第十二章结构动力学6-1复习提纲
高二年级《结构与设计》复习提纲
高二年级《结构与设计》复习提纲单元结构与设计一、常见的结构的认识：结构结构与力从力学角度说，结构是指可承受一定力的架构形态，它可以抵抗能引起形态和大小改变的力。
内力：当一个结构受到外力作用时，内部各质点之间的相互作用会发生改变，产生一种抵抗的力，应力：是构件的单位横截面上所产生的内力。
应力达到一定极限值时，结构就会遭到破坏。
用公式表示应力为：σ=F/s，其中，F是内力，S是受力面积，σ是应力。
构件的基本受力形式：拉力、压力、剪切力、扭转力和弯曲力。
结构的类型实体结构——受力特点：外力分布在整个体积中。
框架结构——受力特点：支撑空间而不充满空间。
通常是指结构体本身由细长的构件组成，如窗户、画框、房子的架构等等。
壳体结构——受力特点：外力作用在结构体的表面上。
如贝壳、头盔、汽车飞机的外壳等等生活中很多物体的结构是由两种或两种以上的基本结构类型组合而成，称为组合结构二、稳固结构的探析：结构与稳定性结构的稳定性——结构在负载的作用下维持其原有平衡状态的能力。
结构的强度——结构具有的抵抗被外力破坏的能力。
影响结构稳定性的主要因素：重心位置的高低、结构与地面接触所形成的支撑面的大小、结构的形状)重心位置的高低：重心越低,稳定性越好；重心越高,稳定性越差。
结构重心所在点的垂线是否落在结构底面的范围内，落在就是稳定的，没有就是不稳定的。
)结构的底座，结构与地面接触所形成的支撑面的大小。
支撑面越大越稳定，越小越不稳定。
如：高塔的共同特点都是上端小而下端大。
)结构的形状：结构的形状不同，其稳定性也不同。
影响结构稳定性的因素是相互关联的，需要综合考虑各种因素来讨论结构的稳定性。
对于一个结构而言，如果重心所在点的垂线落在结构底面的范围内，就是稳定的，不会出现倾倒。
结构与强度-结构的强度——结构具有的抵抗被外力破坏的能力。
影响结构强度的主要因素：结构的形状、使用的材料、构件之间的连接方式等。
①结构的形状：三角形是框架结构中最基本的形状之一,它结实、稳定，所用材料最少。
结构动力学
第2章 单自由度系统
§2.4 简谐荷载的强迫振动
2.4.1 无阻尼系统
1、运动方程
mx kx F0 sin t
2、解的形式
x x x
设：
x A sin t
(m 2 k ) A F0
第2章 单自由度系统
解得：
A
A
(m 2 k )
F0 k xst (1 2 2 ) (1 2 )
已知
结构
荷载
响应
荷载
已知或未知
结构
已知
第1章 绪论
§1.2 研究对象
1、结构——弹性恢复力 fk(x) 2、外力——时变特性 fp(t)
§1.3 研究内容
1、结构动力特性——固有频率、振型、阻尼 2、结构响应——位移、速度、加速度
第1章 绪论
§1.4 研究方法
1、时域法——解析法、逐步积分法 2、频域法——谱分析法
k m
①简支梁问题
m l
第2章 单自由度系统
1 k
l3 48 EI
k
48EI l3
48EI ml 3
第2章 单自由度系统
②悬臂梁问题 弯曲变形
x
l 3EI
3
m
k
3EI l3
k
剪切变形
l3 12EI
k
12EI l3
弯曲变形 剪切变形
第2章 单自由度系统
2 i i ,max m xi ki xi2,maxi
第2章 单自由度系统
m x
i 2 i i ,max
2 2 J max m2 xmax
1 2 2 m1l 2 max m2l 2 max 3 1 2 m1l 2 m2l 2 max 3
结构动力学完整ppt课件
输出 （动力反应）
.
第四类问题：控制问题
输入 （动力荷载）
结构 （系统）
输出 （动力反应）
控制系统 （装置、能量）
本课程主要介绍结构的反应分析
任务 讨论结构在动力荷载作用下反应的分析的方法。寻找
结构固有动力特性、动力荷载和结构反应三者间的相互关 系，即结构在动力荷载作用下的反应规律，为结构的动力 可靠性（安全、舒适）设计提供依据。
结构动力学是研究结构、动荷载、结构反应三者关 系的学科。
.
当前结构动力学的研究内容为:
第一类问题：反应分析（结构动力计算）
输入 （动力荷载）
结构 （系统）
输出 （动力反应）
第二类问题：参数（或称系统）识别
输入 （动力荷载）
结构 （系统）
第三类问题：荷载识别。
输出 （动力反应）
输入 （动力荷载）
结构 （系统）
11
l3 3 EI
柔度系数
m y (t)3lE3 Iy(t)P(t)
柔度法步骤： 1.在质量上沿位移正向加惯性力； 2.求外力和惯性力引起的位移； 3.令该位移等于体系位移。
.
二、刚度法
P(t)
m
1
m y(t)
y(t)
l EI
y
k11
k11y(t)
k 1y 1 (t)P (t) m y (t)
EI
m
l/2
l/2
W
m y(t)
1
11
st y(t)
Y(t)y(t)st
加速度为
Y(t) y(t)
y (t) s t 1[P 1 (t) W m y (t)]
st W11
结构动力学
结构动力学 期末复习重点
一1、结构动力学计算的特点？（对比静力问题）○1动力反应要计算全部时间点上的一系列的解，比静力问题复杂要消耗更多的计算时间。
○2与静力问题相比，由于动力反应中结构的位置随时间迅速变化，从而产生惯性力，惯性力对结构的反应又产生重要的影响。
2、结构动力学是研究什么的？包含什么内容？结构动力学：是研究结构体系的动力特性及其在动力荷载作用下的动力反应分析原理和 方法的一门理论和技术学科。
目的：在于为改善工程结构体系在动力环境中的安全性和可靠性提供坚实的理论基础。
二、1、动力系数（有阻尼、无阻尼。
简谐、半功率点法、位移计……）2、动力系数和哪些因素有关动力放大系数受阻尼比控制，Rd 曲线形状可以反映出阻尼比的影响。
主要有两点：其一是峰值大小；其二是曲线的胖瘦。
3、动力系数在工程（隔震、调频减震）的应用4、如何用动力系数测阻尼比三、1、阻尼 阻尼也称阻尼力，是引起结构能量的耗散，使结构振幅逐渐变小的作用。
阻尼的来源：1固体材料变形时的内摩擦，或材料快速反应引起的热耗散；2结构连接部位的摩擦；3结构周围外部介质引起的阻尼。
2.阻尼比常用的测量方法及其优缺点：（1）对数衰减率法：相邻振动峰值比的自然对数值称为对数衰减率。
采用自由振动试验，测一阶振型的阻尼比较容易。
测量高阶振型阻尼比的关键是能激发出按相应振型的自由振动。
（2） 共振放大法：采用强迫振动试验，通过共振得到（Rd ）max 由于静荷载下的位移较难确定，应用上存在一定的技术困难，但通过一定数学上的处理还是可以用的。
（Ust 是零频时的静位移，不容易测得。
）（3） 半功率点（带宽）法：采用强迫振动试验，测出Rd-w/wn 图上振幅值等于倍最大振幅的点，对应的长度的1/2即为阻尼比。
不但能用于单自由度体系，也可以用于多自由度体系，对多自由度体系要求共振频率稀疏，即多个自振频率应相隔较远，保证在确定相应于某一自振频率的半功率点时不受相邻自振频率的影响。
3、等效粘滞阻尼比○1、粘性阻尼是一种理想化的阻尼，具有简单和便于分析计算的优点。
结构动力学复习资料
目录
第二章 单自由度系统的振动......................................................................................................... 1 2.1 单自由度系统的自由振动（ F (t ) = 0 ）........................................................................ 1 1）无阻尼自由振动......................................................................................................... 1 2）有阻尼自由振动......................................................................................................... 2 2.2 单自由度系统的强迫振动................................................................................................ 4 1）系统对于简谐激励的响应......................................................................................... 4 2）系统对周期激励的响应............................................................................................. 7 3）非周期激励的响应..................................................................................................... 8 第三章 二自由度系统的振动....................................................................................................... 10 3.1 无阻尼自由振动.............................................................................................................. 10 3.2 二自由度系统的强迫振动（简谐激励）...................................................................... 12 第四章 分析动力学基础............................................................................................................... 13 4.1 虚位移原理...................................................................................................................... 13 4.2 拉格朗日方程.................................................................................................................. 13 4.3 汉密尔顿原理.................................................................................................................. 14 第五章 多自由度系统的振动....................................................................................................... 14 5.1 运动方程的建立.............................................................................................................. 14 5.2 无阻尼自由振动.............................................................................................................. 15 5.3 主振型的正交性.............................................................................................................. 17 5.4 正规化与正规坐标.......................................................................................................... 18 5.5 半正定系统...................................................................................................................... 19 5.6 系统对初始条件的响应................................................................................................... 20 5.7 瑞雷—李兹法.................................................................................................................. 20 第六章 连续弹性体系统的振动................................................................................................... 22 6.1 弦的振动.......................................................................................................................... 22 6.2 杆的纵向振动.................................................................................................................. 23 6.3 轴的扭转转动.................................................................................................................. 25 6.4 梁的弯曲振动.................................................................................................................. 26 6.5 振型函数的正交性.......................................................................................................... 29 6.6 主振型叠加法.................................................................................................................. 29
结构动力学-6
或
myky 0
设方程的特解为
y1 y2
X1 X2
sin( t sin( t
) )
代入方程,得
k11X1 k12 X 2 m1 2 X1 0
k21X1 k22 X 2 m2 2 X 2 0
(kk1211
k12 k22
m1
0
0 m2
2
)
X1 X2
0 0
(k 2m)X 0
X1 11m1 2 X1 12m2 2 X 2
X1 X2
12m2 2 1 11m1
2
X11 12m212 1 X 21 1 11m112
l/3 l/3 l/3 1
11
21
1
X12 X 22
1
12m2
2 2
11m1
2 2
1
1
1
第一振型 1
1
X
1
1 1
X
2
1 1
12
22
对称体系的振型分 成两组: 一组为对称振型
一组为反对称振型
按对称振型振动
m
l/3 l/6
=1 l/3
11
5 162
l3 EI
2 1 m11
5.692 EI / ml3
按反对称振型振动
m
m1 m m2 m EI
l/3 l/3 l/3 1
11
21
1
12
22
l/3 l/6
1 1 第二振型
X
1
1 1
X
2
1 1
对称系的振型分 成两组: 一组为对称振型
---振型方程
k 2m 0
---频率方程
解频率方程得 2的两个根 值小者记作 1 称作第一频率
结构动力学课件PPT
my cy ky FP (t)
§2-5 广义单自由度体系：刚体集合
➢刚体的集合（弹性变形局限于局部弹性 元件中）
➢分布弹性（弹性变形在整个结构或某些 元件上连续形成）
➢只要可假定只有单一形式的位移，使得 结构按照单自由度体系运动，就可以按 照单自由度体系进行分析。
E2-1
x
p( x,t
)
=p
)
3
B'
M I1
E'
D'
F' G'
A
D
E
B
F
G
C
fD1
fI1
fS1
f D2
f I2
f S2
a
2a
a aa a
Z(t )
f S1
k1(EE')
3 4
k1Z (t )
f D1
d c1( dt
DD')
1 4
c1Z (t )
fS2
k1(GG')
1 3
k2
Z
(t
)
fD2 c2Z (t)
f
I1
m1
1 2
Z(t)
3. 有限单元法
—— 将有限元法的思想用于解决结构的动力计算问题。
要点：
▪ 先把结构划分成适当（任意）数量的单元；
▪ 对每个单元施行广义坐标法，通常取单元的节点位移作 为广义坐标；
▪ 对每个广义坐标取相应的位移函数 （插值函数）；
▪ 由此提供了一种有效的、标准 化的、用一系列离散坐标 表示无限自由度的结构体系。
建立体系运动方程的方法
▪ 直接平衡法，又称动静法，将动力学问题转化为任一时刻 的静力学问题：根据达朗贝尔原理，把惯性力作为附加的 虚拟力，并考虑阻尼力、弹性力和作用在结构上的外荷载， 使体系处于动力平衡条件，按照静力学中建立平衡方程的 思路，直接写出运动方程。
[美]R.克里夫《结构动力学》补充详解及习题解
![[美]R.克里夫《结构动力学》补充详解及习题解](https://img.taocdn.com/s3/m/198055225627a5e9856a561252d380eb629423b8.png)
前言结构动力学是比较难学的一门课程，但是你一旦学会并且融会贯通，你就会为成为结构院士、大师和总工垫定坚实的基础。
结构动力学学习的难点主要有以下两个方面。
1 概念难理解，主要表现在两个方面，一是表达清楚难，如果你对概念理解的很透彻，那么你写的书对概念的表述也会言简意赅，切中要害（克里夫的书就是这个特点），有的书会对一个概念用了很多文字进行解释，但是还是没有说清楚，也有的书受水平限制，本身表述就不清楚。
二是理解难，有点只可意会不可言传的味道，老师讲的头头是道，自己听得云山雾绕。
2 公式推导过程难，一是力学知识点密集，推导过程需要力学概念清析，并且需要每一步的力学公式熟悉；二是需要一定的数学基础，而且有的是在本科阶段并没有学习的数学知识。
克里夫《结构动力学》被称为经典的结构动力学教材，但是也很难看懂。
之所以被称为经典，主要就是对力学的概念表达的语言准确，概念清楚。
为什么难懂呢？是因为公式的推导过程比较简单，省略过多。
本来公式的推导过程既需要力学概念清楚也需要数学公式熟悉，但是一般人不是力学概念不清楚，就是数学公式不熟悉，更有两者都不熟悉者。
所以在学习过程中感觉很难，本学习详解是在该书概念清楚的基础上，对力学公式推导过程进行详细推导，并且有的加以解释，帮助你在学习过程中加深理解和记忆。
达到融会贯通，为你成为结构院士、大师和总工垫定坚实的基础。
以下黑体字是注释，其它为原书文字。
[美] R∙克里夫《结构动力学》辅导学习详解第1章结构动力学概述… …第Ⅰ篇单自由度体系第2章基本动力体系的组成… …§2-5 无阻尼自由振动分析如上一节所述，有阻尼的弹簧-质量体系的运动方程可表示为mv̈(t)+cv̇(t)+kν(t)=p(t)（2-19）其中ν(t)是相对于静力平衡位置的动力反应；p(t)是作用于体系的等效荷载，它可以是直接作用的或是支撑运动的结构。
为了获得方程（2-19）的解，首先考虑方程右边等于零的齐次方程，即mv̈(t)+cv̇(t)+kν(t)=0（2-20）mv(t)+kν(t)=0（2-20a）此处公式应该为mv(t)+kν(t)=0，因为该节是无阻尼自由振，而且（2-20）的解，式（2-21）也是公式mv(t)+kν(t)=0的解在作用力等于零时产生的运动称为自由振动，现在要研究的即为体系的自由振动反应。
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2545
55 09 Y Y Y1 3 23 3 3 0
将上面两式展开得：
经求解得：
1 7 5 9 Y 1 3 2 4 1 0 Y 2 3 5 5 9 Y 3 3 0 2022 0/5 6/29 87 Y 1 3 1 2 7 5 Y 2 3 5 5 9 Y 3 3 0
Y13 0.0746Y33 Y230.2864Y33
2 0
l m[Y (x)]2 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱx 0
y(x,t)
Yi 为集 中质量 mi处位 移幅值
如梁上还有集中质量mi
2020/6/28
2
l EI[Y(x)]2dx 0
l m[Y(x)]2dx 0
miYi2
i
l EI[Y(x)]2dx
2
0
l m[Y(x)]2dx
0
miYi2
i
由上式可见，要求频率必须先假设位移幅值函数Y(x) 。
l
P=1
l
4
3l
4
l 8
M2
P=1
l
M
0 2
11
11l 3 24 64EI
22
80l 3 24 64EI
12
21
12l3
2464EI
3)自振频率
1,2 12424ml464EI211380 211380241180122 6
1
ml4 0.03970 ,
EI
2
ml4 0.00295
EI
a
1
l
13
2020/6/28
1 2.21
2ml11 l2
EI m
2)图乘
11
4l3 39EI
EI
l
按正对称性集中
ml
1.5m l
ml
ml 2 ml 4
ml 2
ml 4
2l
2)图乘
l 16
P=1
9l
P=1
64
5l
M1
l
M
0 1
3 2 2020/6/28
2
l
l
解： 1)简化
0.75ml
4EI
ml 2
EI
0
2545
55 09 Y Y Y13 22 2 2 0
2020/6/28
将下式展开：
0.687
0.947
2561
1.000
0
2545
55 09 Y Y Y13 22 2 2 0
得： 1 7 5 9 Y 1 2 2 4 1 0 Y 2 2 5 5 9 Y 3 2 0
或： Y 3 2 3.147Y 124.311 Y 2 2
缩写成： 2020/6/28
Y2[][M]{Y}
Y1 11 12 L 1n m1
0Y1
M Y Y2n2L2n11
22
L
n2
L L L
2n
L
nn 0
m2
O mnY YM n2
计算步骤：
先假定一个振型并代入上式等号的右边，进行求解后 即可得到 2 和主振型的第一次近似值；
再以第一次近似值代入上式进行计算，则可得到 2 和 主振型的第二次近似值；如此下去，直至前后两次的计 算结果接近为止。
UTC Umax 0C 以梁的自由振动为例:
x
y(x,t)
0Tmax C
Umax Tmax
设: y(x,t)Y (x)sin(t) y & (x ,t)Y (x )co s(t )
动能: T 1 lm (x )y & (x ,t)2 d x 12 c o s 2 (t)lm (x ) Y 2 (x )d x
m
i
X
2 i
各质点处 X 的i 计算:
显然:
X2
X1
X
' 2
m 6g
MM
m 5g
X6
X5
X
' 6
如 X 的5' 计算:
m 4g
m 6g
m 3g
m 5g
12EI L3
X
' 5
m 2g
12EI L3
X
' 5
12EI L3
X
' 5
m 1g
X 0
mi gX5' 5 2020/6/28
12EI L3
mig
令：
Y12
Y
2 2
2
1
经两轮迭代后得：
Y Y12222213511061.19.90500
故第二频率为：
2
1 1351106
27.2rad/s
再由： Y 3 2 3.147Y 124.311 Y 2 2
得： Y 3 2 3 . 1 4 7 1 . 9 9 5 4 . 3 1 1 ( 1 . 0 0 0 ) 1 . 9 6 7
因此第二振型为： Y (2 ) 1 .0 1 4 0 .5 0 1 1 .0 0 0 T
2020/6/28
求第三振型： 利用主振型的正交性，将求得的第一、第二振型可得：
2561
0.687 0.947 1.000
2545
0 Y Y123 3 0
0
559 Y33
1.014
0.501
2561
1.000
5591.000
42.70
0.080
32106 144.7032531.6106 0.272
qL4 x4 2x3 x2 Y(x) ( )
24EI L4 L3 L2
x
P 1
满足边界条件：
x 0Y (x ) 0x L Y (x ) 0
x (L x) L
代入公式:
l
q( x)Y ( x)dx
2
0
l m[Y ( x)]2 dx
0
22.45 EI
l2 m
2020/6/28 与精确值相差0.4%。
代入公式:
l
q( x)Y ( x)dx
2
0
l m[Y ( x)]2 dx
0
q
qLx qx2 22
x
P 1
x (L x) L
9.87 EI
l2 m
与精确解相比，各种方 法的精度还是相当高的。
2020/6/28
[例12.25] 求两端固定梁的第一频率。
qL2
q
12
解：梁在q作用下的绕曲线:
[例12.26] 求图示框架的第一频率，横梁刚度为无穷大。
解：以各层重量 m i 当g 作
m6
水平力作用在结构上，由
此产生的各质点处的位移
m5
X i作为第一振型的近似。
则最大变形能和动能:
m4
1 n
Umax 2 i1 mi gXi
m3
Tmax
12
2
n
mi Xi2
i1
m2
m1
g
mi Xi
2020/6/28
Y13 0.0746Y33 Y230.2864Y33
令： Y33 1.000
则设第三振型为：Y (3 ) 0 .0 7 5 0 .2 8 61 .0 0 0 T
求第三频率：
YY123332
106
1.84 1.84
1.84 2.95
1.842561 2.95
2545
0 0.075 0.286
Y33
1.84 2.95 4.16 0
1
5l.022
EI, m
b
1
2
18l.242
EI m
4)自振频率汇总
2 .2 1E I 5 .0 2E I 1 8 .4 2E I
1l2
, m
2l2
, m
3l2
m
2020/6/28
3 矩阵迭代法
矩阵迭代法它是采用逐步逼近的计算方法来确定结构的
频率和振型。 体系作自由振动时，各质点的位移幅值为：
2 0
2
0
最大动能:
2020/6/28
Tmax
12l m(x)Y2(x)dx
20
应变能:
U
1 2
l 0
2 y
EI
x
2
2
dx
梁的自由振动
1
sin2 (t
l
)
EI[Y ( x)]2 dx
2
0
x
最大应变能:
Umax
1l 20
EI[Y(x)]2dx
Umax Tmax
l EI[Y (x)]2 dx
l
满足边界条件: x 0Y (x ) 0x L Y (x ) 0
代入公式:
2020/6/28
l EI[Y ( x)]2 dx
2
0
l m[Y ( x)]2 dx
0
9.8696 EI
l2
m
3）梁在q作用下的绕曲线:
Y(x) q (L3x2Lx3x4) 24EI
满足边界条件:
x 0Y (x ) 0x L Y (x ) 0
假设位移幅值函数Y(x)必须注意以下几点：
必须满足运动边界条件： 几何边界条件
自然边界条件
Rayleigh法主要用于求ω1的近似解
所设位移幅值函数应与实际振型形状大致接近;结构
比较容易出现的变形形式;曲率小，拐点少。
2020/6/28
通常可取结构在某个静荷载q(x)作用下的弹性曲线
作为 Y(x)的近似表达式。此时应变能可用相应荷载
X
' 5
5
12EI 5 L3
X
' 6
X