一阶线性微分方程

由题意知初始条件为
．
二、概念及公式的引出
一阶线性微分方程
形如
(1)
线性 线性
的微分方程称为一阶线性微分方程．当Q(x)恒等于零时, 方程(1)称为齐次微分方程；当Q(x)不恒为零时，方程 (1))非齐次微分方程．
（一）一阶线性齐次微分方程的解法 在方程(1)中，若 ，则
（2） 是可分离变量微分方程，分离变量，得
（2）求特解 将初始条件 代入通解，得C=-22500 所以，在时刻t容器中的含盐量为
练习2 [RL电路] 在一个包含有电阻R(单位： )，电感L(单位：H) 和电源E(单位：V)的RL串联回路中，由回路电流
定律，知电流(单位：A)满足以下微分方程
若电路中电源
V,电阻10 ,电感0.5H和初始
二、二阶常系数齐次线性微分方程解的结构
(1)若y1，y2是二阶线性齐次微分方程 (1)的两个解，则
也是方程(1)的解，其中C1，C2为任意常数．
(2)若 常数，则
是该方程（1）的通解.
将
代入方程(1)得
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由于
所以
中含有两个独立的
任意常数，所以它是方程(4.4.1)的通解．
三、二阶常系数齐次线性微分方程的解法
有
(2)
这就是说，只要r是代数方程(2)的根，
特征方程(2)是一个二次方程，它的根有三 种情况，因此方程(1)的通解也有三种情况：
➢ 1°当
时，特征方程(4)有两
个不相等的实根r1及r2，此时方程(3)有
两个特解
与
因为
常数，方程(1)的通解为
➢ 2°当 相等的实根
时，特征方程(2)有两个 这时只得到方程(1)
3. [电路中的电流]在上题中，用发电机代替电池，电 阻和感应系数不变，发电机产生的电压为 E(t)=60sin30t V，求I(t). 4. [RC回路]一个RC回路中有电源100V，电阻5 ，
电容0.02F和最初有5C电量的电容，求在任意时刻t 电容上的电量和电路中的电流.
4.3 二阶常系数线性微分方程
若回路中有电源 400cos 2tV,电阻100 ，电容 0.01F，电容上没有初始电量.求在任意时刻t 电路中的电流． 解 （1）建立微分方程，我们先求电量q.
因为 代入RC回路中电量q应满足的微分方程，得
初始条件为 .
（2）求通解 此方程是一阶线性微分方程，应用公式(3)，得
将t=0,q=0代入上式，得
一、案例 二、概念和公式的引出 三、进一步的练习 四、实训
一、引例 [弹簧的运动方程] 将一弹簧置于油中，其运动满足以下微分方程
此方程为二阶微分方程，其特点是：未知函数及 其一、二阶导数的幂次都是一次的，且未知函数 及其导数的系数均为常数．
形如 (1)
方程称为二阶常系数齐次线性微分方程，其 中p、q是常数 .
解 设t时刻容器中含盐量为x g，容器中含盐量的变 化率为
盐流入容器的速度－盐流出容器的速度 （1）
盐流入容器的速度=2（g/L）×5（L/min） =10(g/min)
盐流出容器的速度=
（g/L）×3 （L/min）
=
(g/min)
由式（1）得
即
此一阶线性微分方程的特点是：未知函数及其 导数都是一次的．
研究 解之，得 ． 于是
再由电流与电量的关系
，得
四、实训
1．[曲线方程] 已知一曲线过原点，它在点任意点(x,y)
处的切线斜率等于2x+y，求此曲线方程 。
2. [RL电路] 在一个RL电路中，电阻为12欧姆，感应 系数为4亨利，如果电池提供60V的电压，当t=0时开 关合上，电流初值为I(0)=0.求: (1)I(t); (2)1s后的电流。
4.2 一阶线性微分方程
一、案例 二、概念和公式的引出 三、进一步的练习 四、实训
一、案例 [溶液的混合]
一容器内盛有50L的盐水溶液，其中含有10g 的盐．现将每升含盐2g的溶液以每分钟5L的速度注 入容器，并不断进行搅拌，使混合液迅速达到均匀， 同时混合液以3L/min的速度流出溶液，问任一时刻 容器中含盐量是多少？
的一个特解
。可以验证
也是方程(1)的一个特解，且
所以方程(1)的通解为
常数，
➢ 3°当 有一对共轭复根
时，特征方程(2)
其中
这时方程(1)有两个复数形式的解
可以验证，函数
与
为方程(1)的两个实数形式的解，且
因此方程(1)的通解为
常数，
综上所述，求二阶常系数线性齐次微分方程
的通解步骤如下： (1)写出微分方程(1)的特征方程 (2)求出特征方程(2)的两个根 (3)根据两个根的不同情况，按下表写出微分
电流6A，求在任何时刻t电路中的电流．
解 （1）建立微分方程
这里
,R=10,L=0.5,将其代入RL电路中电流
应满足的微分方程，得
初始条件为 ．
（2）求通解 此方程是一阶线性微分方程，应用公式(3)，得通解
（3）求特解 将t=0时,I=6代入通解，得
解之，得
所以，在任何时刻t的电流为
练习3 [RC回路] 在一个包含有电阻R(单位： ),电容C(单位：F)和电 源E(单位：V)的RC串联回路中,由回路电流定律,知电 容上的电量q(单位：C)满足以下微分方程
研究 两边积分，得 即
这是齐次微分方程（2）的通解．
（二）一阶线性非齐次微分方程的解法 一阶线性非齐次微分方程 (1)的解可用“常数变易 法”求得．这种方法是将(1)的通解中的任意常数C， 换为x的函数C(x)，即令
两边求导，得 将y、 的表达式代入方程(1)，得
两边积分，得
将此式代入
，便得非齐次线性微分方
二阶常系数线性齐次微分方程的一般形式为
(1)
其中p , q均为常数．
由定理2可知，只要找出方程(3)的两个线性特解y1与y2
且
，即可得(1)的通解．
当r为常数时，指数函数
和它的
各阶导数都只相差一个常数因子．
由于指数函数具有这样的特点，因此可用
y = erx来试解（r是待定常数）．
将
，
，
代入方程(1)得
方程 (1)的通解为
(*)
将通解公式(*)改写成两项之和为
(3)
齐次方程 的通解
非齐次方 程的特解
式(3)右端第一项是对应的齐次方程(2)的通解， 第二项是非齐次线性方程(1)的一个特解． 由此可知一阶非齐次线性方程的通解等于对应 的齐次方程的通解与非齐次方程的一个特解之和．
三、进一步的练习 练习1[案例的求解] 解 (1)求通解 为求通解可以先求出对应齐次方程的通解，然后 应用常数变易法，这里，我们直接应用公式(3).