天津中考数学培优专题复习二次函数练习题

5．如图，已知抛物线 的对称轴为直线 ，且抛物线与 轴交于 、 两点，与 轴交于 点，其中 ， .
（1）若直线 经过 、 两点，求直线 和抛物线的解析式；
（2）在抛物线的对称轴 上找一点 ，使点 到点 的距离与到点 的距离之和最小，求出点 的坐标；
（3）设点 为抛物线的对称轴 上的一个动点，求使 为直角三角形的点 的坐标.
w＝﹣10x2+1300x﹣30000＝﹣10（x﹣65）2+12250
∵a＝﹣10＜0，对称轴x＝65
∴当44≤x≤46时，y随x的增大而增大
∴当x＝46时，w最大值＝8640元
即商场销售该品牌玩具获得的最大利润是8640元．
【点睛】
本题考查了二次函数的实际应用，难度较大，求解二次函数与利润之间的关系时,需要用代数式表示销售数量和销售单价，熟悉二次函数顶点式的性质是解题关键.
【解析】
【2）由函数图象上点的坐标特征：可设点E的坐标为（m，m+3），点F的坐标为（m， m2+ m﹣1），由此得到EF＝﹣ m2+ m+4，根据二次函数最值的求法解答即可；
（3）分三种情形①如图1中，当EG为菱形对角线时．②如图2、3中，当EC为菱形的对角线时，③如图4中，当ED为菱形的对角线时，分别求解即可．
【答案】（1）抛物线的解析式为 ，直线的解析式为 .（2） ；（3） 的坐标为 或 或 或 .
【解析】
分析：（1）先把点A，C的坐标分别代入抛物线解析式得到a和b，c的关系式，再根据抛物线的对称轴方程可得a和b的关系，再联立得到方程组，解方程组，求出a，b，c的值即可得到抛物线解析式；把B、C两点的坐标代入直线y=mx+n，解方程组求出m和n的值即可得到直线解析式；
【答案】（1） , ；（2）①当 时， ；②当 时， ；③当 时，
【解析】
【分析】
（1）根据一次函数表达式求出B点坐标，然后根据B点在抛物线上，求出b值，从而得到二次函数表达式，再根据二次函数表达式求出A点的坐标，最后代入一次函数求出m值.（2）根据解方程组，可得顶点M的纵坐标的范围，根据二次函数的性质，可得答案．
【详解】
解：（1）令y=0，则 ，
∵m＜0，∴ ，解得： ， ．
∴A（ ，0）、B（3，0）．
（2）存在．理由如下：
∵设抛物线C1的表达式为 （ ），
把C（0， ）代入可得， ．
∴Ｃ1的表达式为： ，即 ．
设P（p， ），
∴ S△PBC= S△POC+ S△BOP–S△BOC= ．
∵ <0，∴当 时, S△PBC最大值为 ．
【解析】
【分析】
（1）利用销售单价每涨1元，销售量将减少10个即可表示出y＝600﹣10（x﹣40），再利用w= y•（x﹣30）即可表示出w与x之间的关系式；（2）先将w＝﹣10x2+1300x﹣30000变成顶点式，找到对称轴，利用函数图像的增减性确定在44≤x≤46范围内当x＝46时有最大值，代入求值即可解题.
当点 关于抛物线对称轴（直线 ）对称时， ，∴
且二次函数图象的开口向下，顶点 在直线 上
综上：①当 时， ；②当 时， ；③当 时， .
【点睛】
本题考查二次函数与一次函数的综合应用，难度系数大同学们需要认真分析即可.
3．如图，抛物线y＝ax2+bx﹣1(a≠0)交x轴于A，B(1，0)两点，交y轴于点C，一次函数y＝x+3的图象交坐标轴于A，D两点，E为直线AD上一点，作EF⊥x轴，交抛物线于点F
则∠OEC＝45°-15°＝30°，
∴OE＝OC•tan60°＝3 ，
设EC为y＝kx﹣3，代入（3 ，0）可得：k ，
联立两个方程可得： ，
解得： ，
所以M2（ ，﹣2）．
综上所述M的坐标为（3 ，6）或（ ，﹣2）．
【点睛】
此题是一道二次函数综合题，熟练掌握待定系数法求函数解析式等知识是解题关键．
（3）由C2可知：B（3，0），D（0， ），M（1， ），
∴BD2= ，BM2= ，DM2= ．
∵∠MBD<90°, ∴讨论∠BMD=90°和∠BDM=90°两种情况：
当∠BMD=90°时，BM2+ DM2= BD2，即 ＋ = ，
解得： , (舍去)．
当∠BDM=90°时，BD2+ DM2= BM2，即 ＋ = ，
详解：（1）依题意得： ，解得： ，
∴抛物线的解析式为 .
∵对称轴为 ，且抛物线经过 ，
∴把 、 分别代入直线 ，
得 ，解之得： ，
∴直线 的解析式为 .
（2）直线 与对称轴 的交点为 ，则此时 的值最小，把 代入直线 得 ，
∴ .即当点 到点 的距离与到点 的距离之和最小时 的坐标为 .
（注：本题只求 坐标没说要求证明为何此时 的值最小，所以答案未证明 的值最小的原因）.
，
解得： ，
所以二次函数的解析式为：y x2﹣3；
（3）存在，分以下两种情况：
①若M在B上方，设MC交x轴于点D，
则∠ODC＝45°+15°＝60°，
∴OD＝OC•tan30° ，
设DC为y＝kx﹣3，代入（ ，0），可得：k ，
联立两个方程可得： ，
解得： ，
所以M1（3 ，6）；
②若M在B下方，设MC交x轴于点E，
（3）设 ，又 ， ，
∴ ， ， ，
①若点 为直角顶点，则 ，即： 解得： ，
②若点 为直角顶点，则 ，即： 解得： ，
③若点 为直角顶点，则 ，即： 解得：
， .
综上所述 的坐标为 或 或 或 .
点睛：本题综合考查了二次函数的图象与性质、待定系数法求函数（二次函数和一次函数）的解析式、利用轴对称性质确定线段的最小长度、难度不是很大，是一道不错的中考压轴题．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若点F位于直线AD的下方，请问线段EF是否有最大值？若有，求出最大值并求出点E的坐标；若没有，请说明理由；
(3)在平面直角坐标系内存在点G，使得G，E，D，C为顶点的四边形为菱形，请直接写出点G的坐标．
【答案】(1)抛物线的解析式为y＝ x2+ x﹣1；(2) ，( ， )；(3)点G的坐标为(2，1)，(﹣2 ，﹣2 ﹣1)，(2 ，2 ﹣1)，(﹣4，3)．
【详解】
（1）如图1，∵直线 与 轴交于点为 ，∴点 坐标为
又∵ 在抛物线上，∴ ，解得
∴二次函数的表达式为
∴当 时，得 ，
∴
代入 得， ，∴
（2）如图2，根据题意，抛物线的顶点 为 ，即 点始终在直线 上，
∵直线 与直线 交于点 ，与 轴交于点 ，而直线 表达式为
解方程组 ，得
∴点 ，
∵点 在 内，∴
（2）把y＝0代入直线解析式得出点B的坐标，再利用待定系数法确定函数关系式即可；
（3）分M在BC上方和下方两种情况进行解答即可．
【详解】
（1）将C（0，﹣3）代入y＝x+m，可得：
m＝﹣3；
（2）将y＝0代入y＝x﹣3得：
x＝3，
所以点B的坐标为（3，0），
将（0，﹣3）、（3，0）代入y＝ax2+b中，可得：
一、二次函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题）
1．如图，在平面直角坐标系 中，A、B为x轴上两点，C、D为y轴上的两点，经
过点A、C、B的抛物线的一部分C1与经过点A、D、B的抛物线的一部分C2组合成一条封闭曲线，我们把这条封
闭曲线称为“蛋线”．已知点C的坐标为（0， ），点M是抛物线C2： （ ＜0）的顶点．
解得： ， (舍去)．
综上所述， 或 时，△BDM为直角三角形．
2．已知，点 为二次函数 图象的顶点，直线 分别交 轴正半轴， 轴于点 .
（1）如图1，若二次函数图象也经过点 ，试求出该二次函数解析式，并求出 的值.
（2）如图2，点 坐标为 ，点 在 内，若点 ， 都在二次函数图象上，试比较 与 的大小.
【点睛】
本题考查二次函数综合题、轴对称变换、菱形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用对称解决最值问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．
4．某商场经营某种品牌的玩具，购进时的单价是3元，经市场预测，销售单价为40元时，可售出600个；销售单价每涨1元，销售量将减少10个设每个销售单价为x元．
【解析】
【分析】
（1）在 中令y=0，即可得到A、B两点的坐标．
（2）先用待定系数法得到抛物线C1的解析式，由S△PBC= S△POC+ S△BOP–S△BOC得到△PBC面积的表达式，根据二次函数最值原理求出最大值．
（3）先表示出DM2，BD2，MB2，再分两种情况：①∠BMD=90°时；②∠BDM=90°时，讨论即可求得m的值．
【详解】
解：
（1）依题意，易得销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系：y＝600﹣10（x﹣40）＝﹣10x+1000
获得利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系为：w＝y•（x﹣30）＝（1000﹣10x）（x﹣30）＝﹣10x2+1300x﹣30000
（2）根据题意得，x≥14时且1000﹣10x≥540，解得：44≤x≤46
(2)设点E的坐标为(m，m+3)，线段EF的长度为y，
则点F的坐标为(m， m2+ m﹣1)
∴y＝(m+3)﹣( m2+ m﹣1)＝﹣ m2+ m+4
即y＝- (m﹣ )2+ ，
此时点E的坐标为( ， )；
(3)点G的坐标为(2，1)，(﹣2 ，﹣2 ﹣1)，(2 ，2 ﹣1)，(﹣4，3)．
理由：①如图1，当四边形CGDE为菱形时．
【详解】
解：(1)将y＝0代入y＝x+3，得x＝﹣3．