广西柳州、玉林、贵港五地高三三月高考模拟文科数学试题
2023年广西玉林、贵港、贺州市高三联合调研考试(高考一模)数学(文)试卷含详解
2022
年份序号x
1
2
3
4
5
报考人数y（万人）
1. 1
1.6
2
2.5
m
根据表中数据，可求得y关于x的线性回归方程为 ，则m的值为___________.
15.记 为等差数列 的前n项和.若 ，则 =___________.
16.已知棱长为8 正方体 中，点E为棱BC上一点，满足 ，以点E为球心， 为半径的球面与对角面 的交线长为___________.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答.
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13.已知向量 ，若 ，则m=___________.
【分析】根据向量垂直的坐标表示，列式求 的值.
【详解】由题意可知， ，
因为 ，所以 ，得 .
故答案为：
14.近年来，“考研热”持续升温，2022年考研报考人数官方公布数据为457万，相比于2021年增长了80万之多，增长率达到21%以上.考研人数急剧攀升原因较多，其中，本科毕业生人数增多、在职人士考研比例增大，是两大主要因素.据统计，某市各大高校近几年的考研报考总人数如下表：
A.1B. C.2D.3
D
【分析】利用抛物线的定义，以及几何关系可知 ，再利用数形结合可求 的值.
【详解】如图，
设准线与 轴的交点为 ，作 ， ，垂足分别为 ， ，
则 .根据抛物线定义知 , ,
又 ，所以 ，
设 ，因为 ，所以 ，
则 .
所以 ,，又 ,可得 ,所以 ，
所以 ,
可得 ,即 .
广西柳州市2025届高三数学下学期3月第三次模拟考试试题文
广西柳州市2025届高三数学下学期3月第三次模拟考试试题文(考试时间120分钟满分150分)留意：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.全部答案请在答题卡上作答，在本试卷和草稿纸上作答无效答题前请细致阅读答题卡，上的“留意事项”，依据“留意事项”的规定答题。
3.做选择题时，如需改动，请用橡皮将原选答案擦干净，再选涂其他答案。
第I卷(选择题，共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A＝{x∈Z|x2－2x－3<0}，B＝{x|2x<4}，则A∩B＝A.(－1，2)B.(2，3)C.{0，1}D.{0，1，2}2.下列函数中既是奇函数又在区间(0，＋∞)上单调递增的是A.y＝2xB.y＝x|x|C.y＝x＋1xD.y＝2x－sinx3.已知实数x，y满意约束条件x2x y1x2y2≤⎧⎪-≥-⎨⎪+≥⎩，则x＝y－3x的最大值为A.－6B.－3C.1D.24.若圆锥轴截面的面积为33，母线与底面所成的角为60°，则该圆锥的体积为A.3πB.4πC.5πD.6π5.近年来，某市为促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收垃圾和其他垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾箱。
为调查居民生活垃圾的分类投放状况，现随机抽取了该市三类垃圾箱中总计1000t生活垃圾，经分拣以后统计数据如下表(单位：t)。
依据样本估计本市生活垃圾的分类投放状况，则下列说法正确的是A.厨余垃圾投放错误的概率为2 3B.居民生活垃圾投放正确的概率为3 10C.该市三类垃圾中投放正确的概率最高的是其他垃圾D.厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收垃圾”箱、“其他垃圾”箱的投放量的方差为200006.已知m，n表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是A.若m//α，n//α，则m//nB.若m⊥α，n⊂α，则m⊥nC.若m⊥α，m⊥n，则n//αD.若m//α，m⊥n，则n⊥α7.已知点A(1，0)，B(3，0)，若直线kx－y＋1＝0上存在点P，满意PA PB⋅＝0，则k的取值范围是A.[－43，0] B.[0，43] C.[－43，43] D.(－∞，0]8.电表度数的“度”用字母“KW－H”表示，比如用电88度，就可用字母88KW－H表示。
2020年广西柳州高中高考数学模拟试卷(文科)(3月份)
2020年广西柳州高中高考数学模拟试卷（文科）（3月份）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知复数(12)(1)()z i ai a R =++∈，若z R ∈，则实数(a = ) A ．12 B ．12-C ．2D ．2-2．（5分）已知集合{|12}M x x =-<<，{|(3)0}N x x x =+…，则(M N =I ) A ．[3-，2)B ．(3,2)-C ．(1-，0]D ．(1,0)-3．（5分）同时抛掷两个质地均匀的骰子，向上的点数之和小于5的概率为( )A ．19B ．16C ．118D ．5124．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的s 的值为( )A ．53B ．85C ．138D ．21135．（5分）已知数列{}n a 的前n 项之和21n S n =+，则13(a a += ) A ．6B ．7C ．8D ．96．（5分）圆221:4C x y +=与圆222:44120C x y x y +-+-=的公共弦的长为( ) A 2B 3C ．22D ．327．（5分）已知tan()74πα+=，且32ππα<<，则sin (α= )A ．35B ．35-C ．45D ．45-8．（5分）若1e u r ，2e u u r 是夹角为60︒的两个单位向量，而122a e e =+u r u u r r，1232b e e =-+u r u u r r ，则向量a r和b r 夹角为( )A ．6π B ．3π C ．23π D ．56π 9．（5分）已知函数22()sin sin ()3f x x x π=++，则()f x 的最小值为( )A ．12B ．14C ．3 D ．2 10．（5分）在正方形123SG G G 中，E 、F 分别是12G G 及23G G 的中点，D 是EF 的中点，现在沿SE 、SF 及EF 把这个正方形折成一个四面体，使1G 、2G 、3G 三点重合，重合后的点记为G ，那么，在四面体S EFG -中必有( )A ．SG EFG ⊥∆所在平面B ．SD EFG ⊥∆所在平面C ．GF SEF ⊥∆所在平面D ．GD SEF ⊥∆所在平面11．（5分）如果关于x 的不等式3210x ax -+…在[1-，1]恒成立，则实数a 的取值范围是()A ．0a „B ．a l „C ．2a „D ．332a „12．（5分）已知ABC ∆的三边分别为a ，b ，c ，若满足22228a b c ++=，则ABC ∆面积的最大值为( ) A 5B 25C 35D 5 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）函数()1f x xlnx =+在点(,)e e l +处的切线方程为 ． 14．（5分）若函数cos ()sin x af x x+=在(0,)2π上单调递减，则实数a 的取值范围为 ．15．（5分）已知2211M x y y x =--M 的最大值为 ．16．（5分）根据气象部门预报，在距离某个码头A 南偏东45︒方向的600km 处的热带风暴中心B 正以30/km h 的速度向正北方向移动，距离风暴中心450km 以内的地区都将受到影响，从现在起经过 小时后该码头A 将受到热带风暴的影响（精确到0.01)．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17．（12分）若等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足413a a S -=，5115a a -=． （1）求数列{}n a 的首项1a 和公比q ； （2）若100n a n >+，求n 的取值范围．18．（12分）如图，在棱长为a 的正方体1111ABCD A B C D -中，P ，Q ，L 分别为棱11A D ，11C D ，BC 的中点．（1）求证：AC QL ⊥； （2）求四面体DPQL 的体积．19．（12分）一个小商店从一家食品有限公司购进10袋白糖，每袋白糖的标准重量是500g ，为了了解这些白糖的实际重量，称量出各袋白糖的实际重量（单位：)g 如下：503，502，496，499，491，498，506，504，501，510 （1）求这10袋白糖的平均重量x 和标准差s ；（2）从这10袋中任取2袋白糖，那么其中恰有一袋的重量不在(x s -，)x s +的概率是多少？（附25.8 5.08≈，25816.0625.9 5.09≈25916.09)≈20．（12分）已知抛物线2:2(0)y px p Γ=>的焦点为F ，P 是抛物线Γ上一点，且在第一象限，满足(2FP =u u u r，23)（1）求抛物线Γ的方程；（2）已知经过点(3,2)A -的直线交抛物线Γ于M ，N 两点，经过定点(3,6)B -和M 的直线与抛物线Γ交于另一点L ，问直线NL 是否恒过定点，如果过定点，求出该定点，否则说明理由．21．（12分）（1）研究函数sin ()xf x x=在(0,)π上的单调性； （2）求函数2()cos g x x x π=+的最小值．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为5cos (4sin x y ααα=⎧⎨=⎩为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线22:4cos 30C ρρθ-+=． （1）求曲线1C 的一般方程和曲线2C 的直角坐标方程； （2）若点P 在曲线1C 上，点Q 曲线2C 上，求||PQ 的最小值． [选修4-5：不等式选讲]23．已知函数()|2||1|f x x a x a =-+-+． （1）当4a =时，求解不等式()8f x …；（2）已知关于x 的不等式2()2a f x …在R 上恒成立，求参数a 的取值范围．。
2020年广西柳州高中高考数学模拟试卷(文科)(3月份)
2020年广西柳州高中高考数学模拟试卷（文科）（3月份）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知复数z=(1+2i)(1+ai)(a∈R)，若z∈R，则实数a=（）A.−12B.12C.−2D.22. 已知集合M＝{x|−1<x<2}，N＝{x|x(x+3)≤0}，则M∩N＝（）A.(−3, 2)B.[−3, 2)C.(−1, 0)D.(−1, 0]3. 同时抛掷两个质地均匀的骰子，向上的点数之和小于5的概率为（）A.1 6B.19C.512D.1184. 执行如图所示的程序框图，输出的s的值为（）A.8 5B.53C.2113D.1385. 已知数列{a n}的前n项之和S n＝n2+1，则a1+a3＝（）A.7B.6C.9D.86. 圆C1:x2+y2−4=0与圆C2:x2+y2−4x+4y−12=0的公共弦长是()A.2√2B.2C.4D.2√37. 已知tan(α+π4)＝7，且π<α<3π2，则sinα＝（）A.−35B.35C.−45D.458. 若e1→，e2→是夹角为60∘的两个单位向量，而a→=2e1→+e2→，b→=−3e1→+2e2→，则向量a→和b→夹角为（）A.π3B.π6C.2π3D.5π69. 已知函数f(x)＝sin2x+sin2(x+π3)，则f(x)的最小值为（）A.14B.12C.√22D.√3410. 在正方形SG1G2G3中，E、F分别是G1G2及G2G3的中点，D是EF的中点，现在沿SE、SF及EF把这个正方形折成一个四面体，使G1、G2、G3三点重合，重合后的点记为G，那么，在四面体S−EFG中必有()A.SD⊥△EFG所在平面B.SG⊥△EFG所在平面C.GF⊥△SEF所在平面D.GD⊥△SEF所在平面11. 如果关于x的不等式x3−ax2+1≥0在[−1, 1]恒成立，则实数a的取值范围是（）A.a≤lB.a≤0C.a≤3√232D.a≤212. 已知△ABC的三边分别为a，b，c，若满足a2+b2+2c2＝8，则△ABC面积的最大值为（）A.2√55B.√55C.√53D.3√55二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.函数f(x)＝x ln x+1在点(e, e+l)处的切线方程为________．若函数f(x)=cos x+asin x在(0, π2)上单调递减，则实数a的取值范围为________．已知M =x√1−y 2+y√1−x 2，则M 的最大值为________．根据气象部门预报，在距离某个码头A 南偏东45∘方向的600km 处的热带风暴中心B 正以30km/ℎ的速度向正北方向移动，距离风暴中心450km 以内的地区都将受到影响，从现在起经过________小时后该码头A 将受到热带风暴的影响（精确到0.01）． 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.若等比数列{a n }的前n 项和为S n ，满足a 4−a 1＝S 3，a 5−a 1＝15． （1）求数列{a n }的首项a 1和公比q ；（2）若a n >n +100，求n 的取值范围．如图，在棱长为a 的正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，P ，Q ，L 分别为棱A 1D 1，C 1D 1，BC 的中点．（1）求证：AC ⊥QL ；（2）求四面体DPQL 的体积．一个小商店从一家食品有限公司购进10袋白糖，每袋白糖的标准重量是500g ，为了了解这些白糖的实际重量，称量出各袋白糖的实际重量（单位：g ）如下：503，502，496，499，491，498，506，504，501，510（1）求这10袋白糖的平均重量x ¯和标准差s ；（2）从这10袋中任取2袋白糖，那么其中恰有一袋的重量不在(x ¯−s, x ¯+s)的概率是多少？（附：√25.8≈5.08，√258≈16.06，√25.9≈5.09，√259≈16.09）已知抛物线Γ：y 2＝2px(p >0)的焦点为F ，P 是抛物线Γ上一点，且在第一象限，满足FP →=(2, 2√3)（1）求抛物线Γ的方程；（2）已知经过点A(3, −2)的直线交抛物线Γ于M ，N 两点，经过定点B(3, −6)和M 的直线与抛物线Γ交于另一点L ，问直线NL 是否恒过定点，如果过定点，求出该定点，否则说明理由．（1）研究函数f(x)=sin x x在(0, π)上的单调性；（2）求函数g(x)＝x 2+πcos x 的最小值．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为{x =5cos αy =4sin α （α为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2:ρ2−4ρcos θ+3＝0． （1）求曲线C 1的一般方程和曲线C 2的直角坐标方程；（2）若点P 在曲线C 1上，点Q 曲线C 2上，求|PQ|的最小值． [选修4-5：不等式选讲]已知函数f(x)＝|2x −a|+|x −a +1|． （1）当a ＝4时，求解不等式f(x)≥8；（2）已知关于x 的不等式f(x)≥a 22在R 上恒成立，求参数a 的取值范围．参考答案与试题解析2020年广西柳州高中高考数学模拟试卷（文科）（3月份）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.【答案】此题暂无答案【考点】复验热数术式工乘除运算复数三最本概念【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答2.【答案】此题暂无答案【考点】交集根助运算【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答3.【答案】此题暂无答案【考点】古典因顿二其比率计算公式【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答4.【答案】此题暂无答案【考点】程正然图【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答5. 【答案】此题暂无答案【考点】数列体函硫特性【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答6.【答案】此题暂无答案【考点】圆与来的位德米系及米判定点到直使的距离之式【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答7.【答案】此题暂无答案【考点】两角和与射的三题函数【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答8.【答案】此题暂无答案【考点】平面射量长量化的性置及其运算【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答9.【答案】此题暂无答案【考点】三角水三的最值【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答10.【答案】此题暂无答案【考点】直线与平正垂直的判然【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答11.【答案】此题暂无答案【考点】利验热数技究女数的最值【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答12.【答案】此题暂无答案【考点】余于视理【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 【答案】此题暂无答案【考点】利用三数定究曲纵上迹点切线方程【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】利用验我研究务能的单调性【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】函根的萄送木其几何意义【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】根据体际省题完择函离类型【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.【答案】此题暂无答案【考点】等比数表的弹项公式【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】直线验周面垂直棱柱、常锥头棱台改氯面积和表面积【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】极差、使差与标香差【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】抛物使之性质【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】利验热数技究女数的最值利用验我研究务能的单调性【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]【答案】此题暂无答案【考点】圆的较坐标停程参数较严与普码方脂的互化【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答[选修4-5：不等式选讲]【答案】此题暂无答案【考点】利验热数技究女数的最值绝对常不等至的保法与目明【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答。
广西柳州市2023届新高三摸底考试数学(文)试题含答案
柳州市2023届新高三摸底考试文科数学（考试时间120分钟满分150分）注意：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．所有答案请在答题卡上作答，在本试卷和草稿纸上作答无效．答题前请仔细阅读答题卡上的“注意事项”，按照“注意事项”的规定答题．3．做选择题时，如需改动，请用橡皮将原选答案擦干净，再选涂其他答案．第I 卷（选择题，共60分）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个选项是符合题目要求的）1.已知集合{}2|1A x x =≤，{}|1B y y =≥-，则A B = （）A.∅B.[]1,1- C.[1,)-+∞ D.[1,1)-2.设m ∈R ，若复数12i z =-+的虚部与复数2i z m m =+的虚部相等，则12z z ⋅=（）A.3i-+ B.1i-- C.3i- D.3i--3.已知向量,a b ，的夹角为3π，且2a = ，3b =r ，则()a b a ⋅-= （）A.－1B.4C.－2D.14.某学校组建了合唱、朗诵、脱口秀、舞蹈、太极拳五个社团，该校共有2000名同学，每名同学依据自己的兴趣爱好最多可参加其中一个，各个社团的人数比例的饼状图如图所示，其中参加朗诵社团的同学有8名，参加太极拳社团的有12名，则（）A.这五个社团的总人数为100B.脱口秀社团的人数占五个社团总人数的20%C.这五个社团总人数占该校学生人数的8%D.从这五个社团中任选一人，其来脱口秀社团或舞蹈社团的概率为50%5.执行如图所示的程序框图,输出的s 值为()A.2B.32C.53D.856.若35lg 0.3,log 2,log 4a b c ===，则（）A.c b a >>B.b c a >>C.c a b>> D.a b c>>7.若()4sin π5α-=，则cos 2α＝（）A.－2425B.725 C.－725D.24258.设变量x ，y 满足约束条件202011x y x y x y +-≤⎧⎪-+≥⎪⎨≥-⎪⎪≥-⎩，则目标函数z x y =+的最小值为（）A.2B.－3C.－2D.09.已知直线(0)y kx k =>与圆()()22:214C x y -+-=相交于A ，B两点AB =，则k ＝（）A.15 B.43C.12D.51210.若直线π4x =是曲线πsin (0)4y x ωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭的一条对称轴，且函数πsin(4y x ω=-在区间[0，π12]上不单调，则ω的最小值为（）A.9B.7C.11D.311.已知(1)f x -是定义为R 上的奇函数，f (1)＝0，且f (x )在[1,0)-上单调递增，在[0,)+∞上单调递减，则不等式()230xf -<的解集为（）A.(1,2)B.(,1)-∞ C.(2,)+∞ D.(,1)(2,)-∞⋃+∞12.如图1所示，双曲线具有光学性质；从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点．若双曲线E ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，从2F 发出的光线经过图2中的A ，B 两点反射后，分别经过点C 和D ，且3cos 5BAC ∠=-，AB BD ⊥，则E 的离心率为（）A.52B.3C.2D.第II 卷（非选择题，共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题卡上）13.记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若3450,3a a a =+=，则11S =___．14.若函数()ln 1f x x x =+，则()f x 在点(1,(1))f 处的切线方程为___．15.已知12,F F 是椭圆22143x y +=的左、右焦点，P 在椭圆上运动，求1211PF PF +的最小值为___．16.在正方体1111ABCD A B C D -中，点E 为线段11B D 上的动点，现有下面四个命题：①直线DE 与直线AC 所成角为定值；②点E 到直线AB 的距离为定值；③三棱锥1E A BD -的体积为定值；④三棱锥1E A BD -外接球的体积为定值．其中所有真命题的序号是______．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，并将答案写在答案卡相应题号的空白处）17.在锐角△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知2sin a C =．（1）求角A 的大小；（2）若2b =，a =，求△ABC 的面积．18.已知数列{}n a 满足111,21n n a a a +==+.（1）证明{}1n a +是等比数列，并求{}n a 的通项公式；（2）求数列{}n a 的前n 项和公式.19.2022年北京冬奥会的申办成功与“3亿人上冰雪”口号的提出，将冰雪这个冷项目迅速炒“热”．北京某综合大学计划在一年级开设冰球课程，为了解学生对冰球运动的兴趣，随机从该校一年级学生中抽取了200人进行调查，其中女生中对冰球运动有兴趣的占23，而男生有20人表示对冰球运动没有兴趣．（1）完成22⨯列联表，并回答能否有97.5%的把握认为“对冰球是否有兴趣与性别有关”？有兴趣没兴趣合计男110女合计（2）已知在被调查的女生中有5名数学系的学生，其中3名对冰球有兴趣，现在从这5名学生中随机抽取2人，求至少有1人对冰球有兴趣的概率．()20P K k ≥0.100.050.0250.0100k 2.7063.8415.0246.635()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++．20.如图，在三棱锥P ABC -中，2AB BC ==，PA PB PC AC ====，O 为AC 的中点．（1）证明：PO ⊥平面ABC ；（2）若点M 在棱BC 上，且MC ＝2MB ，求点C 到平面POM 的距离．21.已知函数()ln 2af x x x x=+-．（1）讨论当0a >时，f (x )单调性．（2）证明：()222e xa x xf x x--+>．22.已知平面上动点Q （x ，y ）到F （0，1）的距离比Q （x ，y ）到直线:2l y =-的距离小1，记动点Q （x ，y ）的轨迹为曲线C ．（1）求曲线C 的方程．（2）设点P 的坐标为（0，－1），过点P 作曲线C 的切线，切点为A ，若过点P 的直线m 与曲线C 交于M ，N 两点，证明：AFM AFN ∠=∠．柳州市2023届新高三摸底考试文科数学（考试时间120分钟满分150分）注意：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．所有答案请在答题卡上作答，在本试卷和草稿纸上作答无效．答题前请仔细阅读答题卡上的“注意事项”，按照“注意事项”的规定答题．3．做选择题时，如需改动，请用橡皮将原选答案擦干净，再选涂其他答案．第I 卷（选择题，共60分）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个选项是符合题目要求的）1.已知集合{}2|1A x x =≤，{}|1B y y =≥-，则A B = （）A.∅B.[]1,1- C.[1,)-+∞ D.[1,1)-【答案】B 【解析】【分析】先化简集合A ，再利用交集运算求解.【详解】因为21x ≤，所以11x -≤≤，即{}|11A x x =-≤≤，所以A B = {}|11x x -≤≤.故选：B.2.设m ∈R ，若复数12i z =-+的虚部与复数2i z m m =+的虚部相等，则12z z ⋅=（）A.3i -+B.1i-- C.3i- D.3i--【答案】D 【解析】【分析】根据已知条件求得m 的值，利用复数的乘法化简可得结果.【详解】因为复数12i z =-+的虚部与复数2i z m m =+的虚部相等，则1m =，则21i z =+，因此，()()122i 1i i z z ⋅=-++=--.故选：D.3.已知向量,a b ，的夹角为3π，且2a = ，3b =r ，则()a b a ⋅-= （）A .－1B.4C.－2D.1【答案】A 【解析】【分析】根据数量积的运算求解即可【详解】()22123212a b a a b a ⋅-=⋅-=⨯⨯-=-r r r r r r 故选：A4.某学校组建了合唱、朗诵、脱口秀、舞蹈、太极拳五个社团，该校共有2000名同学，每名同学依据自己的兴趣爱好最多可参加其中一个，各个社团的人数比例的饼状图如图所示，其中参加朗诵社团的同学有8名，参加太极拳社团的有12名，则（）A.这五个社团的总人数为100B.脱口秀社团的人数占五个社团总人数的20%C.这五个社团总人数占该校学生人数的8%D.从这五个社团中任选一人，其来脱口秀社团或舞蹈社团的概率为50%【答案】B【解析】【分析】根据饼状图及有关数据得各个社团比例，计算人数及相应概率判断各选项．【详解】这五个社团的总人数为88010%=，804%2000=．A错误，C错误．因为太极拳社团人数的占比为1210%15%8⨯=，所以脱口秀社团人数的占比为110%15%30%25%20%----=，B正确．从这五个社团中任选一人，其来自脱口秀社团或舞蹈社团的概率为25%20%45%+=，D错误．故选：B．5.执行如图所示的程序框图,输出的s值为()A.2B.32C.53D.85【答案】C 【解析】【详解】试题分析：0k =时，03<成立，第一次进入循环：111,21k s +===；13<成立，第二次进入循环：2132,22k s +===；23<成立，第三次进入循环：31523,332k s +===，33<不成立，输出53s =，故选C.【名师点睛】解决此类型问题时要注意：第一，要明确是当型循环结构，还是直到型循环结构，并根据各自的特点执行循环体；第二，要明确图中的累计变量，明确每一次执行循环体前和执行循环体后，变量的值发生的变化；第三，要明确循环体终止的条件是什么，会判断什么时候终止循环体，争取写出每一个循环，这样避免出错.6.若35lg 0.3,log 2,log 4a b c ===，则（）A.c b a >>B.b c a>> C.c a b>> D.a b c>>【答案】A 【解析】【分析】利用对数的运算及对数函数的性质进行比较大小.【详解】因为lg 0.3lg10<=，所以0a <；因为3355log 2log 10,log 4log 10>=>=，所以0,0b c >>，42211log 5log 5log 2c ===，21log 3b=，而22log 3log >所以11b c>，即b c <.故选：A.7.若()4sin π5α-=，则cos 2α＝（）A.－2425B.725 C.－725D.2425【答案】C 【解析】【分析】根据给定条件，利用诱导公式、二倍角的余弦公式化简计算作答.【详解】依题意，4sin 5α=，所以2247cos 212sin 12525αα⎛⎫=-=-⨯=- ⎪⎝⎭.故选：C8.设变量x ，y 满足约束条件202011x y x y x y +-≤⎧⎪-+≥⎪⎨≥-⎪⎪≥-⎩，则目标函数z x y =+的最小值为（）A.2B.－3C.－2D.0【答案】C 【解析】【分析】作出平面区域，结合图像求直线y x z =-+在y 轴截距z 的最小值，通过平移直线y x =-可得在在点()1,1A --处取到最小值，代入运算求解．【详解】根据题意可得平面区域，如图所示：∵目标函数z x y =+，即y x z =-+，则求直线y x z =-+在y 轴截距z 的最小值结合图像可得在点()1,1A --处取到最小值()112z =-+-=-故选：C ．9.已知直线(0)y kx k =>与圆()()22:214C x y -+-=相交于A ，B两点AB =，则k ＝（）A.15 B.43C.12D.512【答案】B 【解析】【分析】圆心()2,1C 到直线(0)y kx k =>的距离为d，则d =而1d ===，所以1d ==，解方程即可求出答案.【详解】圆()()22:214C x y -+-的圆心()2,1C ，2r =所以圆心()2,1C 到直线(0)y kx k =>的距离为d，则d =，而1d ===，所以1d ==，解得：43k =.故选：B.10.若直线π4x =是曲线πsin (0)4y x ωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭的一条对称轴，且函数πsin(4y x ω=-在区间[0，π12]上不单调，则ω的最小值为（）A.9 B.7C.11D.3【答案】C 【解析】【分析】根据给定条件，求出ω的关系式，再求出函数πsin()4y x ω=-含有数0的单调区间即可判断作答.【详解】因直线π4x =是曲线πsin (0)4y x ωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭的一条对称轴，则πππ,N 442k k ωπ-=+∈，即43,N k k ω=+∈，由πππ242x ω-≤-≤得π3π44x ωω-≤≤，则函数πsin(4y x ω=-在π3π[,]44ωω-上单调递增，而函数πsin()4y x ω=-在区间π[0,]12上不单调，则3π412πω<，解得9ω>，所以ω的最小值为11.故选：C11.已知(1)f x -是定义为R 上的奇函数，f (1)＝0，且f (x )在[1,0)-上单调递增，在[0,)+∞上单调递减，则不等式()230xf -<的解集为（）A.(1,2)B.(,1)-∞ C.(2,)+∞ D.(,1)(2,)-∞⋃+∞【答案】D 【解析】【分析】由(1)f x -是定义为R ()f x 关于(1,0)-点对称；再结合(1)0f -=，即可得出(3)(1)(1)0f f f -=-==.再结合f (x )在[1,0)-上单调递增，在[0,)+∞上单调递减，可知函数()f x 在(,2)-∞-上单调递减，在(2,0)-上单调递增，在(0,)+∞上单调递减.再分类讨论即可你求出答案.【详解】因为(1)f x -是定义为R 上的奇函数,所以(1)(1)f x f x -=---;函数()f x 关于(1,0)-点对称.当2x =时：(3)(1)0f f -=-=；当0x =时：(1)0f -=;所以()f x 在(,2)-∞-上单调递减，在(2,0)-上单调递增，在(0,)+∞上单调递减.所以当232x -<-时233x ->-，解得0x <;当2230x -≤-≤时231x -<-，解得01x ≤<;当230x ->时231x ->，解得2x >;综上所述：不等式()230xf -<的解集(,1)(2,)-∞⋃+∞故选：D.12.如图1所示，双曲线具有光学性质；从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点．若双曲线E ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，从2F 发出的光线经过图2中的A ，B 两点反射后，分别经过点C 和D ，且3cos 5BAC ∠=-，AB BD ⊥，则E 的离心率为（）A.2B.173C.102D.【答案】B 【解析】【分析】利用双曲线的光学性质及双曲线定义，用2||BF 表示11||,||,||BF AF AB ，再在两个直角三角形中借助勾股定理求解作答.【详解】依题意，直线,CA DB 都过点1F ，如图，有1AB BF ⊥，13cos 5BAF ∠=，设2||BF m =，则1||2BF a m =+，显然有14tan 3BAF ∠=，133||||(2)44AB BF a m ==+，231||24AF a m =-，因此，1271||2||24AF a AF a m =+=-，在1Rt ABF ，22211||||||AB BF AF +=，即222971(2)(2)()1624a m a m a m +++=-，解得23m a =，即1282||,||33BF a BF a ==，令双曲线半焦距为c ，在12Rt BF F 中，2222112||||||BF BF F F +=，即22228()()(2)33a a c +=，解得173c a =，所以E 的离心率为173.故选：B【点睛】方法点睛：求双曲线离心率的三种方法：①定义法，通过已知条件列出方程组，求得,a c 得值，根据离心率的定义求解离心率e ；②齐次式法，由已知条件得出关于,a c 的二元齐次方程，然后转化为关于e 的一元二次方程求解；③特殊值法：通过取特殊值或特殊位置，求出离心率.第II 卷（非选择题，共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题卡上）13.记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若3450,3a a a =+=，则11S =___．【答案】33【解析】【分析】根据给定条件，利用等差数列性质求出首项和公差，再利用前n 项公式计算作答.【详解】等差数列{}n a 中，30a =，由36453a a a a +=+=得63a =，则公差63163a a d -==-，首项1322a a d =-=-，所以11111(111)1111(2)55332S a d -=+=⨯-+=.故答案为：3314.若函数()ln 1f x x x =+，则()f x 在点(1,(1))f 处的切线方程为___．【答案】0x y -=【解析】【分析】求导，再根据导数的几何意义即可得出答案.【详解】解：由函数()ln 1f x x x =+，得()11f =，()0,x ∈+∞，则()1ln f x x '=+，故()11f '=，所以()f x 在点(1,(1))f 处的切线方程为11y x -=-，即0x y -=.故答案为：0x y -=.15.已知12,F F 是椭圆22143x y +=的左、右焦点，P 在椭圆上运动，求1211PF PF +的最小值为___．【答案】1【解析】【分析】利用椭圆的定义知124PF PF +=，利用基本不等式即可求出1211PF PF +的最小值.【详解】因为12,F F 是椭圆22143x y +=的左、右焦点，P 在椭圆上运动，所以124PF PF +=.所以124PF PF =+≥，所以124PF PF ⋅≤（当且仅当12PF PF =时等号成立）.所以12121211414PF PF PF PF PF PF ++==⋅.即1211PF PF +的最小值为1.故答案为：116.在正方体1111ABCD A B C D -中，点E 为线段11B D 上的动点，现有下面四个命题：①直线DE 与直线AC 所成角为定值；②点E 到直线AB 的距离为定值；③三棱锥1E A BD -的体积为定值；④三棱锥1E A BD -外接球的体积为定值．其中所有真命题的序号是______．【答案】①③【解析】【分析】由线面垂直的性质定理得线线垂直判断①，由正方体的性质，可通过E 到11A B 的距离来计算E 到AB 的距离，从而判断②，根据棱锥体积公式，判断③，想象E 在不同位置时外接球的半径的变化，判断④．【详解】易证AC ⊥平面11BB D D ，DE ⊂平面11BB D D ，所以恒有AC DE ⊥，直线DE 与直线AC 所成角为90°，所以①是真命题．点E 到直线AB 的距离与点E 到直线11A B 的距离有关，所以②是假命题．因为11//B D BD ，由线面平行的判定定理可得11//B D 平面1A BD ，故点E 到平面1A BD 的距离d 为定值，则1113E A BD A BD V d S -=⋅△为定值，所以③是真命题．11//B D 平面1A BD ，E 在11B D 上变化，例如点E 在1D 处和在11B D 的中点处时，三棱锥1E A BD -的外接球半径不同，故其外接球的体积不是定值，所以④是假命题．故答案为：①③三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，并将答案写在答案卡相应题号的空白处）17.在锐角△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知2sin a C =．（1）求角A 的大小；（2）若2b =，a =，求△ABC 的面积．【答案】（1）3A π=（2）2【解析】【分析】（1）根据正弦定理结合内角的范围求解即可；（2）由余弦定理与面积公式求解即可【小问1详解】由已知及正弦定理知：2sin sin A C C =．因为C 为锐角，则sin 0C ≠，所以sin 2A =．因为A 为锐角，则3A π=【小问2详解】由余弦定理，2222cos b c bc A a +-=．则244cos73c c π+-=，即2230c c --=即()()310c c -+=，因为0c >，则3c =所以△ABC的面积11sin 32sin 2232S bc A π==⨯⨯=．18.已知数列{}n a 满足111,21n n a a a +==+.（1）证明{}1n a +是等比数列，并求{}n a 的通项公式；（2）求数列{}n a 的前n 项和公式.【答案】（1）证明见解析，21nn a =-（2）122n n S n+=--【解析】【分析】（1）由已知得a n +11+=2（a n 1+），112a +=，从而能证明{a n 1+}是首项为2，公比为2的等比数列，并能求出{a n }的通项公式．（2）利用分组求和可求解【详解】(1)由121n n a a +=+可得112(1)n n a a ++=+,即1121n n a a ++=+所以{}1n a +是一个以2为首项，以2为公比的等比数列所以12nn a +=,所以21nn a =-(2)123123(21)(21)(21)(21)n n n S a a a a =++++=-+-+-+- ()1232(12)2222(1111)12n nn-=+++-++++=-- 122n n+=--【点睛】本题考查等比数列的证明，考查等比数列的通项公式及前n 项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意分组求和的合理运用．19.2022年北京冬奥会的申办成功与“3亿人上冰雪”口号的提出，将冰雪这个冷项目迅速炒“热”．北京某综合大学计划在一年级开设冰球课程，为了解学生对冰球运动的兴趣，随机从该校一年级学生中抽取了200人进行调查，其中女生中对冰球运动有兴趣的占23，而男生有20人表示对冰球运动没有兴趣．（1）完成22⨯列联表，并回答能否有97.5%的把握认为“对冰球是否有兴趣与性别有关”？有兴趣没兴趣合计男110女合计（2）已知在被调查的女生中有5名数学系的学生，其中3名对冰球有兴趣，现在从这5名学生中随机抽取2人，求至少有1人对冰球有兴趣的概率．()20P K k ≥0.100.050.0250.0100k 2.7063.8415.0246.635()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++．【答案】（1）填表见解析；有97.5%的把握认为“对冰球是否有兴趣与性别有关”；（2）910.【解析】【分析】（1）根据给定数据，完善22⨯列联表，计算2K 的观测值，再与临界值表比对作答.（3）对5人编号，利用列举法结合古典概型概率公式计算作答.【小问1详解】根据已知数据得到如下列联表：有兴趣没有兴趣台计男9020110女603090合计15050200根据列联表中的数据，得()22200903020602006.061110901505033K ⨯⨯-⨯==≈⨯⨯⨯，6.061 5.024>，所以有97.5%的把握认为“对冰球是否有兴趣与性别有关”.【小问2详解】记至少1人对冰球有兴趣为事件D记5人中对冰球有兴趣的3人为A 、B 、C ，对冰球没有兴趣的2人为m 、n ，则从这5人中随机抽取2人，有(,),(,),(,),(),(),(),(),(),(),()A m A n B m B n C m C n A B A C B C m n ,,,,,,,，共10个结果，其中2人对冰球都有兴趣的有(,),(,),(,)A B A C B C ，共3个结果，1人对冰球有兴趣的有(,),(,),(,),(),(),()A m A n B m B n C m C n ,,,，共6个结果，则至少1人对冰球有兴趣的有9个结果，所以所求事件的概率9()10P D =．20.如图，在三棱锥P ABC -中，2AB BC ==，PA PB PC AC ====，O 为AC 的中点．（1）证明：PO ⊥平面ABC ；（2）若点M 在棱BC 上，且MC ＝2MB ，求点C 到平面POM 的距离．【答案】（1）证明见解析；（2）5.【解析】【分析】（1）证明,PO AC PO OB ⊥⊥，利用线面垂直判定定理求解；（2）利用等体积法求点C 到平面POM 的距离即可.【小问1详解】连接OB ，如图，∵2,AB BC AC ===，∴222AB BC AC +=，即△ABC 是直角三角形，又O 为AC 的中点，∴OA OB OC ==，又∵PA PB PC ==，∴POA POB POC≅≅ ∴90POA POB POC ∠=∠=∠= ．∴,,PO AC PO OB OB AC O ⊥⊥= ，OB 、AC ⊂平面ABC ∴PO ⊥平面ABC ．【小问2详解】由（1）得PO ⊥平面ABC ，PO ==在COM V 中，45OCM ∠= ，103OM ∴==．1110152233POM S PO OM =⨯⨯== 122233COM ABC S S =⨯⨯= 设点C 到平面POM 的距离为d ，由1133P OMC C POM POM OCM V V S d S PO --=⇒⨯⋅=⨯⨯ ，解得5d =，∴点C 到平面POM 的距离为2105．21.已知函数()ln 2af x x x x=+-．（1）讨论当0a >时，f (x )单调性．（2）证明：()222e xa x xf x x--+>．【答案】（1）见解析；（2）证明见解析．【解析】【分析】（1）对函数求导，按18a ≥和108a <<两类讨论，得出函数的单调性；（2）要证()222e xa x xf x x--+>，即证e ln 2x x >+．构造函数()e ln 2(0)x h x x x =-->，利用函数的导数判断函数的单调性，求出函数的最小值，转化求解即可．【详解】（1）解：由题意可知()222120,2a x x ax f x x x x -+>=--=-对于二次函数22,18y x x a a =-+∆=-．当18a ≥时，()0,0f x '∆≤≤恒成立，f (x )在0x >上单调递减；当108a <<时，二次函数220y x x =-+-有2个大于零的零点，分别是12118118,44x x +==，当118118,44x ⎛+∈ ⎝⎭()0f x '>，f (x )在11811844x ⎛⎫+∈ ⎪ ⎪⎝⎭单调递增；当1180,4x ⎛⎫⎫-∈⋃+∞ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭()0f x '<，f (x )在1180,4x ⎛⎫-∈ ⎪ ⎪⎝⎭和118,4⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭单调递减综上：当18a ≥时，f (x )在（0，＋∞）单调递减当108a <<时f (x )在118118,44x ⎛⎫+∈ ⎪ ⎪⎝⎭单调递增；1181180,,44x ⎛⎫⎛⎫-+∈+∞ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭单调递减．（2）证明：要证()222e xa x x f x x--+>，即证e ln 2x x >+．（方法一）设()e ln 2(0)xh x x x =-->，则()1e xh x x='-，()h x '在（0，＋∞）上为增函数，因为()10,102h h ⎛⎫''<> ⎪⎝⎭，所以()h x '在（12，1）上存在唯一的零点m ，且()1e 0m h m m '=-=，即1e ,ln m m m m==-．所以h (x )在（0，m ）上单调递减，在(),m +∞上单调递增，所以()()min 1e ln 22220m h x h m m m m==--=+-≥-=，．因为1,12m ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以等号不成立，所()e ln 20x h x x =-->，所以e ln 2x x >+，从而原不等式得证（方法二）不妨设()()e 1x h x x =-+，则()()e 1,00xh x h ''=-=，当0x <时，()00h '<，当0x >时，()00h '>，因此()()()00,e 10xh x h x ≥=-+≥恒成立，．则()()()ln ln 100h x x x h =-+≥=恒成立，．则()()()e 1ln 1e ln 20xx x x x x ⎡⎤-++-+=-+≥⎣⎦恒成立，即e ln 2x x ≥+．又ln x x ≠，所以等号不成立，即e ln 2x x >+，从而不等式得证22.已知平面上动点Q （x ，y ）到F （0，1）的距离比Q （x ，y ）到直线:2l y =-的距离小1，记动点Q （x ，y ）的轨迹为曲线．（1）求曲线C 的方程．（2）设点P 的坐标为（0，－1），过点P 作曲线C 的切线，切点为A ，若过点P 的直线m 与曲线C 交于M ，N 两点，证明：AFM AFN ∠=∠．【答案】（1）24x y =；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）由题意列出方程化简求解即可；（2）要使AFM AFN ∠=∠，只需0FM FN k k +=，利用斜率公式及根与系数的关系化简即可得证.【小问1详解】Q （x ，y ）21y =+-，当2y ≥-时，1y =+，平方可得24x y =，当2y <-时，3y =--，平方可得28(1)x y =+，由28(1)0x y =+≥可知1y ≥-，不合题意，舍去.综上可得24x y =，所以Q 的轨迹方程C 为24x y =．【小问2详解】不妨设2,(0)4t A t t ⎛⎫> ⎪⎝⎭，因为24x y =，所以2x y '=，从而直线PA 的斜率为24201t t t -+=，解得2t =，即A （2，1），又F （0，1），所以//AF x 轴．要使AFM AFN ∠=∠，只需0FM FN k k +=．设直线m 的方程为1y kx =-，代入24x y =并整理，得2440x kx -+=．首先，()21610k ∆=->，解得1k <-或1k >．其次，设1122(,),(,)M x y N x y ，则12124,4x x k x x +==，()()21121212121111FM FN x y x y y y k k x x x x -+---+=+=()()21121222x kx x kx x x -+-=()121222x x k x x +=-8204k k =-=，故AFM AFN ∠=∠.此时直线m 的斜率的取值范围为()(),11,-∞-⋃+∞．。
广西玉林市、柳州市普通高中2021届高三毕业班第二次高考模拟联合考试数学(文)试题及答案
绝密★启用前广西玉林市、柳州市普通高中2021届高三毕业班第二次高考模拟联合考试数学(文)试题(考试时间120分钟满分150分)注意：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.所有答案请在答题卡上作答，在本试卷和草稿纸上作答无效。
答题前请仔细阅读答题卡。
上的“注意事项”，按照“注意事项”的规定答题。
3.做选择题时，如需改动，请用橡皮将原选答案擦干净，再选涂其他答案。
第I卷(选择题，共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A＝{x∈N|2x－7≤0}，B＝{x|x2－2x－3≤0}，则A∩B＝A.{x|0<x≤3}B.{0，1，2，3}C.{x|－1≤x≤72} D.{1，2，3}2.复数z＝2i13i(i为虚数单位)的虚部是A.－35i B.15i C.15D.－353.已知向量a＝(m，1)，b＝(4，m－3)，则m＝4是a//b的A.充要条件B.既不充分也不必要条件C.必要不充分条件D.充分不必要条件4.已知偶函数g(x)在(0，＋∞)，上是减函数，若a＝g(－log26.1)，b＝g(20.7)，c＝g(3)，则a，b，c的大小关系为A.a>b>cB.c>b>aC.b>a>cD.b>c>a5.2020年，受新冠肺炎疫情的影响，在全国的许多地方都采取了在家线上学习的方式，此种方式对学生的自制力、自觉性有极高的要求。
某校某学习小组调查研究“学生线上学习时智能手机对学习成绩的影响”，得到了如下样本数据：附：22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++，n＝a＋b＋c＋d。
根据表中的数据，下列说法中正确的是A.有99.5%的把握认为中学生使用手机对学习无影响；B.有99.5%的把握认为中学生使用手机对学习有影响；C.在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为中学生使用手机对学习无影响；D.在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为中学生使用手机对学习有影响。
广西柳州市2024届高三第三次模拟考试数学试题含答案
柳州市2024届高三第三次模拟考试数学（考试时间120分钟满分150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有90%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，80%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是（）A ．70%B ．60%C ．50%D ．40%2．已知i 是虚数单位，若()()1i i a ++为实数，则实数a 的值为（）A ．1B ．2-C ．0D ．1-3．已知()()12,3,3,,1AB AC t BC ===，则AB BC ⋅= （）A ．3-B ．2-C ．2D ．34．在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述。
两颗星的星等与亮度满足12125lg 2E m m E -=，其中星等为k m 的星的亮度为()1,2k E k =，已知太阳的星等是26.7-，天狼星的星等是 1.45-，则太阳与天狼星的亮度的比值为（）A ．10.110B ．10.1C ．lg10.1D ．10.110-5．从5名志愿者中选派4人在星期六和星期日参加公益活动，每人一天，每天两人，则不同的选派方法共有（）A ．60种B ．48种C ．30种D ．10种6．已知,,,P A B C 是半径为2的球面上四点，ABC △为等边三角形且其面积为4，则三棱锥P ABC -体积的最大值为（）A ．334B ．934C．D ．153410．椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为e ，右焦点为(),0F c ，方程20ax bx c +-=的两个实根分别为1x 和2x ，则点()12,P x x （）A ．必在圆222x y +=内B ．必在圆222x y +=上C ．必在圆222x y +=外D ．与圆222x y +=的关系与e 有关8．设函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且对于任意的,x y R ∈，都有()()f x f y x y -<-，若函数()()g x f x x -=，则不等式()()2220g x x g x -+-<的解集是（）A ．()1,2-B ．()1,2C ．()(),12,-∞-+∞ D ．()(),12,-∞+∞ 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。
玉林、贵港、梧州市高考数学模拟试卷(文)含答案解析
广西玉林、贵港、梧州市高考数学模拟试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A={0，1，2，3，4}，B={x|x＜3}，则A∩B=（）A．{1，2}B．{2，3}C．{1，2，3}D．{0，1，2}2．复数z=的虚部为（）A．﹣2 B．2 C．﹣2i D．33．命题“若a2＜b，则﹣＜a＜”的逆否命题为（）A．若a2≥b，则a≥或a≤﹣B．若a2＞b，则a＞或a＜﹣C．若a≥或a≤﹣，则a2≥b D．若a＞或a＜﹣，则a2＞b4．已知sin（π﹣α）=，sin2α＞0，则tanα=（）A．B．C．D．25．已知变量x，y之间的线性回归方程为=﹣0.7x+10.3，且变量x，y之间的一组相关数据如表所示，则下列说法错误的是（）x 6 8 10 12y 6 m 3 2A．变量x，y之间呈现负相关关系B．m=4C．可以预测，当x=11时，y=2.6D．由表格数据知，该回归直线必过点（9，4）6．已知a=log20.3，b=log0.32，c=log0.80.4则（）A．c＞a＞b B．b＞c＞a C．c＞b＞a D．b＞a＞c7．已知函数y=2sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的图象上相邻两个最高点的距离为π，若将函数f（x）的图象向左平移个单位长度后，所得图象关于x=轴对称，则f（x）的解析式为（）A．f（x）=2sin（x+）B．f（x）=2sin（2x+）C．f（x）=2sin（x+）D．f（x）=2sin（2x+）8．若不等式组，表示的平面区域为D，则将D绕原点旋转一周所得区域的面积为（）A．30πB．28πC．26πD．25π9．若数列{a n}为各项都是正数的等比数列，且a2=2﹣，a7=2a3+a5，则数列{a n}的前10项和S10=（）A．15B．15 C．31D．3110．已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且当x≥0时，f（x）=log3（x+1），若f（a2﹣1）＜1，则实数a的取值范围是（）A．（﹣，）B．（﹣1，1）C．（﹣∞，﹣）∪（，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）11．网格纸上小正方形的边长为1，如图画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A．44 B．56 C．68 D．7212．已知双曲线C1：﹣y2=1，双曲线C2：﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，M是双曲线C2一条渐近线上的某一点，且OM⊥MF2，若C1，C2的离心率相同，且S=16，则双曲线C2的实轴长为（）A．4 B．8 C．16 D．32二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上13．已知平面向量，的夹角为，||=4，||=2，则|﹣2|=_______．14．运行如图程序框图若输入的n的值为3，则输出的n的值为_______．15．等差数列{a n}的前n项和为S n，若S8=8，a3=4．则的最小值为_______．16．若函数f（x）=|e x+|在[0，1]上单调递减，则实数a的取值范围是_______．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知acosB﹣c=．（1）求角A的大小；（2）若b﹣c=，a=3+，求BC边上的高．18．小明和小红进行一次答题比赛，共4局，每局10分，现将小明和小红的各局得分统计如表：小明 6 6 9 9小红7 9 6 10（1）求小明和小红在本次比赛中的平均得分x1，x2及方差，；（2）从小明和小红两人的4局比赛中随机各选取1局，并将小明和小红的得分分别记为a，b，求a≥b的概率．19．已知四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1⊥平面ABCD，底面ABCD为菱形．（1）若E为线段A1C1的中点，证明：BE⊥AC；（2）若A1B1=2，A1A=4，∠ADC=120°，求三棱锥B﹣AD1C的体积．20．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为，且（4，0）在椭圆C上，圆M：x2+y2=r2与直线l：y=8x的一个交点的横坐标为1．（1）求椭圆C的方程与圆M的方程；（2）已知A（m，n）为圆M上的任意一点，过点A作椭圆C的两条切线l1，l2．试探究直线l1，l2的位置关系，并说明理由．21．已知函数f（x）=x2﹣2（a2﹣a）lnx，g（x）=2a2lnx．（1）若a=2，求函数f（x）在（1，f（1））处的切线方程；（2）当a≤时，若f（x）＞2g（x）在（1，+∞）上恒成立，求实数a的取值范围．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，BC为圆O的直径，A为圆O上一点，过点A的直线与圆O相切，且与线段BC 的延长线交于点D，E为线段AC延长线上的一点，且ED∥AB．（1）求证AC•AD=AB•CD；（2）若DE=4，DC=5，求AD的长．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．已知曲线C的参数方程为，（α为参数），以坐标原点为极点，以x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，点A的极坐标为（2，）．（1）写出曲线C的极坐标方程，并求出曲线C在点（，1）处的切线l的极坐标方程；（2）若过点A的直线m与曲线C相切，求直线m的斜率k的值．[选修4-5：不等式选讲]24．已知m，n∈R+，且m＞n（1）若n＞1，比较m2+n与mn+m的大小关系，并说明理由；（2）若m+2n=1，求+的最小值．广西玉林、贵港、梧州市高考数学模拟试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A={0，1，2，3，4}，B={x|x＜3}，则A∩B=（）A．{1，2}B．{2，3}C．{1，2，3}D．{0，1，2}【考点】交集及其运算．【分析】直接根据交集的定义即可求出．【解答】解：集合A={0，1，2，3，4}，B={x|x＜3}，则A∩B={0，1，2}故选：D．2．复数z=的虚部为（）A．﹣2 B．2 C．﹣2i D．3【考点】复数代数形式的乘除运算；复数的基本概念．【分析】根据复数的运算法则，化简复数z，进而得到数z的虚部．【解答】解：z===﹣3﹣2i，则复数z=的虚部为﹣2，故选：A．3．命题“若a2＜b，则﹣＜a＜”的逆否命题为（）A．若a2≥b，则a≥或a≤﹣B．若a2＞b，则a＞或a＜﹣C．若a≥或a≤﹣，则a2≥b D．若a＞或a＜﹣，则a2＞b【考点】四种命题间的逆否关系．【分析】直接利用逆否命题与原命题的关系写出结果即可．【解答】解：命题“若a2＜b，则﹣＜a＜”的逆否命题为若a≥或a≤﹣，则a2≥b．故选：C．4．已知sin（π﹣α）=，sin2α＞0，则tanα=（）A．B．C．D．2【考点】三角函数的化简求值．【分析】判断角所在象限，求出余弦函数值，然后求解即可．【解答】解：sin（π﹣α）=，可得sinα=，sin2α＞0，所以cosα＞0，α是第一象限角，cosα==．∴tanα==．故选：B．5．已知变量x，y之间的线性回归方程为=﹣0.7x+10.3，且变量x，y之间的一组相关数据如表所示，则下列说法错误的是（）x 6 8 10 12y 6 m 3 2A．变量x，y之间呈现负相关关系B．m=4C．可以预测，当x=11时，y=2.6D．由表格数据知，该回归直线必过点（9，4）【考点】线性回归方程．【分析】求出，代入回归方程解出，列方程解出m．【解答】解：==9，∴=﹣0.7×9+10.3=4．∴，解得m=5．故选B．6．已知a=log20.3，b=log0.32，c=log0.80.4则（）A．c＞a＞b B．b＞c＞a C．c＞b＞a D．b＞a＞c【考点】对数值大小的比较．【分析】利用对数函数的单调性可得：a=log20.3＜log20.5=﹣1，b=log0.32∈（﹣1，0），c=log0.80.4＞0，即可得出．【解答】解：a=log20.3＜log20.5=﹣1，b=log0.32∈（﹣1，0），c=log0.80.4＞0，∴c＞b＞a，故选：C．7．已知函数y=2sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的图象上相邻两个最高点的距离为π，若将函数f（x）的图象向左平移个单位长度后，所得图象关于x=轴对称，则f（x）的解析式为（）A．f（x）=2sin（x+）B．f（x）=2sin（2x+）C．f（x）=2sin（x+）D．f（x）=2sin（2x+）【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】由周期求出ω，根据y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律、正弦函数的对称性，求出φ的值，可得函数的解析式．【解答】解：由题意知：=π，得ω=2，向左平移个单位长度后得f（x）=2sin（2x++φ），因为，所得图象关于x=轴对称，所以， ++φ=kπ+，k∈Z，所以，φ=kπ﹣，k∈Z，因为，0＜φ＜π，所以，φ=．可得f（x）的解析式为f（x）=2sin（2x+）．故选：B．8．若不等式组，表示的平面区域为D，则将D绕原点旋转一周所得区域的面积为（）A．30πB．28πC．26πD．25π【考点】简单线性规划．【分析】由题意作出可行域D，可得将D绕原点旋转一周所得区域为圆环，求出大圆的半径及小圆的半径，则答案可求．【解答】解：由约束条件作出平面区域D如图，联立，解得B（5，3）；联立，解得C（3，5）；又A（0，2），∴将D绕原点旋转一周所得区域为圆环，且大圆的半径为，小圆的半径为2．则圆环的面积为34π﹣4π=30π．故选：A．9．若数列{a n}为各项都是正数的等比数列，且a2=2﹣，a7=2a3+a5，则数列{a n}的前10项和S10=（）A．15B．15 C．31D．31【考点】等比数列的前n项和．【分析】利用等比数列的通项公式、求和公式即可得出．【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q＞0，∵a7=2a3+a5，∴=2×+a5，化为：q4﹣q2﹣2=0，解得q2=2，q=．∵a2=2﹣=a1×，解得a1=﹣1．则数列{a n}的前10项和S10==25﹣1=31，故选：D．10．已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且当x≥0时，f（x）=log3（x+1），若f（a2﹣1）＜1，则实数a的取值范围是（）A．（﹣，）B．（﹣1，1）C．（﹣∞，﹣）∪（，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）【考点】函数奇偶性的性质．【分析】根据函数的奇偶性不等式f（a2﹣1）＜1等价为f（|a2﹣1|）＜f（2），利用函数的单调性解不等式即可得到结论．【解答】解：由于函数y=f（x）的图象关于y轴对称，且在x≥0上为增函数，f（2）=1 ∴不等式f（a2﹣1）＜1等价为f（|a2﹣1|）＜f（2）即|a2﹣1|＜2，由此解得﹣＜a＜，故选：A．11．网格纸上小正方形的边长为1，如图画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A．44 B．56 C．68 D．72【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图知该几何体为一个长方体切掉一个三棱柱和一个棱锥得到的几何体，由三视图求出几何元素的长度，由柱体、锥体体积公式求出几何体的体积．【解答】解：由三视图可知，该几何体为一个长方体切掉一个三棱柱和一个棱锥得到的几何体，且长方体长、宽、高为4、4、6；三棱柱的底面是直角边分别为4、3的直角三角形，高为4；三棱柱的底面是直角边分别为2、4的直角三角形，高为3；∴该几何体的体积V=4×4×6﹣﹣=68，故选：C．12．已知双曲线C1：﹣y2=1，双曲线C2：﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，M是双曲线C2一条渐近线上的某一点，且OM⊥MF2，若C1，C2的离心率相同，且S=16，则双曲线C2的实轴长为（）A．4 B．8 C．16 D．32【考点】双曲线的简单性质．【分析】求得双曲线C1的离心率，求得双曲线C2一条渐近线方程为y=x，运用点到直线的距离公式，结合勾股定理和三角形的面积公式，化简整理解方程可得a=8，进而得到双曲线的实轴长．【解答】解：双曲线C1：﹣y2=1的离心率为，设F2（c，0），双曲线C2一条渐近线方程为y=x，可得|F2M|===b，即有|OM|==a，由S=16，可得ab=16，即ab=32，又a2+b2=c2，且=，解得a=8，b=4，c=4，即有双曲线的实轴长为16．故选：C．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上13．已知平面向量，的夹角为，||=4，||=2，则|﹣2|=．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】由条件即可求出，且，从而进行数量积的运算便可求出的值，从而便可得出的值．【解答】解：根据条件：；∴=16+16+16=16×3；∴．故答案为：．14．运行如图程序框图若输入的n的值为3，则输出的n的值为1．【考点】程序框图．【分析】计算循环中n与i的值，当i=7时满足判断框的条件，退出循环，输出结果即可．【解答】解：模拟执行程序，可得i=0，n=3执行循环体，满足条件n为奇数，n=10，i=1不满足条件i≥7，执行循环体，不满足条件n为奇数，n=5，i=2不满足条件i≥7，执行循环体，满足条件n为奇数，n=16，i=3不满足条件i≥7，执行循环体，不满足条件n为奇数，n=8，i=4不满足条件i≥7，执行循环体，不满足条件n为奇数，n=4，i=5不满足条件i≥7，执行循环体，不满足条件n为奇数，n=2，i=6不满足条件i≥7，执行循环体，不满足条件n为奇数，n=1，i=7满足条件i≥7，退出循环，输出n的值为1．故答案为：1．15．等差数列{a n}的前n项和为S n，若S8=8，a3=4．则的最小值为﹣4．【考点】等差数列的前n项和．【分析】设等差数列{a n}的公差为d，由S8=8，a3=4．利用等差数列的通项公式、求和公式可得a1，d，进而得到：a n，S n．代入=+n﹣15，再利用导数研究函数的单调性极值与最值即可得出．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，∵S8=8，a3=4．∴8a1+d=8，a1+2d=4，解得a1=8，d=﹣2．∴a n=8﹣2（n﹣1）=10﹣2n，S n==9n﹣n2．则==+n﹣15，令f（x）=﹣15，（x≥1）．f′（x）=1﹣=，可知：当x=时，f（x）取得最小值，又f（5）=6+5﹣15=﹣4，f（6）=5+6﹣15=﹣4．∴f（n）的最小值为﹣4．故答案为：﹣4．16．若函数f（x）=|e x+|在[0，1]上单调递减，则实数a的取值范围是（﹣∞，﹣e2]∪[e2，+∞）．【考点】函数单调性的性质．【分析】可看出，为去掉绝对值号，需讨论a：（1）a＞0时，得出，求导数，根据题意f′（x）≤0在x∈[0，1]上恒成立，从而得到a≥e2x在x∈[0，1]上恒成立，从而得出a≥e2；（2）a=0时，显然不满足题意；（3）a＜0时，可看出函数在R上单调递增，而由可解得，从而得出f（x）在上单调递减，从而便可得出，这又可求出一个a的范围，以上a的范围求并集便是实数a的取值范围．【解答】解：（1）当a＞0时，，；∵f（x）在[0，1]上单调递减；∴x∈[0，1]时，f′（x）≤0恒成立；即x∈[0，1]时，a≥e2x恒成立；y=e2x在[0，1]上的最大值为e2；∴a≥e2；（2）当a=0时，f（x）=e x，在[0，1]上单调递增，不满足[0，1]上单调递减；∴a≠0；（3）当a＜0时，在R上单调递增；令得，；∴f（x）在上为减函数，在上为增函数；又f（x）在[0，1]上为减函数；∴；∴a≤﹣e2；∴综上得，实数a的取值范围为（﹣∞，﹣e2]∪[e2，+∞）．故答案为：（﹣∞，﹣e2]∪[e2，+∞）．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知acosB﹣c=．（1）求角A的大小；（2）若b﹣c=，a=3+，求BC边上的高．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（Ⅰ）由正弦定理及三角函数恒等变换化简已知等式可得cosAsinB=sinB，由sinB ≠0，解得cosA，结合A的范围即可得解．（Ⅱ）由余弦定理可解得：，设BC边上的高为h，由，即可解得h的值．【解答】（本题满分为15分）解：（Ⅰ）由及正弦定理可得：，…因为sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB，所以，…因为sinB≠0，所以，…因为0＜A＜π，所以．…（Ⅱ）由余弦定理可知：，…所以：，解得：．…设BC边上的高为h，由，…得：，…解得：h=1．…18．小明和小红进行一次答题比赛，共4局，每局10分，现将小明和小红的各局得分统计如表：小明 6 6 9 9小红7 9 6 10（1）求小明和小红在本次比赛中的平均得分x1，x2及方差，；（2）从小明和小红两人的4局比赛中随机各选取1局，并将小明和小红的得分分别记为a，b，求a≥b的概率．【考点】极差、方差与标准差；列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】（1）根据题意，利用定义计算平均数与方差即可；（2）利用列举法计算基本事件数，求对应的概率即可．【解答】解：（1）根据题意，平均数x1==7.5，x2==8；=×（1.52×4）=2.25，=×（1×2+4×2）=2.5；…（2）记小明的4局比赛为A1，A2，A3，A4，各局的得分分别是6，6，9，9；小红的4局比赛为B1，B2，B3，B4，各局的得分分别是7，9，6，10；则从小明和小红的4局比赛中随机各选取1局，所有可能的结果有16种，它们是：（A1，B1），（A1，B2），（A1，B3），（A1，B4），（A2，B1），（A2，B2），（A2，B3），（A2，B4），（A3，B1），（A3，B2），（A3，B3），（A3，B4），（A4，B1），（A4，B2），（A4，B3），（A4，B4）；…其中满足条件的有：（A1，B3），（A2，B3），（A3，B1），（A3，B2），（A3，B3），（A4，B1），（A4，B2），（A4，B3）；…故所求的概率为．…19．已知四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1⊥平面ABCD，底面ABCD为菱形．（1）若E为线段A1C1的中点，证明：BE⊥AC；（2）若A1B1=2，A1A=4，∠ADC=120°，求三棱锥B﹣AD1C的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的性质．【分析】（1）连接BD，B1D1，通过证明AC⊥平面B1D1DB得出AC⊥BE；（2）利用菱形的性质计算S△ABC，于是=S△ABC•AA1．【解答】解：（1）连接BD，B1D1，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∵AA1⊥平面ABCD，BB1∥AA1，∴BB1⊥平面ABCD，∵AC⊂平面ABCD，∴BB1⊥AC，又BB1⊂平面BB1D1D，BD⊂平面BB1D1D，BD∩BB1=B，∴AC⊥平面BB1D1D，∵E是A′C′的中点，四边形A′B′C′D′是菱形，∴E是B1D1的中点，∴BE⊂平面BB1D1D，∴AC⊥BE．（2）∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC=A1B1=2，∠ABC=∠ADC=120°，∴S△ABC===，∴=S△ABC•AA1==．20．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为，且（4，0）在椭圆C上，圆M：x2+y2=r2与直线l：y=8x的一个交点的横坐标为1．（1）求椭圆C的方程与圆M的方程；（2）已知A（m，n）为圆M上的任意一点，过点A作椭圆C的两条切线l1，l2．试探究直线l1，l2的位置关系，并说明理由．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）由题意列关于a，b，c的方程组，求解方程组得到a，b的值，则椭圆方程可求；求得直线和圆的交点（1，8），即可得到圆的方程；（2）当过点A与椭圆C相切的一条切线的斜率不存在时，切线方程为x=±4，得到直线y=±7恰好为过点A与椭圆相切的另一条切线，于是两切线l1，l2互相垂直；当过点A（m，n）与椭圆C相切的切线的斜率存在时，设切线方程为y﹣n=k（x﹣m），联立直线方程和椭圆方程，得到关于x的一元二次方程，利用判别式等于0能推导出直线l1、l2始终相互垂直．【解答】解：（1）由题意得b=4，e==，又a2﹣c2=16，解得a=7，b=4，c=．∴椭圆C的方程为+=1；由题意可得圆M：x2+y2=r2与直线l：y=8x的一个交点为（1，8），即有r2=65，则圆M的方程：x2+y2=65；（2）如图，①当过点A与椭圆C： +=1相切的一条切线的斜率不存在时，此时切线方程为x=±4，∵点A在圆M：x2+y2=65上，则A（±4，±7），∴直线y=±7恰好为过点A与椭圆相切的另一条切线，于是两切线l1，l2互相垂直；②当过点A（m，n）与椭圆C相切的切线的斜率存在时，设切线方程为y﹣n=k（x﹣m），由，得（49+16k2）x2+32k（n﹣mk）x+16k2m2﹣32kmn+16n2﹣49×16=0，由于直线与椭圆相切，∴△=1024k2（n﹣mk）2﹣4（49+16k2）（16k2m2﹣32kmn+16n2﹣49×16）=0，整理，得（16﹣m2）k2+2mnk+49﹣n2=0，∴k1k2=，∵P（m，n）在圆x2+y2=65上，∴m2+n2=65，∴16﹣m2=n2﹣49，∴k1k2=﹣1，则两直线互相垂直．综上所述，直线l1、l2始终相互垂直．21．已知函数f（x）=x2﹣2（a2﹣a）lnx，g（x）=2a2lnx．（1）若a=2，求函数f（x）在（1，f（1））处的切线方程；（2）当a≤时，若f（x）＞2g（x）在（1，+∞）上恒成立，求实数a的取值范围．【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）求出函数的导数，求出切点坐标，切线斜率，即可得到所求切线方程．（2）通过，对∀x＞1恒成立；构造函数，求出导数求出极值点，判断函数的单调性，求解函数的最值，即可推出a的范围．【解答】解：（1）依题意，，故f'（1）=﹣2，因为f（1）=1，…故所求切线方程为y﹣1=﹣2（x﹣1），得y=﹣2x+3；…（2）依题意，因为x∈（1，+∞），故lnx＞0，故，对∀x＞1恒成立；…令，则，令h'（x）=0，得，当时，h（x）单调递减；时，h（x）单调递增…所以当时，h（x）取得最小值…∴…又∵，∴…请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，BC为圆O的直径，A为圆O上一点，过点A的直线与圆O相切，且与线段BC 的延长线交于点D，E为线段AC延长线上的一点，且ED∥AB．（1）求证AC•AD=AB•CD；（2）若DE=4，DC=5，求AD的长．【考点】相似三角形的性质．【分析】（1）证明△ABD∽△CAD，即可证明AC•AD=AB•CD；（2）若DE=4，DC=5，求出CE=3，利用三角函数求AD的长．【解答】（1）证明：∵AD切圆O于点A，∴∠B=∠CAD，∵∠ADB=∠CDA，∴△ABD∽△CAD，∴=，∴AC•AD=AB•CD；（2）解：∵BC是直径，∴∠BAC=90°，∵ED∥AB，∴∠DEC=∠BAC=90°，∠CDE=∠B，∴∠CAD=∠CDE，∵DE=4，DC=5，∴CE=3，∴sin∠CAD==sin∠CDE=，∴AD=．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．已知曲线C的参数方程为，（α为参数），以坐标原点为极点，以x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，点A的极坐标为（2，）．（1）写出曲线C的极坐标方程，并求出曲线C在点（，1）处的切线l的极坐标方程；（2）若过点A的直线m与曲线C相切，求直线m的斜率k的值．【考点】简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）曲线C的参数方程为，（α为参数），利用cos2α+sin2α=1，即可得出直角坐标方程，进而得出极坐标方程．点（，1）在曲线C上，故切线的斜率=﹣=﹣，即可得出切线方程，进而化为极坐标方程．（2）点A的极坐标化为直角坐标A，即A（2，2）．设过直线m的斜率为k，y=k（x﹣2）+2，利用直线与圆相切的性质即可得出．【解答】解：（1）曲线C的参数方程为，（α为参数），∵cos2α+sin2α=1，∴x2+y2=3．可得极坐标方程为：ρ2=3，即．∵点（，1）在曲线C上，故切线的斜率k=﹣=﹣，故切线的方程为：y﹣1=（x﹣），可得：x+y=3．即cosθ+ρsinθ=3．（2）点A的极坐标为（2，），化为直角坐标A，即A （2，2）．设过直线m的斜率为k，y=k（x﹣2）+2，∵直线与圆相切，∴=，∴k2﹣8k+1=0，解得k=4．[选修4-5：不等式选讲]24．已知m，n∈R+，且m＞n（1）若n＞1，比较m2+n与mn+m的大小关系，并说明理由；（2）若m+2n=1，求+的最小值．【考点】基本不等式．【分析】（1）作差法比较即可；（2）“乘1法”结合基本不等式的性质求出最小值即可．【解答】解：（1）由题意得：m2+n﹣（mn+m）=m2﹣mn+n﹣m=（m﹣1）（m﹣n），∵n＞1，故m＞1，故（m﹣1）（m﹣n）＞0，即m2+n＞mn+m；（2）由题意得：+=（+）（m+2n）=2+++2≥8，当且仅当m=2n=时“=”成立．9月12日。