一阶线性微分方程
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一阶线性微分方程
在工程中的应用
控制工程
01
在控制工程中，一Hale Waihona Puke 线性微分方程可以用来描述系统的动态特
性，如传递函数和稳定性分析。
信号处理
02
在信号处理中，一阶线性微分方程可以用来描述信号的滤波、
放大和传输等过程。
航天工程
03
在航天工程中，一阶线性微分方程可以用来描述火箭的发射、
卫星轨道和姿态控制等过程。
04
一阶线性微分方程的扩 展
一阶线性微分方程
目录
• 一阶线性微分方程的定义与形式 • 一阶线性微分方程的解法 • 一阶线性微分方程的应用 • 一阶线性微分方程的扩展
01
一阶线性微分方程的定 义与形式
定义
总结词
一阶线性微分方程是包含一个未知函数及其导数的一次项的方程。
详细描述
一阶线性微分方程的一般形式为 y' + P(x)y = Q(x)，其中 y 是未知函数，P(x) 和 Q(x) 是已知函数，' 表示导数。 这个方程包含未知函数 y 和它的导数 y'，且最高次项为一次。
变系数一阶线性微分方程
定义
变系数一阶线性微分方程是指方程中的系数是未知数的函数，而 不是常数。
解法
解变系数一阶线性微分方程需要使用特殊的方法，如换元法、变量 分离法等，以将方程转化为更易于解决的形式。
应用
变系数一阶线性微分方程在物理学、工程学和经济学等领域有广泛 的应用，例如振动问题、电路分析、人口动态等。
03
一阶线性微分方程的应 用
在物理中的应用
自由落体运动
一阶线性微分方程可以用来描述 物体在重力作用下的自由落体运 动，如速度和位移随时间的变化
一阶线性微分方程
积分得
u( x) Q( x)e
P( x)dx
于是非齐次线性方程的通解为
P( x)dx P( x)dx y e [ Q( x)e dx C ]
齐次线性方程的通解
齐次线性方程 yP(x )y0 的通解为 y Ce P( x)dx
非齐次线性方程的通解
d ( y 1 ) 1 1 即： y a ln x dx x
令zy1 则上述方程成为
dz 1 z a ln x dx x
这是一个线性方程 它的通解为
以y1代z 得所求方程的通解为
z x[C a (ln x)2 ] 2
yx[C a (ln x)2 ] 1 2
下列方程是什么类型方程？
(1)
dy 1 1 y (1 2 x) y 4 是伯努利方程. dx 3 3
dy (2) y xy5 是伯努利方程. dx x y (3) y 是伯努利方程. y x
(4) dy 2 xy 4 x 不是伯努利方程. dx
伯努利方程的解法 以yn除方程的两边 得
由通解公式得
2 dx y e x 1 [
5 2 dx ( x 1) 2 e x 1 dx C]
33 55 22 2 22 22 ((x x 1 1 )) [[ 2((x x 1 1 ))22 C C ]] ((x x 1 1 )) [[ ((x x 1 1 ))22((x x 1 1 )) dx dx C C ]]
齐次线性方程的通解
齐次线性方程 yP(x )y0 的通解为 y Ce P( x)dx
非齐次线性方程的通解
设非齐次线性方程yP(x)yQ(x)的通解为
第三节 一阶线性微分方程
sin 2 y e cos y dy dy C
sin y
dy C
sin y
)C
e sin y [2 sin ye sin y 2 e sin y cos y dy C ]
2(sin y 1) Ce
sin y
将 x 1 , y 0 代入上式 , 得 C 3 ,
x0 P ( x )dx x x0 P ( x )dx ye dx y 0 . x0 Q ( x ) e
x x
小结
1.齐次线性微分方程
y P ( x ) y 0
y Ce P ( x )dx ;
2. 非齐次线性微分方程 (1) 公式
所求特解为 x 2(sin y 1) 3e sin y .
例6 如图所示，平行于 y 轴的动直线被曲 线 y f ( x ) (0 f ( x ) x 3 )与 y x 3 ( x 0) 截下的线段PQ之长数值上等于阴影部分的面积, 求曲线 f ( x ).
解
1 1 y ln ydy C ln y
1 1 2 2 (ln y ) C ln y
( x cos y sin 2 y ) y 1 例5 求特解 y x 1 0
1 解 将方程变形 , 得 dy , dx x cos y sin 2 y
y P ( x ) y Q ( x )
y e P ( x )dx [ Q( x ) e P ( x )dx dx C ];
P ( x )dx
( 2)令 y u( x )e
用常数变易法求解.
12.4一阶线性微分方程
x 解得 z x ( C ), 故原伯努利方程的同解为 2 4 x y x ( C )2 . 2
2
例6: 用适当的变量代换解下列微分方程:
1.
yy xy2 xe x ;
2 2
x 1 y xy xe y , 解: 将原方程变形为
实际上, 这是一个n=–1的伯努利方程. 令 z=y2, 则 dz dy dz x2 2 y , 所以, 原方程转化为 2 xz 2 xe , dx dx dx dz x2 先求方程 2 xz 0 的通解. 得: z ce . dx 2 2 2 x x x 令 z c( x )e , 则 z c( x )e 2 xc( x )e , 代入得, 2 2 2 2 x x x x c( x )e 2 xc( x )e 2 xc( x )e 2 xe ,
( 此处 mg k v 0 )
1 t 足够大时 利用初始条件, 得 C ln ( mg ) mg k k v k t mg 代入上式后化简, 得特解 v (1 e m ) k
例2 如图所示，平行与 y 轴的动直线被曲 3 线 y f ( x )与 y x ( x 0)截下的线段PQ之 长数值上等于阴影部分的面积, 求曲线 f ( x ).
令 y c( x )( x 1)2 , 则 y c( x )( x 1)2 2c( x )( x 1), 代入线性非齐次方程中, 得: c( x )( x 1)2 2c( x )( x 1) 5 1 2 2c( x )( x 1) ( x 1) 2 x 1 1 3 2 2 化简得: c( x ) ( x 1) , 得 c( x ) ( x 1) 2 c 3 故, 原非齐次方程的通解为: 3 2 y ( x 1)2[ ( x 1) 2 c ] 3 dy y . 例3: 求解微分方程 dx 2(ln y x ) dx 2(ln y x ) 2 2 ln y x . 解: 将方程改写为 dy y y y 这是一个关于函数x=x(y)的一阶线性非齐次方程,
2
例6: 用适当的变量代换解下列微分方程:
1.
yy xy2 xe x ;
2 2
x 1 y xy xe y , 解: 将原方程变形为
实际上, 这是一个n=–1的伯努利方程. 令 z=y2, 则 dz dy dz x2 2 y , 所以, 原方程转化为 2 xz 2 xe , dx dx dx dz x2 先求方程 2 xz 0 的通解. 得: z ce . dx 2 2 2 x x x 令 z c( x )e , 则 z c( x )e 2 xc( x )e , 代入得, 2 2 2 2 x x x x c( x )e 2 xc( x )e 2 xc( x )e 2 xe ,
( 此处 mg k v 0 )
1 t 足够大时 利用初始条件, 得 C ln ( mg ) mg k k v k t mg 代入上式后化简, 得特解 v (1 e m ) k
例2 如图所示，平行与 y 轴的动直线被曲 3 线 y f ( x )与 y x ( x 0)截下的线段PQ之 长数值上等于阴影部分的面积, 求曲线 f ( x ).
令 y c( x )( x 1)2 , 则 y c( x )( x 1)2 2c( x )( x 1), 代入线性非齐次方程中, 得: c( x )( x 1)2 2c( x )( x 1) 5 1 2 2c( x )( x 1) ( x 1) 2 x 1 1 3 2 2 化简得: c( x ) ( x 1) , 得 c( x ) ( x 1) 2 c 3 故, 原非齐次方程的通解为: 3 2 y ( x 1)2[ ( x 1) 2 c ] 3 dy y . 例3: 求解微分方程 dx 2(ln y x ) dx 2(ln y x ) 2 2 ln y x . 解: 将方程改写为 dy y y y 这是一个关于函数x=x(y)的一阶线性非齐次方程,
§7.4 一阶线性微分方程
dz 2 xz xex2 , z e 2 xdx[
判别下列方程类型:
(1) x dy y xy dy
dx
dx
(2) x dy y (ln y ln x) dx
(3) ( y x3) dx 2x dy 0
(4) 2 y dx ( y3 x) dy 0
(5) ( y ln x 2) y dx x dy
提示:
②在数学方面，有关微积分、微分方程和概率论等，他也做 了大量而重要的工作。
2.3、伯努利方程的解法
解法: 需经过变量代换化为线性微分方程.
两 端 除 以yn， 得 yn dy P( x) y1n Q( x), dx
令z y1n , 则 dz (1 n) yn dy ，
dx
dy P( x) y Q( x) yn (n 0,1)
dx
1当n 0,1时，方程为线性微分方程.
当n 0时，dy P( x) y Q( x)为非齐次;
dx
当n 1时，dy [P( x) Q( x)]y 0为齐次的; dx
2当n 0,1时，方程为非线性微分方程
两边求导,得： y=C(x)e x22xC(x)e x2
将y、y代入原方程,得：
C´(x)ex2 2xC(x)ex2 2xC(x)ex2 xex2 C'(x) x C(x) 1 x2 C
故通解为 y ex2 ( 1 x2 C) 2 2
⑵公式法 原方程为：y 2xy xe-x 2
ex2 [
1
e x2
e
2
xdx
dx
C]
x
ex2 [
高数-一阶线性微分方程
(x
1) 2
2 3
(x
1)
3 2
C
注意：找正确P(x)和 Q(x).
例2. 求方程 (x2 1) y'2xy cos x 0, y(0) 1 特解。
解一: 整理方程得
y'
2x x2 1
y
cos x x2 1
对应的齐次方程
y'
x
2
2
x
1
y
0的通解为
y
C x2 1
(齐通)
(常数变易法) 令
dx
(2)
dy 3y 8 , dx
y |x0 2
(3)
( y2 6x) dy 2 y 0 dx
(4)
dy dx
2x
y
y3
,
y
x1
1
答案： (1) y (x 2)3 C(x 2)
(2)
y
2 3
(4
e3x )
(3) x Cy3 1 y2
2
(4) x y3
*二、伯努利 ( Bernoulli )方程
令 P(x) x, Q(x) 2x
方程的通解
y
e P( x)d x
Q(
x)
e
P
(
x
)
d
xd
x
C
e
x
d
x
2
x
e
x
d
x
d
x
C
1 x2
e2
2
x
e
1 2
x2
d
x
C
2
C
1 x2
e2
1 x2
由y(0) 2 得 C 4. 即 y 2 4 e2
一阶线性微分方程
dx
的微分方程, 称为伯努利(Bernoulli) 方程.
2.解法 方程两端同除yn，得
yn dy P( x) y1n Q( x) dx
令z y1n , 得 dz (1 n)P( x)z (1 n)Q( x).
dx 求出通解后，将 z y1n 代入即可.
例 3 求方程 dy 4 y x2 y 的通解. dx x
1 而方程两端同乘函数 x2 后，得
xdy ydx x2
d
y x
0
是全微分方程， 所以 1 是原方程的一个 x2
积分因子.
原方程的通解为 y C . x
导数，且
Q P x y
则称该方程为全微分方程，或恰当方程.
2. 解法 若微分方程
P( x, y)dx Q( x, y)dy 0
是全微分方程.
则存在u( x, y),使
du(x, y) P(x, y)dx Q(x, y)dy
原方程变为 du( x, y) 0
全微分方程通解为 u( x, y) C.
将 u x y 代回, 所求通解为
y ln( x y 1) C, 或 x C1e y y 1
另解 方程变形为 dx x y. 一阶线性微分方程. dy
第五节 全微分方程
1. 定义 如果一阶微分方程
P( x, y)dx Q( x, y)dy 0
中的P( x, y)，Q( x, y)在单连域G内具有一阶连续偏
(3)
Ce P( x)dx e P( x)dx
Q(
x
)e
P
(
x
)dx
dx
对应齐次 方程通解
非齐次方程的特解
例1 求方程 y 1 y sin x 的通解. xx
的微分方程, 称为伯努利(Bernoulli) 方程.
2.解法 方程两端同除yn，得
yn dy P( x) y1n Q( x) dx
令z y1n , 得 dz (1 n)P( x)z (1 n)Q( x).
dx 求出通解后，将 z y1n 代入即可.
例 3 求方程 dy 4 y x2 y 的通解. dx x
1 而方程两端同乘函数 x2 后，得
xdy ydx x2
d
y x
0
是全微分方程， 所以 1 是原方程的一个 x2
积分因子.
原方程的通解为 y C . x
导数，且
Q P x y
则称该方程为全微分方程，或恰当方程.
2. 解法 若微分方程
P( x, y)dx Q( x, y)dy 0
是全微分方程.
则存在u( x, y),使
du(x, y) P(x, y)dx Q(x, y)dy
原方程变为 du( x, y) 0
全微分方程通解为 u( x, y) C.
将 u x y 代回, 所求通解为
y ln( x y 1) C, 或 x C1e y y 1
另解 方程变形为 dx x y. 一阶线性微分方程. dy
第五节 全微分方程
1. 定义 如果一阶微分方程
P( x, y)dx Q( x, y)dy 0
中的P( x, y)，Q( x, y)在单连域G内具有一阶连续偏
(3)
Ce P( x)dx e P( x)dx
Q(
x
)e
P
(
x
)dx
dx
对应齐次 方程通解
非齐次方程的特解
例1 求方程 y 1 y sin x 的通解. xx
一阶线性微分方程
y x
2
线性非齐次方程
线性齐次方程
y cos y 1
y y 2 xy 3 ,
非线性
2、一阶线性微分方程的解法 引例 考虑一阶线性微分方程
（齐次方程） （非齐次方程） ① ②
求①的通解，并验证
是②的通解. . 代入②，方程成立，
解: 由分离变量得齐次方程的通解为 将
故是解. 又因为含有一个任意常数，故是通解.
例6. 求方程 解: 令 z y
1
的通解.
, 则方程变形为
z x
1
dz dx
a ln x
其通解为
ze
x
dx
(a ln x) e
a 2 ( ln x)
2
dx
x
1
dx C
x C
将 z y 1代入, 得原方程通解:
作 业
P315 1 (3) , (6) , (9) ;2 (5) ; 6 ; 7 (5)
暂态电流
稳态电流
小结 求解一阶线性微分方程的方法:
dy dx P( x) y Q( x)
1、常数变易法求解一阶线性微分方程的步骤:
(1) 将方程化为标准形式，确定 P(x) 和 Q(x)； (2) 求对应的齐次方程的通解 y C e
P( x) d x
；
（常数变易）
(3) 设原方程的通解为 y C ( x) e P ( x ) d x ，代回原
xe
P( y)d y
P( y)d y Q( y ) e d y C ，得
xe
y
y e
y
dy C
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研究 两边积分，得 即
这是齐次微分方程（2）的通解．
（二）一阶线性非齐次微分方程的解法 一阶线性非齐次微分方程 (1)的解可用“常数变易 法”求得．这种方法是将(1)的通解中的任意常数C， 换为x的函数C(x)，即令
两边求导，得 将y、 的表达式代入方程(1)，得
两边积分，得
将此式代入
，便得非齐次线性微分方
解 设t时刻容器中含盐量为x g，容器中含盐量的变 化率为
盐流入容器的速度－盐流出容器的速度 （1）
盐流入容器的速度=2（g/L）×5（L/min） =10(g/min)
盐流出容器的速度=
（g/L）×3 （L/min）
=
(g/min)
由式（1）得
即
此一阶线性微分方程的特点是：未知函数及其 导数都是一次的．
电流6A，求在任何时刻t电路中的电流．
解 （1）建立微分方程
这里
,R=10,L=0.5,将其代入RL电路中电流
应满足的微分方程，得
初始条件为 ．
（2）求通解 此方程是一阶线性微分方程，应用公式(3)，得通解
（3）求特解 将t=0时,I=6代入通解，得
解之，得
所以，在任何时刻t的电流为
练习3 [RC回路] 在一个包含有电阻R(单位： ),电容C(单位：F)和电 源E(单位：V)的RC串联回路中,由回路电流定律,知电 容上的电量q(单位：C)满足以下微分方程
二阶常系数线性齐次微分方程的一般形式为
(1)
其中p , q均为常数．
由定理2可知，只要找出方程(3)的两个线性特解y1与y2
且，即可得(1)的通解．当r为常数时，指数函数
和它的
各阶导数都只相差一个常数因子．
由于指数函数具有这样的特点，因此可用
y = erx来试解（r是待定常数）．
将
，
，
代入方程(1)得
3. [电路中的电流]在上题中，用发电机代替电池，电 阻和感应系数不变，发电机产生的电压为 E(t)=60sin30t V，求I(t). 4. [RC回路]一个RC回路中有电源100V，电阻5 ，
电容0.02F和最初有5C电量的电容，求在任意时刻t 电容上的电量和电路中的电流.
4.3 二阶常系数线性微分方程
4.2 一阶线性微分方程
一、案例 二、概念和公式的引出 三、进一步的练习 四、实训
一、案例 [溶液的混合]
一容器内盛有50L的盐水溶液，其中含有10g 的盐．现将每升含盐2g的溶液以每分钟5L的速度注 入容器，并不断进行搅拌，使混合液迅速达到均匀， 同时混合液以3L/min的速度流出溶液，问任一时刻 容器中含盐量是多少？
研究 解之，得 ． 于是
再由电流与电量的关系
，得
四、实训
1．[曲线方程] 已知一曲线过原点，它在点任意点(x,y)
处的切线斜率等于2x+y，求此曲线方程 。
2. [RL电路] 在一个RL电路中，电阻为12欧姆，感应 系数为4亨利，如果电池提供60V的电压，当t=0时开 关合上，电流初值为I(0)=0.求: (1)I(t); (2)1s后的电流。
一、案例 二、概念和公式的引出 三、进一步的练习 四、实训
一、引例 [弹簧的运动方程] 将一弹簧置于油中，其运动满足以下微分方程
此方程为二阶微分方程，其特点是：未知函数及 其一、二阶导数的幂次都是一次的，且未知函数 及其导数的系数均为常数．
形如 (1)
方程称为二阶常系数齐次线性微分方程，其 中p、q是常数 .
二、二阶常系数齐次线性微分方程解的结构
(1)若y1，y2是二阶线性齐次微分方程 (1)的两个解，则
也是方程(1)的解，其中C1，C2为任意常数．
(2)若 常数，则
是该方程（1）的通解.
将
代入方程(1)得
由于
所以
中含有两个独立的
任意常数，所以它是方程(4.4.1)的通解．
三、二阶常系数齐次线性微分方程的解法
若回路中有电源 400cos 2tV,电阻100 ，电容 0.01F，电容上没有初始电量.求在任意时刻t 电路中的电流． 解 （1）建立微分方程，我们先求电量q.
因为 代入RC回路中电量q应满足的微分方程，得
初始条件为 .
（2）求通解 此方程是一阶线性微分方程，应用公式(3)，得
将t=0,q=0代入上式，得
由题意知初始条件为
．
二、概念及公式的引出
一阶线性微分方程
形如
(1)
线性 线性
的微分方程称为一阶线性微分方程．当Q(x)恒等于零时, 方程(1)称为齐次微分方程；当Q(x)不恒为零时，方程 (1))非齐次微分方程．
（一）一阶线性齐次微分方程的解法 在方程(1)中，若 ，则
（2） 是可分离变量微分方程，分离变量，得
有
(2)
这就是说，只要r是代数方程(2)的根，
特征方程(2)是一个二次方程，它的根有三 种情况，因此方程(1)的通解也有三种情况：
➢ 1°当
时，特征方程(4)有两
个不相等的实根r1及r2，此时方程(3)有
两个特解
与
因为
常数，方程(1)的通解为
➢ 2°当 相等的实根
时，特征方程(2)有两个 这时只得到方程(1)
方程 (1)的通解为
(*)
将通解公式(*)改写成两项之和为
(3)
齐次方程 的通解
非齐次方 程的特解
式(3)右端第一项是对应的齐次方程(2)的通解， 第二项是非齐次线性方程(1)的一个特解． 由此可知一阶非齐次线性方程的通解等于对应 的齐次方程的通解与非齐次方程的一个特解之和．
三、进一步的练习 练习1[案例的求解] 解 (1)求通解 为求通解可以先求出对应齐次方程的通解，然后 应用常数变易法，这里，我们直接应用公式(3).
（2）求特解 将初始条件 代入通解，得C=-22500 所以，在时刻t容器中的含盐量为
练习2 [RL电路] 在一个包含有电阻R(单位： )，电感L(单位：H) 和电源E(单位：V)的RL串联回路中，由回路电流
定律，知电流(单位：A)满足以下微分方程
若电路中电源
V,电阻10 ,电感0.5H和初始
的一个特解
。可以验证
也是方程(1)的一个特解，且
所以方程(1)的通解为
常数，
➢ 3°当 有一对共轭复根
时，特征方程(2)
其中
这时方程(1)有两个复数形式的解
可以验证，函数
与
为方程(1)的两个实数形式的解，且
因此方程(1)的通解为
常数，
综上所述，求二阶常系数线性齐次微分方程
的通解步骤如下： (1)写出微分方程(1)的特征方程 (2)求出特征方程(2)的两个根 (3)根据两个根的不同情况，按下表写出微分