2014年高考广西文科数学试题
2014高考全国2卷数学文科试题及答案详解解析
2014 年普通高等学校招生全国统一考试数学第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）已知集合A { 2,0,2} ，2B {x| x x 2 0}，则A B=2 0 2(A) （B）（C）(D)考点：交集及其运算．分析：先解出集合B，再求两集合的交集即可得出正确选项．解答：解：∵ A={﹣2，0，2}，B={x|x2 ﹣x﹣2=0}={﹣1，2}，∴A∩B={2}．故选： B点评：本题考查交的运算，理解好交的定义是解答的关键．1 3i（2）1 i()（A）1 2i （B） 1 2i （C）1-2i (D) 1-2i考点：复数代数形式的乘除运算．分析：分子分母同乘以分母的共轭复数1+i 化简即可．解答：解：化简可得====﹣1+2i故选： B点评：本题考查复数代数形式的化简，分子分母同乘以分母的共轭复数是解决问题的关键，属基础题．f x在x x0 处导数存在，若（3）函数p: f (x ) 0;q : x x0 0是f x 的极值点，则()（A） p 是 q 的充分必要条件（B） p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件（C） p 是q 的必要条件，但不是q 的充分条件(D) p 既不是 q的充分条件，也不是q 的必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．菁优网版权所有分析：根据可导函数的极值和导数之间的关系，利用充分条件和必要条件的定义即可得到结论．解答：函数f（x）=x3 的导数为f'（x）=3x2，由 f′（x0）=0，得x0=0，但此时函数f（x）单调递增，无极值，充分性不成立．根据极值的定义和性质，若x=x0 是 f（x）的极值点，则f′（x0）=0 成立，即必要性成立，故p 是 q 的必要条件，但不是q 的充分条件，故选： C点评：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用函数单调性和极值之间的关系是解决本题的关键，比较基础．1（4）设向量a,b 满足|a+b|= 10 ，|a-b|= 6，则a·b= ()（A）1 （B）2 （C）3 (D) 5考点：平面向量数量积的运算．分析：将等式进行平方，相加即可得到结论．解答：∵| + |= ，| ﹣|= ，∴分别平方得，+2 ? + =10，﹣2 ? + =6，两式相减得4? ? =10﹣6=4，即? =1，故选： A点评：本题主要考查向量的基本运算，利用平方进行相加是解决本题的关键，比较基础．（5）等差数列a n 的公差为2，若a2 ，a4 ，a8成等比数列，则a n 的前n 项Sn =()n n 1 n n 1n n 1 n n 12 2 （A）（B）（C）(D)考点：等差数列的性质．分析：由题意可得a42=（a4﹣4）（a4+8），解得a4 可得 a1，代入求和公式可得．解答：由题意可得a42=a2?a8，即 a42=（a4﹣4）（a4+8），解得a4=8，∴a1=a4﹣3×2=2，∴Sn=na1+d，=2n+× 2=n（n+1），故选： A点评：本题考查等差数列的性质和求和公式，属基础题．如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示 1cm），图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm，高为 6c m 的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为()17 5 10 1（A ）27 （B）9 （C） 27 (D)3考点：由三视图求面积、体积．菁优网版权所有分析：由三视图判断几何体的形状，通过三视图的数据求解几何体的体积即可．解答：几何体是由两个圆柱组成，一个是底面半径为 3 高为 2，一个是底面半径为2，高为 4，组合体体积是：32π?2+22π?4=34π．底面半径为3cm，高为6cm 的圆柱体毛坯的体积为：32π× 6=54π切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为：=．故选： C．点评：本题考查三视图与几何体的关系，几何体的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力．2正三棱柱ABC A1 B1C1 的底面边长为2，侧棱长为3 ，D为B C中点，则三棱锥 A B1DC 的体积为()13 3（A）3 （B）2 （C）1 （D）2考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．菁优网版权所有分析：由题意求出底面B1DC1的面积，求出 A 到底面的距离，即可求解三棱锥的体积．解答：∵正三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面边长为2，侧棱长为，D为B C中点，∴底面B1DC1的面积：=，A 到底面的距离就是底面正三角形的高：．三棱锥A﹣B1DC1的体积为：=1．故选：C．点评：本题考查几何体的体积的求法，求解几何体的底面面积与高是解题的关键．（8）执行右面的程序框图，如果如果输入的x，t 均为2，则输出的S= ()（A）4 （B）5 （C）6 （D）7考点：程序框图．菁优网版权所有分析：根据条件，依次运行程序，即可得到结论．解答：若x=t=2，则第一次循环，1≤2 成立，则M=，S=2+3=5，k=2，第二次循环，2≤2 成立，则M=，S=2+5=7，k=3，此时3≤2 不成立，输出S=7，故选：D．点评：本题主要考查程序框图的识别和判断，比较基础．x y 1 0x y 1 0x 3y 3 0（9）设x，y 满足的约束条件，则z x 2y 的最大值为()（ A）8 （B）7 （ C）2 （D）1考点：简单线性规划．分析：作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z 的最大值．解答：作出不等式对应的平面区域，由z=x+2y，得y=﹣，平移直线y=﹣，由图象可知当直线y=﹣经过点 A 时，直线y=﹣的截距最大，此时z 最大．由，得，即A（3，2），此时z 的最大值为z=3+2×2=7，故选：B．点评：本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法3（10）设F为抛物线2C : y 3x的焦点，过 F 且倾斜角为30 的直线交于C于A,B 两点，则AB= ()°30（A）3 （B）6 （C）12 （D）73考点：抛物线的简单性质．分析：求出焦点坐标，利用点斜式求出直线的方程，代入抛物线的方程，利用根与系数的关系，由弦长公式求得|AB| ．解答：由y2=3x 得其焦点F（，0），准线方程为x=﹣．则过抛物线y2=3x 的焦点F 且倾斜角为30°的直线方程为y=tan30°（ x﹣）= （x﹣）．代入抛物线方程，消去y，得16x2﹣168x+9=0．设A（x1，y1），B（x2，y2）则x1+x2= ，所以 |AB|=x1+ +x2+ = + + =12故答案为：12．点评：本题考查抛物线的标准方程，以及简单性质的应用，弦长公式的应用，运用弦长公式是解题的难点和关键．（11）若函数 f (x) kx ln x 在区间（1，+ ）单调递增，则k 的取值范围是(), 2 , 1 2, 1,（A）（B）（ C）（D）考点：函数单调性的性质．分析：由题意可得，当x＞1 时， f′（ x）=k﹣≥0，故k﹣1＞0，由此求得k 的范围．解答：函数f（x）=kx﹣lnx 在区间（1， +∞）单调递增，∴当x＞1 时， f′（ x）=k﹣≥0，∴ k﹣1≥0，∴ k≥1，故选：D．点评：本题主要考查利用导数研究函数的单调性，函数的单调性的性质，属于基础题．4（12）设点M ( x0,1)，若在圆2 2O : x y 1上存在点N，使得°OMN 45 ,则x0 的取值范围是()1,1（A）（B）1 1，2 2 （C）2, 2（D）2 2，2 2考点：直线和圆的方程的应用．菁优网版权所有分析：根据直线和圆的位置关系，利用数形结合即可得到结论．解答：由题意画出图形如图：∵点 M（x0，1），∴若在圆O：x2+y2=1 上存在点N，使得∠ OMN=45°，∴圆上的点到MN 的距离的最大值为1，要使MN=1，才能使得∠OMN=45 °，图中 M′显然不满足题意，当MN 垂直 x 轴时，满足题意，∴x0 的取值范围是[﹣1，1]．故选： A点评：本题考查直线与圆的位置关系，直线与直线设出角的求法，数形结合是快速解得本题的策略之一．第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。
广西2014高考数学压轴卷试题 文
2014某某高考压轴卷文科数学一、选择题：〔每一小题5分，共60分〕1、假设集合{}30<≤∈=x Z x P ，{}92<∈=x R x M ，如此M P 等于 〔 B 〕A ．{}2,1 B ． {}2,1,0 C ．{}30<≤x x D ．{}30<<x x2、假设A={2，3，4}，B={x|x=mn ，m 、n ∈A 且m≠n}，如此集合B 的非空真子集有〔 〕个。
A ．3B ．6C ．7D ．83、命题p ：“假设直线ax+y+1=0与直线ax-y+2=0垂直，如此a=1〞；命题q ：“1122a b >是a ＞b 〞的充要条件，如此〔 〕A ．p 真q 假B ．p 且q 真C ．p 或q 真D ．p 或q 假4、函数y=2+log (1)(1)a x x + >-的反函数为〔〕 A 、21(2)x y a x -=- > B 、21()x y a x R -=- ∈ C 、21(2)x y ax +=- > D 、21()x y a x R +=- ∈5、假设直线||1y a x =+与直线||y b x =平行，,a b 为非零向量，如此必有〔〕 A 、a b ⊥ B 、//a b C 、()()a b a b +⊥- D 、()//()a b a b +-6、数列{n a }为等差数列，且39664,sin cos 3a a a a π+=的值为〔〕A 、4-B 、4C 、6±、6- 7、现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张，从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张，不同取法的种数为〔〕 A 、232 B 、252 C 、472 D 、4848、将抛物线24(3)(0)x a y a +=- ≠按(4,3)n =-平移后所得的抛物线的焦点坐标为〔〕 A 、1(,0)4a B 、1(,0)4a - C 、1(,0)a D 、1(,0)a- 9、平面直角坐标系xoy 上的区域D 由不等式组04054x y y x ≤≤⎧⎪≤≤⎨⎪≥⎩给出，假设M 〔x,y 〕为D上的动点，点A(2,-1)，如此||z OM OA =-的最小值为〔〕AC、 10、如下列图，在等腰梯形ABCD 中，AB=2DC=2，60DAB ∠=，E 为AB 的中点，将ADE 与BEC 分别沿ED ，EC 向上翻折，使A,BA 、8B 、2C 、2π D11、设抛物线C 的方程24y x =,O 为坐标原点，P 为抛物线的准线与其对称轴的交点，过焦点F 且垂直于x 轴的直线交抛物线于M,N 两点，假设直线PM 与ON 相交于点Q ，如此cos MQN ∠=( )A B 、、 12、()f x 是定义在R 上的不恒为零的函数，且对于任意,a b R ∈满足*(2)(2)()()(),(2)2,,,(),2n n n n nf f f a b af b bf a f a b n N n ⋅=+===∈考察如下结论：①(0)(1)f f =②(x)f 为偶函数③数列{}n a 为等比数列 ④数列{}n b 〔为等比数列,其中正确的结论是〔〕A 、①②③B 、①②④C 、①③④D 、①④ 二、填空题：〔每一小题5分，共20分〕13、25(1)(12)x x +-的展开式中，4x 的系数为。
2014届广西高考数学(文科)模拟试题(一)2014.5.18
2014届广西高考数学（文科）模拟试题（一）一、选择题：1、设复数z 满足2z i i ⋅=-，为虚数单位，则=z （ ）A 、2i -B 、12i +C 、12i -+D 、12i -- 2、集合2{|20}A x x x =-≤，{|lg(1)}B x y x ==-，则A B 等于 （ ） A 、{|01}x x <≤ B 、{|12}x x ≤< C 、{|12}x x <≤ D 、{|01}x x ≤<3、已知向量,a b 满足||1,||2,1a b a b ==⋅=,则a 与b 的夹角为 ( )A 、3πB 、34πC 、4πD 、6π 4、函数（其中）的图象如下面右图所示，则函数的图象是 （ ）5、已知x ，y 满足不等式组，则2z x y =+的最大值与最小值的比值为（ ）A 、B 、2C 、D 、 6、已知方程表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数k 的取值范围是（ ） A 、 B 、 C 、 D 、 7、如下图所示，将若干个点摆成三角形图案，每条边（包括两个端点）有(1,)n n n N *>∈个点，相应的图案中总的点数记为n a ，则233445201220139999aa aa aa a a ++++=（ ）i ()()()f x x a x b =--ab >()x g x a b =+22y x x y x ≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩123243221221x y k k +=--1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭(1,)+∞(1,2)1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭A 、20102011B 、20112012C 、20122013D 、20132012二、解答题：8、已知向量2(2cos ,m x =，(1,sin 2)n x =，函数()f x m n =⋅（1）求函数的最小正周期；（2）在中，分别是角的对边，且，，，且，求,a b 的值．9、已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右顶点A 为抛物线28y x =的焦点，上顶点为B ，离心率为2（1）求椭圆C 的方程；（2）过点且斜率为k 的直线l 与椭圆C 相交于,P Q 两点，若线段PQ 的中点横坐标是5-，求直线l 的方程。
2014年高考广西文科数学试题
2006~2014年高考真题之集合2014年高考广西文科数学试题一、选择题：每小题5分，共60分1．设集合M={1,2,4,6,8}， N={1,2,3,5,6,7}，则M N中元素的个数为A．2 B．3 C．5 D．7 2013年普通高等学校招生全国统一考试广西卷数学（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合1{=ðA，}2，则U A=U，2，3，4，}5，集合1{=A.1{，}2B.3{，4，}5C.1{，2，3，4，}5D.∅2012年普通高等学校招生全国统一考试文科数学（必修+选修Ⅱ）（1）已知集合{|C x x==是矩形}，{|B x x=是平行四边形}，{|A x x是正方形}，{|=是菱形}，则D x x（A）A B⊆（C）D C⊆（D）⊆（B）C B⊆A D2012年普通高等学校招生全国统一考试文科数一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给同的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）已知集合A={x |x 2－x －2<0}，B={x |－1<x <1}，则（A ）A ⊂≠B （B ）B ⊂≠A （C ）A=B （D ）A ∩B=∅2011年普通高等学校招生全国统一考试文科数学(必修+选修II)一、选择题（1）设集合U={}1,2,3,4,{}1,2,3,M ={}2,3,4,N =则U =⋂ð（M N ）（A ）{}12， （B ）{}23， （C ）{}2，4 （D ）{}1，4 2010年普通高等学校招生全国统一考试（全国Ⅰ卷）文科数学(必修+选修)(2)设全集{}1,2,3,4,5U =，集合{}1,4M =，{}1,3,5N =，则()U N M ⋂=ðA.{}1,3B. {}1,5C. {}3,5D. {}4,52010年普通高等学校招生全国统一考试（全国Ⅱ卷）文科数学第Ⅰ卷 （选择题（1）设全集{}*U 6x N x =∈<，集合{}{}A 1,3B 3,5==，,则U ()A B =ð（ ）（Ａ）{}1,4 （Ｂ）{}1,5 （Ｃ）{}2,4 （Ｄ）{}2,5 2009年普通高等学校招生全国统一考试文科数学（必修+选修Ⅰ(2)设集合A=｛4，5，7，9｝，B=｛3，4，7，8，9｝，全集U A B =，则集合()U A B ð中的元素共有(A) 3个 （B ） 4个 （C ）5个 （D ）6个2009年普通高等学校招生全国统一考试试卷题文科数学一． 选择题（1）已知全集U ={1，2，3，4，5，6，7，8}，M ={1，3，5，7}，N ={5，6，7}，则C u ( M N )=(A) {5，7} （B ） {2，4} （C ）{2.4.8} （D ）{1，3，5，6，7}2007年普通高等学校招生全国统一考试（全国Ⅰ）一、选择题（1）设{}210S x x =+>，{}350T x x =-<，则ST =（ ） Ａ．∅ Ｂ．12x x ⎧⎫<-⎨⎬⎩⎭ Ｃ．53x x ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭ Ｄ．1523x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭2007年普通高等学校招生全国统一考试试题卷(全国卷Ⅱ) 文科数学（必修+选修Ⅰ）2．设集合{1234}{12}{24}U A B ===，，，，，，，，则()U AB =ð（ ） A ．{2} B ．{3}C ．{124}，， D ．{14}， 2006年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷Ⅰ） 文科数学2.设集合2{|0}M x x x =-<，{|||2}N x x =<，则A.M N =∅B.M N M =C.M N M =D.M N R =。
数学_2014年广西崇左、桂林、防城港、北海四市联考高考数学一模试卷(文科)(含答案)
2014年广西崇左、桂林、防城港、北海四市联考高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 不等式x−2x−1>0的解集为（ ）A {x|x <1}B {x|1<x <2}C {x|x <1, 若x >2}D {x|x >2} 2. 已知集合A ={1, 3, m}，B ={1, √m}，A ∩B =B ，那么m =( ) A 0或√3 B 0或9 C 1或√3 D 1或93. 已知椭圆的中心在原点，离心离为12，一条准线为y =−4，则该椭圆的方程为（ ）A x 24+y 2=1B y 24+x 2=1C x 24+y 23=1 D y 24+x 23=14. 已知公差不为零的等差数列{a n }的首项是公差的4倍，若a m 是a 1和a 2m 的等比例中项，则m =( )A 2B 3C 4D 55. 若向量a →，b →的夹角为π3，且|a →|＝2，|b →|＝1，则a →与a →+2b →的夹角为（ ）A π6B π3C 2π3D 5π6 6. “a >1”是“1a <1”的（ ）A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充要条件D 既不充分也不必要条件 7. 函数f(x)=sinωx(ω>0)的图象在y 轴右边的第一条对称轴的方程x =1，则ω=( ) A π4 B π2 C π D 2π8. 甲、乙、丙3人站到共有7级的台阶上，若每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是（ ） A 336 B 273 C 161 D 989. 已知x =log 3e ，y =log 97，z =e 12，则（ ）A x >y >zB y >z >xC z >y >xD z >x >y10. 已知F 1、F 2是离心率为√2的双曲线C 的左、右焦点，点P 在C 上，若|PF 1|=2|PF 2|，则cos∠F 1PF 2=( ) A 45B 34C 35D 1411. 空间四边形ABCD 中，AB =BC =CD =DA =BD =AC ，E 是AB 的中点，若CE 与平面BCD 所成的角为θ，则（ ） A sinθ=√23B sinθ=√33C cosθ=√23D cosθ=√3312. 已知定义域为R 的函数f(x)满足：f(x)=−f(2−x)，当x >1时，f(x)单调递减，如果x 1+x 2<2，且(x 1−1)(x 2−1)<0，那么f(x 1)+f(x 2)的值（ ）A 恒大于0B 恒小于0C 可能为0D 可正可负二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上）13. 二项式(2x+1x)3的展开式中x3的系数为________．14. 已知直线l:x+y=2与C:x2+y2−2x=0相交于A、B两点，则|AB|=________．15. 过点M(−1, 1)与曲线y=x2+x+1相切的直线的方程为________．16. 在直三棱柱ABC−A1B1C1中，∠ACB=90∘，AC=CC1=1，BC=√2，P、E分别是BC1和BC上的两个动点，则A1P+PE的最小值为________．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17. 在△ABC中，内角A，B，C成等差数列且其对边分别为a，b，c，已知acosC+ccosA=√3．(1)求边b的值；(2)求△ABC面积的最大值．18. 已知等比数列{a n}满足a2a3a4=8，且a2+2，a3+4，a4+5构成公差不为零的等差数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设数列{a n}的前n项和为S n，求证：数列{S n+12}是等比数列．19. 如图，在四面体ABCD中，OC⊥OA，OC⊥OB，∠AOB=120∘，且OA=OB=OC=√3，D是AC的中点，点E在AB上，AB=3AE．（1）求证：AO⊥DE；（2）求二面角O−AC−B的余弦值．20. 甲、乙两人玩一种猜拳游戏，游戏规则如下：每人只出一只手（有5个手指头），每次出手指数为0，1，2，3，4，5是等可能的，猜拳一次只猜“单”与“双”两个结果．规定：两人手指数之和为偶数则规定猜“双”者获胜，手指数之和为奇数视为猜“单”者获胜，两人都猜中与两人都没猜中视为平局，获胜方得2分，负方得0分，平局各得1分，只要有人累计得分达到4分或者4分以上，则游戏结束．（1）求甲、乙两人猜拳一次，甲获胜的概率；（2）求游戏结果时，甲累计得分恰好为4分的概率．21. 已知函数f(x)=13x3+ax2+bx(a, b∈R)．（1）若曲线C:y=f(x)经过点P(1, 2)，曲线C在点P处的切线与直线x+2y−1=0垂直，求a，b的值；（2）若f(x)在区间(1, 2)内存在两个不同的极值点，求证：0<a+b<2．22. 已知椭圆x216+y2=1的左顶点为A，直线x=83与椭圆交于B、C两点．（1）求△ABC的内切圆G的方程；（2）过点M(0, −1)作圆G的两条切线交椭圆于E、F两点，试判断直线EF与圆G的位置关系，并说明理由．2014年广西崇左、桂林、防城港、北海四市联考高考数学一模试卷（文科）答案1. C2. B3. D4. B5. A6. A7. B8. A9. D10. B11. A12. A13. 814. √215. x+y=016. 3+√6317. 解：(1)由余弦定理得：a⋅b2+a2−c22ab +c⋅b2+c2−a22bc=√3，解得：b=√3.(2)∵ 在△ABC中，内角A，B，C成等差数列，∴ B=π3，由正弦定理asinA =csinC=bsinB=√3√32=2，得：a=2sinA，c=2sinC，又A+C=2π3，∴ S△ABC=12acsinB=2sinAsinCsin π3=√3sinAsinC=√3sinAsin(2π3−A)=√3sinA(√32cosA+12sinA)=34sin2A+√32⋅1−cos2A2=√32sin(2A−π6)+√34，∵ 0<A<2π3，∴ −π6<2A−π6<7π6，∴ √32sin(2A−π6)+√34≤3√34，当且仅当2A−π6=π2，即A=π3时，取等号．∴ △ABC面积的最大值为：3√34．18. （1）解：∵ 等比数列{a n}满足a2a3a4=8，且a2+2，a3+4，a4+5构成公差不为零的等差数列，∴ {a3=22(a3+4)=(a2+2)(a4+5)，∴ 2q+2+2q+5=12，解得q=2或q=12，当q=12时，a2+2=a3+4=a4+5，与题设矛盾，∴ q=2，∴ 数列{a n}的通项公式a n=a3q n−3=2⋅2n−3=2n−2．（2）∵ a n=2n−2．∴ S n=12(1−2n)1−2=2n−1−12，∴ S n+12=2n−1，∴ S n+1+1 2S n+12=2n2n−1=2，∴ 数列{S n+12}是等比数列．19. （1）证明：取BE中点F，连结OF，依题意有DE // CF，在△AOB中，∠AOB=120∘，且OA=OB=√3，由余弦定理得AB=3，∵ AB=3AE，∴ AF=2，OF=1，∴ AO⊥OF，又OC⊥AO，∴ AO⊥面COF，∴ AO⊥CF，∴ AO⊥DE．（2）解：连结DF 、OD 、OF ，由OC ⊥OA ，OC ⊥OB 知CO ⊥平面AOB ， ∴ OP 是DF 在平面AOC 内的射影，在等腰三角形AOC 中，D 为AC 的中点，AC ⊥OD ，且OD =√62， 由三垂线定理知AC ⊥DF ， ∴ ∠ODF 为二面角的平面角，∴ 在Rt △DOF 中，DF =√OD 2+OF 2=√102， ∴ cos∠ODF =ODDF =√62√102=√155． ∴ 二面角O −AC −B 的余弦值为√155． 20. 解：（1）记“甲，乙两人猜拳一次，甲获胜”为事件A 甲、乙每人“猜数”，“出数”各有4种情况， ∴ 甲、乙两人猜拳一次共有16种情况， 其中甲获胜的有4种情况：甲猜“双”出“双数”，乙猜“单”出“双数”； 甲猜“双”出“单数”，乙猜“单”出“单数”； 甲猜“单”出“双数”，乙猜“双”出“单数”； 甲猜“单”出“单数”，乙猜“双”出“双数”； ∴ 甲获胜的概率为416=14；（2）记“甲、乙猜拳一次平局“为事件B ，由（1）知，乙获胜的概率也为14，∴ P(B)=1−(14+14)=12，游戏结束时甲累计得分4分，猜拳的总数有2，3，4三种情况，所求概率P =(14)2+2×(14)3+3×14×(12)2+6×(12)2×(14)2+(12)4=716， ∴ 当游戏结果时，甲累计得分恰好为4分的概率为716．21. 解：（1）由f(x)=13x 3+ax 2+bx ，得：f′(x)=x 2+2ax +b ，∵ 直线x +2y −1=0的斜率为−12，∴ 曲线C 在点P 处的切线的斜率为2． ∴ f′(1)=1+2a +b =2 ①∵ 曲线C:y =f(x)经过点P(1, 2)， ∴ f(1)=13+a +b =2 ② 联立①②得a =−23，b =73；（2）∵ f(x)在区间(1, 2)内存在两个不同的极值点，∴ f′(x)=x 2+2ax +b =0在(1, 2)内有两个不等的实根． ∴ {△=4(a 2−b)>0f(1)=1+2a +b >0f(2)=4+4a +b >01<−a <2，解上述不等式组得：a +b >0且−2<a <−1． ∴ a +b <a 2+a =(a +12)2−14<2， ∴ a +b <2． 故0<a +b <2． 22. 解：（1）将x =83代入x 216+y 2=1，得y =±√53， 令B(83,√53)，C(83,−√53)， ∵ A(−4, 0)，∴ 直线AB 的方程为y =√520x +√55，直线AC 的方程为y =−√520x −√55， 设△ABC 的内切圆G 的方程为(x −x 0)2+y 2=r 2， 则x 0+r =83，且r =|√520x +√551+(√520)，解得{x 0=2r =23，∴ △ABC 的内切圆G 的方程为(x −2)2+y 2=49； （2）直线与圆G 相切，理由如下：设过点M 与圆(x −2)2+y 2=49相切的直线方程为：y +1=kx ，则23=√1+k 2，即32k 2−36k +5=0，解得k 1=9+√4116，k 2=9−√4116，将y +1=kx 代入x 216+y 2=1得(16k 2+1)x 2−32kx =0， 则异于零的解为x =32k16k 2+1，设E(x 1, k 1x 1−1)，F(x 2, k 2x 2−1)则x 1=32k 116k 12+1，x 2=32k 216k 22+1，设EF 的斜率为：k EF =k 2x 2−k 1x 1x 2−x 1=k 1+k 21−16k 1k 2=−34，于是直线EF 的方程为：y −32k 1216k 12+1+1=−34(x −32k116k 12+1)，即y =−34x +32k 1216k 12+1+24k116k 12+1−1=−34x +24k 1−216k 12+1+1=−34x +73，也就是y =−34x +73，于是圆心(2, 0)到直线EF的距离d=|−32+73|√1+916=23=r，故直线EF与圆C相切．。
2014年(全国卷II)(含答案)高考文科数学
2014年普通高等学校招生全国统一考试（2 新课标Ⅱ卷）数学(文)试题一、选择题 ( 本大题 共 12 题, 共计 60 分)1.已知集合2{2,0,2},{|20}A B x x x =-=--=,则A ∩B=（ ） A. ∅ B. {}2 C. {0} D. {2}-2.131ii+=-（ ） A.12i + B. 12i -+ C. 12i - D. 12i --3.函数()f x 在0x x =处导数存在，若0:()0p f x =：0:q x x =是()f x 的极值点，则（ ） A ．p 是q 的充分必要条件 B. p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件 C. p 是q 的必要条件，但不是q 的充分条件 D. p 既不是q 的充分条件，学科 网也不是q 的必要条件4.设向量,a b 满足10a b +=，6a b -=，则a b ⋅=（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 55.等差数列{}n a 的公差是2，若248,,a a a 成等比数列，则{}n a 的前n 项和n S =（ ） A. (1)n n + B. (1)n n - C.(1)2n n + D. (1)2n n - 6.如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm ），图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm ，高为6cm 的圆柱体毛坯切削得到，则切削的部分的体积与原来毛坯体积的比值为（ ） A.2717 B.95 C.2710 D.317.正三棱柱111ABC A B C -的底面边长为2，，D 为BC 中点，则三棱锥11A B DC -的体积为A.3B.32C.1D.28.执行右面的程序框图，如果输入的x ，t 均为2，则输出的S =（ ） A.4 B.5 C.6 D.79.设x ，y 满足约束条件10,10,330,x y x y x y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩则2z x y =+的最大值为（ ）A.8B.7C.2D.110.设F 为抛物线2:+3C y x 的焦点，过F 且倾斜角为30︒的直线交C 于A ,B 两点，则AB =（ ）A.3B.6C.12D.11.若函数()f x kx Inx =-在区间()1,+∞单调递增，则k 的取值范围是（ ）A.(],2-∞-B.(],1-∞-C.[)2,+∞D.[)1,+∞12.设点()0,1M x ，若在圆22:+1O x y =上存在点N ，使得45OMN ∠=︒，则0x 的取值范围是（ ）A.[－1,1]B.11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C.⎡⎣D.22⎡-⎢⎣⎦二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13.甲，乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的运动服中选择1种，则他们选择相同颜色运动服的概率为_______.14. 函数x x x f cos sin 2)sin()(ϕϕ-+=的最大值为________.15. 偶函数)(x f y =的图像关于直线2=x 对称，3)3(=f ，则)1(-f =________. 16.数列}{n a 满足2,1181=-=+a a a nn ，则=1a ________. 三、解答题：17.（本小题满分12分）四边形ABCD 的内角A 与C 互补，2,3,1====DA CD BC AB . （1）求C 和BD ；（2）求四边形ABCD 的面积.18.（本小题满分12分）如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，E 是PD 的中点.（1）证明：PB //平面AEC ；（2）设1,3AP AD ==，三棱锥P ABD -的体积34V =，求A 到平面PBC 的距离.19.（本小题满分12分）某市为了考核甲、乙两部门的工作情况，随机访问了50位市民，根据这50位市民对这两—部门的评分（评分越高表明市民的评价越高），绘制茎叶图如下：（1）分别估计该市的市民对甲、乙两部门评分的中位数；（2）分别估计该市的市民对甲、乙两部门的评分高于90的概率；（3）根据茎叶图分析该市的市民对甲、乙两部门的评价.20.（本小题满分12分）设12,F F 分别是椭圆C:22221(0)x y a b a b+=>>的左右焦点，M 是C 上一点且2MF 与x 轴垂直，直线1MF 与C 的另一个交点为N . （1）若直线MN 的斜率为34，求C 的离心率； （2）若直线MN 在y 轴上的截距为2，且1||5||MN F N =，求,a b .21.（本小题满分12分）已知函数32()32f x x x ax =-++，曲线()y f x =在点(0,2)处的切线与x 轴交点的横坐标为2-. （1）求a ；（2）证明：当1k <时，曲线()y f x =与直线2y kx =-只有一个交点.22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，P 是O 外一点，PA 是切线，A 为切点，割线PBC 与O 相交于,B C ，2PC PA =，D 为PC 的中点，AD 的延长线交O 于点E .证明：（1）BE EC =； （2）22AD DE PB ⋅=23.(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程为2cos ,[0,]2πρθθ=∈.（1）求C 得参数方程；（2）设点D 在C 上，C 在D 处的切线与直线:2l y =+垂直，根据（1）中你得到的参数方程，确定D 的坐标.24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 设函数1()||||(0)f x x x a a a=++-> （1）证明：()2f x ≥；（2）若(3)5f <，求a 的取值范围.2014年普通高等学校招生全国统一考试（2 新课标Ⅱ卷）数学(文)试题参考答案：参考答案1．B 【解析】试题分析：由已知得，{}21B =，-，故{}2A B =，选B ． 考点：集合的运算． 2．B 【解析】试题分析：由已知得，131i i+-(13)(1i)2412(1i)(1i)2i ii ++-+===-+-+，选B ． 考点：复数的运算．3．C 【解析】试题分析：若0x x =是函数()f x 的极值点，则'0()0f x =；若'0()0f x =，则0x x =不一定是极值点，例如3()f x x =，当0x =时，'(0)0f =，但0x =不是极值点，故p 是q 的必要条件，但不是q 的充分条件，选C ．考点：1、函数的极值点；2、充分必要条件． 4．A 【解析】试题分析：由已知得，22210a a b b +⋅+=，2226a a b b -⋅+=，两式相减得，44a b ⋅=，故1a b ⋅=．考点：向量的数量积运算． 5．A 【解析】试题分析：由已知得，2428a a a =⋅，又因为{}n a 是公差为2的等差数列，故2222(2)(6)a d a a d +=⋅+，22(4)a +22(12)a a =⋅+，解得24a =，所以2(2)n a a n d =+-2n =，故1()(n 1)2n n n a a S n +==+．【考点】1、等差数列通项公式；2、等比中项；3、等差数列前n 项和． 6．C 【解析】 试题分析：由三视图还原几何体为一个小圆柱和大圆柱组成的简单组合体．其中小圆柱底面半径为2、高为4，大圆柱底面半径为3、高为2，则其体积和为22243234πππ⨯⨯+⨯⨯=，而圆柱形毛坯体积为23654ππ⨯⨯=，故切削部分体积为20π，从而切削的部分的体积与原来毛坯体积的比值为20105427ππ=． 考点：三视图． 7．C 【解析】 试题分析：如下图所示，连接AD ，因为ABC ∆是正三角形，且D 为BC 中点，则AD BC ⊥，又因为1BB ⊥面ABC ，故1BB AD ⊥，且1BB BC B =，所以AD ⊥面11BCC B ，所以AD 是三棱锥11A B DC -的高，所以111111133A B DC B DC V S AD -∆=⋅==．考点：1、直线和平面垂直的判断和性质；2、三棱锥体积． 8．D 【解析】试题分析：输入2,2x t ==，在程序执行过程中，,,M S k 的值依次为1,3,1M S k ===；2,5,2M S k ===；2,7,3M S k ===，程序结束，输出7S =． 考点：程序框图． 9．B 【解析】试题分析：画出可行域，如图所示，将目标函数2z x y =+变形为122zy x =-+，当z 取到最大值时，直线122z y x =-+的纵截距最大，故只需将直线12y x =-经过可行域，尽可能平移到过A 点时，z 取到最大值． 10330x y x y --=⎧⎨-+=⎩，得(3,2)A ，所以max z 3227=+⨯=．考点：线性规划． 10．C 【解析】试题分析：由题意，得3(,0)4F ．又因为0k tan 30==故直线AB 的方程为3y )4=-，与抛物线2=3y x 联立，得21616890x x -+=，设1122(x ,y ),(x ,y )A B ，由抛物线定义得，12x x AB p =++= 168312162+=，选C ． 考点：1、抛物线的标准方程；2、抛物线的定义． 11．D 【解析】试题分析：'1()f x k x =-，由已知得'()0f x ≥在()1,x ∈+∞恒成立，故1k x≥，因为1x >，所以101x<<，故k 的取值范围是[)1,+∞． 【考点】利用导数判断函数的单调性．12．A【解析】试题分析：依题意，直线MN 与圆O 有公共点即可，即圆心O 到直线MN 的距离小于等于1即可，过O 作OA ⊥MN ，垂足为A ，在Rt OMA ∆中，因为OMA ∠045=，故0sin 45OA OM ==1≤，所以OM ≤≤011x -≤≤．考点：1、解直角三角形；2、直线和圆的位置关系．13．13 【解析】试题分析：甲，乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的运动服中选择1种有9种不同的结果，分别为（红，红），（红，白），（红，蓝），（白，红），（白，白），（白，蓝），（蓝，红），（蓝，白），（蓝，蓝）．他们选择相同颜色运动服有3种不同的结果，即（红，红），（白，白），（蓝，蓝），故他们选择相同颜色运动服的概率为3193P ==． 考点：古典概型的概率计算公式．14．1【解析】试题分析：由已知得，()sin cos cos sin 2cos sin f x x x x ϕϕϕ=+-sin cos cos sin x x ϕϕ=-sin()x ϕ=-1≤，故函数x x x f cos sin 2)sin()(ϕϕ-+=的最大值为1．考点：1、两角和与差的正弦公式；2、三角函数的性质．15．3【解析】试题分析：因为)(x f y =的图像关于直线2=x 对称，故(3)(1)3f f ==，又因为)(x f y =是偶函数，故(1)(1)3f f -==．考点：1、函数图象的对称性；2、函数的奇偶性．16．12． 【解析】试题分析：由已知得，111n n a a +=-，82a =，所以781112a a =-=，67111a a =-=-，56112a a =-=， 451112a a =-=，34111a a =-=-，23112a a =-=，121112a a =-=．三、解答题（17）解：（I ）由题设及余弦定理得2222cos BD BC CD BC CD C =+-⋅=1312cos C - ， ①2222cos BD AB DA AB DA A =+-⋅54cos C =+. ②由①，②得1cos 2C =，故060C =，7BD = （Ⅱ）四边形ABCD 的面积11sin sin 22S AB DA A BC CD C =⋅+⋅ 011(1232)sin 6022=⨯⨯+⨯⨯ 23=（18）解：（I ）设BD 与AC 的交点为O ，连结EO.因为ABCD 为矩形，所以O 为BD 的中点，又E 为PD 的中点，所以EO ∥PB.EO ⊂平面AEC ，PB ⊄平面AEC,所以PB ∥平面AEC.（Ⅱ）V 166PA AB AD AB =⋅⋅=.由4V =，可得32AB =.作AH PB ⊥交PB 于H 。
2014年高考广西文科数学试题及答案(word解析版)
2014年普通高等学校招生全国统一考试（广西卷）数学（文科）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． （1）【2014年广西，文1，5分】设集合{12468}{123567}M N ==,,,,，,,,,,，则M N 中元素的个数为（ ）（A ）2 （B ）3 （C ）5 （D ）7 【答案】B【解析】{}1,2,6M N =，所以M N 中元素的个数为3，故选B ．【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键． （2）【2014年广西，文2，5分】已知角α的终边经过点(43)-，，则cos α=（ ）（A ）45 （B ）35 （C ）35- （D ）45-【答案】D【解析】由三角函数定义知4cos 5==-，故选D ．【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义，两点间的距离公式的应用，属于基础题．（3）【2014年广西，文3，5分】不等式组(2)0||1x x x +>⎧⎨<⎩的解集为（ ）（A ）{|21}x x -<<- （B ）{|10}x x -<< （C ）{|01}x x << （D ）{|1}x x > 【答案】C【解析】由()20x x +>得0x >或2x <-；由1x <得11x -<<，所以不等式组的解集为{}01x x <<，故选C ． 【点评】本题主要考查一元二次不等式、绝对值不等式的解法，属于基础题． （4）【2014年广西，文4，5分】已知正四面体ABCD 中，E 是AB 的中点，则异面直线CE 与BD 所成角的余弦值为（ ）（A ）16 （B （C ）13（D【答案】B【解析】如图，取AD 的中点F ，连接EF 、CF ．因为E 、F 分别是AB 、AD 的中点，所以=1//2EF BD ，故CEF ∠或其补角是异面直线CE 、BD 所成的角．设正四面体ABCD 的棱长为a ，易知CE CF ==，12EF a =．在CEF △中，由余弦定理可得22212cos a CEF ⎫⎫⎛⎫+-⎪⎪ ⎪⎪⎪∠==B ． 【点评】本题考查异面直线及其所成的角，关键是找角，考查了余弦定理的应用，是中档题．（5）【2014年广西，文5，5分】函数)()ln11y x =>-的反函数是（ ）（A ）()()311x y e x =->-（B ）()()311x y e x =->-（C ）()()31x y e x =-∈R （D ）()()31x y e x =-∈R【答案】D 【解析】由)ln1y=1e y =，即()3e 1y x =-，又由1x >-可知y ∈R ，所以原函数的反函数为()()3e 1y y y =-∈R ，故选D ．【点评】本题考查反函数解析式的求解，属基础题． （6）【2014年广西，文6，5分】已知，a b 为单位向量，其夹角为60，则(2)-⋅=a b b （ ）FE DBA【解析】()2222211cos6010-⋅=⋅-=⨯⨯⨯-=a b b a b b ，故选B ．【点评】本题主要考查两个向量的数量积的定义，属于基础题． （7）【2014年广西，文7，5分】有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有（ ）（A ）60种 （B ）70种 （C ）75种 （D ）150种 【答案】C【解析】根据题意，先从6名男医生中选2人，有2615C =种选法，再从5名女医生中选出1人，有155C =种选法，则不同的选法共有15×5=75种，故选C ．【点评】本题考查分步计数原理的应用，注意区分排列、组合的不同． （8）【2014年广西，文8，5分】设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若24315S S ==，，则6S =（ ）（A ）31 （B ）32 （C ）63 （D ）64 【答案】C【解析】由等比数列的性质得()()242264S S S S S -=⋅-，即()2612315S =⨯-，解得663S =，故选C ． 【点评】本题考查等比数列的性质，得出2S ，42S S -，64S S -成等比数列是解决问题的关键，属基础题．（9）【2014年广西，文9，5分】已知椭圆C ：22221x y a b+=(0)a b >>的左、右焦点为1F 、2F ，过2F 的直线l 交C 于A 、B 两点，若1AF B ∆的周长为C 的方程为（ ） （A ）22132x y += （B ）2213x y += （C ）221128x y += （D ）221124x y +=【答案】A【解析】∵1AF B ∆的周长为，∴4a =a =，∴1c =，∴b ==∴椭圆C 的方程为22132x y +=，故选A ．【点评】本题考查椭圆的定义与方程，考查椭圆的几何性质，考查学生的计算能力，属于基础题． （10）【2014年广西，文10，5分】正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为（ ）（A ）814π （B ）16π （C ）9π （D ）274π【答案】A【解析】设球的半径为R ，则∵棱锥的高为4，底面边长为2，∴()2224R R =-+，∴94R =，∴球的表面积为2981444ππ⎛⎫⋅= ⎪⎝⎭，故选A ．【点评】本题考查球的表面积，球的内接几何体问题，考查计算能力，是基础题．（11）【2014年广西，文11，5分】双曲线C ：22221(00)x y a b a b-=>>，的离心率为2，则C 的焦距等于（ ）（A ）2 （B ） （C ）4 （D ）【答案】C【解析】由已知得2c e a ==，所以12a c =，故b =，从而双曲线的渐进线方程为by x a=±=，=2c =，故24c =，故选C ．【点评】本题主要考查是双曲线的基本运算，利用双曲线的离心率以及焦点到直线的距离公式，建立方程组是解决本题的关键，比较基础．（12）【2014年广西，文12，5分】奇函数()f x 的定义域为R ，若(2)f x +为偶函数，且(1)1f =，则(8)(9)f f +=（ ）【解析】由()2f x +是偶函数可得()()22f x f x -+=+，又由()f x 是奇函数得()()22f x f x -+=-，所以()()22f x f x +=-，()()4f x f x +=，故()f x 是以4为周期的周期函数， 所以()()()924111f f f =⨯+==，又()f x 是定义在R 上的奇函数，所以()00f =， 所以()()800f f ==，故()()891f f +=，故选D ．【点评】本题主要考查函数值的计算，利用函数奇偶性的性质，得到函数的对称轴是解决本题的关键．第II 卷（共100分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． （13）【2014年广西，文13，5分】6(2)x -的展开式中3x 的系数为 （用数字作答）． 【答案】160【解析】通项()()66166C 22C rrr r r r r T x x --+=⋅⋅-=-⋅，令63r -=，得3r =，所以3x 的系数为()3362C 160-=-．【点评】本题考查二项式定理的应用，关键要得到()62x -的展开式的通项．（14）【2014年广西，文14，5分】函数cos22sin y x x =+的最大值为 ．【答案】32【解析】221312sin 2sin 2sin 22y x x x ⎛⎫=-+=--+ ⎪⎝⎭，因为1sin 1x -剟，所以当1sin 2x =时，max 32y =．【点评】本题主要考查二倍角的余弦公式，二次函数的性质应用，正弦函数的值域，属于基础题．（15）【2014年广西，文15，5分】设x 、y 满足约束条件02321x y x y x y -≥⎧⎪+≤⎨⎪-≤⎩，则4z x y =+的最大值为 ．【答案】5【解析】由约束条件02321x y x y x y -≥⎧⎪+≤⎨⎪-≤⎩作出可行域如图，联立023x y x y -=⎧⎨+=⎩，解得()1,1C ．化目标函数4z x y =+为直线方程的斜截式，得144zy x =-+．由图可知，当直线144zy x =-+过C 点时，直线在y 轴上的截距最大，z 最大．此时max 1415z =+⨯=．【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题． （16）【2014年广西，文16，5分】直线1l 和2l 是圆222x y +=的两条切线，若1l 与2l 的交点为()1,3，则1l 与2l的夹角的正切值等于____________． 【答案】43【解析】设1l 与2l 的夹角为2θ，由于1l 与2l 的交点()1,3A 在圆的外部，且点A 与圆心O 之间的距离为：OA =r =sin r OA θ==，cos θ=，sin 1tan cos 2θθθ==， 22tan 14tan 211tan 314θθθ===--．【点评】本题主要考查直线和圆相切的性质，直角三角形中的变角关系，同角三角函数的基本关系、二倍角的正切公式的应用，属于中档题．三、解答题：本大题共6题，共75分． （17）【2014年广西，文17，10分】数列{}n a 满足12211222n n n a a a a a ++===-+，，．（1）设1n n n b a a +=-，证明{}n b 是等差数列；（2）求{}n a 的通项公式．解：（1）由2122n n n a a a ++=-+得，2112n n n n a a a a +++-=-+，即12n n b b +=+．又1211b a a =-=．所以{}n b 是首项为1，公差为2的等差数列．（2）由（1）得()121n b n =+-，即121n n a a n +-=-．于是()()11121nnk k k k a a k +==-=-∑∑，所以211n a a n +-=，211n a n a +=+．又11a =，所以{}n a 的通项公式为2122n a n n +=-+．【点评】本题考查了等差数列的定义、通项公式、前n 项和公式，及累加法求数列的通项公式和转化思想，属于中档题．（18）【2014年广西，文18，12分】ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知3cos 2cos a C c A =，1tan 3A =，求B ．解：根据正弦定理，由3cos 2cos 3sin cos 2sin cos a C c A A C C A =⇒=sin sin 323tan 2tan cos cos A CA C A C⇒⨯=⨯⇒=因为1tan 3A =，所以1132tan tan 32C C ⨯=⇒=，所以11tan tan 32tan()1111tan tan 132A C A C A C +++===--⨯ 因为0A C π<+<，所以4A C π+=，由三角形的内角和可得344B πππ=-=．【点评】本题考查了正弦定理、同角的三角函数基本关系式、两角和差的正切公式、诱导公式等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．（19）【2014年广西，文19，12分】如图，三棱柱111ABC A B C -中，点1A 在平面ABC 内的射影D在AC 上，090ACB ∠=，11,2BC AC CC ===．（1）证明：11AC A B ⊥；（2）设直线1AA 与平面11BCC B1A AB C --的大小． 解：解法一： （1）因为1A D ⊥平面ABC ，1A D ⊆平面11AAC C ，故平面11AA C C ⊥平面ABC ． 又BC AC ⊥，所以BC ⊥平面11AA C C ．连结1A C ．因为侧面11AA C C 为菱形，故11AC A C ⊥． 由三垂线定理得11AC A B ⊥．（2）BC ⊥平面11AA C C ，BC ⊆平面11BCC B ，故平面11AA C C ⊥平面11BCC B ．作11A E CC ⊥，E 为垂足，则1A E ⊥平面11BCC B ．又直线1//A A 平面11BCC B ，因而1A E 为直线1A A与平面11BCC B的距离，1A E =因为1A C 为11A CC ∠的平分线，故11A D A E ==．作DF AB ⊥， F 为垂足，连结1A F ．由三垂线定理得1A F AB ⊥，故1A FD ∠为二面角1A AB C --的平面角．由1AD ==得D 为C A中点，1=2AC BC DF AB ⨯⨯=11tan A D A FD DF ∠==． 所以二面角1A AB C --的大小为arc 解法二：以C 为坐标原点，射线CA 为x 轴的正半轴，以CB 的长为单位长，建立如图所示的空间直角 坐标系C xyz -，由题设知1A D 与x 轴平行，z 轴在平面11AA C C 内（1）设1(,0,)A a c ，由题设有2,(2,0,0),(0,1,0)a A B ≤，则(2,1,0),(2,0,0)AB AC =-=-，1(2,0,)AA a c =-，111(4,0,),(,1,)AC AC AA a c BA a c =+=-=-………………2分由1||2(2AA a =⇒-，即2240a a c -+=①于是221140AC BA a a c ⋅=-+=，所以11AC A B ⊥． ……………………5分 （2）设平面11BCC B 的法向量(,,)m x y z =，则1,m CB m BB ⊥⊥，所以10,0m CB m BB ⋅=⋅=，因11(0,1,0),(2,0,)CB BB AA a c ===-，所以0(2)0y a x cz =⎧⎨-+=⎩，令x c =，则2z a =-，(,0,2)m c a ∴=-， 点A 到平面11BCC B 的距离为2|||cos ,|2||CA m cCA m CA c m c ⋅⋅<>=====，又依题设，A 到平面11BCC B3c =代入①解得3a =（舍去）或1a = ……8分 于是1(AA =-，设平面1ABA 的法向量(,,)n p q r =，则1,n AA n AB ⊥⊥所以10,0n AA n AB ⋅=⋅=，所以0202p r p p q q p⎧⎧-==⎪⎪⇒⎨⎨-+=⎪⎩⎪=⎩，令p =，则1,(3,23,1)q n ===，又(0,0,1)p =为平面ABC 的法向量，故1cos ,4||||(n p n p n p ⋅<>===⋅，所以二面角1A AB C --的大小为1arccos 4． ………………………………………………………12分【点评】本题考查二面角的求解，作出并证明二面角的平面角是解决问题的关键，属中档题． （20）【2014年广西，文20，12分】设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别为0.60.50.50.4、、、，各人是否需使用设备相互独立．（1）求同一工作日至少3人需使用设备的概率；（2）实验室计划购买k 台设备供甲、乙、丙、丁使用．若要求“同一工作日需使用设备的人数大于k ”的概率小于0.1，求k 的最小值．解：记i A 表示事件：同一工作日乙、丙中恰有i 人需使用设备，0,1,2i =，B 表示事件：甲需使用设备，C 表示事件：丁需使用设备，D 表示事件：同一工作日至少3人需使用设备（1）122D A B C A B A B C =⋅⋅+⋅+⋅⋅，22()0.6,()0.4,()0.5,0,1,2ii P B P C P A C i ====， 所以122()()P D P A B C A B A B C =⋅⋅+⋅+⋅⋅122()()()P A B C P A B P A B C =⋅⋅+⋅+⋅⋅122()()()()()()()()P A P B P C P A P B P A P B P C =++0.31=．（2）由（1）知，若2k =，则()0.310.1P F =>．又2E B C A =⋅⋅，()()()()()220.06P E P B C A P B P C P A =⋅⋅==．若3k =，则()0.60.1F =<．所以k 的最小值时为3．【点评】本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题． （21）【2014年广西，文21，12分】函数32()+33(0)f x ax x x a =+≠．（1）讨论()f x 的单调性； （2）若()f x 在区间(12)，是增函数，求a 的取值范围．解：（1）()363f x ax x '=++，()0f x '=的判别式()361a ∆=-．（i ）若1a …，则()0f x '…，且当且仅当1a =，1x =-．故此时()f x 在R上是增函数． （ii ）由于0a ≠，故当1a <时，()0f x '=有两个根：1x =，2x =．若01a <<，则当()2,x x ∈-∞或()1,x x ∈+∞时，()0f x '>，故()f x 在()2,x -∞，()1,x +∞上是增函数；当()21,x x x ∈时，()0f x '<，故()f x 在()21,x x 上是减函数；若0a <，则当()1,x x ∈-∞或()2,x +∞时，()0f x '<，故()f x 在()1,x -∞，()2,x +∞上是减函数； 当()21,x x x ∈时，()0f x '>，故()f x 在()12,x x 上是增函数．（2）当0a >，0x >时，()23630f x ax x '=++>，故当0a >时，()f x 在区间()1,2上是增函数．当0a <时，()f x 在区间()1,2上是增函数当且仅当()10f '…且()20f '…，解得504a -<…．综上，a 的取值范围是()5,00,4⎡⎤-+∞⎢⎥⎣⎦．【点评】本题考查函数的导数的应用，判断函数的单调性以及已知单调性求解函数中的变量的范围，考查分类讨论思想的应用．（22）【2014年广西，文22，12分】已知抛物线C ：22(0)y px p =>的焦点为F ，直线4y =与y 轴的交点为P ，与C 的交点为Q ，且54QF PQ =．（1）求C 的方程；（2）过F 的直线l 与C 相交于A ，B 两点，若AB 的垂直平分线l '与C 相交于M ，N 两点，且A ，M ，B ，N 四点在同一圆上，求l 的方程．解：（1）设()0,4Q x ，代入22y px =得08x p =．所以8PQ P=，0822p p QF x p =+=+．由题设得85824p p p +=+，解得2p =-（舍去）或2p =．所以C 的方程为24y x =．（2）依题意知l 与坐标轴不垂直，故可设l 的方程为()10x my m =+≠．代入24y x =得2440y my --=．设()11,A x y ，()22,B x y ，则124y y m +=，124y y =-．故AB 的中点为()221,2D m m +，()21241AB y m -=+．又l '的斜率为m -，所以l '的方程为2123x y m m=-++． 将上式代入24y x =，并整理得()2244230y y m m +-+=．设()33,M x y ，()44,N x y ，则344y y +=-，()234423y y m ⋅=-+．故MN 中点为222223,E m mm ⎛⎫++- ⎪⎝⎭，(234241m MN y m +-=．由于MN 垂直平分AB ，故A ，M ，B ，N 四点在同一圆上等价于12AE BE MN ==，从而2221144AB DE MN +=，即()()()2222222244121224122m m m m m m m ++⎛⎫⎛⎫+++++=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 化简得210m -=，解得1m =或1m =-．所求直线l 的方程为10x y --=或10x y +-=．【点评】本题主要考查求抛物线的标准方程，直线和圆锥曲线的位置关系的应用，韦达定理、弦长公式的应用，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．。
2014年全国统一高考数学试卷(文科)(新课标ⅰ)(附参考答案+详细解析Word打印版)
2014年全国普通高等学校招生统一考试数学试卷（文科）（新课标Ⅰ）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．（5分）已知集合M={x|﹣1＜x＜3}，N={x|﹣2＜x＜1}，则M∩N=（）A．（﹣2，1）B．（﹣1，1）C．（1，3） D．（﹣2，3）2．（5分）若tanα＞0，则（）A．sinα＞0 B．cosα＞0 C．sin2α＞0 D．cos2α＞03．（5分）设z=+i，则|z|=（）A．B．C．D．24．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0）的离心率为2，则实数a=（）A．2 B．C．D．15．（5分）设函数f（x），g（x）的定义域都为R，且f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，则下列结论正确的是（）A．f（x）•g（x）是偶函数B．|f（x）|•g（x）是奇函数C．f（x）•|g（x）|是奇函数D．|f（x）•g（x）|是奇函数6．（5分）设D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，则+=（）A．B．C．D．7．（5分）在函数①y=cos|2x|，②y=|cosx|，③y=cos（2x+），④y=tan（2x﹣）中，最小正周期为π的所有函数为（）A．①②③B．①③④C．②④D．①③8．（5分）如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个几何体的三视图，则这个几何体是（）A．三棱锥B．三棱柱C．四棱锥D．四棱柱9．（5分）执行如图的程序框图，若输入的a，b，k分别为1，2，3，则输出的M=（）A．B．C．D．10．（5分）已知抛物线C：y2=x的焦点为F，A（x0，y0）是C上一点，AF=|x0|，则x0=（）A．1 B．2 C．4 D．811．（5分）设x，y满足约束条件且z=x+ay的最小值为7，则a=（）A．﹣5 B．3 C．﹣5或3 D．5或﹣312．（5分）已知函数f（x）=ax3﹣3x2+1，若f（x）存在唯一的零点x0，且x0＞0，则实数a的取值范围是（）A．（1，+∞）B．（2，+∞）C．（﹣∞，﹣1）D．（﹣∞，﹣2）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分13．（5分）将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，则2本数学书相邻的概率为．14．（5分）甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A，B，C三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市；乙说：我没去过C城市；丙说：我们三人去过同一城市；由此可判断乙去过的城市为．15．（5分）设函数f（x）=，则使得f（x）≤2成立的x的取值范围是．16．（5分）如图，为测量山高MN，选择A和另一座的山顶C为测量观测点，从A点测得M点的仰角∠MAN=60°，C点的仰角∠CAB=45°以及∠MAC=75°；从C点测得∠MCA=60°，已知山高BC=100m，则山高MN=m．三、解答题：解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤17．（12分）已知{a n}是递增的等差数列，a2，a4是方程x2﹣5x+6=0的根．（1）求{a n}的通项公式；（2）求数列{}的前n项和．18．（12分）从某企业生产的产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频数分布表：（1）在表格中作出这些数据的频率分布直方图；（2）估计这种产品质量指标的平均数及方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（3）根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品80%”的规定？19．（12分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，B1C的中点为O，且AO⊥平面BB1C1C．（1）证明：B1C⊥AB；（2）若AC⊥AB1，∠CBB1=60°，BC=1，求三棱柱ABC﹣A1B1C1的高．20．（12分）已知点P（2，2），圆C：x2+y2﹣8y=0，过点P的动直线l与圆C交于A，B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点．（1）求M的轨迹方程；（2）当|OP|=|OM|时，求l的方程及△POM的面积．21．（12分）设函数f（x）=alnx+x2﹣bx（a≠1），曲线y=f（x）在点（1，f （1））处的切线斜率为0，（1）求b；（2）若存在x0≥1，使得f（x0）＜，求a的取值范围．请考生在第22，23，24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。
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2014年高考广西文科数学试题
一、选择题：每小题5分，共60分
1．设集合{1,2,4,6,8}M =，{1,2,3,5,6,7}N =，则M N 中元素的个数为
A ．2
B ．3
C ．5
D ．7
2．已知角α的终边以过点（-4，3），则cos α=
A ．45
B ．35
C ．35-
D ．45- 3．不等式组(2)0||1
x x x +⎧⎨⎩＞＜的解集为
A ．{|21}x x --＜＜
B ．{|10}x x -＜＜
C ．{|01}x x ＜＜
D ．{|1}x x ＞
4．已知正四面体ABCD 中，E 是AB 的中点，则异面直线CE 与BD 所成角的余弦值为
A ．16B
．6C ．13
D
．3 5
．函数1)(1)y x =-＞的反函数是
A ．3(1)(1)x y e x =--＞
B ．3(1)(1)x y e x =--＞
C ．3(1)()x y e x R =-∈
D ．3(1)()x y e x R =-∈
6．已知向量a 、b 为单位向量，其夹角为60︒，则(2)a b b -=
A ．-1
B ．0
C ．1
D ．2
7．有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，
则不同的选法共有
A ．60种
B ．70种
C ．75种
D ．150种
8．设等比数列{}n a 的前n 项和为.n S 若23S =，415S =，则6S =
A ．31
B ．32
C ．63
D ．64
9．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b
+=＞＞的左、右焦点为1F 、2F
，离心率为3，过2F 的直线l 交C 于A 、B 两点．若1AF B ∆
的周长为C 的方程为
A ．22132x y +=
B ．2213x y +=
C ．221128x y +=
D ．22
1124
x y += 10．正四棱锥的顶点都在同一球面上．若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表
面积为
A ．814
πB ．16πC ．9πD ．274π 11．双曲线22
22:1(00)x y C a b a b
-=＞,＞的离心率为2
，则C 的焦距等于
A ．2B
．．4D
．12．奇函数()f x 的定义域为R ，若(2)f x +为偶函数，且(1)1f =，则(8)(9)f f +=
A ．-2
B ．-1
C ．0
D ．1
二、填空题：每小题5分，共20分
13．6(2)x -的展开式中3x 的系数为 ．（用数字作答）
14．函数cos 22sin y x x =+的最大值为 ．
15．设x 、y 满足约束条件02321x y x y x y -⎧⎪+⎨⎪-⎩
≥≤≤，则4z x y =+的最大值为 ．
16．直线1l 和2l 是圆222x y +=的两条切线．若1l 与2l 的交点为（1，3），则1l 与2l 夹角的
正切值等于 ．
三、解答题：
17．（本小题10分）数列{}n a 满足11a =，22a =，2122n n n a a a ++=-+
⑴设1n n n b a a +=-，证明{}n b 是等差数列；
⑵求{}n a 的通项公式．
18．（本小题12分）ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、
c ，已知3cos 2cos a C c A =，1tan 3
A =，求
B ． 19．（本小题12分）如图，三棱柱111AB
C A B C -中，点1A 在平面ABC 内的射影
D 在AC
上，90ACB ∠=︒，1BC =，12AC CC ==．
⑴证明：11AC A B ⊥；
⑵设直线1AA 与平面11BCC B
1A AB C --的大小．
20．（本小题12分）设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别为
0.6、0.5、0.5、0.4，各人是否需使用设备相互独立．
⑴求同一工作日至少3人需使用设备的概率；
⑵实验室计划购买k 台设备供甲、乙、丙、丁使用．若要求“同一工作日需使用设
备的人数大于k”的概率小于0.1，求k的最小值．
21．（本小题12分）函数32
()33(0)
f x ax x x a
=++≠．
⑴讨论()
f x的单调性；
⑵若()
f x在区间（1，2）是增函数，求a的取值范围．
22．（本小题12分）已知抛物线C：22()
y px p
=＞0的焦点为F，直线4
y=与y轴的交
点为P，与C的交点为Q，且
5
||||
4
QF PQ
=．
⑴求C的方程；
⑵过F的直线l与C相交于A、B两点，若AB的垂直平分线'l与C相交于M、N两点，
且A、M、B、N四点在同一圆上，求l的方程．
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