解是（）A．x1=3，x2=2 B．x1=﹣6，x2=﹣1 C．x1=6，x2=﹣1 D．x1=﹣3，x2=﹣2 2．用公式法求一元二次方程的根时，首先要确定a、b、c的值．对于方程﹣4x2+3=5x，下列叙述正确的是（）A．a=﹣4，b=5，c=3 B．a=﹣4，b=﹣5，c=3C．a=4，b=5，c=3 D．a=4，b=﹣5，c=﹣33．（2011春?招远市期中）一元二次方程x2+c=0实数解的条件是（）A．c≤0B．c＜0 C．c＞0 D．c≥04．（2012秋?建平县期中）若x=1是一元二次方程x2+x+c=0的一个解，则c2+c=（）A．1 B．2 C．3 D．45．（2013?下城区二模）一元二次方程x（x﹣2）=2﹣x的解是（）A．﹣1 B．2 C．﹣1或2 D．0或2二．填空题（共3小题）6．（2013秋?兴庆区校级期中）用公式法解一元二次方程﹣x2+3x=1时，应求出a，b，c的值，则：a=；b=；c=．7．用公式法解一元二次方程x2﹣3x﹣1=0时，先找出对应的a、b、c，可求得△，此方程式的根为．8．已知关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣m=0，用配方法解此方程，配方后的方程是．三．解答题（共12小题）9．（2010秋?泉州校级月考）某液晶显示屏的对角线长30cm，其长与宽之比为4：3，列出一元二次方程，求该液晶显示屏的面积．10．（2009秋?五莲县期中）已知一元二次方程x2+mx+3=0的一根是1，求该方程的另一根与m的值．11．x2a+b﹣2x a+b+3=0是关于x的一元二次方程，求a与b的值．12．（2012?西城区模拟）用公式法解一元二次方程：x2﹣4x+2=0．13．（2013秋?海淀区期中）用公式法解一元二次方程：x2+4x=1．14．（2011秋?江门期中）用公式法解一元二次方程：5x2﹣3x=x+1．15．（2014秋?藁城市校级月考）（1）用公式法解方程：x2﹣6x+1=0；（2）用配方法解一元二次方程：x2+1=3x．16．（2013秋?大理市校级月考）解一元二次方程：（1）4x2﹣1=12x（用配方法解）；（2）2x2﹣2=3x（用公式法解）．17．（2013?自贡）用配方法解关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0．18．（2014?泗县校级模拟）用配方法推导一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式．19．（2011秋?南开区校级月考）（1）用公式法解方程：2x2+x=5（2）解关于x的一元二次方程：．20．（2011?西城区二模）已知：关于x的一元二次方程x2+4x+2k=0有两个不相等的实数根．（1）求k的取值范围；（2）当k取最大整数值时，用公式法求该方程的解．21．公式法答案一．选择题（共5小题）1．C考点：解一元二次方程-公式法．专题：计算题．分析：运用公式法，首先确定a，b，c的值，然后判断方程是否有解，如有解代入公式即可求解．解答：解：∵x2﹣5x=6∴x2﹣5x﹣6=0∵a=1，b=﹣5，c=﹣6∴b2﹣4ac=（﹣5）2﹣4×1×（﹣6）=49 ∴x=∴x1=6，x2=﹣1．故选C．点评：解一元二次方程时要注意解题方法的选择，配方法和求根公式法适用于任何一元二次方程，不过麻烦．还要注意题目有无解题要求，要按要求解题．2．B考点：解一元二次方程-公式法．专题：计算题．分析：用公式法求一元二次方程时，首先要把方程化为一般形式．解答：解：∵﹣4x2+3=5x∴﹣4x2﹣5x+3=0，或4x2+5x﹣3=0∴a=﹣4，b=﹣5，c=3或a=4，b=5，c=﹣3．故选B．点评：此题考查了公式法解一元二次方程的应用条件，首先要把方程化为一般形式．3．A考点：根的判别式．专题：计算题．分析：由一元二次方程有实数根，得到根的判别式大于等于0，列出关于c的不等式，求出不等式的解集即可得到c的范围．解答：解：∵一元二次方程x2+c=0有实数解，∴△=b2﹣4ac=﹣4c≥0，解得：c≤0．故选A点评：此题考查了一元二次方程根的判别式，根的判别式的值大于0，方程有两个不相等的实数根；根的判别式等于0，方程有两个相等的实数根；根的判别式小于0，方程没有实数根．4．B考点：一元二次方程的解．分析：根据方程的解的定义，把x=1代入已知方程可以求得c的值，然后把c的值代入所求的代数式进行求值．解答：解：依题意，得12+1+c=0，解得，c=﹣2，则c2+c=（﹣2）2﹣2=2．故选：B．点评：本题考查了一元二次方程的解的定义．能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．5．C考点：解一元二次方程-因式分解法．专题：计算题．分析：先移项得到x（x﹣2）+x﹣2=0，再把方程左边方程得到（x﹣2）（x+1）=0，元方程转化为x﹣2=0或x+1=0，然后解一次方程即可．解答：解：∵x（x﹣2）+x﹣2=0，∴（x﹣2）（x+1）=0，∴x﹣2=0或x+1=0，∴x1=2，x2=﹣1．故选C．点评：本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：先把方程右边变形为0，然后把方程左边进行因式分解，这样把一元二次方程转化为两个一元一次方程，再解一次方程可得到一元二次方程的解．二．填空题（共3小题）6． a=﹣1；b=3；c=﹣1．考点：解一元二次方程-公式法．分析：先移项，找出各项系数即可．解答：解：﹣x2+3x=1，﹣x2+3x﹣1=0，a=﹣1，b=3，c=﹣1，故答案为：﹣1，3，﹣1．点评：本题考查了解一元二次方程，一元二次方程的一般形式的应用，注意：项的系数带着前面的符号．7．△=13，x1=，x2=．考点：解一元二次方程-公式法．分析：找出方程中二次项系数a，一次项系数b及常数项c，计算出根的判别式的值为13大于0，将a，b及c的值代入求根公式即可求出原方程的解．解答：解：∵a=1，b=﹣3，c=﹣1，∴△=b2﹣4ac=（﹣3）2﹣4×1×（﹣1）=13，∴x=，∴原方程的解为x1=，x2=．故答案为：13，x1=，x2=．点评：此题考查了利用公式法求一元二次方程的解，利用公式法解一元二次方程时，首先将方程化为一般形式，找出二次项系数，一次项系数及常数项，计算出根的判别式，当根的判别式大于等于0时，将a，b及c的值代入求根公式即可求出原方程的解．8．（x﹣1）2=m+1．考点：解一元二次方程-配方法．分析：把常数项﹣m移项后，应该在左右两边同时加上一次项系数﹣2的一半的平方．解答：解：把方程x2﹣2x﹣m=0的常数项移到等号的右边，得到x2﹣2x=m，方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得到x2﹣2x+1=m+1，配方得（x﹣1）2=m+1．故答案为（x﹣1）2=m+1．点评：本题考查了配方法解一元二次方程．配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．三．解答题（共12小题）9．考点：一元二次方程的应用．专题：几何图形问题．分析：由长与宽之比为4：3，可设长为4x，则宽为3x，根据勾股定理可得：（4x）2+（3x）2=302；得出x后，即可求出显示屏的面积．解答：解：由题意可设长为4x，则宽为3x，根据三角形性质，得：（4x）2+（3x）2=302解得：x=6，x=﹣6（舍去）所以长为24cm，宽为18cm该液晶显示屏的面积为24×18=432cm2．即该液晶显示屏的面积为432cm2．点评：本题主要考查一元二次方程的应用，根据三角形性质，列出方程即可．面积=长×宽．10．．考点：一元二次方程的解；根与系数的关系．专题：计算题．分析：一元二次方程的根就是能够使方程左右两边相等的未知数的值，即用这个数代替未知数所得式子仍然成立；亦可利用根与系数的关系去做．解答：（解法一）解：当x=1时，代入原方程得：12+m+3=0，解得m=﹣4；当m=﹣4时，原方程可化为：x2﹣4x+3=0，上式可化简为（x﹣1）（x﹣3）=0，∴方程的另一个根为x=3．（解法二）解：假设方程的另一个根为x0，∵x=1由根与系数关系可知：x0×1=3，∴x0=3；又由根与系数关系可知：x0+1=﹣m，即3+1=﹣m；∴m=﹣4．点评：此题解法灵活，选择自己喜欢的一种解法即可．11．考点：一元二次方程的定义．分析：本题根据一元二次方程的定义求解．分5种情况分别求解即可．解解：∵x2a+b﹣2x a+b+3=0是关于x的一元二次方程，答：∴①，解得；②，解得；③，解得；④，解得；⑤，解得．综上所述，，，，．点评：本题主要考查了一元二次方程的概念．解题的关键是分5种情况讨论x的指数．12．考点：解一元二次方程-公式法．专题：计算题．分析：找出方程中二次项系数a，一次项系数b及常数项c，计算出根的判别式的值为8大于0，将a，b及c的值代入求根公式即可求出原方程的解．解答：解：∵a=1，b=﹣4，c=2，…（1分）∴△=b2﹣4ac=（﹣4）2﹣4×1×2=8，…（3分）∴x==2±，…（4分）∴原方程的解为x 1=2+，x2=2﹣．…（6分）点评：此题考查了利用公式法求一元二次方程的解，利用公式法解一元二次方程时，首先将方程化为一般形式，找出二次项系数，一次项系数及常数项，计算出根的判别式，当根的判别式大于等于0时，将a，b及c的值代入求根公式即可求出原方程的解．13．考点：解一元二次方程-公式法．分析：移项后求出b2﹣4ac的值，再代入公式求出即可．解答：解：原方程可化为x2+4x﹣1=0，a=1，b=4，c=﹣1，b2﹣4ac=42﹣4×1×（﹣1）=20＞0，x=，x1=﹣2+，x2=﹣2﹣．点评：本题考查了解一元二次方程的应用，主要考查学生的计算能力．14．考点：解一元二次方程-公式法．专题：计算题．分析：将方程整理为一般形式，找出a，b及c的值，计算出根的判别式的值大于0，代入求根公式即可求出解．解答：解：方程化简为：5x2﹣4x﹣1=0，这里a=5，b=﹣4，c=﹣1，∵△=b2﹣4ac=（﹣4）2﹣4×5×（﹣1）=36＞0，∴x==，∴x1=1，x2=﹣．点评：此题考查了解一元二次方程﹣公式法，利用此方法解方程时，首先将方程整理为一般形式，找出a，b及c的值，当根的判别式的值大于等于0时，代入求根公式即可求出解．15．考点：解一元二次方程-公式法；解一元二次方程-配方法．分析：（1）利用求根公式x=解方程；（2）将常数项移到等式的右边，含有未知数的项移到等式的左边，然后在等式的两边同时加上一次项系数一半的平方，构成完全平方公式形式；最后直接开平方即可．解答：解：（1）∵方程x2﹣6x+1=0的二次项系数a=1，一次项系数b=﹣6，常数项c=1，∴x===3±2，∴x 1=3+2，x2=3﹣2；（2）由原方程，得x2﹣3x=﹣1，等式的两边同时加上一次项系数一半的平方，得x2﹣3x+=﹣1+，∴（x﹣）2=，∴x=±，∴x1=，x2=．点评：本题考查了解一元二次方程﹣﹣公式法、配方法．利用公式法解方程时，需熟记求根公式．16考点：解一元二次方程-公式法；解一元二次方程-配方法．分析：（1）根据配方法的步骤先把常数项移到等号的右边，一次项移到等号的右边，再在两边同时加上一次项系数的一半，配成完全平方的形式，然后开方即可；（2）首先找出公式中的a，b，c的值，再代入求根公式x=求解即可．解答：解：（1）4x2﹣1=12x，4x2﹣12x=1，x2﹣3x=，x2﹣3x+=+，（x﹣）2=，x﹣=±，x1=+=，x2=﹣=；（2）2x2﹣2=3x，2x2﹣3x﹣2=0，∵a=2，b=﹣3，c=﹣2，∴x===，x1=2，x2=﹣．点评：此题考查了配方法和公式法解一元二次方程，关键是熟练掌握配方法的步骤和公式法的步骤，公式法解题时要注意将方程化为一般形式，确定a，b，c的值，然后检验方程是否有解，若有解，代入公式即可求解．17．考点：解一元二次方程-配方法．分析：此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用，把左边配成完全平方式，右边化为常数．解答：解：∵关于x的方程ax2+bx+c=0是一元二次方程，∴a≠0．∴由原方程，得x2+x=﹣，等式的两边都加上，得x2+x+=﹣+，配方，得（x+）2=﹣，当b2﹣4ac＞0时，开方，得：x+=±，解得x1=，x2=，当b2﹣4ac=0时，解得：x1=x2=﹣；当b2﹣4ac＜0时，原方程无实数根．点评：本题考查了配方法解一元二次方程．用配方法解一元二次方程的步骤：（1）形如x2+px+q=0型：第一步移项，把常数项移到右边；第二步配方，左右两边加上一次项系数一半的平方；第三步左边写成完全平方式；第四步，直接开方即可．（2）形如ax2+bx+c=0型，方程两边同时除以二次项系数，即化成x2+px+q=0，然后配方．18．考点：解一元二次方程-公式法；配方法的应用．专题：计算题．分析：由a不为0，在方程左右两边同时除以a，并将常数项移到方程右边，方程左右两边都加上一次项系数一半的平方，左边化为完全平方式，右边通分并利用同分母分式的减法法则计算，当b2﹣4ac≥0时，开方即可推导出求根公式．解答：解：ax2+bx+c=0（a≠0），方程左右两边同时除以a得：x2+x+=0，移项得：x2+x=﹣，配方得：x2+x+=﹣=，即（x+）2=，当b2﹣4ac≥0时，x+=±=±，∴x=．点评：此题考查了一元二次方程的求根公式，以及配方法的应用，学生在开方时注意b2﹣4ac≥0这个条件的运用．19．考点：解一元二次方程-因式分解法；解一元二次方程-公式法．分析：（1）先把方程化为一般形式：2x2+x﹣5=0，则a=2，b=1，c=﹣5，△=12﹣4×2×（﹣5）=41，再代入求根公式计算即可；（2）先把方程化为一般形式：x2﹣4bx﹣（a+2b）（a﹣2b）=0，再利用因式分解法求解即可．解答：解：（1）方程化为一般形式为：2x2+x﹣5=0，∴a=2，b=1，c=﹣5，∴△=12﹣4×2×（﹣5）=41＞0，∴x=，∴x1=，x2=；（2）方程化为一般形式：x2﹣4bx﹣（a+2b）（a﹣2b）=0，左边分解因式，得[x﹣（a+2b）][x+（a﹣2b）]=0，∴x1=a+2b，x2=﹣a+2b．点评：本题考查的是解一元二次方程，根据题目的要求和结构特点，选择适当的方法解方程．20．考点：根的判别式；解一元二次方程-公式法．分析：（1）根据一元二次方程x2+4x+2k=0有两个不相等的实数根，得出△＞0，即可得出k的取值范围；（2）根据k的取值范围，得出符合条件的最大整数k=1，代入方程求出即可．解答：解：（1）∵关于x的一元二次方程x2+4x+2k=0有两个不相等的实数根，∴△=16﹣4×2k＞0．解得k＜2．（2）∵k＜2，∴符合条件的最大整数k=1，此时方程为x2+4x+2=0．∴a=1，b=4，c=2．∴b2﹣4ac=42﹣4×1×2=8．代入求根公式，得．∴．点评：此题主要考查了一元二次方程根的判别式以及一元二次方程的解法，此题比较典型同学们应熟练掌握．。