《高等数学》(A)教案第六章(可编辑修改word版)

讲授内容§6.1定积分的元素法

§6.2定积分在几何上的应用

教学目的

1.深刻理解定积分的元素法的思想.

2.掌握用定积分的元素法计算实际问题的条件和解题步骤.

3.熟练掌握平面图形面积和旋转体体积的计算方法.

4.会求平面曲线的弧长及简单的平行截面面积为已知的立体体积.

教学重点、难点

重点：求平面图形面积和旋转体体积及平面曲线的弧长.

难点：求旋转体体积.

教学方法：讲授

教学建议

1.应用定积分的元素法关键是根据题中的具体条件，利用所学的几何或物理

的知识，求出所求量的微元.

2.计算平面图形面积时，应根据图形的特点选择积分变量.

3.当旋转轴与坐标轴平行时,只需作坐标轴平移再用旋转体体积公式算出体积.

4.求平面曲线的弧长时，重点是记住公式ds =

教学过程

一、元素法:当实际问题中的所求量A 符合下列条件:

1)A是与一个变量x的变化区间[a,b]有关的量;

2)A对于区间[a,b]具有可加性,即:将区间[a,b]分成许多部分区间,则A相应

地分成许多部分量,A等于许多部分量的和;

3)部分量∆A i的近似值为 f ()i∆x i,即:

∆A

i

≈f ()

i

∆x

i

.

(dx)2+ (dy)2

b

b

d

d

则 A 可以用定积分来表示,其方法为: 1） 选取变量 x 并确定区间[a ,b ];

2） 将[a ,b ]分成 n 个小区间,并任取小区间[x ,x +d x ],此小区间上的部分量 ∆A .

且 ∆A = dA +

(dx ) = f (x )dx +(dx ) .即 dA = f (x )dx .称 dA 为 A 的元素.

3） 以 A 的元素 f (x )d x 为被积表达式,在[a ,b ]上积分:得 A =

⎰

a

这种方法为元素法.

f (x )dx .

关键在于第二步.求出元素 dA = 二、平面图形的面积

1. 直角坐标情形 1） X －型:

f (x )dx 由 y = f (x ) 、 x = a 、 x = b ,(a < b ) 与 x 轴围成的曲边梯

形的面积 A :

A = ⎰a | f (x ) | dx

由 y = f (x ) 、 y = g (x ) 、 x = a 、 x = b ,(a < b ) 围成的

曲边梯形的面积 A :

A = ⎰a | f (x ) - g (x ) | dx

2）

Y －型:

由曲线 x = f ( y ) 、直线 y = c 、 y = d ， (c < d ) 与 y

轴围成的曲边梯形的面积 A 为:

A = ⎰c | f ( y ) | dy

由 曲 线 x = f ( y ) 、 x = g ( y ) 直 线 y = c 、 y = d ，

(c < d ) 围成的曲边梯形的面积 A 为:

A = ⎰c | f ( y ) - g ( y ) | dy

例 1 计算由曲线: y 2 = x 和 y = x 2 所围成的图形的面积

解: 1) 交点坐标(0,0)和(1,1).

b

1

4

a

⎰

2

2) 取 x 为积分变量,积分区间为[0,1]. 3) 面积元素: dA = ( - x )dx .

4) 所求面积: A = ⎰

( - x )dx = 1

3

例 2 计算由抛物线 y 2 = 2x 和直线 y = x - 4 所围成的图形的面积

解: 1) 交点坐标(2,-2)和(8,4).

2) 取 y 为积分变量,积分区间为[- 2,4].

3) 面积元素: dA = ( y + 4 - y )dy .

2

4) 所求面积:

A = ⎰-2 ( y + 4 -

2 )dy = 18

2

当选取 x 为积分变量时,计算较繁.

x 2 y 2

例 3 求椭圆 a 2 + b

2 = 1所围成图形的面积.

解: 由对称性，所求面积 A = 4 A 1 = 4

⎰

ydx .

由参数方程 x = a c os t , y = b s in t 和换元法有:

A = 4 2

ab sin 2 tdt =

ab

例 4 求由曲线| ln x | + | ln y |= 1所围成的图形的面积.

解：当 x ≥ 1, y ≥ 1时,

ln x + ln y = 1，则 xy = e ;

当 01 时,

-ln x + ln y = 1 ,

则 y = ex ，

x x y

p - y

0 ⎰ 当 x >1,0

则 y = e -1x

交点坐标: A (1/e ,1), B (1,1/e ),

C (1,e ),

D (e ,1)

选取 x 为积分变量,则所求面积为:

S = ⎰ (ex - 1

)dx + ⎰

e ( e - x )dx = e - 1

1/ e ex

1 x e e

例 5 求抛物线 y 2 = 2 px 及其在点 p

( , p ) 2

处的法线所围成的面积.

p

解： 曲线在点 ( , p ) 处的法线方程为:

2

y - p = -(x - p

) .

2

p 交点坐标为( , p ) 和 2

(9 p

, -3 p )

2

3 p 所求面积为：S = -3 p [( 2

2 y ) - ]dy =

2 p 16 p 2

. 3

例 6 求位于曲线 y =e x 下方,该曲线过原点的切线的左方以及 x 轴上方之间的图形的面积.

解: 设曲线上的点为(x 0,y 0),过该点的切线为

y - e x 0 = e x 0 (x - x )

由于切线过原点,解得 x 0=1,从而曲线上过原点的切点为(1,e ).

切线方程为 y =e x .

1