完整word版,高中立体几何证明平行的专题
专题4：立体几何中平行关系的证明(解析版)
专题4：立体几何中平行关系的证明（解析版）1．直线和平面平行的判定(1)定义：直线和平面没有公共点，则称直线平行于平面；(2)判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。
简记为：线线平行，则线面平行。
符号： ////a b a a b ααα⊄⎫⎪⊂⇒⎬⎪⎭例1．如图所示，在底面为平行四边形的四棱锥P ABCD -中，AB AC ⊥，PA ⊥平面ABCD ，且PA AB =，点E 是PD 的中点.求证：//PB 平面AEC .【答案】证明见解析 【分析】根据图像，连接BD ，与AC 相交与O ，连接EO ，ABCD 是平行四边形，O 是BD 的中点，根据中位线的性质即可得证. 【详解】如图，连接BD ，与AC 相交与O ，连接EO ， ∵ABCD 是平行四边形， ∴O 是BD 的中点， 又E 是PD 的中点， ∴//EO PB ，又PB ⊄平面AEC ，EO ⊂平面AEC ， ∴//PB 平面AEC .例2．如图所示，在四棱锥P ABCD -中，22PA AD CD AB ====，AB AD ⊥，CD AD ⊥，PA ⊥底面ABCD ， M 为PC 的中点。
求证：//BM 平面PAD【答案】证明见解析. 【分析】取PD 的中点E ，连接,AE ME ，由三角形的中位线定理可得ME ∥CD ,12ME CD =，而已知AB ∥CD ，12AB CD =，从而得AB ∥ME ，AB ME =，所以四边形ABME 为平行四边形，从而得//BM EA ，再利用线面平行的判定定理可证明 【详解】证明：取PD 的中点E ，连接,AE ME 因为M 为PC 的中点，所以ME ∥CD ,12ME CD =， 因为AB ∥CD ，12AB CD =，所以AB ∥ME ，AB ME =，所以四边形ABME 为平行四边形，所以//BM EA ， 又因为BM ⊄平面PAD ，EA ⊂平面PAD ，所以//BM平面PAD.注：证明线面垂直1，找中位线 2，找平行四边形 3，正两个面平行2．直线和平面平行的性质定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。
立体几何位置关系-平行与垂直证明方法汇总
立体几何位置关系-平行与垂直证明方法汇总（一）立体几何中平行问题证明直线和平面平行的方法有：①利用定义采用反证法；②平行判定定理；③利用面面平行，证线面平行。
主要方法是②、③两法在使用判定定理时关键是确定出面内的与面外直线平行的直线.常用具体方法：中位线和相似例1、P是平行四边形ABCD所在平面外一点,Q是PA的中点.求证：PC∥面BDQ.证明：如图，连结AC交BD于点O.∵ABCD是平行四边形，∴A O=O C.连结O Q，则O Q在平面BDQ内，且O Q是△APC的中位线，∴PC∥O Q.∵PC在平面BDQ外，∴PC∥平面BDQ.例2、在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，设M、N、E、F分别是棱A1B1、A1D1、C1D1、B1C1的中点.求证：(1)E、F、B、D四点共面；（2）面AMN∥面EFBD.证明:(1)分别连结B 1D 1、ED 、FB ，如图， 则由正方体性质得 B 1D 1∥BD. ∵E 、F 分别是D 1C 1和B 1C 1的中点， ∴EF ∥21B 1D 1.∴EF ∥21BD. ∴E 、F 、B 、D 对共面.（2）连结A 1C 1交MN 于P 点，交EF 于点Q ，连结AC 交BD 于点O ，分别连结PA 、Q O . ∵M 、N 为A 1B 1、A 1D 1的中点， ∴MN ∥EF ，EF ⊂面EFBD. ∴MN ∥面EFBD. ∵PQ ∥A O ,∴四边形PA O Q 为平行四边形. ∴PA ∥O Q.而O Q ⊂平面EFBD ，∴PA ∥面EFBD.且PA ∩MN=P ，PA 、MN ⊂面AMN ， ∴平面AMN ∥平面EFBD.例3如图（1），在直角梯形P 1DCB 中，P 1D//BC ，CD ⊥P 1D ，且P 1D=8，BC=4，DC=46，A 是P 1D 的中点，沿AB 把平面P 1AB 折起到平面PAB 的位置（如图（2）），使二面角P —CD —B 成45°，设E 、F 分别是线段AB 、PD 的中点. 求证：AF//平面PEC ；证明：如图，设PC 中点为G ，连结FG ，则FG//CD//AE ，且FG=21CD=AE ， ∴四边形AEGF 是平行四边形 ∴AF//EG ，又∵AF ⊄平面PEC ，EG ⊂平面PEC ， ∴AF//平面PEC例4、 正方形ABCD 与正方形ABEF 所在平面相交于AB ，在AE 、BD 上各有一点P 、Q ，且AP=DQ.求证：PQ ∥面BCE.证法一：如图（1），作PM ∥AB 交BE 于M ，作QN ∥AB 交BC 于N,连接MN, 因为面ABCD ∩面ABEF=AB,则AE=DB. 又∵AP=DQ, ∴PE=QB.又∵PM ∥AB ∥QN, ∴AE PE AB PM =,BD BQDC QN =. ∴DCQNAB PM =. ∴PM ∥QN.四边形PMNQ 为平行四边形. ∴PQ ∥MN.又∵MN ⊂面BCE ，PQ ⊄面BCE ， ∴PQ ∥面BCE.证法二：如图(2)，连结AQ 并延长交BC 或BC 的延长线于点K ，连结EK. ∵AD ∥BC, ∴QKAQQB DQ =. 又∵正方形ABCD 与正方形ABEF 有公共边AB ，且AP=DQ ，∴PEAPQK AQ =.则PQ ∥EK. ∴EK ⊂面BCE ，PQ ⊄面BCE. ∴PQ ∥面BCE.例5、正方形ABCD 交正方形ABEF 于AB （如图所示）M 、N 在对角线AC 、FB 上且AM= FN 。
高中立体几何证明题
高中立体几何证明题一、线面平行的证明题1已知正方体ABCD - A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}，E，F分别是AB，BC的中点，求证：EF∥平面A_{1}C_{1}D。
解析1. 连接AC。
- 在 ABC中，因为E，F分别是AB，BC的中点，所以EF∥ AC。
2. 正方体ABCD - A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}中：- AC∥ A_{1}C_{1}。
- 由EF∥ AC和AC∥ A_{1}C_{1}可得EF∥ A_{1}C_{1}。
- 又A_{1}C_{1}⊂平面A_{1}C_{1}D，EFnot⊂平面A_{1}C_{1}D。
- 根据线面平行的判定定理，所以EF∥平面A_{1}C_{1}D。
题2在三棱柱ABC - A_{1}B_{1}C_{1}中，D是AB的中点，求证：AC_{1}∥平面CDB_{1}。
解析1. 连接BC_{1}，交B_{1}C于点E。
- 在三棱柱ABC - A_{1}B_{1}C_{1}中，E为BC_{1}的中点。
2. 因为D是AB的中点：- 所以在 ABC_{1}中，DE∥ AC_{1}。
- 又DE⊂平面CDB_{1}，AC_{1}not⊂平面CDB_{1}。
- 根据线面平行的判定定理，可得AC_{1}∥平面CDB_{1}。
二、线面垂直的证明题3在四棱锥P - ABCD中，底面ABCD是正方形，PA = PB = PC = PD，求证：PA⊥平面ABCD。
解析1. 连接AC，BD交于点O，连接PO。
- 因为底面ABCD是正方形，所以O为AC，BD中点。
- 又PA = PC，PB = PD，根据等腰三角形三线合一的性质：- 可得PO⊥ AC，PO⊥ BD。
- 而AC∩ BD = O，AC⊂平面ABCD，BD⊂平面ABCD。
- 根据直线与平面垂直的判定定理，所以PO⊥平面ABCD。
- 又PA = PB = PC = PD，AO = BO = CO = DO，所以 PAO≅ PBO≅ PCO ≅ PDO。
新课标立体几何常考平行证明题汇总
第二章 立体几何（一）直线与平面平行、平面与平面平行知识点：://////:////////,////://a b b a b a a a b a b a b ααααααβαββ⎧⊂⎧⎪⎪⊄⇒⎨⎪⎪⎪⎨⎩⎪⊂⎧⎪⇒⎨⎪⎩⎩⊂⋂平行线//线三角形中位线、平行四边形、平行线定理、对应线段成比例、 面面平行、垂直于同一平面的线平行平面线//面上的线（转化为线线）平面平面线//面平面线所在的面面（转化为面面）平面平面平面平面平面面面面上两条相交直线分别平行另一个面平面//A αβ⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧⎪⎪⎪⎪⇒⎨⎪⎪⎪⎪=⎪⎩⎩平面平面口诀：已知线面平行：已知面面平行：例题讲解例1 如图，在正方体1111ABCD A BC D -中，E 是1AA 的中点，求证： 1//AC 平面BDE 。
AED 1CB 1DCBA例2 已知正方体1111ABCD A BC D -，O 是底ABCD 对角线的交点.求证：C 1O ∥面11AB D ．例3如图，在正方体1111ABCD A BC D -中，E 、F 、G 分别是AB 、AD 、11C D 的中点.求证：平面1D EF ∥平面BDG .例4 如图，四棱锥P －ABCD 的底面是平行四边形，点E 、F 分 别为棱AB 、 PD 的中点．求证：AF ∥平面PCE ；D 1ODB AC 1B 1A 1CDB A 1AF例5 已知直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D, E, F 分别为AA 1, CC 1, AB 的中点，M 为BE 的中点, AC ⊥BE. 求证： C 1D ∥平面B 1FM.例6 已知,,,E F G H 为空间四边形ABCD 的边,,,AB BC CD DA 上的点，且//EH FG ．求证：//EH BD .例7 如图，已知E 、F 、G 、M 分别是四面体的棱AD 、CD 、BD 、BC 的中点，求证：AM ∥平面EFG 。
ABC DEF G MH G F ED BA CA例8 如图，三棱柱ABC —A 1B 1C 1中， D 为AC 的中点. 求证：AB 1//面BDC 1；例9 如图，三棱锥ABC P -中，PB ⊥底面ABC ，90BCA ∠= ， PB BC CA ==，E 为PC 的中点，M 为AB 的中点，点F 在PA 上，且2AF FP =.求证：//CM 平面BEF ；例10 如图，已知ABC ∆内接于圆O ，AB 是圆O 的直径，四边形DBCE 为平行四边形， 设F 是CD 的中点，证明：//OF 平面ADE。
高考数学专题讲解：立体几何平行证明
高考数学专题讲解：立体几何平行证明第一部分：三角形中位线平行于底边第一部分：三角形自现原则一（原创方法）例题一：已知：E 为PA 的中点，F 为PB 的中点。
分析方法：确定目标三角形（有中位线的三角形）E 为PA 的中点⇒点P 和点A 为目标三角形的两个端点；F 为PB 的中点⇒点P 和点B 为目标三角形的两个端点；中位线：EF点P 和点A ，点P 和点B ⇒目标三角形⇒PAB AB EF //⇒。
底边：AB分析：①两个中点的连线为中位线；②目标三角形的四个端点，去掉两个相同端点，两个不同端点组成的边为底边。
证明方法：E 为PA 的中点，F 为PB 的中点EF ⇒为PAB ∆的中位线AB EF //⇒。
例题二：已知：A 为DE 的中点，B 为DF 的中点。
分析方法：确定目标三角形（有中位线的三角形）A 为DE 的中点⇒点D 和点E 为目标三角形的两个端点；B 为DF 的中点⇒点D 和点F 为目标三角形的两个端点；中位线：AB点D 和点E ，点D 和点F ⇒目标三角形⇒DEF EF AB //⇒。
底边：EF证明方法：A 为DE 的中点，B 为DF 的中点AB ⇒为DEF ∆的中位线EF AB //⇒。
训练一：已知：M 为AB 的中点，N 为AC 的中点。
训练二：已知：P 为MA 的中点，Q 为MB 的中点。
训练一证明：M 为AB 的中点，N 为AC 的中点MN ⇒为ABC ∆的中位线BC MN //⇒。
训练二证明：P 为MA 的中点，Q 为MB 的中点PQ ⇒为MAB ∆的中位线AB PQ //⇒。
例题一：2012年高考数学浙江卷：如下图所示，在四棱锥ABCD P -中，底面是边长为32的菱形，且0120=∠BDA ，且⊥PA 平面ABCD ，62=PA ，M 、N 分别为PB 、PD 的中点。
（Ⅰ）证明：//MN 平面ABCD 。
证明：M 为PB 的中点，N 为PD 的中点MN ⇒为PBD ∆的中位线BD MN //⇒，⊂BD 平面ABCD //MN ⇒平面ABCD 。
第七章 第七节 立体几何中的向量方法(一)——证明平行与垂直 Word版含解析
课时作业 A 组——基础对点练1．平面α的一个法向量为v 1＝(1,2,1)，平面β的一个法向量为v 2＝(－2，－4，－2)，则平面α与平面β( ) A ．平行 B ．垂直 C ．相交D ．不确定解析：由v 1∥v 2故可判断α∥β. 答案：A2．若AB →＝λCD →＋μCE →，则直线AB 与平面CDE 的位置关系是( ) A ．相交 B ．平行C ．在平面内D ．平行或在平面内 答案：D3．已知平面α内有一点M (1，－1,2)，平面α的一个法向量为n ＝(6，－3,6)，则下列点P 中，在平面α内的是( ) A ．P (2,3,3) B ．P (－2,0,1) C ．P (－4,4,0) D ．P (3，－3,4) 答案：A4．设平面α的法向量为(1,2，－2)，平面β的法向量为(－2，－4，k )，若α∥β，则k ＝( ) A ．2 B ．－4 C ．4D ．－2 解析：∵α∥β，∴1－2＝2－4＝－2k ，∴k ＝4，故选C.答案：C5.在正方体ABCD -A1B 1C 1D 1中，棱长为a ，M 、N 分别为A 1B 、AC 的中点，则MN 与平面BB 1C 1C 的位置关系是( ) A ．相交 B ．平行 C ．垂直 D ．不能确定答案：B6.(2018·西安月考)如图，F 是正方体ABCD -A1B 1C 1D 1的棱CD 的中点．E 是BB 1上一点，若D 1F ⊥DE ，则有( ) A ．B 1E ＝EB B ．B 1E ＝2EB C ．B 1E ＝12EB D ．E 与B 重合答案：A7.如图所示，在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，点M ，P ，Q分别为棱AB ，CD ，BC 的中点，若平行六面体的各棱长均相等，则： ①A 1M ∥D 1P ； ②A 1M ∥B 1Q ；③A 1M ∥平面DCC 1D 1； ④A 1M ∥平面D 1PQB 1. 以上说法正确的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案：C8．若AB →＝λCD →＋μCE →(λ，μ∈R )，则直线AB 与平面CDE 的位置关系是 ．答案：AB ∥平面CDE 或AB 平面CDE9．(2018·武汉调研)已知平面α内的三点A (0,0,1)，B (0，1,0)，C (1,0,0)，平面β的一个法向量n ＝(－1，－1，－1)，则不重合的两个平面α与β的位置关系是 ． 答案：α∥β10．(2018·西安调研)已知AB →＝(1,5，－2)，BC →＝(3,1，z )，若AB →⊥BC →，BP →＝(x －1，y ，－3)，且BP ⊥平面ABC ，则实数x ＋y ＝ . 答案：25711.如图所示，在空间四边形ABCD 中，AB ＝BC ，CD ＝DA ，E ，F ，G 分别是CD ，DA 和AC 的中点，则平面BEF 与平面BDG 的位置关系是 ．解析：由AB ＝BC ，G 是AC 中点得BG ⊥AC ，由CD ＝DA ，G 是AC 中点得DG ⊥AC ，∴AC ⊥平面GBD ， 又EF ∥AC ，∴EF ⊥平面GBD ，∴平面BEF ⊥平面BDG . 答案：垂直12.如图，四边形ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，PD ∥QA ，QA ＝AB ＝12PD .证明：平面PQC ⊥平面DCQ . 证明：如图，以D 为坐标原点，线段DA 的长为单位长，射线DA ，DP ，DC 分别为x 轴，y 轴，z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系D -xyz .依题意有Q (1,1,0)，C (0,0,1)，P (0,2,0)， 则DQ →＝(1,1,0)，DC →＝(0,0,1)，PQ →＝(1，－1,0)． ∴PQ →·DQ →＝0，PQ →·DC →＝0. 即PQ ⊥DQ ，PQ ⊥DC ，又DQ ∩DC ＝D ，∴PQ ⊥平面DCQ ， 又PQ 平面PQC ，∴平面PQC ⊥平面DCQ .13．在底面是菱形的四棱锥P -ABCD 中，∠ABC ＝60°，P A ＝AC ＝a ，PB ＝PD ＝2a ，F 为PC 的中点，点E 在PD 上，且PEED ＝2，求证：BF ∥平面AEC . 证明：∵BF →＝BC →＋12CP →＝AD →＋12(CD →＋DP →)＝AD →＋12CD →＋32DE →＝AD →＋12(AD →－AC →)＋32(AE →－AD →)＝32AE →－12AC →， ∴BF →、AE →、AC →共面．又BF 平面AEC ，从而BF ∥平面AEC .14．已知三棱锥P -ABC ，D 、E 、F 分别为棱P A 、PB 、PC 的中点，求证平面DEF ∥平面ABC . 证明：如图．设PD →＝a ，PE →＝b ，PF →＝c ，则由条件知，P A →＝2a ，PB →＝2b ，PC →＝2c ， 设平面DEF 的法向量为n ，则n ·DE →＝0，n ·DF →＝0， ∴n ·(b －a )＝0，n ·(c －a )＝0，∴n ·AB →＝n ·(PB →－P A →)＝n ·(2b －2a )＝0，n ·AC →＝n ·(PC →－P A →)＝n ·(2c －2a )＝0，∴n ⊥AB →，n ⊥AC →，∴n 是平面ABC 的法向量，∴平面DEF ∥平面ABC .B 组——能力提升练1.如图，正方形ABCD 与矩形ACEF 所在平面互相垂直，AB ＝2，AF ＝1，M 在EF 上，且AM ∥平面BDE .则M 点的坐标为( ) A ．(1,1,1) B ．(23，23，1) C ．(22，22，1) D ．(24，24，1)答案：C2．(2018·合肥调研)如图所示，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，棱长为a ，M ，N 分别为A 1B 和AC 上的点，A 1M ＝AN ＝2a 3，则MN 与平面BB 1C 1C 的位置关系是( ) A ．相交 B ．平行 C ．垂直 D ．不能确定 答案：B3.如图，正方体ABCD -A1B 1C 1D 1的棱长为1，E ，F 分别是棱BC ，DD 1上的点，如果B 1E ⊥平面ABF ，则CE 与DF 的和的值为 ． 答案：14．已知点P 是平行四边形ABCD 所在平面外一点，如果AB →＝(2，－1，－4)，AD →＝(4,2,0)，AP →＝(－1,2，－1)．对于结论：①AP ⊥AB ；②AP ⊥AD ；③AP →是平面ABCD 的法向量；④AP →∥BD →.其中正确的是 ． 解析：AB →·AP →＝2×(－1)＋(－1)×2＋(－4)×(－1)＝－2－2＋4＝0，则AB →⊥AP →. AP →·AD →＝4×(－1)＋2×2＋0＝0，则AP →⊥AD →， ∵AP →⊥AB →，AP →⊥AD →，AB →∩AD →＝A ，∴AP →⊥平面ABCD ，故AP →是平面ABCD 的一个法向量． 答案：①②③5.(2018·郑州调研)如图所示，四棱锥P -ABCD 的底面是边长为1的正方形，P A ⊥CD ，P A ＝1，PD ＝2，E 为PD 上一点，PE ＝2ED .(1)求证：P A ⊥平面ABCD ；(2)在侧棱PC 上是否存在一点F ，使得BF ∥平面AEC ？若存在，指出F 点的位置，并证明；若不存在，说明理由． 解析：(1)证明：∵P A ＝AD ＝1，PD ＝2， ∴P A 2＋AD 2＝PD 2，即P A ⊥AD .又P A ⊥CD ，AD ∩CD ＝D ，∴P A ⊥平面ABCD .(2)以A 为原点，AB ，AD ，AP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系．则A (0,0,0)，B (1,0,0)，C (1,1,0)，P (0,0,1)，E (0，23，13)，AC →＝(1,1,0)，AE →＝(0，23，13)．设平面AEC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·AC →＝0，n ·AE →＝0，即⎩⎨⎧x ＋y ＝0，2y ＋z ＝0，令y ＝1，则n ＝(－1,1，－2)． 假设侧棱PC 上存在一点F ，且CF →＝λCP →(0≤λ≤1)， 使得BF ∥平面AEC ，则BF →·n ＝0.又∵BF →＝BC →＋CF →＝(0,1,0)＋(－λ，－λ，λ)＝(－λ，1－λ，λ)， ∴BF →·n ＝λ＋1－λ－2λ＝0，∴λ＝12，∴存在点F ，使得BF ∥平面AEC ，且F 为PC 的中点．6．如图，在棱长为2的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，M ，N 分别是棱AB ，AD ，A 1B 1，A 1D 1的中点，点P ，Q 分别在棱DD 1，BB 1上移动，且DP ＝BQ ＝λ(0＜λ＜2)． (1)当λ＝1时，证明：直线BC 1∥平面EFPQ ；(2)是否存在λ，使平面EFPQ ⊥平面PQMN ？若存在，求出实数λ的值；若不存在，说明理由．解析：(1)证明：以D 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系．由已知得B (2,2,0)，C 1(0,2,2)，E (2,1,0)，F (1，0,0)，P (0,0，λ)，M (2,1,2)，N (1,0,2)，BC 1→＝(－2,0,2)，FP →＝(－1,0，λ)，FE →＝(1,1,0)，MN →＝(－1，－1,0)，NP →＝(－1,0，λ－2)．当λ＝1时，FP →＝(－1,0,1)， 因为BC1→＝(－2,0,2)， 所以BC 1→＝2FP →， 即BC 1∥FP . 而FP 平面EFPQ ， 且BC 1平面EFPQ ， 故直线BC 1∥平面EFPQ .(2)设平面EFPQ 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )，则由⎩⎪⎨⎪⎧FE →·n ＝0，FP →·n ＝0，可得⎩⎨⎧x ＋y ＝0，－x ＋λz ＝0.于是可取n ＝(λ，－λ，1)．同理可得平面PQMN 的一个法向量为m ＝(λ－2，2－λ，1)． 则m ·n ＝(λ－2,2－λ，1)·(λ，－λ，1)＝0， 即λ(λ－2)－λ(2－λ)＋1＝0，解得λ＝1±22. 故存在λ＝1±22，使平面EFPQ ⊥平面PQMN .。
立体几何平行专题.doc
1 .在四棱锥P — ABCD中，底而为正方形，E是C的中点，求证：PA//平而EDB.2.在四棱锥P — ABCD中，底面是正方形，侧棱P D1底面A B C D, P D = D C, E是PC的中点，作E F±P B交P B于点F （1）证明:P A / /平面S D B.3.在多而体ABCDEF中，底面ABCD是正方形，四边形B D E F是矩形，G和H分别是CE和CF的中点（1 ）求证：A F 〃平面B DGH4.直三棱柱ABC-A1B1C1中，点D是AB的中点（1）求证：BC1〃平面CA1D5.直三棱柱"CfG中，。
是的中点，（II）求证：«//平面6.直三棱柱ABC-A1B1C1中，D, E分别是AB, BB1的中点.（1）证明：BC1 〃平面A1CD；7.直三棱柱ABC-A1B1C1中,M,N分别是A1B, B1C1的中点（1）求证：MN 〃平而CC1A1A8 . ABCD-A1B1C1D1是正四棱柱，侧棱长为1,底面边长为2, E 是棱BC的中点。
⑵证明：BD1 〃平面C1DE ；9 .而CDEF 正方形，面ABCD 等腰梯形,AB //CD ,（山）线段AC 上是否存在点M ，使EA 〃一平面FDM1.如图所示，平面ABCD 上平面BCEF ,且四边形ABCD 为矩形，四边形BCEF 为直角梯形,BF//CE ,BC 」CE , DC = CE = 4 , BC = BF=2 .求证：AF 〃平面CDE ；3.在四棱锥 P —ABCD 中，AB 〃CD, AB1AD, CD = 2AB,平而 PAD_L 底而 ABCD, PA_LAD, E 和 F 分别是CD 和PC 的中点.求证：(1)PA±底面ABCD ； (2)BE 〃平面PAD ；A B 2.在四棱锥P-ABCD 中，AD 〃BC, BC= 2AD,Q 是线段PB 的中点.（II ）求证：AQ 〃平面PCAD = -CE3 .多面体EDABC中,AD//CE , 2 ,M为BE中点.（I ）求证:DM//平面ABC;4 . ABCD是正方形“ AF//DE,DE =2AF=2.（H）求证:AC// 平面BEF；5 .如图，在边长为3的等边三角形ABC中，E, F分别为AB, AC边上的点，且满足AE=FC=CP =1,将AAEF沿EF折起到AAIEF的位置，连结"’扁"，若Q为A1B中点，求证：PQ〃平面A1EF6.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是AB的中点，P是B1C的中点.(1)求证：PB〃平而B1ED；7 .四棱锥P-ABCD中，BC〃 AD,BC=1,AD=3, (II)线段PA上，是否存在点E,使BE〃平面PCD?若存在,PE求PA值;若不存在，8 .四棱锥P—ABCD 中，AB1AC, AB1PA, AB〃CD, AB=2CD, E, F, G, M, N 分别为PB, AB, BC, PD, PC 的中点.（1）求证：CE〃平面PAD；E是侧棱°G的中点.（］［）求证：AC〃平面片DE中1 0 .如图，在四棱锥P—ABCD 中，AB / / DC, DC=2AB, A=AD, BD±AC, E 为D 的中点.求证：证AE/ /平面BC；1 1 .四棱锥P—ABCD, PD±平面ABCD, AB=BC, BD±AC, E 为PC 中点.证PA / / 平面BDE.1.如图,在底面是正方形的四棱锥P-ABCD中，PAl lftl ABCD, BD交AC于点E, F是PC上的点,PF=；FC, G为AC上一动点.（2）确定点G在线段AC ±的位置，使FG〃平面PBD,并说明理1土1 .2 .在四棱锥P-ABCD^^AABC是正三角形,AC与8。
立体几何中平行与垂直的证明（5篇模版）
立体几何中平行与垂直的证明（5篇模版）第一篇：立体几何中平行与垂直的证明立体几何中平行与垂直的证明姓名2.掌握正确的判定和证明平行与垂直的方法.D1【学习目标】1.通过学习更进一步掌握空间中线面的位置关系;例1．已知正方体ABCD—A1B1C1D1，O是底ABCD对角线的交点．求证：（1）C1O//平面AB1D1；（2）A1C⊥平面AB1D1．【反思与小结】1.证明线面平行的方法：2.证明线面垂直的方法：ADC1BC【变式一】如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AD=AA1=1,AB>1，点E在棱AB上移动。
求证：D1E⊥A1D；【反思与小结】1．证明线线垂直的方法：1．谈谈对“点E在棱AB上移动”转化的动态思考 2．比较正方体、正四棱柱、长方体【变式二A】如图平面ABCD⊥平面ABEF，ABCD是正方形，ABEF是矩形，且AF=D1AEBCCAD=2,G是EF的中点，2（1）求证平面AGC⊥平面BGC；（2）求空间四边形AGBC的体积。
反思与小结1．证明面面垂直的方法：2．如果把【变式二A】的图复原有什么新的认识？【变式二B】.如图，在直三棱柱(侧棱与底面垂直的三棱柱)ABC-A1B1C1中，AB=8，AC=6，BC（Ⅰ）求证：=10，D是BC边的中点.AB⊥A1C；（Ⅱ）求证：AC1∥ 面AB1D；【反思与小结】和前面证明线线垂直、线面平行比较有什么新的认识？【变式三】如图组合体中，三棱柱ABC-A1B1C1的侧面ABB1A1 是圆柱的轴截面，C是圆柱底面圆周上不与A、B重合一个点.（Ⅰ）求证：无论点C如何运动，平面A1BC⊥平面A1AC；（Ⅱ）当点C是弧AB的中点时，求四棱锥A1-BCC1B1与圆柱的体积比．【反思与小结】1．观察两个图之间的变化联系，写出感受。
2．和【变式一】进行比较，谈谈你把握动态问题的新体会【变式四】如图，四边形ABCD为矩形，AD⊥平面ABE，AE＝EB＝BC＝2，F 为CE上的点，且BF⊥平面ACE．（1）求证：AE⊥BE；（2）设M在线段AB上，且满足AM＝2MB，试在线段CE上确定一点N，使得MN∥平面DAE.【反思与小结】1．和前面两个动态问题比较，解答本题的思路和方法有什么不同？_P【变式五】如图5所示，在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB=BC=CA=3，M为AB的中点，四点P、A、M、C都在球O的球面上。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
1
D
B A 1
A
F 立体几何——平行的证明
【例1】如图，四棱锥P －ABCD 的底面是平行四边形，点E 、F 分 别为棱AB 、 PD 的中点．求证：AF ∥平面PCE ；
分析：取PC 的中点G ，连EG .，FG ，则易证AEGF 是平行四边形
【例2】如图，已知直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ⊥BC ，AB ＝1，BC ＝2，CD ＝1＋3，过A 作AE ⊥CD ，垂足为E ，G 、F 分别为AD 、CE 的中点，现将△ADE 沿AE 折叠，使得DE ⊥EC 。
（Ⅰ）求证：BC ⊥面CDE ； （Ⅱ）求证：FG ∥面BCD ；
分析：取DB 的中点H ，连GH,HC 则易证FGHC 是平行四边形
【例3】已知直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D, E, F 分别为AA 1, CC 1, AB 的中点， M 为BE 的中点, AC ⊥BE. 求证：
（Ⅰ）C 1D ⊥BC ； （Ⅱ）C 1D ∥平面B 1FM. 分析：连EA ，易证C 1EAD 是平行四边形，于是MF//EA
（第1题图）
2
【例4】如图所示, 四棱锥P -ABCD 底面是直角梯形, ,,AD CD AD BA ⊥⊥CD=2AB, E 为PC 的中点, 证明: //EB PAD 平面;
分析:：取PD 的中点F ，连EF,AF 则易证ABEF 是平行四边形
(2) 利用三角形中位线的性质
【例5】如图，已知E 、F 、G 、M 分别是四面体的棱AD 、CD 、BD 、BC 的中点，求证：AM ∥平面EFG 。
分析：连MD 交GF 于H ，易证EH 是△AMD 的中位线
【例6】如图，ABCD 是正方形，O 是正方形的中心，E 是PC 的中点。
求证： PA ∥平面BDE
【例7】如图，三棱柱ABC —A 1B 1C 1中， D 为AC 的中点.
求证：AB 1//面BDC 1；
分析：连B 1C 交BC 1于点E ，易证ED 是
△B 1AC 的中位线
A
B
C
D
E
F G M
3
P
E
D
C
B
A
【例8】如图，平面ABEF ⊥平面ABCD ，四边形ABEF 与ABCD 都是直角梯形，
090,BAD FAB BC
∠=∠=//=
1
2
AD ，BE //=
1
2
AF ，,G H 分别为,FA FD 的中点 （Ⅰ）证明：四边形BCHG 是平行四边形； （Ⅱ）,,,C D F E 四点是否共面？为什么？
（.3）
利用平行四边形的性质
【例9】正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中O 为正方形ABCD 的中心，M 为BB 1的中点， 求证： D 1O//平面A 1BC 1;
分析：连D 1B 1交A 1C 1于O 1点，易证四边形OBB 1O 1 是平行四边形
【例10】在四棱锥P-ABCD 中，AB ∥CD ，AB=2
1
DC ，中点为PD E . 求证：AE ∥平面PBC ；
分析：取PC 的中点F ，连EF 则易证ABFE 是平行四边形
【例11】在如图所示的几何体中，四边形ABCD 为平行四边形，∠ ACB=90︒，ＥＡ⊥平面ＡＢＣＤ，EF ∥ＡＢ，ＦＧ∥ＢＣ，ＥＧ∥ＡＣ.ＡＢ=２ＥＦ。
若Ｍ是线段ＡＤ的中点，求证：ＧＭ∥平面ＡＢＦＥ;
4
（I ）证法一：
因为EF//AB ，FG//BC ，EG//AC ，90ACB ∠=︒， 所以90,EGF ABC ∠=︒∆∽.EFG ∆ 由于AB=2EF ，因此，BC=2FC ， 连接AF ，由于FG//BC ，BC FG 2
1
=
在ABCD Y 中，M 是线段AD 的中点，则AM//BC ，且BC AM 2
1
=
因此FG//AM 且FG=AM ，所以四边形AFGM 为平行四边形，因此GM//FA 。
又FA ⊂平面ABFE ，GM ⊄平面ABFE ，所以GM//平面AB 。
(4)利用对应线段成比例
【例12】如图：S 是平行四边形ABCD 平面外一点，M 、N 分别是SA 、BD 上的点，且SM AM =ND
BN
， 求证：MN ∥平面SDC
分析：过M 作ME//AD ，过N 作NF//AD 利用相似比易证MNFE 是平行四边形
【例13】如图正方形ABCD 与ABEF 交于AB ，M ，N 分别为AC 和BF 上的点且AM=FN 求证：MN ∥平面BEC
分析：过M 作MG//AB ，过N 作NH/AB 利用相似比易证MNHG 是平行四边形
A F
E
B
C D
M
N
【例14】如图是某直三棱柱(侧棱与底面垂直)被削去上底后的直观图与三视图中的侧(左)视图、俯视图，在直观图中，M是BD的中点，侧(左)视图是直角梯形，俯视图是等腰直角三角形，有关数据如图所示．
(1)求出该几何体的体积；
(2)若N是BC的中点，求证：AN∥平面CME；
(3)求证：平面BDE⊥平面BCD.
【例15】直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD是等腰梯形，AB∥DC，AB＝2AD ＝2DC＝2，E为BD1的中点，F为AB中点．
(1)求证EF∥平面ADD1A1；
（2）求几何体DD1AA1EF的体积。
5。