一元二次方程与分式方程

——一元二次方程与分式方程

1．了解：一元二次方程的概念；一元二次方程的解；分式方程的概念.

2．理解：一元二次方程的解法；根的判别式；分式方程的增根.

3．会：识别一元二次方程；识别一个数是不是一元二次方程的解；判断一元二次方程根的情况；根与

系数的关系;识别分式方程；识别分式方程的增根；解分式方程.

4．掌握：由实际问题抽象出一元二次方程，一元二次方程的应用；分式方程的解法及其应用.

5．能：灵活选择适当的方法解一元二次方程；由实际问题抽象出分式方程.

1．从考查的题型来看，主要以解答题为主，占的分值比较大,属于中档题,少数题目以填空题或选择题的

形式考查.属于中档题.

2．从考查内容来看,涉及本知识点的重点有：一元二次方程的定义及解法；根的判别式；根与系数的关

系；分式方程与一元二次方程的实际应用

3．从考查热点来看,涉及本知识点的有:分式方程的增根问题;根与系数的关系;分式方程与一元二次方程

的解法及其实际应用.

1．一元二次方程

（1）判断方程是否是一元二次方程的方法：一元二次方程必须具备三个条件①必须是整式方程；②必须只含有1个未知数；③所含未知数的最高次数是2．（在一元二次方程的一般形式中要注意a≠0.因为当a=0时，不含有二次项，即不是一元二次方程）（2）一元二次方程的解法：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法

当给出一个一元二次方程时，如何选取上述方法更快更好的解方程：

i）若一元二次方程缺少常数项,且方程的右边为0,可考虑用因式分解法求解；

ii）若一元二次方程缺少一次项,可考虑用因式分解法或直接开平方法求解；

iii）若一元二次方程的二次项系数为1,且一次项的系数是偶数或常数项非常大,可考虑用配方法求解；

iiii）若用以上三种方法都不容易求解时,可考虑用公式法求解．用公式法求解时必须化为一般形式；用配方法求解时必须两边同时加上一次项的系数一半的平方．

温馨提示：若只是判断方程解的情况则根据一元二次方程的根的判别式判断即可．

应用一元二次方程的根的判别式时必须满足a≠0；一元二次方程有解分两种情况①有两个相等的实数根；②有两个不相等的实数根．

（4）一元二次方程的根与系数的关系

若一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根分别为x1，x2，则有x1+x2＝

b

a

，x1·x2＝

c

a

．

2．分式方程

分式方程的一般解法是：

（1）去分母，方程两边都乘以最简公分母

（2）解所得的整式方程

（3）验根：将所得的根代入最简公分母，若等于零，就是增根（增根的判别方法：i ）这个数是化成的整式方程的根；ii ）使最简公分母为零），应该舍去；若不等于零，就是原方程的根．

注意事项：解分式方程首先是将方程转化为整式方程求解，其次注意一定要验根．

3．用分式方程与一元二次方程解应用题的一般步骤

（1）审题，分析题中已知什么，未知什么，明确各量之间的关系，寻找等量关系．

（2）设未知数，一般求什么就设什么，但有时也可以间接设未知数．

（3）列方程，把相等关系左右两边的量用含有未知数的代数式表示出来，列出方程．

（4）解方程．

（5）检验，看方程的解是否符合题意．

（6）写出答案．

解应用题的书写格式：设→根据题意列方程→解这个方程→答．

1．（2015·重庆）一元二次方程2

20x x -=的根是 A.120,2x x ==- B.1

21,2x x == C.121,2x x ==- D.120,2x x == 2．（2015·天津）分式方程233x x

=-的解为 A.x = 0 B.x = 3 C.x =5

D.x = 9 3．（2015·广东）若关于x 的方程2904x

x a +-+=有两个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是 A.2a ≥ B.2a ≤

C.2a ＞

D.2a ＜ 4． （2015·安徽）我省2013年的快递业务量为1.4亿件，受益于电子商务发展和法治环境改善等多重因素，快递业务迅猛发展，2014

年增速位居全国第一．若2015年的快递业务量达到4.5亿件，设2014年与2013年这两年的平均增长率为x ，则下列方程正确的是

A.1.4（1＋x ）＝4.5

B.1.4（1＋2x ）＝4.5

C.1.4（1＋x ）2＝4.5

D.1.4（1＋x ）＋1.4（1＋x ）2＝4.5

5．（2015·北京）关于x 的一元二次方程2104

ax

bx ++=有两个相等的实数根，写出一组满足条件的实数a ，b 的值a ＝____，b ＝____.

6．（2015·四川自贡）利用一面墙（墙的长度不限），另三边用长58 m 的篱笆围成一个面积为

200 m 2的矩形场地.求矩形的长和宽.

7．（2015·陕西）解分式方程：23133x x x --=+-. 8．（2015·北京）为解决“最后一公里”的交通接驳问题，北京市投放了大量公租自行车供市民使用.到2013年底，全市已有公租自行车25 000辆，租赁点600个.预计到2015年底，全市将有公租自行车50 000辆，并且平均每个租赁点的公租自行车数量是2013年底平均每个租赁点的公租自行车数量的1.2倍.预计到2015年底，全市将有租赁点多少个?

9．（2015·河南）已知关于x 的一元二次方程(3)(2)x x m --=.

（1）求证：对于任意实数m ，方程总有两个不相等的实数根；

（2）若方程的一个根是1，求m 的值及方程的另一个根..

1．如果关于x 的一元二次方程22(21)10k

x k x -++=有两个不相等的实数根，那么k 的取值范围是 A.14k >- B.14k >-且0k ≠ C.14k <- D.14

k ≥-且0k ≠ 2．某厂接到加工720件衣服的订单，预计每天做48件，正好按时完成，后因客户要求提前5天交货，设每天应多做x 件，则x 应满足的方程为

A.

72072054848x -=+ B.72072054848x

+=+ C.720720548x -= D.72072054848x -=+ 3．已知点(12,2)P a a --关于原点的对称点在第一象限内，且a 为整数，则关于x 的分式方程

12x x a +=-的解是 A.3 B.1 C.5 D.不确定

4．） 关于x 的一元二次方程22(1)5320m x x m m -++-+=的常数项为0，则m 的值等于

A.1

B.2

C.1或2

D.0

5．股市规定：股票每天的涨、跌幅均不超过10%，即当涨了原价的10%后，便不能再涨，叫做涨停；当跌了原价的10%后，便不能再跌，叫做跌停．若一支股票某天跌停，之后两天时间又涨回到原价，若这两天此股票股价的平均增长率为

x ，则x 满足的方程是 ．

6．如果3-是分式方程

32a x a a x +=++的增根，则a = ． 7．已知αβ、是关于x 的一元二次方程22(23)0x m x m +++=的两个不相等的实数根，且满足11

1αβ+=-，则m 的值

是 .

8．有四张正面分别标有数字－3，0，1，5的不透明卡片，它们除数字外其余全部相同．现将它们背面朝上，洗匀后从中任取一张，

将该卡片上的数字记为a ，则使关于x 的分式方程11222ax x x

-+=--有正整数解的概率为 ．