人教版五年级数学下册 第4单元 第1课时 最大公因数【教案】

4.约分

第1课时最大公因数

?教学内容

教科书P60~61例1、例2及“做一做”。

?教学目标

1.理解两个数的公因数和最大公因数的意义。掌握求两个数的公因数和最大公因数的方法，能熟练地求两个数的最大公因数。

2.结合具体例题，培养学生观察、分析、抽象、归纳等能力。

3.激发学生的学习积极性，发展积极的学科情感。

?教学重点

理解求两个数的公因数和最大公因数的方法。

?教学难点

本节课的教学重点也是教学难点。

?教学准备

课件。

?教学过程

一、联系旧知识，揭示课题

师：同学们，我们在前面学习了因数的有关知识，还记得有哪些知识吗？怎样找一个数的因数呢?

【学情预设】学生可能会说出：①一个数的因数的个数是有限的，最小的因数是1,最大的因数是它本身；②找一个数的因数可以用列乘法算式的方法，也可以用列除法算式的方法；

③一个数的因数成对成对地找比较好。

结合学生的汇报，课件出示。

师：今天我们一起继续研究因数的有关知识。（板书课题：最大公因数）

【设计意图】利用已有的知识学习新的知识，既消除了学生学习的心理障碍，又为今天的新授内容作铺垫。

二、合理引导，探寻策略

1.用集合法求公因数和最大公因数。

师：8的因数有哪些？12呢？用我们前面学过的方法，把一个数的因数用一个集合圈圈起来。

师生交流，归纳并板书：

师：观察一下8和12的因数，你有什么新的发现？

【学情预设】8和12都有因数1,2,4。

师：像1,2,4这样是8和12两个数都有的因数，我们把这些数叫做8和12的公因数。

师：同学们真聪明，之前我们用这样的方法表示一个数的因数，那么要同时表示两个数的因数，两个圈的位置应该怎样摆？

【学情预设】学生可能说将两个集合圈移动交叉，重合的部分就是两个数的公因数，没有重合的部分是这两个数独有的因数。

◎教学笔记

【教学提示】

在汇报8，12的因数时，教师同步板书，当全部板书完成后，再用集合圈分别圈起来。

结合学生发言，教师板书：

师：我有问题了，怎样做到既不重复，又不遗漏，既表示8的因数，又表示12的因数？请同学们填在集合圈里，指名学生在黑板上板演。

【学情预设】学生可能出现如下情况：①将1,2,4填在重合部分，8填在左边空白部分，3,6,12填在右边空白部分；②将1,2,4填在重合部分，1,2,4,8填在左边空白部分，1,2,3,4,6,12填在右边空白部分。

师（指着第二种情况）：大家同意这种填法吗？为什么？他做到了不遗漏，但重复了，会调整吗？怎样调整？为什么不拿中间的1,2,4呢？

师生交流，归纳并板书：

师：对比黑板上的两幅图，变化在哪？中间部分的数表示什么呢？4呢？

【学情预设】学生可能出现如下情况：①中间部分的数1,2,4表示8和12的公因数；②4是8和12的最大公因数，可以用画圈的方法把4圈起来，表示最大公因数。

师生交流并板书：1，2，4是8和12公有的因数，叫做它们的公因数。其中，4是最大的公因数，叫做它们的最大公因数。

师：你们知道什么是公因数，什么是最大公因数吗？

【学情预设】几个数公有的因数叫做这几个数的公因数，其中最大的一个叫做这几个数的最大公因数。

三、探究求两个数的最大公因数的方法

师：大家能用刚才学到的方法求公因数和最大公因数吗？如18和27。

1.探究一般方法。

（1）课件出示教科书P60例2。

（2）学生自主解答。

（3）展示交流，根据学生的交流，教师板书，课件同步呈现。

【学情预设】预设1：列举法。

预设2：筛选法。18的因数有1，2,3，6,9，18，27的因数有1，3，9，27，所以18和27的公因数有1,3,9,最大公因数是9。

预设3：分解质因数法。

师：前面我们学习了质数，把一个合数写成几个质数相乘的形式，就是分解质因数，如18=2×3×3，这里的2，3都是质数，我们就说2，3是18的质因数。

师：你们把27分解质因数看看。

学生独立分解质因数。

师介绍：把两个合数分解质因数后，把所有相同的质因数相乘，得到的积就是这两个数

◎教学笔记

【教学提示】

集合图对于学生来说，填写有一定难度，一定要通过板书，让学生经历各部分应该填写在哪里的这个过程。

的最大公因数。

师：如18和27全部公有的质因数是2个3，所以18和27的最大公因数就是3×3＝9。

让学生看看教科书P56“你知道吗？”。

【设计意图】通过学生自由发言，教师可以了解学生对求两个数的公因数和最大公因数知识的掌握情况，并以此作为调整课堂教学思路的主要依据。

2.介绍用短除法求最大公因数。

（1）认识互质数。

师：从教科书P56中的“你知道吗？”你知道了什么？

【学情预设】里面提到了一种短除法。

师：对，短除法在求公因数和最大公因数时很有用。我们来研究一下短除法。

师：求下面各组数的最大公因数。

2和11 9和10

师：做完后，你发现了什么？

【学情预设】它们的最大公因数都是1。

师：公因数只有1的两个数叫做互质数。互质的两个数必须是质数吗？请举例说明。

学生阅读教科书P64“你知道吗？”。

【学情预设】学生可能会说：①1和任何非0自然数互质；②两个不同的质数互质；③2和任意非0奇数互质；④相邻的两个自然数互质……教师要实时举例引导：互质的两个数不一定都是质数，如9和10都是合数，但是它们除了公因数1以外，没有其他公因数，所以它们就是互质数。

师：同学们真聪明，还有其他方法求两个数的最大公因数吗？

【设计意图】学生学习互质数的知识，为学习用短除法求最大公因数作铺垫。

（2）教师介绍短除法。

师：求两个数的最大公因数，可以依次用这两个数的公因数去除，直到最后得到的两个商互质为止，然后把公有的质因数相乘就是它们的最大公因数。如：

（边介绍边板书）

学生自学教科书P61“你知道吗？”。

师：用短除法求两个数的最大公因数时需要注意些什么？

【学情预设】学生可能会说：用两个数的公因数去除，直到最后的商互质为止，然后把公有的质因数依次乘起来。

师：真好，请大家用刚才学到的短除法求12和16的最大公因数。

3.回忆总结，提炼方法。

师：我们一起回忆一下今天的学习过程，怎样求两个数的公因数和最大公因数？两个数的公因数和最大公因数之间有什么关系？

【学情预设】学生可能会说：求最大公因数可以用集合法、列举法、筛选法、分解质因数法、短除法；有了公因数就能找到最大公因数，知道最大公因数就能找到所有公因数；公因数是最大公因数的所有因数；最大公因数是公因数的倍数；最大公因数只有1个，公因数不一定只有1个……

【设计意图】通过讨论让学生明白公因数与最大公因数之间的关系，学生在参与实践的过程中，不仅获得了知识，更体验到成功的快乐。

◎教学笔记

【教学提示】

此环节中的短除法、互质数都不是现行教科书的内容，但是其对学生今后的学习很有用，所以很多教师将这两个内容进行补充。教师可以根据实际情况确定是否讲授本环节。

四、实践应用，巩固拓展

◎教学笔记

1.学生独立完成教科书P61“做一做”第1、2题。

（1）学生独立完成，教师个别辅导。

（2）集中评价。

【学情预设】第1题中引导学生列举完整，说说每个圈中填的是什么。第2题要分别说

说9，6，12，18号学生站在哪个位置。

【设计意图】帮助学生进一步理解因数和公因数的联系与区别，巩固因数和公因数的概

念。

2.学生独立完成教科书P61“做一做”第3题。

（1）课件出示。

（2）小组比赛，看哪个小组完成得最快。

师：下面我们来进行一个写最大公因数的比赛，通过完成此题，你有什么发现？

【学情预设】学生可能会说出：①互质的两个数的最大公因数是1；②两个数成倍数关

系时，它们的最大公因数是较小的那个数；③用短除法求最大公因数比较简便。

【设计意图】本环节练习层次清楚，由易到难，充分调动学生学习的积极性，让学生在

具体的情境中合理选择解决问题的策略。

板书：当两个数成倍数关系时，较小的数就是它们的最大公因数。

五、课堂小结

师：其实，关于求公因数和最大公因数的方法多种多样，通过本节课的学习，你有什么

样的收获？

【学情预设】学生可能总结出公因数、最大公因数、互质数的概念，可能总结出求最大

公因数的方法……

师：数学是思维的体操，数学的美需要我们不断地去发现，去研究，去创造。

【设计意图】学生对自己的学习过程、经验、方法的回顾与反思，是学习过程的重要组

成部分，是提高学生数学素养的途径之一。

?板书设计

?教学反思

在以往的教科书中，分解质因数、短除法一直是必学的内容，考虑到求最大公因数、最

小公倍数主要用于约分和通分，允许学生用多种方法求最大公因数和最小公倍数，那么分解

质因数、短除法就不再是唯一的方法，为了减少理论概念，教科书就把这两个内容作为拓展

内容，安排在“你知道吗？”中介绍。事实上，从学生的长期发展来看，这两种方法还是要

掌握的，所以本节课的设计中，还是将这两个内容补充进来。

?作业设计

见“状元成才路”系列丛书《创优作业100分》对应课时作业。教学资源