抽象函数解方法与技巧

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抽象函数常见题型解法

抽象函数常见题型解法一、定义域问题例1. 已知函数的定义域是［1，2］，求f(x)的定义域。

解：的定义域是［1，2］，是指，所以中的满足从而函数f(x)的定义域是［1，4］评析：一般地，已知函数的定义域是A，求f(x)的定义域问题，相当于已知中x的取值范围为A，据此求的值域问题。

例2. 已知函数的定义域是，求函数的定义域。

解：的定义域是，意思是凡被f作用的对象都在中，由此可得所以函数的定义域是评析：这类问题的一般形式是：已知函数f(x)的定义域是A，求函数的定义域。

正确理解函数符号及其定义域的含义是求解此类问题的关键。

这类问题实质上相当于已知的值域B，且，据此求x的取值范围。

例2和例1形式上正相反。

二、求值问题例3. 已知定义域为的函数f(x)，同时满足下列条件：①；②，求f(3)，f(9)的值。

解：取，得因为，所以又取得评析：通过观察已知与未知的联系，巧妙地赋值，取，这样便把已知条件与欲求的f(3)沟通了起来。

赋值法是解此类问题的常用技巧。

三、值域问题例4. 设函数f(x)定义于实数集上，对于任意实数x、y，总成立，且存在，使得，求函数的值域。

解：令，得，即有或。

若，则，对任意均成立，这与存在实数，使得成立矛盾，故，必有。

由于对任意均成立，因此，对任意，有下面来证明，对任意设存在，使得，则这与上面已证的矛盾，因此，对任意所以评析：在处理抽象函数的问题时，往往需要对某些变量进行适当的赋值，这是一般向特殊转化的必要手段。

四、解析式问题例5. 设对满足的所有实数x，函数满足，求f(x)的解析式。

解：在中以代换其中x，得：再在(1)中以代换x，得化简得：评析：如果把x和分别看作两个变量，怎样实现由两个变量向一个变量的转化是解题关键。

通常情况下，给某些变量适当赋值，使之在关系中“消失”，进而保留一个变量，是实现这种转化的重要策略。

五、单调性问题例6. 设f(x)定义于实数集上，当时，，且对于任意实数x、y，有，求证：在R上为增函数。

抽象函数题的解法与技巧

抽象函数题的解法及技巧随着高考改革的不但深入，对基本初等函数中的抽象函数部分考查又有所提高，其题型包括抽象函数的定义域值域问题，抽象函数的单调性和奇偶性问题，求解析式及对称性问题，现就结合着近几年高考出现的体型对抽象函数部分题的解法及技巧总结如下，供备考同学们参考使用。

类型一：求抽象函数的定义域。

例题1．（2013高考大纲版数学（理））已知函数f(x ）的定义域为（-1,0）,则函数f （2x-1）的定义域为 (A)（-1,1） (B)（-1，21） (C)（-1,0） (D)（21，1）解析：因为原函数的定义域为（﹣1，0），所以﹣1＜2x ﹣1＜0，解得﹣1＜x ＜．所以则函数f （2x ﹣1）的定义域为（-1，21）．故选B ．变式1：已知f （2x-1）定义域是[]2,1，则函数)(x f 的定义域为答案：[1,3]变式2：已知已知f(2x-1)定义域是[]2,1，则函数)12(+x f 的定义域为答案：[0,1] 解题技巧：抽象函数是没有解析式的函数，解决此类问题的方法是抓住这种类型题的本质，像例题1这种题型的本质是解不等式，变式1题型的本质就是求函数的值域，变式2这种题型的本质就是解不等式和求值域的结合。

解决这类问题的技巧搞清本质抓住两个小括号的范围要对应起来，是解决的技巧所在。

类型二：抽象函数的求值问题：例2.对任意实数x,y ，均满足f(2x +y)=2[f 2)(x ]+f(y)且f （1）≠0，则f2014）=_______. 解析:这种求较大自变量对应的函数值，一般从找周期或递推式着手：令x=1，y=n ，得f （n+1）=f （n ）+22)]1([f , 令x=0,y=1,得f(0+12)=f(0)+2f[(1)]2, 令x=y=0,得：f(0)=0,∴f(1)=21,即f （n+1）-f （n ）=21，f （n ）=2n，所以，f(2014)=22014=1007. 解题技巧：抽象函数的性质是用条件恒等式给出的，可通过赋特殊值法使问题得以解决。

抽象函数解题方法与技巧

抽象函数的解题技巧1.换元法换元法包括显性换元法和隐性换元法，它是解答抽象函数问题的基本方法. 例1. 已知f(1+sinx)=2+sinx+cos 2x, 求f(x)解:令u=1+sinx,则sinx=u-1 (0≤u ≤2),则f(u)=-u 2+3u+1 (0≤u ≤2)故f(x)=-x 2+3x+1 (0≤u ≤2)2.方程组法运用方程组通过消参、消元的途径也可以解决有关抽象函数的问题。

例2..232|)x (f :|,x )x 1(f 2)x (f ),)x (f ,x ()x (f y ≥=-=求证且为实数即是实数函数设解:02)x (xf 3 x ,x1)x (f 2)x1(f ,x x 12=++=-与已知得得代换用 .232|)x (f |,024)x (9f 02≥∴≥⨯-≥∆得由例3.f(x).1),x 0(x ,x 1)x1x (f )x (f 求且已知≠≠+=-+ 解:(1)1),x 0(x x 1)x1x (f )x (f ≠≠+=-+且 ,x1x 1)x 1x 1x 1x (f )x 1x (f :x x 1-x -+=---+-得代换用 :x )1(x-11 (2) .x 1x 2)x 11(f )x 1-x f( 得中的代换再以即-=-+ (3) .x1x 2)x (f )x -11f( ,x 111)x111x 11(f )1x 1(f --=+-+=---+-即 1)x 0(x x2x 21x x )x (f :2)2()3()1(223≠≠---=-+且得由 3.待定系数法如果抽象函数的类型是确定的，则可用待定系数法来解答有关抽象函数的问题。

例4.已知f(x)是多项式函数，且f(x+1)+f(x-1)=2x 2-4x,求f(x).解:由已知得f(x)是二次多项式，设f(x)=ax 2+bx+c (a ≠0)代入比较系数得过且过:a=1,b= -2,c= -1,f(x)=x 2-2x-1.4.赋值法有些抽象函数的性质是用条件恒等式给出的，可通过赋特殊值法使问题得以解决。

微专题21 抽象函数的处理技巧(解析版)

微专题21 抽象函数的处理技巧【方法技巧与总结】常见抽象函数的模型()()()()(1)f x y f x f y f x f x +=+⇔= ()()()()log a f xy f x f y f x x =+↔= ()()()()x f x y f x f y f x a +=↔= ()()()()k f xy f x f y f x x =↔=2()()()()f x y f x f y kxy f x ax bx +=++↔=+()()2()()f x y f x y f x f x ax b ++-=↔=+【题型归纳目录】题型一：求抽象函数的解析式及函数值题型二：抽象函数的奇偶性问题题型三：抽象函数的单调性问题【典型例题】题型一：求抽象函数的解析式及函数值例1．设函数:f R R →满足(0)1f =，且对任意x ，y R ∈，都有(1)()()()2f xy f x f y f y x +=--+，则(2017)(f = ) A ．0 B ．2018C ．2017D ．1【解析】(1)()()()2f xy f x f y f y x +=--+，(0)1f =，∴令0x y ==，得f （1）(0)(0)(0)21122f f f =-+=-+=，令1x =，得(1)()f y f y f +=（1）()122()()1()1f y f y f y f y --+=-+=+，即(1)()1f y f y +-=，∴数列{()}f n 是以2为首项，1为公差的等差数列，(2017)f f ∴=（1）20161220162018+⨯=+=，故选：B ．例2．设函数()f x 满足(0)1f =，且对任意x ，y R ∈，都有(1)()()()2f xy f x f y f y x +=--+，则f （1）(= )A ．2B ．2-C ．1D ．1-【解析】令0x y ==得f （1）(0)(0)(0)02111022f f f =--+=⨯--+=，故选：A ．例3．设函数:f R R →满足(0)1f =，且对任意x ，y R ∈都有(1)()()()2f xy f x f y f y x +=--+，则(2020)(f = )A ．0B ．1C ．2019D ．2021【解析】根据题意，在(1)()()()2f xy f x f y f y x +=--+中，令0x y ==得f （1）(0)(0)(0)21122f f f =-+=-+=，令1x =，则(1)()f y f y f +=（1）()122()()1()1f y f y f y f y --+=-+=+，即(1)()1f y f y +-=，则f （1）(0)1f -=， f （2）f -（1）1=， f （3）f -（2）1=，⋯⋯(2019)(2018)1f f -=， (2020)(2019)1f f -=，等式两边同时相加，得(2020)(0)2020f f -=，得(2020)2020(0)202012021f f =+=+=，故选：D ．变式1．若函数()f x 对定义域内任意两个自变量x ，y 都有()()()f x y f x f y +=，则()f x 可以是( )A ．()21f x x =+B ．2()f x x =C ．1()f x x=D ．()2x f x =【解析】函数()f x 满足对定义域内任意实数x ，y 都有()()()f x y f x f y +=，当()2x f x =时，有()2x y f x y ++=，()()222x y x y f x f y +==，即()()()f x y f x f y +=；所以该函数可以是指数函数．故选：D ．变式2．函数()f x 满足对定义域内的任意x ，都有(2)()2(1)f x f x f x ++<+，则函数()f x 可以是( ) A ．()21f x x =+B ．2()2f x x x =-C ．()x f x e =D ．()f x lnx =【解析】由(2)()2(1)f x f x f x ++<+得， (2)(1)(1)()f x f x f x f x +-+<+-①， (2)(1)(1)x x x x +-+=+-，∴①说明自变量变化相等时，当自变量越大时，对应函数值的变化量越来越小，对于A 、()21f x x =+是一次函数，且在R 上直线递增，函数值的变化量是相等的，A 错；对于B 、2()2f x x x =-在定义域上不是单调函数，在(,1)-∞上递减，在(1,)+∞递增，B 错；对于C 、()x f x e =是增长速度最快-呈爆炸式增长的指数函数，当自变量越大时，对应函数值的变化量越来越大，C 错；对于D 、()f x lnx =是增长越来越慢的对数函数，当自变量越大时，对应函数值的变化量越来越小，D 正确．故选：D ．变式3．若()f x 满足对任意的实数a ，b 都有()f a b f +=（a ）f （b ）且f （1）2=，则下列判断正确的有( )A ．()f x 是奇函数B ．()f x 在定义域上单调递增C ．当(0,)x ∈+∞时，函数()1f x >D ．(2)(4)(6)(2016)(2018)(2020)2020(1)(3)(5)(2015)(2017)(2019)f f f f f f f f f f f f +++⋯++= 【解析】令1a =，0b =可得f （1）f =（1）(0)f ，即22(0)f =，(0)1f ∴=， ()f x ∴不是奇函数，故A 错误；若存在0x R ∈，使得0()0f x =，则00(0)()()0f f x f x =-=，与(0)1f =矛盾，故对x R ∀∈，()0f x ≠，∴对任意x R ∈，都有2()()[()]0222xx x f x f f =+=>，对于任意正整数n ，f （1）1111()()2n f f n n n n =++⋯+==，1()21n f n∴>，若x 为正整数n ，则()(1111)n f x f f =+++⋯+=（1）21(1)n n =>，若x 为正有理数(m m n 为与n 互质的正整数），则1111()()()1m f x f f n n n n=++⋯+=>，若x 为正无理数q ，则q 可看作某个有理数列{}n p 的极限，故()f q 可看作{()}n f p 的极限，而()1n f p >，故()1f q >，故当0x >时，()1f x >，故C 正确；不妨设12x x <，则2121()()()f x f x f x x =-，切210x x ->， 21121()()()[()1]f x f x f x f x x ∴-=--，1()0f x >，21()1f x x ->，21()()0f x f x ∴->，故()f x 是增函数，故B 正确；令1b =可得(1)f a f +=（a ）f （1）2f =（a ），∴(1)2()f a f a +=，故(2)(4)(2020)2(1)(3)(2019)f f f f f f ==⋯⋯==， ∴(2)(4)(2018)(2020)2000(1)(3)(2017)(2019)f f f f f f f f ++⋯⋯++=，故D 正确，故选：BCD ．变式4．已知函数()f x 对一切实数x ，y 都有()()(21)f x y f y x x y +-=++成立，且f （1）0=，则(0)f =2- ，()f x ．【解析】函数()f x 对一切实数x ，y 都有()()(21)f x y f y x x y +-=++成立．且f （1），∴令1x =，0y =，代入上式得f （1）(0)2f -=， (0)2f ∴=-．函数()f x 对一切实数x ，y 都有()()(21)f x y f y x x y +-=++成立，∴令0y =，代入上式得()(0)(1)f x f x x -=+，又由（1）知(0)2f =-， ()(1)2f x x x ∴=+-．故答案为：2-；(1)2x x +-．变式5．若函数()f x 对任意实数x ，y 均有22()2()233f x y f y x xy y x y +=++-+-，则()f x 的解析式为．【解析】令0x y ==得(0)2(0)f f =所以(0)0f = 令0y =得2()(0)3f x f x x =++ 所以2()3f x x x =+ 故答案为：23x x +变式6．对任意正实数x ，y ，()()()f xy f x f y =+，f （9）4=，则(3)f = ．【解析】令3x y ==，则f （9）2f =（3）4=， f ∴（3）2=，令3x y ==(3)2(3)2f f ==，∴(3)1f =．故答案为：1．变式7．（1）已知()2()1f x f x x +-=+，求()f x 的解析式．（2）设()f x 是R 上的函数，且(0)1f =，并且对任意实数x ，y 都有()()(21)f x y f x y x y -=--+，求()f x 的解析式．【解析】（1）因为()2()1f x f x x +-=+，所以()2()1f x f x x -+=-+，于是得到关于()f x 的方程组()2()12()()1f x f x x f x f x x +-=+⎧⎨+-=-+⎩，解得1()3f x x =-+；（2）令0x =得，(0)(0)(1)f y f y y -=--+，即()1(1)f y y y -=--+，又令y x -=，代入上式得，()1(1)f x x x =++，所以2()1f x x x =++．题型二：抽象函数的奇偶性问题例4．（2022·重庆市辅仁中学校高一期中）已知()f x 定义域为R ，对任意,x y ∈R 都有()()()1f x y f x f y +=+-，当0x >时，()1,(1)0f x f <=．(1)求(1)f -;(2)试判断()f x 在R 上的单调性，并证明; (3)解不等式：2(232)2()4f x x f x --+>．【解析】（1）根据()()()1f x y f x f y +=+-,令0x y ==，得(0)(0)(0)1f f f =+-，解得(0)1f =，再令1,1x y ==-，则有(0)(1)(1)1f f f =+--，解得(1)2f -=. （2）判断：()f x 在R 上单调递减，证明如下：设1212,,x y x x x x x +==>，则120y x x =->，所以12()()()1f x f x f y =+-，即12()()()1f x f x f y -=-，因为0,y > 所以()1f y <，所以12())0(f x f x -<，即1212,,,x x x x ∀∈>R 都有12()()f x f x <，所以()f x 在R 上单调递减.（3）由题可知()()()1f x f y f x y +=++，所以2()()()(2)1f x f x f x f x =+=+，所以由2(232)2()4f x x f x --+>得2(232)(2)14f x x f x --++>，即2(2322)114f x x x --+++>，即2(22)2f x x -->，又因为(1)2f -=，所以2(22)(1)f x x f -->-，由(2)知()f x 在R 上单调递减，所以2221x x --<-，即2210,x x --<即(21)(1)0x x +-<，解得112x -<<.例5．（2022·广东·深圳外国语学校高一期中）已知函数()f x 对任意的实数,m n 都有()()()1f m n f m f n +=+-，且当0x >时，有()1f x >．(1)求证：()f x 在R 上为增函数；(2)若()()923292x x xf f k -⋅+⋅->对任意[)0,x ∈+∞恒成立，求实数k 的取值范围．【解析】（1）设12x x <，令2m n x +=，1n x =，()()()22111f x f x x f x ∴=-+-，则()()()21211f x f x f x x -=--；210x x ->，()211f x x ∴->，()()210f x f x ∴->，()f x ∴在R 上为增函数.（2）由题意得：()()()92329392312x x x x x f f k f k -⋅+⋅-=⋅-⋅-+>，()39231x x f k ∴⋅-⋅->，令0m n ==，则()()0201f f =-，解得：()01f =，()f x 为R 上的增函数，39230x x k ∴⋅-⋅->，3923x x k ∴<⋅-⋅，令31x t =≥，设()()2321g t t t t =-≥，()()min 11g t g ∴==，1k ∴<，即实数k 的取值范围为(),1-∞.例6．（2022·广西梧州·高一阶段练习）（1）已知函数()f x 对任意的,a b ∈R ，都有()()()1f a b f a f b +=+-，且当0x >时，()1f x >，求证：()f x 是R 上的增函数；（2）若()f x 是R 上的增函数，且()(),(2)1x f f x f y f y ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，解不等式1()23f x f x ⎛⎫-≤ ⎪-⎝⎭．【解析】（1）设1x ，2x ∈R ，且12x x <，则210x x ->，即()211f x x ->，所以()()()()212111f x f x f x x x f x -=-+-⎡⎤⎣⎦，()()()()211121110f x x f x f x f x x =-+--=-->所以()()12f x f x <，所以()f x 是R 上的增函数．（2）因为()()x f f x f y y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以()()x f f y f x y ⎛⎫+= ⎪⎝⎭．在上式中取=4x ，=2y ，则有(2)(2)(4)f f f +=，因为(2)1f =，所以(4)2f =．于是不等式1()23f x f x ⎛⎫-≤ ⎪-⎝⎭等价于[(3)](4)(3)f x x f x -≤≠．又()f x 是R 上的增函数，所以(3)430x x x -≤-≠⎧⎨⎩，解得13x -≤<或34x <≤，所以原不等式的解集为[1,3)(3,4]-．变式8．（2022·湖南省临澧县第一中学高一阶段练习）对任意的0x ≠函数()f x 满足对任意的a ，b 都有()()()f ab f a f b =+，且当1x >时，()0f x >. (1)判断()f x 的奇偶性，并加以证明； (2)判断()f x 的单调性，并加以证明；(3)对任意的0t ≠都有不等式()()20f t t f k --<恒成立，求k 的取值范围.【解析】（1）()f x 为偶函数，证明如下：∵函数()f x 的定义域为{}0x x ≠，令1,a b x =-=，()()()()11f x f x f f x -=-⋅=-+，令1a b ==，所以()()121f f =，解得：()10f =，令1a b ==-，所以()()121f f =-，解得：()10f -=，所以()()f x f x -=，∴()f x 为偶函数. （2）()f x 在(),0∞-上单调递增，在()0,∞+上单调递减，证明如下：证明：()12,0,,x x ∀∈+∞且12x x <因为()()2221111x x f x f x f f x x x ⎛⎫⎛⎫=⋅=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()()2211x f x f x f x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，12x x <，211x x ∴>，210x f x ⎛⎫∴> ⎪⎝⎭，即()()12f x f x <，∴()f x 在()0,∞+上单调递增.由（1）知，()f x 为偶函数，所以()f x 在(),0∞-上单调递减. （3）对任意的0t ≠都有不等式()()20f t tf k --<恒成立,所以()()2f t t f k -<对任意的0t ≠恒成立,因为()f x 为偶函数，由（2）知，()f x 在()0,∞+上单调递增，在(),0∞-上单调递减.所以2t t k -<对任意的0t ≠恒成立，所以2k t t >-或2k t t <-+，当12t =时，2t t -有最大值为14，当12t =时，2t t -+有最小值为14-，所以14k >或14k <-（舍去），则12k >或12k <-. 故k 的取值范围为11,,22⎛⎫⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.变式9．（2022·全国·高一课时练习）已知函数()f x 的定义域为()0,∞+，对任意正实数a 、b 都有()()()1f ab f a f b +=+，且当1x >时，()1f x >．求证：函数()f x 是()0,∞+上的增函数．【解析】证明：任取1x 、()20,x ∈+∞，且21x x >，则()()()()()22221111111111x x x f x f x f x f x f f x f x f x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=⋅-=+--=-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦．因为211x x >，所以211x f x ⎛⎫> ⎪⎝⎭，所以()()210f x f x ->，即()()21f x f x >，所以函数()f x 是()0,∞+上的增函数．变式10．（2022·全国·高一专题练习）定义在()0∞+，上的函数()f x 满足下面三个条件： ① 对任意正数a b ，，都有()()()f a f b f ab +=；② 当1x >时，()0f x <；③ ()21f =- (1)求()1f 和14f ⎛⎫⎪⎝⎭的值；(2)试用单调性定义证明：函数()f x 在()0∞+，上是减函数； (3)求满足()()32412218f x x f x -+>的x 的取值集合．【解析】（1）1x y ＝＝得()()()111f f f +＝，则()10f ＝，而()()()422112f f f +＝＝－－＝－，且()()14104f f f ⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝＝，则124f ⎛⎫⎪⎝⎭＝；（2）取定义域中的任意的1x ，2x ，且120x x <<，211x x ∴>，当1x >时，()0f x <，210x f x ⎛⎫∴< ⎪⎝⎭，()()()221111x f x f x f x f x x ⎛⎫∴⋅ ⎪⎝⎭－＝－()()2211110x x f x f f x fx x ⎛⎫⎛⎫+< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝－＝， ()f x ∴在()0∞+，上为减函数．（3）由条件①及（1）的结果得，()()32412218f x x f x +>－，()()321412184f x x f f x ⎛⎫∴+> ⎪⎝⎭－，()()32318f x x f x ∴>－，323230180318x x x x x x ⎧->⎪∴>⎨⎪-<⎩，解得36x <<，故x 的取值集合为()36，. 变式11．（2022·全国·高一期中）已知函数f (x )对∀x ，y ∈R ，都有f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )，当x ＜0时，f (x )＞0，且f (1)＝－2.(1)证明函数f (x )在R 上的奇偶性； (2)证明函数f (x )在R 上的单调性；(3)当x ∈[1，2]时，不等式f (x 2－mx )＋f (x )＜4恒成立，求实数m 的取值范围. 【解析】（1）因为函数()f x 的定义域为R ，令1,0x y ==，所以()()()110f f f =+，即()00f =，令y x =-，所以()()()00f f x f x =+-=，即()()f x f x -=-，所以函数()f x 为奇函数．（2）不妨设12x x <，所以()()()()()21221212f x f x f x f x x x f x x -=-+-=--，而120x x -<，所以()120f x x ->，()()210f x f x -<，即()()21f x f x <，故函数()f x 为R 上的减函数．（3）由（1）可知，函数()f x 为奇函数，而()()()2114f f f =+=-，所以()24f -=，故原不等式可等价于()()22f x mx x f -+<-，而函数()f x 为R 上的减函数，所以22x mx x -+>-，又[]1,2x ∈，所以21m x x <++，而222x x +≥[]21,2x =时取等号，所以221m <，即实数m 的取值范围为(),221-∞．变式12．（2022·全国·高一单元测试）已知f (x )是定义在区间[－1，1]上的奇函数，且f (1)＝1，当a ，b ∈[－1，1]，a ＋b ≠0时，有()()f a f b a b++＞0成立.(1)判断f (x )在区间[－1，1]上的单调性，并证明；(2)若f (x )≤m 2－2am ＋1对所有的a ∈[－1，1]恒成立，求实数m 的取值范围. 【解析】（1）f (x )在区间[－1，1]上单调递增.证明如下：任取x 1，x 2∈[－1，1]，且x 1＜x 2，则－x 2∈[－1，1]. ∵f (x )为奇函数，∴f (x 1)－f (x 2)＝f (x 1)＋f (－x 2)＝()()()()121212f x f x x x x x +-⋅-+-.由已知条件得()()()12120f x f x x x +->+-. 又x 1－x 2＜0，∴f (x 1)－f (x 2)＜0，即f (x 1)＜f (x 2). ∴f (x )在区间[－1，1]上单调递增.（2）∵f (1)＝1，f (x )在区间[－1，1]上单调递增， ∴在区间[－1，1]上，f (x )≤1.∵f (x )≤m 2－2am ＋1对所有的a ∈[－1，1]恒成立， ∴m 2－2am ＋1≥1，即m 2－2am ≥0对所有的a ∈[－1，1]恒成立. 设g (a )＝－2ma ＋m 2.①若m ＝0，则g (a )＝0≥0，对a ∈[－1，1]恒成立. ②若m ≠0，则g (a )为a 的一次函数，若g (a )≥0，对a ∈[－1，1]恒成立，必须有g (－1)≥0，且g (1)≥0， ∴m ≤－2或m ≥2.综上所述，实数m 的取值范围是{m |m ＝0，或m ≥2，或m ≤－2}. 题型三：抽象函数的单调性问题例7．（2022·辽宁·铁岭市清河高级中学高一阶段练习）定义在()1,1-上的函数()f x 满足对任意的(),1,1x y ∈-，都有()()1x y f x f y f xy ⎛⎫++= ⎪+⎝⎭，且当(0,1)x ∈时，()0f x <．(1)求证：函数()f x 是奇函数；(2)判断()f x 在()1,1-上的单调性，不需证明； (3)解不等式()()10f x f x -+<．【解析】（1）令0x y ==，得()()()000f f f +=，即()00f =，任取()1,1x ∈-，则()1,1x -∈-， ()()()2001x x f x f x f f x -⎛⎫+-=== ⎪-⎝⎭，即()()f x f x -=-，所以()f x 在()1,1-上为奇函数；（2）判断函数()f x 在()1,1-上单调递减. 任取()12,1,1x x ∈-，且12x x <，则()()()()212121121x x f x f x f x f x f x x ⎛⎫--=+-= ⎪-⎝⎭，因为1211x x -<<<，1210x x ->，210x x ->，所以()()1221211110x x x x x x --+=-+>，即12211x x x x ->-，所以2112011x x x x -<<-，所以211201x x f x x ⎛⎫-< ⎪-⎝⎭，即()()210f x f x -<，得()()21f x f x <，所以函数()f x 在区间()1,1-单调递减；（3）()()10f x f x -+<，即()()()1f x f x f x -<-=-，因为函数单调递减，所以需满足111111x x x x -<-<⎧⎪-<<⎨⎪->-⎩，解得：112x <<，所以不等式的解集为112x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭.例8．（2022·湖南·慈利县教育科学研究室高一期中）已知函数()f x 是定义在R 上的增函数，并且满足()()(),(1) 4.f x y f x f y f +=+=(1)求(0)f 的值.(2)判断函数()f x 的奇偶性.(3)若(23)()8f x f x +-＜，求x 的取值范围.【解析】（1）令==0x y , 得(0)(0)(0)f f f =+，解得(0)=0f ；（2）因为函数()f x 的定义域为R ，令y =－x ,则有()()()f x x f x f x -=+-，即()()0f x f x +-=，∴()()f x f x -=-，∴函数()f x 为奇函数，∴()f x 为奇函数；（3）因为(1)4f =，所以(2)(11)448f f =+=+=，又因为(23)()8f x f x +-＜，即有(23)(2)f x x f +-<，即(3)(2)f x f +<，又因为()f x 为增函数，32,x ∴+<解得1x <-，故x 的取值范围为{|<-1}x x .例9．（2022·全国·高一课时练习）设函数()f x 对任意,x y ∈R ，都有()()()f x y f x f y +=+，证明：()f x 为奇函数．【解析】证明：函数()f x 的定义域为R ，关于原点对称，因为函数()f x 对任意,x y ∈R ，都有()()()f x y f x f y +=+，令0x y ==，则()()020f f =，得()00f =，令y x =-，则()()()0f f x f x =+-，所以()()0f x f x +-=，即()()f x f x -=-，所以()f x 为奇函数．变式13．（2022·全国·高一课时练习）已知函数()f x 满足()()()()1,f x y f x f y x y R +=+-∈，当x y ≠时，()()0f x f y x y->-成立，且(1)2f =． (1)求(0)f ，并证明函数()()1g x f x =-的奇偶性；(2)当[0,9]x ∈，不等式()(23f x f m x +-≤恒成立，求实数m 的取值范围．【解析】（1）令0x y ==，可得(0)1f =，令y x =-，则()()()1f x x f x f x -=+--，所以()()2f x f x +-=，所以()()()()110g x g x f x f x -+=-+--=，所以()g x 为奇函数；（2）()(23f x f m x +-≤，即()(212f x f m x +--≤，所以(()21f x m x f +-≤，又当x y ≠时，()()0f x f y x y ->-成立，所以()f x 为增函数，所以1x x m -≤在[0,9]x ∈上恒成立， x t =，可得212m t t -≥-在[0,3]t ∈上恒成立，又22y t t =-，[0,3]t ∈，所以当3t =时，()2max 23t t -=，所以13m -≥，即2m ≤-.变式14．（2022·全国·高一课时练习）已知函数()f x 定义域为[1,1]-，若对于任意的,[1,1]x y ∈-，都有()()()f x y f x f y +=+，且0x >时，有()0f x >.(1)证明：()f x 为奇函数；(2)证明：()f x 在[1,1]-上是增函数；(3)设(1)1f =，若()22f x m am <-+，对所有[1,1]x ∈-，[1,1]a ∈-恒成立，求实数m 的取值范围.【解析】（1）因为有()()()f x y f x f y +=+，令0x y ==，得(0)(0)(0)f f f =+，所以(0)0f =，令y x =-可得：(0)()()0f f x f x =+-=，所以()()f x f x -=-，故()f x 为奇函数．（2）由（1）可知()f x 是定义在[1-，1]上的奇函数，由题意设1211x x -<，则212121()()()()()f x x f x f x f x f x -=+-=-由题意0x >时，有()0f x >，21>0x x -2121()0()()-f x x f x f x ∴>⇒>()f x ∴是在[]-11，上为单调递增函数；（3）由（1）（2）可知()f x 是[]-11，上为单调递增函数,所以()f x 在[]-11，上的最大值为(1)=1f所以要使()22f x m am <-+，对所有[]-11x ∈，，[]-11a ∈，恒成立，只要221m am -+>， ()21g a m am =-+由(1)0(1)0g g ->⎧⎨>⎩，可得210210m m m m ++>⎧⎨-+>⎩ 解得1-<<13m 所以实数m 的取值范围为1-<<13m 变式15．（2022·黑龙江双鸭山·高一期末）设函数()f x 是增函数，对于任意,R x y ∈都有()()()f x y f x f y +=+．(1)写一个满足条件的()f x ；(2)证明()f x 是奇函数；(3)解不等式()211()(3)22f x f x f x ->．【解析】(1)因为函数()f x 是增函数，对于任意,R x y ∈都有()()()f x y f x f y +=+，这样的函数很多，其中一种为：()()0f x kx k =>，证明如下：函数()()0f x kx k =>满足()f x 是增函数， ()()()()f x y k x y f x f y kx ky +=+=+=+，所以()()0f x kx k =>满足题意.(2)令y x =-，则由()()()f x y f x f y +=+得()()()00f f x f x ==+-，即得()()f x f x -=-，故()f x 是奇函数．(3)()211()(3)22f x f x f x ->，所以()22()(3)f x f x f x ->，则()22()(3)f x f x f x >+ ()2()()(3)f x f x f x f x >++，因为()()()f x y f x f y +=+，所以()()()(3)5f x f x f x f x ++=，所以()2(5)f x f x >，又因为函数()f x 是增函数，所以25x x >，所以0x <或5x >.所以x 的解集为：()(),05,-∞⋃+∞.变式16．（2022·重庆·西南大学附中高一期中）已知y =f (x )满足对一切x ，y ∈R 都有f (x +2y )=f (x )+2f (y ).(1)判断y =f (x )的奇偶性并证明;(2)若f (1)=2，求f (-13)+f (-3)+f (22)+f (53)的值.【解析】(1)()y f x =为奇函数，证明：令y x =-，则有()()2()f x f x f x -=+-，所以()()f x f x -=-，故()y f x =为奇函数；(2)令()1,Z x y n n ==∈，则()(12)12()22()f n f f n f n +=+=+；又(0)0f =，令()0,x y n n Z ==∈，则()(02)(2)02()2()f n f n f f n f n +==+=，即(2)2()f n f n =，所以(2)2(1)4,(3)22(1)6,(5)22(2)10f f f f f f ===+==+=，则(3)(3)6f f -=-=-，()(13)(13)(126)22(6)222(3)26f f f f f -=-=-+⨯=--=--=-，()()(22)2(11)2(125)222(5)44f f f f ==+⨯=+=，()(53)22(26)222(13)106f f f =+=+=，所以所求式子的值为118.变式17．（2022·全国·高一课时练习）函数f （x ）对于任意的实数x ，y 都有f (x+y )=f （x ）+f （y ）成立，且当x ＞0时f （x ）＜0恒成立．(1)证明函数f （x ）的奇偶性；(2)若f （1）= －2，求函数f （x ）在[－2，2]上的最大值；(3)解关于x 的不等式211(2)()(4)(2) 22f x f x f x f -->-- 【解析】(1)令x =y =0得f (0)=0,再令y =—x 即得f (－x )=－f (x ）,∴()f x 是奇函数.(2)设任意12,R x x ∈，且12x x <，则210x x ->，由已知得21()0f x x -<①，又212121()()()()()f x x f x f x f x f x -=+-=-②，由①②可知12()()f x f x >，由函数的单调性定义知f (x )在(-∞，+∞)上是减函数，∴x ∈[－2，2]时，[]max ()(2)(2)(11)2(1)4f x f f f f =-=-=-+=-=，∴f (x )当x ∈[－2，2]时的最大值为4．(3)由已知得：[]2(2)(4)2()(2)f x f x f x f -->--，由（1）知f (x ）是奇函数，∴上式又可化为：[]2(24)2(2)(2)(2)(24)f x x f x f x f x f x -->+=+++=+，由（2）知f (x ）是R 上的减函数，∴上式即：22424x x x --<+，化简得(2)(1)0x x ++>，∴ 原不等式的解集为{|2x x <-或1}x >-.变式18．（2022·河南焦作·高一期中）已知f (xy )＝f (x )＋f (y ).(1)若x ，y ∈R ，求f (1)，f (－1)的值；(2)若x ，y ∈R ，判断y ＝f (x )的奇偶性；(3)若函数f (x )在其定义域(0，＋∞)上是增函数，f (2)＝1，f (x )＋f (x －6)≤4，求x 的取值范围.【解析】(1)令x ＝y ＝1，则f (1)＝f (1)＋f (1)，所以f (1)＝0.又令x ＝y ＝－1，则f (1)＝f (－1)＋f (－1)，所以f (－1)＝0.(2)因为函数定义域为R ，关于原点对称，令y ＝－1，则f (－x )＝f (x )＋f (－1)，由(1)知f (－1)＝0，所以f (－x )＝f (x )，即函数f (x )为偶函数．(3)因为f (4)= f (2)+f (2)= 1+1=2，所以f (16)= f (4)+f (4) = 2 + 2 = 4，因为f (x )＋f (x －6) ≤ 4，所以[()]()616f x x f -≤，因为f (x )在(0，+∞)上是增函数，所以0,60,(6)16,x x x x >⎧⎪->⎨⎪-≤⎩，即0,6,28,x x x >⎧⎪>⎨⎪-≤≤⎩，所以x 的取值范围是(6 , 8].【过关测试】一．单选题1．若对任意x ，y R ∈，有()()()3f x f y f x y +-+=，函数22()()1x g x f x x =++，则g （2）(2)g +-的值等于( )A ．0B ．4C ．6D ．8【解析】解：()()()3f x f y f x y +-+=， ∴令0x y ==得，(0)3f =，∴令y x =-得，()()6f x f x +-=，g ∴（2）(2)g f +-=（2）(2)6f +-=．故选：C ．2．若对x ∀，y R ∈，有()()()3f x f y f x y +-+=，函数2()()1x g x f x x =++，则g （2）(2)g +-的值( ) A ．0 B ．4 C ．6 D ．9【解析】解：令0x y ==，可得(0)(0)(0)3f f f +-=，即(0)3f =，可令y x =-，可得()()3(0)6f x f x f +-=+=，则g （2）2(2)5g f +-=+（2）2(2)5f f -+-=（2）(2)6f +-=．故选：C ．3．已知定义在(0,)+∞上的减函数()f x 满足条件：对任意x ，(0,)y ∈+∞，总有()()()1f xy f x f y =+-，则关于x 的不等式(1)1f x ->的解集是( )A ．(1,)+∞B ．(1,2)C ．(,2)-∞D ．(0,2) 【解析】解：根据题意，对任意x ，(0,)y ∈+∞，总有()()()1f xy f x f y =+-，令1x y ==可得：f （1）f =（1）f +（1）1-，变形可得：f （1）1=，又由函数()f x 是定义在(0,)+∞上的减函数，则不等式(1)1011f x x ->⇒<-<，解可得12x <<，即不等式的解集为(1,2)；故选：B ．二．填空题4．函数()y f x =的定义域为(0,)+∞，且对于定义域内的任意x ，y 都有()()()f xy f x f y =+，且f （2）1=，则(2)f 的值为．【解析】解：()()()f xy f x f y =+，且f （2）1=，∴令2x y =，得f （2）(2)(2)1f f =+=，1(2)2f ∴=，故答案为：12． 5．已知函数()f x 的定义域是(0,)+∞，满足f （2）1=，且对于定义域内任意x ，y 都有()()()f xy f x f y =+成立，那么f （1）f +（4）= ．【解析】解：f （1）(11)f f =⨯=（1）f +（1）2f =（1），f ∴（1）0=．f （4）(22)f f =⨯=（2）f +（2）2=，f ∴（1）f +（4）022=+=，故答案为2．6．已知函数()f x 的定义域是(0,)+∞，且满足()()()f xy f x f y =+，f （2）1=．如果对于0x y <<，都有()()f x f y <，则不等式(1)(1)2f x f x -++<的解集为（表示成集合）．【解析】解：由题意，令2x y ==，可得f （4）2=，对于0x y <<，都有()()f x f y <，可知()f x 是递增函数．不等式(1)(1)2f x f x -++<转化为2(1)f x f -<（4），∴2101014x x x ->⎧⎪+>⎨⎪-<⎩解得：15x <<故答案为：{|15}x x <<7．已知定义在正实数集上的函数()f x 满足①若1x >，则()0f x <；②1()12f =；③对定义域内的任意实数x ，y ，都有：()()()f xy f x f y =+，则不等式()(5)2f x f x +--的解集为．【解析】解：1()12f = 1122()()24f f ∴== 令1x y ==f ∴（1）0=()()()f xy f x f y =+，∴不等式()(5)2f x f x +--可转化为：1((5))()04f x x f -+ 1((5))4f x x f ∴-（1）设1x ，2(0,)x ∈+∞且12x x <2221111()()()()x x f x f x f f x x x ∴=⋅=+ 2211()())()0x f x f x f x ∴-=< ()f x ∴是减函数 ∴0501(5)14x x x x ⎧⎪>⎪->⎨⎪⎪-⎩解得：01x <或45x <故答案为：(0，1][4，5)三．解答题8．已知函数()f x ，()g x 同时满足：()()()()()g x y g x g y f x f y -=+；(1)1f -=-，(0)0f =，f （1）1=，求(0)g ，g （1），g （2）的值．【解析】解：由题设条件，令0x y ==，则有22(0)(0)(0)g g f =+又(0)0f =，故2(0)(0)g g =解得(0)0g =，或者(0)1g =若(0)0g =，令1x y ==得2(0)g g =（1）2f +（1）0=又f （1）1=知2g （1）10+=，此式无意义，故(0)0g ≠此时有2(0)g g =（1）2f +（1）1=即2g （1）11+=，故g （1）0=令0x =，1y =得(1)(0)g g g -=（1）(0)(1)0f f +-=令1x =，1y =-得g （2）g =（1）(1)g f -+（1）(1)1f -=-综上得(0)1g =，g （1）0=，g （2）1=-9．若函数()f x ，()g x 满足()()()()()g x y g x g y f x f y -=+，并且(0)0f =，(1)1f -=-，f （1）1=．（1）证明：22()()(0)f x g x g +=．（2）求(0)g ，g （1），(1)g -，g （2）的值．（3）判断()f x ，()g x 的奇偶性．【解析】（1）证明：令y x =，22(0)()()g f x g x =+；（2）22(0)(0)(0)g g f =+，(0)0g ∴=或1；若(0)0g =，则由（1）可知()()0f x g x ==，与题设矛盾，故(0)1g =．又(0)g g =（1）g （1）f +（1）f （1），(0)(1)(1)(1)(1)g g g f f =--+--，故g （1）0=，(1)0g -=，令1x =，1y =-，g （2）g =（1）(1)g f -+（1）(1)f -，g （2）1=-．（3）()()()()()()g y x g y g x f y f x g x y -=+=-，故()g x 是偶函数；用x -，y - 替换x ，y ，()()()()()g y x g x g y f x f y -=--+--，()g x 是偶函数，与原式联立可得()()()()f x f y f x f y --=，令1y =，可得()()f x f x =--． ()f x ∴是奇函数．10．（2022·北京市第五中学高一期末）已知定义在R 上的函数()f x 满足： ①对任意实数x ，y ，均有()()2()()f x y f x y f x f y ++-=；②(1)0f =；③对任意[0,1)x ∈，()0f x >．(1)求(0)(2)f f -的值，并判断()f x 的奇偶性；(2)对任意的x ∈R ，证明：(4)()f x f x +=；(3)直接写出()f x 的所有零点(不需要证明)．【解析】(1)∵对任意实数x ，y ，均有()()2()()f x y f x y f x f y ++-=， ∴令x =0y =，则(0)(0)2(0)(0)f f f f +=，可得(0)[(0)1]0f f -=，∵对任意[0x ∈,1)，()0f x >，∴f (0)＞0，∴(0)1f =；令1x y ==，则()()()()()()2202120021f f f f f f +=⇒+=⇒=-；∴()()()02112f f -=--=；∵f (x )定义域为R 关于原点对称，且令0x =时，()()()()()()()()()202f y f y f f y f y f y f y f y f y +-=⇒+-=⇒-=， ∴()f x 是R 上的偶函数；(2)令1y =，则()()()()()()1121110f x f x f x f f x f x ++-=⇒++-=，则()()()()202f x f x f x f x ++=⇒+=-，∴()()()()()4222f x f x f x f x f x ⎡⎤⎡⎤+=++=-+=--=⎣⎦⎣⎦，即()()4f x f x +=；(3)f (1)0=，且()f x 是以4为周期的周期的偶函数，由偶函数的性质可得(1)0f -=，从而可得f (－1)＝f(1)＝f (3)＝f (5)＝…＝0，故f (x )的零点为奇数，即f (x )所有零点为21n ，Z n ∈.11．（2022·山西太原·高一开学考试）若定义在R 上的函数()f x 对任意实数1x ，2x ，都有()()()12122f x x f x f x +=+-成立，且当0x >时，()2f x >.(1)求证：()2f x -为奇函数；(2)判断()f x 在R 上的单调性，并说明理由；(3)若()45f =，解不等式()2328f m m --<.【解析】(1)证明：∵()()()12122f x x f x f x +=+-，∴()()()1212222f x x f x f x +-=-+-.设()()2g x f x =-，则()()()1212g x x g x g x +=+.令120x x ==，则()()()000g g g =+，解得()00g =.令1x x =，2x x =-，则()()()0g g x g x =+-，∴()()g x g x -=-.由函数()f x 的定义域为R ，得函数()g x 的定义域为R ，关于原点对称，综上，()2f x -为奇函数.(2)函数()f x 在R 上单调递增，理由如下：任取12x x >，则120x x ->，∴()122f x x ->，由（1）知，()()()()()()1212121220g x g x g x g x g x x f x x -=+-=-=-->，即()()12g x g x >，∴函数()()2g x f x =-在R 上单调递增，即函数()f x 在R 上单调递增.(3)∵()45f =，∴()()4423g f =-=，∴()()()()844446g g g g =+=+=，由()2328f m m --<，得()23228g m m --+<，即()()23268g m m g --<=，∵函数()()2g x f x =-在R 上单调递增，∴2328m m --<，即23100m m --<，解得523m -<<，即不等式()2328f m m --<的解集为5,23⎛⎫- ⎪⎝⎭. 12．（2022·福建·泉州市第六中学高一期中）设函数()f x 对任意,x y R ∈，都有()()()f x y f x f y +=+，且当0x >时，()0f x <.(1)证明：()f x 为奇函数；(2)证明：()f x 为减函数，(3)若()11f -=，试求关于m 的不等式()()22213f m f m m +-+>-的解集. 【解析】(1)证明：因为函数()f x 对任意,x y R ∈，都有()()()f x y f x f y +=+，所以令0x y ==，则(0)2(0)f f =，得(0)0f =，令y x =-，则有(0)()()f f x f x =+-，所以()()0f x f x +-=，即()()f x f x -=-，所以()f x 为奇函数(2)证明：设12x x >，则1122()x x x x =-+，而120x x ->时，有12()0f x x -<，则121222122212()()[()]()()()()()0f x f x f x x x f x f x x f x f x f x x -=-+-=-+-=-<，所以12()()f x f x <，所以()f x 为减函数(3)因为()f x 为奇函数，()11f -=，所以(1)1f =-，所以(2)(11)(1)(1)2f f f f =+=+=-，所以(3)(21)(2)(1)3f f f f =+=+=-，所以不等式()()22213f m f m m +-+>-可转化为 ()()()22221(3)3f m f m m f f m m +>++=++，因为()f x 为减函数，所以22213m m m +<++，即220m m --<，解得12m -<<，所以不等式的解集为(1,2)-13．（2022·福建省龙岩第一中学高一阶段练习）已知函数()f x 对任意实数x ､y 恒有f （x +y ）=f （x ）+f（y ），当0x >时，()0f x <，且12f .(1)判断()f x 的奇偶性；(2)证明函数单调性并求()f x 在区间[]3,3-上的最大值；(3)若()222f x m am <-+对所有的][1,1?,1,1x a ⎡⎤∈-∈-⎣⎦恒成立，求实数m 的取值范围.【解析】(1)取0x y ==，则002000f f f +=∴=（）（）（）取y x =-，则00f x x f x f x f -=+-==（）（）（）（）f x f x ∴-=-（）（）对任意x R ∈恒成立f x ∴（）为奇函数(2)证明：任取12x x ∈-∞+∞，（，）且12x x <，则2121212100x x f x f x f x x f x f x ->+-=-<∴<--，（）（）（）（）（）又f x （）为奇函数12f x f x ∴>（）（）故f x （）为R 上的减函数[]333x f x f ∴∈-≤-，，（）（）331236336f f f f ==-⨯=-∴-=-=（）（）（）（）故f x （）在[]33-，上的最大值为6(3)f x （）在[]11-，上是减函数112f x f f ∴≤-=-=（）（）（）222f x m am <-+（），对所有][1111x a ⎡⎤∈-∈-⎣⎦，，，恒成立[]222211m am a ∴-+>∀∈-，，恒成立即[]22011m am a ->∀∈-，，恒成立令22g a am m =-+（），则1010g g ->⎧⎨>⎩（）（），即222020m m m m ⎧+>⎨-+>⎩解得m>2或2m <-∴实数m 的取值范围为22-∞-⋃+∞（，）（，）14．（2022·海南中学三亚学校（三亚市实验中学）高一期中）已知函数()f x 对一切实数x ，R y ∈都有()()()f x y f x f y +=+，且当0x >时，()0f x <，又()32f =-．(1)试判定该函数的奇偶性；(2)试判断该函数在R 上的单调性；(3)若()()22240f x f x ++--<，求x 的取值范围．【解析】(1)在()()()f x y f x f y +=+中，令0x y ==得(0)(0)(0)f f f =+，(0)0f =，令y x =-得(0)()()0f f x f x =+-=，()()f x f x -=-，所以()f x 是奇函数；(2)设12,x x 是任意两个实数，且12x x <，则210x x ->，21()0f x x -<，21211211()(())()()()f x f x x x f x f x x f x =+-=+-<，所以()f x 是R 上的减函数；(3)因为(3)2f =-，所以(3)(3)2f f -=-=，(6)(3)(3)4f f f -=-+-=，()()22240f x f x ++--<化为(22)(2)4(2)(6)(4)f x f x f x f f x +<--+=-+-=--，所以224x x +>--，解得2x >-．15．（2022·陕西·长安一中高一阶段练习）函数()f x 的定义域为{}|0D x x =≠，且满足对于任意1x ，2x D ∈，有()()()1212f x x f x f x ⋅=+．(1)判断()f x 的奇偶性并证明你的结论；(2)如果()41f =，()12f x -<，且()f x 在()0,∞+上是增函数，求x 的取值范围．【解析】(1)()f x 为偶函数，证明如下：函数()f x 的定义域为{}|0D x x =≠，关于原点对称，因为对于任意1x ，2x D ∈，有()()()1212f x x f x f x ⋅=+，令121x x ==可得()()()()11121f f f f =+=，所以()10f =，令121x x ==-可得()()()()111210f f f f =-+-=-=，所以()10f -=，令11x =-，2x x =可得()()()1f x f f x -=-+，所以()()f x f x -=，所以()f x 为偶函数.(2)令124x x ==可得()()()4444112f f f ⨯=+=+=，所以()()1216f x f -<=．由（1）知()f x 为偶函数，可得()()116f x f -<，又因为()f x 在()0,∞+上是增函数，所以11610x x ⎧-<⎨-≠⎩，解得：1517x -<<且1x ≠，所以x 取值范围是{|1517x x -<<且}1x ≠.16．（2022·宁夏·银川一中高一期中）已知函数()f x 定义域为[11]-，，若对于任意的[11]x y ∈-、，，都有()()()f x y f x f y +=+，且0x >时，有()0f x >.(1)判断并证明函数()f x 的奇偶性；(2)判断并证明函数()f x 在[11]-，上的单调性；(3)若f （1）=1，2()21f x m am <-+，对所有[11]x ∈-，，[11]a ∈-，恒成立，求m 的取值范围；【解析】(1)∵()()()f x y f x f y +=+，令0x y ==，得(0)(0)(0)f f f =+，∴(0)0f =，令y x =-可得：(0)()()0f f x f x =+-=，∴()()f x f x -=-，∴()f x 为奇函数(2)∵()f x 是定义在[]1,1-上的奇函数，由题意设1211x x ，则212121()()()()()f x f x f x f x f x x -=+-=-，由题意0x >时，有()0f x >，而210x x ->，所以21()()0f x f x ->，即21()()f x f x >，∴()f x 是在[11]-，上为单调递增函数(3)∵()f x 在[11]-，上为单调递增函数，∴()f x 在[11]-，上的最大值为(1)1f =， ∴要使2()21f x m am <-+，对所有[11]x ∈-，，[11]a ∈-，恒成立，只要2211m am -+>，即220m am ->恒成立；令2()2g a ma m =-+，由(1)0(1)0g g ->⎧⎨>⎩得222020m m m m ⎧+>⎨-+>⎩，解得：m>2或2m <-.故m 的取值范围为()(),22,∞∞--⋃+.17．（2022·四川·攀枝花市第十五中学校高一期中）函数()f x 对任意实数,x y 恒有()()()f x y f x f y +=+，且当0x >时，()0f x <(1)判断()f x 的奇偶性；(2)求证∶()f x 是R 上的减函数∶(3)若a R ∈，求关于x 的不等式()()()()222f ax f x f x f ax ++<-的解集.【解析】(1)解∶取0x y ==，则()()0020f f +=，∴()00f =.取y x =-，则()()()f x x f x f x -=+-，即 ()()f x f x -=-对任意x R ∈ 恒成立， ∴()f x 为奇函数.(2)证明∶任取()12,x x ∞∞∈-+，，且12x x <，则210x x ->，2121()()()0f x f x f x x +-=-<，∴21()()f x f x <--，又()f x 为奇函数，()11()f x f x --=∴12()()f x f x >∴()f x 是R 上的减函数.(3)()f x 为奇函数，整理原式得22(2)()f ax x f x ax ++<-， .∵()f x 在()-∞+∞，上是减函数，∴222ax x x ax ++>-，即()()21120a x a x -+++>①当1a =时，原不等式的解为1x >-；②当1a >时，原不等式化为2(1)()(1)01a x x a -++>-，即2()(1)01x x a ++>-若3a =，原不等式化为()210x +>，原不等式的解为1x ≠-；若3a >，则211a ->--，原不等式的解为21x a >--或1x <-；若13a <<，则211a -<-- ，原不等式的解为1x >-或21x a <--③当1a <时，原不等式化为2(1)()(1)01a x x a -++>-即2()(1)01x x a ++<- 则211a ->--，原不等式的解为211x a -<<--综上所述∶当1a <时，原不等式的解集为2|11x x a ⎧⎫-<<-⎨⎬-⎩⎭当1a =时，原不等式的解集为{}|1x x >-；当13a <<时，原不等式的解集为{1x x >-或21x a ⎫<-⎬-⎭当3a =时，原不等式的解集为{}1x x ≠-；当3a >时，原不等式的解集为{1x x <-或21x a ⎫>-⎬-⎭。

高一抽象函数解法技巧

几类抽象函数实例定义:把一类没有给出具体解析式的函数称之为抽象函数。

1、已知函数f（x）对任意实数x，y，均有f（x＋y）＝f（x）＋f（y），且当x＞0时，f（x）＞0，f（－1）＝－2，求f（x）在区间[－2，1]上的值域。

2、已知函数f（x）对任意，满足条件f（x）＋f（y）＝2 + f（x＋y），且当x＞0时，f（x）＞2，f（3）＝5，求不等式的解。

3、设函数f（x）的定义域是（－∞，＋∞），满足条件：存在，使得，对任何x和y，成立。

求：（1）f（0）；（2）对任意值x，判断f（x）值的正负。

4、设f（x）是定义在（0，＋∞）上的单调增函数，满足，求：（1）f（1）；（2）若f（x）＋f（x－8）≤2，求x的取值范围。

5、设函数y＝f（x）的反函数是y＝g（x）。

如果f（ab）＝f（a）＋f（b），那么g（a＋b）＝g（a）·g（b）是否正确，试说明理由。

6、己知函数f（x）的定义域关于原点对称，且满足以下三条件：①当是定义域中的数时，有；②f（a）＝－1（a＞0，a是定义域中的一个数）；③当0＜x＜2a时，f（x）＜0。

试问：（1）f（x）的奇偶性如何？说明理由。

（2）在（0，4a）上,f（x）的单调性如何？说明理由。

7、已知函数f（x）对任意实数x、y都有f（xy）＝f（x）·f（y），且f（－1）＝1， f（27）＝9，当时，。

（1）判断f（x）的奇偶性；（2）判断f（x）在［0，＋∞）上的单调性，并给出证明；（3）若，求a的取值范围。

解析分析例1：由题设可知，函数f（x）是的抽象函数，因此求函数f（x）的值域，关键在于研究它的单调性。

解：设，∵当，∴，∵，∴，即，∴f（x）为增函数。

在条件中，令y＝－x，则，再令x＝y＝0，则f（0）＝2 f（0），∴f（0）＝0，故f（－x）＝f（x），f（x）为奇函数，∴f（1）＝－f（－1）＝2，又f（－2）＝2 f（－1）＝－4，∴f（x）的值域为［－4，2］。

重难点2-4-抽象函数及其性质8大题型(解析版) (1)

重难点2-4 抽象函数及其性质8大题型抽象函数是指没有给出函数的具体解析式，只给出了一些体现函数特征的式子的一个函数，由抽象函数构成的数学问题叫做抽象函数问题。

抽象函数问题能综合考查学生对函数概念和各种性质的理解，但由于其表现形式的抽象性和多变性，学生往往无从下手，这类问题是高考的一个难点，也是近几年高考的热点之一。

一、抽象函数的赋值法赋值法是求解抽象函数问题最基本的方法，复制规律一般有以下几种： 1、……-2，-1,0,1,2……等特殊值代入求解； 2、通过()()12-f x f x 的变换判定单调性；3、令式子中出现()f x 及()-f x 判定抽象函数的奇偶性；4、换x 为+x T 确定周期性. 二、判断抽象函数单调性的方法：（1）凑：凑定义或凑已知,利用定义或已知条件得出结论;（2）赋值：给变量赋值要根据条件与结论的关系.有时可能要进行多次尝试.①若给出的是“和型”抽象函数() =+y x f ，判断符号时要变形为：()()()()111212)(x f x x x f x f x f -+-=-或()()()()221212)(x x x f x f x f x f +--=-;②若给出的是“积型”抽象函数() =xy f ，判断符号时要变形为：()()()112112x f x x x f x f x f -⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅=-或()()()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅-=-212212x x x f x f x f x f . 三、常见的抽象函数模型1、()()()+=+f x y f x f y 可看做()=f x kx 的抽象表达式；2、()()()+=f x y f x f y 可看做()=x f x a 的抽象表达式（0>a 且1≠a ）；3、()()()=+f xy f x f y 可看做()log =a f x x 的抽象表达式（0>a 且1≠a ）；4、()()()=f xy f x f y 可看做()=a f x x 的抽象表达式. 四、抽象函数中的小技巧1、很多抽象函数问题都是以抽象出某一类函数的共同特征而设计出来的，在解决问题时，可以通过类比这类函数中一些具体函数的性质去解决抽象函数的性质；2、解答抽象函数问题要注意特殊赋值法的应用，通过特殊赋值法可以找到函数的不变性质，这个不变性质往往是解决问题的突破口；3、抽象函数性质的证明是一种代数推理，和几何推理一样，要注意推理的严谨性，每一步推理都要有充分的条件，不可漏掉一些条件，更不要臆造条件，推理过程要层次分明，书写规范。

高考抽象函数技巧全总结

高考抽象函数技巧全总结由于函数概念比较抽象，学生对解有关函数记号()f x 的问题感到困难，学好这部分知识，能加深学生对函数概念的理解，更好地掌握函数的性质，培养灵活性；提高解题能力，优化学生数学思维素质。

现将常见解法及意义总结如下：一、求表达式： 1.换元法：即用中间变量表示原自变量x 的代数式，从而求出()f x ，这也是证某些公式或等式常用的方法，此法解培养学生的灵活性及变形能力。

例1：已知()211xf x x =++,求()f x . 解：设1x u x =+,则1u x u =-∴2()2111u uf u u u-=+=--∴2()1xf x x-=- 2.凑合法：在已知(())()f g x h x =的条件下，把()h x 并凑成以()g u 表示的代数式，再利用代换即可求()f x .此解法简洁，还能进一步复习代换法。

例2：已知3311()f x x x x+=+，求()f x解：∵22211111()()(1)()(()3)f x x x x x x x x x x +=+-+=++-又∵11||||1||x x x x +=+≥∴23()(3)3f x x x x x =-=-，(|x |≥1)3.待定系数法：先确定函数类型，设定函数关系式，再由已知条件，定出关系式中的未知系数。

例3．已知()f x 二次实函数，且2(1)(1)f x f x x ++-=+2x +4,求()f x .解:设()f x =2ax bx c ++，则22(1)(1)(1)(1)(1)(1)f x f x a x b x c a x b x c ++-=+++++-+-+=22222()24ax bx a c x x +++=++比较系数得2()41321,1,2222a c a abc b +=⎧⎪=⇒===⎨⎪=⎩∴213()22f x x x =++ 4.利用函数性质法:主要利用函数的奇偶性,求分段函数的解析式. 例4.已知y =()f x 为奇函数,当 x >0时,()lg(1)f x x =+,求()f x解:∵()f x 为奇函数，∴()f x 的定义域关于原点对称，故先求x <0时的表达式。

解抽象函数的常用方法

解令：Ｙ＝０，则０）＝ｌ／０）＋０），．’．０）＝０．
令Ｙ＝一，则）＋一）：０，．。．＿厂（一Ｘ）＝一），
． ‘ ．－厂（）是奇函数，
设ＸＩ＜２．则厂（ｘ２）一，（１）＝＿厂（２一１），
’ ’ ．
＞０√
）＜０，．’．２一ｌ＞０√Ｉ２一Ｉ）＜０，
例２定义在Ｒ上的函数 ’（Ｘ）满足ｆ（＋Ｙ）＋１＝
ｆ（ｘ）＋，（ｙ） ÷）－０，且＞÷时）＜０．
（１）设ａ＝ｎ）（ｎ∈Ｎ‘），求数列的前项和Ｓ．（２）判断－厂（）的单调性，并证明．分析对于一次函数ｆ（）＝＋６（ ≠０）有ｆ（）＋ｙ）＝＋Ｙ）＋６成立，分析本题条件，该题是以函数，（）＝２ｘ＋１为模型命制的．
抽象，从抽象到具体的辩证关系．下面略举数例加以说明．
一、以正比例函数为模型例１已知，（）是定义在Ｒ上的函数，对任意的，ｙ∈
Ｒ，都有ｆ（＋Ｙ）＝Ｉ厂（）＋ｆ（，，），且当＞０时，ｆ（）＜０，
，（１）：一２．当一３≤ ≤３时，函数）是否存在最大值？若
小结：抽象函数都是以中学阶段所学的基本函数为背
景．解题时，若能根据题设中抽象函数的性质寻求抽象函数
的特殊模型，灵活变通，便可寻找到解决『ｎ】题的突破口，其
解题策略通常是：（１）利用函数的定义来解题；（２）利用函
ｎ）＝一ｌ＋（ｎ—１）·（一２）＝一２ｎ＋１，

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抽象函数解题方法与技巧所谓抽象函数问题，是指没有具体地给出函数的解析式，只给出它的一些特征或性质。

解决这类问题常涉及到函数的概念和函数的各种性质，因而它具有抽象性、综合性和技巧性等特点。

抽象函数问题既是教学中的难点，又是近几年来高考的热点。

1. 换元法换元法包括显性换元法和隐性换元法，它是解答抽象函数问题的基本方法.例1. 已知f(1+sinx)=2+sinx+cos 2x, 求f(x)解:令u=1+sinx,则sinx=u-1 (0≤u ≤2),则f(u)=-u 2+3u+1 (0≤u ≤2)故f(x)=-x 2+3x+1 (0≤u ≤2)2.方程组法运用方程组通过消参、消元的途径也可以解决有关抽象函数的问题。

例2..232|)x (f :|,x )x 1(f 2)x (f ),)x (f ,x ()x (f y ≥=-=求证且为实数即是实数函数设解:02)x (xf 3 x ,x1)x (f 2)x1(f ,x x 12=++=-与已知得得代换用 .232|)x (f |,024)x (9f 02≥∴≥⨯-≥∆得由例3.f(x).1),x 0(x ,x 1)x1x (f )x (f 求且已知≠≠+=-+ 解:(1)1),x 0(x x 1)x1x (f )x (f ≠≠+=-+且Θ ,x1x 1)x 1x 1x 1x (f )x 1x (f :x x 1-x -+=---+-得代换用 :x )1(x-11 (2) .x 1x 2)x 11(f )x 1-x f( 得中的代换再以即-=-+ (3) .x1x 2)x (f )x -11f( ,x 111)x111x 11(f )1x 1(f --=+-+=---+-即 1)x 0(x x2x 21x x )x (f :2)2()3()1(223≠≠---=-+且得由 3.待定系数法如果抽象函数的类型是确定的，则可用待定系数法来解答有关抽象函数的问题。

例5.对任意实数x,y ，均满足f(x+y 2)=f(x)+2[f(y)]2且f(1)≠0,则f(2001)=_______.解:令x=y=0,得：f(0)=0,令x=0,y=1,得f(0+12)=f(0)+2f[(1)]2,,21)n (f )]1(f [2)n (f )1n (f ,1y ,n x .21)1(f ,0)1(f 2+=+=+===∴≠得令Θ.22001)2001(f ,2n )n (f ,21f(n)-1)f(n =∴==+故即例6.已知f(x)是定义在R 上的不恒为零的函数，且对于任意的函数a,b 都满足f(ab)=af(b)+bf(a). (1)求f(0)，f(1)的值；(2)判断f(x)的奇偶性,并证明你的结论;(3)若f(2)=2,u n =f(2n ) (n ∈N*),求证:u n+1>u n (n ∈N*).解:(1)令a=b=0,得f(0)=0,令a=b=1,得f(1)=0.(2)f(x)是奇函数.因为:令a=b=-1,得f[(-1)(-1)]=-f(-1)-f(-1),f(-1)=0,故f(-x)=f[(-1)(x)]= -f(x)+xf(-1)= -f(x),故f(x)为奇函数.(3)先用数学归纳法证明:u n =f(2n )>0 (n ∈N*)(略)5.转化法通过变量代换等数学手段将抽象函数具有的性质与函数的单调性等定义式建立联系，为问题的解决带来极大的方便.例7.设函数f(x)对任意实数x,y ，都有f(x+y)=f(x)+f(y),若x>0时f(x)<0,且f(1)= -2,求f(x)在[-3，3]上的最大值和最小值.解:令x=y=0,得f(0)=0,令y=-x,得f(-x)+f(x)=f(0)=0,即f(x)为奇函数.设x 1<x 2,则x 2-x 1>0,由已知得f(x 2-x 1)<0,故f(x 2)=f(x 2-x 1+x 1)=f(x 2-x 1)+f(x 1)< f(x 1).所以f(x)是R 上的减函数,又f(3)=f(1)+f(2)=-6,f(-3)=6.故f(x)在[-3,3]上的最大值为6,最小值为-6.例8.定义在R +上的函数f(x)满足: ①对任意实数m,f(x m )=mf(x); ②f(2)=1.(1)求证:f(xy)=f(x)+f(y)对任意正数x,y 都成立;(2)证明f(x)是R +上的单调增函数;(3)若f(x)+f(x-3)≤2,求x 的取值范围.解:(1)令x=2m ,y=2n ,其中m,n 为实数,则f(xy)=f(2m+n )=(m+n)f(2)=m+n.又f(x)+f(y)=f(2m )+f(2n )=mf(2)+nf(2)=m+n,所以f(xy)=f(x)+f(y),2x ,2x n m ,x x 0:)2(n 2m 121==<<<且使可令设证明0n m )2(f )n m ()2(f )x x (f )x (f )x (f )1(n m 2121<-=-===--得由故f(x 1)<f(x 2),即f(x)是R +上的增函数.(3)由f(x)+f(x-3)≤2及f(x)的性质,得f[x(x-3)]≤2f(2)=f(2)解得 3<x ≤4.6.递推法对于定义在正整数集N*上的抽象函数,用递推法来探究，如果给出的关系式具有递推性，也常用递推法来求解.例9.是否存在这样的函数f(x),使下列三个条件:①f(n)>0,n ∈N;②f(n 1+n 2)=f(n 1)f(n 2),n 1,n 2∈N*; ③f(2)=4同时成立?若存在,求出函数f(x)的解析式；若不存在，说明理由.解:假设存在这样的函数f(x),满足条件,得f(2)=f(1+1)=4,解得f(1)=2.又f(2)=4=22,f(3)=23,…,由此猜想:f(x)=2x (x ∈N*) (数学归纳证明略）例10.已知f(x)是定义在R 上的函数，f(1)=1,且对任意x ∈R 都有f(x+5)≥f(x)+5,f(x+1)≤f(x)+1.若g(x)=f(x)+1-x,则g(2002)=_________.解:由g(x)=f(x)+1-x,得f(x)=g(x)+x-1.所以g(x+5)+(x+5)-1≥g(x)+(x-1)+5,g(x+1)+(x+1)-1≤g(x)+(x-1)+1即 g(x+5)≥g(x), g(x+1)≤g(x).所以g(x)≤g(x+5)≤g(x+4)≤g(x+3)≤g(x+2)≤g(x+1),故g(x)=g(x+1)又g(1)=1,故g(2002)=1.7.模型法模型法是指通过对题目的特征进行观察、分析、类比和联想，寻找具体的函数模型，再由具体函数模型的图象和性质来指导我们解决抽象函数问题的方法。

例11.设定义在R 上的函数f(x),满足当x>0时,f(x)>1,且对任意x,y ∈R,有f(x+y)=f(x)f(y),f(1)=2.1)2(f )3x (f 21)]x (f [)2(;,4)x x 3(f )1(22+=++>-解方程解不等式解:(1)先证f(x)>0,且单调递增，因为f(x)=f(x+0)=f(x)f(0),x>0时f(x)>1,所以f(0)=1.则使假设存在某个又,0)x (f ,R x ,0)]2x (f [)2x 2x (f )x (f o o 2=∈≥=+= f(x)=f[(x-x o )+x o ]=f(x-x o )f(x o )=0,与已知矛盾，故f(x)>0任取x 1,x 2∈R 且x 1<x 2,则x 2-x 1>0,f(x 2-x 1)>1,所以f(x 1)-f(x 2)=f[(x 2-x 1)+x 1]-f(x 1)=f(x 2-x 1)f(x 1)-f(x 1)=f(x 1)[f(x 2-x 1)-1]>0.所以x ∈R 时,f(x)为增函数. 解得:{x|1<x<2}(2)f(1)=2,f(2)=2,f(3)=8,原方程可化为:[f(x)]2+4f(x)-5=0,解得f(x)=1或f(x)=-5（舍)由(1)得x=0.例12.已知函数f(x)对任何正数x,y 都有f(xy)=f(x)f(y),且f(x)≠0,当x>1时,f(x)<1.试判断f(x)在(0,+∞)上的单调性,并说明理由.解:0)x (f ,0)x (f ,0)x (f )x x (f )x (f R x 2>≠≥=•=∈+故又有对则则且设,1x x ,x x ,R x ,x 122121><∈+ 1)x x (f )x (f )x (f )x x (f )x (f )x x x (f )x (f )x (f 121112111212<=•=•=所以f(x 1)>f(x 2),故f(x)在R +上为减函数.能力训练 1.的值是则且如果)2001(f )2000(f )5(f )6(f )3(f )4(f )1(f )2(f ,2)1(f ),y (f )x (f )y x (f ++++==+Λ A.1999 B.2000 C.2001 D.20022.已知不恒为零的函数f(x)对任意实数x,y 都满足f(x+y)+f(x-y)=2[f(x)+f(y)],则f(x)是A.偶函数B.奇函数C.既是奇函数又是偶函数D.非奇非偶函数 3.)2000(f )3(f )2(f )1(f ,)1x (f 1)1x (f 1`)1x (f )x (f Λ则满足定义在实数集上的函数+-++=- 的值为__________. 4.,b a ,c ,b ,a ,cx )x1(bf )x (af )x (f ≠=+且是不为零的常数其中满足已知函数则f(x)=_____________..x)b a ()b ax (c )x (f 222--= 5.)xy1y x (f )y (f )x (f ),1,1(y ,x )1(:)x (f )1,1(++=+-∈-都有对任意满足上的函数定义在 (2)当x ∈(-1,0)时,有f(x)>0.求证:(Ⅰ)f(x)是奇函数；（Ⅱ）).31(f )5n 5n 1(f )191(f )111(f 2>+++++Λ 解:(1)易证f(x)是奇函数。