高一必修一函数单调性的应用
浅谈数学中函数的单调性及其应用
浅谈数学中函数的单调性及其应用浅谈数学中函数的单调性及其应用摘要函数的单调性是高一数学课程中所接触到的函数的第一个性质，单调性的判断（用定义证明一个函数的单调性、求复合函数的单调性）及其应用（包括利用单调性求解不等式、利用单调性求函数的值域、利用单调性求函数的最值等）在高中数学中的作用和地位是非常重要的，它可以和高中阶段的很多知识点联系在一起，出题的方式、解题的方法也是多种多样的。
下面就我个人的理解和掌握，对函数的单调性判断及利用函数的单调性求解不等式、利用单调性求最值和参量等问题，举些具有代表性的例子。
关键词：函数；单调性；数学前言函数单调性是中学数学的重要内容之一，是高考的热点，常作为高考压轴题的考查内容，比如，本文通过整理发现陕西近年的高考数学题呈现一个现象，即多次要用函数单调性去做一些较难层次的题，分别是求参数范围、解不等式、证明不等式等。
同时，新课标对于函数单调性的教学目标是，要求学生能够熟练掌握单调性概念的证明方法，并应用单调性来求解一些基础题。
不管是高考趋势，还是新课标所倡导的教学理念，都对学生学习函数单调性提出了较高层次的要求。
但由于函数单调性的证明和应用的复杂性，使得学生在学习和做题过程中存在很多困难，例如，通常掌握单调性的概念证明是远远不够的。
那么，就出现了一个问题，除了它的的概念，是否还有其他可以证明函数单调性的方法，同时这些方法可以用来解决高考题。
针对于以上提到的两点，本文选择了函数单调性的判断和应用进行研究。
函数的单调性，是函数在它的定义域或其子集内如何增减的刻画。
它是研究函数必不可少的内容，不论是现实生活，还是学习其它理论知识，单调性都是一个很有用的工具。
函数是高中数学的中心内容，几乎渗透到数学的每一个角落，它不仅是一条重要的数学概念，而且是种重要的数学思想。
而函数的单调性则是函数的一条重要性质，它是历年高考重点考查的重要内容，它的应用十分广泛。
通过研究函数的单调性可以揭示函数值的变化特性，对于一些学问题,若解题中注意应用函数的单调性，合理巧妙地加以运用，定会带来快捷的解题思路，可以使问题的解决简捷明快。
江苏省响水中学高中数学 第二章《函数单调性的应用》课件 苏教版必修1
1
1
M>N .
=
������������
,因为 a>b>1,
所以 a-b>0,ab-1>0,ab>0,所以 M-N>0, 即 M>N.
2
已知函数 f(x)=ax+b 在 R 上是增函数,那么函数 f(x)=x2+2ax+b 在(0,+∞)上单调递 增 .
【解析】因为函数 f(x)=ax+b 在 R 上是增函数,所以 a>0, 2 函数 f(x)=x +2ax+b 的对称轴是 x=-a<0,所以在(0,+∞)上是 增函数.
问题1
(1)比较两个数a,b的大小可以通过作差来判断,即ab<0⇔ a<b ,a-b=0⇔ a=b ,a-b>0⇔ a>b ,形如这 样比较大小的方法称为作差比较法. (2)判断函数f(x)在区间D上的单调性,可以先给出区 间D上的任意两个数x1,x2,假设x1<x2,再作差f(x1)f(x2),通过化简、因式分解(若有分母,则先通分)等 方法进行变形,判断出f(x1)-f(x2)的符号,若f(x1)f(x2)<0恒成立,则f(x)在区间D上是 增函数 ,若f(x1)f(x2)>0恒成立,则f(x)在区间D上是 减函数 , 以上通过作差法判断单调性的步骤可以简化为3个环 节,即作差→变形→定号.
10 + 2������,������∈[ 0,5], 【解析】(1)P= 20,������∈(5,10], 40-2������,������∈(10,16].
问题3
f(x)≥M反映了函数y=f(x)的所有函数值不小于实数 M ;这个函数的图象特征是有 最低点 ,并且最低点 的 纵坐标 是M.
人教版高一数学《函数单调性的运用》教案
人教版高一数学《函数单调性的运用》教案一、教学目标1、知识与技能目标（1）学生能够理解函数单调性的定义，并能准确判断函数的单调性。
（2）学生能够熟练运用函数单调性解决比较函数值大小、解不等式等问题。
2、过程与方法目标（1）通过观察函数图象、分析函数表达式，培养学生的观察能力和逻辑推理能力。
（2）通过解决实际问题，让学生体会函数单调性在数学和实际生活中的应用，提高学生的数学应用意识和解决问题的能力。
3、情感态度与价值观目标（1）让学生在自主探究和合作交流中，感受数学的魅力，激发学生学习数学的兴趣。
（2）通过解决问题的过程，培养学生严谨的治学态度和勇于探索的精神。
二、教学重难点1、教学重点（1）函数单调性的定义和判断方法。
（2）利用函数单调性解决实际问题。
2、教学难点（1）函数单调性的证明。
（2）运用函数单调性解决复杂的不等式问题。
三、教学方法讲授法、讨论法、练习法四、教学过程1、导入新课（1）展示函数图象，如一次函数 y ＝ x ＋ 1，二次函数 y ＝ x² 2x ＋ 1 等，引导学生观察函数图象的上升和下降趋势。
（2）提问学生：如何用数学语言来描述函数图象的这种上升和下降趋势？从而引出函数单调性的概念。
2、讲解新课（1）函数单调性的定义设函数 f(x) 的定义域为 I，如果对于定义域 I 内某个区间 D 上的任意两个自变量的值 x₁，x₂，当 x₁＜ x₂时，都有 f(x₁) ＜ f(x₂)（或f(x₁) ＞ f(x₂)），那么就说函数 f(x) 在区间 D 上是增函数（或减函数）。
强调定义中的关键词：定义域、区间、任意、都有。
（2）函数单调性的判断方法①图象法：观察函数的图象，图象上升为增函数，图象下降为减函数。
②定义法：设 x₁，x₂是给定区间上的任意两个自变量，且 x₁＜x₂，计算 f(x₂) f(x₁)，若 f(x₂) f(x₁) ＞ 0，则函数为增函数；若f(x₂) f(x₁) ＜ 0，则函数为减函数。
函数的单调性及应用
contents
目录
• 函数的单调性定义 • 函数的单调性性质 • 函数的单调性应用 • 反函数的单调性 • 单调性在实际问题中的应用 • 总结与展望
01 函数的单调性定义
增函数的定义
增函数的定义
如果对于函数$f(x)$的定义域内的任 意$x_{1}, x_{2}$（$x_{1} < x_{2}$）， 都有$f(x_{1}) < f(x_{2})$，则称函数 $f(x)$在其定义域内是增函数。
06 总结与展望
函数单调性的重要性
数学基础
单调性是函数的重要性质之一，是数学分析、微积分等学科的 基础概念，对于理解函数的变化规律和性质具有重要意义。
解决实际问题
单调性在解决实际问题中也有广泛应用，如经济学、生物学、 工程学等领域的研究中，单调性可以帮助我们更好地理解和描
述事物的发展趋势和变化规律。
判断函数值大小
通过比较原函数和反函数的单调性，可以判 断两个函数值的大小关系。
优化问题
在某些优化问题中，可以利用反函数的单调 性来寻找最优解。
05 单调性在实际问题中的应 用
在经济问题中的应用
总结词
单调性在经济分析中有着广泛的应用，可以 帮助我们理解经济现象和预测未来的趋势。
详细描述
在经济学中，单调性可以用于研究商品价格 的变化趋势、消费者需求的变化趋势、劳动 力市场的供求关系等。通过分析这些经济变 量的单调性，我们可以更好地理解经济规律 ，预测未来的经济走势，为决策提供依据。
单调性法
利用函数的单调性，可以确定函数在某个区间 内的最大值或最小值，从而求解最值问题。
导数法
通过求导数，可以判断函数的单调性，从而确 定函数的最值。
数学必修一单调性
目录
• 单调性的定义 • 单调性的判定 • 单调性的应用 • 单调性的性质 • 单调性的扩展知识
01
单调性的定义
函数单调性的定义
函数单调性是指函数在某个区间内的增减性。如果函数在某个区间内单调递增，那么对于该区间内的任意两个数$x_1$和$x_2$， 当$x_1 < x_2$时，都有$f(x_1) leq f(x_2)$；反之，如果函数在某个区间内单调递减，那么对于该区间内的任意两个数$x_1$和 $x_2$，当$x_1 < x_2$时，都有$f(x_1) geq f(x_2)$。
导数法
利用导数与函数单调性的关系，通过判断导数的正负来判断函数的单调 性。
03
图像法
通过观察函数的图像来判断函数的单调性。如果图像在某区间内从左到
右逐渐上升，则函数在该区间内单调递增；如果图像在某区间内从左到
右逐渐下降，则函数在该区间内单调递减。
单调性判定例题解析
0102Βιβλιοθήκη 0304例题1
判断函数f(x) = x^3在区间(-∞, +∞)上的单调性。
例子
对于函数 (f(x) = x^3)，在 (x = 0) 处函数由递减变为递增，因此 (x = 0) 是该函数的极小值点。
单调性在实际问题中的应用
总结词
单调性在实际问题中有着广泛的应用，通过单调性可以分析各种实际问题的变化趋势，从而做出合理的决策。
详细描述
单调性可以用于分析各种实际问题，如经济问题、物理问题等。例如，在经济学中，通过分析需求函数和供给函数的 单调性，可以预测市场的价格变化趋势；在物理学中，通过分析受力函数的单调性，可以判断物体的运动状态。
单调函数在定义域内是单调的
高一上函数单调性的应用课件
$lbrack - 1,5 - 2sqrt{5}rbrack$
高阶练习题
题目
已知函数$f(x) = log_{2}(x^{2} - (a + 1)x + a)$在区间 $(1, + infty)$上单调递增，则实数$a$的取值范围是____ ．
解析
利用复合函数的单调性，结合对数函数的性质，确定参数 $a$的取值范围。
题目
已知函数$f(x) = log_{2}(x^{2} - (2t + 1)x + t^{2} + 1)$，若函数$f(x)$在区间$lbrack t + 1,t + 3rbrack$ 上有意义，则实数$t$的取值范围是____．
解析
根据对数函数的定义域，结合一元二次不等式的解法， 确定参数$t$的取值范围。
要点二
详细描述
如果函数在某个区间上是增函数，那么当自变量取值范围 为该区间时，因变量取值范围为该区间对应的函数值的上 界和下界之间的所有实数；如果函数在某个区间上是减函 数，那么当自变量取值范围为该区间时，因变量取值范围 为该区间对应的函数值的下界和上界之间的所有实数。因 此，通过利用函数单调性，我们可以更方便地求解函数的 值域。
的取值范围是____．
解析：首先确定二次函数的对称轴为 $x=1$，然后根据对称轴和区间的关
系确定$a$的取值范围。
答案：$( - infty,1rbrack$
题目：已知函数$f(x) = log_{2}(x + 3) - 1$的定义域为$( - 3,a)$，则实数 $a$的值为____．
解析：根据对数函数的定义域，确定 $a$的取值范围。
详细描述
在区间上任取两点$x_{1}$和$x_{2}$，如果$x_{1} < x_{2}$都有$f(x_{1}) leq f(x_{2})$， 则函数在此区间上单调递增；如果$x_{1} < x_{2}$都有$f(x_{1}) geq f(x_{2})$，则函数
函数单调性的应用
y=2x+1
性质： (1)当k>0时， y随x的增大而增大； (2)当k<0时， y随x的增大而减小。
二次函数y=ax2+bx+c的单调性
a>0
y y
a<0
x 0 0
x
反比例函数
y
1
k y x
的单调性
y y1
1 y x1x1o Nhomakorabeax
x
－1
o
K>0
K<0
2 例1：(1)若函数 f ( x) 4x mx 5 m在 [2, ) 上是增 函数，在 (, 2] 上是减函数，则实数m的值 为 ； （2）若函数 f ( x) 4x2 mx 5 m在 [2, ) 上是增函 数，则实数m的取值范围为 ； f ( x) 4x2 mx 5 m的单调递增区间 （3）若函数 为 [2, ) ，则实数m的值为 ．
如果函数y=f(x)在区间M上是增函数或减函数， 那么就说函数y=f(x)在这一区间具有严格的单调性， 区间M叫做函数y=f(x)的单调区间.
证明：函数f（x）＝－x3＋1在（－∞，＋∞）上是 减函数。 证明：设x1＜x2，则
x x2 x1 0
y f ( x2 ) f ( x1 ) x13 x23 ( x1 x2 )(x12 x1 x2 x22 )
1 2 3 2 ( x1 x 2 )[(x1 x 2 ) x 2 ]. 2 41 3 2 2 由x1＜x2，x1－x2＜0且 ( x1 x2 ) x2 ＞0 2 4
y 0
因此，f（x）＝－x3＋1在（－∞，＋∞）上是减函数。
一次函数y=kx+b的单调性
人教版高中数学必修一《1.3.1 函数的单调性》教学设计
1.3.1函数的单调性教学设计一、教学内容分析:函数的单调性是学生在掌握了函数的概念、函数的表示方法等基础知识后，学习的函数的第一个性质，主要让学生掌握函数在其定义域内某区间上图像（上升或下降）的变化趋势，为进一步学习函数其它性质提供了方法依据。
如在研究函数的值域、最大值、最小值等性质中有着重要应用，而且在解决比较数的大小、解不等式、证明不等式、数列的性质等数学问题时也有重要的应用。
同时它又是后续研究指数函数、对数函数以及三角函数性质的基础。
所以函数的单调性在高中数学中具有核心知识地位和承上启下的重要作用。
二、教学目标设置:（1）知识与技能：使学生理解函数单调性的概念，初步掌握判别函数单调性的方法及单调性的简单运用。
（2）过程与方法：引导学生通过观察、归纳、抽象、概括、自主构建单调增函数、减函数的概念；能运用函数单调性的定义解决一些简单的问题；让学生领会数学结合的数学思想方法，培养学生发现、分析、解决问题的能力。
（3）情感态度价值观：在函数单调性的学习过程中，使学生体验数学的应用价值，培养学生善于观察、勇于探索的良好学习习惯与学习态度。
(三)情感态度与价值观:创设情境引出课题,让学生充分认识到数学源于生活,又能应用于生活,进而激发学生自主学习和主动探究的学习兴趣;在探索概念阶段, 让学生经历从直观到抽象、从特殊到一般、从感性到理性的认知过程，完成对单调性定义的三次认知的提升;在概念应用阶段，通过对定义法证明单调性过程的具体分析，以及证明过程的严格板书，帮助学生掌握用定义证明函数单调性的方法和步骤，培养学生清晰地思维、严谨的数学推理能力；最后先由学生自己独立完成再进行小组合作交流，展示自己用单调性定义证明函数单调性的全过程，培养了学生运用所学知识解决实际问题的能力，增强了学生学好数学的信心.三、学生学情分析:学生在初中只学过一次函数、二次函数、反比例函数，所以对函数的单调性研究也只能限于这几种函数。
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(B) y 3x2 1
(D) y 2x2 x 1
x 1 x 0 x 1 x 0
________
成果运用
若二次函数f (x) x2 ax 4在区间 ,1 上单调递
增，求a的取值范围。
y
y
o1
x
o1
x
解：二次函数 f (x) x2 ax 4的对称轴为 x a ,
(
x1
x2
)
x12
x1x2
x2 2
2
3 4
x2 2
1
( x1
x2
) ( x1
x2 2
)2
3 4
x2 2
1
x1 x2 x1 x2 0
而（x1
x2 2
）2
3 4
x2 2
1
0
f (x1) f (x2 ) 0,即f (x1) f (x2 )
f (x) x3 x在R上是增函数。
例4：证明函数 f (x) x2 1 x 在其定义域内 是减函数。
例4：证明函数 f (x) x2 1 x 在其定义域内 是减函数。
证明： f (x)的定义域为 ，
设任意的 x1, x2 f (,), 且x1 x2
f (x1) f (x2 ) ( x12 1 x1) ( x22 1 x2 )
0,1 上是
（3）若函数f(x)在区间(1，2]和(2，3)上均为增函数， 则函数f(x)在(1，3)上为增函数。
1
（上4都）是因减为函函数数，f(x所)=以xf(在x)区= 1间（在-（∞-，∞0，）0和 ）（ ∪0（，0+，∞+）∞）
上是减函数。
x
例1 证明函数 f (x) x 在区间[0，+∞）上单调递增。
单调性．
例2：证明函数 f (x) x 2 在（ 2， ）上是增函数。
x
证明：任取 x1, x2 2, ，且x1 x2
2
2
因 f
( x1 )
f
(x2 )
( x1
) x1
(x2
x2
)
式分x2
)
（x1
x2）
2(x2 x1) x1x2
（x1
x2）(1
2 x1x2
( x12 1
x22 1) (x1 x2 )
x12
x12 1
x22 x2 2
1
( x1
x2
)
有 理 化
(x1 x2 x12 1
)(x1 x2 ) x22 1
( x1
x2
)
( x1
x2
)
( x1
x2
)( x12
x12 1
1 x2 2
x2 2 1
1)
(x1 x2 ) (x1
x12 1) (x2 x22 1) x12 1 x22 1
判断函数单调性的方法步骤
利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单调性的 一般步骤：
1 取值：任取 x1，x2∈D，且x1<x2； 2 作差：f(x1)－f(x2)； 3 变形：通常是因式分解、配方和有理化； 4 定号：即判断差f(x1)－f(x2)的正负； 5 下结论：即指出函数f(x)在给定的区间D上的
)
（x1
x2）( x1xx12x2
2)
解
2 x1 x2 x1 x2 0, x1x2 2， x1x2 2 0 f (x1) f (x2 ) 0，即f (x1) f (x2 )
f (x) x 2 在（ 2， ）上是增函数 x
例3：证明函数 f (x) x3 x在R上是增函数。
x1 x2 x1 x2 0，且 x12 1 x22 1 0 又 对任意x R，都有 x2 1 x2 x x
x2 1 x,即有x x2 1 0 x1 x12 1 0, x2 x22 1 0 f (x1) f (x2 ) 0 即f (x1) f (x2 ) f (x) x2 1 x在其定义域内是减函数。
证明：任取 x1, x2 R,且x1 x2
则f (x1) f (x2 ) (x13 x1) (x23 x2 )（x13 x23） (x1 x2 )
（x1 x2）(x12 x1x2 x22 ) (x1 x2 ) (x1 x2 )( x12 x1x2 x22 1)
配 方 法
证明:任x1取,x2 [0，+∞）,且x1 < x2，
取值
则： f (x1 ) f (x2 ) x1 x2
x1 x2 x1 x2
由0≤ x1 < x2 得 x1 x2 0 x1
作差 变形 x2 0 定号
于是 f(x1)-f(x2)＜0。 即 f(x1)＜f(x2)
所以函数f (x) x 在区间[0，+∞）上为增函数。下结论
增，求a的取值范围。
变式1
若二次函数 f (x) x2 ax 4 的单调增区间是 ,1 ，
则a的取值情况是 （ ）
A. a 2 B. a 2 C. a 2 D. a 2
变式2
请你说出一个单调减区间是 , 1 的二次函数
变式3
请你说出一个在 , 1上单调递减的函数
(A) y 2x 1
f (x) 是定义在R上的单调函数，且 f (x) 的图
象过点A（0，2）和B（3，0）
（1）解方程 f (x) f (1 x) （2）解不等式 f (2x) f (1 x) （3）求适合 f (x) 2或f (x) 0 的 x 的
取值范围
返回
成果运用
若二次函数f (x) x2 ax 4在区间 ,1 上单调递
函数单调性的应用
知识回顾
❖ 1.函数单调性的定义。 ❖ 2.定义里面有什么关键词？ ❖ 3.什么叫函数的单调区间？ ❖ 4.如何判断函数的单调性？我们介绍了几种
方法？
练习：判断正误： （1）已知f(x)= 1 ，因为f(-1)<f(2),所以函数f(x)是
增函数。 x
（2）若函数f(x)满足f (2)<f(3),则函数f(x)在区间[2，3] 上为增函数。
2
由图象可知只要 x a 1 ，即a 2即可.
2
小结
1.函数单调性的定义中有哪些关键点？ 2.判断函数单调性有哪些常用方法？ 3.你学会了哪些数学思想方法？
作业
1、教材 p39 1，2，3，4
2、证明函数 f（x）=-x2在 0, 上是 减函数。
3、证明函数
f（x）=
x
1
在
单调递增的。
x