江阴周末数学家教辅导班

中心对称与中心对称图形一、知识点：1、图形的旋转: 在平面内，将一个图形绕一定点按某个方向转动一个角度，这样的运动叫做图形的旋转，定点是旋转中心，转动的角度叫旋转角；图形旋转的性质:a 旋转前后的图形全等、b 对应点到旋转中心的距离相等、c 对应点与旋转中心所作线段的夹角等于旋转角。

2、中心对称：把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称3、中心对称图形：在平面内，一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转前后的图形能够互相重合，那么这个图形叫中心对称图形；中心对称图形的性质：中心对称图形上每一对对称点所练成的线段都被对称中心平分 4、中心对称与中心对称图形之间的区别：（1）中心对称是指两个图形的关系，中心对称图形是指具有某种性质的图形。

（2）成中心对称的两个图形的对称点分别在两个图形上，中心对称图形的对称点在一个图形上。

联系：若把中心对称图形的两部分看成两个图形，则它们成中心对称；若把中心对称的两个图形看成一个整体，则成为中心对称图形 . 5例1：如图，将点阵中的图形绕点O 按逆时针方向旋转900，画出旋转后的图形.例2：画出将ΔABC 绕点O 按顺时针方向旋转180°后的对应三角形。

·O C例3：如图，已知ΔABC 是直角三角形，BC 为斜边。

若AP=3，将ΔABP 绕点A 逆时针旋转后，能与ΔACP ′重合，求PP ′的长。

例4：已知：如图，在△ABC 中，∠BAC=1200，以BC 为边向形外作等边三角形△BCD ，把△ABD 绕着点D 按顺时针方向旋转600后得到△ECD ，若AB=3，AC=2，求∠BAD 的度数与AD 的长.例5：如图，直线l 1⊥l 2，垂足为O ，点A 1与点A 关于直线l 1对称，点A 2与点A 关于直线l 2对称。

点A1与点A2有怎样的对称关系？你能说明理由吗？例6：如图是一个平行四边形土地ABCD ，后来在其边缘挖了一个小平行四边形水塘EFGH ；现准备将其分成两块，并使其满足：两块地的面积相等，分割线恰好做成水渠，便于灌溉，请你在图中画出分界线（保留作图痕迹），简要说明理由.C BBB平行四边形一、知识点：1、平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。

记作：□ABCD ，读作平行四边形ABCD.平行四边形是中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心。

2、平行四边形的性质：①平行四边形的对边平行； ②平行四边形的对边相等； ③平行四边形的对角相等； ④平行四边形的对角线互相平分。

3、平行四边形的判定：①两组对边分别平行的四边形是平行四边形； ②两组对边分别相等的四边形是平行四边形； ③两组对角分别相等的四边形是平行四边形； ④一组对边平行且相等的四边形是平行四边形； ⑤对角线互相平分的四边形是平行四边形；二、举例：例1：如图，□ABCD 中，E 、F 分别是BC 和AD 边上的点，且BE=DF ，请说明AE 与CF 的关系，并说明理由。

例2：如图，□ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，过点O 的直线与AD 、BC 分别相交于点E 、F 。

试探求OE 与OF 是否相等，并且说明理由。

例3：如图，在□ABCD 中，AE ⊥BD ，CF ⊥BD ，垂足分别是E 、F ，四边形AECF 是平行四边形吗？为什么？EDC例4：如图，在□ABCD 中，点E 、F 在AC 上，且AF=CE ，点G 、H 分别在AB 、CD 上，且AG=CH ，AC 与GH 相交于点O ，试说明：（1）EG ∥FH ，（2）GH 、EF 互相平分。

例5：如图，在平行四边形ABCD 中，点E 在AC 上，AE=2EC ，点F 在AB 上，BF=2AF ，如果△BEF 的面积为2cm 2，求平行四边形ABCD 的面积。

例6：在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，且AD ＞BC ，BC=6cm ，P 、Q 分别从A 、C 同时出发，P 以1cm/s 的速度由A 向D 运动，Q 以2cm/s 的速度由C 出发向B 运动，几秒后四边形ABQP 是平行四边形？例7：已知：如图，分别以△ABC 的三边为其中一边，在BC 的同侧作三个等边三角形：△ABD 、△BCE 、△ACF 。

求证：AE 、DF 互相平分。

如下图，在梯形ABCD 中，AD BC ，E 是BC 的中点，AD=5，BC=12，CD=,45C ∠=,点P 是BC 边上一动点，设PB 长为x.(1) 当x 的值为______时，以点P 、A 、D 、E 为顶点的四边形为直角梯形. (2) 当x 的值为______时，以点P 、A 、D 、E 为顶点的四边形为平行四边形.(3) 点P 在BC 边上运动的过程中，以点P 、A 、D 、E 为顶点的四边形能否为菱形？试说明理由？CCQ C矩形、菱形、正方形一、知识点：1、矩形的定义：2、矩形的性质：3、矩形的判定：4、菱形的定义：5、菱形的性质：6、菱形的判定：7、菱形的面积：8、正方形的定义：9、正方形的性质：10、正方形的判定：二、举例：例1：如图，矩形ABCD 的对角线相交于点O ，AB ＝4cm ，∠AOB ＝60°。

（1）求对角线AC 的长；（2）求矩形ABCD 的周长例2：如图，在矩形ABCD 中，CE ⊥BD ，E 为垂足，∠DCE ：∠ECB ＝3：1。

求∠ACE 的度数。

例3：如图，在矩形ABCD 中，点E 在AD 上，EC 平分∠BED 。

（1）△BEC 是否为等腰三角形？为什么？ （2）若AB=1，∠ABE=45°，求BC 的长例4：如图，平行四边形ABCD 中，4个内角平分线围成的四边形PQRS 是矩形吗？说说你的理由。

例5：已知：如图，菱形ABCD 的周长为8cm ，∠ABC ：∠BAD=1：2，对角线AC 、BD 相交于点O ，求AC 的长及菱形的面积。

DCDCCAABCEF例6：如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线AC 的垂直平分线与边AD 、BC 分别相交于点E 、F 。

四边形AFCE 是菱形吗？为什么？例7：如图，在⊿ABC 中，∠C=90°，∠BAC 、∠ABC DE ⊥BC 于E ，DF ⊥AC 于F 。

问四边形CFDE 是正方形吗?例8：如图，C 是线段AB 上一点，分别以AC 、BC 为边在线段AB 同侧作正方形ACDE 和BCF Ｇ，连接AF 、BD ．⑴AF 与BD 是否相等？为什么？⑵如果点C 在线段AB 的延长线上，⑴中的结论是否成立？请作图，并说明理由．三、作业：1、如图，矩形ABCD 中，AE 平分∠BAD ，交BC 于E ，对角线AC 、BD 交于O ，若∠OAE ＝15°。

（1）试说明：OB ＝BE ；（2）求∠BOE 的度数.2、如图，将矩形ABCD 沿着直线BD 折叠使点C 落在点 C＇处，BC ＇交AD 于E ，AD=8，AB=4，求△BED 的面积。

DC BE C ′ EDCBAB3、已知：如图，△ABC 中，∠ACB=90°，CD 是高，AE 是角平分线，交CD 于点F ，EG ⊥AB ，G 为垂足。

试说明四边形CEGF 是菱形。

三角形、梯形的中位线一、知识点：1、三角形的中位线：三角形中位线的性质2、梯形的中位线：⑵梯形中位线的性质二、举例：例1：如图，在四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、、DA 的中点。

四边形EFGH 是平行四边形吗？为什么？例2：如图，矩形ABCD 的对角线相交于点O ，点E 、F 、G 、H 分别是OA 、OB 、OC 、DO 的中点，四边形EFGH 是矩形吗？为什么？例3：已知：如图，AD 是△ABC 的中线，E 、G 分别是AB 、AC 的中点，GF ∥AD 交ED 的延长线于点F 。

⑴猜想：EF 与AC 有怎样的关系？ ⑵试证明你的猜想。

HG FEo DC BA例4：已知在△ABC 中，∠B=2∠C ，AD ⊥BC 于D ，M 为BC 的中点。

试说明DM =21AB例5：等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，EF 为中位线，EF=18，AC ⊥AB ，∠B=60°，求梯形ABCD 的周长及面积。

例6、已知：如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC=90°，E 是梯形外一点，且AE=BE ，F 是CD 的中点。

试说明：EF ∥BC 。

例7：如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，M 、N 分别是两条对角线BD 、AC 的中点，试说明：MN ∥BC 且MN ＝21(BC －AD)。

例8：已知：如图，四边形ABCD 为等腰梯形，AD ∥BC ，AC 、BD 相交于点O ，点P 、Q 、R 分别为AO 、BO 、CD 的中点，且∠AOD ＝60°。

试判断ΔPQR 的形状，并说明理由？三、作业：1、已知：如图，在△ABC 中，D 是AB 的中点，DE ∥BC 交AC 于点E 。

试说明：DE=21BC 。

MBBCMD CBA NCA O BDQP R2、已知：如图，在△ABC 中，中线BD 、CE 相交于点O ，F 、G 分别是OB 、OC 的中点。

试说明：四边形DEFG 是平行四边形。

3、已知：如图矩形ABCD 的对角线相交于点O ，E 、F 分别是OA 、OD 的中点。

试说明：四边形CBEF 是等腰梯形。

4、已知：如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB=DC ，E 、F 、M 、N 分别是AD 、BC 、BD 、AC 的中点。

试说明：EF 与MN 互相垂直平分。

DC。