江苏省高等数学竞赛试题-解析几何部分
江苏省高校第十一届本三高等数学竞赛试题
江苏省高校第十一届本三高等数学竞赛试题2012年江苏省普通高等学校第十一届高等数学竞赛试题(本科三级)一填空题(每小题4分，共32分) 1.=-+-+→561)434lim 4x x x 。
2.=+++→∞433321lim n n n 。
3.=?→x x tdtt x x 32030sin sin lim 。
4.),1ln(x y -=则=)(n y 。
5.?=xdx x arctan 2 。
6. =?dx xx 211arccos 。
7. 函数),(),(),(y x f x x ψ?皆可微，设)),(),((xy y x f z ψ?+=则=??-??yz x z 。
8.交换积分次序??x dy y x f dx cos 2040),(π 。
二、(每小题6分，共12分)(1)求))(13(lim 31223∑=→∞+-i n i n n n 。
(2)设)(x f 在0=x 处二阶可导，且,2)0(='f 求20)()1(lim x x f e f x x --→。
三、(第(1)小题4分，第(2)小题6分，共10分)在下面两题中，分别指出满足条件的函数是否存在？若存在，举一例；若不存在，请给出证明。
(1)函数)(x f 在在),(δδ-上有定义)0(>δ，当0<<-x δ时，)(x f 严格增加，当δ<<="" f="" p="" 严格减少，)(lim="" 时，)(x=""> x f x →存在，且)0(f 是)(x f 极小值。
(2)函数)(x f 在),(δδ-上一阶可导)0(>δ,)0(f 为极值，且))0(,0(f 为曲线)(x f y =的拐点。
四、(12分)求一个次数最低的多项式)(x P ，使得它在1=x 时取极大值2，且)0,2(是曲线)(x P y =的拐点。
江苏省专转本高等数学第七章矢量与解析几何核心知识点例题讲解(含答案)
第七章 矢量与空间解析几何本章主要知识点● 矢量运算 ● 平面 ● 直线方程● 主要的几个立体图形及方法一、矢量运算着重掌握矢量的内积、叉积运算，并深刻理解这两种运算在研究线线、线面、面面之间位置关系时的作用；掌握以矢量为主要线索来建立直线和平面方程的方法和实质。
1．矢量的内积（1）cos a b a b θ⋅⋅⋅ ，其中θ为,a b的夹角（2）若{}{}321321,,,,,b b b b a a a a ==，332211b a b a b a ++=⋅ 且a = （3）0=⋅⇔⊥b a b a (b a ,为非零矢量)例7.1．{}{}3,0,1,2,1,1-==，求a b ⋅。
解：()5320111=⨯+⨯+-⨯=⋅b a 。
例7.2．如果{}{}3,,2,,2,1a b λλ=-=-，且b a ⊥，求λ。
解：0=⋅ 得：3220λλ++= 得：25λ=-。
2．矢量的叉积a b ⨯如图所示，如果不平行于，则⨯同时垂直与又垂直于，或者等价地，⨯=垂直于由,确定的一平面。
它在后面研究平面与直线中起相当重要的作用。
如果{}{}321321,,,,,b b b b a a a a ==那么321321b b b a a a k j ib a =⨯， 利用第一行代数余子式展开计算。
若,非零，//2121210c c b b a a ==⇔=⨯⇔ 例7.3．{}{}3,2,1,1,1,1=-=，求⨯解：{}3,2,5325211131113211321111--=+--=-+--=-=⨯k j i kjik j i例7.4．如果{}1,,1,a λ= {}2,3,2b = ，//a b 求λ解：11232λ==，解得：32λ=。
3．单位向量0aa a= 为矢量a 的方向上的单位矢量。
aba b ⨯图示7.14．矢量b 在a 上的投影()aproj b()2aa b proj b a a⋅=二、平面方程1．平面方程的基本形式（点法式）平面π过点()0,000,z y x M ，法矢量为{}C B A ,,=那么平面方程为()()()000000n MM A x x B y y C z z ⋅=⇔-+-+-=（1）点法式有两个基本要素：点0M 和法向量n 。
江苏省历届高等数学竞赛试卷（1991-2010）
江苏省历届高等数学竞赛试卷（1991-2010）江苏省第一届（1991年）高等数学竞赛本科竞赛试题（有改动）一、填空题（每小题5分，共50分）1.函数sin sin y x x=（其中2x π≤）的反函数为________________________。
2.当0→x 时，34sin sin cos x x x x -+x 与nx 为同阶无穷小，则n =____________。
3.在1x =时有极大值6，在3x =时有极小值2的最低幂次多项式的表达式是_____________________________________。
4.设(1)()n m nn d x p x dx -=，n m ,是正整数，则(1)p =________________。
5.222[cos()]sin x x xdx ππ-+=?_______________________________。
6. 若函数)(t x x =由=--xt dt e t 12所确定的隐函数，则==022t dt xd 。
7.已知微分方程()y y y x x ?'=+有特解ln x y x =，则()x ?=________________________。
8.直线21x zy =??=?绕z 轴旋转，得到的旋转面的方程为_______________________________。
9.已知a 为单位向量，b a 3+垂直于b a 57-，b a 4-垂直于b a 27-，则向量b a、的夹角为____________。
10.=?????????? ??+???? ?+???? ??+∞→nn n n n n 122222212111lim 。
二、（7分）设数列{}n a 满足1,2,21≥+=->+n a a a n n n ，求nn a ∞→lim 。
三、（7分）求c 的值，使?=++bac x c x 0)cos()(，其中a b >。
高中数学竞赛专题讲座之五：解析几何_2_
高中数学竞赛专题讲座之五： 《解析几何》各类竞赛试题选讲一、选择题1．（04湖南）湖南）已知曲线已知曲线C ：x x y 22--=与直线0:=-+m y x l 有两个交点，则m 的取值范围是(C) A ．)2,12(-- B ．)12,2(--C ．)12,0[-D ．)12,0(-2．（05全国）方程13cos 2cos 3sin 2sin 22=-+-y x 表示的曲线是表示的曲线是（ ）A ．焦点在x 轴上的椭圆轴上的椭圆B ．焦点在x 轴上的双曲线轴上的双曲线C ．焦点在y 轴上的椭圆轴上的椭圆D ．焦点在y 轴上的双曲线轴上的双曲线3．（06浙江）已知两点A (1,2), B (3,1) 到直线L 的距离分别是25,2-，则满足条件的直线L 共有（共有（ C ）条. A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 解: 由,5=AB 分别以A ，B 为圆心，2，5为半径作两个圆，则两圆外切，有三条共切线。
正确答案为C. 4．（06安徽）过原点O 引抛物线224y x ax a =++的切线，当a 变化时，两个切点分别在抛物线（线（ ）上）上A ．2213,22y x y x == B ．2235,22y x y x ==C ．22,3y x y x ==D ．223,5y x y x ==5．若在抛物线)0(2>=a ax y 的上方可作一个半径为r 的圆与抛物线相切于原点O ，且该圆与抛物线没有别的公共点，则r 的最大值是(A ) A ．a 21 B ．a1C ．aD ．a 26．（06江苏）已知抛物线y 2=2px ，o 是坐标原点，F 是焦点，P 是抛物线上的点，使得△POF 是直角三角形，则这样的点P 共有(B) A ．0个B ．2个C ．4个D ．6个7．（06全国）如图3，从双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点F 引圆222x y a +=的切线，切点为T ．延长FT 交双曲线右支于P 点.若M 为线段FP 的中点，O 为坐为坐 标原点，则||||MO MT -与b a -的大小关系为（的大小关系为（ ） A ．||||MO MT b a ->-B ．||||MO MT b a -=-C ．||||MO MT b a -<-D ．不确定．不确定8．（05四川）双曲线12222=-b y a x 的左焦点为1F ，顶点为21,A A ，P 是该双曲线右支上任意一点，则分别以线段211,A A PF 为直径的两圆一定为直径的两圆一定 （ ）A ．相交．相交B ．内切．内切C ．外切．外切D ．相离．相离解：设双曲线的另一个焦点为2F ，线段1PF 的中点为C ，在△PF F 21中，C 为1PF 的中点，O 为21F F 的中点，从而|)||(|21||212112A A PF PF OC -==，从而以线段211,A A PF 为直径的两圆一定内切. 9．点A 是直线x y l 3:=上一点，且在第一象限，点B 的坐标为（3，2），直线AB 交x 轴正半轴于点C ，那么三角形AOC 面积的最小值是（A ）10．（02湖南）已知A （-7，0），B （7，0），C （2，-12）三点，若椭圆的一个焦点为C ，且过A 、B 两点，此椭圆的另一个焦点的轨迹为（两点，此椭圆的另一个焦点的轨迹为（ ）（奥析263） A ．双曲线．双曲线 B ．椭圆．椭圆 C ．椭圆的一部分．椭圆的一部分 D ．双曲线的一部分．双曲线的一部分11．（03全国）过抛物线)2(82+=x y 的焦点F 作倾斜角为60O的直线。
全国高中数学联赛江苏赛区试卷(8)含解析
江苏赛区初赛试题参考答案及评分标准一、选择题（本题满分30分，每小题6分）1.答：[B] 解 由柯西不等式ab y x n m ny mx =++≤+))(()(22222；或三角换元即可得到ab ny mx ≤+，当2an m ==，2b y x ==时，ab ny mx =+. 选B. 2.答：[D]解 取161=a ，把坐标代入检验，4116121=⎪⎭⎫ ⎝⎛ ，而2116141=⎪⎭⎫ ⎝⎛，∴公共点只可能是 点N . 选D. 3.答：[A]解 第一、二行后两个数分别为2.5，3与1.25，1.5；第三、四、五列中的5.0=x ，165=y ，163=z ，则1=++z y x . 选A. 4. 答：[B] 解 两个三角形的内角不能有直角；111C B A ∆的内角余弦都大于零，所以是锐角三角形；若222C B A ∆是锐角三角形，则不妨设cos 1A =sin 2A =cos ⎪⎭⎫⎝⎛-12A π， cos 1B =sin 2B =cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛-22A π，cos 1C =sin 2C =cos ⎪⎭⎫⎝⎛-12C π.则 212A A -=π，212B B -=π，212C C -=π，即 )(23222111C B A C B A ++-=++π，矛盾. 选B.5.答： [D]解 任作a 的平面α，可以作无数个. 在b 上任取一点M ，过M 作α的垂线. b 与垂线确定的平面β垂直于α. 选D.二、填空题（本题满分50分，每小题10分） 6. 解 ∵2<x ，[]x 的值可取1,0,1,2--.当[x ]=2-，则02=x 无解； 当[x ]=1-，则12=x ，∴x =1-； 当[x ]=0，则22=x 无解； 当[x ]=1，则32=x ，∴3=x . 所以31或-=x .7. 解 考虑对立事件，216916513=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=P .8. 解 由图，ABC ∆与OCB ∆的底边相同，高是5：1. 故面积比是5：1.9. 解 由圆锥曲线的定义，圆心可以是以(2,0)为焦点、2-=x 为准线的抛物线上的点；若切点是原点，则圆心在x 轴负半轴上.所以轨迹方程为)0(82>=x x y ，或)0(0<=x y .10. 解 切割化弦，已知等式即CB CB C A C A B A B A cos cos sin sin cos cos sin sin cos cos sin sin +=， 亦即C B A C B A cos )sin(sin sin sin +=，即C C B A 2sin cos sin sin =1，即1cos 2=c C ab .所以，122222=-+c c b a ，故3222=+cb a . 三、解答题（本题满分70分，各小题分别为15分、15分、20分、20分）11. 解 由题 1)1(2)(2+--=x x f ， ……5分1)(≤∴x f ，11≤∴m，即1≥m ，[]n m x f ,)(在∴上单调减， m m m f 11)1(2)(2=+--=∴且nn n f 11)1(2)(2=+--=. ……10分m ∴，n 是方程xx x f 11)1(2)(2=+--=的两个解，方程即)122)(1(2---x x x =0，解方程，得解为1，231+，231-.n m <≤∴1，1=∴m ，231+=n . ……15分12. 证 （Ⅰ）设点A 的坐标为)sin ,cos (θθr r ，B 的坐标为)sin ,cos (θθ''''r r ，则r =，r ='A 在双曲线上，则19sin 4cos 222=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-θθr .所以9sin 4cos 1222θθ-=r . …5分 由0=⋅得⊥，所以θθ22sin cos ='，θθ'=22sin cos .同理，9cos 4sin 9sin 4cos 122222θθθθ-='-'='r ，3659141'11||||2222=-=+=+r r OB OA . ……10分=，所以==⎪⎭⎫⨯.1365914111=⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⨯. 于是，5362=OP . 即P 在以O 为圆心、556为半径的定圆上. ……15分 13.解 在平面M 中，过A 作DA 的垂线，交射线DB 于B 点；在平面N 中，过A 作DA 的垂线，交射线DC 于C 点.设DA=1，则βtan =AB ，βcos 1=DB ，γtan =AC ，γcos 1=DC ，…5分并且ϕ=∠BAC 就是二面角N l M --平面角. ……10分在ABC DBC ∆∆与中，利用余弦定理，可得等式ϕγβγβαγβγβcos tan tan 2tan tan cos cos cos 2cos 1cos 122222-+=-+=BC ， 所以，αγβγβγβϕγβcos cos cos 2cos 1cos 1tan tan cos tan tan 22222+--+= =γβγβαcos cos )cos cos (cos 2-，……15分故得到γβγβαϕsin sin cos cos cos cos -=. ……20分14. 解（Ⅰ）不能. ……5分因为若每行的积都相等，则9个数的积是立方数. 但是 2×4×6×8×12×18×24×36×48=21+2+1+3+2+1+3+2+4×3121211+++++=219·38不是立方数，故不能.（Ⅱ）可以. ……15分 如右表表中每行、每列及对角线的积都是26·23. ……20分36 2 248 12 18 6724。
江苏省第十四届高等数学(本科四级)竞赛试题
2017年江苏省普通高等学校非理科专业第十四届高等数学（本科四级）竞赛试题解答题：作答时给出相应解题步骤，计算或证明过程（共11小题，总计100分）1.（10分）求下列极限：（1）⎪⎭⎫ ⎝⎛++⋅⋅⋅++++∞→n n n n n n 2222211lim ； （2）⎪⎭⎫ ⎝⎛++⋅⋅⋅++++∞→2222222211lim n n n n n n . 2.（5分）已知函数f (x )在x=2处连续，42)(lim 2=--→x x x f x ，试证函数f (x )在x=2处可导，并求f′(2). 3.（5分）设[x ]表示实数x 的整数部分，试求定积分x xx d ][412⎰. 4.（5分）设,21;102)(2≤≤≤≤⎪⎩⎪⎨⎧-=x x x x x x f 交换二次积分⎰⎰-+10112d )(d y y x x f y 的次序，并求此二次积分的值. 5.（10分）判断下列命题是否成立？若判断成立，给出证明，若判断不成立，则举一反例，并加以证明其不成立.命题1：若函数f (x )，g (x )在x=a 处皆不连续（a ∈R ），则f (x )+g (x )在x=a 处不连续；命题2：若函数f (x )，g (x )在x=a 处皆连续（a ∈R ），但不可导，则f (x )+g (x )在x=a 处不可导；6.（13分）已知曲线)1(22x x y -=， （1）求单调区间与极值；（2）求凹凸区间；（3）求渐近线；（4）画出此曲线的简图.7.（8分）已知()n n n x n 2)1ln(2)1ln(2-+++=，试判别数列{x n }的单调性.8.（10分）设n ∈N*，⎰=20d sin 2sin πx xnx I n ， （1）求I n -I n-1（n ≥2）； （2）试求定积分⎰=203d sin 6sin πx xx I . 9.（10分）若直线L 通过点P (2,3,12)，与已知直线L 1：⎩⎨⎧=-+=--002z y x z y x 垂直且相交，试求直线L 的方程，并求点P 到直线L 1的距离.10.（12分）求函数332263)(9),(y x y x x y y x f ++-+-=的极值.11.（12分）设{}420),(22≤+≤+≤=y x y x y x D ，，试求二重积分σ⎰⎰++D y x y x d 22.。
江苏省第一届至第十界高等数学竞赛本科一级真题
江苏省第一届（1991年）高等数学竞赛本科竞赛试题（有改动）一、填空题（每小题5分，共50分） 1.函数sin sin y x x =（其中2x π≤）的反函数为________________________。
2.当0→x 时，34sin sin cos x x x x -+x 与nx 为同阶无穷小，则n =____________。
3.在1x =时有极大值6，在3x =时有极小值2的最低幂次多项式的表达式是 _____________________________________。
4.设(1)()n m nnd x p x dx-=，n m ,是正整数，则(1)p =________________。
5.222[cos()]sin x x xdx ππ-+=⎰_______________________________。
6. 若函数)(t x x =由⎰=--xt dt e t 102所确定的隐函数，则==022t dt xd 。
7.已知微分方程()y yy x xϕ'=+有特解ln x y x =，则()x ϕ=________________________。
8.直线21x zy =⎧⎨=⎩绕z 轴旋转，得到的旋转面的方程为_______________________________。
9.已知a v为单位向量，b a ϖϖ3+垂直于b a ϖϖ57-，b a ϖϖ4-垂直于b a ϖϖ27-，则向量b a ϖϖ、的夹角为____________。
10. =⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫⎝⎛+∞→nn n n n n 122222212111lim Λ 。
二、（7分）设数列{}n a 满足1,2,21≥+=->+n a a a n n n ，求n n a ∞→lim 。
三、（7分）求c 的值，使⎰=++b ac x c x 0)cos()(，其中a b >。
江苏数学竞赛试题及答案
江苏数学竞赛试题及答案【试题一】题目：求证：对于任意正整数\( n \)，\( 1^2 + 2^2 + 3^2 +\ldots + n^2 = \frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6} \)。
【答案】证明：我们使用数学归纳法来证明这个等式。
1. 当\( n = 1 \)时，左边为\( 1^2 = 1 \)，右边为\( \frac{1\cdot 2 \cdot 3}{6} = 1 \)，等式成立。
2. 假设当\( n = k \)时等式成立，即\( 1^2 + 2^2 + 3^2 + \ldots + k^2 = \frac{k(k + 1)(2k + 1)}{6} \)。
3. 当\( n = k + 1 \)时，我们需要证明\( 1^2 + 2^2 + 3^2 +\ldots + k^2 + (k + 1)^2 = \frac{(k + 1)(k + 2)(2k + 3)}{6} \)。
4. 根据假设，将\( k \)的和代入，得到\( \frac{k(k + 1)(2k + 1)}{6} + (k + 1)^2 \)。
5. 简化上述表达式，我们得到\( \frac{(k + 1)(k + 2)(2k + 3)}{6} \)，这正是我们需要证明的等式。
6. 因此，根据数学归纳法，对于任意正整数\( n \)，等式成立。
【试题二】题目：已知函数\( f(x) = x^3 - 3x^2 + 2 \)，求\( f(x) \)的极值。
【答案】解：首先求导得到\( f'(x) = 3x^2 - 6x \)。
令\( f'(x) = 0 \)，解得\( x = 0 \)或\( x = 2 \)。
1. 当\( x < 0 \)或\( x > 2 \)时，\( f'(x) > 0 \)，函数\( f(x) \)在此区间单调递增。
2. 当\( 0 < x < 2 \)时，\( f'(x) < 0 \)，函数\( f(x) \)在此区间单调递减。
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解析几何1.椭圆2226x y +=到直线4x y +=的最大和最小距离。
解2226x y +=上点(,)x y 到4x y +=的距离1d (,)42x y x y =+-，()221d (,)42x y x y =+-。
令()()22214262F x y x y λ=+-++-， ()()'''22420440260x y F x y x F x y x F x y λλλ⎧=+-+=⎪⎪=+-+=⎨⎪=+-=⎪⎩ 解得21x y =±⎧⎨=±⎩17d(2,1),d(2,1),22=--=所以71maxd ,mind 22==。
2.已知两平面曲线(,)0,(,)0f x y x y ϕ==，又(,)αβ和(,)ζη分别为两曲线上点，试证如果这两点是这两条曲线上相距最近或最远的点，则下列关系式必成立：(,)(,)(,)(,)x x y y f f αβϕζηαζβηαβϕζη-==-。
证 问题为求22201212()()u d x x y y ==-+-在条件11(,)0f x y =及22(,)0x y ϕ=下的最值。
20111222(,)(,)F d f x y x y λλϕ=++，则由111122221211211221222()02()02()02()0x x y y x x y y F x x f F y y f F x x F y y λλλϕλϕ⎧=-+=⎪=-+=⎪⎪⎨=--+=⎪⎪=--+=⎪⎩得1212112212121122(,)(,)(,)(,)x x y y f x y x y x x y y f x y x y ϕϕ-==-，若20u d =在1122,,,x y x y αβζη====处达到最值，其中(,)0,(,)f αβϕζη==，则必有1212(,)(,)(,)(,)x x y y f f αβϕζηαζβηαβϕζη-==-，即(,)(,)(,)(,)x x y y f f αβϕζηαζβηαβϕζη-==-，证毕。
3.椭球面1S 是椭圆22143x y +=绕x 轴旋转而成，圆锥面2S 是由过点(4,0)且与椭圆22143x y +=相切的直线绕x 轴旋转而成。
求 （1）1S 及2S 的方程； （2）1S 与2S 之间的立体体积解 （1）椭圆22:143x y Γ+=绕x 轴旋转而成的椭球面1S 的方程为 222143x y z ++= 为求2S 的方程，先求Γ上过点(4,0)的切线L 。
Γ上任意点00(,)x y 的切线的斜率是0'0(,)034x y x y y =-，相应的切线方程是 000003()4x x y x x y y =-- 将4,0x y ==代入上式得2200043x y x +=。
又因为00(,)x y 在Γ上，故满足Γ的方程2200143x y +=， 总和以上条件有0031,2x y ==±。
只需考虑00y >，于是得到切线L 的方程为1(4)2y x =--。
于是2S 的方程为2221(4)4y z x +=-。
（2）1S 与2S 之间的区域Ω的体积为V ，它由椎体的一部分1Ω除去椭球体的一部分2Ω组成，而与x 轴垂直的2Ω的截面区域()D x 为222214x y z ⎛⎫+≤- ⎪⎝⎭。
于是2Ω的体积为222211()53144D x x V dx dydz dx ππ⎛⎫==⋅-= ⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰。
按锥体的体积公式，得1Ω的体积211393324V ππ⎛⎫=⋅= ⎪⎝⎭。
因此，12V V V π=-=。
4.可微函数(,)f x y 满足0(,)(,),(1,2,2)f tx ty tf x y P =-是曲面(,)Z f x y =上一点，且'(1,2)4x f -=，求曲面(,)Z f x y =在0P 处的切平面方程。
解 ''12(,)(,)(,)f tx ty x f tx ty y f x y += 令1t =，则''12(,)(,)(,)f tx ty x f tx ty y f x y += ''12(1,2)(1,2)(2)(1,2)f f f -+--=-，'2(1,2)1f -={4,1,1}n =-切平面：4(1)(2)(2)0x y z -++--=。
5.在第一卦限内做椭球面2222221x y z a b c++=的切平面，使得切平面与坐标平面所围城的四面体的体积最小，并求切点坐标。
解 用拉格朗日乘数法。
切点,,333a b c ⎛⎫⎪⎝⎭。
切平面1333x y z a b c ++=。
6.将边长为6的正方形ABCD 用平行于AB 的线段,EF GH 分成三等分，沿,EF GH 将正方形（如图61）折成三棱柱（如图62），使,BA CD 与Oz 轴重合，点,B C 与原点O 重合，EF 在zOx 坐标面上，HG 在第一卦限，此时正方形的对角线BD 被折成空间折线BP PQ QA --。
（1）求线段PQ 在直角坐标系中绕Oz 轴旋转所形成的旋转曲面的方程。
（2）过点,P Q 分别作平行于xOy 坐标面的两平面，求此两平面与题（1）的旋转曲面所围城的立体的体积。
解 （1）点,P Q 在直角坐标系中的坐标为(2,0,2)P 、(1,3,4)Q ，过,P Q 两点的空间直线的参量方程为2,3,22x t y t z t =-==+线段PQ 绕Oz 轴旋转所得旋转曲面上的点(,,)M x y z 满足2222(2)322x y t t z t⎧+=-+⎨=+⎩ 消去参量t ，得222(3)3x y z +--=（单叶双曲面）。
（2）4423221203(3)3(3)33V z dz z z πππ⎡⎤⎡⎤=+-=+-=⎣⎦⎢⎥⎣⎦⎰。
7.在曲面224z x y =+上求点，使曲面在点的切平面经过点(5,2,1)且与直线123214x y z ---==平行。
解 曲面224z x y =+上点(,,)x y z 的切平面法向量{2,8,1}n x y =---，由题意 {2,8,1}{2,1,4}0x y --⋅= （1） 向量{5,2,1}x y z ---在切平面内，故{5,2,1}{2,8,1}0x y z x y ---⋅--= （2） 又 224z x y =+ （3）联立（1），（2），（3）解得(1,1,5)--或(3,1,13)--是所求的点。
8.过椭圆2221ax by cz ++=外一定点(,,)αβγ做其切平面。
再过椭圆中心作切平面的垂线，求垂足的轨迹方程。
解 设切平面为 l x m y n z p ++= （1）自中心作切平面的垂线为x y zl m n== （2） 因切平面过(,,)αβγ，故l m n p αβγ++= （3）又0000000001ax by cz ax by cz l m n lx my nz p++====++ （3*）又2220001l m n ax by cz a b c ap bp cp ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++=++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，得 2222l m n p a b c++= （4） 由式（1），（2），（3*），（4）联立消去,,,l m n p ，得2222()()()0()x x y y z z x y z x y z ab c αβγαβγ-+-+-=⎧⎪⎨++=++⎪⎩ 即为所求的轨迹方程。
9.过椭圆223231x xy y ++=上任意点作椭圆的切线，试求诸切线与坐标轴所围三角形面积的最小值。
解 设(,)M ξη为椭圆上任一点，则过此点的切线方程为3()3Y X ξηηξξη+-=--+，它与坐标轴的交点为11,0,0,33A B ξηξη⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，于是切线与坐标轴所围成三角形面积112(3)(3)S ξηξη=++，利用条件极值，设22(,,)(3)(3)(3231)F x y x y x y x xy y λλ=+++++-，令610(62)0Fx y x y xλ∂=+++=∂ 106(26)0Fx y x y yλ∂=+++=∂ 解得22,,44x y x y =±=±=±， min 14S =。
10.求椭球面2221x y z xy ++-=在坐标面Oyx 上的投影（即通过椭球面上每一点向平面Oyx 做垂线所得到的垂足的全体）的边界曲线的方程。
解 2221y z +=。
11.有一张边长为4π的正方形纸（如图45），,C D 分别为','AA BB 的中点，E 为'DB 的中点，现将纸卷成圆柱形，使A 与'A 重合，B 与'B 重合，并将圆柱垂直放在xOy 平面上，且B 与原点O 重合，D 落在y 轴正向上，此时，求： （1）通过,C E 两点的直线绕z 轴旋转所得的旋转曲面方程； （2）此旋转曲面、xOy 平面和过A 点垂直与于轴的平面所围成的立体体积。
解 圆柱面为22:{(,,z)|(2)4,04}S x y x y z π+-=≤≤，D 点坐标为(0,4,0)，E 点坐标可取为(2,2,0)，（1）C 点坐标为(0,4,4)π，过,C E 两点的直线方程为22224x y zπ--==- ，故旋转曲面方程为2222182x y z π+=+。
（2）旋转曲面在垂直于z 轴方向的截面是一个半径为22182z π+的圆，所以所求体积V 为4222013283223V z dz πππππ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭⎰。
12.求λ的值，使两曲面：xyz λ=与2222221x y z a b c++=在第一卦限内相切，并求出在切点处两曲面的公共切平面方程。
解 曲面xyz λ=在点(,,)x y z 处切平面的法向量为{}1,,n yz zx xy =。
曲面2222221x y z a b c ++=在点(,,)x y z 处切平面的法向量为2222,,x y z n a b c ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭。
欲使两曲面在点(,,)x y z 处相切，必须12//n n ，即222x y zt a yz b zx c xy===。
由0,0,0x y z >>>，得2222223x y z t a b c λλλ++=，即31t λ=。
于是有22222213x y z a b c ===，解得,,,33333a b c abc x y z λ====。
公共切平面方程为0333333bc a ac b ab c x y z ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，化简得3x y za b c++=。