最新2020-2021年高考数学模拟试题(一)
2020-2021学年高考数学文科模拟试题一及答案解析
最新高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A={x|x2﹣16＜0}，B={﹣5，0，1}，则（）A．A∩B=∅B．B⊆A C．A∩B={0，1} D．A⊆B2．如图，在复平面内，复数z1和z2对应的点分别是A和B，则=（）A．+i B．+i C．﹣﹣i D．﹣﹣i3．在等差数列{a n}中，a7=8，前7项和S7=42，则其公差是（）A．﹣B．C．﹣D．4．若x，y满足约束条件，则的最大值为（）A．2 B．C．3 D．15．已知=（﹣3，2），=（﹣1，0），向量λ+与﹣2垂直，则实数λ的值为（）A．B．﹣C．D．﹣6．执行如图所示的程序框图，输出的结果为98，则判断框内可填入的条件为（）A．n＞4？B．n＞5？C．n＞6？D．n＞7？7．函数f（x）=x﹣sinx的图象是（）A．B．C．D．8．如图所示，三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，△ABC为正三角形，PA=AB，E是PC的中点，则异面直线AE和PB所成角的余弦值为（）A．B．C．D．9．已知函数f（x）=|log4x|，正实数m，n满足m＜n，且f（m）=f（n），若f（x）在区间[m2，n]上的最大值为2，则m，n的值分别为（）A．，2 B．，4 C．，2 D．，410．已知一个三棱锥的三视图如图所示，若该三棱锥的四个顶点均在同一球面上，则该求的体积为（）A．B．4πC．2πD．11．已知椭圆：，左右焦点分别为F1，F2，过F1的直线l交椭圆于A，B两点，若的最大值为5，则b的值是（）A．1 B．C．D．12．函数y=f（x）为定义在R上的减函数，函数y=f（x﹣1）的图象关于点（1，0）对称，x，y满足不等式f（x2﹣2x）+f（2y﹣y2）≤0，M（1，2），N（x，y），O为坐标原点，则当1≤x≤4时，的取值范围为（）A．[12，+∞] B．[0，3] C．[3，12] D．[0，12]二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．某种产品的广告费支出x与销售额y之间有如表对应数据（单位：百万元）．x 2 4 5 6 8y 30 40 60 t 70根据上表提供的数据，求出y关于x的线性回归方程为=6.5x+17.5，则表中t的值为．14．过原点的直线与双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）交于M，N两点，P是双曲线上异于M，N的一点，若直线MP与直线NP的斜率都存在且乘积为，则双曲线的离心率为．15．已知函数f（x）=（x∈R），正项等比数列{a n}满足a50=1，则f（lna1）+f（lna2）+…+f（lna99）等于．16．△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，下列命题正确的是（写出正确命题的编号）．①总存在某内角α，使cosα≥；②若AsinB＞BsinA，则B＞A；③存在某钝角△ABC，有tanA+tanB+tanC＞0；④若2a+b+c=，则△ABC的最小角小于．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知函数f（x）=2sinxcosx﹣2cos2x+1．（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）在△ABC中，若f（）=2，边AC=1，AB=2，求边BC的长及sinB的值．18．某学校高三年级有学生500人，其中男生300人，女生200人，为了研究学生的数学成绩是否与性别有关，现采用分层抽样的方法，从中抽取了100名学生，先统计了他们期中考试的数学分数，然后按性别分为男、女两组，再将两组学生的分数分成5组：[100，110），[110，120），[120，130），[130，140），[140，150]分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．（1）从样本中分数小于110分的学生中随机抽取2人，求两人恰好为一男一女的概率；（2）若规定分数不小于130分的学生为“数学尖子生”，请你根据已知条件完成2×2列联表，并判断是否有90%的把握认为“数学尖子生与性别有关”？0.100 0.050 0.010 0.001P（K2≥k0）2.7063.841 6.635 10.828k0附：K2=．19．如图甲，圆O的直径AB=2，圆上两点C，D在直径AB的两侧，使∠CAB=，∠DAB=，沿直径AB折起，使两个半圆所在的平面互相垂直（如图乙），F为BC的中点，根据图乙解答下列各题：（1）求点B到平面ACD的距离；（2）如图：若∠DOB的平分线交于一点G，试判断FG是否与平面ACD平行？并说明理由．20．已知椭圆C：（a＞b＞0）过点A（2，0），离心率为．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过点B（1，0）且斜率为k（k≠0））的直线l与椭圆C相交于E，F两点，直线AE，AF分别交直线x=3 于M，N两点，线段MN的中点为P．记直线PB的斜率为k′，求证：k•k′为定值．21．已知函数f（x）=x﹣﹣alnx（a∈R）．（1）当a＞0时，讨论f（x）的单调区间；（2）设g（x）=f（x）+2alnx，且g（x）有两个极值点为x1，x2，其中x1∈（0，e]，求g（x1）﹣g（x2）的最小值．四、请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.【选修4-1：几何证明选讲】22．如图，AB是⊙O的一条切线，切点为B，直线ADE、CFD、CGE都是⊙O的割线，已知AC=AB．（1）若CG=1，CD=4．求的值．（2）求证：FG∥AC．【选修4-4：坐标系与参数方程】23．已知平面直角坐标系xOy，以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，P点的极坐标为（2，），曲线C的参数方程为（θ为参数）．（1）写出点P的直角坐标及曲线C的直角坐标方程；（2）若Q为曲线C上的动点，求PQ中点M到直线l：ρcosθ+2ρsinθ+1=0的距离的最小值．选修4-5：不等式选讲24．已知函数f（x）=|x﹣1|．（1）解不等式f（x）+f（x+4）≥8；（2）若|a|＜1，|b|＜1，且a≠0，求证：f（ab）＞|a|f（）．参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A={x|x2﹣16＜0}，B={﹣5，0，1}，则（）A．A∩B=∅B．B⊆A C．A∩B={0，1} D．A⊆B【考点】交集及其运算．【分析】根据集合的基本运算进行求解即可．【解答】解：A={x|x2﹣16＜0}={x|﹣4＜x＜4}，B={﹣5，0，1}，则A∩B={0，1}，故选：C2．如图，在复平面内，复数z1和z2对应的点分别是A和B，则=（）A．+i B．+i C．﹣﹣i D．﹣﹣i【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】由图形可得：z1=﹣2﹣i，z2=i．再利用复数的运算法则即可得出．【解答】解：由图形可得：z1=﹣2﹣i，z2=i．∴====﹣﹣i，故选：C．3．在等差数列{a n}中，a7=8，前7项和S7=42，则其公差是（）A．﹣B．C．﹣D．【考点】等差数列的通项公式．【分析】由通项公式和求和公式可得a1和d的方程组，解方程组可得．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，∵a7=8，前7项和S7=42，∴a1+6d=8，7a1+d=42，解得a1=4，d=故选：D4．若x，y满足约束条件，则的最大值为（）A．2 B．C．3 D．1【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用斜率的几何意义结合数形结合进行求解即可．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：的几何意义是区域内的点到点D（0，1）的斜率，由图象知AD的斜率最大，由，得，即A（1，3），此时的最大值为，故选：A．5．已知=（﹣3，2），=（﹣1，0），向量λ+与﹣2垂直，则实数λ的值为（）A．B．﹣C．D．﹣【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系．【分析】根据两向量垂直，数量积为0，列出方程求出λ的值即可．【解答】解：∵=（﹣3，2），=（﹣1，0），∴=13，=1，•=3；又向量λ+与﹣2垂直，∴（λ+）•（﹣2）=λ+（1﹣2λ）•﹣2=0，即13λ+3（1﹣2λ）﹣2=0，解得λ=﹣．故选：B．6．执行如图所示的程序框图，输出的结果为98，则判断框内可填入的条件为（）A．n＞4？B．n＞5？C．n＞6？D．n＞7？【考点】程序框图．【分析】模拟执行程序框图，依次得到s，n的值，当n=5时，由题意满足条件，退出循环，输出s的值为98，从而可得判断框内可填入的条件．【解答】解：模拟执行程序框图，可得：s=0，n=1执行循环体，s=2，n=2不满足条件，执行循环体，s=10，n=3不满足条件，执行循环体，s=34，n=4不满足条件，执行循环体，s=98，n=5此时，由题意，满足条件，退出循环，输出s的值为98，则判断框内可填入的条件为：n＞4？故选：A．7．函数f（x）=x﹣sinx的图象是（）A．B．C．D．【考点】函数的图象．【分析】先根据函数的奇偶性排除B，D，再根据特殊值排除C，问题得以解决．【解答】解：∵f（﹣x）=﹣x+sinx=﹣（x﹣sinx）=﹣f（x），∴f（x）为奇函数，即图象关于原点对称，排除B，D，当x=时，f（）=﹣1＜0，故排除C，故选：A8．如图所示，三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，△ABC为正三角形，PA=AB，E是PC的中点，则异面直线AE和PB所成角的余弦值为（）A．B．C．D．【考点】异面直线及其所成的角．【分析】取BC的中点F，连接EF，AF，得到∠AEF或其补角就是异面直线AE和PB所成角，由此能求出异面直线AE和PB所成角的余弦值．【解答】解：取BC的中点F，连接EF，AF，则EF∥PB，∴∠AEF或其补角就是异面直线AE和PB所成角，∵△ABC为正三角形，∴∠BAC=60°．设PA=AB=2a，PA⊥平面ABC，∴，∴．∴异面直线AE和PB所成角的余弦值为．故选：B．9．已知函数f（x）=|log4x|，正实数m，n满足m＜n，且f（m）=f（n），若f（x）在区间[m2，n]上的最大值为2，则m，n的值分别为（）A．，2 B．，4 C．，2 D．，4【考点】对数函数的图象与性质．【分析】由题意和对数函数的性质得m＜1＜n、log4m＜0、log4n＞0，代入已知的等式由对数的运算性质化简，由f（x）的最大值和对数函数的性质列出方程，求出m、n的值．【解答】解：∵函数f（x）=|log4x|，正实数m，n满足m＜n，且f（m）=f（n），∴m＜1＜n，log4m＜0，log4n＞0，则﹣log4m=log4n，∴，得mn=1，∵f（x）在区间[m2，n]上的最大值为2，∴f（x）在区间上的最大值为2，∴，则log4m=﹣1，解得，故选B．10．已知一个三棱锥的三视图如图所示，若该三棱锥的四个顶点均在同一球面上，则该求的体积为（）A．B．4πC．2πD．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】作出棱锥直观图，根据棱锥的结构特征和球的性质找出球心位置计算球的半径．【解答】解：根据三视图作出棱锥D﹣ABC的直观图，其中底面ABC是等腰直角三角形，AC=BC=1，DC⊥底面ABC，DC=，取AB中点E，过E作EH⊥底面ABC，且HE==．连结AH，则H为三棱锥外接球的球心．AH为外接球的半径．∵AE==，∴AH==1．∴棱锥外接球的体积V==．故选D．11．已知椭圆：，左右焦点分别为F1，F2，过F1的直线l交椭圆于A，B两点，若的最大值为5，则b的值是（）A．1 B．C．D．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【分析】利用椭圆的定义，结合∵的最大值为5，可得当且仅当AB⊥x轴时，|AB|的最小值为3，由此可得结论．【解答】解：由题意：+|AB|=4a=8∵的最大值为5，∴|AB|的最小值为3当且仅当AB⊥x轴时，取得最小值，此时A（﹣c，），B（﹣c，﹣）代入椭圆方程可得：∵c2=4﹣b2∴∴b=故选D．12．函数y=f（x）为定义在R上的减函数，函数y=f（x﹣1）的图象关于点（1，0）对称，x，y满足不等式f（x2﹣2x）+f（2y﹣y2）≤0，M（1，2），N（x，y），O为坐标原点，则当1≤x≤4时，的取值范围为（）A．[12，+∞] B．[0，3] C．[3，12] D．[0，12]【考点】简单线性规划的应用；平面向量数量积的运算．【分析】判断函数的奇偶性，推出不等式，利用约束条件画出可行域，然后求解数量积的范围即可．【解答】解：函数y=f（x﹣1）的图象关于点（1，0）对称，所以f（x）为奇函数．∴f（x2﹣2x）≤f（﹣2y+y2）≤0，∴x2﹣2x≥﹣2y+y2，∴即，画出可行域如图，可得=x+2y∈[0，12]．故选D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．某种产品的广告费支出x与销售额y之间有如表对应数据（单位：百万元）．x 2 4 5 6 8y 30 40 60 t 70根据上表提供的数据，求出y关于x的线性回归方程为=6.5x+17.5，则表中t的值为50 ．【考点】线性回归方程．【分析】计算样本中心点，根据线性回归方程恒过样本中心点，即可得到结论．【解答】解：由题意，，=40+∵y关于x的线性回归方程为=6.5x+17.5，∴40+=6.5×5+17.5∴40+=50∴=10∴t=50故答案为：50．14．过原点的直线与双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）交于M，N两点，P是双曲线上异于M，N的一点，若直线MP与直线NP的斜率都存在且乘积为，则双曲线的离心率为．【考点】双曲线的简单性质．【分析】设出P，M，N的坐标，根据直线斜率之间的关系建立方程关系进行求解即可．【解答】解：由双曲线的对称性知，可设P（x0，y0），M（x1，y1），则N（﹣x1，﹣y1）．由，可得：，即，即，又因为P（x0，y0），M（x1，y1）均在双曲线上，所以，，所以，所以双曲线的离心率为．故答案为：．15．已知函数f（x）=（x∈R），正项等比数列{a n}满足a50=1，则f（lna1）+f（lna2）+…+f（lna99）等于．【考点】数列的函数特性．【分析】根据等比数列的性质得到：a49•a51=a48•a52=…=a1•a99=1，所以lna49+lna51=lna48+lna52=…=lna1+lna99=0，由题知f（x）+f（﹣x）=1，得f（lna1）+f（lna2）+…+f（lna99）里有49个1和f（lna50），而f（lna50）=代入其中得到即可．【解答】解：由f（x）=，f（﹣x）=，可知f（x）+f（﹣x）=1，∵正项等比数列{a n}满足a50=1，根据等比数列的性质得到：a49•a51=a48•a52=…=a1•a99=1，∴lna49+lna51=lna48+lna52=…=lna1+lna99=0，lna50=ln1=0且f（lna50）=f（ln1）=f（0）=，根据f（x）+f（﹣x）=1得f（lna1）+f（lna2）+…+f（lna99）=[f（lna1）+f（lna99）]+[f（lna2）+f（lna98）]+…+[f（lna49）+f（lna51）]+f（lna50）=49+=．故答案是：．16．△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，下列命题正确的是①④（写出正确命题的编号）．①总存在某内角α，使cosα≥；②若AsinB＞BsinA，则B＞A；③存在某钝角△ABC，有tanA+tanB+tanC＞0；④若2a+b+c=，则△ABC的最小角小于．【考点】命题的真假判断与应用．【分析】对于①，可先根据三角形内角和定理判断角α的范围，从而确定cosα的值域；对于②，结合式子的特点，可构造函数y=，研究其单调性解决问题；对于③，利用内角和定理结合两角和的正切公式研究tanA+tanB+tanC的符号即可；对于④，可以利用平面向量的运算方法将给的条件转化为三边a，b，c之间的关系，然后找到最小边，利用余弦定理求其余弦值，问题可获解决．【解答】解：对于①，假设三个内角都大于60°，则三内角和必大于180°，与内角和定理矛盾，故必有一内角小于或等于60°，设为α，则cosα≥cos60°=，故①为真命题；对于②，由题意不妨令，因为，因为时，tanx＞x＞0，所以，所以xcosx﹣sinx＜0，所以f′（x）＜0，即f（x）在x上为减函数，所以题意得AsinB＞BsinA即为，则应有B＜A，故②为假命题；对于③，由题意不妨设C，则A，B皆为锐角，且tanA＞0，tanB＞0，tanC＜0．又，整理得tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC＜0，故③为假命题；对于④，由2a+b+c=得2a+b+=（2a﹣c）=，即，而不共线，所以2a﹣c=0，b﹣c=0，解得c=2a，b=2a，则a是最小边，所以A为最小角，所以cosA=，故，故④正确．故答案为①④．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知函数f（x）=2sinxcosx﹣2cos2x+1．（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）在△ABC中，若f（）=2，边AC=1，AB=2，求边BC的长及sinB的值．【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．【分析】（1）利用倍角公式降幂，再由两角差的正弦化积，最后由周期公式求得周期；（2）由f（）=2求得角A，再由已知结合余弦定理求得BC，最后由正弦定理求得sinB的值．【解答】解：（1）f（x）=2sinxcosx﹣2cos2x+1=，∴，即函数f（x）的最小正周期为π；（2）∵，A∈（0，π），∴，则．在△ABC中，由余弦定理得，，即，∴．由正弦定理，可得．18．某学校高三年级有学生500人，其中男生300人，女生200人，为了研究学生的数学成绩是否与性别有关，现采用分层抽样的方法，从中抽取了100名学生，先统计了他们期中考试的数学分数，然后按性别分为男、女两组，再将两组学生的分数分成5组：[100，110），[110，120），[120，130），[130，140），[140，150]分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．（1）从样本中分数小于110分的学生中随机抽取2人，求两人恰好为一男一女的概率；（2）若规定分数不小于130分的学生为“数学尖子生”，请你根据已知条件完成2×2列联表，并判断是否有90%的把握认为“数学尖子生与性别有关”？0.100 0.050 0.010 0.001P（K2≥k0）2.7063.841 6.635 10.828k0附：K2=．【考点】独立性检验；频率分布直方图．【分析】（1）根据分层抽样原理计算抽取的男、女生人数，利用列举法计算基本事件数，求出对应的概率值；（2）由频率分布直方图计算对应的数据，填写列联表，计算K2值，对照数表即可得出概率结论．【解答】解：（1）由已知得，抽取的100名学生中，男生60名，女生40名，分数小于等于110分的学生中，男生人有60×0.05=3（人），记为A1，A2，A3；女生有40×0.05=2（人），记为B1，B2；…从中随机抽取2名学生，所有的可能结果共有10种，它们是：（A1，A2），（A1，A3），（A2，A3），（A1，B1），（A1，B2），（A2，B1），（A2，B2），（A3，B1），（A3，B2），（B1，B2）；其中，两名学生恰好为一男一女的可能结果共有6种，它们是：（A1，B1），（A1，B2），（A2，B1），（A2，B2），（A3，B1），（A3，B2）；…故所求的概率为P==…（2）由频率分布直方图可知，在抽取的100名学生中，男生60×0.25=15（人），女生40×0.375=15（人）；…据此可得2×2列联表如下：数学尖子生非数学尖子生合计男生15 45 60女生15 25 40合计30 70 100所以得K2==≈1.79；…因为1.79＜2.706，所以没有90%的把握认为“数学尖子生与性别有关”…19．如图甲，圆O的直径AB=2，圆上两点C，D在直径AB的两侧，使∠CAB=，∠DAB=，沿直径AB折起，使两个半圆所在的平面互相垂直（如图乙），F为BC的中点，根据图乙解答下列各题：（1）求点B到平面ACD的距离；（2）如图：若∠DOB的平分线交于一点G，试判断FG是否与平面ACD平行？并说明理由．【考点】点、线、面间的距离计算；直线与平面平行的判定．【分析】（1）利用等体积方法求点B到平面ACD的距离；（2）BD弧上存在一点G，满足DG=GB，使得FG∥面ACD．通过中位线定理可得面FOG∥面ACD，再由性质定理，即可得到结论．【解答】解：（1）在图甲中，∵AB是圆O的直径，∴AD⊥BD，AC⊥BC，∵AB=2，∠DAB=，∴AD=1，BD=，∴S△ABD=AD•BD=．∵∠CAB=，∴OC⊥AB，OC=AB=1．在图乙中，∵平面ABC⊥平面ABD，平面ABC∩平面ABD=AB，OC⊥AB，∴OC⊥平面ABD，∴V C﹣ABD==∵△ACD中，AC=，CD=，AD=1，∴S△ACD==，设点B到面ACD的距离为h，则=，∴h=∴点B到面ACD的距离为．（2）FG∥面ACD，理由如下：连结OF，则△ABC中，F，O分别为BC，AB的中点，∴FO∥AC，又∵FO⊄面ACD，AC⊂面ACD，∴FO∥面ACD，∵OG是∠DOB的平分线，且OD=OB，令OG交DB于M，则M是BD的中点，连结MF，则MF∥CD，又∵MF⊄面ACD，CD⊂面ACD，∴MF∥面ACD，且MF∩FO=F，MF，FO⊂面FOG，∴面FOG∥面ACD．又FG⊂面FOG，∴FG∥面ACD．20．已知椭圆C：（a＞b＞0）过点A（2，0），离心率为．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过点B（1，0）且斜率为k（k≠0））的直线l与椭圆C相交于E，F两点，直线AE，AF分别交直线x=3 于M，N两点，线段MN的中点为P．记直线PB的斜率为k′，求证：k•k′为定值．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．【分析】（I）利用椭圆的离心率计算公式，顶点A（a，0），及其a2=b2+c2即可得出a，b，c，于是得到椭圆的标准方程；（II）设直线l的方程为y=k（x﹣1）．与椭圆的方程联立即可得到根与系数的关系，利用直线AE，AF的方程即可得到点M，N，及中点P的坐标，再利用斜率的计算公式即可证明．【解答】解：（Ⅰ）依题得解得a2=4，b2=1．所以椭圆C的方程为．（Ⅱ）根据已知可设直线l的方程为y=k（x﹣1）．由得（1+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣4=0．设E（x1，y1），F（x2，y2），则，．直线AE，AF的方程分别为：，，令x=3，则M，N，所以P．所以k•k′====．21．已知函数f（x）=x﹣﹣alnx（a∈R）．（1）当a＞0时，讨论f（x）的单调区间；（2）设g（x）=f（x）+2alnx，且g（x）有两个极值点为x1，x2，其中x1∈（0，e]，求g（x1）﹣g（x2）的最小值．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；（2）求出g（x）的导数，令g′（x）=0，设出方程的两根为x1，x2，得到，得到，，确定a的符号，求出g（x1）﹣g（x2）的表达式，根据函数的单调性求出其最小值即可．【解答】解：（1）f（x）的定义域（0，+∞），，令f′（x）=0，得x2﹣ax+1=0，①当0＜a≤2时，△=a2﹣4≤0，此时，f′（x）≥0恒成立，所以，f（x）在定义域（0，+∞）上单调递增；②当a＞2时，△=a2﹣4＞0，解x2﹣ax+1=0的两根为：，，当时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；当时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；当时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；综上得，当0＜a≤2时，f（x）的递增区间为（0，+∞），无递减区间；当a＞2时，f（x）的递增区间为，，递减区间为；（2），定义域为（0，+∞），，令g′（x）=0，得x2+ax+1=0，其两根为x1，x2，且，所以，，，∴a＜0．∴=，设，x∈（0，e]，则（g（x1）﹣g（x2））min=h（x）min．∵，当x∈（0，e]时，恒有h′（x）≤0，∴h（x）在（0，e]上单调递减；∴，∴．四、请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.【选修4-1：几何证明选讲】22．如图，AB是⊙O的一条切线，切点为B，直线ADE、CFD、CGE都是⊙O的割线，已知AC=AB．（1）若CG=1，CD=4．求的值．（2）求证：FG∥AC．【考点】相似三角形的性质；与圆有关的比例线段．【分析】（1）根据圆内接四边形的性质，证出∠CGF=∠CDE且∠CFG=∠CED，可得△CGF∽△CDE，因此==4；（2）根据切割线定理证出AB2=AD•AE，所以AC2=AD•AE，证出=，结合∠EAC=∠DAC得到△ADC∽△ACE，所以∠ADC=∠ACE．再根据圆内接四边形的性质得∠ADC=∠EGF，从而∠EGF=∠ACE，可得GF∥AC．【解答】解：（1）∵四边形DEGF内接于⊙O，∴∠CGF=∠CDE，∠CFG=∠CED．因此△CGF∽△CDE，可得=，又∵CG=1，CD=4，∴=4；证明：（2）∵AB与⊙O的相切于点B，ADE是⊙O的割线，∴AB2=AD•AE，∵AB=AC，∴AC2=AD•AE，可得=，又∵∠EAC=∠DAC，∴△ADC∽△ACE，可得∠ADC=∠ACE，∵四边形DEGF内接于⊙O，∴∠ADC=∠EGF，因此∠EGF=∠ACE，可得GF∥AC．【选修4-4：坐标系与参数方程】23．已知平面直角坐标系xOy，以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，P点的极坐标为（2，），曲线C的参数方程为（θ为参数）．（1）写出点P的直角坐标及曲线C的直角坐标方程；（2）若Q为曲线C上的动点，求PQ中点M到直线l：ρcosθ+2ρsinθ+1=0的距离的最小值．【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）P点的极坐标为（2，），利用互化公式可得：点P的直角坐标．由，利用平方关系可得普通方程．（2）曲线C的参数方程为（θ为参数），对于直线l的极坐标利用互化公式可得直线l的普通方程．设，则，利用点到直线的距离公式可得点M到直线l的距离，再利用三角函数的值域即可得出．【解答】解：（1）P点的极坐标为（2，），利用互化公式可得：点P的直角坐标，由，得，∴曲线C的直角坐标方程为．（2）曲线C的参数方程为（θ为参数），直线l：ρcosθ+2ρsinθ+1=0可得直线l的普通方程为x+2y+1=0，设，则，则点M到直线l的距离，∴点M到直线l的最小距离为．选修4-5：不等式选讲24．已知函数f（x）=|x﹣1|．（1）解不等式f（x）+f（x+4）≥8；（2）若|a|＜1，|b|＜1，且a≠0，求证：f（ab）＞|a|f（）．【考点】绝对值不等式的解法；不等式的证明．【分析】（Ⅰ）根据f（x）+f（x+4）=|x﹣1|+|x+3|=，分类讨论求得不等式f（x）+f（x+4）≥8的解集．（Ⅱ）要证的不等式即|ab﹣1|＞|a﹣b|，根据|a|＜1，|b|＜1，可得|ab﹣1|2﹣|a﹣b|2 ＞0，从而得到所证不等式成立．【解答】解：（Ⅰ）f（x）+f（x+4）=|x﹣1|+|x+3|=，当x＜﹣3时，由﹣2x﹣2≥8，解得x≤﹣5；当﹣3≤x≤1时，f（x）≤8不成立；当x＞1时，由2x+2≥8，解得x≥3．所以，不等式f（x）+f（x+4）≤4的解集为{x|x≤﹣5，或x≥3}．（Ⅱ）f（ab）＞|a|f（），即|ab﹣1|＞|a﹣b|．因为|a|＜1，|b|＜1，所以|ab﹣1|2﹣|a﹣b|2=（a2b2﹣2ab+1）﹣（a2﹣2ab+b2）=（a2﹣1）（b2﹣1）＞0，所以|ab﹣1|＞|a﹣b|，故所证不等式成立．2016年10月16日。
江苏省2020-2021学年度第一学期新高考质量检测模拟试题高三数学试题
江苏省2020-2021学年度第一学期新高考质量检测模拟试题高三数学试题第I 卷(选择题共60分)一､单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分)1. 设全集为R,集合2{|0x A x x -=>B={x|x ≥1},则A ∩B 等于( ) A.{x|0<x ≤1}B.{x|0<x<1}C.{x|1≤x<2}D.{x|0<x<2}2.复平面内表示复数622i zi +=-的点位于() A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限 3.若0.131log ,72m n ==,4log 25,p =则m,n,p 的大小关系为() A.m>p>n B.p>n>m C.p>m>n D.n>p>m4. 在公比为q 的正项等比数列{}n a 中, a 4=1,则当2a 2 + a 6取得最小值时, log 2q 等于()1111 (4488)A B C D -- 5.如图,在正方体1111ABCD A B C D -中,E,F 分别为棱AB,1CC 的中点,在平面11ADD A 内且与平面1D EF 平行的直线()A.不存在B.有1条C.有2条D.有无数条6.在△ABC 中,内角A,B,C 所对应的边分别为a,b,c,且asin2B+bsinA=0,若a+c=2,则边b 的最小值为()A .B .CD 7.已知双曲线22221(0,x y a b a a -=>>0)的左､右焦点分别为1,F 2,F 过2F 且斜率为247的直线与双曲线在第一象限的交点为A,若2211()0,F F F A F A +⋅=则此双曲线的标准方程可能为()2.743x y A -= 22.134x y B -= 22.1169x y C -= 22.1916x y D -=8.已知函数f(32()ln 3,()a f x x x g x x x x =++=-,若,12121,[,2],()3()0x x f x g x ∀∈-≥,则实数a 的取值范围为()A.[4,+∞)B.[3,+∞)C.[2,+∞)D.[1,+∞) 二､多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分｡全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分)9.将函数f(x)=sin3x 的图象向右平移6π个单位长度后得到函数g(x)的图象,则() A.g(x)在[0,]2π上的最小值为0 B.g(x)在[0,]2π上的最小值为-1 C.g(x)在[0,]2π上的最大值为0 D.g(x)在[0,]2π上的最大值为1 10.如图所示的函数图象,对应的函数解析式不可能是()2.21x A y x =--B.y=2xsinX .ln x C y x = 2.(2)x D y x x e =-11. 已知函数122cos 2,0,()log ,()2,0a x x f x x x g x x a x +≥⎧=+=⎨+<⎩(a ∈R ),若对任意X1∈[2, +∞),总存在x 2∈R ,使f(x 1)= g(x 2),则实数a 的值可以是( )17 (22)A B C -1D.2 12.在数列{a n }中,若22*1(2,.n n a a p n n -=≥∈-N p 为常数),则称{a n }为“等方差数列”.下列对“等方差数列”的判断正确的是()A.若{an}是等差数列,则{a n }是等方差数列 .{(1)}n B -}是等方差数列C.若{an}是等方差数列,则*}{(),kn a k ∈N k 为常数)也是等方差数列D.若{a n }既是等方差数列,又是等差数列,则该数列为常数列第II 卷(非选择题共90分)三､填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分) 13.211,0()2(1),0x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪-->⎩, 则使f(a)=-1成立的a 的值是______.14.已知2012(1)(1)(1)(n n n x a a x a x a x n *=+++++++∈N ）对任意x ∈R 恒成立,则a 0=____;若a 4+a 5=0,则n=________.(本题第一空2分,第二空3分)15.若一个圆柱的轴截面是面积为4的正方形,则该圆柱的外接球的表面积为________.16. 已知数列{}n a 的前n 项和为,n S 且满足:a 1=1,*2212,1(),n n n a s a a n ++=+=-∈N 不等式n nS a λ>恒成立，则实数λ的取值范围是____.四､解答题(本大题共6小题,共70分)17. (10分)已知等差数列{}n a 的公差不为零，a 1=25,且a 1, a 11,13a 成等比数列.(1)求{a n }的通项公式;(2)设(1),n n n b a =-求数列{}n b 前2020项的和.18. (12分)在△ABC 中，角A, B, C 所对的边分别为a, b, c, bsinB+ csin C=asin sin ).sin B c A A +（ (1)求A 的大小;(2)若,3a B π==求△ABC 的面积.19.(12分)如图,在五边形ABSCD 中,四边形ABCD 为长方形,△SBC 为边长为2的正三角形,将△SBC 沿BC 折起,使得点S 在平面ABCD.上的射影恰好在AD 上｡(1)当AB =时,证明:平面SAB ⊥平面SCD;(2)若AB=1,求平面SCD 与平面SBC 所成二面角的余弦值的绝对值｡20.(12分)某工厂欲购买软件服务,有如下两种方案:方案一:软件服务公司每日收取工厂60元,对于提供的软件服务每次10元;方案二:软件服务公司每日收取工厂200元,若每日软件服务不超过15次,不另外收费,若超过15次,超过部分的软件服务每次收费标准为20元｡(1)设日收费为y 元,每天软件服务的次数为x,试写出两种方案中y 与x 的函数关系式;(2)该工厂对过去100天的软件服务的次数进行了统计,得到如图所示的条形图,依据该统计数据,把频率视为概率,从节约成本的角度考虑,从两个方案中选择一个,哪个方案更合适?请说明理由｡21.(12分)(2020济南模拟)已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>焦距为 (1)求C 的方程;(2)若斜率为12-的直线l 与椭圆C 交于P,Q 两点(点P,Q 均在第一象限),O 为坐标原点. 证明:直线OP,PQ,OQ 的斜率依次成等比数列.22. (12 分)已知函数f(x)=lnx, g(x)=x -1.(1)当k 为何值时,直线y= g(x)是曲线y= kf(x)的切线;(2)若不等式:()g af x ≥在[1, e]上恒成立,求a 的取值范围.。
2020-2021学年高三数学(理科)第一次高考模拟考试试题及答案解析
@学无止境！@绝密★启用前 试卷类型：A 最新第一次高考模拟考试数学试卷（理科）本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分150分，考试时间120分钟。
注意事项：1．答卷前，考生要务必填写答题卷上的有关项目。
2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答案填在答题卡相应的位置上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液. 不按以上要求作答的答案无效。
4．考生必须保持答题卷的整洁，考试结束后，将答题卷交回。
第Ⅰ卷 （选择题，共60分）一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.复数i215-（i为虚数单位）的虚部是（ ）A. 2iB. 2i -C. 2-D. 22. 下列函数在其定义域上既是奇函数又是减函数的是 （ ）A ．()2x f x =B ．()sin f x x x =C ．1()f x x =D ．()||f x x x =- 3.已知()=-παcos 12，πα-<<，则tan α=（ ）A.B.C. D.4.设双曲线2214y x -=上的点P到点的距离为6，则P点到(0,的距离是（ ）@学无止境！@A ．2或10 B.10 C.2 D.4或85. 下列有关命题说法正确的是（ ）A. 命题p ：“sin +cos =2x x x ∃∈R ，”，则⌝p 是真命题 B ．21560x x x =---=“”是“”的必要不充分条件 C ．命题2,10x x x ∃∈++<R “使得”的否定是：“210x x x ∀∈++<R ，”D ．“1>a ”是“()log (01)(0)a f x x a a =>≠+∞，在，上为增函数”的充要条件6. 将函数⎪⎭⎫⎝⎛-=32sin )(πx x f 的图像向右平移3π个单位得到函数)(x g 的图像,则)(x g 的一条对称轴方程可以为 （ ） A. 43π=x B. 76x π= C. 127π=x D. 12π=x 7．2015年高中生技能大赛中三所学校分别有3名、2名、1名学生获奖，这6名学生要排成一排合影，则同校学生排在一起的概率是 （ ）A ．130 B ．115 C ．110 D ．158．执行如图8的程序框图，若输出S 的值是12，则a 的值可以为（ ）A ．2014B ．2015C ．2016D ．20179．若某几何体的三视图(单位：cm )如图所示，则该几何体的体积（ ）A.310cmB.320cmC.330cmD.340cm10．若nx x ⎪⎭⎫ ⎝⎛-321的展开式中存在常数项，则n 可以为 （ ） A ．8 9 C ．10 D. 1111．=∠=⋅==∆C CA A B CA BC ABC 则中在,60,6,8, （ ）A ．︒60B ．C ．︒150D ．︒120 12. 形如)0,0(||>>-=b c cx by 的函数因其图像类似于汉字中的“囧”字，故我们把其生动地称为“囧函数”．若函数()()2log 1a f x x x =++)1,0(≠>a a 有最小值，则当,c b 的值分别为方程222220x y x y +--+=中的,x y 时的“囧函数”与函数||log x y a =的图像交点个数为（ ）．A ．1B ．2C ．4D ．6第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二.填空题：本大题共4小题，每小题 5分，共20分.13．一个长方体高为5，底面长方形对角线长为12，则它外接球的表面积为@学无止境！@14．如图，探照灯反射镜的纵截面是抛物线的一部分，光源在抛物线的焦点F 处，灯口直径AB 为60cm ，灯深（顶点O 到反射镜距离）40cm ， 则光源F 到反射镜顶点O 的距离为15.已知点()y x P ,的坐标满足条件⎪⎩⎪⎨⎧>-+≤≤02221y x y x ，那么()221y x ++的取值范围为 16．CD CB AD AC AD AB ，AB D ABC 3,,3,===∆且的一个三等分点为中在，则B cos =三.解答题：本大题共5小题，每题12分共60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（本小题满分12分）已知{}n b 为单调递增的等差数列，168,266583==+b b b b ,设数列{}n a 满足n b n n a a a a 2222233221=+⋅⋅⋅+++(1)求数列{}n b 的通项 ； (2)求数列{}n a 的前n 项和n S 。
2020-2021学年（新课标i卷）高考数学文科模拟试题及答案解析
2020-2021学年（新课标i卷）⾼考数学⽂科模拟试题及答案解析绝密★启封并使⽤完毕前试题类型：普通⾼等学校招⽣全国统⼀考试⽂科数学注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(⾮选择题)两部分.第Ⅰ卷1⾄3页，第Ⅱ卷3⾄5页. 2.答题前，考⽣务必将⾃⼰的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置. 3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上⽆效.4.考试结束后，将本试题和答题卡⼀并交回.第Ⅰ卷⼀. 选择题：本⼤题共12⼩题，每⼩题5分，在每⼩题给出的四个选项中，只有⼀项是符合题⽬要求的.（1）设集合{1,3,5,7}A =，{|25}B x x =≤≤，则A B =I（A ）{1,3}（B ）{3,5}（C ）{5,7}（D ）{1,7}(2)设(12i)(i)a ++的实部与虚部相等，其中a 为实数，则a=（A ）－3（B ）－2（C ）2（D ）3（3）为美化环境，从红、黄、⽩、紫4种颜⾊的花中任选2种花种在⼀个花坛中，余下的2种花种在另⼀个花坛中，则红⾊和紫⾊的花不在同⼀花坛的概率是（A ）13（B ）12（C ）13（D ）56（4）△ABC 的内⾓A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c.已知a =2c =，2cos 3A =，则b=（A （B C ）2（D ）3（5）直线l 经过椭圆的⼀个顶点和⼀个焦点，若椭圆中⼼到l 的距离为其短轴长的14，则该椭圆的离⼼率为（A ）13（B ）12（C ）23（D ）34（6）若将函数y=2sin (2x+π6)的图像向右平移14个周期后，所得图像对应的函数为（A ）y=2sin(2x+π4) （B ）y=2sin(2x+π3) （C ）y=2sin(2x –π4) （D ）y=2sin(2x –π3)（7）如图，某⼏何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.若该⼏何体的体积是28π3，则它的表⾯积是（A ）17π（B ）18π（C ）20π（D ）28π（8）若a>b>0，0（A ）log a c（D ）c a>c b（9）函数y=2x 2–e |x|在[–2,2]的图像⼤致为（A ）（B ）（C ）（D ）（10）执⾏右⾯的程序框图，如果输⼊的0,1,x y ==n=1,则输出,x y 的值满⾜（A ）2y x =（B ）3y x = （C ）4y x = （D ）5y x =（11）平⾯α过正⽂体ABCD —A 1B 1C 1D 1的顶点A 11//CB D α平⾯,ABCD m α=I 平⾯，11ABB A n α=I 平⾯，则m ，n 所成⾓的正弦值为（A ）3（B ）22（C ）3（D ）13（12）若函数1()sin 2sin 3f x x -x a x =+在(),-∞+∞单调递增，则a 的取值范围是（A ）[]1,1-（B ）11,3??-（C ）11,33??-（D ）11,3--第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题~第(21)题为必考题，每个试题考⽣都必须作答.第(22)题~第(24)题为选考题，考⽣根据要求作答. ⼆、填空题：本⼤题共3⼩题，每⼩题5分（13）设向量a=(x ，x+1)，b=(1，2)，且a ⊥b ，则x=. （14）已知θ是第四象限⾓，且sin(θ+π4)=35，则tan(θ–π4)=. （15）设直线y=x+2a 与圆C ：x 2+y 2-2ay-2=0相交于A ，B 两点，若，则圆C 的⾯积为。
2020-2021学年高考数学理科一模测试题及答案解析
最新高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若复数a﹣（a∈R，i是虚数单位）是纯虚数，则实数a的值为（）A．﹣4 B．﹣1 C．1 D．42．以下四个命题，正确的是（）①从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每10分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是分层抽样；②两个随机变量相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于1；③在回归直线方程=0.2x+12中，当变量x每增加一个单位时，变量y一定增加0.2单位；④对于两分类变量X与Y，求出其统计量K2，K2越小，我们认为“X与Y有关系”的把握程度越小．A．①④B．②③C．①③D．②④3．在如图所示的程序框图中，若输出i的值是3，则输入x的取值范围是（）A．（4，10] B．（2，+∞）C．（2，4] D．（4，+∞）4．某几何体的主视图和左视图如图（1），它的俯视图的直观图是矩形O1A1B1C1如图（2），其中O1A1=6，O1C1=2，则该几何体的侧面积为（）A．48 B．64 C．96 D．1285．将函数f（x）的图象向左平移φ（0＜φ＜）个单位后得到函数g（x）=sin2x的图象，若对满足|f（x1）﹣g（x2）|=2的x1，x2，有|x1﹣x2|min=，则φ=（）A．B．C．D．6．长郡中学早上8点开始上课，若学生小典与小方匀在早上7：40至8：00之间到校，且两人在该时间段的任何时刻到校都是等可能的，则小典比小方至少早5分钟到校的概率为（）A．B．C．D．7．已知函数f（x）=klnx+1（k∈R），函数g（x）=f（x2﹣4x+5），若存在实数k使得关于x的方程g（x）+sin x=0有且只有6个实数根，则这6个根的和为（）A．3πB．6 C．12 D．12π8．在菱形ABCD中，A=60°，AB=，将△ABD折起到△PBD的位置，若三棱锥P﹣BCD的外接球的体积为，则二面角P﹣BD﹣C的正弦值为（）A．B．C．D．9．已知双曲线﹣=1的左、右焦点分别为F1，F2，过F1作圆x2+y2=a2的切线分别交双曲线的左、右两支于点B、C，且|BC|=|CF2|，则双曲线的离心率为（）A． B．C．D．10．已知点A（1，﹣1），B（4，0），C（2，2），平面区域D由所有满足（1＜λ≤a，1＜μ≤b）的点P（x，y）组成．若区域D的面积为8，则a+b的最小值为（）A．B．2 C．4 D．811．已知数列{a n}满足a n+a n﹣1=n（﹣1），S n是其前n项和，若S2017=﹣1007﹣b，且a1b＞0，则+的最小值为（）A．3﹣2B．3 C．2D．312．设函数f（x）=x3+bx+c，η，ξ是方程f（x）=0的根，且f′（ξ）=0，当0＜ξ﹣η＜1时，关于函数g（x）=x3﹣x2+（b+2）x+（c﹣b+η）lnx+d在区间（η+1，ξ+1）内的零点个数的说法中，正确的是（）A．至少有一个零点B．至多有一个零点C．可能存在2个零点D．可能存在3个零点二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知集合A={x∈R|x2﹣2x﹣3＜0}，B={x∈R|﹣1＜x＜m}，若x∈A是x∈B的充分不必要条件，则实数m的取值范围为．14．在等差数列{a n}中，S n为数列{a n}的前n项和，d为数列{a n}的公差，若对任意n∈N*，都有S n＞0，且a2a4=9，则d的取值范围为．15．设椭圆C：+=1与函数y=tan的图象相交于A1，A2两点，若点P在椭圆C上，且直线PA2的斜率的取值范围[﹣2，﹣1]，那么直线PA1斜率的取值范围是．16．已知kC n k=nC n﹣1k﹣1（1≤k≤n，且k，n∈N*）可以得到几种重要的变式，如：C n k，将n+1赋给n，就得到kC n+1k=（n+1）C n k﹣1，…，进一步能得到：1C n1+2C n2•21+…+nC n n•2n﹣1=nC n﹣10+nC n﹣11•21+nCn﹣12•22+…+nCn﹣1n﹣1•2n﹣1=n（1+2）n﹣1=n•3n﹣1．请根据以上材料所蕴含的数学思想方法与结论，计算：C n0×+C n1×（）2+C n2×（）3+…+C n n ×（）n+1= ．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知函数．（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c．已知，a=2，，求△ABC的面积．18．《环境空气质量指标（AQI）技术规定（试行）》如表1：表1：空气质量指标AQI分组表AQI 0～50 51～100 101～150 151～200 201～300 ＞300级别Ⅰ级Ⅱ级Ⅲ级Ⅳ级Ⅴ级Ⅵ级类别优良轻度污染中度污染重度污染严重污染表2是长沙市某气象观测点在某连续4天里的记录，AQI指数M与当天的空气水平可见度y（km）的情况．表2：AQI指数900 700 300 100空气可见度（千米）0.5 3.5 6.5 9.5表3是某气象观测点记录的长沙市2016年1月1日至1月30日AQI指数频数统计表．表3：AQI指数[0，200] （201，400] （401，600]（601，800]（801，1000]频数 3 6 12 6 3（1）设x=，根据表2的数据，求出y关于x的回归方程；（2）小李在长沙市开了一家小洗车店，经小李统计：AQI指数不高于200时，洗车店平均每天亏损约200元；AQI指数在200至400时，洗车店平均每天收入约400元；AQI指数大于400时，洗车店平均每天收入约700元．（ⅰ）计算小李的洗车店在当年1月份每天收入的数学期望．（ⅱ）若将频率看成概率，求小李在连续三天里洗车店的总收入不低于1200元的概率．（用最小二乘法求线性回归方程系数公式=，=﹣x）19．如图所示，异面直线AB，CD互相垂直，AB=，BC=，CD=1，BD=2，AC=3，截面EFGH 分别与BD，AD，AC，BC相交于点E，F，G，H，且AB∥平面EFGH，CD∥平面EFGH．（1）求证：BC⊥平面EFGH；（2）求二面角B﹣AD﹣C的正弦值．20．如图，抛物线C：x2=2py（p＞0）的焦点为F（0，1），取垂直于y轴的直线与抛物线交于不同的两点P1，P2，过P1，P2作圆心为Q的圆，使抛物线上其余点均在圆外，且P1Q⊥P2Q．（1）求抛物线C和圆Q的方程；（2）过点F作倾斜角为θ（≤θ≤）的直线l，且直线l与抛物线C和圆Q依次交于M，A，B，N，求|MN||AB|的最小值．21．已知函数f（x）=（1+x）e﹣2x，g（x）=ax++1+2xcosx，当x∈[0，1]时，（I）求证：；（II）若f（x）≥g（x）恒成立，求实数a的取值范围．四、请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.选修4-1：几何证明选讲22．如图，AB是圆O的直径，弦CE交AB于D，CD=4，DE=2，BD=2．（I）求圆O的半径R；（Ⅱ）求线段BE的长．选修4-4：坐标系与参数方程23．已知曲线C的极坐标方程是ρ=4cosθ．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直l的参数方程是（t是参数）（1）将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）若直线l与曲线C相交于A、B两点，且|AB|=，求直线的倾斜角α的值．选修4-5：不等式选讲24．关于x的不等式lg（|x+3|﹣|x﹣7|）＜m．（Ⅰ）当m=1时，解此不等式；（Ⅱ）设函数f（x）=lg（|x+3|﹣|x﹣7|），当m为何值时，f（x）＜m恒成立？参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若复数a﹣（a∈R，i是虚数单位）是纯虚数，则实数a的值为（）A．﹣4 B．﹣1 C．1 D．4【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则、纯虚数的定义即可得出．【解答】解：复数a﹣=a﹣=a﹣（4+i）=（a﹣4）﹣i是纯虚数，∴a﹣4=0，解得a=4．故选：D．2．以下四个命题，正确的是（）①从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每10分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是分层抽样；②两个随机变量相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于1；③在回归直线方程=0.2x+12中，当变量x每增加一个单位时，变量y一定增加0.2单位；④对于两分类变量X与Y，求出其统计量K2，K2越小，我们认为“X与Y有关系”的把握程度越小．A．①④B．②③C．①③D．②④【考点】两个变量的线性相关；线性回归方程．【分析】①抽样是间隔相同，故①应是系统抽样；②根据相关系数的公式可判断；③由回归方程的定义可判断；④k越小，“X与Y有关系”的把握程度越小．【解答】解：根据抽样是间隔相同，且样本间无明显差异，故①应是系统抽样，即①为假命题；两个随机变量相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于1；两个随机变量相关性越弱，则相关系数的绝对值越接近于0；故②为真命题；在回归直线方程=0.2x+12中，当变量x每增加一个单位时，预报变量平均增加0.2个单位，故③为假命题相，若分类变量X与Y的随机变量K2的观测值k越小，则两个分类变量有关系的把握性越小，故④为真命题．∴正确的是②④，故选：D．3．在如图所示的程序框图中，若输出i的值是3，则输入x的取值范围是（）A．（4，10] B．（2，+∞）C．（2，4] D．（4，+∞）【考点】程序框图．【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量i的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：设输入x=a，第一次执行循环体后，x=3a﹣2，i=1，不满足退出循环的条件；第二次执行循环体后，x=9a﹣8，i=2，不满足退出循环的条件；第三次执行循环体后，x=27a﹣26，i=3，满足退出循环的条件；故9a﹣8≤82，且27a﹣26＞82，解得：a∈（4，10]，故选：A4．某几何体的主视图和左视图如图（1），它的俯视图的直观图是矩形O1A1B1C1如图（2），其中O1A1=6，O1C1=2，则该几何体的侧面积为（）A．48 B．64 C．96 D．128【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由已知中的三视图可得该几何体是一个四棱柱，计算出底面的周长和高，进而可得几何体的侧面积．【解答】解：由已知中的三视图可得该几何体是一个四棱柱，∵它的俯视图的直观图是矩形O1A1B1C1，O1A1=6，O1C1=2，∴它的俯视图的直观图面积为12，∴它的俯视图的面积为：24，∴它的俯视图的俯视图是边长为：6的菱形，棱柱的高为4故该几何体的侧面积为：4×6×4=96，故选：C．5．将函数f（x）的图象向左平移φ（0＜φ＜）个单位后得到函数g（x）=sin2x的图象，若对满足|f（x1）﹣g（x2）|=2的x1，x2，有|x1﹣x2|min=，则φ=（）A．B．C．D．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】利用三角函数的最值，求出自变量x1，x2的值，然后判断选项即可．【解答】解：因为将函数g（x）=sin2x的周期为π，函数的图象向右平移φ（0＜φ＜）个单位后得到函数f（x）=sin（2x﹣2φ）的图象．若对满足|f（x1）﹣g（x2）|=2的可知，两个函数的最大值与最小值的差为2，有|x1﹣x2|min=，不妨设：x2=，x1=，即f（x）在x1=，取得最小值，sin（2×﹣2φ）=﹣1，此时φ=+kπ，k∈Z，由于0＜φ＜，不合题意，不妨设：x2=，x1=﹣，即f（x）在x1=﹣，取得最小值，sin[2×（﹣）﹣2φ]=﹣1，此时φ=﹣kπ，k∈Z，当k=0时，φ=满足题意．故选：D．6．长郡中学早上8点开始上课，若学生小典与小方匀在早上7：40至8：00之间到校，且两人在该时间段的任何时刻到校都是等可能的，则小典比小方至少早5分钟到校的概率为（）A．B．C．D．【考点】几何概型．【分析】设小张到校的时间为x，小王到校的时间为y．（x，y）可以看成平面中的点试验的全部结果所构成的区域为Ω={（x，y|40≤x≤60，40≤y≤60}是一个矩形区域，则小张比小王至少早5分钟到校事件A={（x，y）|y﹣x≥5}作出符合题意的图象，由图根据几何概率模型的规则求解即可．【解答】解：设小张到校的时间为x，小王到校的时间为y．（x，y）可以看成平面中的点试验的全部结果所构成的区域为Ω={（x，y|40≤x≤60，40≤y≤60}是一个矩形区域，对应的面积S=20×20=400，则小张比小王至少早5分钟到校事件A={x|y﹣x≥5}作出符合题意的图象，则符合题意的区域为△ABC，联立得C（55，60），由得B（40，45），则S△ABC=×15×15，由几何概率模型可知小张比小王至少早5分钟到校的概率为=，故选：A．7．已知函数f（x）=klnx+1（k∈R），函数g（x）=f（x2﹣4x+5），若存在实数k使得关于x的方程g（x）+sin x=0有且只有6个实数根，则这6个根的和为（）A．3πB．6 C．12 D．12π【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】根据条件，先判断g（x）关于x=2对称，然后利用函数与方程之间的关系转化为两个函数的交点问题进行求解即可．【解答】解：∵y=x2﹣4x+5的对称轴为x=2，∴由g（x）=f（x2﹣4x+5），得g（x）关于x=2对称，由g（x）+sin x=0得g（x）=﹣sin x，作出函数y=﹣sin x的图象，若程g（x）+sin x=0只有6个根，则六个根两两关于x=2对称，则关于对称的根分别为x1和x2，x3和x4，x5和x6，则=2，=2，=2则x1+x2=4，x3+x4=4，x5+x6=4则这6个根之和为4+4+4=12，故选：C．8．在菱形ABCD中，A=60°，AB=，将△ABD折起到△PBD的位置，若三棱锥P﹣BCD的外接球的体积为，则二面角P﹣BD﹣C的正弦值为（）A．B．C．D．【考点】二面角的平面角及求法．【分析】取BD中点E，连接AE，CE，则∠PEC是二面角P﹣BD﹣C的平面角，由此能求出二面角P﹣BD﹣C的正弦值．【解答】解：取BD中点E，连接AE，CE，则∠PEC是二面角P﹣BD﹣C的平面角，PE=CE=，三棱锥P﹣BCD的外接球的半径为R，则，解得R=，设△BCD的外接圆的圆心F与球心O的距离为OF=h，则CF==1，则R2=1+h2，即，解得h=，过P作PG⊥平面BCD，交CE延长线于G，过O作OH∥CG，交PG于H，则四边形HGFO是矩形，且HG=OF=h=，PO=R=，∴，解得GE=，PH=，∴PG=，CG=，∴PC==，∴cos∠PEC==﹣，∴sin∠PEC==．∴二面角P﹣BD﹣C的正弦值为．故选：C．9．已知双曲线﹣=1的左、右焦点分别为F1，F2，过F1作圆x2+y2=a2的切线分别交双曲线的左、右两支于点B、C，且|BC|=|CF2|，则双曲线的离心率为（）A． B．C．D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】过F1作圆x2+y2=a2的切线分别交双曲线的左、右两支于点B、C，且|BC|=|CF2|，可得|BF1|=2a，求出B的坐标，代入双曲线方程，可得a，b的关系，再由a，b，c的关系可得a，c的关系．由离心率公式计算即可得到．【解答】解：∵过F1作圆x2+y2=a2的切线分别交双曲线的左、右两支于点B、C，且|BC|=|CF2|，∴|BF1|=2a，设切点为T，B（x，y），则利用三角形的相似可得==∴x=，y=，∴B（，）代入双曲线方程，整理可得b=（+1）a，则c==a，即有e==．故选C．10．已知点A（1，﹣1），B（4，0），C（2，2），平面区域D由所有满足（1＜λ≤a，1＜μ≤b）的点P（x，y）组成．若区域D的面积为8，则a+b的最小值为（）A．B．2 C．4 D．8【考点】简单线性规划．【分析】如图所示，以AB，AC为邻边作平行四边形ABCD．分别作=，=，则由所有满足（1＜λ≤a，1＜μ≤b）表示的平面区域D为平行四边形DEQF.=，=，由于=（3，1），=（1，3），=6．可得==.=．由于S平行四边形DEQF==8（λ﹣1）（μ﹣1）=8，化为λμ=λ+μ，利用基本不等式的性质可得λ+μ≥4．由（1＜λ≤a，1＜μ≤b），可得，于是x+y=4（λ+μ）≤4（a+b）．即可得出．【解答】解：如图所示，以AB，AC为邻边作平行四边形ABCD．分别作=，=，则由所有满足（1＜λ≤a，1＜μ≤b）表示的平面区域D为平行四边形DEQF．=，=，=（3，1），=（1，3），=6．∴=，∴==．∴==．∴S平行四边形DEQF==（λ﹣1）（μ﹣1）×=8（λ﹣1）（μ﹣1）=8，化为（λ﹣1）（μ﹣1）=1，∴λμ=λ+μ≥，可得λμ≥4，∴λ+μ≥4，当且仅当λ=μ=2时取等号．∵（1＜λ≤a，1＜μ≤b），∴==（1，﹣1）+λ（3，1）+μ（1，3），∴，∵1＜λ≤a，1＜μ≤b，∴x+y=4（λ+μ）≤4（a+b）．∴a+b≥λ+μ≥4，∴a+b的最小值为4．故选：C．11．已知数列{a n}满足a n+a n﹣1=n（﹣1），S n是其前n项和，若S2017=﹣1007﹣b，且a1b＞0，则+的最小值为（）A．3﹣2B．3 C．2D．3【考点】基本不等式．【分析】由已知递推式得到：a3+a2=3，a5+a4=﹣5，…a2017+a2016=﹣2017，累加可求S2017﹣a1，结合S2017=﹣1007﹣b，求得a1+b=1，代入+，展开后利用基本不等式求最值．【解答】解：由已知得：a3+a2=3，a5+a4=﹣5，…a2017+a2016=﹣2017，把以上各式相加得：S2017﹣a1=﹣1008，即：a1﹣1008=﹣1007﹣b，∴a1+b=1，∴+=+=3++2≥3+2，故选：D．12．设函数f（x）=x3+bx+c，η，ξ是方程f（x）=0的根，且f′（ξ）=0，当0＜ξ﹣η＜1时，关于函数g（x）=x3﹣x2+（b+2）x+（c﹣b+η）lnx+d在区间（η+1，ξ+1）内的零点个数的说法中，正确的是（）A．至少有一个零点B．至多有一个零点C．可能存在2个零点D．可能存在3个零点【考点】函数零点的判定定理．【分析】由题意可得f（x）=x3+bx+c=（x﹣η）（x﹣ξ）2，进一步得到η+2ξ=0，2ηξ+ξ2=b，﹣ηξ2=c，且x∈（﹣2ξ，ξ），把函数g（x）求导，用η，ξ表示b，c，二次求导可得在区间（η+1，ξ+1）内h′（x）＜0，则答案可求．【解答】解：∵η，ξ是方程f（x）=0的根，且f′（ξ）=0，∴f（x）=x3+bx+c=（x﹣η）（x﹣ξ）2，即得η+2ξ=0，2ηξ+ξ2=b，﹣ηξ2=c，且x∈（﹣2ξ，ξ），由0＜ξ﹣η＜1，得0＜ξ，η＜0，则g′（x）=x2﹣3x+（b+2）+=，令h（x）=x3﹣3x2+（b+2）x+c﹣b+η=x3﹣3x2+（2﹣3ξ2）x+2ξ3+3ξ2﹣2ξ=（x﹣1）3﹣（1+3ξ2）（x﹣1）+2ξ2﹣2ξ，则h′（x）=3（x﹣1）2﹣（3ξ2+1），当x∈（﹣2ξ+1，ξ+1）时，h′（x）＜h′（﹣2ξ+1）=（3ξ+1）（3ξ﹣1）＜0．∴h（x）在（η+1，ξ+1）上为减函数，而h（﹣2ξ+1）=﹣8ξ3+2ξ（3ξ2+1）+（2ξ3﹣2ξ）=0，当x∈（﹣2ξ+1，ξ+1）时，h′（x）＜h′（﹣2ξ+1）=0，即当x∈（﹣2ξ+1，ξ+1）时，h′（x）＜0，∴g（x）在（η+1，ξ+1）上为减函数，至多有一个零点．故选：B．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知集合A={x∈R|x2﹣2x﹣3＜0}，B={x∈R|﹣1＜x＜m}，若x∈A是x∈B的充分不必要条件，则实数m的取值范围为（3，+∞）．【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据充分条件和必要条件的定义建立条件关系即可求出m的取值范围．【解答】解：A={x∈R|x2﹣2x﹣3＜0}={x|﹣1＜x＜3}，若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，则A⊊B，则m＞3，故答案为：（3，+∞）14．在等差数列{a n}中，S n为数列{a n}的前n项和，d为数列{a n}的公差，若对任意n∈N*，都有S n ＞0，且a2a4=9，则d的取值范围为．【考点】等差数列的通项公式．【分析】对任意n∈N*，都有S n＞0，可得：a1＞0，d≥0．由于a2a4=9，化为3d2+4a1d+﹣9=0，△＞0，而且两根之和=﹣4d＜0，而必须至少有一个正实数根．可得3d2﹣9≤0，d≥0，解出即可得出．【解答】解：对任意n∈N*，都有S n＞0，∴a1＞0，d≥0．∵a2a4=9，∴（a1+d）（a1+3d）=9，化为+4a1d+3d2﹣9=0，△=16d2﹣4（3d2﹣9）=4d2+36＞0，∴方程有两个不相等的实数根，并且两根之和为﹣4d＜0，而必须至少有一个正实数根．d=时，a1=0，舍去．则d的取值范围为．故答案为：．15．设椭圆C：+=1与函数y=tan的图象相交于A1，A2两点，若点P在椭圆C上，且直线PA2的斜率的取值范围[﹣2，﹣1]，那么直线PA1斜率的取值范围是．【考点】椭圆的简单性质．【分析】椭圆C：+=1与函数y=tan的图象相交于A1，A2两点，可知：A1，A2两点关于原点对称，设A1（x1，y1），A2（﹣x1，﹣y1），P（x0，y0），分别代入椭圆方程可得：=．由于直线PA2的斜率k1的取值范围[﹣2，﹣1]，可得﹣2≤≤﹣1，==k2，可得k1k2=．即可得出．【解答】解：∵椭圆C：+=1与函数y=tan的图象相交于A1，A2两点，∴A1，A2两点关于原点对称，设A1（x1，y1），A2（﹣x1，﹣y1），=1，=．设P（x0，y0），则=1，可得：=．∴=．∵直线PA2的斜率k1的取值范围[﹣2，﹣1]，∴﹣2≤≤﹣1，==k2，∴k1k2===．∴，∴﹣1，解得．那么直线PA1斜率的取值范围是．故答案为：．16．已知kC n k=nC n﹣1k﹣1（1≤k≤n，且k，n∈N*）可以得到几种重要的变式，如：C n k，将n+1赋给n，就得到kC n+1k=（n+1）C n k﹣1，…，进一步能得到：1C n1+2C n2•21+…+nC n n•2n﹣1=nC n﹣10+nC n﹣11•21+nCn﹣12•22+…+nCn﹣1n﹣1•2n﹣1=n（1+2）n﹣1=n•3n﹣1．请根据以上材料所蕴含的数学思想方法与结论，计算：C n0×+C n1×（）2+C n2×（）3+…+C n n ×（）n+1= ．【考点】组合及组合数公式；类比推理．【分析】由，可得，即，再利用二项式定理即可得出．【解答】解：由，得，，∴==．故案为：．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知函数．（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c．已知，a=2，，求△ABC的面积．【考点】两角和与差的正弦函数；正弦函数的单调性；正弦定理．【分析】（Ⅰ）利用两角和差的正弦公化简函数的解析式为sin（2x+），令2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，k∈z，求得x的范围，即可求得f（x）的单调递增区间．（Ⅱ）由已知，可得sin（2A+）=，求得A=，再利用正弦定理求得b的值，由三角形内角和公式求得C的值，再由S=ab•sinC，运算求得结果．【解答】解：（Ⅰ）=sin2xcos+cos2xsin+cos2x=sin2x+cos2x=（sin2x+cos2x）=sin（2x+）．令2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，k∈z，求得kπ﹣≤x≤kπ+，函数f（x）的单调递增区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈z．（Ⅱ）由已知，可得sin（2A+）=，因为A为△ABC内角，由题意知0＜A＜π，所以＜2A+＜，因此，2A+=，解得A=．由正弦定理，得b=，…由A=，由B=，可得sinC=，…∴S=ab•sinC==．18．《环境空气质量指标（AQI）技术规定（试行）》如表1：表1：空气质量指标AQI分组表AQI 0～50 51～100 101～150 151～200 201～300 ＞300级别Ⅰ级Ⅱ级Ⅲ级Ⅳ级Ⅴ级Ⅵ级类别优良轻度污染中度污染重度污染严重污染表2是长沙市某气象观测点在某连续4天里的记录，AQI指数M与当天的空气水平可见度y（km）的情况．表2：AQI指数900 700 300 100空气可见度（千米）0.5 3.5 6.5 9.5表3是某气象观测点记录的长沙市2016年1月1日至1月30日AQI指数频数统计表．表3：AQI指数[0，200] （201，400] （401，600]（601，800]（801，1000]频数 3 6 12 6 3 （1）设x=，根据表2的数据，求出y关于x的回归方程；（2）小李在长沙市开了一家小洗车店，经小李统计：AQI指数不高于200时，洗车店平均每天亏损约200元；AQI指数在200至400时，洗车店平均每天收入约400元；AQI指数大于400时，洗车店平均每天收入约700元．（ⅰ）计算小李的洗车店在当年1月份每天收入的数学期望．（ⅱ）若将频率看成概率，求小李在连续三天里洗车店的总收入不低于1200元的概率．（用最小二乘法求线性回归方程系数公式=，=﹣x）【考点】线性回归方程；列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】（1）利用公式计算线性回归方程系数，即可得到y关于x的线性回归方程；（2）（ⅰ）由表2知AQI指数不高于200的频率为0.1，AQI指数在200至400的频率为0.2，AQI 指数大于400的频率为0.7，确定饭馆每天的收入的取值及概率，从而可求分布列及数学期望；（ⅱ）由（ⅰ），“连续三天洗车店收入不低于1200元包含1A2C，3B，2B1C，1B2C，3C五种情况”，即可求出小李在连续三天里洗车店的总收入不低于1200元的概率．【解答】解：（1），，，，所以，，所以y关于x的回归方程是．（2）由表3知AQI不高于200的频率为0.1，AQI指数在200至400的频率为0.2，AQI指数大于400的频率为0.7．设“洗车店每天亏损约200元”为事件A，“洗车店每天收入约400元”为事件B，“洗车店每天收入约700元”为事件C，则P（A）=0.1，P（B）=0.2，P（C）=0.7，（ⅰ）设洗车店每天收入为X元，则X的分布列为X ﹣200 400 700P 0.1 0.2 0.7则X的数学期望为EX=﹣200×0.1+400×0.2+700×0.7=550（元）．（ⅱ）由（ⅰ），“连续三天洗车店收入不低于1200元包含1A2C，3B，2B1C，1B2C，3C五种情况”，则“连续三天洗车店收入不低于1200元”的概率：．19．如图所示，异面直线AB，CD互相垂直，AB=，BC=，CD=1，BD=2，AC=3，截面EFGH 分别与BD，AD，AC，BC相交于点E，F，G，H，且AB∥平面EFGH，CD∥平面EFGH．（1）求证：BC⊥平面EFGH；（2）求二面角B﹣AD﹣C的正弦值．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定．【分析】（1）推导出AB∥EF，CD∥HE，AB⊥BC，BC⊥DC，BC⊥EF，BC⊥EH，由此能证明BC⊥平面EFGH．（2）作，以C为原点，CD为x轴，CB为y轴，Cz为z轴，建立空间直角坐标系C﹣xyz，利用向量法能求出二面角B﹣AD﹣C的正弦值．【解答】证明：（1）∵AB∥平面EFGH，又∵AB⊂平面ABD，平面ABD∩平面EFGH=EF，∴AB∥EF，同理CD∥HE，∵，∴AB2+BC2=AC2，∴AB⊥BC，同理BC⊥DC，∴BC⊥EF，同理BC⊥EH，又∵EF，EH是平面EFGH内的两相交直线，∴BC⊥平面EFGH．（2）由（1）及异面直线AB，CD互相垂直知，直线AB，BC，CD两两垂直，作，以C为原点，CD为x轴，CB为y轴，Cz为z轴，建立空间直角坐标系C﹣xyz，如图所示，则，∵x轴⊂平面ACD，∴平面ACD的一个法向量可设为，∵，∴，得：，即，又∵z轴∥平面ABD，∴平面ABD的一个法向量可设为，∴，得，即，设二面角B﹣AD﹣C的大小为θ，那么，∴，∴二面角B﹣AD﹣C的正弦值为．20．如图，抛物线C：x2=2py（p＞0）的焦点为F（0，1），取垂直于y轴的直线与抛物线交于不同的两点P1，P2，过P1，P2作圆心为Q的圆，使抛物线上其余点均在圆外，且P1Q⊥P2Q．（1）求抛物线C和圆Q的方程；（2）过点F作倾斜角为θ（≤θ≤）的直线l，且直线l与抛物线C和圆Q依次交于M，A，B，N，求|MN||AB|的最小值．【考点】抛物线的简单性质．【分析】（1）由抛物线的焦点坐标求出p值，可得抛物线方程，再由，代入抛物线方程有，抛物线在点P2处切线的斜率为．由，知，求出r，b，可得圆Q的方程；（2）设出直线方程y=kx+1且，和抛物线方程联立，利用抛物线的焦点弦长公式求得|MN|，再由圆心距、圆的半径和弦长的关系求得|AB|，从而求得|MN|•|AB|的最小值．【解答】解：（1）因为抛物线C：x2=2py（p＞0）的焦点为F（0，1），所以，解得p=2，所以抛物线C的方程为x2=4y．由抛物线和圆的对称性，可设圆Q：x2+（y﹣b）2=r2，∵P1Q⊥P2Q，∴△P1QP2是等腰直角三角形，则，∴，代入抛物线方程有．由题可知在P1，P2处圆和抛物线相切，对抛物线x2=4y求导得，所以抛物线在点P2处切线的斜率为．由，知，所以，代入，解得b=3．所以圆Q的方程为x2+（y﹣3）2=8．（2）设直线l的方程为y=kx+1，且，圆心Q（0，3）到直线l的距离为，∴，由，得y2﹣（2+4k2）y+1=0，设M（x1，y1），N（x2，y2），则，由抛物线定义知，，所以，设t=1+k2，因为，所以，所以，所以当时，即时，|MN||AB|有最小值．21．已知函数f（x）=（1+x）e﹣2x，g（x）=ax++1+2xcosx，当x∈[0，1]时，（I）求证：；（II）若f（x）≥g（x）恒成立，求实数a的取值范围．【考点】利用导数研究函数的单调性；函数恒成立问题；利用导数研究函数的极值．【分析】（I）①当x∈[0，1）时，（1+x）e﹣2x≥1﹣x⇔（1+x）e﹣x≥（1﹣x）e x，令h（x）=（1+x）e﹣x﹣（1﹣x）e x，利用导数得到h（x）的单调性即可证明；②当x∈[0，1）时，⇔e x≥1+x，令u（x）=e x﹣1﹣x，利用导数得出h（x）的单调性即可证明．（II）利用（I）的结论得到f（x）≥1﹣x，于是G（x）=f（x）﹣g（x）≥=．再令H（x）=，通过多次求导得出其单调性即可求出a的取值范围．【解答】（I）证明：①当x∈[0，1）时，（1+x）e﹣2x≥1﹣x⇔（1+x）e﹣x≥（1﹣x）e x，令h（x）=（1+x）e﹣x﹣（1﹣x）e x，则h′（x）=x（e x﹣e﹣x）．当x∈[0，1）时，h′（x）≥0，∴h（x）在[0，1）上是增函数，∴h（x）≥h（0）=0，即f（x）≥1﹣x．②当x∈[0，1）时，⇔e x≥1+x，令u（x）=e x﹣1﹣x，则u′（x）=e x﹣1．当x∈[0，1）时，u′（x）≥0，∴u（x）在[0，1）单调递增，∴u（x）≥u（0）=0，∴f（x）．综上可知：．（II）解：设G（x）=f（x）﹣g（x）=≥=．令H（x）=，则H′（x）=x﹣2sinx，令K（x）=x﹣2sinx，则K′（x）=1﹣2cosx．当x∈[0，1）时，K′（x）＜0，可得H′（x）是[0，1）上的减函数，∴H′（x）≤H′（0）=0，故H（x）在[0，1）单调递减，∴H（x）≤H（0）=2．∴a+1+H（x）≤a+3．∴当a≤﹣3时，f（x）≥g（x）在[0，1）上恒成立．下面证明当a＞﹣3时，f（x）≥g（x）在[0，1）上不恒成立．f（x）﹣g（x）≤==﹣x．令v（x）==，则v′（x）=．当x∈[0，1）时，v′（x）≤0，故v（x）在[0，1）上是减函数，∴v（x）∈（a+1+2cos1，a+3]．当a＞﹣3时，a+3＞0．∴存在x0∈（0，1），使得v（x0）＞0，此时，f（x0）＜g（x0）．即f（x）≥g（x）在[0，1）不恒成立．综上实数a的取值范围是（﹣∞，﹣3]．四、请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.选修4-1：几何证明选讲22．如图，AB是圆O的直径，弦CE交AB于D，CD=4，DE=2，BD=2．（I）求圆O的半径R；（Ⅱ）求线段BE的长．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】（I）由相交弦定理可得CD•DE=AD•DB，求出AD，即可求圆O的半径R；（Ⅱ）求出cos∠DOE，即可求线段BE的长．【解答】解：（I）由相交弦定理可得CD•DE=AD•DB，∵CD=4，DE=2，BD=2，∴4×2=2AD，∴AD=8∴AB=10，∴圆O的半径R=5；（Ⅱ）△ODE中，DE=2，OD=3，OE=5，∴cos∠DOE==，∴BE==．选修4-4：坐标系与参数方程23．已知曲线C的极坐标方程是ρ=4cosθ．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直l的参数方程是（t是参数）（1）将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）若直线l与曲线C相交于A、B两点，且|AB|=，求直线的倾斜角α的值．【考点】参数方程化成普通方程．【分析】本题（1）可以利用极坐标与直角坐标互化的化式，求出曲线C的直角坐标方程；（2）先将直l的参数方程是（t是参数）化成普通方程，再求出弦心距，利用勾股定理求出弦长，也可以直接利用直线的参数方程和圆的普通方程联解，求出对应的参数t1，t2的关系式，利用|AB|=|t1﹣t2|，得到α的三角方程，解方程得到α的值，要注意角α范围．【解答】解：（1）∵ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，∴曲线C的极坐标方程是ρ=4cosθ可化为：ρ2=4ρcosθ，∴x2+y2=4x，∴（x﹣2）2+y2=4．（2）将代入圆的方程（x﹣2）2+y2=4得：（tcosα﹣1）2+（tsinα）2=4，化简得t2﹣2tcosα﹣3=0．设A、B两点对应的参数分别为t1、t2，则，∴|AB|=|t1﹣t2|==，∵|AB|=，∴=．∴cos．∵α∈[0，π），∴或．∴直线的倾斜角或．选修4-5：不等式选讲24．关于x的不等式lg（|x+3|﹣|x﹣7|）＜m．（Ⅰ）当m=1时，解此不等式；（Ⅱ）设函数f（x）=lg（|x+3|﹣|x﹣7|），当m为何值时，f（x）＜m恒成立？【考点】绝对值不等式的解法；函数恒成立问题．【分析】（Ⅰ）当m=1时，原不等式可变为0＜|x+3|﹣|x﹣7|＜10，通过两边平方和绝对值不等式的性质，即可得到解集；（Ⅱ）设t=|x+3|﹣|x﹣7|，则0＜t≤10，f（x）＜m恒成立，只需m＞f（x）max，求得最大值即可．【解答】解：（Ⅰ）当m=1时，原不等式可变为0＜|x+3|﹣|x﹣7|＜10，由|x+3|＞|x﹣7|，两边平方，解得，x＞2，由于||x+3|﹣|x﹣7||≤|（x+3）﹣（x﹣7）|=10，即有﹣10≤|x+3|﹣|x﹣7|≤10，且x≥7时，|x+3|﹣|x﹣7|=x+3﹣（x﹣7）=10．则有2＜x＜7．故可得其解集为{x|2＜x＜7}；（Ⅱ）设t=|x+3|﹣|x﹣7|，则由对数定义及绝对值的几何意义知，0＜t≤10，因y=lgx在（0，+∞）上为增函数，则lgt≤1，当t=10，即x=7时，lgt=1为最大值，故只需m＞1即可，即m＞1时，f（x）＜m恒成立．2016年9月3日。
2020-2021学年高三数学第一次模拟考试试题及答案解析
2020-2021学年⾼三数学第⼀次模拟考试试题及答案解析最新⾼三第⼀次模拟考试数学试题(考试时间：120分钟总分：160分)注意事项：所有试题的答案均填写在答题纸上，答案写在试卷上的⽆效．⼀、填空题：（本⼤题共14⼩题，每⼩题5分，共70分．请将答案填⼊答题纸填空题的相应答题线上．）1．已知集合{}21A x x =≤，集合{}2,1,0,1,2B =--，则A B = ▲．2．如图，在复平⾯内，点A 对应的复数为1z ，若21i z z =（i 为虚数单位），则2z = ▲．3．在平⾯直⾓坐标系xOy 中，双曲线2212x y -=的实轴长为▲．4．某校共有教师200⼈，男学⽣800⼈，⼥学⽣600⼈，现⽤分层抽样的⽅法从所有师⽣中抽取⼀个容量为n 的样本，已知从男学⽣中抽取的⼈数为100 ⼈，那么n = ▲．5．执⾏如图所⽰的伪代码，当输⼊,a b 的值分别为1,3时，最后输出的a的值为▲．6．甲⼄两⼈下棋，若甲获胜的的概率为15，甲⼄下成和棋的概率为25，则⼄不输棋的概率为▲．7．已知直线(0)y kx k =>与圆22:(2)1C x y -+=相交于,A B 两点，若255AB =，则k = ▲．8．若命题“存在20,4R x ax x a ∈++≤”为假命题，则实数a 的取值范围是▲． 9．如图，长⽅体1111ABCD A B C D -中，O 为1BD 的中点，三棱锥O ABD -的体积为1V ，四棱锥11O ADD A -的体积为2V ，则12VV的值为▲．10．已知公差为2的等差数列{}n a 及公⽐为2的等⽐数列{}n b 满⾜11220,0a b a b +>+<，Read ,1While 21End WhilePrint a b i i a a b b a bi i a ←≤←+←-←+（第5题）（第9题）OCDBC 1A B 1A 1D 1（第2题）则33a b +的取值范围是▲．11．设()f x 是R 上的奇函数，当0x >时，()2ln4x xf x =+，记(5)n a f n =-，则数列 {}n a 的前8项和为▲．12．在平⾯直⾓坐标系xOy 中，已知点,A B 分别为x 轴，y 轴上⼀点，且2AB =，若点P ，则AP BP OP ++的取值范围是▲．13．若正实数,x y 满⾜2(21)(52)(2)xy y y -=+-，则12x y+的最⼤值为▲．14．已知函数π()sin()cos cos()262x x f x A x θ=+--（其中A 为常数，(π,0)θ∈-），若实数123,,x x x 满⾜：①123x x x <<，②31x x -<2π，③123()()()f x f x f x ==，则θ的值为▲．⼆、解答题：（本⼤题共6⼩题，共90分．解答应写出⽂字说明，证明过程或演算步骤．） 15．（本题满分14分）在ABC ?中，⾓,A B 的对边分别为,a b ，向量(cos ,sin ),(cos ,sin )A B B A ==m n ．（1）若cos cos a A b B =，求证：//m n ；（2）若⊥m n ,a b >，求tan2A B-的值．如图，在三棱锥P ABC -中，90PAC BAC ∠=∠=?，PA PB =，点D ，F 分别为BC ，AB 的中点．（1）求证：直线//DF 平⾯PAC ；（2）求证：PF ⊥AD ．17．（本题满分14分）⼀个玩具盘由⼀个直径为2⽶的半圆O 和⼀个矩形ABCD 构成，1AB =⽶，如图所⽰．⼩球从A 点出发以v 5的速度沿半圆O 轨道滚到某点E 处后，经弹射器以6v 的速度沿与点E 切线垂直的⽅向弹射到落袋区BC 内，落点记为F ．设AOE θ∠=弧度，⼩球从A 到F 所需时间为T ．（1）试将T 表⽰为θ的函数()T θ，并写出定义域；（2）求时间T 最短时cos θ的值．18．（本题满分16分）已知数列{},{}n n a b 满⾜2(2)n n n S a b =+，其中n S 是数列{}n a 的前n 项和．（1）若数列{}n a 是⾸项为23，公⽐为13-的等⽐数列，求数列{}n b 的通项公式；（2）若n b n =，23a =，求数列{}n a 的通项公式；（3）在（2）的条件下，设n n nac b =，求证：数列{}n c 中的任意⼀项总可以表⽰成该数列其他两项之积．如图，在平⾯直⾓坐标系xOy 中，已知圆:O 224x y +=，椭圆:C 2214x y +=， A 为椭圆右顶点．过原点O 且异于坐标轴的直线与椭圆C 交于,B C 两点，直线AB 与圆O 的另⼀交点为P ，直线PD 与圆O 的另⼀交点为Q ，其中6(,0)5D -．设直线,AB AC 的斜率分别为12,k k ．（1）求12k k 的值；（2）记直线,PQ BC 的斜率分别为,PQ BC k k ，是否存在常数λ，使得PQ BC k k λ=？若存在，求λ值；若不存在，说明理由；（3）求证：直线AC 必过点Q ．20．（本题满分16分）已知函数()4212f x ax x =-，(0,)x ∈+∞，()()()g x f x f x '=-．（1）若0a >，求证：（ⅰ）()f x 在()f x '的单调减区间上也单调递减；（ⅱ）()g x 在(0,)+∞上恰有两个零点；（2）若1a >，记()g x 的两个零点为12,x x ，求证：1244x x a <+<+．数学试题（附加题）21.【选做题】请考⽣在A 、B 、C 、D 四⼩题中任选两题作答.如果多做，按所做的前两题记分. A ．（⼏何证明选讲，本题满分10分）如图,圆O 是ABC ?的外接圆,点D 是劣弧BC 的中点,连结AD 并延长,与以C 为切点的切线交于点P ,求证:PC BDPA AC=.B ．（矩阵与变换，本题满分10分）已知矩阵1252M x -??=的⼀个特征值为2-,求2M .C ．（坐标系与参数⽅程，本题满分10分）在平⾯直⾓坐标系xoy 中,已知直线11:()72x t C t y t=+??=-?为参数与椭圆2cos :(0)3sin x a C a y θθθ=?>?=?为参数,的⼀条准线的交点位于y 轴上,求实数a 的值.D ．（不等式选讲，本题满分10分）已知正实数,,a b c 满⾜231a b c ++=，求证：24627111a b c ++≥.P22．【必做题】（本题满分10分）如图，在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AC = 3，BC = 4，AB = 5，AA 1 = 4．（1）设AB AD λ=，异⾯直线AC 1与CD，求λ的值；（2）若点D 是AB 的中点，求⼆⾯⾓D —CB 1—B 的余弦值．23. 【必做题】（本题满分10分）已知,N*k m ∈，若存在互不相等的正整数12,,a a …,m a ，使得1223,,a a a a …11,,m m m a a a a -同时⼩于k ，则记()f k 为满⾜条件的m 的最⼤值．（１）求(6)f 的值；（２）对于给定的正整数n (1)n >，（ⅰ）当(2)(1)(2)n n k n n +<≤++时，求()f k 的解析式；（ⅱ）当(1)(2)n n k n n +<≤+时，求()f k 的解析式．1A⾼三数学参考答案⼀、填空题1．}{1,0,1-； 2．2i --； 3． 4．200； 5．5； 6．45； 7．12； 8．(2,)+∞； 9．12； 10．(,2)-∞-； 11．16-； 12．[7,11]； 13．12- ； 14．23π-. ⼆、解答题15. 证明：（1）因为cos cos a A b B =，所以sin cos sin cos A A B B =，所以//m n . ……………7分（2）因为⊥m n ，所以cos cos sin sin 0A B A B +=，即cos()0A B -=，因为a b >，所以A B >，⼜,(0,)A B π∈，所以(0,)A B π-∈，则2-=，…12分所以tantan 124A B π-==. ……………14分 16. 证明（1）∵点D ，F 分别为BC ，AB 的中点，∴//DF AC ，⼜∵DF ?平⾯PAC ，AC ?平⾯PAC ，∴直线//DF 平⾯PAC ． ……………6分（２）∵90PAC BAC ∠=∠=?，∴AC AB ⊥，AC AP ⊥，⼜∵AB AP A =，,AB AP 在平⾯PAB 内，∴AC ⊥平⾯PAB ， ……………8分∵PF ?平⾯PAB ，∴AC PF ⊥，∵PA PB =，F 为AB 的中点，∴PF AB ⊥，∵AC PF ⊥，PF AB ⊥，AC AB A =，,AC AB 在平⾯ABC 内，∴PF ⊥平⾯ABC ， ……………12分∵AD ?平⾯ABC ，∴AD PF ⊥． ……………14分17. 解：（1）过O 作OG BC ⊥于G ，则1OG =，1sin sin OG OF θθ==，11sin EF θ=+，AE θ=，所以11()5656sin 6AE EF T v v v v v θθθ=+=++，[,]44θ∈π3π．……7分（写错定义域扣1分）（2）11()56sin 6T v v v θθθ=++，1cos 6sin 5cos (2cos 3)(3cos 2)()56sin 30sin 30sin T v v v v θθθθθθθθθ-+-'=-==-，…………9分记02cos 3θ=，0[,]44θ∈π3π，θ0(,)4πθ 0θ 03(,)4πθ ()T θ' - 0 +()T θ故当2cos 3θ=时，时间T 最短． …………14分 18. 解：（1）因为1211()2()333n n n a -=-=--，21[(1()]1133[(1()]1231()3n n n S --==----， …………2分所以11()2131222()23nn n n n S b a --===+--+． …………4分（2）若n b n =，则22n n S na n =+，∴112(1)2n n S n a ++=++，两式相减得112(1)2n n n a n a na ++=+-+，即1(1)2n n na n a +=-+，当2n ≥时，1(1)(2)2n n n a n a --=-+，两式相减得11(1)(1)2(1)n n n n a n a n a -+-+-=-，即112n n n a a a -++=， …………8分⼜由1122S a =+，22224S a =+得12a =，23a =，所以数列{}n a 是⾸项为2，公差为321-=的等差数列，故数列{}n a 的通项公式是1n a n =+．…………10分（3）由（2）得1n n c n+=，对于给定的*n N ∈，若存在*,,,k t n k t N ≠∈，使得n k t c c c =?，只需111n k t n k t即1111(1)(1)n k t +=+?+，即1111n k t kt =++，则(1)n k t k n +=-， …………12分取1k n =+，则(2)t n n =+，∴对数列{}n c 中的任意⼀项1n n c n +=，都存在121n n c n ++=+和2222212n n n n c n n +++=+使得212n n n n c c c ++=?． …………16分 19．解：（1）设00(,)B x y ，则00(,)C x y --，2 20014x y += 所以22000012220000111422424x y y y k k x x x x -====--+--． …………4分（2）联⽴122(2)4y k x x y =-??+=?得2222111(1)44(1)0k x k x k +-+-=，解得211122112(1)4,(2)11P P P k k x y k x k k --==-=++，联⽴122(14y k x x y ?=??+=??得2222111(14)164(41)0k x k x k +-+-=，解得211122112(41)4,(1414B B Bk k x y k x k k --===++， …………8分所以121241B BC B y k k x k -==-，1211141562(1)641515P PQ P k y k k k k k x k -+-===--+++，所以52PQ BC k k =，故存在常数52λ=，使得52PQ BC k k =． …………10分（3）当直线PQ 与x 轴垂直时，68(,)55Q --，则28156225AQ k k -===--，所以直线AC 必过点Q ．当直线PQ 与x 轴不垂直时，直线PQ ⽅程为：12156()415k y x k -=+-，联⽴1212256()4154k y x k x y -?=+?-??+=?，解得21122112(161)16,161161Q Q k k x y k k --==++，所以1212211211616112(161)42161AQk k k k k k k +==-=---+，故直线AC 必过点Q ． …………16 分（不考虑直线PQ 与x 轴垂直情形扣1分）20. 证：（1）因为()()42102f x ax x x =->，所以3()4f x ax x '=-，由32(4)1210ax x ax '-=-<得()f x '的递减区间为， …………2 分当x ∈时，32()4(41)0f x ax x x ax '=-=-<，所以(f x 在()f x '的递减区间上也递减． …………4 分（2）解1：()()()42343211(4)422g x f x f x ax x ax x ax ax x x '=-=---=--+，因为0x >，由()4321402g x ax ax x x =--+=得3214102ax ax x --+=，令321()412x ax ax x ?=--+，则21()382x ax ax ?'=--，因为0a >，且1(0)02'=-<，所以()x ?'必有两个异号的零点，记正零点为0x ，则0(0,)x x ∈时，()0x ?'<，()x ?单调递减；0(,)x x ∈+∞时，()0x ?'>，()x ?单调递增，若()x ?在(0,)+∞上恰有两个零点，则0()0x ?<， (7)分由20001()3802x ax ax ?'=--=得2001382ax ax =+，所以0003217()939x ax x ?=--+，⼜因为对称轴为4,3x =所以81()(0)032??==-<，所以08733x >>，所以0003217()()0933x ax x ?=---<，⼜3222111()41(8)(1)1222x ax ax x ax x x ax ?=--+=-+-+，中的较⼤数为M ，则()0M ?>，故0a >()g x 在(0,)+∞上恰有两个零点． …………10 分解2：()()()42343211(4)422g x f x f x ax x ax x ax ax x x '=-=---=--+，因为0x >，由()4321402g x ax ax x x =--+=得3214102ax ax x --+=，令321()412x ax ax x ?=--+，若()g x 在(0,)+∞上恰有两个零点，则()x ?在(0,)+∞上恰有两个零点，当2x =时，由()0x ?=得0a =，此时1()12x x ?=-+在(0,)+∞上只有⼀个零点，不合题意；当2x ≠时，由321()4102x ax ax x ?=--+=得321422x x a x -=-， …………7 分令322148()2422x x x x x x x ?-==-----，则22122572[()]2(58)24()0(2)(2)x x x x x x x x ?-+-+'==>--，当(0,2)x ∈时，()x ?单调递增，且由2824,2y x x y x =--=--值域知 ()x ?值域为(0,)+∞；当(2,)x ∈+∞时，1()x ?单调递增，且1(4)0?=，由2824,2y x x y x =--=--值域知()x ?值域为(,)-∞+∞；因为0a >，所以102a >，⽽12y a=与1()x ?有两个交点，所以1()x ?在(0,)+∞上恰有两个零点． …………10 分（3）解1：由（2）知，对于321()412x ax ax x ?=--+在(0,)+∞上恰有两个零点12,x x ，不妨设12x x <，⼜因为(0)10?=>，11()(67)028a ?=-<，所以11 02x <<，……12 分⼜因为(4)10?=-<，91()(65710)028a ?=->，所以2942x <<，所以121945422x x a <+<+=<+． …………16 分解2：由（2）知321422x x a x -=-，因为[0,2)x ∈时，1()x ?单调递增，17()212?=，111111(0)0()()22x a =<=<，所以1102x <<， …………12 分当(2,)x ∈+∞时，1()x ?单调递增，1981()220?=，112119(4)0()()22x a =<=<，所以2942x <<，所以121945422x x a <+<+=<+． …………16 分附加题参考答案21.A ．证明：连结CD ，因为CP 为圆O 的切线，所以PCD PAC ∠=∠,⼜P ∠是公共⾓，所以PCD ?～PAC ?， ……………5分所以PC CDPA AC=, 因为点D 是劣弧BC 的中点,所以CD BD =,即PC BDPA AC=. ……………10分 21.B . 解：2λ=-代⼊212(1)(5)052x x xλλλλ+-=---+=--，得3x =矩阵12532M -??= ……………5分∴264514M ??=??……………10分 21.C . 解：直线1C ：29x y +=，椭圆2C :2221(03)9y x a a+=<<， …………………………5分准线：29y a =±-由299a=-得，22a = …………………………10分 21.D .证明：因为正实数,,a b c 满⾜231a b c ++=，所以32313ab c ≥，即23127ab c ≤， …………………………5分所以23127ab c ≥ 因此，32462461111327a b c a b c++≥≥ ……………………10分22. 解：（１）由AC = 3，BC = 4，AB = 5得090ACB ∠= ……………１分以CA 、CB 、CC 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建⽴如图所⽰的空间直⾓坐标系．则Ａ(3,0,0)，1C (0,0,4)，B(0,4,0)，设D(x,y,z)，则由AB AD λ=得(33,4,0)CD λλ=-，⽽1(3,0,4)AC =-，根据2910||50525189λλ=-+解得，15λ=或13λ=- ……………５分（２）13(,2,0),(0,4,4)2CD CB ==，可取平⾯1CDB 的⼀个法向量为1(4,3,3)n =-；…………………………７分⽽平⾯1CBB 的⼀个法向量为2(1,0,0)n =，并且12,n n <>与⼆⾯⾓D —CB 1—B 相等，所以⼆⾯⾓D —CB 1—B的余弦值为12cos cos ,n n θ=<>=………１０分（第（１）题中少⼀解扣１分；没有交代建⽴直⾓坐标系过程扣1分．第（２）题如果结果相差符号扣１分．）23. 解：（1）由题意，取121,2a a ==，126a a <，满⾜题意，若33a ?≥，则必有236a a ≥，不满⾜题意，综上所述：m 的最⼤值为2，即(6)2f =． ………………4分（２）由题意，当(1)(1)(2)n n k n n +<≤++时，设1{1,2,A =…,}n，2{1,2,3,A n n n =+++…}，显然，?11,i i a a A +∈时，满⾜1(1)(1)i i a a n n n n k +≤-<+<，∴从集合1A 中选出的i a ⾄多n 个，12,j j a a A +∈时，1(1)(2)j j a a n n k +≥++≥，∴从集合2A 中选出的j a 必不相邻，⼜∵从集合1A 中选出的i a ⾄多n 个，∴从集合2A 中选出的j a ⾄多n 个，放置于从集合1A 中选出的i a 之间，∴()2f k n ≤， ………………6分（ⅰ）当(2)(1)(2)n n k n n +<≤++时，取⼀串数i a 为：1,2,2,21,3,22,n n n --…,1,2,,1n n n n -++，或写成1, 221,2i i i a i n i +??=??+-?为奇数为偶数，（12i n ≤≤），此时1(2)i i a a n n k +≤+<，(121i n ≤≤-),211n a a n k =+<，满⾜题意，∴()2f k n =， ………………8分（ⅱ）当(1)(2)n n k n n +<≤+时，从1A 中选出的n 个i a ：1,2,…,n ，考虑数n 的两侧的空位，填⼊集合2A 的两个数,p q a a ，不妨设p q na na >，则(2)p na n n k ≥+≥，与题意不符，∴()21f k n ≤-，取⼀串数i a 为：1,21,2,22,3,23,n n n ---…,2,2,1,1,n n n n n -+-+或写成1,22,2i i i a i n i +??=??-?为奇数为偶数，（121i n ≤≤-），此时1(1)i i a a n n k +≤+<，（122i n ≤≤-），211n a a n k -=<，满⾜题意，∴()21f k n =-， ………………10分（写出（ⅰ）、（ⅱ）题的结论但没有证明各给１分．）。
2020-2021学年高考数学理科模拟试题及答案解析
最新高三第一次模拟考试数学试题（理）本试卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
全卷满分150分，考试时间120分钟。
考生注意事项：1．答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的座位号、姓名。
考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“考场座位号、姓名”与考生本人考场座位号、姓名是否一致。
2．第1卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选出其他答案标号。
第II 卷用0．5毫米的黑色签字笔在答题卡上书写作答，在试题卷上作答，答案无效。
3．考试结束，监考员将试题卷和答题卡一并收回。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设集合，{}12B x x =-≤≤，则等于 ( )A. {}10x x -<< B. {}24x x ≤< C. {}02x x x <>或 D. {}02x x x ≤≥或 2．在复平面内，复数2iz i-=的共轭复数z 对应的点所在的象限（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．设0x >，则“4m =”是“4≥+xmx ”恒成立”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件4、执行如图所示的程序框图，若输出的n=6，则输入整数p 的最小值是. （ ） A ． 17 B ． 16 C ．18 D ． 195.在等差数列{}n a 中，若1201210864=++++a a a a a ，则12102a a -的值为（ ） A. 6 B. 12 C. 24 D. 606、已知O 为坐标原点，双曲线22221x y a b -=(0,0)a b >>的右焦点F ，以OF 为直径作圆交双曲线的渐近线于异于原点的两点A 、B ，若()0AO AF OF +⋅=u u u r u u u r u u u r，则双曲线的离心率e 为( )A. 3B.2C.3 D.27．在区间[－1，1]上随机取一个数k ，使直线y ＝k(x ＋3)与圆x 2＋y 2＝1相交的概率为( )A. 12B. 13C. 2D.2 8．有以下命题：①命题“2,20x R x x ∃∈--≥”的否定是：“2,20x R x x ∀∈--<”； ②已知随机变量ξ服从正态分布2(2,)N σ，(4)0.79,P ξ≤=则(2)0.21P ξ≤-=；③函数131()()2xf x x =-的零点在区间11(,)32内；其中正确的命题的个数为（ ） A.3个 B.2个 C.1个 D.0个9.已知函数()y f x =是定义在实数集R 上的偶函数，且当(,0)x ∈-∞时()()xf x f x '<--成立（其中()()f x f x '是的导函数），若3(3)a f =，(1)b f =，212(log )4c f =-，则,,a b c 的大小关系是 （ ） A ．c a b >> B ．c b a >> C ．a b c >> D ．a c b >>10.已知实数,x y 满足：04010x y x y x -≤⎧⎪+-<⎨⎪-≥⎩，则使等式(2)(1)240t x t y t ++-++=成立的t 取值范围为（ ）A . 51--42⎡⎫⎪⎢⎣⎭，B . 51---+42⎛⎤⎛⎫∞⋃∞ ⎪⎥⎝⎦⎝⎭，， C.5-14⎡⎫⎪⎢⎣⎭， D 1-12⎡⎫⎪⎢⎣⎭， 11.已知四面体ABCD 的四个顶点都在球O 的表面上，⊥AB 平面BCD ，又3,2,4AB BC BD ===,且60CBD ∠=o ，则球O 的表面积为（ ）（A ）12π （B ） 16π （C ） 20π （D ）25π12、如图，四边形ABCD 是正方形，延长CD 至E ，使得DE=CD.若动点P 从点A出发，沿正方形的边按逆时针方向运动一周回到A 点，其中AP AB AE λμ=+u u u r u u u r u u u r，下列判断正确．．的是（ ）A.满足2λμ+=的点P 必为BC 的中点B.满足1λμ+=的点P 有且只有一个C.λμ+的最大值为3D.λμ+的最小值不存在二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分).13、设21eea dx x=⎰,则二项式261()-ax x 展开式中的常数项为。
2020-2021学年高考数学文科预测一模试题及答案解析
最新高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A={x|x2﹣4x+3＜0}，B={y|y=x2，x∈R}，则A∩B=（）A．∅B．[0，1）∪（3，+∞）C．A D．B2．若复数为纯虚数，则实数a的值为（）A．i B．0 C．1 D．﹣13．设等差数列{a n}的前n项和为S n，a2、a4是方程x2﹣x﹣2=0的两个根，则S5=（）A．B．5 C． D．﹣54．某人午觉醒来，发现表停了，他打开收音机，想听电台报时，他等待的时间不多于10分钟的概率为（）A．B．C．D．5．函数y=cos（4x+）的图象的相邻两个对称中心间的距离为（）A．B．C．D．π6．某四面体的三视图如图所示，正视图、侧视图、俯视图都是边长为1的正方形，则此四面体的外接球的体积为（）A．B．3πC．D．π7．函数f（x）=x2﹣elnx的零点个数为（）A．0 B．1 C．2 D．38．设椭圆+=1，双曲线﹣=1，（其中m＞n＞0）的离心率分别为e1，e2，则（）A．e1，e2＞1 B．e1，e2＜1C．e1，e2=1 D．e1，e2与1大小不确定9．程序框图如图：如果上述程序运行的结果S的值比2016小，若使输出的S最大，那么判断框中应填入（）A．k≤10？B．k≥10？C．k≤9？D．k≥9？10．已知函数f（x）的定义域为[﹣2，+∞），且f（4）=f（﹣2）=1，f′（x）为f（x）的导函数，函数y=f′（x）的图象如图所示．则平面区域所围成的面积是（）A．2 B．3 C．4 D．511．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为，以顶点A为球心，2为半径作一个球，则图中球面与正方体的表面相交所得到的两段弧长之和等于（）A．B．C．πD．12．已知平面向量的集合A到B的映射f为f（）=﹣2（•），其中为常向量，若映射f满足f（）•f（）=•对任意，∈A恒成立，则用坐标可能是（）A．B．C．D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．设△ABC的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c且acosB﹣bcosA=c，则的值为．14．已知x＞0，y＞0，++1=2，则2x+y的最小值为．15．如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB=2，AD=DC=1，P是线段BC上一动点，Q是线段DC上一动点，=λ，=（1﹣λ），则•的取值范围是．16．已知函数f（x）（x∈R）满足f（﹣x）=﹣f（x）=f（4﹣x），当x∈（0，2）时，f（x）=ln（x2﹣x+b）．若函数f（x）在区间[﹣2，2]上有5个零点，则实数b的取值范围是．三、解答题：本题共5小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．已知向量=（sinA，cosA），=（cosB，sinB），=sin2C且A、B、C分别为△ABC的三边a，b，c所对的角．（1）求角C的大小；（2）若sinA，sinC，sinB成等比数列，且=18，求c的值．．18．某旅行社为调查市民喜欢“人文景观”景点是否与年龄有关，随机抽取了55名市民，得到数据如下表：喜欢不喜欢合计大于40岁20 5 2520岁至40岁10 20 30 合计30 25 55（Ⅰ）判断是否有99.5%的把握认为喜欢“人文景观”景点与年龄有关？（Ⅱ）用分层抽样的方法从喜欢“人文景观”景点的市民中随机抽取6人作进一步调查，将这6位市民作为一个样本，从中任选2人，求恰有1位“大于40岁”的市民和1位“20岁至40岁”的市民的概率．下面的临界值表供参考：0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001P（K2≥k）k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828（参考公式：K2=，其中n=a+b+c+d）19．如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC⊥AB，AB=2AA1，M是AB的中点，△A1MC1是等腰三角形，D为CC1的中点，E为BC上一点．（1）若DE∥平面A1MC1，求；（2）平面A1MC1将三棱柱ABC﹣A1B1C1分成两个部分，求较小部分与较大部分的体积之比．20．如图，已知抛物线C：y2=4x，过焦点F斜率大于零的直线l交抛物线于A、B两点，且与其准线交于点D．（Ⅰ）若线段AB的长为5，求直线l的方程；（Ⅱ）在C上是否存在点M，使得对任意直线l，直线MA，MD，MB的斜率始终成等差数列，若存在求点M的坐标；若不存在，请说明理由．21．已知函数f（x）=e x﹣1﹣．（Ⅰ）若曲线y=f（x）在（2，f（2））处的切线过（0，﹣1），求a的值；（Ⅱ）求证：当a≤﹣1时，不等式f（x）•lnx≥0在（0，1）∪（1，+∞）上恒成立．请考生在22，23，24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，已知AP是⊙O的切线，P为切点，AC是⊙O的割线，与⊙O交于B，C两点，圆心O在∠PAC的内部，点M是BC的中点．（Ⅰ）证明A，P，O，M四点共圆；（Ⅱ）求∠OAM+∠APM的大小．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρsin（θ+）=a，曲线C2的参数方程为，（θ为参数，0≤θ≤π）．（Ⅰ）求C1的直角坐标方程；（Ⅱ）当C1与C2有两个公共点时，求实数a的取值范围．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=log2（|x﹣1|+|x﹣5|﹣a）（Ⅰ）当a=5时，求函数f（x）的定义域；（Ⅱ）当函数f（x）的定义域为R时，求实数a的取值范围．参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A={x|x2﹣4x+3＜0}，B={y|y=x2，x∈R}，则A∩B=（）A．∅B．[0，1）∪（3，+∞）C．A D．B【考点】交集及其运算．【分析】求出A中不等式的解集确定出A，求出B中y的范围确定出B，找出两集合的交集即可．【解答】解：由A中不等式变形得：（x﹣1）（x﹣3）＜0，解得：1＜x＜3，即A=（1，3），由B中y=x2≥0，得到B=[0，+∞），则A∩B=（1，3）=A，故选：C．2．若复数为纯虚数，则实数a的值为（）A．i B．0 C．1 D．﹣1【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则、纯虚数的定义即可得出．【解答】解：复数==﹣i为纯虚数，∴=0，≠0，解得a=1．故选：C．3．设等差数列{a n}的前n项和为S n，a2、a4是方程x2﹣x﹣2=0的两个根，则S5=（）A．B．5 C． D．﹣5【考点】等差数列的前n项和．【分析】根据韦达定理a2+a4=1，通过等差数列的等差性质可知a1+a5=a2+a4，最后把a1+a5代入S5即可得到答案．【解答】解：依题意可知a2+a4=1，∴a1+a5=a2+a4=1∴S5==故答案选A4．某人午觉醒来，发现表停了，他打开收音机，想听电台报时，他等待的时间不多于10分钟的概率为（）A．B．C．D．【考点】几何概型．【分析】由电台整点报时的时刻是任意的知这是一个几何概型，电台整点报时知事件总数包含的时间长度是60，而他等待的时间不多于10分钟的事件包含的时间长度是10，两值一比即可求出所求．【解答】解：设A={等待的时间不多于10分钟}，事件A恰好是打开收音机的时刻位于[50，60]时间段内，因此由几何概型的求概率的公式可得p（A）==，即“等待报时的时间不超过10分钟”的概率为；故选C5．函数y=cos（4x+）的图象的相邻两个对称中心间的距离为（）A．B．C．D．π【考点】余弦函数的图象；余弦函数的对称性．【分析】先根据函数的表达式求出函数的最小正周期，然后根据两向量对称轴间的距离等于半个周期可得答案．【解答】解：对于，T=∴两条相邻对称轴间的距离为=故选B．6．某四面体的三视图如图所示，正视图、侧视图、俯视图都是边长为1的正方形，则此四面体的外接球的体积为（）A．B．3πC．D．π【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由于正视图、侧视图、俯视图都是边长为1的正方形，所以此四面体一定可以放在棱长为1的正方体中，所以此四面体的外接球即为此正方体的外接球，由此能求出此四面体的外接球的体积．【解答】解：由于正视图、侧视图、俯视图都是边长为1的正方形，所以此四面体一定可以放在正方体中，所以我们可以在正方体中寻找此四面体．如图所示，四面体ABCD满足题意，所以此四面体的外接球即为此正方体的外接球，由题意可知，正方体的棱长为1，所以外接球的半径为R=，所以此四面体的外接球的体积V==．故选C．7．函数f（x）=x2﹣elnx的零点个数为（）A．0 B．1 C．2 D．3【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】求出函数的导数，根据导数求的函数的极小值为f（）＞0，可得函数无零点．【解答】解：∵函数f（x）=x2﹣elnx，∴f′（x）=2x﹣=．令f′（x）=0，解得x=．由于f′（x）在（0，）上小于零，在（，+∞）上大于零，故x=时，函数f（x）取得极小值．由于f（）=﹣eln=﹣ln=（1﹣ln）＞0，所以函数无零点．故选A．8．设椭圆+=1，双曲线﹣=1，（其中m＞n＞0）的离心率分别为e1，e2，则（）A．e1，e2＞1 B．e1，e2＜1C．e1，e2=1 D．e1，e2与1大小不确定【考点】椭圆的简单性质．【分析】由椭圆方程与双曲线方程分别求出椭圆与双曲线的离心率，作积后结合m＞n得答案．【解答】解：在椭圆+=1中，，∴，在双曲线﹣=1中，，∴，∴=．故选：B．9．程序框图如图：如果上述程序运行的结果S的值比2016小，若使输出的S最大，那么判断框中应填入（）A．k≤10？B．k≥10？C．k≤9？D．k≥9？【考点】程序框图．【分析】按照程序框图的流程写出前几次循环的结果判断出当k为何值时输出，得到判断框中的条件．【解答】解：由题意，模拟执行程序，可得K=12，S=1不满足条件，执行循环体，S=12，K=11不满足条件，执行循环体，S=132，K=10不满足条件，执行循环体，S=1320，K=9不满足条件，执行循环体，S=11880，K=8…观察可得：如果上述程序运行的结果S的值比2016小，若使输出的S最大，那么判断框中应填入K≤9？．故选：C．10．已知函数f（x）的定义域为[﹣2，+∞），且f（4）=f（﹣2）=1，f′（x）为f（x）的导函数，函数y=f′（x）的图象如图所示．则平面区域所围成的面积是（）A．2 B．3 C．4 D．5【考点】函数的单调性与导数的关系；二元一次不等式（组）与平面区域．【分析】由函数y=f′（x）的图象可得：当x∈（0，+∞）时，f′（x）＞0，此时函数f（x）单调递增．由f（2a+b）＜1，f（4）=1，及f（2a+b）＜1=f（4）．可得2a+b＜4．再利用线性规划的有关知识即可得出．【解答】解：由函数y=f′（x）的图象可得：当x∈[﹣2，0）]时，f′（x）＜0，此时函数f（x）单调递减；当x∈（0，+∞）时，f′（x）＞0，此时函数f（x）单调递增．∵a≥0，b≥0，∴2a+b≥0．又∵f（4）=1，f（2a+b）＜1，∴f（2a+b）＜f（4）．∴0≤2a+b＜4．由，画出图象如图∴阴影部分的面积S==4．故选C．11．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为，以顶点A为球心，2为半径作一个球，则图中球面与正方体的表面相交所得到的两段弧长之和等于（）A．B．C．πD．【考点】球内接多面体．【分析】球面与正方体的六个面都相交，所得的交线分为两类：一类在顶点A所在的三个面上，即面AA1B1B、面ABCD和面AA1D1D上；另一类在不过顶点A的三个面上，即面BB1C1C、面CC1D1D和面A1B1C1D1上．由空间几何知识能求出这两段弧的长度之和．【解答】解：如图，球面与正方体的六个面都相交，所得的交线分为两类：一类在顶点A所在的三个面上，即面AA1B1B、面ABCD和面AA1D1D 上；另一类在不过顶点A的三个面上，即面BB1C1C、面CC1D1D和面A1B1C1D1上．在面AA1B1B上，交线为弧EF且在过球心A的大圆上，因为AE=2，AA1=，则∠A1AE=．同理∠BAF=，所以∠EAF=，故弧EF的长为：2×=，而这样的弧共有三条．在面BB1C1C上，交线为弧FG且在距球心为1的平面与球面相交所得的小圆上，此时，小圆的圆心为B，半径为1，∠FBG=，所以弧FG的长为：1×=．于是，所得的曲线长为：+=．故选：A．12．已知平面向量的集合A到B的映射f为f（）=﹣2（•），其中为常向量，若映射f满足f（）•f（）=•对任意，∈A恒成立，则用坐标可能是（）A．B．C．D．【考点】平面向量数量积的运算；映射．【分析】通过赋值列出关于向量的方程，通过向量的运算法则化简方程，得到满足的条件．【解答】解：令=，则f（）•f（）=•又f（）•f（）=[﹣2（•）]2=2﹣4（•）2+4[（•）]2即﹣4（•）2+4[（•）]2=0，∴（•）2（2﹣1）=0∴=0或||=1，对于选项D，||=1，故选D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．设△ABC的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c且acosB﹣bcosA=c，则的值为 4 ．【考点】正弦定理的应用．【分析】先根据正弦定理得到sinAcosB﹣sinBcosA=sinC，再由两角和与差的正弦公式进行化简可得到sinAcosB=4sinBcosA，然后转化为正切的形式可得到答案．【解答】解：由acosB﹣bcosA=c及正弦定理可得sinAcosB﹣sinBcosA=sinC，即sinAcosB﹣sinBcosA=sin（A+B），即5（sinAcosB﹣sinBcosA）=3（sinAcosB+sinBcosA），即sinAcosB=4sinBcosA，因此tanA=4tanB，所以=4．故答案为：414．已知x＞0，y＞0，++1=2，则2x+y的最小值为8 ．【考点】基本不等式．【分析】利用“乘1法”和基本不等式的性质即可得出．【解答】解：∵x＞0，y＞0，++1=2，∴2x+y=（2x+y）=4+=8，当且仅当y=2x=4时取等号．∴2x+y的最小值为8．故答案为：8．15．如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB=2，AD=DC=1，P是线段BC上一动点，Q是线段DC上一动点，=λ，=（1﹣λ），则•的取值范围是[0，2] ．【考点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角．【分析】通过向量的坐标运算转化为二次函数的单调性即可得出．【解答】解：如图所示，A（0，0），B（2，0），C（1，1），D（0，1）．=（1，1）+（1﹣λ），λ∈[0，1]．=（1，1）+（1﹣λ）（1，﹣1）=（2﹣λ，λ）．==（0，1）+=（0，1）+λ（1，0）=（λ，1）．∴f（λ）==（2﹣λ，λ）•（λ，1）=λ（2﹣λ）+λ=﹣λ2+3λ=，∵λ∈[0，1]，∴f（0）≤f（λ）≤f（1），∴0≤f（λ）≤2．∴•的取值范围是[0，2]．故答案为：[0，2]．16．已知函数f（x）（x∈R）满足f（﹣x）=﹣f（x）=f（4﹣x），当x∈（0，2）时，f（x）=ln（x2﹣x+b）．若函数f（x）在区间[﹣2，2]上有5个零点，则实数b的取值范围是或．【考点】根的存在性及根的个数判断；函数零点的判定定理．【分析】判断函数是奇函数和函数的周期性，可得0、±2是函数f（x）的零点，将函数f（x）在区间[﹣2，2]上的零点个数为5，转化为当x∈（0，2）时，x2﹣x+b＞0恒成立，且x2﹣x+b=1在（0，2）有一解，由此构造关于b的不等式组，解不等式组可得实数b的取值范围．【解答】解：由题意知，f（x）是定义在R上的奇函数，所以f（0）=0，即0是函数f（x）的零点，因为f（x）是定义在R上且以4为周期的周期函数，所以f（﹣2）=f（2），且f（﹣2）=﹣f（2），则f（﹣2）=f（2）=0，即±2也是函数f（x）的零点，因为函数f（x）在区间[﹣2，2]上的零点个数为5，且当x∈（0，2）时，f（x）=ln（x2﹣x+b），所以当x∈（0，2）时，x2﹣x+b＞0恒成立，且x2﹣x+b=1在（0，2）有一解，即或，解得＜b≤1或b=，故答案为：或．三、解答题：本题共5小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．已知向量=（sinA，cosA），=（cosB，sinB），=sin2C且A、B、C分别为△ABC的三边a，b，c所对的角．（1）求角C的大小；（2）若sinA，sinC，sinB成等比数列，且=18，求c的值．．【考点】平面向量数量积的运算；等比数列的通项公式；正弦定理．【分析】（1）由=sin2C，结合向量的数量积的坐标表示及两角和的正弦公式可求cosC，进而可求C（2）由已知可得，sin2C=sinAsinB，结合正弦定理可得c2=ab，再由向量的数量积的定义可求ab，进而可求c【解答】解：（1）∵=sin2C∴sinAcosB+sinBcosA=sin2C∴sin（A+B）=sinC=sin2C=2sinCcosC∵sinC≠0∴cosC=∵C∈（0，π）∴（2）∵sinA，sinB，sinB成等比数列，∴sin2C=sinAsinB由正弦定理可得c2=ab∵=18，∴==18，∴ab=36∴c2=36，c=618．某旅行社为调查市民喜欢“人文景观”景点是否与年龄有关，随机抽取了55名市民，得到数据如下表：喜欢不喜欢合计大于40岁20 5 2520岁至40岁10 20 30 合计30 25 55（Ⅰ）判断是否有99.5%的把握认为喜欢“人文景观”景点与年龄有关？（Ⅱ）用分层抽样的方法从喜欢“人文景观”景点的市民中随机抽取6人作进一步调查，将这6位市民作为一个样本，从中任选2人，求恰有1位“大于40岁”的市民和1位“20岁至40岁”的市民的概率．下面的临界值表供参考：0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001P（K2≥k）k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 （参考公式：K2=，其中n=a+b+c+d）【考点】独立性检验的应用．【分析】（Ⅰ）计算K2的值，与临界值比较，即可得到结论；（II）确定样本中有4个“大于40岁”的市民，2个“20岁至40岁”的市民，利用列举法确定基本事件，即可求得结论．【解答】解：（1）由公式K2=≈11.978＞7.879，所以有99.5%的把握认为喜欢“人文景观”景点与年龄有关…（II）设所抽样本中有m个“大于40岁”市民，则，得m=4人所以样本中有4个“大于40岁”的市民，2个“20岁至40岁”的市民，分别记作B1，B2，B3，B4，G1，G2．从中任选2人的基本事件有（B1，B2）、（B1，B3）、（B1，B4）、（B1，G1）、（B1，G2）、（B2，B3）、（B2，B4）、（B2，G1）、（B2，G2）、（B3，B4）、（B3，G1）、（B3，G2）、（B4，G1）、（B4，G2）、（G1，G2），共15个，…其中恰有1名“大于40岁”和1名“20岁至40岁”之间的市民的事件有（B1，G1）、（B1，G2）、（B2，G1）、（B2，G2）、（B3，G1）、（B3，G2）、（B4，G1）、（B4，G2），共8个，所以恰有1名“大于40岁”和1名“20岁至40岁”之间的市民的概率为P=．…19．如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC⊥AB，AB=2AA1，M是AB的中点，△A1MC1是等腰三角形，D为CC1的中点，E为BC上一点．（1）若DE∥平面A1MC1，求；（2）平面A1MC1将三棱柱ABC﹣A1B1C1分成两个部分，求较小部分与较大部分的体积之比．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定．【分析】（1）先证明A1，M，N，C1四点共面，利用DE∥平面A1MC1，可得DE∥C1N，利用D为CC1的中点，即可求；（2）将几何体AA1M﹣CC1N补成三棱柱AA1M﹣CC1F，求出几何体AA1M﹣CC1N的体积、直三棱柱ABC﹣A1B1C1体积，即可求较小部分与较大部分的体积之比．【解答】解：（1）取BC中点为N，连结MN，C1N，…∵M，N分别为AB，CB中点∴MN∥AC∥A1C1，∴A1，M，N，C1四点共面，…且平面BCC1B1∩平面A1MNC1=C1N又DE⊂平面BCC1B1，且DE∥平面A1MC1∴DE∥C1N∵D为CC1的中点，∴E是CN的中点，…∴．…（2）∵三棱柱ABC﹣A1B1C1为直三棱柱，∴AA1⊥平面ABC，又AC⊥AB，则AC⊥平面ABB1A1设AB=2AA1=2，又三角形A1MC1是等腰三角形，所以．如图，将几何体AA1M﹣CC1N补成三棱柱AA1M﹣CC1F∴几何体AA1M﹣CC1N的体积为：…又直三棱柱ABC﹣A1B1C1体积为：…故剩余的几何体棱台BMN﹣B1A1C1的体积为：∴较小部分的体积与较大部分体积之比为：．…20．如图，已知抛物线C：y2=4x，过焦点F斜率大于零的直线l交抛物线于A、B两点，且与其准线交于点D．（Ⅰ）若线段AB的长为5，求直线l的方程；（Ⅱ）在C上是否存在点M，使得对任意直线l，直线MA，MD，MB的斜率始终成等差数列，若存在求点M的坐标；若不存在，请说明理由．【考点】直线与圆锥曲线的关系；直线的一般式方程．【分析】（Ⅰ）设l：x=my+1，A（x1，y1），B（x2，y2），则联立方程化简可得y2﹣4my﹣4=0，从而可得，从而求直线l的方程；（Ⅱ）设M（a2，2a），则k MA==，k MB=，k MD=，则=，从而可得（a2﹣1）（m+）=0，从而求出点M的坐标．【解答】解：（Ⅰ）焦点F（1，0）∵直线l的斜率不为0，所以设l：x=my+1，A（x1，y1），B（x2，y2）由得y2﹣4my﹣4=0，y1+y2=4m，y1y2=﹣4，，，∴，∴．∴直线l的斜率k2=4，∵k＞0，∴k=2，∴直线l的方程为2x﹣y﹣2=0．（Ⅱ）设M（a2，2a），k MA==，同理，k MB=，k MD=，∵直线MA，MD，MB的斜率始终成等差数列，∴2=+恒成立；∴=，又∵y1+y2=4m，y1y2=﹣4，∴（a2﹣1）（m+）=0，∴a=±1，∴存在点M（1，2）或M（1，﹣2），使得对任意直线l，直线MA，MD，MB的斜率始终成等差数列．21．已知函数f（x）=e x﹣1﹣．（Ⅰ）若曲线y=f（x）在（2，f（2））处的切线过（0，﹣1），求a的值；（Ⅱ）求证：当a≤﹣1时，不等式f（x）•lnx≥0在（0，1）∪（1，+∞）上恒成立．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（Ⅰ）将x=2代入原函数和导函数，求出切点坐标和切线斜率，得到切线的点斜式方程，将（0，﹣1）代入，可求a的值；（Ⅱ）若证：当a≤﹣1时，不等式f（x）•lnx≥0在（0，1）∪（1，+∞）上恒成立．只需证：（x﹣1）（e x﹣1）﹣ax≥0在（0，+∞）恒成立，设g（x）=（x﹣1）（e x﹣1）﹣ax，x∈[0，+∞），利用导数法求其最值后，可得结论．【解答】解：（Ⅰ）解由x﹣1≠0得：函数f（x）=e x﹣1﹣的定义域为x∈（﹣∞，1）∪（1，+∞），f（2）=e2﹣1﹣2a，，∴f'（2）=e2+a，∴曲线y=f（x）在（2，f（2））处的切线y﹣（e2﹣1﹣2a）=（e2+a）（x﹣2）将（0，﹣1）代入，得﹣1﹣（e2﹣1﹣2a）=﹣2e2﹣2a，解得：证明：（Ⅱ）若证：当a≤﹣1时，不等式f（x）•lnx≥0在（0，1）∪（1，+∞）上恒成立．只需证：在（0，1）∪（1，+∞）上恒成立，∵x∈（0，1）∪（1，+∞）时，恒成立，∴只需证：（x﹣1）（e x﹣1）﹣ax≥0在（0，+∞）恒成立设g（x）=（x﹣1）（e x﹣1）﹣ax，x∈[0，+∞）∵g（0）=0恒成立∴只需证：g（x）≥0在[0，+∞）恒成立∵g'（x）=x•e x﹣1﹣a，g''（x）=（x+1）•e x＞0恒成立，∴g'（x）单调递增，∴g'（x）≥g'（0）=﹣1﹣a≥0∴g（x）单调递增，∴g（x）≥g（0）=0∴g（x）≥0在[0，+∞）恒成立即在（0，1）∪（1，+∞）上恒成立．请考生在22，23，24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，已知AP是⊙O的切线，P为切点，AC是⊙O的割线，与⊙O交于B，C两点，圆心O在∠PAC的内部，点M是BC的中点．（Ⅰ）证明A，P，O，M四点共圆；（Ⅱ）求∠OAM+∠APM的大小．【考点】圆內接多边形的性质与判定．【分析】（1）要证明四点共圆，可根据圆内接四边形判定定理：四边形对角互补，而由AP 是⊙O的切线，P为切点，易得∠APO=90°，故解答这题的关键是证明，∠AMO=90°，根据垂径定理不难得到结论．（2）由（1）的结论可知，∠OPM+∠APM=90°，只要能说明∠OPM=∠OAM即可得到结论．【解答】证明：（Ⅰ）连接OP，OM．因为AP与⊙O相切于点P，所以OP⊥AP．因为M是⊙O的弦BC的中点，所以OM⊥BC．于是∠OPA+∠OMA=180°．由圆心O在∠PAC的内部，可知四边形M的对角互补，所以A，P，O，M四点共圆．解：（Ⅱ）由（Ⅰ）得A，P，O，M四点共圆，所以∠OAM=∠OPM．由（Ⅰ）得OP⊥AP．由圆心O在∠PAC的内部，可知∠OPM+∠APM=90°．又∵A，P，O，M四点共圆∴∠OPM=∠OAM所以∠OAM+∠APM=90°．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρsin（θ+）=a，曲线C2的参数方程为，（θ为参数，0≤θ≤π）．（Ⅰ）求C1的直角坐标方程；（Ⅱ）当C1与C2有两个公共点时，求实数a的取值范围．【考点】参数方程化成普通方程；直线与圆的位置关系．【分析】（Ⅰ）利用极坐标方程的定义即可求得；（Ⅱ）数形结合：作出图象，根据图象即可求出有两交点时a的范围．【解答】解：（Ⅰ）曲线C1的极坐标方程为ρ（sinθ+cosθ）=a，∴曲线C1的直角坐标方程为x+y﹣a=0．（Ⅱ）曲线C2的直角坐标方程为（x+1）2+（y+1）2=1（﹣1≤y≤0），为半圆弧，如图所示，曲线C1为一族平行于直线x+y=0的直线，当直线C1过点P时，利用得a=﹣2±，舍去a=﹣2﹣，则a=﹣2+，当直线C1过点A、B两点时，a=﹣1，∴由图可知，当﹣1≤a＜﹣2+时，曲线C1与曲线C2有两个公共点．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=log2（|x﹣1|+|x﹣5|﹣a）（Ⅰ）当a=5时，求函数f（x）的定义域；（Ⅱ）当函数f（x）的定义域为R时，求实数a的取值范围．【考点】绝对值不等式的解法；函数的定义域及其求法；函数的值域．【分析】（1）a=5时，表达式中对数的真数大于0，即|x﹣1|+|x﹣5|﹣5＞0，分情况讨论不等式的解集，最后取并集即可得到函数f（x）的定义域．（2）函数f（x）的定义域为R，即不等式|x﹣1|+|x﹣5|＞a恒成立，根据绝对值不等式的性质求出左边的最小值，即可得到实数a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）当a=5时，要使函数f（x）有意义，即不等式|x﹣1|+|x﹣5|﹣5＞0成立，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣①①当x≤1时，不等式①等价于﹣2x+1＞0，解之得x；②当1＜x≤5时，不等式①等价于﹣1＞0，无实数解；③当x＞5时，不等式①等价于2x﹣11＞0，解之得x综上所述，函数f（x）的定义域为（﹣∞，）∪（，+∞）．（Ⅱ）∵函数f（x）的定义域为R，∴不等式|x﹣1|+|x﹣5|﹣a＞0恒成立，∴只要a＜（|x﹣1|+|x﹣5|）min即可，又∵|x﹣1|+|x﹣5|≥|（x﹣1）﹣（x﹣5）|=4，（当且仅当1≤x≤5时取等号）∴a＜（|x﹣1|+|x﹣5|）min即a＜4，可得实数a的取值范围是（﹣∞，4）．2016年10月17日。
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高考数学模拟试卷(一)一、选择题：1、设a ＝(2，－3)，b ＝(－4，3)，c ＝(5，6)，则(a ＋3b )·c 等于( )A ．(－50，36)B ．－12C ．0D ．－142、“a ＝81”是“对任意的正数x ，2x ＋x a≥1”的() A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3、曲线y ＝x3－x2＋4在点(2，8)处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积是()A ．1B ．2C ．4D ．84、关于x 的不等式0ax b 的解集为{|1}x x ，则关于x 的不等式02axbx 的解集为()A ．{|12}x xB ．{|1,2}x xx或C ．{|12}x xD ．{|2}x x5、已知盒中装有3只螺口与7只卡口灯炮，这些灯炮的外形与功率都相同且灯口向下放着，现需要一只卡口灯炮使用，电工师傅每次从中任取一只并不放回，则他直到第3次才取得卡口灯炮的概率为( )A ．2140B ．1740C ．310D ．71206、已知f (x)＝x 1，当θ∈(45π，23π)时，f (sin2θ)－f (－sin2θ)可化简为()A ．2sin θB ．－2cos θC ．2cos θD ．－2sin θ7、已知双曲线)0(12222bby x的左、右焦点分别是1F 、2F ，其一条渐近线方程为x y，点),3(0y P 在双曲线上.则1PF ·2PF ＝( ) A. －12B. －2C.D. 48、在半径为3的球面上有C B A 、、三点，ABC =90°，BC BA , 球心O 到平面ABC 的距离是223，则C B 、两点的球面距离是()A. 3B.C. 34D.29、2位男生和3位女生共5位同学站成一排，若男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是( ) A. 60 B. 48 C. 42D. 3610、已知函数)(x f 是定义在实数集R 上的不恒为零的偶函数，且对任意实数x 都有)()1()1(x f x x xf ，则)25(f 的值是()A. 0B.21C. 1D.25二、填空题：11、一条光线从点(5，3)射入，与x 轴正方向成α角，遇x 轴后反射，若tan α＝3，则反射光线所在直线方程是______________．12、已知⊙M ：x2＋(y －2)2＝1，Q 是x 轴上动点，QA 、QB 分别切⊙M 于A 、B 两点，则直线AB 恒过定点______________．13、已知数列n a 满足a1＝1，an ＝a1＋2a2＋3a3＋…＋(n ―1) an ―1(n ≥2)，则n a 的通项an ＝_____________．14、已知f (x)是R 上的函数，且 f (x ＋2)＝)(1)(1x f x f ，若f (1)＝32，则f (2009)＝_______．15、若直角三角形的周长为12．则它的最大面积为_______________．三、解答题：16、甲、乙等五名志愿者被随机地分到A 、B 、C 、D 四个不同的岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者。
（Ⅰ）求甲、乙两人同时参加A 岗位服务的概率；（Ⅱ）求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率。
17、设△ABC 的内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c ，23cos )cos(BC A ,ac b2，求B 。
18、设函数329()62f x xxx a 。
（1）对于任意实数x ，()f x m 恒成立，求m 的最大值；（2）若方程()0f x 有且仅有一个实根，求a 的取值范围。
19、设n S 为数列{}n a 的前n 项和，2nS knn ，*n N ，其中k 是常数。
（I ）求1a 及n a ；（II ）若对于任意的*mN ，m a ，2m a ，4m a 成等比数列，求k 的值。
20、如图，四棱锥P ABCD 的底面是正方形，PDABCD 底面，点E 在棱PB 上。
（Ⅰ）求证：平面AEC PDB 平面；（Ⅱ）当2PDAB 且E 为PB 的中点时，求AE 与平面PDB 所成的角的大小。
221、已知抛物线C：22(0)x py p上一点(,4)A m到其焦点的距离为174。
（I）求p与m的值；（II）设抛物线C上一点P的横坐标为(0)t t，过P的直线交C于另一点Q，交x轴于点M，过点Q作PQ的垂线交C于另一点N。
若MN是C的切线，求t的最小值。
2高考数学模拟试卷答案（一）一、选择题1、D2、B3、C4、C5、D6、C7、C8、D9、C10、D二、填空题11、123x y12、230，13、)2(2!)1(1nn n 14、2+315、41三、解答题：16、解：（Ⅰ）记甲、乙两人同时参加A 岗位服务为事件A E ，那么3324541()40A A P E C A，即甲、乙两人同时参加A 岗位服务的概率是140．（Ⅱ）记甲、乙两人同时参加同一岗位服务为事件E ，那么4424541()10AP E C A ，所以，甲、乙两人不在同一岗位服务的概率是9()1()10PE PE 17、解：由cos （A C ）+cosB=32及B=π（A+C ）得cos （A C ）cos （A+C ）=32，cosAcosC+sinAsinC （cosAcosC sinAsinC ）=32,sinAsinC=34.又由2b =ac 及正弦定理得2sin sin sin ,BA C 故23sin 4B，3sin 2B或3sin 2B（舍去），于是B=3π或B=23π.又由2bac 知a b或cb所以B =3π。
18、解：(1) '2()3963(1)(2)f x x xx x , 因为(,)x,'()f x m , 即239(6)0x x m 恒成立,所以8112(6)0m , 得34m，即m 的最大值为34(2) 因为当1x 时, '()0f x 。
当12x时, '()0f x 。
当2x 时, '()0f x 。
所以当1x 时,()f x 取极大值5(1)2f a 。
当2x时,()f x 取极小值(2)2f a 。
故当(2)0f 或(1)0f 时, 方程()0f x 仅有一个实根. 解得2a 或52a。
19、解：（Ⅰ）当1,111k S a n，12)]1()1([,2221k kn n n k n knS S a nnnn（）经验，,1n （）式成立，12kkna n（Ⅱ）m m m a a a 42,,成等比数列，m m ma a a 422.，即)18)(12()14(2kkmkkmk km，整理得：0)1(k mk ，对任意的N m 成立，10k k 或20、（Ⅰ）∵四边形ABCD 是正方形，∴AC ⊥BD ，∵PD ABCD 底面，∴PD ⊥AC ，∴AC ⊥平面PDB ，∴平面AEC PDB 平面.（Ⅱ）设AC ∩BD=O ，连接OE ，由（Ⅰ）知AC ⊥平面PDB 于O ，∴∠AEO 为AE 与平面PDB 所的角，∴O ，E 分别为DB 、PB 的中点，∴OE//PD ，12OEPD ，又∵PDABCD 底面，∴OE ⊥底面ABCD ，OE ⊥AO ，在Rt △AOE 中，1222OEPDABAO ，∴45AOE，即AE 与平面PDB 所成的角的大小为45.21、解：（Ⅰ）由抛物线方程得其准线方程：2p y，根据抛物线定义点)4,(m A 到焦点的距离等于它到准线的距离，即41724p ，解得21p抛物线方程为：y x2，将)4,(m A 代入抛物线方程，解得2m（Ⅱ）由题意知，过点),(2t t P 的直线PQ 斜率存在且不为0，设其为k 。
则)(:2t x k ty l PQ ，当,,02kkttxy 则)0,(2kkttM 。
联立方程yxt xk ty22)(，整理得：0)(2t kt kxx即：0)]()[(t kxt x ，解得,t x或tk x ))(,(2t kt kQ ，而QP QN，直线NQ 斜率为k 1)]([1)(:2t kx kt k y l NQ ，联立方程yxt k x k t ky22)]([1)(整理得：0)()(1122t k t k k xkx，即：0]1)()[(2t k k t k x kx0)](][1)([t kx t kk kx，解得：k t k k x1)(，或tkx )]1)([,1)((22kt k k kt k k N ，)1()1(1)(]1)([2222222kt k kt kk kt tkt kk k t kk K NM而抛物线在点N 处切线斜率：kt kk yk kt k k x2)(21)(切MN 是抛物线的切线，kt kk kt k kt k2)(2)1()1(2222，整理得02122ttkk 0)21(422t t，解得32t（舍去），或32t，32mint 1、只要朝着一个方向努力，一切都会变得得心应手。
20.6.196.19.202023:2823:28:27Jun-2023:282、心不清则无以见道，志不确则无以定功。
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23:2823:28:286.19.2020Friday, June 19, 2020亲爱的用户：春去春又回，新桃换旧符。
在那桃花盛开的地方，在这醉人芬芳的季节，愿你生活像春天一样阳光，心情像桃花一样美丽，感谢你的阅读。