广西百所示范性中学2015届高三第一次大联考数学试题 扫描版含答案

广西百所示范性中学2015届高三第一次大联考2015届百所示范性中学高三年级第一次大联考理数试题部分评分细则一、选择题1．D 【解析】2i1＋i ＝2i （1－i ）（1＋i ）（1－i ）＝2i （1－i ）2＝i(1－i)＝1＋i.2．C 【解析】解得N ＝{x |－3<x <0}，M ＝{x |x <－1}，由图中阴影部分可知，表示的是∁U M ∩N ＝{x |－1≤x <0}．3．A 【解析】由x 与y 正相关可排除C ，又回归方程过点(x －，y －)，将x －＝3，y －＝3.5代入方程验算可知A 正确．4．B 【解析】由题可知能输出的函数是偶函数且存在零点，所以只有f ()x ＝cos x 正确，f (x )＝x 2＋1是偶函数但不存在零点，所以A 不正确，f ()x ＝e x 不是偶函数也不存在零点，所以C 不正确，f ()x ＝1x不是偶函数也不存在零点，所以D 不正确，综合可知只有B 正确．5．C 【解析】l 1∥l 2时，m ＝32，l 2：3x ＋4y ＋8＝0，d ＝|8＋2|32＋42＝105＝2，选C.6．C 【解析】由题意得a 1＝3，a 2＝7，a 3＝1，a 4＝7，a 5＝7，a 6＝9，a 7＝3，a 8＝7，其循环周期为6，则2 015÷6＝335…5，所以a 2 015＝a 5＝7.7．B 【解析】因为a ⊥b ，所以2()x －z ＋y ＋z ＝0，∴z ＝2x ＋y ，由可行域可知函数在()1，1点有最大值3.8. A 【解析】y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －π6――→横坐标伸长到原来的2倍y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6――→向左平移π4个单位y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4－π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，所以函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的对称轴为2x ＋π3＝π2＋k π，k ∈Z ，即x ＝π12＋k π2，k ∈Z ，令k ＝0，x ＝π12为函数y ＝⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的一条对称轴．9．C 【解析】由双曲线C 1：x 2－y 23＝1，可得a 1＝1，b 1＝3，c ＝2.设椭圆C 2的方程为x 2a 2＋y2b2＝1，(a >b >0)．则||F 1A －||F 2A ＝2a 1＝2，||F 1A ＋||F 2A ＝2a ，∴2||F 1A ＝2a ＋2，∵||F 1F 2＝||F 1A ＝2c ＝4，∴2×4＝2a ＋2，a ＝3.则C 2的离心率＝c a ＝23.10．C 【解析】由三视图可知该几何体的底面形状为60°中心角为的扇形，其高为3，所以侧面积为2×3×2＋2π×26×3＝12＋2π.11．A 【解析】因为e x f (x )>e x ＋3⇔e x f ()x －e x －3>0，设h ()x ＝e x f ()x －e x －3，则h ′()x ＝e xf ()x ＋e x f ′()x －e x ＝e x []f ()x ＋f ′()x －1>0，所以h ()x 为增函数，又因为h ()0＝0，所以h ()x >0的解集为x>0.12．D 【解析】设O 是△ABC 的三边中垂线的交点，故O 是三角形外接圆的圆心，如图所示，延长AO 交外接圆于D ，AD 是⊙O 的直径，∴∠ACD ＝∠ABD ＝90°，cos ∠CAD ＝ACAD，cos ∠BAD ＝AB AD ，∴AO →·BC →＝12AD →·()AC →－AB →＝12AD →·AC →－12AD →·AB →＝12||AC →2－12||AB →2＝ 12b 2－12c 2＝12b 2－12()2b －b 2＝b 2－b ＝⎝⎛⎫b －122－14，∵c 2＝2b －b 2>0，∴0<b <2.令f ()b ＝⎝⎛⎭⎫b －122－14，所以当b ＝12时，有最小值－14.∵f ()0＝0，f ()2＝2，所以－14≤f ()b <2，所以BC →·AO →的范围是⎣⎡⎭⎫－14，2. 二、填空题13.3π3【解析】由题意得：l ＝2，2πr ＝π×2，r ＝1，h ＝l 2－r 2＝3，所以圆锥的体积为V＝13h πr 2＝3π3. 14．6【解析】设第T r ＋1项为常数项，则T r ＋1＝()－1rC r n x 2n －3r，∴2n －3r ＝0，∴C r n ＝15， ∵C 46＝C 26＝15，∴n ＝6，r ＝4. 15.23【解析】因为y ＝x 2，所以在第一象限有x ＝y ，则在第一象限的阴影部分的面积为⎠⎛01ydy ＝⎪⎪23y 3210＝23，所以概率为23×42×2＝23，故答案为23.16．e 2【解析】设数列{a n }的公比q ，则q >0，因为a 3a 4a 5＝a 34＝1，所以a 4＝1，①当q >1时，则0<a 1<a 2<a 3<a 4＝1<a 5<a 6，∴f (a 1)＋f (a 2)＋…＋f (a 6)＝ln a 1a 1＝2a 1，∵ln a 1<0，所以等式不成立；②当q ＝1时，则a 1＝a 2＝…a 6＝1，f (a 1)＋f (a 2)＋…＋f (a 6)＝0≠2a 1；③当0<q <1时，则a 1>a 2>a 3>a 4＝1>a 5>a 6>0，∴f (a 1)＋f (a 2)＋…＋f (a 6)＝a 1ln a 1＝2a 1，∴a 1＝e 2.17题评分细则（共12分）【解析】(1)由sin B sin A ＝1－cos Bcos A 得sin B cos A ＝sin A －sin A cos B ，(2分)所以sin ()B ＋A ＝sin A ，sin ()π－C ＝sin A ，C ＝A ，(4分) 因此△ABC 为正三角形． ∴∠A ＝π3.(6分)(2)设该三角形的边长为a ，则S OABC ＝12×1×2sin θ＋34a 2(8分)＝sin θ＋34()12＋22－2×2cos θ(10分) ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＋534.(11分)显然当θ＝5π6时()S OABC max＝8＋534.(12分)18题评分细则（共12分)【解析】(1)由直方图得：轻度拥堵的路段个数是()0.1＋0.2×1×20＝6个，(2分) 中度拥堵的路段个数是()0.25＋0.2×1×20＝9.(4分) (2) X 的可能取值为0，1，2，3.(5分)P ()X ＝0＝C 311·C 09C 320＝1176，P ()X ＝1＝C 211·C 19C 320＝3376，P ()X ＝2＝C 111·C 29C 320＝3395，P ()X ＝3＝C 011·C 39C 320＝795.(9分)（每算对一个给1分） 所以X 的分布列为(10分)E ()X ＝0×1176＋1×3376＋2×3395＋3×795＝513380.(12分)19题评分细则（共12分)【解析】解法一：(1)以C 为原点，分别以CB 、CA 、CC 1为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，(1分)则F (1，0，0)，E (1，1，0)，A (0，2，0)，C 1(0，0，2)， AC 1→＝(0，－2，2)．(2分)设G (0，2，h )，则EG →＝(－1，1，h )．∵AC 1⊥EG ，∴EG →·AC 1→＝0. (4分)∴－1×0＋1×(－2)＋2h ＝0.∴h ＝1，即G 是AA 1的中点．(5分)(2)设m ＝(x ，y ，z )是平面EFG 的法向量，则m ⊥FE →，m ⊥EG →.(6分)所以⎩⎪⎨⎪⎧0×x ＋1×y ＋0×z ＝0，－x ＋y ＋z ＝0.令x ＝1，则平面EFG 的一个法向量为m ＝(1，0，1)．(8分)∵sin θ＝|m ·AC 1→||m |·|AC 1→|＝22×22＝12，(10分)∴θ＝π6， 即AC 1与平面EFG 所成角θ为π6.(12分)解法二：(1)取AC 的中点D ，连结DE 、DG ，则ED ∥BC ，(1分) ∵BC ⊥AC ，∴ED ⊥AC .又CC 1⊥平面ABC ，而ED ⊂平面ABC ，∴CC 1⊥ED . ∵CC 1∩AC ＝C ，∴ED ⊥平面A 1ACC 1.(3分) 又∵AC 1⊥EG ，∴AC 1⊥DG .(4分) 连结A 1C ，∵AC 1⊥A 1C ，∴A 1C ∥DG . ∵D 是AC 的中点，∴G 是AA 1的中点. (5分)(2)取CC 1的中点M ，连结GM 、FM ，则EF ∥GM,∴E 、F 、M 、G 共面．作C 1H ⊥FM ，交FM 的延长线于H ，∵AC ⊥平面BB 1C 1C ，C 1H ⊂平面BB 1C 1C ，∴AC ⊥C 1H ，(8分)又AC ∥GM ，∴GM ⊥C 1H . ∵GM ∩FM ＝M ，∴C 1H ⊥平面EFG ，设AC 1与MG 相交于N 点，所以∠C 1NH 为直线AC 1与平面EFG 所成角θ. (10分)因为C 1H ＝22，C 1N ＝2，∴sin θ＝222＝12，∴θ＝π6. (12分)20题评分细则（共12分)【解析】(1)设M ()x ，y ，P ()0，y ′，Q ()x ′，0，∵PM →＝－32MQ →，HP →·PM →＝0. (1分)∴()x ，y －y ′＝－32()x ′－x ，－y ，()3，y ′·()x ，y －y ′＝0，(2分)∴x ′＝13x ，y ′＝－12y ，3x ＋yy ′－y ′2＝0，∴y 2＝4x ()x >0，(4分)所以动点M 的轨迹C 是以()0，0为顶点，以()1，0为焦点的抛物线(除去原点). (5分) (2)①当直线l 与x 轴垂直时，根据抛物线的对称性，有∠AED ＝∠BED ；(6分) ②当l 与x 轴不垂直时，依题意可设直线l 的方程为y ＝k ()x －m()k≠0，m >0，设A ()x 1，y 1，B ()x 2，y 2，则A 、B 两点的坐标满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k ()x －m y 2＝4x ()x >0，(7分)消去x 并整理得ky 2－4y －4km ＝0，∴y 1＋y 2＝4k ，y 1y 2＝－4m . (8分)设直线AE 和BE 的斜率分别为k 1，k 2，则k 1＋k 2＝y 1x 1＋m ＋y 2x 2＋m ＝14y 1y 22＋14y 2y 21＋m ()y 1＋y 2()x 1＋m ()x 2＋m＝14y 1y 2()y 1＋y 2＋m ()y 1＋y 2()x 1＋m ()x 2＋m ＝14()－4m ⎝⎛⎭⎫4k ＋4m k ()x 1＋m ()x 2＋m ＝0，(10分) ∴tan ∠AED ＋tan ()180°－∠BED ＝0，∴tan ∠AED ＝tan ∠BED .∵0<∠AED <π2，0<∠BED <π2，∴∠AED ＝∠BED . (11分) 综合①②可知∠AED ＝∠BED .(12分)21题评分细则（共12分)【解析】(1)由题意a >0，f ′(x )＝e x －a ，由f ′(x )＝e x －a ＝0得x ＝ln a . (1分)当x ∈(－∞，ln a )时，f ′(x )<0；当x ∈(ln a ，＋∞)时，f ′(x )>0.∴f (x )在(－∞，ln a )单调递减，在(ln a ，＋∞)单调递增．(2分)即f (x )在x ＝ln a 处取得极小值，且为最小值，其最小值为f (ln a )＝e ln a －a ln a －1＝a －a ln a －1.(3分)f (x )≥0对任意的x ∈R 恒成立，即在x ∈R 上，f (x )min ≥0. (4分)设g (a )＝a －a ln a －1，所以g (a )≥0.由g ′(a )＝1－ln a －1＝－ln a ＝0得a ＝1. (5分)易知g (a )在区间(0，1)上单调递增，在区间(1，＋∞)上单调递减，∴g (a )在a ＝1处取得最大值，而g (1)＝0.因此g (a )≥0的解为a ＝1，∴a ＝1.(6分)(2)由(1)知，对任意实数x 均有e x －x －1≥0，即1＋x ≤e x . (7分)令x ＝－k n (n ∈N *，k ＝0，1，2，3，…，n －1)，则0<1－k n ≤e －k n.(8分) ∴⎝⎛⎭⎫1－k n n ≤⎝⎛⎭⎫e －k n n ＝e －k . (9分)∴⎝⎛⎭⎫1n n ＋⎝⎛⎭⎫2n n ＋…＋⎝ ⎛⎪⎫n －1n n ＋⎝⎛⎭⎫n n n≤e －(n －1)＋e －(n －2)＋…＋e －2＋e －1＋1＝1－e －n1－e －1<11－e －1＝e e －1.(12分)选做题：请考生在22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写清题号． 22题评分细则（共10分)【解析】(1)由弦切角定理知∠DBE ＝∠DAB ，(2分)由∠DBC ＝∠DAC ，∠DAB ＝∠DAC ，(3分)所以∠DBE ＝∠DBC ，即BD 平分∠CBE .(4分)(2)由(1)可知BE ＝BH ，(5分)所以AH ·BH ＝AH ·BE ，(6分)因为∠DAB ＝∠DAC ，∠ACB ＝∠ABE ，所以△AHC ∽△AEB ，(8分)所以AH AE ＝HC BE，即AH ·BE ＝AE ·HC ，(9分) 即AH ·BH ＝AE ·HC .(10分)23题评分细则（共10分)【解析】(1)由ρ＝4cos θ得ρ2＝4ρcos θ，(1分)结合极坐标与直角坐标的互化公式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θy ＝ρsin θ得x 2＋y 2＝4x ，(3分) 即(x －2)2＋y 2＝4.(4分)(2)由直线l 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋3ty ＝t (t 为参数)化为普通方程得，x －3y －a ＝0. (7分) 结合圆C 与直线l 相切，得|2－a |1＋3＝2，(9分) 解得a ＝－2或6.(10分)24题评分细则（共10分)②当a ＝1时，不等式的解集为{x |x ＝1}；(9分) ③当a <1时，不等式的解集为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2＋a 3，2－a .(10分)。