2021年广西高考数学模拟试卷及答案解析
2021届广西新高考数学模拟试卷解析版
2021届广西新高考数学模拟试卷解析版
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项
中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知集合A＝{x|x2﹣x﹣2＜0}，B＝Z，则A∩B＝（）
A．{﹣1，0，1，2}B．{0，1，2}C．{0，1}D．{1}【分析】可求出集合A，然后进行交集的运算即可．
【解答】解：A＝{x|﹣1＜x＜2}，且B＝Z；
∴A∩B＝{0，1}．
故选：C．
【点评】考查描述法、列举法的定义，以及交集的运算．
2．已知i为虚数单位，复数z满足（2﹣i）z＝1，则复数z的虚部为（）
A ．
B ．
C ．
D ．
【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．
【解答】解：由（2﹣i）z＝1，
得z ＝，
∴复数z 的虚部为．
故选：D．
【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3．甲乙两名同学6次考试的成绩统计如图，甲乙两组数据的平均数分别为、
标准差分别为σ
甲、σ
乙
，则（）
A ．＜，σ甲＜σ乙
B ．＜，σ甲＞σ乙
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2021年广西名校高考数学一模试卷(理科) (解析版)
2021年广西名校高考数学一模试卷（理科）一、选择题（每小题5分）.1．设集合A＝，集合B＝．则A∪∁R B＝（）A．（6，）B．（6，]C．（6，）D．R2．警察抓了4名偷窃嫌疑人甲、乙、丙、丁，甲、乙、丙、丁四人相互认识，警察将四名嫌疑人分别进行审问．甲说：“是乙和丙其中一个干的．”乙说：“我和甲都没干．”丙说：“我和乙都没干．”丁说：“我没干．”已知四人中有两人说谎，且只有一人偷窃，下列两人不可能同时说谎的是（）A．甲和乙B．乙和丙C．丙和丁D．丁和甲3．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝1，M，N分别是AB、BC的中点，平面B1AC 分别与D1M、D1N交于P、Q两点，则S＝（）A．B．C．D．4．在四面体ABCD中，AB＝6，BC＝3，BD＝4，若∠ABC与∠ABD互余，则的最大值为（）A．20B．30C．40D．505．（x﹣1）（x2﹣1）（x3﹣1）（x4﹣1）（x5﹣1）的展开式中各项的指数之和再减去各项系数乘以各项指数之和的值为（）A．0B．55C．90D．1206．＝（）A．1B．﹣1C．2D．﹣27．执行如图所示的程序框图，结果是（）A．162B．171C．180D．无输出8．＝（）A．B．C．D．9．已知a＝，b＝，c＝1﹣ln2，则（）A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．b＜a＜c D．c＜b＜a10．已知数列a n＝a n﹣12+3a n﹣1，a1＝2，则log2（a6+1）＝（）A．63log23﹣31B．33log23﹣15C．63log32﹣31D．33log32﹣15 11．已知椭圆＝1上有相异的三点A，B，C，则S△ABC的最大值为（）A．B．C．D．12．若a、b是小于180的正整数，且满足＝．则满足条件的数对（a，b）共有（）A．2对B．6对C．8对D．12对二、填空题：本大题共四小题，每小题5分，共20分.13．已知恒正函数f（x）＝x2f′（x），f（1）＝．若x1、x2、x3＜0，且x1+x2+x3＝﹣ln2．则的最大值为．14．在平面直角坐标系中，A（﹣2，0），B（0，1），C为x2+y2＝1上的动点，则|AC|+|BC|的取值范围为．15．已知△ABC满足AB＝1，AC＝2，cos A＝．若E为△ABC内一点，满足λ（λ∈R），且＝0，延长AE至BC交于点D，则＝．16．已知数列{a n}和{b n}满足a1＝2，b1＝1，a n+b n＝b n+1，a n+1+b n+1＝4a n，则＝．三、解答题：共70分.解答应写出必要的文字说明.证明过程或演算步骤.17-21为必考题，每个试题考生都必须作答。
广西省钦州市2021届新高考数学考前模拟卷(3)含解析
广西省钦州市2021届新高考数学考前模拟卷（3）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知M 是函数()ln f x x =图象上的一点，过M 作圆2220x y y +-=的两条切线，切点分别为,A B ，则MA MB ⋅u u u r u u u r的最小值为（ ）A ．3B ．1-C ．0D ．32- 【答案】C 【解析】 【分析】先画出函数图像和圆，可知MA MB =，若设2AMB θ∠=，则1tan MA MB θ==u u u v u u u v，所以2221||cos 22sin 3sin MA MB MA θθθ⋅==+-u u u v u u u v u u u v ，而要求MA MB ⋅u u u r u u u r 的最小值，只要sin θ取得最大值，若设圆2220x y y +-=的圆心为C ，则1sin MCθ=，所以只要MC 取得最小值，若设(,ln )M x x ，则222||(ln 1)MC x x =+-，然后构造函数22()(ln 1)g x x x =+-，利用导数求其最小值即可.【详解】记圆2220x y y +-=的圆心为C ，设AMC θ∠=，则11,sin tan MA MB MCθθ===u u u v u u u v ，设222(,ln ),||(ln 1)M x x MC x x =+-，记22()(ln 1)g x x x =+-，则212()22(ln 1)(ln 1)g x x x x x x x=+⋅=+-'-，令2()ln 1h x x x =+-， 因为2()ln 1h x x x =+-在(0,)+∞上单调递增，且(1)0h =，所以当01x <<时，()(1)0,()0h x h g x <=<'；当1x >时，()(1)0,()0h x h g x >=>'，则()g x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增，所以min ()(1)2g x g ==，即sin 2MC θ<2221||cos 22sin 30sin MA MB MA θθθ⋅==+-≥u u u v u u u v u u u v （当sin 2θ=时等号成立）. 故选：C【点睛】此题考查的是两个向量的数量积的最小值，利用了导数求解，考查了转化思想和运算能力，属于难题.2．(),0F c -为双曲线2222:1x y E a b -=的左焦点，过点F 的直线与圆22234x y c +=交于A 、B 两点，（A在F 、B 之间）与双曲线E 在第一象限的交点为P ，O 为坐标原点，若FA BP =u u u r u u u r ，且23100OA OB c ⋅=-u u u r u u u r ，则双曲线E 的离心率为（ ） A 5B ．52C 5D ．5【答案】D 【解析】 【分析】过点O 作OM PF ⊥，可得出点M 为AB 的中点，由23100OA OB c ⋅=-u u u r u u u r 可求得cos AOB ∠的值，可计算出cos2AOB∠的值，进而可得出OM ，结合FA BP =u u u r u u u r 可知点M 为PF 的中点，可得出PF '，利用勾股定理求得PF （F '为双曲线的右焦点），再利用双曲线的定义可求得该双曲线的离心率的值. 【详解】如下图所示，过点O 作OM PF ⊥，设该双曲线的右焦点为F '，连接PF '.2333cos 22100OA OB AOB c ⋅=⋅⋅∠=-u u u r u u u r ，1cos 25AOB ∴∠=-.1cos 23cos22AOB AOB ∠+∠∴==， 3cos 25AOB OM OA c ∠∴==， FA BP=u u u r u u u r Q ，M ∴为PF 的中点，//PF OM '∴，90FPF '∠=o ，625c PF OM '==， ()22825c PF c PF '∴=-=，由双曲线的定义得2PF PF a '-=，即225ca =， 因此，该双曲线的离心率为5ce a==.故选：D. 【点睛】本题考查双曲线离心率的求解，解题时要充分分析图形的形状，考查推理能力与计算能力，属于中等题. 3．现有甲、乙、丙、丁4名学生平均分成两个志愿者小组到校外参加两项活动,则乙、丙两人恰好参加同一项活动的概率为 A ．12B ．13C ．16D ．112【答案】B 【解析】 【分析】求得基本事件的总数为222422226C C n A A =⨯=，其中乙丙两人恰好参加同一项活动的基本事件个数为2222222m C C A ==,利用古典概型及其概率的计算公式，即可求解.【详解】由题意，现有甲乙丙丁4名学生平均分成两个志愿者小组到校外参加两项活动，基本事件的总数为222422226C C n A A =⨯=， 其中乙丙两人恰好参加同一项活动的基本事件个数为2222222m C C A ==,所以乙丙两人恰好参加同一项活动的概率为13m p n ==，故选B. 【点睛】本题主要考查了排列组合的应用，以及古典概型及其概率的计算问题，其中解答中合理应用排列、组合的知识求得基本事件的总数和所求事件所包含的基本事件的个数，利用古典概型及其概率的计算公式求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.4．一个几何体的三视图如图所示，正视图、侧视图和俯视图都是由一个边长为a 的正方形及正方形内一段圆弧组成，则这个几何体的表面积是（ ）A ．234a π⎛⎫-⎪⎝⎭B ．262a π⎛⎫-⎪⎝⎭C ．264a π⎛⎫-⎪⎝⎭D ．2364a π⎛⎫-⎪⎝⎭【答案】C 【解析】 【分析】画出直观图，由球的表面积公式求解即可 【详解】这个几何体的直观图如图所示，它是由一个正方体中挖掉18个球而形成的，所以它的表面积为2222213346484a S a a a a πππ⎛⎫⎛⎫=+-+⨯=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：C【点睛】本题考查三视图以及几何体的表面积的计算，考查空间想象能力和运算求解能力. 5．下列图形中，不是三棱柱展开图的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】 【分析】根据三棱柱的展开图的可能情况选出选项. 【详解】由图可知，ABD 选项可以围成三棱柱，C 选项不是三棱柱展开图. 故选：C 【点睛】本小题主要考查三棱柱展开图的判断，属于基础题.6．已知双曲线C ：22221x y a b-=()0,0a b >>的左右焦点分别为1F ，2F ，P 为双曲线C 上一点，Q 为双曲线C 渐近线上一点，P ，Q 均位于第一象限，且22QP PF =u u u u v u u u v ，120QF QF ⋅=u u u u vu u u v ，则双曲线C 的离心率为（ ） A 31 B ．31C 132D 132【答案】D 【解析】由双曲线的方程22221x y a b-=的左右焦点分别为12,F F ，P 为双曲线C 上的一点，Q 为双曲线C 的渐近线上的一点，且,P Q 都位于第一象限，且2122,0QP PF QF QF =⋅=u u u u v u u u u vu u u v u u u v ， 可知P 为2QF 的三等分点，且12QF QF ⊥u u u ru u u u r,点Q 在直线0bx ay -=上，并且OQ c =，则(,)Q a b ，2(,0)F c ， 设11(,)P x y ，则11112(,)(,)x a y b c x y --=--， 解得1122,33a c b x y +==，即22(,)33a c bP +， 代入双曲线的方程可得22(2)1144a c a +-=，解得132c e a ==，故选D ．点睛：本题考查了双曲线的几何性质，离心率的求法，考查了转化思想以及运算能力，双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出,a c ，代入公式ce a=；②只需要根据一个条件得到关于,,a b c 的齐次式，转化为,a c 的齐次式，然后转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)，即可得e (e 的取值范围)． 7．设i 为虚数单位，若复数(1)22z i i -=+，则复数z 等于( ) A ．2i - B ．2iC ．1i -+D ．0【答案】B 【解析】 【分析】根据复数除法的运算法则，即可求解. 【详解】22(1)22,21iz i i z i i+-=+==-. 故选:B. 【点睛】本题考查复数的代数运算，属于基础题.8．单位正方体ABCD-1111D C B A ，黑、白两蚂蚁从点A 出发沿棱向前爬行，每走完一条棱称为“走完一段”．白蚂蚁爬地的路线是AA 1→A 1D 1→‥，黑蚂蚁爬行的路线是AB→BB 1→‥，它们都遵循如下规则：所爬行的第i+2段与第i 段所在直线必须是异面直线（i ∈N *）.设白、黑蚂蚁都走完2020段后各自停止在正方体的某个顶点处，这时黑、白两蚂蚁的距离是（ ）A ．1B ．C D ．0【答案】B 【解析】 【分析】根据规则，观察黑蚂蚁与白蚂蚁经过几段后又回到起点，得到每爬1步回到起点，周期为1．计算黑蚂蚁爬完2020段后实质是到达哪个点以及计算白蚂蚁爬完2020段后实质是到达哪个点，即可计算出它们的距离． 【详解】由题意,白蚂蚁爬行路线为AA 1→A 1D 1→D 1C 1→C 1C→CB→BA ， 即过1段后又回到起点， 可以看作以1为周期， 由202063364÷=L ，白蚂蚁爬完2020段后到回到C 点；同理,黑蚂蚁爬行路线为AB→BB 1→B 1C 1→C 1D 1→D 1D→DA ， 黑蚂蚁爬完2020段后回到D 1点，所以它们此时的距离为2. 故选B. 【点睛】本题考查多面体和旋转体表面上的最短距离问题，考查空间想象与推理能力，属于中等题.9．正ABC ∆的边长为2，将它沿BC 边上的高AD 翻折，使点B 与点C 间的距离为3，此时四面体A BCD -的外接球表面积为（ ）A ．103πB ．4πC ．133πD ．7π【答案】D 【解析】 【分析】如图所示，设AD 的中点为2O ，BCD ∆的外接圆的圆心为1O ，四面体A BCD -的外接球的球心为O ，连接12,,OO OO OD ，利用正弦定理可得11DO =，利用球心的性质和线面垂直的性质可得四边形21OO DO 为平行四边形，最后利用勾股定理可求外接球的半径，从而可得外接球的表面积.【详解】如图所示，设AD 的中点为2O ，BCD ∆外接圆的圆心为1O ，四面体A BCD -的外接球的球心为O ，连接12,,OO OO OD ，则1OO ⊥平面BCD ，2OO AD ⊥.因为1,CD BD BC ===，故231cos 2112BDC -∠==-⨯⨯，因为()0,BDC π∠∈，故23BDC π∠=.由正弦定理可得122sin 3DO ==，故11DO =，又因为AD =2DO =. 因为,,AD DB AD CD DB CD D ⊥⊥⋂=，故AD ⊥平面BCD ，所以1//OO AD ， 因为AD ⊥平面BCD ，1DO ⊂平面BCD ，故1AD DO ⊥，故21//OO DO ， 所以四边形21OO DO为平行四边形，所以122OO DO ==，所以OD ==2，外接球的表面积为74=74ππ⨯. 故选：D. 【点睛】本题考查平面图形的折叠以及三棱锥外接球表面积的计算，还考查正弦定理和余弦定理，折叠问题注意翻折前后的变量与不变量，外接球问题注意先确定外接球的球心的位置，然后把半径放置在可解的直角三角形中来计算，本题有一定的难度.10．已知函数()()()2sin 0f x x b ωϕω=++>，88f x f x ππ+=-（）（），且58f π=（），则b =（ ） A ．3 B ．3或7C ．5D ．5或8【答案】B 【解析】 【分析】根据函数的对称轴8x π=以及函数值，可得结果.【详解】函数()()()2sin 0f x x b ωϕω=++>，若88f x f x ππ+=-（）（），则()f x 的图象关于8x π=对称， 又58f π=（），所以25b +=或25b -+=， 所以b 的值是7或3. 故选：B. 【点睛】本题考查的是三角函数的概念及性质和函数的对称性问题，属基础题11．若i 为虚数单位，网格纸上小正方形的边长为1，图中复平面内点Z 表示复数z ，则表示复数2iz的点是（ ）A ．EB ．FC ．GD ．H【答案】C 【解析】 【分析】由于在复平面内点Z 的坐标为(1,1)-，所以1z i =-+，然后将1z i =-+代入2iz化简后可找到其对应的点. 【详解】 由1z i =-+，所以22(1)11i i i i i z i==--=--+，对应点G . 故选：C 【点睛】此题考查的是复数与复平面内点的对就关系，复数的运算，属于基础题.12．设()y f x =是定义域为R 的偶函数，且在[)0,+∞单调递增，0.22log 0.3,log 0.3a b ==，则（ ） A ．()()(0)f a b f ab f +>> B ．()(0)()f a b f f ab +>> C ．()()(0)f ab f a b f >+> D ．()(0)()f ab f f a b >>+【答案】C 【解析】 【分析】根据偶函数的性质，比较+,a b ab 即可. 【详解】解：0.22lg0.3lg0.3+log 0.3log 0.3+lg0.2lg 2a b =+=55lg 0.3lglg 0.3lg 22lg5lg 2lg5lg 2⨯⨯==--⨯⨯ ()0.22lg 0.3lg 0.3log 0.3log 0.3lg 0.2lg 2lg 0.3lg 0.3lg 0.3lg 0.3lg 5lg 2lg 5lg 2lg 0.3lg 0.3lg 5lg 210lg 0.3lg3lg 5lg 2ab =⨯=⨯-⨯⨯==⨯⨯-⨯-=⨯⨯=-⨯显然510lglg 23<，所以+a b ab < ()y f x =是定义域为R 的偶函数，且在[)0,+∞单调递增，所以()()(0)f ab f a b f >+> 故选：C 【点睛】本题考查对数的运算及偶函数的性质，是基础题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2021年广西来宾市、玉林市、梧州市等高考数学模拟试卷(理科)(4月份)(附答案详解)
2021年广西来宾市、玉林市、梧州市等高考数学模拟试卷（理科）（4月份）一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合U={x∈N|x≤5}，A={1,2}，则∁U A=()A. {0,3，5}B. {0,3，4}C. {3,4，5}D. {0,3，4，5}2.设复数z满足z+i=zi(其中i为虚数单位)，则复数z在复平面内对应的点所在的象限为()A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3.设x，y满足约束条件{2x+y≤6x≥0y≥0，则z=x−y的最小值为()A. −1B. −2C. −6D. −44.若圆C1：(x−1)2+(y−a)2=4与圆C2：(x+2)2+(y+1)2=a2相交，则正实数a的取值范围为()A. (3,+∞)B. (2,+∞)C. (32,+∞) D. (3,4)5.根据某地气象局数据，该地区6，7，8三个月份在连续五年内的降雨天数如表，则下列说法错误的是()A. 降雨天数逐年递增B. 五年内三个月份平均降雨天数为41天C. 从第二年开始，每一年降雨天数对比前一年的增加量越来越小D. 五年内降雨天数的方差为226.设抛物线C：y2=2px(p>0)与直线y=x交于点M(点M在第一象限)，且M到焦点F的距离为10，则抛物线C的标准方程为()A. y2=4xB. y2=8xC. y2=12xD. y2=16x7.为了方便向窄口容器中注入液体，某单位设计一种圆锥形的漏斗，设计要求如下：该圆锥形漏斗的高为8cm，且当窄口容器的容器口是半径为1cm的圆时，漏斗顶点处伸入容器部分的高为2cm，则制造该漏斗所需材料面积的大小约为()(假设材料没有浪费)A. 12√5πcm2B. 8√5πcm2C. 16√5πcm2D. 18√5πcm28.在1+(1+x)+(1+x)2+(1+x)3+(1+x)4+(1+x)5+(1+x)6的展开式中，含x3项的系数是()A. 25B. 30C. 35D. 409.如图是函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<2π)的部分图象，则该函数图象与直线y=x2021的交点个数为()A. 8083B. 8084C. 8085D. 808610.已知定义在R上的偶函数f(x)满足在[0,+∞)上单调递增，f(3)=0，则关于x的不等式f(x+2)+f(−x−2)x>0的解集为()A. (−5,−2)∪(0,+∞)B. (−∞,−5)∪(0,1)C. (−3,0)∪(3,+∞)D. (−5,0)∪(1,+∞)11.设双曲线C：x29−y216=1的左、右焦点分别为F1，F2，点P(异于顶点)在双曲线C的右支上，则下列说法正确的是()A. △PF1F2可能是正三角形B. P到两渐近线的距离之积是定值C. 若PF1⊥PF2，则△PF1F2的面积为8D. 在△PF1F2中，sin∠F1PF2sin∠PF2F1−sin∠PF1F2=5412.已知等比数列{a n}的前n项和为S n，记b n=S1+S2+⋯+S n−4n−8，若数列{b n}也为等比数列，则a2=()A. 12B. 32C. −16D. −8二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知tanθ=√2，则√2sin2θ1+cos2θ=______．14.已知向量a⃗，b⃗ 满足|a⃗+2b⃗ |=1，|a⃗−2b⃗ |=5，则a⃗⋅b⃗ =______．15.已知数列{a n}的前n项和为S n，a1=a2=1，当n≥1且n∈N∗时a n+2=(−1)n(a n+n)−n，则S20=______．16.三棱锥P−ABC中，PA⊥平面ABC，直线PB与平面ABC所成角的大小为30°，AB=2√3，∠ACB=60°，则三棱锥P−ABC的外接球的表面积为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且√3(a2+c2−b2)=2bcsinA．(1)求B；(2)若△ABC的面积是2√3，c=2a，求b．318.如图，在四棱锥P−ABCD中，△PAD是等边三角形，底面ABCD是棱长为2的菱形，O是AD的中点，OB⊥PD，△PAD与△ABD全等．(1)证明：平面PAD⊥平面ABCD；(2)求二面角A−PB−C的正弦值．19.为了解某小区业主对物业满意度情况之间的关系，某兴趣小组按性别采用分层抽样的方法，从全小区中抽取容量为200的样本进行调查．被抽中的居民分别对物业服务进行评分，满分为100分．调查结果显示：最低分为40分，最高分为90分．随后，兴趣小组将男、女居民的评分结果按照相同的分组方式分别整理成了频数分布表和频率分布直方图，图表如下：男居民评分结果的频数分布表分数区间频数[40,50)3[50,60)3[60,70)16[70,80)38[80,90]20为了便于研究，兴趣小组将居民对物业服务的评分转换成了“满意度情况”，二者的对应关系如下：分数[40,50)[50,60)[60,70)[70,80)[80,90]满意度情况不满意一般比较满意满意非常满意(1)求m的值；(2)为进一步改善物业服务状况，从评分在[40,60)的男居民中随机抽取3人进行座谈，记这3人中对物业服务“不满意”的人数为X，求X的分布列与数学期望；(3)以调查结果的频率估计概率，从该小区所有居民中随机抽取一名居民，求其对物业服务“比较满意”的概率．20.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)过点A(−1,√22)，短轴长为2．(1)求椭圆C的标准方程，(2)过点(0,2)的直线l(直线l不与x轴垂直)与椭圆C交于不同的两点M，N，且O为坐标原点.求△MON的面积的最大值．21.已知函数f(x)=x+alnx．(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)当a≠0时，若f(x)≤1ax2+e，求实数a的取值范围．22.在极坐标系中，已知三点A(2,0)，B(2,3π2)，C(ρ,π6)．(1)若A，B，C三点共线，求ρ的值；(2)求过O，A，B三点的圆的极坐标方程．(O为极点)23.已知函数f(x)=|x|+a|x−1|(x∈R)．(1)若a=1，求f(x)的最小值；(2)若不等式f(x)<|x|+a−1有解，求实数a的取值范围．答案和解析1.【答案】D【解析】解：U={x∈N|x≤5}={0,1，2，3，4，5}，A={1,2}，则∁U A={0,3，5，4}，故选：D．先表示出集合U，然后直接利用补集的定义即可求解．本题考查集合的基本运算，基本知识的考查．2.【答案】D【解析】解：z=i−1+i =12−12i，即复数z在复平面内对应的点为(12,−12)，位于第四象限．故选：D．根据已知条件，结合复数的乘法原则和复数的几何含义，即可求解．本题考查了复数的几何含义，以及复数代数形式的乘法运算，需要学生熟练掌握公式，属于基础题．3.【答案】C【解析】解：作出不等式组表示的可行域如图，由z=x−y，得y=x−z，数形结合可得直线y=x−z经过点(0,6)时取得最小值，且最小值为−6．故选：C．由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．本题考查简单的线性规划，考查数形结合思想，是基础题．4.【答案】A【解析】解：圆C 1的圆心为(1,a)，半径为2；圆C 2的圆心为(−2,−1)，半径为a ，则|C 1C 2|=√9+(a −1)2，因为两圆相交，所以|a −2|<√9+(a +1)2<a +2，解得a >3． 故选：A ．若两圆相交，则连心距与半径满足关系|r 1−r 2|<|C 1C 2|<r 1+r 2，代入数据求解． 本题考查圆与圆的位置关系，属于基础题．5.【答案】C【解析】解：A ：由表中数据可知，降雨天数逐年增加，∴A 正确， B ：∵34+37+43+45+465=41，∴B 正确，C ：∵43−37>37−34，∴降雨天数的增加量在刚开始的三年内变大，∴C 错误，D ：∵s 2=(34−41)2+(37−41)2+(43−41)2+(45−41)2+(46−41)25=32，∴D 正确．故选：C ．观察表格可判断A ，求出平均数可判断B ，求出增加量可判断C ，求出方差可判断D ． 本题考查平均数，方差的计算公式，增加量的含义，属于基础题．6.【答案】B【解析】解：联立{y =x y 2=2px ，解得x =2p ，y =2p ，所以点M(2p,2p)，因为M 到焦点F 的距离为10，所以2p −(−p2)=10，解得p =4.所以C 的方程为y 2=8x ． 故选：B ．求解M 的坐标，利用抛物线的定义，转化求解p ，即可得到抛物线方程．本题考查直线与抛物线的位置关系的应用，抛物线的简单性质以及抛物线方程的求法，是基础题．7.【答案】C【解析】解：设底面半径为r ，则1r =28，即r =4cm ，则该圆锥的母线长l =√82+r 2=√64+16=4√5cm ，所以侧面积S =πrl =16√5πcm 2． 故选：C ．根据题意，由1r =28，求得底面半径，再结合母线长公式和侧面积公式，即可求解． 本题考查了圆锥侧面积的求解，需要学生熟练掌握掌握公式，属于基础题．8.【答案】C【解析】解：多项式可化为1−(1+x)71−(1+x)=(x+1)7−1x，二项式(x +1)7的通项公式为：T r+1=C 7r x 7−r ，令7−r =4⇒r =3，含x 3项的系数为C 73=35．故选：C ．先化简所给的多项式，再利用二项展开式的通项公式，求得含x 3项的系数． 本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，属于中档题．9.【答案】C【解析】解：根据函数y =Asin(ωx +φ)(A >0,ω>0,0<φ<2π)的部分图象， 可得A =1，34⋅2πω=14+12，∴ω=2π，周期为1．结合五点法作图可得−12×2π+φ=0，求得φ=π，故函数为y =sin(2πx +π)=−sin2πx ．除了原点外，函数y =sin2πx 在每一个周期上，它和直线y =x2021都有2个交点． 当x =2021时，函数y =sin2πx =0，x2021=1，故函数y =sin2πx 的图象和直线y =x 2021在区间(0,2021]上有2×2021=4042个交点．当x =−2021时，函数y =sin2πx =0，x2021=−1，故函数y =sin2πx 的图象和直线y =x2021在区间[−2021,0)上有2×2021=4042个交点． 则该函数图象与直线y =x2021的交点个数为4042+1+4042=8085， 故选：C ．由题意由函数的图象的顶点坐标求出A ，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数的解析式，再利用正弦函数的图象和性质，得出结论．本题主要考查由函数y =Asin(ωx +φ)的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出A ，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，正弦函数的图象和性质，属于中档题．10.【答案】D【解析】解：定义在R 上的偶函数f(x)满足在(0,+∞)内单调递增， 所以f(x)满足在(−∞,0)内单调递减， 又f(3)=0，所以f(−3)=f(3)=0． 作出函数f(x)的草图如下：由f(x+2)+f(−x−2)x>0，得f(x+2)+f[−(x+2)]x>0，得2f(x+2)x>0，等价于{f(x +2)>0x >0或{f(x +2)<0x <0，即{x +2<−3或x +2>3x >0或{−3<x +2<3x <0，解得x >1或−5<x <0，即不等式f(x+2)+f(−x−2)x>0的解集为(−5,0)∪(1,+∞)．故选：D ．根据题意作出f(x)的大致图象，将已知不等式转化为2f(x+2)x>0，结合图象即可求解x的取值范围．本题主要考查函数单调性与奇偶性的综合，考查不等式的解法，考查数形结合思想与转化思想的应用，属于基础题．11.【答案】B【解析】解：由双曲线方程可得，a=3，b=4，c=5，由双曲线定义可知，|PF1|=|PF2|+2a>|PF2|，∴△PF1F2不可能是正三角形，故A错误；设P(x0,y0)，则x029−y0216=1，即16x02−9y02=144，双曲线的渐近线方程为4x±3y=0，P到两渐近线的距离之积为：00√42+32⋅00√42+32=|16x02−9y02|25=14425为定值，故B正确；由PF1⊥PF2，得|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2，即(|PF2|+2a)2+|PF2|2=4c2，解得|PF2|=√41−3，|PF1|=√41+3，∴S△PF1F2=12|PF1|⋅|PF2|=16，故C错误；设P(x0,y0)，则sin∠PF1F2=|y0||PF1|，sin∠PF2F1=|y0||PF2|，在△PF1F2中，S△PF1F2=12|PF1|⋅|PF2|⋅sin∠F1PF2=12|y0|⋅|F1F2|，故sin∠F1PF2=|y0|⋅|F1F2||PF1|⋅|PF2|，则sin∠F1PF2sin∠PF2F1−sin∠PF1F2=|y0|⋅|F1F2||PF1|⋅|PF2||y0||PF2|−|y0||PF1|=|F1F2||PF1|−|PF2|=2c2a=53，故D错误．故选：B．由双曲线定义判断A；设P(x0,y0)，由P在双曲线上，结合点到直线的距离公式判断B；由勾股定理列式求解|PF1|、|PF2|，代入三角形面积公式判断C；求解焦点三角形，结合双曲线定义判断D．本题考查双曲线的几何性质，考查双曲线定义的应用，考查运算求解能力，是中档题．12.【答案】D【解析】解：设等比数列{a n}的公比为q，①当q=1时，a n=a1，S n=na1，b n=a1(1+2+3+⋅⋅⋅+n)−4n+8=a1n(n+1)2−4n+8，不可能为等比数列；②当q≠1，a n=a1q n−1，S n=a1(1−q n)1−q =a11−q−a11−qq n，b n=a1n1−q −a11−q×q(1−q n)1−q−4n−8=(a11−q−4)n−[8+a1q(1−q)2]+a1q n+1(1−q)2，若数列{b n}为等比数列，则必有{a11−q−4=08+a1q(1−q)2=0，解得q=2，a1=−4，∴a2=a1q=−4×2=−8．故选：D．设等比数列{a n}的公比为q，当q=1时，数列{b n}不可能为等比数列；当q≠1，a n=a1q n−1，S n=a11−q −a11−qq n，bn=(a11−q−4)n−[8+a1q(1−q)]+a1q n+1(1−q)，由数列{b n}为等比数列，列出方程组，求出q=2，a1=−4，由此能求出a2．本题考查等比数列的第二项的求法，考查等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．13.【答案】2【解析】解：因为tanθ=√2，所以√2sin2θ1+cos2θ=2√2sinθcosθ2cos2θ=√2tanθ=2．故答案为：2．由已知利用二倍角公式，同角三角函数基本关系式化简所求即可计算得解．本题主要考查了二倍角公式，同角三角函数基本关系式在三角函数求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．14.【答案】−3【解析】解：∵|a⃗+2b⃗ |=1，|a⃗−2b⃗ |=5，∴a⃗2+4a⃗⋅b⃗ +4b⃗ 2=1，∴a⃗2−4a⃗⋅b⃗ +4b⃗ 2=25，两式作差，得a⃗⋅b⃗ =−3．故答案为：−3．先将两个等式平方，再作差，即可得解．本题考查平面向量的运算，遇模平方是解决本题的关键，考查运算求解能力，属于基础题．15.【答案】−80【解析】解：当n为奇数时，a n+2+a n=−2n；当n为偶数时，a n+2=a n；∴S20=(a1+a3+a5+a7+⋯+a17+a19)+(a2+a4+a6+a8+⋯+a18+a20)=−2×(1+5+9+13+17)+10=−80．故答案为：−80．对n分类讨论，分组求和即可得出结论．本题考查了数列递推关系、等差数列的通项公式与求和公式、分组求和方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．16.【答案】20π【解析】解：如图，设外接球的球心为O，设△ABC的外接圆圆心为O1，因为PA⊥平面ABC，所以∠PBA为直线PB与平面ABC所成角，即∠PBA=30°，所以tan∠PBA=PAAB =√33，又AB=2√3，所以PA=2，所以OO1=12PA=1，设△ABC的外接圆半径为R，则由正弦定理可得2R=ABsin∠ACB =2√3sin60°=4，解得R=2，则在Rt△OO1A中，OA=√12+22=√5，即三棱锥P−ABC的外接球半径为√5．则三棱锥P−ABC的外接球表面积为4π×(√5)2=20π．故答案为：20π．因为PA⊥平面ABC，所以∠PBA为直线PB与平面ABC所成角，即∠PBA=30°，求出PA的长度．设△ABC的外接圆圆心为O1，则球心O在过O1且垂直于平面ABC的直线上，结合图象，用勾股定理列式求解．本题考查三棱锥的外接球，考查直线与平面所成角，属于中档题．17.【答案】解：(1)由√3(a 2+c 2−b 2)=2bcsinA ，得√3a 2+c 2−b 22ac=bsinA a，得√3cosB =bsinA a，得√3acosB =bsinA ，由正弦定理得√3sinAcosB =sinBsinA ， 因为sinA ≠0， 所以√3cosB =sinB ， 所以tanB =√3，因为0<B <π，所以B =π3． (2)若△ABC 的面积是2√33， 则12acsinB =12×a ×2a ×√32=2√33，解得a =2√33， 所以c =4√33． 由余弦定理b 2=a 2+c 2−2accosB ，可得b 2=(2√33)2+(4√33)2−2×2√33×4√33×12，所以b =2．【解析】(1)根据余弦定理、正弦定理，结合同角的三角函数关系式进行求解即可； (2)根据三角形面积公式，结合余弦定理进行求解即可．本题主要考查了余弦定理、正弦定理，同角的三角函数关系式，三角形面积公式，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．18.【答案】(1)证明：连接BD ，∵△PAD 与△ABD 全等，△PAD 是等边三角形，则△ABD 为等边三角形，又O 是AD 的中点，△ABD 为等边三角形，∴OB ⊥AD ， 又OB ⊥PD ，PD ∩AD =D ，AD 、PD ⊂平面PAD ，∴OB ⊥平面PAD ，又OB ⊂平面ABCD ，∴平面PAD ⊥平面ABCD ； (2)解：连接PO ，∵△PAD 是等边三角形，O 是AD 的中点，∴PO ⊥AD ， 由(1)得PO ⊥OB ，OB ⊥AD ，∴PO 、AD 、OB 两两垂直， 建立如图所示空间直角坐标系O −xyz ，则A(1,0，0)，B(0,√3,0)，P(0,0，√3)，C(−2,√3,0)， 设平面ABP 的一个法向量为n ⃗ =(x,y,z)， AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,√3,0)，AP⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,0,√3)， 由{n ⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =−x +√3y =0n ⃗ ⋅AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =−x +√3z =0，取x =√3，得n ⃗ =(√3,1,1)；设平面BPC 的一个法向量为m⃗⃗⃗ =(a,b,c)， 又BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,0,0)，BP⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,−√3,√3)， 由{m ⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−2a =0m ⃗⃗⃗ ⋅BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =−√3b +√3c =0，取b =1，得m ⃗⃗⃗ =(0,1,1)． ∴cos <n ⃗ ,m ⃗⃗⃗ >=n ⃗⃗ ⋅m ⃗⃗⃗|n ⃗⃗ |⋅|m ⃗⃗⃗ |=√5×√2=√105， 则sin <n ⃗ ,m ⃗⃗⃗ >=√1−(√105)2=√155．∴二面角A −PB −C 的正弦值为√155．【解析】(1)连接BD ，证明OB ⊥AD ，再由OB ⊥PD ，可得OB ⊥平面PAD ，进一步得到平面PAD ⊥平面ABCD ；(2)连接PO ，证明PO ⊥AD ，由(1)得PO ⊥OB ，OB ⊥AD ，则PO 、AD 、OB 两两垂直，以O 为坐标原点建立空间直角坐标系O −xyz ，分别求出平面ABP 的一个法向量与平面BPC 的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值，进一步求得二面角A −PB −C 的正弦值．本题考查平面与平垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用空间向量求解空间角，是中档题．19.【答案】解：(1)∵(0.005+m +0.02+0.04+0.02)×10=1，∴m =0.015．(2)由题意可得，随机变量X 的所有可能值为0，1，2，3， P(X =0)=C 30C 33C 63=120，P(X =1)=C 31C 32C 63=920 P(X =2)=C 32C 31C 63=920，P(X =3)=C 33C 30C 63=120，故随机变量X 的分布列为：∴E(X)=0×120+1×920+2×920+3×120=32．(3)设事件M={随机抽取一名居民，对物业服务“比较满意”}，∵样本人数200人，其中男居民共有80人，∴样本中女居民共有120人，由频率分布直方图可知，女居民对物业服务“比较满意”的人数共有120×0.02×10= 24人，由频数分布表可知，男居民对物业服务“比较满意”的人数共有16人，∴随机抽取一名居民，对物业服务“比较满意”的概率P(M)=24+16200=15．【解析】(1)由频率分布直方图的性质，可得各个区间的频率和为1，即可求m的值．(2)由题意可得，随机变量X的所有可能值为0，1，2，3，分别求出对应的概率，即可得X的分布列，并结合期望公式，即可求解．(3)由频率分布直方图可知，女居民对物业服务“比较满意”的人数共有120×0.02×10=24人，由频数分布表可知，男居民对物业服务“比较满意”的人数共有16人，样本人数为200人，即可求解．本题主要考查了离散型随机变量及其分布列，以及频率分布直方图的应用，需要学生较强的综合能力，属于中档题．20.【答案】解：(1)由题意得{2b=21a+24b=1，解得{a=√2b=1，∴椭圆C的标准方程为x22+y2=1．(2)设M(x1,y1)，N(x2,y2)，直线l的方程为y=kx+2，联立方程{x22+y2=1y=kx+2，消去y得：(1+2k2)x2+8kx+6=0，∴x1x2=61+2k2，x1+x2=−8k1+2k2，由△=(8k)2−4(1+2k2)×6>0，解得k2>32，∴S△MON=12×√k2+1|x2−x1|×√k2+1=|x2−x1|=√(x2+x1)2−4x1x2=√(8k1+2k2)2−241+2k2=2√2×√2k2−31+2k2，令t=√2k2−3，则k2=t2+32，t>0，∴S △MON =2√2t t +4=2√2t+4t，由t +4t≥2√t ⋅4t=4，当且仅当t =4t 即t =2时，等号成立，此时k =±√142，∴S △MON ≤2√24=√22， ∴△MON 的面积的最大值为√22．【解析】(1)根据题意列出关于a ，b 的方程组，求出a ，b 的值，即可得到椭圆C 的标准方程．(2)设M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)，直线l 的方程为y =kx +2，与椭圆方程联立，利用韦达定理可得x 1x 2=61+2k 2，x 1+x 2=−8k1+2k 2，再利用弦长公式和点到直线距离公式得到S △MON =2√2×√2k 2−31+2k 2，令t=√2k 2−3，则k 2=t 2+32，t >0，所以S △MON =2√2t+4t，利用基本不等式即可求出结果．本题主要考查了椭圆的标准方程，考查了直线与方程的位置关系，考查了基本不等式的应用，是中档题．21.【答案】(1))f′(x)=1+ax =x+a x，函数的定义域为(0,+∞)，①当a ≥0时，f′(x)>0，f(x)在(0,+∞)上单调递增，没有减区间；②当a <0时，令f′(x)>0，得x >−a ，此时函数f(x)的增区间为(−a,+∞)，减区间为(0,−a)；(2)f(x)≤1a x 2+e ，可化为x +alnx ≤1a x 2+e ，若a <0，取x =e ea，x +alnx =e e a+alne e a=e e a+e >e >1a x 2+e ，不合题意，故a必为正数，不等式x +alnx ≤1a x 2+e ，化为1a x 2−x −alnx +e ≥0， 令g(x)=1a x 2−x −alnx +e ，有g′(x)=2a x −1−ax =2x 2−ax−a 2ax=(2x+a)(x−a)ax，由函数g(x)的定义域为(0,+)，令g′(x)>0有x >a ， 可得函数g(x)的减区间为(0,a)，增区间为(a,+∞)，若g(x)≥0，必有g(x)min =g(a)=a −a −alna ≥0，得alna ≤e ， ①当0<a ≤1时，alna ≤0，可得alna ≤e ；②当a >1时，令ℎ(x)=xlnx(x ≥1)，有ℎ(x)=lnx +1>0，可得函数ℎ(x)单调递增，又由ℎ(e)=e，可得1<a≤e，由上知0<a≤e．【解析】(1))f(x)=x+alnx⇒f′(x)=x+ax，函数的定义域为(0,+∞)，分a≥0与a<0两类讨论，即可得到函数f(x)的单调情况；(2)f(x)≤1a x2+e，可化为x+alnx≤1ax2+e，依题意得a>0，于是有1ax2−x−alnx+e≥0，构造函数g(x)=1a x2−x−alnx+e，有g′(x)=(2x+a)(x−a)ax，若g(x)≥0，可得g(x)min=g(a)=a−a−alna≥0，得alna≤e，分0<a≤1与a>1两类讨论，可得实数a的取值范围．本题考查利用导数研究函数的单调性与最值，考查等价转化思想与分类讨论思想的综合应用，考查逻辑思维与数学运算能力，属于难题．22.【答案】解：(1)因为A，B两点的极坐标分别为A(2,0)，B(2,3π2)，所以其直角坐标分别为A(2,0)，B(0,−2)，即直线AB的方程为y=x−2，因为C点的极坐标为C(ρ,π6)，所以其直角坐标为C(√32ρ,12ρ)，代入直线AB的方程，可得12ρ=√32ρ−2，解得ρ=2(√3+1)；(2)因为OA⊥OB，所以AB的中点(1,−1)即为圆心，半径r=√12+(−1)2=√2，所以圆的标准方程为(x−1)2+(y+1)2=2，即x2+y2−2x+2y=0，因为x2+y2=ρ2，x=ρcosθ，y=ρsinθ，所以圆的极坐标方程为ρ2−2ρcosθ+2ρsinθ=0，即ρ=2cosθ−2sinθ．【解析】(1)直接利用点的坐标公式的应用求出三点共线的应用求出结果；(2)直接利用点的坐标求出圆的方程，进一步转换为极坐标方程．本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，三点共线的问题，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．23.【答案】解：(1)f(x)=|x|+|x−1|≥|x−x+1|=1，当且仅当0≤x≤1时，上述等号成立，即f(x)的最小值为1；(2)不等式f(x)<|x|+a −1可化为a|x −1|<a −1(∗)， ①当a =0时，(∗)式为0<−1，无解， ②当a >0时，(∗)式可化为|x −1|<a−1a，只需a−1a>0即可，有a >1，③当a <0时，(∗)式可化为|x −1|>a−1a，显然有解，由上知实数a 的取值范围为(−∞,0)∪(1,+∞)．【解析】(1)由题意结合绝对值的几何意义即可求得答案；(2)对a 进行分类讨论，在对不等式f(x)<|x|+a −1进行分离常数得|x −1|<a−1a，结合|x −1|的范围即可求得答案．本题考查绝对值不等式的解法，注意运用分类讨论思想，考查不等式恒成立和有解问题，注意运用转化思想和数形结合，考查运算能力和推理能力，属于中档题．。
广西2021届高三数学模拟测试试题理含解析
广西2021届高三数学模拟测试试题理（含解析）一、选择题（每小题5分）.1．若z（1﹣i）＝1+3i，则z＝（）A．﹣1+2i B．﹣1﹣2i C．2+2i D．2﹣2i2．已知集合A＝{x|2x2+x﹣1＜0}，B＝{y|y＝3x﹣}，则A∩B＝（）A．（﹣1，1）B．（﹣，1）C．（﹣1，）D．（﹣，）3．锐角△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知3sin2B＝2b sin A cos B，则a＝（）A．1 B．2 C．3 D．64．已知两个单位向量，满足|2﹣|＝，则|+|＝（）A．1 B．C．D．5．2020年11月24日4时30分，我国在文昌航天发射场用长征五号运载火箭成功发射嫦娥五号，12月17日凌晨，嫦娥五号返回器携带月球样品在内蒙古四子王旗预定区域安全着陆，使得“绕、落、回”三步探月规划完美收官，这为我国未来月球与行星探测奠定了坚实基础．若在不考虑空气阻力和地球引力的理想状态下，可以用公式v＝v0•ln计算火箭的最大速度v（m/s），其中v0（m/s）是喷流相对速度，m（kg）是火箭（除推进剂外）的质量，M（kg）是推进剂与火箭质量的总和，称为“总质比”．若A型火箭的喷流相对速度为1000m/s，当总质比为500时，A型火箭的最大速度约为（）（lge≈0.434，lg2≈0.301）A．4890m/s B．5790m/s C．6219m/s D．6825m/s6．已知函数f（x）＝cos（2x+），则下列结论正确的是（）A．f（x）的最小正周期为2πB．f（x）在[0，]上的最大值为C．直线x＝是f（x）图象的一条对称轴D．f（x）在[，]上单调递减7．已知抛物线x2＝4y的焦点为F，P为抛物线上任意一点，已知点A（1，3），则|PF|+|PA|的最小值为（）A．1 B．2 C．3 D．48．执行如图所示的程序框图，若输入的x∈（﹣2，4]，则输出的y∈（）A．[﹣2，2]∪（3，14] B．（﹣2，14]C．（﹣2，2）∪（3，14）D．[﹣2，14]9．（2x2﹣1）（2x+1）n展开式的各项的系数之和为243，则展开式中x2的系数为（）A．﹣42 B．﹣38 C．38 D．4210．函数f（x）＝ln|x|+cos x的部分图象大致为（）A．B．C．D．11．如图，圆锥AO2底面圆半径为8，高为8，母线AD，AE关于直线AO2对称，B，C分别为AD，AE的中点，过B，C作与底面圆O2平行的平面，且该平面与该圆锥相交的横截面为圆O1，P为圆O1的圆周上任意一点，则直线DP与BC所成角的余弦值的取值范围为（）A．[，] B．[，] C．[，] D．[，]12．已知函数f（x）＝，若关于x的方程f（x）+f（﹣x）＝0有4个不同的实数根，则实数a的取值范围为（）A．（﹣1，0）B．（﹣，0）C．（0，）D．（0，）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡上．13．若x，y满足约束条件，则z＝2x+y的最大值为．14．已知圆柱的底面周长为2π，高为2，则该圆柱外接球的表面积为．15．桂林是世界著名的风景旅游城市和中国历史文化名城，号称“桂林山水甲天下”，每年都会迎来无数游客．甲同学计划今年暑假去桂林游玩，准备在“印象刘三姐”“漓江游船”“象山景区”“龙脊梯田”这4个景点中任选2个游玩．已知“印象刘三姐”的门票为195元/位，“象山景区”的门票为35元/位，其他2个景点的门票均为95元/位，则甲同学所需支付的门票费的期望值为元．16．已知双曲线＝1（a＞0，b＞0）的左，右焦点分别为F1，F2，点P（x0，y0）为双曲线右支上任意一点，且点P到双曲线两条渐近线的距离之积为，双曲线的离心率为3，则的取值范围是．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．某公司为了解服务质量，随机调查了100位男性顾客和100位女性顾客，每位顾客对该公司的服务质量进行打分．已知这200位顾客所打的分数均在[25，100]之间，根据这些数据得到如下的频数分布表：顾客所打分数[25，40）[40，55）[55，70）[70，85）[85，100] 男性顾客人数 4 6 10 30 50女性顾客人数 6 10 24 40 20 （1）估计这200位顾客所打分数的平均值（同一组数据用该组区间的中点值为代表）．（2）若顾客所打分数不低于70分，则该顾客对公司服务质量的态度为满意；若顾客所打分数低于70分，则该顾客对公司服务质量的态度为不满意．根据所给数据，完成下列2×2列联表，并根据列联表，判断是否有99%的把握认为顾客对公司服务质量的态度与性别有关？满意不满意男性顾客女性顾客附；K2＝．P（K2≥k）0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 18．已知数列{a n}满足a1＝1，a n+1＝a n+n+1．（1）求{a n}的通项公式；（2）求数列{+2n}的前n项和S n．19．如图，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝2，AA1＝4，底面ABCD是菱形，∠BAD＝，平面CC1D1D⊥平面ABCD，BD⊥AD1．（1）证明：CD1⊥平面ABCD．（2）求二面角A1﹣BB1﹣C的正弦值．20．已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的离心率为，且C经过点P（2，）．（1）求C的方程；（2）已知F为C的右焦点，A为C的左顶点，过点F的直线l与C交于M，N两点（异于点A），若△AMN的面积的范围．21．已知函数f（x）＝ax﹣lnx．（1）若f（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，求实数a的取值范围．（2）证明：∀n∈N*，e n（n+1）＞（n!）2e．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t为参数）．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρcosθ+ρsinθ﹣1＝0．（1）求C1的普通方程与C2的直角坐标方程；（2）设M，N是C1与C2的公共点，点P的直角坐标为（0，1），求的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|2x﹣1|+|2x+3|．（1）求不等式f（x）≥8的解集；（2）若f（x）的最小值为M，且正数a，b，c满足a2+b2+c2＝M，求a+2b+c的最大值．参考答案一、选择题（每小题5分）.1．若z（1﹣i）＝1+3i，则z＝（）A．﹣1+2i B．﹣1﹣2i C．2+2i D．2﹣2i解：∵z（1﹣i）＝1+3i，∴z＝＝＝＝﹣1+2i，故选：A．2．已知集合A＝{x|2x2+x﹣1＜0}，B＝{y|y＝3x﹣}，则A∩B＝（）A．（﹣1，1）B．（﹣，1）C．（﹣1，）D．（﹣，）解：∵A＝{x|﹣1＜x＜}，B＝{y|y＞﹣}，∴A∩B＝（﹣，），故选：D．3．锐角△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知3sin2B＝2b sin A cos B，则a＝（）A．1 B．2 C．3 D．6解：因为3sin2B＝2b sin A cos B，可得6sin B cos B＝2b sin A cos B，因为B为锐角，所以6sin B＝2b sin A，由正弦定理可得6b＝2ab，所以a＝3．故选：C．4．已知两个单位向量，满足|2﹣|＝，则|+|＝（）A．1 B．C．D．解：两个单位向量，满足|2﹣|＝，可得：＝5﹣4＝3，解得＝，所以|+|＝＝．故选：C．5．2020年11月24日4时30分，我国在文昌航天发射场用长征五号运载火箭成功发射嫦娥五号，12月17日凌晨，嫦娥五号返回器携带月球样品在内蒙古四子王旗预定区域安全着陆，使得“绕、落、回”三步探月规划完美收官，这为我国未来月球与行星探测奠定了坚实基础．若在不考虑空气阻力和地球引力的理想状态下，可以用公式v＝v0•ln计算火箭的最大速度v（m/s），其中v0（m/s）是喷流相对速度，m（kg）是火箭（除推进剂外）的质量，M（kg）是推进剂与火箭质量的总和，称为“总质比”．若A型火箭的喷流相对速度为1000m/s，当总质比为500时，A型火箭的最大速度约为（）（lge≈0.434，lg2≈0.301）A．4890m/s B．5790m/s C．6219m/s D．6825m/s解：根据题意，v＝v0ln＝1000×ln500＝1000×＝1000×≈6219m/s，故选：C．6．已知函数f（x）＝cos（2x+），则下列结论正确的是（）A．f（x）的最小正周期为2πB．f（x）在[0，]上的最大值为C．直线x＝是f（x）图象的一条对称轴D．f（x）在[，]上单调递减解：对于函数f（x）＝cos（2x+），夏然它的最小正周期为＝π，故A错误；当x∈[0，]，2x+π4∈[，]，f（x）在[0，]上的最大值为cos＝，故B正确；令x＝，求得f（x）＝0，不是最值，故C错误；当x∈[，]，2x+∈[，]，故f（x）在[，]上没有单调性，故D 错误，故选：B．7．已知抛物线x2＝4y的焦点为F，P为抛物线上任意一点，已知点A（1，3），则|PF|+|PA|的最小值为（）A．1 B．2 C．3 D．4解：由题意可知抛物线的焦点坐标（1，0），由抛物线定义可知当AP⊥x轴时，|PF|+|PA|取得最小值，最小值为：3﹣（﹣1）＝4．故选：D．8．执行如图所示的程序框图，若输入的x∈（﹣2，4]，则输出的y∈（）A．[﹣2，2]∪（3，14] B．（﹣2，14]C．（﹣2，2）∪（3，14）D．[﹣2，14]解：执行如图所示的程序框图，若输入的x∈（﹣2，4]，即当x∈（1，4]时，y＝log2x+3x，①当x∈（﹣2，1]时，y＝x2+2x﹣1，②解①可得y∈（3，14]；解②可得y∈[﹣2，2]；故输出的y的范围为：[﹣2，2]∪（3，14]．故选：A．9．（2x2﹣1）（2x+1）n展开式的各项的系数之和为243，则展开式中x2的系数为（）A．﹣42 B．﹣38 C．38 D．42解：令x＝1，则（2﹣1）（2+1）n＝243，即3n＝243，所以n＝5，则展开式中含x2的项为2x2﹣1×＝﹣38x2，所以x2的系数为﹣38，故选：B．10．函数f（x）＝ln|x|+cos x的部分图象大致为（）A．B．C．D．解：根据题意，函数f（x）＝ln|x|+cos x，其定义域为{x|x≠0}，则有f（﹣x）＝ln|x|+cos x＝f（x），则函数f（x）为偶函数，排除AB，在区间（0，）上，f（x）＝ln|x|+cos x＝lnx+cos x，lnx＜﹣2，则f（x）＜0，排除D，故选：C．11．如图，圆锥AO2底面圆半径为8，高为8，母线AD，AE关于直线AO2对称，B，C分别为AD，AE的中点，过B，C作与底面圆O2平行的平面，且该平面与该圆锥相交的横截面为圆O1，P为圆O1的圆周上任意一点，则直线DP与BC所成角的余弦值的取值范围为（）A．[，] B．[，] C．[，] D．[，]解：如图，分别过P，B，C作底面O2的垂线交圆O2于P1，B1，C1，由题意知P1，B1，C1在半径为4，圆心为O2的圆上，且|PP1|＝|AO1|＝4，则|PO2|＝＝8，∴|PO2|＝|DO2|＝8，设∠P1O2D＝θ，则|DP1|2＝|DO2|2+|P1O2|2﹣2|DO2|•|P1O2|cosθ＝80﹣64cosθ，则|DP|2＝|DP1|2+|PP1|2＝128﹣64cosθ，则cos2∠PDQ2＝＝∈[]，则cos∠PDO2∈[]，∴DP与BC所成角的余弦值的取值范围是[]．故选：A．12．已知函数f（x）＝，若关于x的方程f（x）+f（﹣x）＝0有4个不同的实数根，则实数a的取值范围为（）A．（﹣1，0）B．（﹣，0）C．（0，）D．（0，）解：设g（x）＝f（x）+f（﹣x），则g（x）的定义域为{x|x≠0}，且g（﹣x）＝g（x），即g（x）是偶函数，故关于x的方程g（x）＝0有4个不同的实数根等价于g（x）在（0，+∞）上有2个零点，当x＞0时，g（x）＝2lnx+x2﹣2x﹣+1，则g（x）＝0等价于a＝2xlnx+x3﹣2x2+x，令h（x）＝2xlnx+x3﹣2x2+x，则h′（x）＝2lnx﹣4x+x2+3，令m（x）＝2lnx﹣4x+x2+3，则m′（x）＝﹣4+2x≥2﹣4＝0，∴m（x）在区间（0，+∞）上单调递增，又m（1）＝0，∴h（x）在区间（0，1）上单调递减，在区间（1，+∞）上单调递增，即h（x）在x＝1处取得极小值h（1）＝﹣，当x→0时，h（x）→0，当x→+∞时，h （x）→+∞，∴h（x）的大致图象如下，∴当﹣＜a＜0时，关于x的方程h（x）＝a在区间（0，+∞）上有两个不同的实数根，即关于x的方程f（x）+f（﹣x）＝0有4个不同的实数根．故选：B．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡上．13．若x，y满足约束条件，则z＝2x+y的最大值为12 ．解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（4，4），由z＝2x+y，得y＝﹣2x+z，由图可知，当直线y＝﹣2x+z过A时，直线在y轴上的截距最大，z有最大值为2×4+4＝12．故答案为：12．14．已知圆柱的底面周长为2π，高为2，则该圆柱外接球的表面积为8π．解：圆柱的底面周长为2π，圆柱的底面半径为1，则底面直径为2，又圆柱的高为2，则圆柱的轴截面是边长分别为2和2的矩形，如图：则圆柱的外接球的半径为r＝．∴该圆柱的外接球的表面积为4π×（）2＝8π．故答案为：8π．15．桂林是世界著名的风景旅游城市和中国历史文化名城，号称“桂林山水甲天下”，每年都会迎来无数游客．甲同学计划今年暑假去桂林游玩，准备在“印象刘三姐”“漓江游船”“象山景区”“龙脊梯田”这4个景点中任选2个游玩．已知“印象刘三姐”的门票为195元/位，“象山景区”的门票为35元/位，其他2个景点的门票均为95元/位，则甲同学所需支付的门票费的期望值为210 元．解：由题意可知，甲同学所需支付的门票的期望为＝210元．故答案为：210．16．已知双曲线＝1（a＞0，b＞0）的左，右焦点分别为F1，F2，点P（x0，y0）为双曲线右支上任意一点，且点P到双曲线两条渐近线的距离之积为，双曲线的离心率为3，则的取值范围是（1，2] ．解：因为点P到双曲线两条渐近线的距离之积为，所以•＝．则，又双曲线的离心率为3，所以b2＝8，a2＝1，所以c2＝9，所以＝＝1+，因为|PF2|≥c﹣a＝2，所以0＜≤1，故1＜≤2，则的取值范围是（1，2]．故答案为：（1，2]．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．某公司为了解服务质量，随机调查了100位男性顾客和100位女性顾客，每位顾客对该公司的服务质量进行打分．已知这200位顾客所打的分数均在[25，100]之间，根据这些数据得到如下的频数分布表：顾客所打分数[25，40）[40，55）[55，70）[70，85）[85，100] 男性顾客人数 4 6 10 30 50女性顾客人数 6 10 24 40 20 （1）估计这200位顾客所打分数的平均值（同一组数据用该组区间的中点值为代表）．（2）若顾客所打分数不低于70分，则该顾客对公司服务质量的态度为满意；若顾客所打分数低于70分，则该顾客对公司服务质量的态度为不满意．根据所给数据，完成下列2×2列联表，并根据列联表，判断是否有99%的把握认为顾客对公司服务质量的态度与性别有关？满意不满意男性顾客女性顾客附；K2＝．P（K2≥k）0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 解：（1）由题意知，计算＝×（10×16×+34×+70×+70×）＝75.55，所以估计这200位顾客所打分数的平均值约为75.55．（2）根据题意，填写列联表如下：满意不满意合计男性顾客80 20 100女性顾客60 40 100 合计140 60 200 根据表中数据，计算K2＝＝≈9.524，因为9.524＞6.635，所以有99%的把握认为顾客对公司服务质量的态度与性别有关．18．已知数列{a n}满足a1＝1，a n+1＝a n+n+1．（1）求{a n}的通项公式；（2）求数列{+2n}的前n项和S n．解：（1）由a1＝1，a n+1＝a n+n+1，可得n≥2时，a n﹣a n﹣1＝n，可得a n＝a1+（a2﹣a1）+（a3﹣a2）+...+（a n﹣a n﹣1）＝1+2+3+...+n＝n（n+1），即a n＝n（n+1），n∈N*；（2）由（1）可得+2n＝+2n＝2（﹣）+2n，所以S n＝2（1﹣+﹣+...+﹣）+（2+4+...+2n）＝2（1﹣）+＝+2n+1﹣2＝2n+1﹣．19．如图，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝2，AA1＝4，底面ABCD是菱形，∠BAD＝，平面CC1D1D⊥平面ABCD，BD⊥AD1．（1）证明：CD1⊥平面ABCD．（2）求二面角A1﹣BB1﹣C的正弦值．【解答】（1）证明：取AB中点E，连接DE、AC，因为底面ABCD是菱形，所以BD⊥AC，又因为BD⊥AD1，所以BD⊥平面D1AC，又因为D1C⊂平面D1AC，所以BD⊥D1C，因为底面ABCD是菱形，∠BAD＝，E是AB中点，所以DE⊥DC，因为平面CC1D1D⊥平面ABCD，平面CC1D1D∩平面ABCD＝DC，所以DE⊥平面AA1C1C，又因为CD1⊂平面AA1C1C，所以DE⊥CD1，因为BD∩DE＝D，BD、DE⊂平面ABCD，所以CD1⊥平面ABCD．（2）解：建立如图所示的空间直角坐标系，因为＝，所以∠D1DC＝60°，于是D1C＝2，＝（0，2，2），＝（﹣，1，0），设平面BB1C1C的法向量为＝（x，y，z），，令y＝，＝（1，，﹣1），平面AA1B1B的法向量为＝（1，0，0），设二面角A1﹣BB1﹣C的大小为θ，|cosθ|＝＝＝，sinθ＝＝＝．所以二面角A1﹣BB1﹣C的正弦值为．20．已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的离心率为，且C经过点P（2，）．（1）求C的方程；（2）已知F为C的右焦点，A为C的左顶点，过点F的直线l与C交于M，N两点（异于点A），若△AMN的面积的范围．解：（1）将点P（2，）代入C的方程得，又e＝＝，c2＝a2﹣b2，解得a＝4，b＝2，∴椭圆C的方程为：．（2）由题意可设直线l的方程为：x＝ty+2，M（x1，y1），N（x2，y2），联立方程组，消去x得：（3t2+4）y2+12ty﹣36＝0，∴y1+y2＝，y1y2＝，∵A（﹣4，0），∴S△AMN＝＝3＝，令m＝，m≥1，则t2＝m2﹣1，∴S△AMN＝＝，∵m≥1，∴≥4，∴，∴△AMN的面积的范围为：（0，18]．21．已知函数f（x）＝ax﹣lnx．（1）若f（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，求实数a的取值范围．（2）证明：∀n∈N*，e n（n+1）＞（n!）2e．解：（1）∵x＞0，∴f（x）≥0等价于a≥，令g（x）＝，则g′（x）＝，令g′（x）＞0，解得：0＜x＜e，令g′（x）＜0，解得：x＞e，故g（x）在（0，e）递增，在（e，+∞）递减，故g（x）max＝g（e）＝，故实数a的取值范围是[，+∞）．（2）证明：由（1）可知﹣lnx≥0在（0，+∞）上恒成立，则x≥elnx＝lnx e，即e x≥x e，当且仅当x＝e时“＝”成立，取x＝1，2，3，•••n，则e1＞1e，e2＞2e，e3＞3e，••••，e n＞n e，将上述不等式相乘可得e1+2+3+•••+n＞（1×2×3ו••n）e＝（n!）e，即＞（n!）e，故e n（n+1）＞（n!）2e．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t为参数）．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρcosθ+ρsinθ﹣1＝0．（1）求C1的普通方程与C2的直角坐标方程；（2）设M，N是C1与C2的公共点，点P的直角坐标为（0，1），求的值．解：（1）由（t为参数），消去参数t，可得y＝2x2﹣1，由ρcosθ+ρsinθ﹣1＝0，解得x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，可得直线l的直角坐标方程为x+y﹣1＝0；（2）由（1）可得直线l的参数方程为，代入y＝2x2﹣1，得，设M、N对应的参数分别为t1，t2，则，t1t2＝﹣2，则t1，t2异号，∴＝＝＝＝．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|2x﹣1|+|2x+3|．（1）求不等式f（x）≥8的解集；（2）若f（x）的最小值为M，且正数a，b，c满足a2+b2+c2＝M，求a+2b+c的最大值．解：（1）不等式f（x）≥8即为|2x﹣1|+|2x+3|≥8，当时，2x﹣1+2x+3﹣8≥0，解得；当时，﹣2x+1+2x+3﹣8≥0，不等式无解；当时，﹣2x+1﹣2x﹣3﹣8≥0，解得；综上，不等式的解集为；（2）∵|2x﹣1|+|2x+3|≥|2x﹣1﹣（2x+3）|＝4，当（2x﹣1）（2x+3）≤0时取等号，∴a2+b2+c2＝4，∴（a+2b+c）2≤（1+22+1）（a2+b2+c2）＝24，当且仅当时取等号，∴a+2b+2c的最大值为．。
广西省贵港市2021届新高考数学四月模拟试卷含解析
广西省贵港市2021届新高考数学四月模拟试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知i 为虚数单位，则()2312ii i +=-（ ） A ．7455i + B ．7455i - C ．4755i + D ．4755i - 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数乘除运算法则，即可求解. 【详解】()()()()()2322323741222255i i i i i i i i i i +-++===+-++-.故选：A. 【点睛】本题考查复数代数运算，属于基础题题.2．已知命题p ：1m =“”是“直线0x my -=和直线0x my +=互相垂直”的充要条件；命题q ：对任意()2,∈=+a R f x x a 都有零点；则下列命题为真命题的是（ ）A ．()()p q ⌝∧⌝B ．()p q ∧⌝C ．p q ∨D ．p q ∧【答案】A 【解析】 【分析】先分别判断每一个命题的真假，再利用复合命题的真假判断确定答案即可. 【详解】当1m =时，直线0x my -=和直线0x my +=，即直线为0x y -=和直线0x y +=互相垂直， 所以“1m =”是直线0x my -=和直线0x my +=互相垂直“的充分条件， 当直线0x my -=和直线0x my +=互相垂直时，21m =，解得1m =±. 所以“1m =”是直线0x my -=和直线0x my +=互相垂直“的不必要条件.p ：“1m =”是直线0x my -=和直线0x my +=互相垂直“的充分不必要条件，故p 是假命题．当1a =时，2()1f x x =+没有零点，所以命题q 是假命题．所以()()p q ⌝∧⌝是真命题，()p q ∧⌝是假命题，p q ∨是假命题，p q ∧是假命题． 故选：A ． 【点睛】本题主要考查充要条件的判断和两直线的位置关系，考查二次函数的图象， 考查学生对这些知识的理解掌握水平.3．下图是民航部门统计的某年春运期间，六个城市售出的往返机票的平均价格（单位元），以及相比于上一年同期价格变化幅度的数据统计图，以下叙述不．正确的是（ ）A ．深圳的变化幅度最小，北京的平均价格最高B ．天津的往返机票平均价格变化最大C ．上海和广州的往返机票平均价格基本相当D ．相比于上一年同期，其中四个城市的往返机票平均价格在增加 【答案】D 【解析】 【分析】根据条形图可折线图所包含的数据对选项逐一分析，由此得出叙述不正确的选项. 【详解】对于A 选项，根据折线图可知深圳的变化幅度最小，根据条形图可知北京的平均价格最高，所以A 选项叙述正确.对于B 选项，根据折线图可知天津的往返机票平均价格变化最大，所以B 选项叙述正确. 对于C 选项，根据条形图可知上海和广州的往返机票平均价格基本相当，所以C 选项叙述正确.对于D 选项，根据折线图可知相比于上一年同期，除了深圳外，另外五个城市的往返机票平均价格在增加，故D 选项叙述错误. 故选：D 【点睛】本小题主要考查根据条形图和折线图进行数据分析，属于基础题.4．已知曲线24x y =，动点P 在直线3y =-上，过点P 作曲线的两条切线12,l l ，切点分别为,A B ，则直线AB 截圆22650x y y +-+=所得弦长为（ ） AB ．2C ．4D．【答案】C 【解析】 【分析】设221212,,,,(,3)44x x A x B x P t ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，根据导数的几何意义，求出切线斜率，进而得到切线方程，将P 点坐标代入切线方程，抽象出直线AB 方程，且过定点为已知圆的圆心，即可求解. 【详解】圆22650x y y +-+=可化为22(3)4x y +-=.设221212,,,,(,3)44x x A x B x P t ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则12,l l 的斜率分别为1212,22x xk k ==， 所以12,l l 的方程为()21111:24x x l y x x =-+，即112x y x y =-，()22222:24x x l y x x =-+，即222x y x y =-，由于12,l l 都过点(,3)P t -，所以11223232x t y x t y ⎧-=-⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩，即()()1122,,,A x y B x y 都在直线32xt y -=-上， 所以直线AB 的方程为32xt y -=-，恒过定点(0,3)， 即直线AB 过圆心(0,3)，则直线AB 截圆22650x y y +-+=所得弦长为4. 故选:C. 【点睛】本题考查直线与圆位置关系、直线与抛物线位置关系，抛物线两切点所在直线求解是解题的关键，属于中档题.5．已知定义在R 上的偶函数()f x 满足(2)()f x f x +=-，且在区间[]1,2上是减函数，令12121ln 2,,log 24a b c -⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则()()(),,f a f b f c 的大小关系为（ ）A ．()()()f a f b f c <<B ．()()()f a f c f b <<C ．()()()f b f a f c <<D ．()()()f c f a f b <<【答案】C 【解析】 【分析】可设[]0,1x ∈，根据()f x 在R 上为偶函数及(2)()f x f x +=-便可得到：()()(2)f x f x f x =-=-+，可设1x ，[]20,1x ∈，且12x x <，根据()f x 在[]1,2上是减函数便可得出12()()f x f x <，从而得出()f x 在[]0,1上单调递增，再根据对数的运算得到a 、b 、c 的大小关系，从而得到()()(),,f a f b f c 的大小关系. 【详解】解：因为ln1ln 2ln e <<，即01a <<，又12124b -⎛⎫== ⎪⎝⎭，12log 21c ==-设[]0,1x ∈，根据条件，()()(2)f x f x f x =-=-+，[]21,2x -+∈； 若1x ，[]20,1x ∈，且12x x <，则：1222x x -+>-+；()f x 在[]1,2上是减函数；12(2)(2)f x f x ∴-+<-+；12()()f x f x ∴<；()f x ∴在[]0,1上是增函数；所以()()()20f b f f ==，()()()11f c f f =-=∴()()()f b f a f c <<故选：C 【点睛】考查偶函数的定义，减函数及增函数的定义，根据单调性定义判断一个函数单调性的方法和过程：设12x x <，通过条件比较1()f x 与2()f x ，函数的单调性的应用，属于中档题.6．已知集合{2,0,1,3}A =-，{B x x =<<，则集合A B 子集的个数为（ ）A ．4B ．8C ．16D ．32【答案】B【解析】 【分析】 首先求出A B ，再根据含有n 个元素的集合有2n 个子集，计算可得.【详解】解：{2,0,1,3}A =-，{B x x =<<，{2,0,1}A B ∴=-，A B ∴子集的个数为328=.故选：B . 【点睛】考查列举法、描述法的定义，以及交集的运算，集合子集个数的计算公式，属于基础题． 7．已知函数()sin()f x x ωθ=+，其中0>ω，0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，其图象关于直线6x π=对称，对满足()()122f x f x -=的1x ，2x ，有12min 2x x π-=，将函数()f x 的图象向左平移6π个单位长度得到函数()g x 的图象，则函数()g x 的单调递减区间是（）A ．()2,6k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦B ．(),2k k k Z πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦C ．()5,36k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦D ．()7,1212k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦【答案】B 【解析】 【分析】根据已知得到函数()f x 两个对称轴的距离也即是半周期，由此求得ω的值，结合其对称轴，求得θ的值，进而求得()f x 解析式.根据图像变换的知识求得()g x 的解析式，再利用三角函数求单调区间的方法，求得()g x 的单调递减区间. 【详解】解：已知函数()sin()f x x ωθ=+，其中0>ω，00,2π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，其图像关于直线6x π=对称，对满足()()122f x f x -=的1x ，2x ，有12min1222x x ππω-==⋅，∴2ω=. 再根据其图像关于直线6x π=对称，可得262k ππθπ⨯+=+，k ∈Z .∴6πθ=，∴()sin 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭. 将函数()f x 的图像向左平移6π个单位长度得到函数()sin 2cos 236g x x x ππ⎛⎫=++= ⎪⎝⎭的图像. 令222k x k πππ≤≤+，求得2k x k πππ≤≤+，则函数()g x 的单调递减区间是,2k k πππ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦，k ∈Z ，故选B. 【点睛】本小题主要考查三角函数图像与性质求函数解析式，考查三角函数图像变换，考查三角函数单调区间的求法，属于中档题.8．如图，在ABC ∆中，13AN AC =，P 是BN 上的一点，若23mAC AP AB =-，则实数m 的值为（ ）A ．13B ．19C ．1D ．2【答案】B 【解析】 【分析】23mAC AP AB =-变形为23AP mAC AB =+，由13AN AC =得3AC AN =，转化在ABN 中，利用B P N 、、三点共线可得.【详解】解：依题： 22333AP mAC AB mAN AB =+=+， 又B P N ，，三点共线，2313m ∴+=，解得19m =．故选：B ． 【点睛】本题考查平面向量基本定理及用向量共线定理求参数. 思路是(1)先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决.利用向量共线定理及向量相等的条件列方程(组)求参数的值. (2)直线的向量式参数方程：A P B 、、 三点共线⇔(1)OP t OA tOB =-+ (O 为平面内任一点,t R ∈)9．一个四面体所有棱长都是4，四个顶点在同一个球上，则球的表面积为（ ） A ．24π B ．86πC ．433πD ．12π【答案】A 【解析】 【分析】将正四面体补成正方体，通过正方体的对角线与球的半径关系，求解即可． 【详解】解：如图，将正四面体补形成一个正方体，正四面体的外接球与正方体的外接球相同，∵四面体所有棱长都是4， ∴正方体的棱长为22 设球的半径为r ， 则()222224r =+，解得6r =所以2424S r ππ==， 故选：A ． 【点睛】本题主要考查多面体外接球问题，解决本题的关键在于，巧妙构造正方体，利用正方体的外接球的直径为正方体的对角线，从而将问题巧妙转化，属于中档题． 10．已知锐角α满足2sin 21cos2 ,αα=-则tan α=（ ） A ．12B ．1C ．2D ．4【答案】C 【解析】 【分析】利用sin 22sin cos ,ααα=2cos 212sin αα=-代入计算即可.由已知，24sin cos 2sin ααα=，因α为锐角，所以sin 0α≠，2cos sin αα=， 即tan α=2. 故选：C. 【点睛】本题考查二倍角的正弦、余弦公式的应用，考查学生的运算能力，是一道基础题.11．甲在微信群中发了一个6元“拼手气”红包,被乙､丙､丁三人抢完,若三人均领到整数元,且每人至少领到1元,则乙获得“最佳手气”(即乙领到的钱数多于其他任何人)的概率是（ ） A ．13B ．310C ．25D ．34【答案】B 【解析】 【分析】将所有可能的情况全部枚举出来,再根据古典概型的方法求解即可. 【详解】设乙,丙,丁分别领到x 元,y 元,z 元,记为(,,)x y z ,则基本事件有(1,1,4),(1,4,1) ,(4,1,1),(1,2,3),(1,3,2),(2,1,3),(2,3,1),(3,1,2),(3,2,1),(2,2,2),共10个,其中符合乙获得“最佳手气”的有3个,故所求概率为310, 故选：B. 【点睛】本题主要考查了枚举法求古典概型的方法,属于基础题型. 12．已知函数()sin()(0,0)3f x x πωφωφ=+><<满足()(),()12f x f x f ππ+==1，则()12f π-等于（ ）A ．-2B ．2C ．-12D ．12【答案】C 【解析】 【分析】设()f x 的最小正周期为T ，可得,nT n N π*=∈，则*2,n n ω=∈N ，再根据112f π⎛⎫= ⎪⎝⎭得*2,,26k n k Z n N ππφπ=+-⋅∈∈，又03πφ<<，则可求出122n k -=，进而可得()12f π-.解：设()f x 的最小正周期为T ，因为()()f x f x π+=，所以,nT n N π*=∈，所以*2,T n nππω==∈N ，所以*2,n n ω=∈N ， 又112f π⎛⎫=⎪⎝⎭，所以当12x π=时，262x n k ππωϕφπ+=⋅+=+， *2,,26k n k Z n N ππφπ∴=+-⋅∈∈，因为03πφ<<02263k n ππππ∴<+-⋅<，整理得1123n k <-<，因为12n k Z -∈，122n k ∴-=，()2212266k k πππφπ∴=+-+⋅=，则2662n k ππππ⋅+=+263n k πππ∴=+ 所以()sin 212126sin 66f n n πππππ⎛⎫--- ⎪⎝⎡⎤⎛⎫=⋅+=+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎭ 1sin 2sin 3662k ππππ⎛⎫⎛⎫=--+=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故选：C. 【点睛】本题考查三角形函数的周期性和对称性，考查学生分析能力和计算能力，是一道难度较大的题目. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
广西省河池市2021届新高考数学考前模拟卷(3)含解析
广西省河池市2021届新高考数学考前模拟卷（3）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知实数x，y满足约束条件2211x yy xy kx+≥⎧⎪-≤⎨⎪+≥⎩，若2z x y=-的最大值为2，则实数k的值为（）A．1 B．53C．2 D．73【答案】B【解析】【分析】画出约束条件的可行域,利用目标函数的几何意义,求出最优解,转化求解k即可.【详解】可行域如图中阴影部分所示，22,111Bk k⎛⎫+⎪--⎝⎭，421,2121kCk k-⎛⎫⎪++⎝⎭，要使得z能取到最大值，则1k>，当12k<≤时，x在点B处取得最大值，即2221211k k⎛⎫⎛⎫-+=⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，得53k=；当2k>时，z在点C 处取得最大值，即421222121kk k-⎛⎫⎛⎫-=⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，得76k=（舍去）.故选:B.【点睛】本题考查由目标函数最值求解参数值,数形结合思想,分类讨论是解题的关键,属于中档题.2．某几何体的三视图如图所示，若图中小正方形的边长均为1，则该几何体的体积是()A ．16163π+B ．8163π+ C ．32833π+ D ．321633π+ 【答案】B【解析】该几何体是直三棱柱和半圆锥的组合体，其中三棱柱的高为2，底面是高和底边均为4的等腰三角形，圆锥的高为4，底面半径为2，则其体积为111V 44244223π=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯， 8163π=+. 故选B点睛：由三视图画出直观图的步骤和思考方法：1、首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面的直观图；2、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；3、画出整体，然后再根据三视图进行调整. 3．已知直线,m n 和平面α，若m α⊥，则“m n ⊥”是“//n α”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．不充分不必要【答案】B【解析】【分析】由线面关系可知m n ⊥，不能确定n 与平面α的关系，若//n α一定可得m n ⊥，即可求出答案.【详解】 ,m m n α⊥⊥Q ,不能确定αn ⊂还是αn ⊄，//m n n α∴⊥¿，当//n α时，存在a α⊂，//,n a ，由,m m a α⊥⇒⊥又//,n a 可得m n ⊥，所以“m n ⊥”是“//n α”的必要不充分条件，故选：B【点睛】本题主要考查了必要不充分条件，线面垂直，线线垂直的判定，属于中档题.4．如图所示的茎叶图为高三某班50名学生的化学考试成绩，算法框图中输入的1a ，2a ，3a ，L ，50a 为茎叶图中的学生成绩，则输出的m ，n 分别是（ ）A ．38m =，12n =B ．26m =，12n =C ．12m =，12n =D ．24m =，10n =【答案】B【解析】【分析】【详解】 试题分析：由程序框图可知，框图统计的是成绩不小于80和成绩不小于60且小于80的人数，由茎叶图可知，成绩不小于80的有12个，成绩不小于60且小于80的有26个，故26m =，12n =． 考点：程序框图、茎叶图．5．已知集合{|12},{|15}=-<=-A x x B x x 剟?，定义集合*{|,,}==+∈∈A B z z x y x A y B ，则*(*)B A B 等于（ ）A ．{|61}-<x x „B ．{|112}<x x „C ．{|110}-<x x „D ．{|56}-<x x „【答案】C【解析】【分析】根据*A B 定义，求出*A B ，即可求出结论.【详解】 因为集合{|15}=-B x x 剟，所以{|51}=--B x x 剟， 则*{|61}=-<A B x x „，所以*(*){|110}=-<B A B x x „.故选:C.【点睛】本题考查集合的新定义运算，理解新定义是解题的关键，属于基础题.6．已知抛物线C ：24x y =的焦点为F ，过点F 的直线l 交抛物线C 于A ，B 两点，其中点A 在第一象限，若弦AB 的长为254，则AF BF =（ ） A ．2或12 B ．3或13 C ．4或14 D ．5或15【答案】C【解析】【分析】 先根据弦长求出直线的斜率，再利用抛物线定义可求出,AF BF .【详解】设直线的倾斜角为θ，则222425cos cos 4p AB θθ===， 所以216cos 25θ=，2219tan 1cos 16θθ=-=，即3tan 4θ=±， 所以直线l 的方程为314y x =±+.当直线l 的方程为314y x =+， 联立24314x y y x ⎧=⎪⎨=+⎪⎩，解得11x =-和24x =，所以()40401AF BF -==--；同理，当直线l的方程为314y x=-+.14AFBF=，综上，4AFBF=或14.选C.【点睛】本题主要考查直线和抛物线的位置关系，弦长问题一般是利用弦长公式来处理.出现了到焦点的距离时，一般考虑抛物线的定义.7．下列图形中，不是三棱柱展开图的是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】【分析】根据三棱柱的展开图的可能情况选出选项.【详解】由图可知，ABD选项可以围成三棱柱，C选项不是三棱柱展开图.故选：C【点睛】本小题主要考查三棱柱展开图的判断，属于基础题.8．执行如图所示的程序框图后，输出的值为5，则P的取值范围是（）.A ．37,48⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．59,610⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．715,816⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．1531,1632⎛⎤ ⎥⎝⎦ 【答案】C【解析】【分析】框图的功能是求等比数列的和，直到和不满足给定的值时，退出循环，输出n.【详解】第一次循环：1,22S n ==；第二次循环：2113,3224S n =+==； 第三次循环：231117,42228S n =++==；第四次循环：234111115,5222216S n =+++==； 此时满足输出结果，故715816P <≤. 故选：C.【点睛】本题考查程序框图的应用，建议数据比较小时，可以一步一步的书写，防止错误，是一道容易题. 9．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（ ）A 3236π+B ．836πC 323163πD ．16833π+ 【答案】B【解析】【分析】还原几何体可知原几何体为半个圆柱和一个四棱锥组成的组合体，分别求解两个部分的体积，加和得到结果.【详解】由三视图还原可知，原几何体下半部分为半个圆柱，上半部分为一个四棱锥半个圆柱体积为：2211123622V r h πππ==⨯⨯=四棱锥体积为：2114333V Sh ==⨯⨯⨯=原几何体体积为：126V V V π=+=本题正确选项：B【点睛】本题考查三视图的还原、组合体体积的求解问题，关键在于能够准确还原几何体，从而分别求解各部分的体积.10．方程()()f x f x '=的实数根0x 叫作函数()f x 的“新驻点”，如果函数()ln g x x =的“新驻点”为a ，那么a 满足（ ）A ．1a =B ．01a <<C ．23a <<D ．12a <<【答案】D【解析】【分析】由题设中所给的定义，方程()()f x f x '=的实数根0x 叫做函数()f x 的“新驻点”，根据零点存在定理即可求出a 的大致范围【详解】解：由题意方程()()f x f x '=的实数根0x 叫做函数()f x 的“新驻点”，对于函数()g x lnx =，由于1()g x x'=， 1lnx x ∴=， 设1()h x lnx x=-，该函数在(0,)+∞为增函数， ()110h ∴=-<， ()122202h ln ln =-=->， ()h x ∴在(1,2)上有零点，故函数()g x lnx =的“新驻点”为a ，那么12a <<故选：D ．【点睛】本题是一个新定义的题，理解定义，分别建立方程解出a 存在范围是解题的关键，本题考查了推理判断的能力，属于基础题..11．等比数列{}n a 的各项均为正数，且384718a a a a +=，则3132310log log log a a a +++=L ( ) A ．12B ．10C ．8D ．32log 5+【答案】B【解析】【分析】由等比数列的性质求得110a a ，再由对数运算法则可得结论．【详解】∵数列{}n a 是等比数列，∴3847110218a a a a a a +==，1109a a =，∴53132310312103110log log log log ()log ()a a a a a a a a +++==L L 35log 910==．故选：B.【点睛】本题考查等比数列的性质，考查对数的运算法则，掌握等比数列的性质是解题关键．12．若函数()ln f x x x h =-++，在区间1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上任取三个实数a ，b ，c 均存在以()f a ，()f b ，()f c 为边长的三角形，则实数h 的取值范围是（ ）A ．11,1e ⎛⎫-- ⎪⎝⎭ B ．11,3e e ⎛⎫-- ⎪⎝⎭ C ．11,e ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭ D ．()3,e -+∞【答案】D【解析】【分析】利用导数求得()f x 在区间1,e e⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小，根据三角形两边的和大于第三边列不等式，由此求得h 的取值范围.【详解】 ()f x 的定义域为()0,∞+，()'111x f x x x-=-+=， 所以()f x 在1,1e ⎛⎫⎪⎝⎭上递减，在()1,e 上递增，()f x 在1x =处取得极小值也即是最小值，()1ln111f h h =-++=+，1111ln 1f h h e e e e ⎛⎫=-++=++ ⎪⎝⎭，()ln 1f e e e h e h =-++=-+，()1f f e e ⎛⎫< ⎪⎝⎭， 所以()f x 在区间1,e e⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为()1f e e h =-+. 要使在区间1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上任取三个实数a ，b ，c 均存在以()f a ，()f b ，()f c 为边长的三角形，则需()()()f a f b f c +>恒成立，且()10f >，也即()()()max min f a f b f c +>⎡⎤⎣⎦，也即当1a b ==、c e =时，()()21e f f >成立，即()211h e h +>-+，且()10f >，解得3h e >-.所以h 的取值范围是()3,e -+∞.故选：D【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的最值，考查恒成立问题的求解，属于中档题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
广西省钦州市2021届新高考数学二模考试卷含解析
广西省钦州市2021届新高考数学二模考试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．i 为虚数单位,则32i 1i-的虚部为（ ）A ．i -B ．iC ．1-D ．1【答案】C 【解析】 【分析】利用复数的运算法则计算即可. 【详解】()()()()32122111111i i i ii i i i i i i -+-===-+=----+，故虚部为1-. 故选：C. 【点睛】本题考查复数的运算以及复数的概念，注意复数(),a bi a b R +∈的虚部为b ，不是bi ，本题为基础题，也是易错题.2．执行如图所示的程序框图，若输出的结果为11，则图中的判断条件可以为（ ）A ．1?S >-B ．0?S <C ．–1?S <D ．0?S >【答案】B 【解析】 【分析】根据程序框图知当11=i 时，循环终止，此时1lg110S =-<，即可得答案. 【详解】1i =，1S =.运行第一次，11lg1lg30,33S i =+=->=，不成立，运行第二次，131lg lg 1lg50,535S i =++=->=，不成立，运行第三次，1351lg lg lg 1lg70,7357S i =+++=->=，不成立，运行第四次，13571lg lg lg lg 1lg90,93579S i =++++=->=，不成立，运行第五次，135791lg lg lg lg lg 1lg110,11357911S i =+++++=-<=，成立，输出i 的值为11，结束. 故选：B. 【点睛】本题考查补充程序框图判断框的条件，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意模拟程序一步一步执行的求解策略.3．设m u r ，n r 为非零向量，则“存在正数λ，使得λ=u r r m n ”是“0m n ⋅>u r r”的（ ） A ．既不充分也不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．充分不必要条件【答案】D 【解析】 【分析】充分性中，由向量数乘的几何意义得,0m n ou r r =，再由数量积运算即可说明成立；必要性中，由数量积运算可得),0,90m n o ou r r ⎡∈⎣，不一定有正数λ，使得λ=u r r m n ，所以不成立，即可得答案. 【详解】充分性：若存在正数λ，使得λ=u r r m n ，则,0m n o u r r =，cos00m n m n m n ou r r u r r u r r ⋅==>，得证； 必要性：若0m n ⋅>u r r ，则),0,90m n o ou r r ⎡∈⎣，不一定有正数λ，使得λ=u r r m n ，故不成立；所以是充分不必要条件 故选：D 【点睛】本题考查平面向量数量积的运算，向量数乘的几何意义，还考查了充分必要条件的判定，属于简单题.4．已知3log a =ln3b =，0.992c -=，则,,a b c 的大小关系为（ ） A ．b c a >> B ．a b c >>C ．c a b >>D ．c b a >>【答案】A【解析】 【分析】根据指数函数与对数函数的单调性，借助特殊值即可比较大小. 【详解】因为331log log 2<=， 所以12a <. 因为3＞e ，所以ln3ln 1b e =>=，因为00.991>->-，2xy =为增函数，所以0.991221c -=<< 所以b c a ＞＞， 故选：A. 【点睛】本题主要考查了指数函数、对数函数的单调性，利用单调性比较大小，属于中档题.5．设()()2141A B -，，，，则以线段AB 为直径的圆的方程是（ ）A ．22(3)2x y -+=B ．22(3)8x y -+=C ．22(3)2x y ++=D ．22(3)8x y ++=【答案】A 【解析】 【分析】计算AB 的中点坐标为()3,0，圆半径为r =.【详解】AB 的中点坐标为：()3,0，圆半径为22ABr ===， 圆方程为22(3)2x y -+=. 故选：A . 【点睛】本题考查了圆的标准方程，意在考查学生的计算能力. 6．已知集合3{|0}2xA x Z x -=∈≥+，B ＝{y ∈N|y ＝x ﹣1，x ∈A}，则A ∪B ＝（ ）A ．{﹣1，0，1，2，3}B ．{﹣1，0，1，2}C ．{0，1，2}D ．{x ﹣1≤x≤2}【答案】A 【解析】 【分析】解出集合A 和B 即可求得两个集合的并集. 【详解】∵集合3{|0}2xA x Z x -=∈≥=+{x ∈Z|﹣2＜x≤3}＝{﹣1，0，1，2，3}，B ＝{y ∈N|y ＝x ﹣1，x ∈A}＝{﹣2，﹣1，0，1，2}， ∴A ∪B ＝{﹣2，﹣1，0，1，2，3}． 故选：A ． 【点睛】此题考查求集合的并集，关键在于准确求解不等式，根据描述法表示的集合，准确写出集合中的元素.7．已知实数x ，y 满足10260x x y x y ≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩，则22z x y =+的最大值等于( )A ．2 B．C ．4D ．8【答案】D 【解析】 【分析】画出可行域，计算出原点到可行域上的点的最大距离，由此求得z 的最大值. 【详解】画出可行域如下图所示，其中()51,,2,22A C ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由于2OA ==,OC =，所以OC OA >，所以原点到可行域上的点的最大距离为所以z的最大值为(28=.故选：D【点睛】本小题主要考查根据可行域求非线性目标函数的最值，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题. 8．已知函数()1ln 11xf x x x+=++-且()()12f a f a ++>，则实数a 的取值范围是( ) A ．11,2⎛⎫--⎪⎝⎭B ．1,02⎛⎫-⎪⎝⎭C ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】B 【解析】 【分析】构造函数()()1F x f x =-，判断出()F x 的单调性和奇偶性，由此求得不等式()()12f a f a ++>的解集. 【详解】构造函数()()11ln1x F x f x x x +=-=+-，由101xx+>-解得11x -<<，所以()F x 的定义域为()1,1-，且()()111lnln ln 111x x x F x x x x F x x x x +--⎛⎫-=-=--=-+=- ⎪-++⎝⎭，所以()F x 为奇函数，而()12lnln 111x F x x x x x +⎛⎫=+=-++ ⎪--⎝⎭，所以()F x 在定义域上为增函数，且()0ln100F =+=.由()()12f a f a ++>得()()1110f a f a -++->，即()()10F a F a ++>，所以1011102111a a a a a ++>⎧⎪-<<⇒-<<⎨⎪-<+<⎩.本小题主要考查利用函数的单调性和奇偶性解不等式，属于中档题.9．设集合{}1,0,1,2A =-，{}22530B x x x =-++>，则A B =I （ ）A ．{}0,1,2B ．{}0,1C ．{}1,2D ．{}1,0,1-【答案】A 【解析】 【分析】解出集合B ，利用交集的定义可求得集合A B I . 【详解】因为{}{}2212530253032B x x x x x x x x ⎧⎫=-++>=--<=-<<⎨⎬⎩⎭，又{}1,0,1,2A =-，所以{}0,1,2A B ⋂=.故选：A. 【点睛】本题考查交集的计算，同时也考查了一元二次不等式的求解，考查计算能力，属于基础题. 10．已知31(2)(1)mx x--的展开式中的常数项为8，则实数m =（ ）A ．2B ．-2C ．-3D ．3【答案】A 【解析】 【分析】先求31(1)x-的展开式，再分类分析(2)mx -中用哪一项与31(1)x-相乘，将所有结果为常数的相加，即为31(2)(1)mx x--展开式的常数项，从而求出m 的值.【详解】31(1)x -展开式的通项为313311()(1)r r r r r r r T C C x x--+=⋅-=⋅-，当(2)mx -取2时，常数项为0322C ⨯=，当(2)mx -取mx -时，常数项为113(1)3m C m -⨯⨯-=由题知238m +=，则2m =.本题考查了两个二项式乘积的展开式中的系数问题，其中对(2)mx -所取的项要进行分类讨论，属于基础题.11．已知抛物线2:4C x y =,过抛物线C 上两点,A B 分别作抛物线的两条切线,,PA PB P 为两切线的交点O 为坐标原点若.0PA PB =u u u v u u u v,则直线OA 与OB 的斜率之积为（ ）A ．14-B ．3-C ．18-D ．4-【答案】A 【解析】 【分析】设出A ，B 的坐标，利用导数求出过A ，B 的切线的斜率，结合0PA PB ⋅=u u u r u u u r，可得x 1x 2＝﹣1．再写出OA ，OB 所在直线的斜率，作积得答案． 【详解】解：设A （2114x x ，），B （2224x x ，），由抛物线C ：x 2＝1y ，得214y x =，则y′12x =． ∴112AP k x =，212PB k x =， 由0PA PB ⋅=u u u r u u u r ，可得12114x x =-，即x 1x 2＝﹣1．又14OA x k =，24OB xk =，∴124116164OA OB x x k k -⋅===-． 故选：A ．点睛：（1）本题主要考查抛物线的简单几何性质，考查直线和抛物线的位置关系，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和分析推理能力.(2)解答本题的关键是解题的思路，由于与切线有关，所以一般先设切点，先设A 2(2,)a a ,B 2(2,)b b ,a b ¹,再求切线PA,PB 方程，求点P 坐标，再根据.0PA PB =u u u v u u u v得到1,ab =-最后求直线OA 与OB 的斜率之积.如果先设点P 的坐标，计算量就大一些.12．已知椭圆22221x y a b +=（a ＞b ＞0）与双曲线222212x y a b -=（a ＞0，b ＞0）的焦点相同，则双曲线渐近线方程为（ ）A．3y x =±B．y =C．2y x =± D．y =【答案】A 【解析】 【分析】由题意可得222222a b a b -=+，即223a b =，代入双曲线的渐近线方程可得答案. 【详解】依题意椭圆22221(a b 0)x y a b +=>>与双曲线22221(a 0,b 0)2x y a b -=>>即22221(a 0,b 022)x y a b -=>>的焦点相同，可得：22221122a b a b -=+， 即223a b =，∴b a ==双曲线的渐近线方程为：x y x==, 故选：A ． 【点睛】本题考查椭圆和双曲线的方程和性质，考查渐近线方程的求法，考查方程思想和运算能力，属于基础题． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
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第 1 页 共 13 页 2021年广西高考数学模拟试卷
（满分：150分，考试时间：120分钟。
请将答案填写在答题卡上）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合A ＝{x |(x ＋1)(x －2)≤0}，集合B 为整数集，则A ∩B ＝ ( )
A ．{－1,0}
B ．{0,1}
C ．{－2，－1,0,1}
D ．{－1,0,1,2} 2．已知非零向量a ，b 满足
a =2
b ，且（a –b ）⊥b ，则a 与b 的夹角为 A ．π6 B ．π3 C ．2π3 D ．5π6
3．若0tan >α，则 （ ）
A ．0sin >α
B ．0cos >α
C ．02sin >α
D ．02cos >α
4. 设复数z 满足(2)(2)5z i i --=，则z = （ ）
A ．23i +
B ．23i -
C ．32i +
D ．32i -
5．设函数f （x ）=cos x +b sin x （b 为常数），则“b =0”是“f （x ）为偶函数”的 （ ）
A ．充分而不必要条件
B ． 必要而不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
6．命题“*x n ∀∈∃∈R N ，，使得2
n x ≥”的否定形式是 （ ）.
A.*x n ∀∈∃∈R N ，，使得2n x <
B.*x n ∀∈∀∈R N ，，使得2n x <
C.*x n ∃∈∃∈R N ，，使得2n x <
D.*x n ∃∈∀∈R N ，，使得2n x <
7．在棱长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点O 为底面ABCD 的中心，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1内随机取一点P ，则点P 到点O 的距离大于1的概率为( )
A.π12 B ．1－π12 C.π6 D ．1－π6 8．设a >0为常数，动点M (x ，y )(y ≠0)分别与两定点F 1(－a,0)，F 2(a,0)的连线的斜率之积为定值λ，若点M 的轨迹是离心率为3的双曲线，则λ的值为( )。