二次函数培优专项练习
初三数学二次函数的专项培优练习题(含答案)含详细答案
初三数学二次函数的专项培优练习题(含答案)含详细答案一、二次函数1．某厂家生产一种新型电子产品，制造时每件的成本为40元，通过试销发现，销售量(y 万件)与销售单价(x 元)之间符合一次函数关系，其图象如图所示．()1求y 与x 的函数关系式；()2物价部门规定：这种电子产品销售单价不得超过每件80元，那么，当销售单价x 定为每件多少元时，厂家每月获得的利润()w 最大？最大利润是多少？【答案】（1）2280y x =-+；（2）当销售单价x 定为每件80元时，厂家每月获得的利润()w 最大，最大利润是4800元．【解析】【分析】()1根据函数图象经过点()40,200和点()60,160，利用待定系数法即可求出y 与x 的函数关系式；()2先根据利润=销售数量(⨯销售单价-成本)，由试销期间销售单价不低于成本单价，也不高于每千克80元，结合电子产品的成本价即可得出x 的取值范围，根据二次函数的增减性可得最值．【详解】解：()1设y 与x 的函数关系式为()0y kx b k =+≠，Q 函数图象经过点()40,200和点()60,160，{4020060160k b k b +=∴+=，解得：{2280k b =-=， y ∴与x 的函数关系式为2280y x =-+．()2由题意得：()()224022802360112002(90)5000w x x x x x =--+=-+-=--+． Q 试销期间销售单价不低于成本单价，也不高于每千克80元，且电子产品的成本为每千克40元，∴自变量x 的取值范围是4080x ≤≤．20-<Q ，∴当90x <时，w 随x 的增大而增大，80x ∴=时，w 有最大值，当80x =时，4800w =，答：当销售单价x 定为每件80元时，厂家每月获得的利润()w 最大，最大利润是4800元．【点睛】本题考查了一次函数和二次函数的应用，根据点的坐标利用待定系数法求出函数关系式是解题的关键，并注意最值的求法．2．抛物线y ＝ax 2+bx ﹣3（a≠0）与直线y ＝kx+c （k≠0）相交于A （﹣1，0）、B （2，﹣3）两点，且抛物线与y 轴交于点C ．（1）求抛物线的解析式；（2）求出C 、D 两点的坐标（3）在第四象限抛物线上有一点P ，若△PCD 是以CD 为底边的等腰三角形，求出点P 的坐标．【答案】（1）y ＝x 2﹣2x ﹣3;（2）C （0，﹣3）,D （0，﹣1）;（3）P （2，﹣2）.【解析】【分析】（1）把A （﹣1，0）、B （2，﹣3）两点坐标代入y ＝ax 2+bx ﹣3可得抛物线解析式． （2）当x ＝0时可求C 点坐标，求出直线AB 解析式，当x ＝0可求D 点坐标． （3）由题意可知P 点纵坐标为﹣2，代入抛物线解析式可求P 点横坐标．【详解】解：（1）把A （﹣1，0）、B （2，﹣3）两点坐标代入y ＝ax 2+bx ﹣3可得 304233a b a b --=⎧⎨+-=-⎩ 解得12a b =⎧⎨=-⎩∴y ＝x 2﹣2x ﹣3（2）把x ＝0代入y ＝x 2﹣2x ﹣3中可得y ＝﹣3∴C （0，﹣3）设y ＝kx+b ，把A （﹣1，0）、B （2，﹣3）两点坐标代入023k b k b -+=⎧⎨+=-⎩解得11 kb=-⎧⎨=-⎩∴y＝﹣x﹣1∴D（0，﹣1）（3）由C（0，﹣3），D（0，﹣1）可知CD的垂直平分线经过（0，﹣2）∴P点纵坐标为﹣2，∴x2﹣2x﹣3＝﹣2解得：x＝1±2，∵x＞0∴x＝1+2．∴P（1+2，﹣2）【点睛】本题是二次函数综合题，用待定系数法求二次函数的解析式，把x＝0代入二次函数解析式和一次函数解析式可求图象与y轴交点坐标，知道点P纵坐标带入抛物线解析式可求点P 的横坐标．3．如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A、B两点，B点坐标为（3，0），与y轴交于点C（0，3）．（1）求抛物线y＝x2+bx+c的表达式；（2）点D为抛物线对称轴上一点，当△BCD是以BC为直角边的直角三角形时，求点D的坐标；（3）点P在x轴下方的抛物线上，过点P的直线y＝x+m与直线BC交于点E，与y轴交于点F，求PE+EF的最大值．【答案】（1）y=x2﹣4x+3；（2）（2，﹣1）；（3）42【解析】试题分析：（1）利用待定系数法求抛物线解析式；（2）如图1，设D（2，y），利用两点间的距离公式得到BC2=32+32=18，DC2=4+（y﹣3）2，BD2=（3﹣2）2+y2=1+y2，然后讨论：当BD为斜边时得到18+4+（y﹣3）2=1+y2；当CD 为斜边时得到4+（y﹣3）2=1+y2+18，再分别解方程即可得到对应D的坐标；（3）先证明∠CEF=90°得到△ECF为等腰直角三角形，作PH⊥y轴于H，PG∥y轴交BC于G，如图2，△EPG、△PHF都为等腰直角三角形，则PE 2，PF2，设P（t，t2﹣4t+3）（1＜t＜3），则G（t，﹣t+3），接着利用t表示PF、PE，这样PE+EF=2PE+PF=﹣2t2+42t，然后利用二次函数的性质解决问题．试题解析：解：（1）把B（3，0），C（0，3）代入y=x2+bx+c得：9303b cc++=⎧⎨=⎩，解得：43bc=-⎧⎨=⎩，∴抛物线y=x2+bx+c的表达式为y=x2﹣4x+3；（2）如图1，抛物线的对称轴为直线x=﹣42-=2，设D（2，y），B（3，0），C（0，3），∴BC2=32+32=18，DC2=4+（y﹣3）2，BD2=（3﹣2）2+y2=1+y2，当△BCD是以BC为直角边，BD为斜边的直角三角形时，BC2+DC2=BD2，即18+4+（y﹣3）2=1+y2，解得：y=5，此时D点坐标为（2，5）；当△BCD是以BC为直角边，CD为斜边的直角三角形时，BC2+DB2=DC2，即4+（y﹣3）2=1+y2+18，解得：y=﹣1，此时D点坐标为（2，﹣1）；（3）易得BC的解析式为y=﹣x+3．∵直线y=x+m与直线y=x平行，∴直线y=﹣x+3与直线y=x+m垂直，∴∠CEF=90°，∴△ECF为等腰直角三角形，作PH⊥y轴于H，PG∥y轴交BC于G，如图2，△EPG、△PHF都为等腰直角三角形，PE=22PG，PF=2PH，设P（t，t2﹣4t+3）（1＜t＜3），则G（t，﹣t+3），∴PF=2PH=2t，PG=﹣t+3﹣（t2﹣4t+3）=﹣t2+3t，∴PE=22PG=﹣22t2+322t，∴PE+EF=PE+PE+PF=2PE+PF=﹣2t2+32t+2t=﹣2t2+42t=﹣2（t﹣2）2+42，当t=2时，PE+EF的最大值为42．点睛：本题考查了二次函数的综合题．熟练掌握等腰直角三角形的性质、二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质；会利用待定系数法求二次函数解析式；理解坐标与图形性质，记住两点间的距离公式．4．如图1，已知抛物线y＝ax2+bx+3(a≠0)与x轴交于点A(1，0)和点B(﹣3，0)，与y轴交于点C．(1)求抛物线的解析式；(2)设抛物线的对称轴与x轴交于点M，问在对称轴上是否存在点P，使△CMP为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．(3)在(1)中抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．(4)如图2，若点E为第二象限抛物线上一动点，连接BE、CE，求四边形BOCE面积的最大值，并求此时E点的坐标．【答案】（1）y＝﹣x2﹣2x+3；（2）存在符合条件的点P，其坐标为P（﹣1，10）或P（﹣1，﹣10）或P（﹣1，6）或P（﹣1，53）；（3）存在，Q（﹣1，2）；（4）63 8，315,24E⎛⎫-⎪⎝⎭.【解析】【分析】（1）已知抛物线过A、B两点，可将两点的坐标代入抛物线的解析式中，用待定系数法即可求出二次函数的解析式；（2）可根据（1）的函数解析式得出抛物线的对称轴，也就得出了M点的坐标，由于C是抛物线与y轴的交点，因此C的坐标为（0，3），根据M、C的坐标可求出CM的距离．然后分三种情况进行讨论：①当CP＝PM时，P位于CM的垂直平分线上．求P点坐标关键是求P的纵坐标，过P作PQ⊥y轴于Q，如果设PM＝CP＝x，那么直角三角形CPQ中CP＝x，OM的长，可根据M 的坐标得出，CQ＝3﹣x，因此可根据勾股定理求出x的值，P点的横坐标与M的横坐标相同，纵坐标为x，由此可得出P的坐标．②当CM＝MP时，根据CM的长即可求出P的纵坐标，也就得出了P的坐标（要注意分上下两点）．③当CM＝C P时，因为C的坐标为（0，3），那么直线y＝3必垂直平分PM，因此P的纵坐标是6，由此可得出P的坐标；（3）根据轴对称﹣最短路径问题解答；（4）由于四边形BOCE不是规则的四边形，因此可将四边形BOCE分割成规则的图形进行计算，过E作EF⊥x轴于F，S四边形BOCE＝S△BFE+S梯形FOCE．直角梯形FOCE中，FO为E的横坐标的绝对值，EF为E的纵坐标，已知C的纵坐标，就知道了OC的长．在△BFE中，BF＝BO﹣OF，因此可用E的横坐标表示出BF的长．如果根据抛物线设出E的坐标，然后代入上面的线段中，即可得出关于四边形BOCE的面积与E的横坐标的函数关系式，根据函数的性质即可求得四边形BOCE的最大值及对应的E的横坐标的值．即可求出此时E的坐标．【详解】（1）∵抛物线y ＝ax 2+bx+3（a≠0）与x 轴交于点A （1，0）和点B （﹣3，0）， ∴309330a b a b ++=⎧⎨-+=⎩， 解得：12a b =-⎧⎨=-⎩． ∴所求抛物线解析式为：y ＝﹣x 2﹣2x+3；（2）如答图1，∵抛物线解析式为：y ＝﹣x 2﹣2x+3，∴其对称轴为x ＝22-＝﹣1， ∴设P 点坐标为（﹣1，a ），当x ＝0时，y ＝3，∴C （0，3），M （﹣1，0）∴当CP ＝PM 时，（﹣1）2+（3﹣a ）2＝a 2，解得a ＝53， ∴P 点坐标为：P 1（﹣1，53）； ∴当CM ＝PM 时，（﹣1）2+32＝a 2，解得a ＝±10，∴P 点坐标为：P 2（﹣1，10）或P 3（﹣1，﹣10）；∴当CM ＝CP 时，由勾股定理得：（﹣1）2+32＝（﹣1）2+（3﹣a ）2，解得a ＝6， ∴P 点坐标为：P 4（﹣1，6）．综上所述存在符合条件的点P ，其坐标为P （﹣1，10）或P （﹣1，﹣10）或P （﹣1，6）或P （﹣1，53）； （3）存在，Q （﹣1，2），理由如下：如答图2，点C （0，3）关于对称轴x ＝﹣1的对称点C′的坐标是（﹣2，3），连接AC′，直线AC′与对称轴的交点即为点Q ．设直线AC′函数关系式为：y＝kx+t（k≠0）．将点A（1，0），C′（﹣2，3）代入，得23 k tk t+=⎧⎨-+=⎩，解得11kt=-⎧⎨=⎩，所以，直线AC′函数关系式为：y＝﹣x+1．将x＝﹣1代入，得y＝2，即：Q（﹣1，2）；（4）过点E作EF⊥x轴于点F，设E（a，﹣a2﹣2a+3）（﹣3＜a＜0）∴EF＝﹣a2﹣2a+3，BF＝a+3，OF＝﹣a∴S四边形BOCE＝12BF•EF+12（OC+EF）•OF＝12（a+3）•（﹣a2﹣2a+3）+12（﹣a2﹣2a+6）•（﹣a）＝﹣32a2﹣92a+92＝﹣32（a+32）2+638，∴当a＝﹣32时，S四边形BOCE最大，且最大值为638．此时，点E坐标为（﹣32，154）．【点睛】本题主要考查了二次函数的综合知识，要注意的是（2）中，不确定等腰三角形哪条边是底边的情况下，要分类进行求解，不要漏解．5．如图，已知直线y＝﹣2x+4分别交x轴、y轴于点A、B．抛物线过A、B两点，点P是线段AB上一动点，过点P作PC⊥x轴于点C，交抛物线于点D．（1）如图1，设抛物线顶点为M，且M的坐标是（12，92），对称轴交AB于点N．①求抛物线的解析式；②是否存在点P，使四边形MNPD为菱形？并说明理由；（2）是否存在这样的点D，使得四边形BOAD的面积最大？若存在，求出此时点D的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）①y＝﹣2x2+2x+4；；②不存在点P，使四边形MNPD为菱形；；（2）存在，点D的坐标是（1，4）．【解析】【分析】（1）①由一次函数图象上点的坐标特征求得点B的坐标，设抛物线解析式为y＝a21922x⎛⎫-+⎪⎝⎭，把点B的坐标代入求得a的值即可；②不存在点P，使四边形MNPD为菱形．设点P的坐标是（m，﹣2m+4），则D（m，﹣2m2+2m+4），根据题意知PD∥MN，所以当PD＝MN时，四边形MNPD为平行四边形，根据该等量关系列出方程﹣2m2+4m＝32，通过解方程求得m的值，易得点N、P的坐标，然后推知PN＝MN是否成立即可；（2）设点D的坐标是（n，﹣2n2+2n+4），P（n，﹣2n+4）．根据S四边形BOAD＝S△BOA+S△ABD ＝4+S△ABD，则当S△ABD取最大值时，S四边形BOAD最大．根据三角形的面积公式得到函数S△ABD＝﹣2（n﹣1）2+2．由二次函数的性质求得最值．【详解】解：①如图1，∵顶点M的坐标是19,22⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴设抛物线解析式为y＝21922a x⎛⎫-+⎪⎝⎭（a≠0）．∵直线y＝﹣2x+4交y轴于点B，∴点B的坐标是（0，4）．又∵点B在该抛物线上，∴21922a⎛⎫-+⎪⎝⎭＝4，解得a＝﹣2．故该抛物线的解析式为：y＝219222x⎛⎫--+⎪⎝⎭＝﹣2x2+2x+4；②不存在．理由如下：∵抛物线y＝219222x⎛⎫--+⎪⎝⎭的对称轴是直线x＝12，且该直线与直线AB交于点N，∴点N的坐标是1,32⎛⎫ ⎪⎝⎭．∴93322MN=-=．设点P的坐标是（m，﹣2m+4），则D（m，﹣2m2+2m+4），∴PD＝（﹣2m2+2m+4）﹣（﹣2m+4）＝﹣2m2+4m．∵PD∥MN．当PD＝MN时，四边形MNPD是平行四边形，即﹣2m2+4m＝32．解得 m1＝12（舍去），m2＝32．此时P（32，1）．∵PN∴PN≠MN，∴平行四边形MNPD不是菱形．∴不存在点P，使四边形MNPD为菱形；（2）存在，理由如下：设点D的坐标是（n，﹣2n2+2n+4），∵点P在线段AB上且直线PD⊥x轴，∴P（n，﹣2n+4）．由图可知S四边形BOAD＝S△BOA+S△ABD．其中S△BOA＝12OB•OA＝12×4×2＝4．则当S△ABD取最大值时，S四边形BOAD最大．S△ABD＝12（y D﹣y P）（x A﹣x B）＝y D﹣y P＝﹣2n2+2n+4﹣（﹣2n+4）＝﹣2n2+4n＝﹣2（n﹣1）2+2．当n＝1时，S△ABD取得最大值2，S四边形BOAD有最大值．此时点D的坐标是（1，4）．【点睛】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．6．（10分）（2015•佛山）如图，一小球从斜坡O点处抛出，球的抛出路线可以用二次函数y=﹣x2+4x刻画，斜坡可以用一次函数y=x刻画．（1）请用配方法求二次函数图象的最高点P的坐标；（2）小球的落点是A，求点A的坐标；（3）连接抛物线的最高点P与点O、A得△POA，求△POA的面积；（4）在OA上方的抛物线上存在一点M（M与P不重合），△MOA的面积等于△POA的面积．请直接写出点M的坐标．【答案】（1）（2，4）；（2）（，）；（3）；（4）（，）．【解析】试题分析：（1）利用配方法抛物线的一般式化为顶点式，即可求出二次函数图象的最高点P的坐标；（2）联立两解析式，可求出交点A的坐标；（3）作PQ⊥x轴于点Q，AB⊥x轴于点B．根据S△POA=S△POQ+S△梯形PQBA﹣S△BOA，代入数值计算即可求解；（4）过P作OA的平行线，交抛物线于点M，连结OM、AM，由于两平行线之间的距离相等，根据同底等高的两个三角形面积相等，可得△MOA的面积等于△POA的面积．设直线PM的解析式为y=x+b，将P（2，4）代入，求出直线PM的解析式为y=x+3．再与抛物线的解析式联立，得到方程组，解方程组即可求出点M的坐标．试题解析：（1）由题意得，y=﹣x2+4x=﹣（x﹣2）2+4，故二次函数图象的最高点P的坐标为（2，4）；（2）联立两解析式可得：，解得：，或．故可得点A的坐标为（，）；（3）如图，作PQ⊥x轴于点Q，AB⊥x轴于点B．S△POA=S△POQ+S△梯形PQBA﹣S△BOA=×2×4+×（+4）×（﹣2）﹣××=4+﹣=；（4）过P作OA的平行线，交抛物线于点M，连结OM、AM，则△MOA的面积等于△POA的面积．设直线PM的解析式为y=x+b，∵P的坐标为（2，4），∴4=×2+b，解得b=3，∴直线PM的解析式为y=x+3．由，解得，，∴点M的坐标为（，）．考点：二次函数的综合题7．已知二次函数的图象以A（﹣1，4）为顶点，且过点B（2，﹣5）（1）求该函数的关系式；（2）求该函数图象与坐标轴的交点坐标；（3）将该函数图象向右平移，当图象经过原点时，A、B两点随图象移至A′、B′，求△O A′B′的面积．【答案】（1）y=﹣x2﹣2x+3；（2）抛物线与x轴的交点为：（﹣3，0），（1，0）（3）15.【解析】【分析】（1）已知了抛物线的顶点坐标，可用顶点式设该二次函数的解析式，然后将B 点坐标代入，即可求出二次函数的解析式；（2）根据函数解析式，令x=0，可求得抛物线与y轴的交点坐标；令y=0，可求得抛物线与x轴交点坐标；（3）由（2）可知：抛物线与x轴的交点分别在原点两侧，由此可求出当抛物线与x轴负半轴的交点平移到原点时，抛物线平移的单位，由此可求出A′、B′的坐标．由于△OA′B′不规则，可用面积割补法求出△OA′B′的面积．【详解】（1）设抛物线顶点式y=a（x+1）2+4，将B（2，﹣5）代入得：a=﹣1，∴该函数的解析式为：y=﹣（x+1）2+4=﹣x2﹣2x+3；（2）令x=0，得y=3，因此抛物线与y轴的交点为：（0，3），令y=0，﹣x2﹣2x+3=0，解得：x1=﹣3，x2=1，即抛物线与x轴的交点为：（﹣3，0），（1，0）；（3）设抛物线与x轴的交点为M、N（M在N的左侧），由（2）知：M（﹣3，0），N（1，0），当函数图象向右平移经过原点时，M与O重合，因此抛物线向右平移了3个单位，故A'（2，4），B'（5，﹣5），∴S△OA′B′=12×（2+5）×9﹣12×2×4﹣12×5×5=15．【点睛】本题考查了用待定系数法求抛物线解析式、函数图象与坐标轴交点、图形面积的求法等知识．熟练掌握待定系数法、函数图象与坐标轴的交点的求解方法、不规则图形的面积的求解方法等是解题的关键.8．在平面直角坐标系xOy中（如图）．已知抛物线y=﹣12x2+bx+c经过点A（﹣1，0）和点B（0，52），顶点为C，点D在其对称轴上且位于点C下方，将线段DC绕点D按顺时针方向旋转90°，点C落在抛物线上的点P处．（1）求这条抛物线的表达式；（2）求线段CD的长；（3）将抛物线平移，使其顶点C移到原点O的位置，这时点P落在点E的位置，如果点M在y轴上，且以O、D、E、M为顶点的四边形面积为8，求点M的坐标．【答案】（1）抛物线解析式为y=﹣12x 2+2x+52；（2）线段CD 的长为2；（3）M 点的坐标为（0，72）或（0，﹣72）． 【解析】【分析】（1）利用待定系数法求抛物线解析式； （2）利用配方法得到y=﹣12（x ﹣2）2+92，则根据二次函数的性质得到C 点坐标和抛物线的对称轴为直线x=2，如图，设CD=t ，则D （2，92﹣t ），根据旋转性质得∠PDC=90°，DP=DC=t ，则P （2+t ，92﹣t ），然后把P （2+t ，92﹣t ）代入y=﹣12x 2+2x+52得到关于t的方程，从而解方程可得到CD 的长；（3）P 点坐标为（4，92），D 点坐标为（2，52），利用抛物线的平移规律确定E 点坐标为（2，﹣2），设M （0，m ），当m ＞0时，利用梯形面积公式得到12•（m+52+2）•2=8当m ＜0时，利用梯形面积公式得到12•（﹣m+52+2）•2=8，然后分别解方程求出m 即可得到对应的M 点坐标．【详解】（1）把A （﹣1，0）和点B （0，52）代入y=﹣12x 2+bx+c 得 10252b c c ⎧--+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得252b c =⎧⎪⎨=⎪⎩，∴抛物线解析式为y=﹣12x 2+2x+52； （2）∵y=﹣12（x ﹣2）2+92， ∴C （2，92），抛物线的对称轴为直线x=2， 如图，设CD=t ，则D （2，92﹣t ），∵线段DC 绕点D 按顺时针方向旋转90°，点C 落在抛物线上的点P 处， ∴∠PDC=90°，DP=DC=t ， ∴P （2+t ，92﹣t ）， 把P （2+t ，92﹣t ）代入y=﹣12x 2+2x+52得﹣12（2+t ）2+2（2+t ）+52=92﹣t ， 整理得t 2﹣2t=0，解得t 1=0（舍去），t 2=2， ∴线段CD 的长为2；（3）P 点坐标为（4，92），D 点坐标为（2，52）， ∵抛物线平移，使其顶点C （2，92）移到原点O 的位置， ∴抛物线向左平移2个单位，向下平移92个单位，而P 点（4，92）向左平移2个单位，向下平移92个单位得到点E ， ∴E 点坐标为（2，﹣2）， 设M （0，m ），当m ＞0时，12•（m+52+2）•2=8，解得m=72，此时M 点坐标为（0，72）；当m ＜0时，12•（﹣m+52+2）•2=8，解得m=﹣72，此时M 点坐标为（0，﹣72）；综上所述，M 点的坐标为（0，72）或（0，﹣72）．【点睛】本题考查了二次函数的综合题，涉及到待定系数法、抛物线上点的坐标、旋转的性质、抛物线的平移等知识，综合性较强，正确添加辅助线、运用数形结合思想熟练相关知识是解题的关键.9．如图，抛物线25(0)y ax bx a =+-≠经过x 轴上的点A （1，0）和点B 及y 轴上的点C ，经过B 、C 两点的直线为y x n =+． ①求抛物线的解析式．②点P 从A 出发，在线段AB 上以每秒1个单位的速度向B 运动，同时点E 从B 出发，在线段BC 上以每秒2个单位的速度向C 运动．当其中一个点到达终点时，另一点也停止运动．设运动时间为t 秒，求t 为何值时，△PBE 的面积最大并求出最大值．③过点A 作AM BC ⊥于点M ，过抛物线上一动点N （不与点B 、C 重合）作直线AM 的平行线交直线BC 于点Q ．若点A 、M 、N 、Q 为顶点的四边形是平行四边形，求点N 的横坐标．【答案】①265y x x =-+-；②当2t =时，△PBE 的面积最大，最大值为22③点N 的横坐标为：4或5412+或5412． 【解析】 【分析】①点B 、C 在直线为y x n =+上，则B （﹣n ，0）、C （0，n ），点A （1，0）在抛物线上，所以250505a b an bn n +-=⎧⎪+-=⎨⎪=-⎩，解得1a =-，6b =，因此抛物线解析式：265y x x =-+-；②先求出点P 到BC 的高h 为2sin 45(4)2BP t ︒=-，于是21122)22)2222PBE S BE h t t t ∆=⋅=-⨯=-+2t =时，△PBE 的面积最大，最大值为22③由①知，BC 所在直线为：5y x =-，所以点A 到直线BC 的距离22d =N 作x 轴的垂线交直线BC 于点P ，交x 轴于点H ．设()2,65N m m m -+-，则(,0)H m 、(,5)P m m -，易证△PQN 为等腰直角三角形，即22NQ PQ ==4PN =，Ⅰ．4NH HP +=，所以265(5)4m m m -+---=解得11m =（舍去），24m =，Ⅱ．4NH HP +=，()25654m m m ---+-=解得1541m +=，2541m -=去），Ⅲ．4NH HP -=，()265[(5)]4m m m --+----=，解得15412m =（舍去），252m =． 【详解】解：①∵点B 、C 在直线为y x n =+上， ∴B （﹣n ，0）、C （0，n ）， ∵点A （1，0）在抛物线上，∴250505a b an bn n +-=⎧⎪+-=⎨⎪=-⎩， ∴1a =-，6b =，∴抛物线解析式：265y x x =-+-； ②由题意，得，4PB t =-，2BE t =，由①知，45OBC ︒∠=， ∴点P 到BC 的高h为sin 45)BP t ︒=-，∴211)22)22PBE S BE h t t t ∆=⋅=-⨯=-+ 当2t =时，△PBE的面积最大，最大值为 ③由①知，BC 所在直线为：5y x =-， ∴点A 到直线BC的距离d =过点N 作x 轴的垂线交直线BC 于点P ，交x 轴于点H ． 设()2,65N m m m -+-，则(,0)H m 、(,5)P m m -， 易证△PQN为等腰直角三角形，即NQ PQ == ∴4PN =， Ⅰ．4NH HP +=， ∴265(5)4m m m -+---= 解得11m =，24m =，∵点A 、M 、N 、Q 为顶点的四边形是平行四边形， ∴4m =；Ⅱ．4NH HP +=， ∴()25654m m m ---+-=解得1m =，2m =∵点A 、M 、N 、Q 为顶点的四边形是平行四边形，5m >，∴541m +=， Ⅲ．4NH HP -=，∴()265[(5)]4m m m --+----=， 解得15412m +=，25412m -=，∵点A 、M 、N 、Q 为顶点的四边形是平行四边形，0m <，∴5412m -=， 综上所述，若点A 、M 、N 、Q 为顶点的四边形是平行四边形，点N 的横坐标为：4或541+或541-． 【点睛】本题考查了二次函数，熟练掌握二次函数的性质、平行四边形的判定与性质是解题的关键．10．已知抛物线C 1：y=ax 2﹣4ax ﹣5（a ＞0）． （1）当a=1时，求抛物线与x 轴的交点坐标及对称轴；（2）①试说明无论a 为何值，抛物线C 1一定经过两个定点，并求出这两个定点的坐标； ②将抛物线C 1沿这两个定点所在直线翻折，得到抛物线C 2，直接写出C 2的表达式； （3）若（2）中抛物线C 2的顶点到x 轴的距离为2，求a 的值．【答案】（1）（﹣1，0）或（5，0）（2）①（0，﹣5），（4，﹣5）②y=﹣ax 2+4ax ﹣5（3）a=或【解析】试题分析：（1）将a=1代入解析式，即可求得抛物线与x轴交点；（2）①化简抛物线解析式，即可求得两个点定点的横坐标，即可解题；②根据抛物线翻折理论即可解题；（3）根据（2）中抛物线C2解析式，分类讨论y=2或﹣2，即可解题试题解析：（1）当a=1时，抛物线解析式为y=x2﹣4x﹣5=（x﹣2）2﹣9，∴对称轴为y=2；∴当y=0时，x﹣2=3或﹣3，即x=﹣1或5；∴抛物线与x轴的交点坐标为（﹣1，0）或（5，0）；（2）①抛物线C1解析式为：y=ax2﹣4ax﹣5，整理得：y=ax（x﹣4）﹣5；∵当ax（x﹣4）=0时，y恒定为﹣5；∴抛物线C1一定经过两个定点（0，﹣5），（4，﹣5）；②这两个点连线为y=﹣5；将抛物线C1沿y=﹣5翻折，得到抛物线C2，开口方向变了，但是对称轴没变；∴抛物线C2解析式为：y=﹣ax2+4ax﹣5，（3）抛物线C2的顶点到x轴的距离为2，则x=2时，y=2或者﹣2；当y=2时，2=﹣4a+8a﹣5，解得，a=；当y=﹣2时，﹣2=﹣4a+8a﹣5，解得，a=；∴a=或；考点：1、抛物线与x轴的交点；2、二次函数图象与几何变换11．（本小题满分12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线（）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），经过点A的直线l：与y轴负半轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D，且CD=4AC．（1）直接写出点A的坐标，并求直线l的函数表达式（其中k，b用含a的式子表示）；（2）点E是直线l上方的抛物线上的动点，若△ACE的面积的最大值为，求a的值；（3）设P是抛物线的对称轴上的一点，点Q在抛物线上，以点A，D，P，Q为顶点的四边形能否成为矩形？若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由．【答案】（1）A（－1，0），；（2）；（3）P的坐标为（1，）或（1，－4）．【解析】试题分析：（1）在中，令y=0，得到，，得到A（－1，0），B（3，0），由直线l经过点A，得到，故，令，即，由于CD＝4AC，故点D的横坐标为4，即有，得到，从而得出直线l的函数表达式；（2）过点E作EF∥y轴，交直线l于点F，设E（，），则F（，），EF＝=，S△ACE＝S△AFE－S△CFE＝＝，故△ACE的面积的最大值为，而△ACE的面积的最大值为，所以，解得；（3）令，即，解得，，得到D （4，5a），因为抛物线的对称轴为，设P（1，m），然后分两种情况讨论：①若AD是矩形的一条边，②若AD是矩形的一条对角线．试题解析：（1）∵=，令y=0，得到，，∴A（－1，0），B（3，0），∵直线l经过点A，∴，，∴，令，即，∵CD＝4AC，∴点D的横坐标为4，∴，∴，∴直线l的函数表达式为；（2）过点E作EF∥y轴，交直线l于点F，设E（，），则F（，），EF＝=，S△ACE＝S△AFE－S△CFE＝＝＝，∴△ACE的面积的最大值为，∵△ACE的面积的最大值为，∴，解得；（3）令，即，解得，，∴D（4，5a），∵，∴抛物线的对称轴为，设P（1，m），①若AD是矩形的一条边，则Q（－4，21a），m＝21a＋5a＝26a，则P（1，26a），∵四边形ADPQ为矩形，∴∠ADP＝90°，∴，∴，即，∵，∴，∴P1（1，）；②若AD 是矩形的一条对角线，则线段AD 的中点坐标为（ ，），Q （2，），m ＝，则P （1，8a ），∵四边形APDQ 为矩形，∴∠APD ＝90°，∴，∴，即，∵，∴，∴P 2（1，－4）．综上所述，以点A 、D 、P 、Q 为顶点的四边形能成为矩形，点P 的坐标为（1，）或（1，－4）．考点：二次函数综合题．12．如图，已知抛物线2(0)y ax bx a =+≠过点3,-3) 和3,0)，过点A 作直线AC//x 轴，交y 轴与点C ． （1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线上取一点P ，过点P 作直线AC 的垂线，垂足为D ，连接OA ，使得以A ，D ，P 为顶点的三角形与△AOC 相似，求出对应点P 的坐标；（3）抛物线上是否存在点Q ，使得13AOC AOQ S S ∆∆=?若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】（1）21332y x x =-；（2）P 点坐标为（383,- 43）；（3）Q 点坐标（30）或（315） 【解析】 【分析】（1）把A 与B 坐标代入抛物线解析式求出a 与b 的值，即可确定出解析式；（2）设P 坐标为2133,22x x x ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，表示出AD 与PD ，由相似分两种情况得比例求出x 的值，即可确定出P 坐标；（3）存在，求出已知三角形AOC 边OA 上的高h ，过O 作OM ⊥OA ，截取OM=h,与y 轴交于点N ，分别确定出M 与N 坐标，利用待定系数法求出直线MN 解析式，与抛物线解析式联立求出Q 坐标即可． 【详解】（1）把3A 3)-和点(33B 0)代入抛物线得：33327330a b a b ⎧+=-⎪⎨+=⎪⎩，解得：12a =，332b =-， 则抛物线解析式为213322y x x =-； （2）当P 在直线AD 上方时，设P 坐标为2133,2x x x ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，则有3AD x =213332PD x x =+， 当OCA ADP ∆∆∽时，OC CA AD DP =2331333x x x =--+， 整理得：239318236x x x -+=-，即23113240x x -+=，解得：6x =，即3x =或x =此时P 4)3-；当OCA PDA ∆∆∽时，OC CA PD AD =22=，296x x -+=-2120x -+=，解得：x =x =此时P 6)；当点()0,0P 时，也满足OCA PDA ∆∆∽； 当P 在直线AD 下方时，同理可得：P的坐标为10)3-，综上，P的坐标为，4)3-或6)或10)3-或()0,0；（3）在Rt AOC ∆中，3OC =，AC =根据勾股定理得：OA =Q 11··22OC AC OA h =， 32h ∴=，132AOC AOQ S S ∆∆==Q ， AOQ ∴∆边OA 上的高为92， 过O 作OM OA ⊥，截取92OM =，过M 作//MN OA ，交y 轴于点N ，如图所示：在Rt OMN ∆中，29ON OM ==，即()0,9N ， 过M 作MH x ⊥轴，在Rt OMH ∆中，1924MH OM ==，393OH ==，即93(M ，9)4， 设直线MN 解析式为9y kx =+，把M 坐标代入得：99394=+，即3k =39y x =+， 联立得：23913322y x y x x ⎧=-+⎪⎨=-⎪⎩，解得：330x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩315x y ⎧=-⎪⎨=⎪⎩(33Q 0)或(23-，15)，则抛物线上存在点Q ，使得13AOC AOQ S S ∆∆=，此时点Q 的坐标为(330)或(23-15)．【点睛】二次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法求函数解析式，相似三角形的判定与性质，点到直线的距离公式，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．13．如图1，抛物线y=ax 2+2x+c 与x 轴交于A （﹣4，0），B （1，0）两点，过点B 的直线y=kx+23分别与y 轴及抛物线交于点C ，D ． （1）求直线和抛物线的表达式；（2）动点P 从点O 出发，在x 轴的负半轴上以每秒1个单位长度的速度向左匀速运动，设运动时间为t 秒，当t 为何值时，△PDC 为直角三角形？请直接写出所有满足条件的t 的值；（3）如图2，将直线BD 沿y 轴向下平移4个单位后，与x 轴，y 轴分别交于E ，F 两点，在抛物线的对称轴上是否存在点M ，在直线EF 上是否存在点N ，使DM+MN 的值最小？若存在，求出其最小值及点M ，N 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）抛物线解析式为：y=228233x x +-，BD 解析式为y=﹣2233x +；（2）t 的值为4915129±、233．（3）N 点坐标为（﹣2，﹣2），M 点坐标为（﹣32，﹣54），213 【解析】分析：（1）利用待定系数法求解可得；（2）先求得点D 的坐标，过点D 分别作DE ⊥x 轴、DF ⊥y 轴，分P 1D ⊥P 1C 、P 2D ⊥DC 、P 3C ⊥DC 三种情况，利用相似三角形的性质逐一求解可得；（3）通过作对称点，将折线转化成两点间距离，应用两点之间线段最短． 详解：（1）把A （﹣4，0），B （1，0）代入y=ax 2+2x+c ，得168020a c a c -+=⎧⎨++=⎩，解得：2383a c ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，∴抛物线解析式为：y=228233x x +-， ∵过点B 的直线y=kx+23， ∴代入（1，0），得：k=﹣23， ∴BD 解析式为y=﹣2233x +；（2）由2282332233y x xy x﹣⎧=+-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩得交点坐标为D（﹣5，4），如图1，过D作DE⊥x轴于点E，作DF⊥y轴于点F，当P1D⊥P1C时，△P1DC为直角三角形，则△DEP1∽△P1OC，∴DEPO=PEOC，即4t=523t-，解得t=151296±，当P2D⊥DC于点D时，△P2DC为直角三角形由△P2DB∽△DEB得DBEB=2P BDB，5252，解得：t=233；当P3C⊥DC时，△DFC∽△COP3，∴DFOC=3CFP O，即523=103t，解得：t=49，∴t的值为49、151296、233．（3）由已知直线EF解析式为：y=﹣23x﹣103，在抛物线上取点D的对称点D′，过点D′作D′N⊥EF于点N，交抛物线对称轴于点M过点N 作NH ⊥DD′于点H ，此时，DM+MN=D′N 最小． 则△EOF ∽△NHD′ 设点N 坐标为（a ，﹣21033a -）， ∴OE NH =OF HD '，即52104()33a ---=1032a -， 解得：a=﹣2，则N 点坐标为（﹣2，﹣2），求得直线ND′的解析式为y=32x+1， 当x=﹣32时，y=﹣54， ∴M 点坐标为（﹣32，﹣54）， 此时，DM+MN 的值最小为22D H NH '+=2246+=213．点睛：本题是二次函数和几何问题综合题，应用了二次函数性质以及转化的数学思想、分类讨论思想．解题时注意数形结合．14．如图，已知抛物线2y ax bx c =++（a≠0）经过A （﹣1，0）、B （3，0）、C （0，﹣3）三点，直线l 是抛物线的对称轴．（1）求抛物线的函数关系式；（2）设点P 是直线l 上的一个动点，当点P 到点A 、点B 的距离之和最短时，求点P 的坐标；（3）点M 也是直线l 上的动点，且△MAC 为等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点M 的坐标．【答案】（1）223y x x =--；（2）P （1，0）；（3）．【解析】试题分析：（1）直接将A 、B 、C 三点坐标代入抛物线的解析式中求出待定系数即可； （2）由图知：A ．B 点关于抛物线的对称轴对称，那么根据抛物线的对称性以及两点之间线段最短可知，直线l 与x 轴的交点，即为符合条件的P 点；（3）由于△MAC 的腰和底没有明确，因此要分三种情况来讨论：①MA=AC 、②MA=MC 、③AC=MC ；可先设出M 点的坐标，然后用M 点纵坐标表示△MAC 的三边长，再按上面的三种情况列式求解．试题解析：（1）将A （﹣1，0）、B （3，0）、C （0，﹣3）代入抛物线2y ax bx c=++中，得：0{9303a b c a b c c -+=++==-，解得：1{23a b c ==-=-，故抛物线的解析式：223y x x =--．（2）当P 点在x 轴上，P ，A ，B 三点在一条直线上时，点P 到点A 、点B 的距离之和最短，此时x=2ba-=1，故P （1，0）； （3）如图所示：抛物线的对称轴为：x=2ba-=1，设M （1，m ），已知A （﹣1，0）、C （0，﹣3），则：2MA =24m +，2MC =2(3)1m ++=2610m m ++，2AC =10；①若MA=MC ，则22MA MC =，得：24m +=2610m m ++，解得：m=﹣1； ②若MA=AC ，则22MA AC =，得：24m +=10，得：m=6±；③若MC=AC ，则22MC AC =，得：2610m m ++=10，得：10m =，26m =-； 当m=﹣6时，M 、A 、C 三点共线，构不成三角形，不合题意，故舍去；综上可知，符合条件的M 点，且坐标为 M （1，6）（1，6-）（1，﹣1）（1，0）．考点：二次函数综合题；分类讨论；综合题；动点型．15．如图1，四边形OABC 是矩形，点A 的坐标为(3,0)，点c 的坐标为(0,6).点P 从点O 出发，沿OA 以每秒1个单位长度的速度向点A 运动，同时点Q 从点A 出发，沿AB 以每秒2个单位长度的速度向点B 运动，当点P 与点A 重合时运动停止.设运动时间为t 秒.（1）当2t =时，线段PQ 的中点坐标为________； （2）当CBQ ∆与PAQ ∆相似时，求t 的值；（3）当1t =时，抛物线2y x bx c =++经过P 、Q 两点，与y 轴交于点M ，抛物线的顶点为K ，如图2所示.问该抛物线上是否存在点D ，使12MQD MKQ ∠=∠，若存在，求出所有满足条件的D 点坐标；若不存在，说明理由. 【答案】（1）PQ 的中点坐标是(2.5,2)；（2）9352t -=或3t 4=；（3）124(,)39D ，2240(,)39D -. 【解析】分析：（1）先根据时间t=2，和速度可得动点P 和Q 的路程OP 和AQ 的长，再根据中点坐标公式可得结论；（2）根据矩形的性质得：∠B=∠PAQ=90°，所以当△CBQ 与△PAQ 相似时，存在两种情况：①当△PAQ ∽△QBC 时，PA QB AQ BC ＝，②当△PAQ ∽△CBQ 时，PA BC AQ QB＝，分别列方程可得t 的值；（3）根据t=1求抛物线的解析式，根据Q （3，2），M （0，2），可得MQ ∥x 轴，∴KM=KQ ，KE ⊥MQ ，画出符合条件的点D ，证明△KEQ ∽△QMH ，列比例式可得点D 的坐标，同理根据对称可得另一个点D ．详解：（1）如图1，∵点A 的坐标为（3，0）， ∴OA=3，当t=2时，OP=t=2，AQ=2t=4， ∴P （2，0），Q （3，4），。
《二次函数》培优测试卷
二次函数 培优测试卷班级 学号 姓名 得分参考公式：抛物线)0(2≠++=a c bx ax y 的顶点坐标是（a b 2-，ab ac 442-）一、选择题（每题3分，共30分）1．抛物线y =2（x ﹣3）2+1的顶点坐标是 （ ） A ．（3,1） B.(3，-1) C.(-3，1) D.(-3，-1)2.抛物线y=12x 2的图象向左平移2个单位，再向下平移1个单位，则所得抛物线的解析式为 （ ） A ．y =12x 2+2x -2 B ．y =12x 2+2x +1 C ．y =12x 2-2x -1 D ．y =12x 2-2x +13．若y =（3+m ）29mx -是开口向下的抛物线，则m 的值是 （ ）A ．m =3B ．m =-3C ．mD ．m4.向空中发射一枚炮弹，经x 秒后的高度为y 米，且时间与高度的关系为y =ax 2+bx +c （a ≠0）．若此炮弹在第8秒与第14秒时的高度相等，则在下列时间中炮弹所在高度最高的是 （ ） A ．第9秒 B ．第10秒 C ．第11秒 D ．第12秒5.下列函数中，当x ＞0时，y 随x 的增大而增大的是 （ ） A ．y =﹣x +1 B.y =x 2﹣1 C. D. y =﹣x 2+16. 已知函数ax ax y +=2与函数y =xa，则它们在同一坐标系中的图象可能是 ( )7． 已知二次函数c bx ax y ++=2的y 与x 的部分对应值如下表：则下列判断中正确的是 （ ） A ．抛物线开口向上 B ．抛物线与y 轴交于负半轴C ．当x ＝4时，y ＞0D ．方程02=++c bx ax 的正根在3与4之间8.如图，Rt △AOB 中，AB ⊥OB ，且AB=OB=3，设直线x =t 截此三角形所得阴影部分的面积为S ，则S 与t 之间的函数关系的图象为下列选项中的 （ ）9.函数2y x bx c =++与y x =的图象如图所示，有以下结论： ①240b c ->；②10b c ++=；③360b c ++=； ④当13x <<时，2(1)0x b x c +-+<；其中正确的个数是： （ ）A ．1B ．2C ．3D ．410. 已知:M 、N 两点关于y 轴对称，且点M 在双曲线12y x=上，点N 在直线y=x+3上，设点M 的坐标为（a,b ），则二次函数y = –abx 2+(a+b)x ( ) A. 有最大值，最大值为 –92B. 有最大值，最大值为92C. 有最小值，最小值为92D. 有最小值，最小值为 –92二、填空题（每题4分，共24分）11．二次函数y =ax 2的图象经过点（2，1），它的解析式为 _． 12．把函数y =12x 2-2x 化为y =a （x +m ）2+k 的形式，为 ． 13．若抛物线y =x 2+（m -1）x +（m +3）顶点在y 轴上，则m =________．14. 二次函数223y x =的图象如图所示，点0A 位于坐标原点，点1A ，2A ，3A 在y 轴的正半轴上，点1B ，2B ，3B 在二次函数223y x =位于第一象限的图象上，若△011A B A ,△122A B A ，△233A B A 都为等边三角形，则2B 的坐标为 .15. 对于实数a 、b ，定义一种运算“⊗”为：a ⊗b =a 2+ab ﹣2，有下列命题：①1⊗3=2；②方程x ⊗1=0的根为：x 1=﹣2，x 2=1；③不等式组的解集为：﹣1＜x ＜4；④点（，）在函数y =x ⊗（﹣1）的图象上．其中正确的是____________________________(填序号)16.如图，抛物线2+(0)y ax bx c a =+≠过点（1，0）和点（0，-2），且顶点在第三象限，设P =a b c -+，则P 的取值范围是三、解答题（10+12+12+12共46分） 17..已知二次函数y =－12 x 2 －x + 32.（1）求出顶点坐标及该抛物线与坐标轴的交点坐标；（2）在直角坐标系中，画出这个函数的图象； （3）根据图象，写出当y ＜ 0时，x 的取值范围；18.“绿色出行，低碳健身”已成为广大市民的共识．某旅游景点新增了一个公共自行车停车场，6：00至18：00市民可在此借用自行车，也可将在各停车场借用的自行车还于此地．林华同学统计了周六该停车场各时段的借、还自行车数，以及停车场整点时刻的自行车总数（称为存量）情况，表格中x =1时的y 值表示7：00时的存量，x =2时的y 值表示8：00时的存量…依此类推．他发现存量y （辆）与x （x 为整数）满足如图所示的一个二次函数关系．根据所给图表信息，解决下列问题：（1）m = ，解释m 的实际意义： ； （2）求整点时刻的自行车存量y 与x 之间满足的二次函数关系式；（3）已知9：00～10：00这个时段的还车数比借车数的3倍少4，求此时段的借车数．19. 某商场经营某种品牌的玩具，购进时的单价是30元，根据市场调查：在一段时间内，销售单价是40元时，销售量是600件，而销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具． （1）不妨设该种品牌玩具的销售单价为x 元（x ＞40），请你分别用x 的代数式来表示销售量y 件和销售该品牌玩具获得利润w （2）在（1x 应定为多少元．（3）在（1）问条件下，若玩具厂规定该品牌玩具销售单价不低于44元，且商场要完成不少于540件的销售任务，求商场销售该品牌玩具获得的最大利润时销售单价应是多少？20. 如图，在平面直角坐标系中，直线22+=x y 交x 轴于点A ，交y 轴于点B ，将△AOB 绕原点O 顺时针旋转90º后得到△COD ，抛物线l 经过点A 、C 、D ．（1）求点C 、D 的坐标以及抛物线l 的解析式（直接写出结果）；（2）E 是CD 上方抛物线上的动点，求当四边形ADEC 面积最大时E 点的坐标；（3）若P 是该抛物线对称轴上的动点，Q 是x 轴上的动点，问是否存在以点C 、D 、P 、Q 为顶点是四边形是平行四边形，若存在，请直接写出Q解：（1）C ; D 抛物线l 的解析式： （2）如图1，已知正方形ABCD 的边长为1，点E 在边BC 上，若∠AEF=90°，且EF 交正方形外角的平分线CF 于点F ． （1）图1中若点E 是边BC 的中点，我们可以构造两个三角形全等来证明AE=EF ，请叙述你的一个构造方案，并指出是哪两个三角形全等（不要求证明）；（2）如图2，若点E 在线段BC 上滑动（不与点B ，C 重合）． ①AE=EF 是否总成立？请给出证明；②在如图2的直角坐标系中，当点E 滑动到某处时，点F 恰好落在抛物线y =﹣x 2+x +1上，求此时点F 的坐标．。
数学二次函数的专项培优练习题(含答案)及详细答案
③如图 3，作 BC 的中垂线，交 x 轴于 M4，连接 CM4，则 CM4=BM4，
设 OM4=x，则 CM4=BM4=x+1， 由勾股定理得：22+x2=（1+x）2，
解得：x= 3 ， 2
∵ M4 在 x 轴的负半轴上，
∴ M4（- 3 ，0）， 2
综上所述，当 B、C、M 为顶点的三角形是等腰三角形时，M 的坐标为（-1，0）或
（2）连接 BE、OE．根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出 BE＝ 1 CD＝CE．利 2
用 SSS 证明△ OBE≌ △ OCE，得出∠ BOE＝∠ COE，即点 E 在第四象限的角平分线上，设 E 点 坐标为（m，﹣m），代入 y＝x2﹣2x﹣3，求出 m 的值，即可得到 E 点坐标； （3）过点 Q 作 AC 的平行线交 x 轴于点 F，连接 CF，根据三角形的面积公式可得 S△ ACQ＝ S△ ACF．由 S△ ACQ＝2S△ AOC，得出 S△ ACF＝2S△ AOC，那么 AF＝2OA＝2，F（1，0）．利用待定 系数法求出直线 AC 的解析式为 y＝﹣3x﹣3．根据 AC∥ FQ，可设直线 FQ 的解析式为 y＝﹣ 3x+b，将 F（1，0）代入，利用待定系数法求出直线 FQ 的解析式为 y＝﹣3x+3，把它与抛
代入点 C（3, 0），可得 a＝－1．
∴ y＝－（x－1）2＋4＝－x2＋2x＋3．
（2）∵ P（1 1 t ，４）， 2
将 x 1 1 t 代入抛物线的解析式，y＝－（x－1）2＋4＝ 4 1 t 2 ，
2
4
∴ M（1 1 t ， 4 1 t 2 ），
初三数学《二次函数》培优题
初三数学培优小卷1．若二次函数y =x 2−2x −3的图象上有且只有两个个点到x 轴的距离等于m ，则实数m 的取值范围________．2．下列关于二次函数y =−(x −m )2+m 2+1（m 为常数）的结论，①该函数的图象与函数y =−x 2的图象形状相同；②该函数的图象一定经过点(0,1)；③当x >0时，y 随x 的增大而减小；④该函数的图象的顶点在函数21y x =+的图像上，其中所有正确的结论序号是__________．3．如图，直线l 与半径为6的⊙O 相切于点A ，P 是⊙O 上的一个动点（不与点A 重合），过点P 作PB ⊥l ，垂足为B ，连接PA ．设PA ＝x ，PB ＝y ，则（x －y ）的最大值是 ．4．如图，已知点()()1122,,,M x y N x y 在二次函数2(2)1(0)y a x a =−−>的图像上，且213x x −=．(1)若二次函数的图像经过点(3,1)．①求这个二次函数的表达式；②若12y y =，求顶点到MN 的距离；(2)当12x x x ≤≤时，二次函数的最大值与最小值的差为1，点M ，N 在对称轴的异侧，1．以初速度v （单位：m/s ）从地面竖直向上抛出小球，从抛出到落地的过程中，小球的高度h （单位：m ）与小球的运动时间t （单位：s ）之间的关系式是h ＝vt −4.9t 2，现将某弹性小球从地面竖直向上抛出，初速度为v 1，经过时间t 1落回地面，运动过程中小球的最大高度为h 1（如图1）；小球落地后，竖直向上弹起，初速度为v 2，经过时间t 2落回地面，运动过程中小球的最大高度为h 2（如图2）．若h 1＝2h 2，则t 1：t 2＝_____．2．如图，以扇形OAB 的顶点O 为原点，半径OB 所在的直线为x 轴，建立平面直角坐标系，点B 的坐标为（2，0），若抛物线21y x k 2=+与扇形OAB 的边界总有两个公共点，则实数k 的取值范围是_______3．抛物线2:L y x mx n =++经过图中的网格区域．（1）当抛物线L 过原点及点（1，0）时，m n +的值是______．（2）当1m n +=，且抛物线L 恰好只经过如．．．．．．图网格区域（包括边界）中的3个格点（横纵坐标均为整数），则满足条件的整数m 有______个．4．如图，已知抛物线212y x bx =+与直线y =2x 交于点O （0，0），A （a ，12）．点B 是抛物线上O ，A 之间的一个动点，过点B 分别作x 轴、y 轴的平行线与直线OA 交于点C ，E ．（1）求抛物线的函数解析式；（2）若点C 为OA 的中点①点C 坐标为 。
人教版九年级上 册 第22章 《二次函数》培优练习卷
第22章《二次函数》培优练习卷时间：100分钟满分：100分班级：_______ 姓名：________得分:_______一．选择题（每题3分，共30分）1．二次函数y＝3（x﹣2）2﹣1的图象顶点坐标是（）A．（﹣2，1）B．（﹣2，﹣1）C．（2，1）D．（2，﹣1）2．当函数y＝（a﹣1）x2+bx+c是二次函数时，a的取值为（）A．a＝1 B．a＝﹣1 C．a≠﹣1 D．a≠13．已知二次函数y＝（x+m﹣2）（x﹣m）+2，点A（x1，y1），B（x2，y2）（x1＜x2）是其图象上两点，（）A．若x1+x2＞2，则y1＞y2B．若x1+x2＜2，则y1＞y2C．若x1+x2＞﹣2，则y1＞y2D．若x1+x2＜﹣2，则y1＜y24．抛物线y＝x2+2先向右平移2个单位，再向下平移3个单位得到的抛物线的表达式是（）A．y＝（x﹣2）2+3 B．y＝（x﹣2）2﹣1 C．y＝（x﹣3）2+2 D．y＝（x﹣3）2﹣2 5．抛物线y＝x2﹣9与x轴交于A、B两点，则A、B两点的距离是（）A．3 B．6 C．9 D．186．已知二次函数y＝﹣x2，下列说法正确的是（）A．该抛物线的开口向上B．顶点坐标是（0，0）C．对称轴是x＝﹣D．当x＜0时，y随x的增大而减小7．在二次函数y＝﹣（x﹣1）2+2的图象中，若y随x的增大而增大，则x的取值范围是（）A．x＞﹣1 B．x＜1 C．x＜﹣1 D．x＞18．在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2﹣2x的图象可能是（）A．B．C ．D ．9．二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图象如图所示，下面结论：①a ＞0；②c ＝0；③函数的最小值为﹣3；④当x ＞4时，y ＞0；⑤当x 1＜x 2＜2时，y 1＜y 2（y 1、y 2分别是x 1、x 2对应的函数值）．正确的个数为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．510．如图，抛物线y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）与x 轴交于点（﹣3，0），其对称轴为直线x ＝﹣，结合图象分析下列结论：①abc ＞0； ②3a +c ＞0；③当x ＜0时，y 随x 的增大而增大，④一元二次方程cx 2+bx +a ＝0的两根分别为x 1＝﹣，x 2＝；⑤若m ，n （m ＜n ）为方程a （x +3）（x ﹣2）+3＝0的两个根，则m ＞﹣3且n ＜2，其中正确的结论有（ ）A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个二．填空题（每题4分，共20分）11．若二次函数y ＝x 2﹣6x +3a 的图象与x 轴有且只有一个交点，则a 的值为 ． 12．如图所示，某建筑物有一抛物线形的大门，小明想知道这道门的高度，他先测出门的宽度AB ＝8m ，然后用一根长为4m 的小竹竿CD 竖直的接触地面和门的内壁，并测得AC ＝2m ，则门高OE 为 ．13．二次函数y ＝x 2﹣bx +c 的图象上有两点A （3，﹣2），B （﹣9，﹣2），则此抛物线的对称轴是直线x ＝ ．14．二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图象如图所示，若点A （1，y 1），B （3，y 2）是图象上的两点，则y 1 y 2（填“＞”、“＜”、“＝”）．15．在直角坐标系xOy 中，对于点P （x ，y ）和Q （x ，y ′）．给出如下定义：若y ′＝，则称点Q 为点P 的“可控变点”．如：点（1，2）的“可控变点”为点（1，2），点（﹣1，3）的“可控变点”为点（﹣1，﹣3）．（1）若点（﹣1，﹣2）是一次函数y ＝x +3图象上点M 的“可控变点”，则点M 的坐标为 ．（2）若点P 在函数y ＝﹣x 2+16（﹣5≤x ≤a ）的图象上，其“可控变点”Q 的纵坐标y ′的取值范围是﹣16≤y ′≤16，则实数a 的取值范围是 ．三．解答题（每题10分，共50分）16．已知抛物线L ：y ＝x 2+bx +c 经过点（1，15）和（0，8），顶点为M ，抛物线L 关于原点O 对称的抛物线为L ′，点M 的对应点为点N ．（1）求抛物线L 的表达式及点M 的坐标；（2）点P 在抛物线L ′上，点Q 在抛物线L 上，且四边形PMQN 为周长最小的菱形，求点P 的坐标．17．已知抛物线L：y＝x2+bx+c经过点A（﹣1，0）和（1，﹣2）两点，抛物线L关于原点O的对称的为抛物线L′，点A的对应点为点A′．（1）求抛物线L和L′的表达式；（2）是否在抛物线L上存在一点P，抛物线L′上存在一点Q，使得以AA′为边，且以A、A′、P、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由．18．如图，抛物线y＝x2+2x的顶点为A，与x轴交于B、C两点（点B在点C的左侧）．（1）请求出A、B、C三点的坐标；（2）平移抛物线，记平移后的抛物线的顶点为D，与y轴交于点E，F为平面内一点，若以A、D、E、F为顶点的四边形是正方形，且平移后的抛物线的对称轴在y轴右侧，请求出满足条件的平移后抛物线的表达式．19．当今，越来越多的青少年在观看影片《流浪地球》后，更加喜欢同名科幻小说，该小说销量也急剧上升，书店为满足广大顾客需求，订购该科幻小说若干本，每本进价为20元．根据以往经验：当销售单价是25元时，每天的销售量是250本；销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10本，书店要求每本书的利润不低于10元且不高于20元．（1）直接写出书店销售该科幻小说时每天的销售量y（本）与销售单价x（元）之间的函数关系式及自变量的取值范围；（2）书店决定每销售1本该科幻小说，就捐赠a（0＜a≤10）元给困难职工，每天扣除捐赠后可获得最大利润为1440元，求a的值．20．水果店购进某种水果的成本为10元/千克，经市场调研，获得销售单价p（元/千克）与销售时间t（1≤t≤15，t为整数）（天）之间的部分数据如表：销售时间t（1≤t≤15，t为整数）（天） 1 4 5 8 12 销售单价p（元/千克）20.25 21 21.25 22 23 已知p与t之间的变化规律符合一次函数关系．（1）试求p关于t的函数表达式；（2）若该水果的日销量y（千克）与销售时间t（天）的关系满足一次函数y＝﹣2t+120（1≤t≤15，t为整数）．①求销售过程中最大日销售利润为多少？②在实际销售的前12天中，公司决定每销售1千克水果就捐赠n元利润（n＜3）给“精准扶贫”对象．现发现：在前12天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间t的增大而增大，求n的取值范围．参考答案一．选择1．解：∵二次函数y＝3（x﹣2）2﹣1，∴该函数图象的顶点坐标为（2，﹣1），故选：D．2．解：由题意得：a﹣1≠0，解得：a≠1，故选：D．3．解：如图，当x＝m或x＝﹣m+2时，y＝2，∴抛物线的对称轴x＝＝1，∴当x1+x2＜2时，点A与点B在对称轴的左侧或点A在对称轴的左侧，点B在对称轴的右侧，且点A离对称轴的距离比点B离对称轴的距离大，观察图象可知，此时y1＞y2，故选：B．4．解：y＝x2+2先向右平移2个单位，再向下平移3个单位得到的抛物线的表达式是y＝（x ﹣2）2﹣1．故选：B．5．解：令y＝0，即x2﹣9＝0，解得x1＝3，x2＝﹣3，∴A、B两点的坐标为（﹣3，0），（3，0），∴A、B两点的距离＝3﹣（﹣3）＝6．故选：B．6．解：A 、∵a ＝﹣＜0，∴开口向下，故错误，不符合题意；B 、顶点坐标是（0，0），正确，符合题意；C 、对称轴为直线x ＝0，故错误，不符合题意；D 、∵a ＝﹣＜0，∴开口向下，当x ＜0时，y 随x 的增大而增大，故错误，不符合题意，故选：B ．7．解：∵二次函数y ＝﹣（x ﹣1）2+2，∴当x ＞1时，y 随x 的增大而减小，当x ＜1时，y 随x 的增大而增大， 故选：B ．8．解：∵二次函数y ＝x 2﹣2x ＝（x ﹣1）2﹣1， ∴开口向上，顶点为（1，﹣1），且经过原点． 故选：A ．9．解：∵该函数图象开口向上， ∴a ＞0，故①正确；∵该函数图象经过点（0，0）， ∴c ＝0，故②正确；∵该函数图象开口向上，有最低点（2，﹣3）， ∴函数的最小值为﹣3，故③正确；∵该函数的对称轴为直线x ＝2，经过点（0，0）， ∴该函数与x 轴的另一个交点为（4，0）， ∴当x ＞4时，y ＞0，故④正确；由函数图象可知，当x ＜2时，y 随x 的增大而减小，故当x 1＜x 2＜2时，y 1＞y 2（y 1、y 2分别是x 1、x 2对应的函数值），故⑤错误； 故选：C ．10．解：由函数图象可得，a ＜0，b ＜0，c ＞0，则abc ＞0，故①正确； ﹣＝，得a ＝b ，∵x ＝﹣3时，y ＝9a ﹣3b +c ＝0， ∴6a +c ＝0，∴c ＝﹣6a ，∴3a +c ＝3a ﹣6a ＝﹣3a ＞0，故②正确；由图象可知，当x ＜﹣时，y 随x 的增大而增大，当﹣＜x ＜0时，y 随x 的增大而减小，故③错误；∵抛物线y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）与X 轴交于点（﹣3，0），其对称轴为直线x ＝﹣， ∴该抛物线与x 轴的另一个交点的坐标为（2，0）， ∴ax 2+bx +c ＝0的两个根为x 1＝﹣3，x 2＝2， ∴a +b+c （）2＝0的两个根为x 1＝﹣3，x 2＝2，∴一元二次方程cx 2+bx +a ＝0的两根分别为x 1＝﹣，x 2＝，故④正确； ∵该函数与x 轴的两个交点为（﹣3，0），（2，0）， ∴该函数的解析式可以为y ＝a （x +3）（x ﹣2）， 当y ＝﹣3时，﹣3＝a （x +3）（x ﹣2）∴当y ＝﹣3对应的x 的值一个小于﹣3，一个大于2，∴若m ，n （m ＜n ）为方程a （x +3）（x ﹣2）+3＝0的两个根，则m ＜﹣3且n ＞2，故⑤错误； 故选：A ．二．填空题（共5小题）11．解：∵二次函数y ＝x 2﹣6x +3a 的图象与x 轴有且只有一个交点， ∴△＝b 2﹣4ac ＝（﹣6）2﹣4×3a ＝0， 解得：a ＝3， 故答案为：3．12．解：由题意得，抛物线过点A （﹣4，0）、B （4，0）、D （﹣2，4）， 设y ＝a （x +4）（x ﹣4），把D （﹣2，4）代入y ＝a （x +4）（x ﹣4）， 得4＝a （﹣2+4）（﹣2﹣4）， 解得a ＝﹣，∴y ＝﹣（x +4）（x ﹣4）．令x＝0得y＝，即（0，），∴OE＝∴门的高度约为m．故答案为：m．13．解：∵函数y＝x2﹣bx+c的图象上有两点A（3，﹣2），B（﹣9，﹣2），且两点的纵坐标相等，∴A、B关于抛物线的对称轴对称，∴对称轴为：直线x＝＝﹣3，故答案为：﹣314．解：∵抛物线的对称轴在y轴的左侧，且开口向下，∴点A（1，y1），B（3，y2）都在对称轴右侧的抛物线上，∴y1＞y2．故答案为：＞．15．解：（1）根据“可控变点”的定义可知M的坐标（﹣1，2）；故答案为：（﹣1，2）；（2）依题意可得，y＝﹣x2+16图象上的点P的“可控变点”必在函数y′＝的图象上（如图），∵﹣16≤y′≤16，∴﹣16＝﹣x2+16，∴x＝4，当x＝﹣5时，x2﹣16＝9，当y′＝9时，9＝﹣x2+16（x≥0），∴x＝，∵0的时候对应的﹣16取不到，要得到﹣16只能是4的时候，∴a的取值范围是a＝4．故答案为：a＝4，三．解答题（共5小题）16．解：（1）∵y＝x2+bx+c经过点（1，15）和（0，8），∴，解得，∴抛物线的解析式为y＝x2+6x+8，∵抛物线L：y＝x2+6x+8＝（x+3）2﹣1，∴顶点M（﹣3，﹣1），（2）∵抛物线L′与抛物线L关于原点对称，抛物线L的顶点M（﹣3，﹣1），∴抛物线L′的顶点M′（3，1），解析式为y＝﹣（x﹣3）2+1＝﹣x2+6x﹣8∵四边形PMQM′是菱形，∴PQ⊥MM′，∵直线MM′的解析式为y＝x，∴直线PQ的解析式为y＝﹣3x，由，解得或，∴P（1，﹣3）或（8．﹣24）．∵菱形PMQM′的周长最小，∴P（1，3）．17．解：（1）∵抛物线L：y＝x2+bx+c经过点A（﹣1，0）和（1，﹣2）两点，∴，解得：，∴抛物线L的解析式为：y＝x2﹣x﹣2，∵y＝x2﹣x﹣2＝（x﹣）2﹣，∴顶点坐标为（，﹣），∵抛物线L关于原点O的对称的为抛物线L′，∴抛物线L′的解析式为：y＝﹣（x+）2+；（2）∵点A关于原点O对应点为点A′，∴点A '（1，0），∴AA '＝2，∵以AA ′为边，且以A 、A ′、P 、Q 为顶点的四边形是平行四边形，∴PQ ＝AA '＝2，PQ ∥AA '，设点P （x ，x 2﹣x ﹣2），当点P 在点Q 的左侧，∴点Q 的横坐标为x +2，∴x 2﹣x ﹣2＝﹣（x +2+）2+，∴x ＝﹣1，∴点P （﹣1，0）（不合题意舍去）；当点P 在点Q 的右侧，∴点Q 的横坐标为x ﹣2，∴x 2﹣x ﹣2＝﹣（x ﹣2+）2+，∴x 1＝+1，x 2＝﹣+1， ∴点P 1（+1，），P 2（﹣+1，﹣）． 18．解：（1）∵抛物线y ＝x 2+2x 与x 轴交于B 、C 两点，∴0＝x 2+2x ，∴x 1＝0，x 2＝﹣2，∴点B （﹣2，0），点C （0，0），∵y ＝x 2+2x ＝（x +1）2﹣1，∴点A （﹣1，﹣1）；（2）设平移后抛物线的表达式为：y ＝（x +1﹣m ）2﹣1+n （m ＞1），∴点D （m ﹣1，﹣1+n ），∵y ＝（x +1﹣m ）2﹣1+n ＝x 2+2×（1﹣m ）x +m 2﹣2m +n ，∴点E （0，m 2﹣2m +n ），如图1，当点D 在点A 的下方时，过点A 作AM ⊥y 轴于N ，过点D 作DM ⊥AM 于M ，∴∠ANE＝∠AMD＝90°，∵以A、D、E、F为顶点的四边形是正方形，∴AE＝AD，∠EAD＝90°，∴∠EAN+∠DAM＝90°，∵∠AEN+∠EAN＝90°，∴∠AEN＝∠DAM，∴△AEN≌△DAM（AAS），∴AN＝DM，EN＝AM，∴1＝﹣1﹣（﹣1+n），m﹣1﹣（﹣1）＝m2﹣2m+n﹣（﹣1），∴n＝﹣1，m＝3，∴平移后抛物线的表达式为：y＝（x﹣2）2﹣2；（2）如图2，点D在点A上方时，过点D作DM⊥y轴于N，过点A作AM⊥DM于M，同理可证△EDN ≌△DAM ，∴DN ＝AM ，EN ＝DM ，∴m ﹣1＝﹣1+n +1，m 2﹣2m +n ﹣（﹣1+n ）＝m ﹣1+1，∴m ＝，n ＝，∴平移后抛物线的表达式为：y ＝（x ﹣）2﹣，综上所述：平移后抛物线的表达式为：y ＝（x ﹣2）2﹣2或y ＝（x ﹣）2﹣． 19．解：（1）由题意得：y ＝250﹣10（x ﹣25）＝﹣10x +500（30≤x ≤40）．∴函数关系式及自变量的取值范围是y ＝﹣10x +500（30≤x ≤40）．（2）设每天扣除捐赠后可获得利润为W 元，则：W ＝（﹣10x +500）（x ﹣20﹣a ）＝﹣10x 2+（700+10a ）x ﹣500a ﹣10000（30≤x ≤40），∴对称轴为x ＝35+，又∵0＜a ≤10，∴35＜35+≤40，∵30≤x ≤40，∴x ＝35+时，W max ＝1440，∴﹣10+（700+10a ）（35+）﹣500a ﹣10000＝1440，整理得：a 2﹣60a +324＝0，解得a 1＝6，a 2＝54（舍）．∴a ＝6．20．解：（1）设p 与t 之间的变化的一次函数关系为：p ＝kt +b ，将点（4，21）、（8，22）代入上式得：，解得：，故p 关于t 的函数表达式为：p ＝t +20（1≤t ≤15，t 为整数）；（2）①设日销售利润为w，由题意得：w＝y（p﹣10）＝﹣（t﹣60）（t+40）（1≤t≤15，t为整数），∵＜0，故w有最大值，当t＝10时，w的最大值为1250；故销售过程中最大日销售利润为1250元；②设捐赠后的日销售利润为m，由题意得：m＝w﹣n＝﹣（t﹣60）（t+40）﹣n＝﹣t2+（10+2n）t+1200﹣120n，∵在前12天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间t的增大而增大，∴﹣≥11.5，∴n≥．又∵n＜3，∴n的取值范围为≤n＜3．。
数学二次函数的专项培优练习题(含答案)
2
2
G，∠ DCF=2∠ BAC=∠ DGC+∠ CDG，解直角三角形即可得到结论．
【详解】
解：（1）根据题意得 A（-4，0），C（0，2），
∵ 抛物线 y=- 1 x2+bx+c 经过 A．C 两点， 2
∴
0＝
1 16 4b c 2
，
2＝c
∴
b=
3 2
，
c=2
抛物线解析式为： y 1 x2 3 x 2 ; 22
y x 2
（2）联立
y
x2
2x
，
解得
x1 y1
1
，
3
x2 y2
2 0
，
∴ C（﹣1，3），
∵ A（1，﹣1），B（2，0），
∴ AB2＝（1﹣2）2+（﹣1﹣0）2＝2，
AC2＝[1﹣（﹣1）]2+（﹣1﹣3）2＝20，
BC2＝[2﹣（﹣1）]2+（0﹣3）2＝18，
∴ AB2+BC2＝AC2，
1 2
a2
3 2
a
2
∴
M
a，1 2
a
2
∵ B1，0
∴
N
1,
5 2
∴
S1 S2
DM BN
1 a2 2a 2
5
1 a 22 4
5
5
2
∴
当
a
2
时，
S1 S2
的最大值是 4 5
;
②∵ A（-4，0），B（1，0），C（0，2），
∴ AC=2 5 ，BC= 5 ，AB=5，
∴ AC2+BC2=AB2， ∴ △ ABC 是以∠ ACB 为直角的直角三角形， 取 AB 的中点 P，
初三数学二次函数的专项培优练习题附详细答案
初三数学二次函数的专项培优练习题附详细答案一、二次函数1．如图，在直角坐标系xOy中，二次函数y=x2+（2k﹣1）x+k+1的图象与x轴相交于O、A两点．（1）求这个二次函数的解析式；（2）在这条抛物线的对称轴右边的图象上有一点B，使△AOB的面积等于6，求点B的坐标；（3）对于（2）中的点B，在此抛物线上是否存在点P，使∠POB=90°？若存在，求出点P 的坐标，并求出△POB的面积；若不存在，请说明理由．【答案】（1）y=x2﹣3x。
（2）点B的坐标为：（4，4）。
（3）存在；理由见解析；【解析】【分析】（1）将原点坐标代入抛物线中即可求出k的值，从而求得抛物线的解析式。
（2）根据（1）得出的抛物线的解析式可得出A点的坐标，也就求出了OA的长，根据△OAB的面积可求出B点纵坐标的绝对值，然后将符合题意的B点纵坐标代入抛物线的解析式中即可求出B点的坐标，然后根据B点在抛物线对称轴的右边来判断得出的B点是否符合要求即可。
（3）根据B点坐标可求出直线OB的解析式，由于OB⊥OP，由此可求出P点的坐标特点，代入二次函数解析式可得出P点的坐标．求△POB的面积时，求出OB，OP的长度即可求出△BOP的面积。
【详解】解：（1）∵函数的图象与x轴相交于O，∴0=k+1，∴k=﹣1。
∴这个二次函数的解析式为y=x2﹣3x。
（2）如图，过点B做BD⊥x轴于点D，令x 2﹣3x=0，解得：x=0或3。
∴AO=3。
∵△AOB 的面积等于6，∴12AO•BD=6。
∴BD=4。
∵点B 在函数y=x 2﹣3x 的图象上，∴4=x 2﹣3x ，解得：x=4或x=﹣1（舍去）。
又∵顶点坐标为：（ 1.5，﹣2.25），且2.25＜4， ∴x 轴下方不存在B 点。
∴点B 的坐标为：（4，4）。
（3）存在。
∵点B 的坐标为：（4，4），∴∠BOD=45°，22BO 442=+=。
若∠POB=90°，则∠POD=45°。
初三数学 二次函数的专项 培优练习题含详细答案
初三数学 二次函数的专项 培优练习题含详细答案一、二次函数1．如图，已知直线y kx 6=-与抛物线2y ax bx c =++相交于A ，B 两点，且点A （1，－4）为抛物线的顶点，点B 在x 轴上。
（1）求抛物线的解析式；（2）在（1）中抛物线的第二象限图象上是否存在一点P ，使△POB 与△POC 全等？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若点Q 是y 轴上一点，且△ABQ 为直角三角形，求点Q 的坐标。
【答案】解：（1）2y x 2x 3=--；（2）存在，P （1-132，13-12）；（3）Q 点坐标为（0，-72）或（0，32）或（0，－1）或（0，－3）. 【解析】 【分析】（1）已知点A 坐标可确定直线AB 的解析式，进一步能求出点B 的坐标．点A 是抛物线的顶点，那么可以将抛物线的解析式设为顶点式，再代入点B 的坐标，依据待定系数法可解. （2）首先由抛物线的解析式求出点C 的坐标，在△POB 和△POC 中，已知的条件是公共边OP ，若OB 与OC 不相等，那么这两个三角形不能构成全等三角形；若OB 等于OC ，那么还要满足的条件为：∠POC=∠POB ，各自去掉一个直角后容易发现，点P 正好在第二象限的角平分线上，联立直线y=-x 与抛物线的解析式，直接求交点坐标即可，同时还要注意点P 在第二象限的限定条件.（3）分别以A 、B 、Q 为直角顶点，分类进行讨论，找出相关的相似三角形，依据对应线段成比例进行求解即可. 【详解】解：（1）把A （1，﹣4）代入y ＝kx ﹣6，得k ＝2， ∴y ＝2x ﹣6， 令y ＝0，解得：x ＝3， ∴B 的坐标是（3，0）． ∵A 为顶点，∴设抛物线的解析为y ＝a （x ﹣1）2﹣4，把B（3，0）代入得：4a﹣4＝0，解得a＝1，∴y＝（x﹣1）2﹣4＝x2﹣2x﹣3．（2）存在．∵OB＝OC＝3，OP＝OP，∴当∠POB＝∠POC时，△POB≌△POC，此时PO平分第二象限，即PO的解析式为y＝﹣x．设P（m，﹣m），则﹣m＝m2﹣2m﹣3，解得m＝1-132（m＝1+132＞0，舍），∴P（1-13，13-1）．（3）①如图，当∠Q1AB＝90°时，△DAQ1∽△DOB，∴1DQADOD DB=，即56=135，∴DQ1＝52，∴OQ1＝72，即Q1（0，-72）；②如图，当∠Q2BA＝90°时，△BOQ2∽△DOB，∴2OQOBOD OB=，即2363OQ=，∴OQ2＝32，即Q2（0，32）；③如图，当∠AQ3B＝90°时，作AE⊥y轴于E，则△BOQ3∽△Q3EA，∴33OQOBQ E AE=，即33341OQOQ=-∴OQ32﹣4OQ3+3＝0，∴OQ3＝1或3，即Q3（0，﹣1），Q4（0，﹣3）．综上，Q点坐标为（0，-72）或（0，32）或（0，﹣1）或（0，﹣3）．2．童装店销售某款童装,每件售价为60元,每星期可卖100件,为了促销该店决定降价销售,经市场调查发现：每降价1元,每星期可多卖10件,已知该款童装每件成本30元,设降价后该款童装每件售价x元,每星期的销售量为y件.(1)降价后,当某一星期的销售量是未降价前一星期销售量的3倍时，求这一星期中每件童装降价多少元?(2)当每件售价定为多少元时,一星期的销售利润最大,最大利润是多少?【答案】（1）这一星期中每件童装降价20元；（2）每件售价定为50元时，一星期的销售利润最大，最大利润4000元．【解析】【分析】（1）根据售量与售价x（元/件）之间的关系列方程即可得到结论．（2）设每星期利润为W元，构建二次函数利用二次函数性质解决问题．【详解】解：（1）根据题意得，（60﹣x）×10+100＝3×100，解得：x＝40，60﹣40＝20元，答：这一星期中每件童装降价20元；（2）设利润为w，根据题意得，w＝（x﹣30）[（60﹣x）×10+100]＝﹣10x2+1000x﹣21000＝﹣10（x﹣50）2+4000，答：每件售价定为50元时，一星期的销售利润最大，最大利润4000元．【点睛】本题考查二次函数的应用，一元二次不等式，解题的关键是构建二次函数解决最值问题，利用图象法解一元二次不等式，属于中考常考题型．3．已知，m，n是一元二次方程x2+4x+3=0的两个实数根，且|m|＜|n|，抛物线y=x2+bx+c 的图象经过点A（m，0），B（0，n），如图所示．（1）求这个抛物线的解析式；（2）设（1）中的抛物线与x轴的另一个交点为抛物线的顶点为D，求出点C，D的坐标，并判断△BCD的形状；（3）点P是直线BC上的一个动点（点P不与点B和点C重合），过点P作x轴的垂线，交抛物线于点M，点Q在直线BC上，距离点P个单位长度，设点P的横坐标为t，△PMQ的面积为S，求出S与t之间的函数关系式．【答案】（1）223y x x =--；（2）C （3，0），D （1，﹣4），△BCD 是直角三角形；（3）2213(03)2213(03)22t t t S t t t t ⎧-+⎪⎪=⎨⎪-⎪⎩＜＜＜或＞【解析】试题分析：（1）先解一元二次方程，然后用待定系数法求出抛物线解析式；（2）先解方程求出抛物线与x 轴的交点，再判断出△BOC 和△BED 都是等腰直角三角形，从而得到结论；（3）先求出QF=1，再分两种情况，当点P 在点M 上方和下方，分别计算即可． 试题解析：解（1）∵2+430x x +=，∴11x =-，23x =-，∵m ，n 是一元二次方程2+430x x +=的两个实数根，且|m|＜|n|，∴m=﹣1，n=﹣3，∵抛物线223y x x =--的图象经过点A （m ，0），B （0，n ），∴10{3b c c -+==-，∴2{3b c =-=-，∴抛物线解析式为223y x x =--；（2）令y=0，则2230x x --=，∴11x =-，23x =，∴C （3，0），∵223y x x =--=2(1)4x --，∴顶点坐标D （1，﹣4），过点D 作DE ⊥y 轴，∵OB=OC=3，∴BE=DE=1，∴△BOC 和△BED 都是等腰直角三角形，∴∠OBC=∠DBE=45°，∴∠CBD=90°，∴△BCD 是直角三角形；（3）如图，∵B （0，﹣3），C （3，0），∴直线BC 解析式为y=x ﹣3，∵点P 的横坐标为t ，PM ⊥x 轴，∴点M 的横坐标为t ，∵点P 在直线BC 上，点M 在抛物线上，∴P （t ，t ﹣3），M （t ，223t t --），过点Q 作QF ⊥PM ，∴△PQF 是等腰直角三角形，∵2，∴QF=1．①当点P 在点M 上方时，即0＜t ＜3时，PM=t ﹣3﹣（223t t --）=23t t -+，∴S=12PM×QF=21(3)2t t -+=21322t t -+，②如图3，当点P 在点M 下方时，即t ＜0或t＞3时，PM=223t t --﹣（t ﹣3）=23t t -，∴S=12PM×QF=12（23t t -）=21322t t -．综上所述，S=2213 (03)22{13 (03)22t t t t t t t 或-+<<-．考点：二次函数综合题；分类讨论．4．函数()2110,>02y x mx x m =-++≥的图象记为1C ，函数()2110,>02y x mx x m =---<的图象记为2C ，其中m 为常数，1C 与2C 合起来的图象记为C .（Ⅰ）若1C 过点()1,1时，求m 的值； （Ⅱ）若2C 的顶点在直线1y =上，求m 的值； （Ⅲ）设C 在42x -≤≤上最高点的纵坐标为0y ，当0392y ≤≤时，求m 的取值范围. 【答案】（Ⅰ）12m =；（Ⅱ）2m =；（Ⅲ）912m ≤≤. 【解析】 【分析】（Ⅰ）将点C 的坐标代入1C 的解析式即可求出m 的值；（Ⅱ）先求出抛物线2C 的顶点坐标，再根据顶点在直线y 1=上得出关于m 的方程，解之即可（Ⅲ）先求出抛物线1C 的顶点坐标，结合（Ⅱ）抛物线2C 的顶点坐标，和x 的取值范围，分三种情形讨论求解即可； 【详解】解：（Ⅰ）将点()1,1代入1C 的解析式，解得1m .2=（Ⅱ）抛物线2C 的顶点坐标为2m m,12⎛⎫-- ⎪⎝⎭，令2m 112-=，得m 2,=± ∵m>0，∴m 2.=（Ⅲ）∵抛物线1C 的顶点2m P m,12⎛⎫+ ⎪⎝⎭，抛物线2C 的顶点2m Q m,12⎛⎫-- ⎪⎝⎭， 当0m 2<≤时，最高点是抛物线G 1的顶点∴203m y 1922≤=+≤，解得1m 2.≤≤ 当2m 4<≤时，G 1中（2，2m-1）是最高点，0y =2m-1 ∴32≤2m-19≤，解得2m 4.<≤ 当m>4时，G 2中（-4，4m-9）是最高点，0y =4m-9． ∴32≤4m-99≤，解得94m 2<≤. 综上所述，91m 2≤≤即为所求. 【点睛】本题考查二次函数综合题，待定系数法、不等式组等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，利用数形结合的思想解决问题，属于中考压轴题．5．如图所示，已知平面直角坐标系xOy ，抛物线过点A(4,0)、B(1,3)(1)求该抛物线的表达式，并写出该抛物线的对称轴和顶点坐标；(2)记该抛物线的对称轴为直线l ，设抛物线上的点P(m,n)在第四象限，点P 关于直线l 的对称点为E ，点E 关于y 轴的对称点为F ，若四边形OAPF 的面积为20，求m 、n 的值.【答案】(1)y=-224(2)4y x x x =-+=--+，对称轴为：x=2，顶点坐标为：（2，4）(2)m 、n 的值分别为 5，-5 【解析】（1） 将点A(4,0)、B(1,3) 的坐标分别代入y ＝－x 2＋bx ＋c ，得： 4b+c-16=0，b+c-1="3" ， 解得：b="4" ， c=0．所以抛物线的表达式为：24y x x =-+．y=-224(2)4y x x x =-+=--+，所以 抛物线的对称轴为：x=2，顶点坐标为：（2，4）． （2） 由题可知，E 、F 点坐标分别为（4-m ，n ），（m-4，n ）． 三角形POF 的面积为：1/2×4×|n|= 2|n|， 三角形AOP 的面积为：1/2×4×|n|= 2|n|，四边形OAPF 的面积= 三角形POF 的面积+三角形AOP 的面积=20， 所以 4|n|=20， n=-5．（因为点P(m,n)在第四象限，所以n<0） 又n=-2m +4m ，所以2m -4m-5=0，m=5．（因为点P(m,n)在第四象限，所以m>0) 故所求m 、n 的值分别为 5，-5．6．如图，直线y ＝-12x-3与x 轴，y 轴分别交于点A ，C ，经过点A ，C 的抛物线y ＝ax 2+bx ﹣3与x 轴的另一个交点为点B(2，0)，点D 是抛物线上一点，过点D 作DE ⊥x 轴于点E ，连接AD ，DC ．设点D 的横坐标为m ． (1)求抛物线的解析式；(2)当点D 在第三象限，设△DAC 的面积为S ，求S 与m 的函数关系式，并求出S 的最大值及此时点D 的坐标；(3)连接BC ，若∠EAD ＝∠OBC ，请直接写出此时点D 的坐标．【答案】(1)y ＝14x 2+x ﹣3；(2)S △ADC =﹣34(m+3)2+274；△ADC 的面积最大值为274；此时D(﹣3，﹣154)；(3)满足条件的点D 坐标为(﹣4，﹣3)或(8，21). 【解析】 【分析】（1）求出A 坐标，再用待定系数法求解析式；（2）设DE 与AC 的交点为点F.设点D 的坐标为：(m ，14m 2+m ﹣3)，则点F 的坐标为：(m ，﹣12m ﹣3)，根据S △ADC ＝S △ADF +S △DFC 求出解析式，再求最值；（3）①当点D 与点C 关于对称轴对称时，D(﹣4，﹣3)，根据对称性此时∠EAD ＝∠ABC ．②作点D(﹣4，﹣3)关于x 轴的对称点D′(﹣4，3)，直线AD′的解析式为y ＝32x+9，解方程组求出函数图像交点坐标. 【详解】解：(1)在y ＝﹣12x ﹣3中，当y ＝0时，x ＝﹣6， 即点A 的坐标为：(﹣6，0)，将A(﹣6，0)，B(2，0)代入y ＝ax 2+bx ﹣3得：366304230a b a b --=⎧⎨+-=⎩， 解得：141a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩，∴抛物线的解析式为：y ＝14x 2+x ﹣3； (2)设点D 的坐标为：(m ，14m 2+m ﹣3)，则点F 的坐标为：(m ，﹣12m ﹣3)， 设DE 与AC 的交点为点F.∴DF ＝﹣12m ﹣3﹣(14m 2+m ﹣3)＝﹣14m 2﹣32m ， ∴S △ADC ＝S △ADF +S △DFC＝12DF•AE+12•DF•OE ＝12DF•OA ＝12×(﹣14m 2﹣32m)×6 ＝﹣34m 2﹣92m ＝﹣34(m+3)2+274，∵a ＝﹣34＜0， ∴抛物线开口向下，∴当m ＝﹣3时，S △ADC 存在最大值274， 又∵当m ＝﹣3时，14m 2+m ﹣3＝﹣154，∴存在点D(﹣3，﹣154)，使得△ADC 的面积最大，最大值为274； (3)①当点D 与点C 关于对称轴对称时，D(﹣4，﹣3)，根据对称性此时∠EAD ＝∠ABC ． ②作点D(﹣4，﹣3)关于x 轴的对称点D′(﹣4，3)， 直线AD′的解析式为y ＝32x+9， 由2392134y x y x x ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+-⎪⎩，解得60x y =-⎧⎨=⎩或821x y =⎧⎨=⎩，此时直线AD′与抛物线交于D(8，21)，满足条件， 综上所述，满足条件的点D 坐标为(﹣4，﹣3)或(8，21)【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了待定系数法，一次函数的应用，二次函数的性质等知识，解题的关键是学会构建二次函数解决最值问题，学会构建一次函数解决实际问题，属于中考压轴题．.7．红星公司生产的某种时令商品每件成本为20元，经过市场调研发现，这种商品在未来40天内的 日销售量(件)与时间(天)的关系如下表： 时间(天) 1 3 6 10 36 … 日销售量(件)9490847624…未来40天内，前20天每天的价格y 1(元/件)与t 时间(天)的函数关系式为：y 1=t+25(1≤t≤20且t 为整数)；后20天每天的价格y 2(原/件)与t 时间(天)的函数关系式为：y 2=—t+40(21≤t≤40且t 为整数).下面我们来研究 这种商品的有关问题.(1)认真分析上表中的数量关系，利用学过的一次函数、二次函数 、反比例函数的知识确定一个满足这些数据之间的函数关系式；(2)请预测未来40天中那一天的销售利润最大，最大日销售利润是多少？(3)在实际销售的前20天中该公司决定每销售一件商品就捐赠a元利润(a＜4)给希望工程，公司通过销售记录发现，前20天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间t的增大而增大，求a的取值范围.【答案】（1）y=﹣2t+96；（2）当t=14时，利润最大，最大利润是578元；（3）3≤a＜4．【解析】分析：（1）通过观察表格中的数据日销售量与时间t是均匀减少的，所以确定m与t是一次函数关系，利用待定系数法即可求出函数关系式；（2）根据日销售量、每天的价格及时间t可以列出销售利润W关于t的二次函数，然后利用二次函数的性质即可求出哪一天的日销售利润最大，最大日销售利润是多少；（3）列式表示前20天中每天扣除捐赠后的日销售利润，根据函数的性质求出a的取值范围．详解：（1）设数m=kt+b，有,解得∴m=-2t+96，经检验，其他点的坐标均适合以上析式故所求函数的解析式为m=-2t+96．（2）设日销售利润为P，由P=（-2t+96）=t2-88t+1920=（t-44）2-16，∵21≤t≤40且对称轴为t=44，∴函数P在21≤t≤40上随t的增大而减小，∴当t=21时，P有最大值为（21-44）2-16=529-16=513（元），答：来40天中后20天，第2天的日销售利润最大，最大日销售利润是513元.（3）P1=（-2t+96）=-+（14+2a）t+480-96n，∴对称轴为t=14+2a，∵1≤t≤20，∴14+2a≥20得a≥3时，P1随t的增大而增大，又∵a＜4，∴3≤a＜4．点睛：解答本题的关键是要分析题意根据实际意义准确的求出解析式，并会根据图示得出所需要的信息．同时注意要根据实际意义准确的找到不等关系，利用不等式组求解．8．如图甲，直线y=﹣x+3与x轴、y轴分别交于点B、点C，经过B、C两点的抛物线y=x2+bx+c与x轴的另一个交点为A，顶点为P．（1）求该抛物线的解析式；（2）在该抛物线的对称轴上是否存在点M，使以C，P，M为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请直接写出所符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由；（3）当0＜x＜3时，在抛物线上求一点E，使△CBE的面积有最大值（图乙、丙供画图探究）．【答案】（1）y=x2﹣4x+3；（2）（2，）或（2，7）或（2，﹣1+2）或（2，﹣1﹣2）；（3）E点坐标为（，）时，△CBE的面积最大．【解析】试题分析：（1）由直线解析式可求得B、C坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；（2）由抛物线解析式可求得P点坐标及对称轴，可设出M点坐标，表示出MC、MP和PC 的长，分MC=MP、MC=PC和MP=PC三种情况，可分别得到关于M点坐标的方程，可求得M点的坐标；（3）过E作EF⊥x轴，交直线BC于点F，交x轴于点D，可设出E点坐标，表示出F点的坐标，表示出EF的长，进一步可表示出△CBE的面积，利用二次函数的性质可求得其取得最大值时E点的坐标．试题解析：（1）∵直线y=﹣x+3与x轴、y轴分别交于点B、点C，∴B（3，0），C（0，3），把B、C坐标代入抛物线解析式可得，解得，∴抛物线解析式为y=x2﹣4x+3；（2）∵y=x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣1，∴抛物线对称轴为x=2，P（2，﹣1），设M（2，t），且C（0，3），∴MC=，MP=|t+1|，PC=，∵△CPM为等腰三角形，∴有MC=MP、MC=PC和MP=PC三种情况，①当MC=MP时，则有=|t+1|，解得t=，此时M（2，）；②当MC=PC时，则有=2，解得t=﹣1（与P点重合，舍去）或t=7，此时M（2，7）；③当MP=PC时，则有|t+1|=2，解得t=﹣1+2或t=﹣1﹣2，此时M（2，﹣1+2）或（2，﹣1﹣2）；综上可知存在满足条件的点M，其坐标为（2，）或（2，7）或（2，﹣1+2）或（2，﹣1﹣2）；（3）如图，过E作EF⊥x轴，交BC于点F，交x轴于点D，设E（x，x2﹣4x+3），则F（x，﹣x+3），∵0＜x＜3，∴EF=﹣x+3﹣（x2﹣4x+3）=﹣x2+3x，∴S△CBE=S△EFC+S△EFB =EF•OD+EF•BD=EF•OB=×3（﹣x2+3x）=﹣（x ﹣）2+，∴当x=时，△CBE的面积最大，此时E 点坐标为（，），即当E 点坐标为（，）时，△CBE的面积最大．考点：二次函数综合题．9．如图1，在平面直角坐标系中，直线122y x=+与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线212y x bx c=++经过A、C两点，与x轴的另一交点为点B．（1）求抛物线的函数表达式；（2）点D为直线AC上方抛物线上一动点，①连接BC、CD、BD，设BD交直线AC于点E，△CDE的面积为S1，△BCE的面积为S2．求：12SS的最大值；②如图2，是否存在点D ，使得∠DCA ＝2∠BAC ？若存在，直接写出点D 的坐标，若不存在，说明理由． 【答案】（1）213222y x x =--+；（2）①当2a =-时，12S S 的最大值是45；②点D的坐标是(2,3)- 【解析】 【分析】（1）根据题意得到A （-4，0），C （0，2）代入y=-12x 2+bx+c ，于是得到结论； （2）①如图，令y=0，解方程得到x 1=-4，x 2=1，求得B （1，0），过D 作DM ⊥x 轴于M ，过B 作BN ⊥x 轴交于AC 于N ，根据相似三角形的性质即可得到结论；②根据勾股定理的逆定理得到△ABC 是以∠ACB 为直角的直角三角形，取AB 的中点P ，求得P （-32，0），得到PA=PC=PB=52，过D 作x 轴的平行线交y 轴于R ，交AC 的延线于G ，∠DCF=2∠BAC=∠DGC+∠CDG ，解直角三角形即可得到结论． 【详解】解：（1）根据题意得A （-4，0），C （0，2），∵抛物线y=-12x 2+bx+c 经过A ．C 两点， ∴1016422b c c ⎧-⨯-+⎪⎨⎪⎩＝＝， ∴3b=-2c=2⎧⎪⎨⎪⎩， 抛物线解析式为：213222y x x =--+ ; （2）①令0y =， ∴2132022x x --+= 解得：14x =- ,21x = ∴B （1，0）过点D 作DM x ⊥轴交AC 于M ，过点B 作BN x ⊥轴交AC 于点N ，∴DM ∥BN ∴DME BNE ∆∆∽∴12S DE DM S BE BN == 设：213222D a a a ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭，∴122M a a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，∵()10B ， ∴51,2N ⎛⎫⎪⎝⎭∴()22121214225552a aS DM a S BN --===-++ ∴当2a =-时，12S S 的最大值是45;②∵A （-4，0），B （1，0），C （0，2）， ∴55AB=5， ∴AC 2+BC 2=AB 2，∴△ABC 是以∠ACB 为直角的直角三角形， 取AB 的中点P ， ∴P （-32，0）， ∴PA=PC=PB=52， ∴∠CPO=2∠BAC ， ∴tan ∠CPO=tan （2∠BAC ）=43， 过D 作x 轴的平行线交y 轴于R ，交AC 的延长线于G ，如图，∴∠DCF=2∠BAC=∠DGC+∠CDG，∴∠CDG=∠BAC，∴tan∠CDG=tan∠BAC=12，即RC：DR=12，令D（a，-12a2-32a+2），∴DR=-a，RC=-12a2-32a，∴（-12a2-32a）：（-a）=1：2，∴a1=0（舍去），a2=-2，∴x D=-2，∴-12a2-32a+2=3,∴点D的坐标是()2,3-【点睛】本题是二次函数综合题，涉及待定系数法求函数的解析式，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识点，正确的作出辅助线是解题的关键，难度较大．10．若三个非零实数x，y，z满足：只要其中一个数的倒数等于另外两个数的倒数的和，则称这三个实数x，y，z构成“和谐三组数”．(1)实数1，2，3可以构成“和谐三组数”吗？请说明理由；(2)若M(t，y1)，N(t+1，y2)，R(t+3，y3)三点均在函数y＝kx(k为常数，k≠0)的图象上，且这三点的纵坐标y1，y2，y3构成“和谐三组数”，求实数t的值；(3)若直线y＝2bx+2c(bc≠0)与x轴交于点A(x1，0)，与抛物线y＝ax2+3bx+3c(a≠0)交于B(x2，y2)，C(x3，y3)两点．①求证：A，B，C三点的横坐标x1，x2，x3构成“和谐三组数”；②若a ＞2b ＞3c ，x 2＝1，求点P(c a ，ba)与原点O 的距离OP 的取值范围． 【答案】(1)不能，理由见解析；(2)t 的值为﹣4、﹣2或2；(3)①证明见解析；≤OPOP≠1． 【解析】 【分析】（1）由和谐三组数的定义进行验证即可；（2）把M 、N 、R 三点的坐标分别代入反比例函数解析式，可用t 和k 分别表示出y 1、y 2、y 3，再由和谐三组数的定义可得到关于t 的方程，可求得t 的值； （3）①由直线解析式可求得x 1＝﹣cb，联立直线和抛物线解析式消去y ，利用一元二次方程根与系数的关系可求得x 2+x 3＝﹣b a ，x 2x 3＝ca，再利用和谐三数组的定义证明即可；②由条件可得到a+b+c ＝0，可得c ＝﹣(a+b)，由a ＞2b ＞3c 可求得ba的取值范围，令m ＝ba，利用两点间距离公式可得到OP 2关于m 的二次函数，利用二次函数的性质可求得OP 2的取值范围，从而可求得OP 的取值范围． 【详解】（1）不能，理由如下：∵1、2、3的倒数分别为1、12、13， ∴12+13≠1，1+12≠13，1+13≠12， ∴实数1，2，3不可以构成“和谐三组数”；（2）∵M(t ，y 1)，N(t+1，y 2)，R(t+3，y 3)三点均在函数kx(k 为常数，k≠0)的图象上， ∴y 1、y 2、y 3均不为0，且y 1＝k t ，y 2＝1k t +，y 3＝3k t +， ∴11y ＝t k ，21y ＝1t k +，31y ＝3t k+， ∵y 1，y 2，y 3构成“和谐三组数”， ∴有以下三种情况： 当11y ＝21y +31y 时，则t k ＝1t k ++3t k+，即t ＝t+1+t+3，解得t ＝﹣4；当21y ＝11y +31y 时，则1t k +＝t k +3t k+，即t+1＝t+t+3，解得t ＝﹣2；当31y ＝11y +21y 时，则3t k +＝t k +1t k+，即t+3＝t+t+1，解得t ＝2； ∴t 的值为﹣4、﹣2或2； （3）①∵a 、b 、c 均不为0， ∴x 1，x 2，x 3都不为0，∵直线y ＝2bx+2c(bc≠0)与x 轴交于点A(x 1，0)， ∴0＝2bx 1+2c ，解得x 1＝﹣cb， 联立直线与抛物线解析式，消去y 可得2bx+2c ＝ax 2+3bx+3c ，即ax 2+bx+c ＝0， ∵直线与抛物线交与B(x 2，y 2)，C(x 3，y 3)两点， ∴x 2、x 3是方程ax 2+bx+c ＝0的两根， ∴x 2+x 3＝﹣b a ，x 2x 3＝c a， ∴21x +31x ＝2323x x x x +＝b a c a-＝﹣b c ＝11x ，∴x 1，x 2，x 3构成“和谐三组数”； ②∵x 2＝1， ∴a+b+c ＝0， ∴c ＝﹣a ﹣b ， ∵a ＞2b ＞3c ，∴a ＞2b ＞3(﹣a ﹣b)，且a ＞0，整理可得253a b b a>⎧⎨>-⎩，解得﹣35＜b a ＜12，∵P(c a ，ba)， ∴OP 2＝(c a )2+(b a )2＝(a b a --)2+(b a )2＝2(b a )2+2b a +1＝2(b a +12)2+12， 令m ＝b a ，则﹣35＜m ＜12且m≠0，且OP 2＝2(m+12)2+12， ∵2＞0，∴当﹣35＜m ＜﹣12时，OP 2随m 的增大而减小，当m ＝﹣35时，OP 2有最大临界值1325，当m ＝﹣12时，OP 2有最小临界值12， 当﹣12＜m ＜12时，OP 2随m 的增大而增大，当m ＝﹣12时，OP 2有最小临界值12，当m ＝12时，OP 2有最大临界值52，∴12≤OP2<52且OP2≠1，∵P到原点的距离为非负数，∴2≤OP＜10且OP≠1．【点睛】本题为二次函数的综合应用，涉及新定义、函数图象的交点、一元二次方程根与系数的关系、勾股定理、二次函数的性质、分类讨论思想及转化思想等知识．在(1)中注意利用和谐三数组的定义，在(2)中由和谐三数组得到关于t的方程是解题的关键，在(3)①中用a、b、c分别表示出x1，x2，x3是解题的关键，在(3)②中把OP2表示成二次函数的形式是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，特别是最后一问，难度很大．11．已知：如图，抛物线y＝ax2+bx+3与坐标轴分别交于点A，B（﹣3，0），C（1，0），点P是线段AB上方抛物线上的一个动点．（1）求抛物线解析式；（2）当点P运动到什么位置时，△PAB的面积最大？（3）过点P作x轴的垂线，交线段AB于点D，再过点P作PE∥x轴交抛物线于点E，连接DE，请问是否存在点P使△PDE为等腰直角三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由．【答案】（1）y＝﹣x2﹣2x+3 （2）（﹣32，154）（3）存在，P（﹣2，3）或P517-+5317-+【解析】【分析】（1）用待定系数法求解；（2）过点P作PH⊥x轴于点H，交AB于点F，直线AB解析式为y＝x+3，设P（t，﹣t2﹣2t+3）（﹣3＜t＜0），则F（t，t+3），则PF＝﹣t2﹣2t+3﹣（t+3）＝﹣t2﹣3t，根据S△PAB＝S△PAF+S△PBF写出解析式，再求函数最大值；（3）设P （t，﹣t2﹣2t+3）（﹣3＜t＜0），则D（t，t+3），PD＝﹣t2﹣3t，由抛物线y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，由对称轴为直线x＝﹣1，PE∥x轴交抛物线于点E，得y E＝y P，即点E 、P 关于对称轴对称，所以2E Px x +＝﹣1，得x E ＝﹣2﹣x P ＝﹣2﹣t ，故PE ＝|x E ﹣x P |＝|﹣2﹣2t |，由△PDE 为等腰直角三角形，∠DPE ＝90°，得PD ＝PE ，再分情况讨论：①当﹣3＜t≤﹣1时，PE ＝﹣2﹣2t ；②当﹣1＜t ＜0时，PE ＝2+2t 【详解】解：（1）∵抛物线y ＝ax 2+bx +3过点B （﹣3，0），C （1，0）∴933030a b a b -+=⎧⎨++=⎩ 解得：12a b =-⎧⎨=-⎩∴抛物线解析式为y ＝﹣x 2﹣2x +3（2）过点P 作PH ⊥x 轴于点H ，交AB 于点F ∵x ＝0时，y ＝﹣x 2﹣2x +3＝3 ∴A （0，3）∴直线AB 解析式为y ＝x +3 ∵点P 在线段AB 上方抛物线上 ∴设P （t ，﹣t 2﹣2t +3）（﹣3＜t ＜0） ∴F （t ，t +3）∴PF ＝﹣t 2﹣2t +3﹣（t +3）＝﹣t 2﹣3t ∴S △PAB ＝S △PAF +S △PBF ＝12PF •OH +12PF •BH ＝12PF •OB ＝32（﹣t 2﹣3t ）＝﹣32（t +32）2+278∴点P 运动到坐标为（﹣32，154），△PAB 面积最大 （3）存在点P 使△PDE 为等腰直角三角形设P （t ，﹣t 2﹣2t +3）（﹣3＜t ＜0），则D （t ，t +3） ∴PD ＝﹣t 2﹣2t +3﹣（t +3）＝﹣t 2﹣3t ∵抛物线y ＝﹣x 2﹣2x +3＝﹣（x +1）2+4 ∴对称轴为直线x ＝﹣1 ∵PE ∥x 轴交抛物线于点E∴y E ＝y P ，即点E 、P 关于对称轴对称∴2E Px x +＝﹣1 ∴x E ＝﹣2﹣x P ＝﹣2﹣t ∴PE ＝|x E ﹣x P |＝|﹣2﹣2t |∵△PDE 为等腰直角三角形，∠DPE ＝90° ∴PD ＝PE①当﹣3＜t ≤﹣1时，PE ＝﹣2﹣2t ∴﹣t 2﹣3t ＝﹣2﹣2t 解得：t 1＝1（舍去），t 2＝﹣2∴P （﹣2，3）②当﹣1＜t ＜0时，PE ＝2+2t ∴﹣t 2﹣3t ＝2+2t 解得：t 1＝5172-+，t 2＝517--（舍去） ∴P （517-+，5317-+）综上所述，点P 坐标为（﹣2，3）或（5172-+，53172-+）时使△PDE 为等腰直角三角形．【点睛】考核知识点：二次函数的综合.数形结合分析问题，运用轴对称性质和等腰三角形性质分析问题是关键.12．如图，已知二次函数过（﹣2，4），（﹣4，4）两点．（1）求二次函数的解析式；（2）将沿x 轴翻折，再向右平移2个单位，得到抛物线，直线y=m （m ＞0）交于M 、N 两点，求线段MN 的长度（用含m 的代数式表示）；（3）在（2）的条件下，、交于A 、B 两点，如果直线y=m 与、的图象形成的封闭曲线交于C 、D 两点（C 在左侧），直线y=﹣m 与、的图象形成的封闭曲线交于E 、F 两点（E 在左侧），求证：四边形CEFD 是平行四边形．【答案】（1）；（2）；（3）证明见解析．【解析】试题分析：（1）根据待定系数法即可解决问题．（2）先求出抛物线y2的顶点坐标，再求出其解析式，利用方程组以及根与系数关系即可求出MN．（3）用类似（2）的方法，分别求出CD、EF即可解决问题．试题解析：（1）∵二次函数过（﹣2，4），（﹣4，4）两点，∴，解得：，∴二次函数的解析式．（2）∵=，∴顶点坐标（﹣3，），∵将沿x轴翻折，再向右平移2个单位，得到抛物线，∴抛物线的顶点坐标（﹣1，），∴抛物线为，由，消去y整理得到，设，是它的两个根，则MN===；（3）由，消去y整理得到，设两个根为，，则CD===，由，消去y得到，设两个根为，，则EF===，∴EF=CD，EF∥CD，∴四边形CEFD是平行四边形．考点：二次函数综合题．13．如图，已知二次函数y=ax 2+bx+3的图象交x 轴于点A （1，0），B （3，0），交y 轴于点C ．（1）求这个二次函数的表达式；（2）点P 是直线BC 下方抛物线上的一动点，求△BCP 面积的最大值；（3）直线x=m 分别交直线BC 和抛物线于点M ，N ，当△BMN 是等腰三角形时，直接写出m 的值．【答案】（1）这个二次函数的表达式是y=x 2﹣4x+3；（2）S △BCP 最大=278；（3）当△BMN 是等腰三角形时，m 22，1，2．【解析】分析：（1）根据待定系数法，可得函数解析式； （2）根据平行于y 轴直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标，可得PE 的长，根据面积的和差，可得二次函数，根据二次函数的性质，可得答案；（3）根据等腰三角形的定义，可得关于m 的方程，根据解方程，可得答案．详解：（1）将A （1，0），B （3，0）代入函数解析式，得309330a b a b ++⎧⎨++⎩＝＝， 解得14a b ⎧⎨-⎩＝＝， 这个二次函数的表达式是y=x 2-4x+3；（2）当x=0时，y=3，即点C （0，3），设BC 的表达式为y=kx+b ，将点B （3，0）点C （0，3）代入函数解析式，得300k b b +⎧⎨⎩＝＝， 解这个方程组，得13k b -⎧⎨⎩＝＝ 直线BC 的解析是为y=-x+3，过点P 作PE ∥y 轴，交直线BC 于点E （t ，-t+3），PE=-t+3-（t 2-4t+3）=-t 2+3t ，∴S △BCP =S △BPE +S CPE =12（-t 2+3t ）×3=-32（t-32）2+278， ∵-32＜0，∴当t=32时，S △BCP 最大=278. （3）M （m ，-m+3），N （m ，m 2-4m+3） MN=m 2-3m ，2|m-3|，当MN=BM 时，①m 22（m-3），解得2，②m 22m-3），解得2当BN=MN 时，∠NBM=∠BMN=45°，m 2-4m+3=0，解得m=1或m=3（舍）当BM=BN 时，∠BMN=∠BNM=45°，-（m 2-4m+3）=-m+3，解得m=2或m=3（舍），当△BMN 是等腰三角形时，m 22，1，2．点睛：本题考查了二次函数综合题，解（1）的关键是待定系数法；解（2）的关键是利用面积的和差得出二次函数，又利用了二次函数的性质，解（3）的关键是利用等腰三角形的定义得出关于m 的方程，要分类讨论，以防遗漏．14．如图，已知抛物线2(0)y ax bx a =+≠过点3,-3) 和3,0)，过点A 作直线AC//x 轴，交y 轴与点C ．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线上取一点P ，过点P 作直线AC 的垂线，垂足为D ，连接OA ，使得以A ，D ，P 为顶点的三角形与△AOC 相似，求出对应点P 的坐标；（3）抛物线上是否存在点Q ，使得13AOC AOQ S S ∆∆=?若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】（1）213322y x x =-；（2）P 点坐标为（3）或（833,- 43）；（3）Q 点坐标（30）或（315）【解析】【分析】（1）把A 与B 坐标代入抛物线解析式求出a 与b 的值，即可确定出解析式；（2）设P 坐标为2133,2x x x ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，表示出AD 与PD ，由相似分两种情况得比例求出x 的值，即可确定出P 坐标； （3）存在，求出已知三角形AOC 边OA 上的高h ，过O 作OM ⊥OA ，截取OM=h,与y 轴交于点N ，分别确定出M 与N 坐标，利用待定系数法求出直线MN 解析式，与抛物线解析式联立求出Q 坐标即可．【详解】（1）把3A 3)-和点(33B 0)代入抛物线得：33327330a b a b ⎧+=-⎪⎨+=⎪⎩， 解得：12a =，332b =-， 则抛物线解析式为213322y x x =-； （2）当P 在直线AD 上方时，设P 坐标为2133,22x x x ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，则有3AD x =2133322PD x x =-+， 当OCA ADP ∆∆∽时，OC CA AD DP =2331333x x x =--+， 整理得：239318236x x x -+=-，即23113240x x -+=， 解得：11353x ±=，即83x =或3x =此时83(3P ，4)3-； 当OCA PDA ∆∆∽时，OC CA PD AD =，即2313333x x x =--+， 整理得：23963663x x x -+=-，即253120x x -+=，解得：5333x ±=，即43x =或3（舍去）， 此时(43P ，6)；当点()0,0P 时，也满足OCA PDA ∆∆∽；当P 在直线AD 下方时，同理可得：P 的坐标为43(3，10)3-， 综上，P 的坐标为83(，4)3-或(43，6)或43(，10)3-或()0,0； （3）在Rt AOC ∆中，3OC =，3AC =， 根据勾股定理得：23OA =，Q 11··22OC AC OA h =， 32h ∴=， 1333AOC AOQ S S ∆∆==Q ， AOQ ∴∆边OA 上的高为92， 过O 作OM OA ⊥，截取92OM =，过M 作//MN OA ，交y 轴于点N ，如图所示：在Rt OMN ∆中，29ON OM ==，即()0,9N ，过M 作MH x ⊥轴，在Rt OMH ∆中，1924MH OM ==，39324OH OM ==，即93(4M ，9)4， 设直线MN 解析式为9y kx =+， 把M 坐标代入得：99394k =+，即3k =-，即39y x =-+， 联立得：2391332y x y x x ⎧=-+⎪⎨=-⎪⎩， 解得：330x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩或2315x y ⎧=-⎪⎨=⎪⎩，即(33Q ，0)或(23-，15)， 则抛物线上存在点Q ，使得13AOC AOQ S S ∆∆=，此时点Q 的坐标为(33，0)或(23-，15)．【点睛】二次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法求函数解析式，相似三角形的判定与性质，点到直线的距离公式，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．15．如图，抛物线y=ax 2+c （a≠0）经过C （2，0），D （0，﹣1）两点，并与直线y=kx 交于A 、B 两点，直线l 过点E （0，﹣2）且平行于x 轴，过A 、B 两点分别作直线l 的垂线，垂足分别为点M 、N ．（1）求此抛物线的解析式；（2）求证：AO=AM ；（3）探究：①当k=0时，直线y=kx 与x 轴重合，求出此时的值；②试说明无论k取何值，的值都等于同一个常数．【答案】解：（1）y=x2﹣1（2）详见解析（3）详见解析【解析】【分析】（1）把点C、D的坐标代入抛物线解析式求出a、c，即可得解。
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x的k 的图____则，且与yC，，（AABC若不学习必备 欢迎下载O x y 023-xy CA yxO 二次函数图象与系数关系+增减性 36.二次函数c bx ax y +-= 图象如下，则a,b,c 取值范围是37已知y=ax 2+bx+c 的图象如下， 则：a____0 b___0 c___0a+b+c____0，a-b+c__0。
2a+b____0 b 2-4ac___0 4a+2b+c 0 38.二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示． 有下列结论：①240b ac -<； ②0ab >；③0a b c -+=； ④40a b +=；⑤当2y =时，x 等于0．⑥02=++c bx ax 有两个不相等的实数根 ⑦22=++c bx ax 有两个不相等的实数根 ⑧0102=-++c bx ax 有两个不相等的实数根 ⑨42-=++c bx ax 有两个不相等的实数根 其中正确的是（ ）39.已知二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示，下列结论：① 0>abc ；② c a b +<；③024>++c b a ；④ b c 32<；⑤ )(b am m b a +>+，（1≠m 的实数）其中正确的结论有（ ）。
A. 2个 B. 3个 C. 4个D. 5个40.小明从右边的二次函数c bx ax y ++=图象中，观察得出了下面的五条信息：①0a <，②0c =，③函数的最小值为3-，④当0x <时，0y >，⑤当1202x x <<<时，12y y >．你认为其中正确的个数为（ ）Ａ．2 Ｂ．3 Ｃ．4 Ｄ．541.已知二次函数c bx ax y ++=2，其中a b c ，，满足0a b c ++=和930a b c -+=，则该二次函数图象的对称轴是直线 ．42.直已知y=ax 2+bx+c 中a<0，b>0c<0 ，△<0，函数的图象过 象限。
43.若),41(),,45(),,413(321y C y B y A --为二次函数245y x x =+-1y ，2y ，3y 的大小关系是（ ）A ．123y y y << B ．213y y y <<C ．312y y y << D ．132y y y<< 44.在同一平面直角坐标系中，一次函数y ax b =+和二次函数2y ax bx =+的图象可能为（ ）45.二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示，则直线y bx c =+的图象不经过（ ）Ａ．第一象限 Ｂ．第二象限Ｃ．第三象限Ｄ．第四象限46.抛物线y=ax 2+bx+c 的图象如图，OA=OC ，则 （ ）（A ） ac+1=b （B ） ab+1=c（C ）bc+1=a （D ）以上都不是 47.已知二次函数y=a 2x +bx+c,且a ＜0,a-b+c ＞0,则一定有（ ）Ａ 24b ac - ＞0 Ｂ24b ac -＝０Ｃ24b ac -＜０ Ｄ24b ac -≤０48.若二次函数y=ax 2+bx+c 的顶点在第一象限，且经过点（0，1），（-1，0），则S=a+b+c 的变化范围是 ( )（A ）0<S<2 (B) S>1(C) 1<S<2(D)-1<S<149.已知二次函数2y ax bx c =++的图象与x 轴交于点(20)-，、1(0)x ，，且112x <<，与y 轴的正半轴的交点在(02)，的下方．下列结论：①420a b c -+=；②0a b <<；③20a c +>；④210ab -+>．其中正确结论的个数是 个．50.y=x 2＋（1－a ）x ＋1是关于x 的二次函数，当x 的取值范围是1≤x ≤3时，y 在x ＝1时取得最大值，则实数a 的取值范围是（ ）。
A ．a=5B ．a ≥5C ．a ＝3D ．a ≥3 二次函数与方程不等式51.y=ax 2+bx+c 中，a<0，抛物线与x 轴有两个交点A（2，0）B （-1，0），则ax 2+bx+c>0的解是____________; ax 2+bx+c<0的解是____________52.已知二次函数y=x 2+mx+m-5，求证①不论m 取何值y O x y O x y O x y O x ＡＢＣＤ时，抛物线总与x 轴有两个交点；②当m 取何值时，抛物线与x 轴两交点之间的距离最短。
53.如果抛物线y=21x 2-mx+5m 2与x 轴有交点，则m______54.右图是二次函数y 1=ax 2+bx+c 和一次函数y 2=mx+n 的 图像，•观察图像写出y 2≥y 1时，x 的取值范围_______． 55.已知函数y 1＝x 2与函数y 2＝－12x ＋3的图象大致如图，若y 1＜y 2，则自变量x 的取值范围是（ ）．A.－32＜x ＜2 B ．x ＞2或x ＜－32C ．－2＜x ＜32D ． x ＜－2或x ＞3256.实数X,Y满足0332=-++y x x 则X+Y 的最大值为 .57.如图，是二次函数y=ax 2+bx+c 图象的一部分，其对称轴为直线x =1，若其与x 轴一交点为A （3，0），则由图象可知，不等式ax 2+bx+c ＜0的解集是 . 形积专题１. 58如图，抛物线c bx x y ++-=2与x 轴交与A(1,0),B(-3，0)两点，顶点为D 。
交Y 轴于C(1)求该抛物线的解析式与△ABC 的面积。
(2)在抛物线第二象限图象上是否存在一点M ，使△MBC 是以∠BCM 为直角的直角三角形，若存在，求出点P 的坐标。
若没有，请说明理由.(3)若E 为抛物线B 、C 两点间图象上的一个动点(不与A 、B 重合)，过E 作EF 与X 轴垂直，交BC 于F ，设E 点横坐标为x.EF 的长度为L ， 求L 关于X 的函数关系式？关写出X 的取值范围？当E 点运动到什么位置时，线段EF 的值最大，并求此时E 点的坐标？.(4)在（5）的情况下直线BC 与抛物线的对称轴交于点H 。
当E 点运动到什么位置时,以点E 、F 、H 、D 为顶点的四边形为平行四边形？.(5)在（5）的情况下点E 运动到什么位置时，使三角形BCE 的面积最大？64.如图，抛物线24y ax bx a =+-经过(10)A -，、(04)C ，两点，与x 轴交于另一点B ．（1）求抛物线的解析式；（2）已知点(1)D m m +，在第一象限的抛物线上，求点D 关于直线BC 对称的点的坐标；66.如图所示，已知抛物线21y x =-与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ． 求A 、B 、C 三点的坐标．过A 作AP ∥CB 交抛物线于点P ，求四边形ACBP 的面积．67.在x 轴上方的抛物线上是否存在一点M ，过M 作MG ⊥x 轴点G ，使以A 、M 、G 三点为顶点的三角形与∆PCA 相似．若存在，请求出M 点的坐标；否则，请说明理由．图4D C BA 25m二次函数极值问题68.二次函数2y ax bx c =++中，2b ac =，且0x =时4y =-，则（ ）A.4y =-最大 B.4y =-最小 C.3y =-最大 D.3y =-最小69.已知二次函数22)3()1(-+-=x x y ，当x ＝_________时，函数达到最小值。
70.若一次函数的图像过第一、三、四象限,则函数（ ） A.最大值 B..最大值 C.最小值 D.有最小值71.若二次函数2()y a x h k =-+的值恒为正值, 则 _____. A. 0,0a k <> B. 0,0a h >>C. 0,0a k >>D. 0,0a <<72.函数92+-=x y 。
当-2<X<4时函数的最大值为73.若函数322-+=x x y ，当24-≤≤-x 函数值有最 值为二次函数应用利润问题40元的苹果，物价部门规定每箱售价不得高于55元，市场调查发现，若每箱以50元的价格调查，平均每天销售90箱，价格每提高1元，平均每天少销售3箱．（1）求平均每天销售量y （箱）与销售价x （元/箱）之间的函数关系式．（3分）（2）求该批发商平均每天的销售利润w （元）与销售价x （元/箱）之间的函数关系式．（3分）（3）当每箱苹果的销售价为多少元时，可以获得最大利润？最大利润是多少？（4分）75随着绿城南宁近几年城市建设的快速发展，对花木的需求量逐年提高。
某园林专业户计划投资种植花卉及树木，根据市场调查与预测，种植树木的利润1y 与投资量x 成正比例关系，如图12-①所示；种植花卉的利润2y 与投资量x 成二次函数关系，如图12-②所示（注：利润与投资量的 单位：万元）（1）分别求出利润1y 与2y 关于投资量x 的函数关系式；（2）如果这位专业户以8万元资金投入种植花卉和树木，他至少获得多少利润？他能获取的最大利润是多少？76.我区某工艺厂为迎接建国60周年，设计了一款成本为20元 ∕ 件的工艺品投放市场进行试销．经过调查，其中工艺品的销售单价x （元 ∕ 件）与每天销售量y （件）之间满足如图3-4-14所示关系． （1）请根据图象直接写出当销售单价定为30元和40元时相应的日销售量；（2）①试求出y 与x 之间的函数关系式；②若物价部门规定，该工艺品销售单价最高不能超过45元/件，那么销售单价定为多少时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润最大？最大利润是多少？（利润=销售总价－成本总价）。
二次函数应用几何面积问题与最大最小问题 78.（韶关市）为了改善小区环境，某小区决定要在一块一边靠墙（墙长25m ）的空地上修建一个矩形绿化带ABCD ，绿化带一边靠墙，另三边用总长为40m 的栅栏围住若设绿化带的BC 边长为xm ，绿化带的面积为ym ². 求y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围； 当x 为何值时，满足条件的绿化带的面积最大？ 二次函数与四边形及动点问题 80.如图，等腰梯形ABCD 中，AB =4，CD =9，∠C =60°，动点P 从点C 出发沿CD 方向向点D 运动，动点Q 同时以相同速度从点D 出发沿DA 方向向终点A 运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动. （1）求AD 的长； （2）设CP =x ，问当x 为何值时△PD Q 的面积达到最大，并求出最大值；82.如图: 在一块底边BC 长为80㎝、BC 边上高为60㎝的三角形ABC 铁板上截出一块矩形铁板EFGH , 使矩形的一边FG 在BC 边上, 设EF 的长为x ㎝, 矩形EFGH 的面积为y 2cm . (1) 试写出y 与x 之间的函数关系式, (2) 当x 取何值时, y 有最大值? 是多少?(第83.如图3-4-29所示，矩形ABCD 中，AB=8，BC=6，P 是线段BC 上一点（P 不与B 重合），M 是DB 上一点，且BP=DM ，设BP=x ，△MBP 的面积为y ，则y 与x 之间的函数关系式为 。