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因式分解培优训练
因式分解强化训练因式分解常用方法：1、 提公因法 ：：ma+mb+mc=m(a+b+c)如果一个多项式的各项都含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式。
例1、 分解因式x -2x –x 解： x -2x -x=x(x -2x-1)2、运用公式法.在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：(1) (a+b)(a -b) = a 2-b 2 ---------a 2-b 2=(a+b)(a -b)；(2) (a ±b)2 = a 2±2ab+b 2 ——— a 2±2ab+b 2=(a ±b)2；下面再补充两个常用的公式：(3) (a+b)(a 2-ab+b 2) =a 3+b 3------ a 3+b 3=(a+b)(a 2-ab+b 2)；(4) (a -b)(a 2+ab+b 2) = a 3-b 3 ------a 3-b 3=(a -b)(a 2+ab+b 2)．(5)a 2+b 2+c 2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2；(6)a 3+b 3+c 3-3abc=(a+b+c)(a 2+b 2+c 2-ab -bc -ca)；例2、已知a b c ，，是ABC ∆的三边，且222a b c ab bc ca ++=++，则ABC ∆的形状是（ ）A.直角三角形 B 等腰三角形 C 等边三角形 D 等腰直角三角形解：222222222222a b c ab bc ca a b c ab bc ca ++=++⇒++=++ 222()()()0a b b c c a a b c ⇒-+-+-=⇒==3、分组分解法（一）分组后能直接提公因式例2、分解因式：bx by ay ax -+-5102解法一：第一、二项为一组； 解法二：第一、四项为一组；第三、四项为一组。
2022-2023学年初一数学第二学期培优专题训练29 分组分解法因式分解
专题29 分组分解法因式分解【例题讲解】将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法是因式分解中的分组分解法，一般的分组分解法有四种形式，即“2+2”分法、“3+1”分法、“3+2”分法及“3+3”分法等．如“2+2”分法：ax+ay+bx+by=（ax+ay ）+（bx+by ）=a （x+y ）+b （x+y ）=（x+y ）（a+b ）请你仿照以上方法，探索并解决下列问题：（1）分解因式：x 2﹣y 2﹣x ﹣y ；（2）分解因式：9m 2﹣4x 2+4xy ﹣y 2；（3）分解因式：4a 2+4a ﹣4a 2b 2﹣b 2﹣4ab 2+1． 试题解析：（1）x2﹣y2﹣x ﹣y=（x2﹣y2）﹣（x+y ）=（x+y ）（x ﹣y ）﹣（x+y ）=（x+y ）（x ﹣y ﹣1）；（2）9m2﹣4x2+4xy ﹣y2=9m2﹣（4x2﹣4xy+y2）=（3m ）2﹣（2x ﹣y ）2=（3m+2x ﹣y ）（3m ﹣2x+y ）；（3）4a2+4a ﹣4a2b2﹣b2﹣4ab2+1=（2a+1）2﹣b2（2a+1）2=（2a+1）2（1+b ）（1﹣b ）．【综合解答】1．先阅读以下材料，然后解答问题，分解因式．mx nx my ny +++()()mx nx my ny =+++()()x m n y m n =+++()()m n x y =++；也可以mx nx my ny +++()()mx my nx ny =+++()()m x y n x y =+++()()m n x y =++．以上分解因式的方法称为分组分解法，(1)请用分组分解法分解下列因式：①2()--+a x y x y②2244x y x --+(2)拓展延伸①若22228160x xy y x -+-+=求x ，y 的值；②求当x 、y 分别为多少时？代数式22512986x xy y x -+++有最小的值，最小的值是多少？2．先阅读下列材料：我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、拆项法、十字相乘法等等．分组分解法：将一个多项式适当分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法．如：()()()()ax by bx ay ax bx ay by x a b y a b +++=+++=+++()()22222121()1(1)2(1)a b x y x y x x xy y x x y y y x y -+=++-=+-=+++=+-++拆项法：将一个多项式的某一项拆成两项后，可提公因式或运用公式继续分解的方法．如：222223214(1)2(12)(12)(3)(1)x x x x x x x x x +-=++-=+-=+++-=+-请你仿照以上方法，探索并解决下列问题：(1)分解因式：2244a a b --+；(2)分解因式：267x x --；(3)若ABC 三边a 、b 、c 满足20a ab ac bc --+=，试判断ABC 的形状．3．先阅读材料：分解因式：22326a b a b -+-．解：22326a b a b -+-()223(26)a b a b =-+-2(3)2(3)a b b =-+-()2(3)2b a =-+以上解题过程中用到了“分组分解法”，即把多项式先分组，再分解．请你运用这种方法对下面多项式分解因式：2233x x y y +-+．4．阅读下列材料：因式分解的常用方法有提公因式法和公式法，但有的多项式仅用上述方法就无法分解，如22216x xy y -+-．我们细心观察这个式子就会发现，前三项符合完全平方公式，进行变形后可以与第四项结合再运用平方差公式进行分解，过程如下：22216x xy y -+-2()16x y =--(4)(4)x y x y =-+--．这种因式分解的方法叫分组分解法．利用这种分组的思想方法解决下列问题：(1)因式分解：226925a ab b -+-；(2)因式分解：22424x y x y --+．5．将一个多项式分组后，可提取公因式或运用公式继续分解的方法是分组分解法.例如，()()()()()()am an bm bn am an bm bn a m n b m n a b m n +++=+++=+++=++(1)因式分解：①22x y x y -++；②1ab a b --+；(2)若a ，b 都是正整数且满足60ab a b ---=，求2a b +的值．6．（1）将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法是分组分解法．例如：()()()()()()am an bm bn am an bm bn a m n b m n a b m n +++=+++=+++=++．①分解因式：1ab a b --+；②若,a b ()a b >都是正整数且满足40ab a b ---=，求a b +的值；（2）若,a b 为实数且满足40ab a b ---=，225332s a ab b a b =+++-，求s 的最小值．7．观察“探究性学习”小组甲、乙两名同学进行的因式分解：甲：244x xy x y -+-()2(44)x xy x y =-+-（分成两组） ()4()x x y x y =-+-（直接提公因式）()(4)x y x =-+．乙：2222a b c bc --+()2222a b c bc =-+-（分成两组）22()a b c =--（直接运用公式）()()a b c a b c =+--+（再用平方差公式）请你在他们解法的启发下，把下列各式分解因式：（1）32248m m m --+（2）2229x xy y -+-．8．阅读理解：如何将326xy x y +++进行因式分解呢？小明同学是这样做的：326xy x y +++(3)(26)xy x y =+++(3)2(3)x y y =+++(2)(3)x y =++我们把这种将多项式先分组，分别变形，再进行分解因式的方法叫分组分解法．【尝试应用】借助上述方法因式分解①5420xy x y +++=__________；②8972ab a b +--=__________；③xy ax by ab +++=___________；【拓展提高】若整数x ，y 满足64970xy x y +--=，求x ，y 的值．9．用分组分解法分解下列因式：（1）2a ab ac bc -+-（2）222ax by cx ay bx cy ++---（3）22am am bm bm +--（4）321a a a --+（5）222a ab b a b -++-（6）22296x z y xy -+-10．把下列多项式分解因式：（1）22442a ab b ac bc ++--（2）222ax bx bx ax cx cx +++++（3）222222a b x y ay bx --+-+（4）()()()222241211y x y x y +--+- 11．请先阅读下列文字与例题，再回答后面的问题：当因式分解中，无法直接运用提取公因式和乘法公式时，我们往往可以尝试一个多项式分组后，再运用提取公因式或乘法公式继续分解的方法是分组分解法．例如：（1）am an bm bn +++=()()am an bm bn +++=()()a m n b m n +++=()()m n a b ++（2）2221x y y ---=()2221x y y -++ =()221x y -+=()()11x y x y ++--（1）根据上面的知识，我们可以将下列多项式进行因式分解： ax ay bx by --+=(_____________)-(____________)=(_____________)-(____________)=(_____________)(_____________)；22x y x y -+-=(_____________)+(____________)=(_____________)+(____________)=(_____________)(______________)．（2）分解下列因式：①ab ac b c -+-；②222496b a ac c -+-+．12．观察下面的分解因式过程，说说你发现了什么.例：把多项式am ＋an ＋bm ＋bn 分解因式.解法1：am ＋an ＋bm ＋bn＝（am ＋an ）＋（bm ＋bn ）＝ a （m ＋n ）＋b （m ＋n ）＝（m ＋n ）（a ＋b ）.解法2：am ＋an ＋bm ＋bn＝（am ＋bm ）＋（an ＋bn ）＝ m （a ＋b ）＋n （a ＋b ）＝（a ＋b ）（m ＋n ）.根据你的发现，把下面的多项式分解因式:(1)mx －my ＋nx －ny ；(2)2a ＋4b －3ma －6mb.13．先阅读下面的材料，再分解因式．要把多项式am an bm bn +++分解因式，可以先把它的前两项分成组，并提出a ，把它的后两项分成组，并提出b ，从而得()()am an bm bn a m n b m n +++=+++．这时，由于()()a m n b m n +++中又有公因式()m n +，于是可提公因式()m n +，从而得到()()m n a b ++，因此有+++am an bm bn()()=+++am an bm bn()()a m nb m n=+++()()=++．m n a b这种因式分解的方法叫做分组分解法，如果把一个多项式各个项分组并提出公因式后，它们的另一个因式正好相同，那么这个多项式就可以利用分组分解法来因式分解．请用上面材料中提供的方法因式分解：()2-+-1ab ac bc b()()=（请你完成分解因式下面的过程）---a b c b b c=______()2-+-；2m mn mx nx()222--+．x y x y y3248专题29 分组分解法因式分解【例题讲解】将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法是因式分解中的分组分解法，一般的分组分解法有四种形式，即“2+2”分法、“3+1”分法、“3+2”分法及“3+3”分法等．如“2+2”分法：ax+ay+bx+by=（ax+ay ）+（bx+by ）=a （x+y ）+b （x+y ）=（x+y ）（a+b ）请你仿照以上方法，探索并解决下列问题：（1）分解因式：x 2﹣y 2﹣x ﹣y ；（2）分解因式：9m 2﹣4x 2+4xy ﹣y 2；（3）分解因式：4a 2+4a ﹣4a 2b 2﹣b 2﹣4ab 2+1． 试题解析：（1）x2﹣y2﹣x ﹣y=（x2﹣y2）﹣（x+y ）=（x+y ）（x ﹣y ）﹣（x+y ）=（x+y ）（x ﹣y ﹣1）；（2）9m2﹣4x2+4xy ﹣y2=9m2﹣（4x2﹣4xy+y2）=（3m ）2﹣（2x ﹣y ）2=（3m+2x ﹣y ）（3m ﹣2x+y ）；（3）4a2+4a ﹣4a2b2﹣b2﹣4ab2+1=（2a+1）2﹣b2（2a+1）2=（2a+1）2（1+b ）（1﹣b ）．【综合解答】1．先阅读以下材料，然后解答问题，分解因式．mx nx my ny +++()()mx nx my ny =+++()()x m n y m n =+++()()m n x y =++；也可以mx nx my ny +++()()mx my nx ny =+++()()m x y n x y =+++()()m n x y =++．以上分解因式的方法称为分组分解法，(1)请用分组分解法分解下列因式：①2()--+a x y x y②2244x y x --+(2)拓展延伸①若22228160x xy y x -+-+=求x ，y 的值；②求当x 、y 分别为多少时？代数式22512986x xy y x -+++有最小的值，最小的值是多少？ ①222x xy -22xy y ++)(24y x +-)20y =，(②2512x xy -2412x xy -()23x y -(23x y ∴-23x y ∴=83y ∴=-，2．先阅读下列材料：我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、拆项法、十字相乘法等等．分组分解法：将一个多项式适当分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法．如：()()()()ax by bx ay ax bx ay by x a b y a b +++=+++=+++()()22222121()1(1)2(1)a b x y x y x x xy y x x y y y x y -+=++-=+-=+++=+-++拆项法：将一个多项式的某一项拆成两项后，可提公因式或运用公式继续分解的方法．如：222223214(1)2(12)(12)(3)(1)x x x x x x x x x +-=++-=+-=+++-=+-请你仿照以上方法，探索并解决下列问题：(1)分解因式：2244a a b --+；(2)分解因式：267x x --；(3)若ABC 三边a 、b 、c 满足20a ab ac bc --+=，试判断ABC 的形状．【答案】(1)(2)(2)a b a b +---(2)(7)(1)x x -+(3)等腰三角形，理由见解析【分析】（1）将一、二、四项结合用完全平方公式分解因式，然后再用平方差公式分解因式；（2）把-6x 拆成-7x +x ，再用分组分解法进行解答；（2）先把等式左边分解成因式的积，根据积为0的因式的特点得出a 、b 、c 之间的关系便可．【解答】（1）2244a a b --+=a 2-4a +4-b 2=（a -2）2-b 2=（a +b -2）（a -b -2）；（2）267x x --=x 2-7x +x -7=x （x -7）+（x -7）=（x -7）（x +1）（3）∵a 2-ab -ac +bc =0，∴a （a -b ）-c （a -b ）=0，∴（a -b ）（a -c ）=0，∴a -b =0或a -c =0，∴a =b 或a =c ，∴△ABC 是等腰三角形．【点评】本题考查了因式分解的应用，等腰三角形的定义，掌握每一种因式分解的方法在不同题型中的熟练应用是解题关键．3．先阅读材料：分解因式：22326a b a b -+-．解：22326a b a b -+-()223(26)a b a b =-+-2(3)2(3)a b b =-+-()2(3)2b a =-+以上解题过程中用到了“分组分解法”，即把多项式先分组，再分解．请你运用这种方法对下面多项式分解因式：2233x x y y +-+．【答案】见解析【分析】仿照例题，利用分组分解法因式分解，然后利用公式法和提公因式法因式分解即可求解．【解答】解：2233x x y y +-+()()2233x y x y =-++ ()()()3x y x y x y =+-++()()3x y x y =+-+【点评】本题考查了因式分解，理解例题中的分组分解法是解题的关键．4．阅读下列材料：因式分解的常用方法有提公因式法和公式法，但有的多项式仅用上述方法就无法分解，如22216x xy y -+-．我们细心观察这个式子就会发现，前三项符合完全平方公式，进行变形后可以与第四项结合再运用平方差公式进行分解，过程如下：22216x xy y -+-2()16x y =--(4)(4)x y x y =-+--．这种因式分解的方法叫分组分解法．利用这种分组的思想方法解决下列问题：(1)因式分解：226925a ab b -+-；(2)因式分解：22424x y x y --+． 【答案】(1)()()3535a b a b ---+(2)()()222x y x y -+-【分析】（1）先将代数式进行分组，然后再根据公式法和提取公因式法进行因式分解即可；（2）先将代数式进行分组，然后再根据公式法和提取公因式法进行因式分解即可．（1）解：226925a ab b -+-，()22=6925a ab b -+-，()22=35a b --， ()()3535=a b a b ---+；（2）解：22424x y x y --+，()()22=42-4x y x y --，()()()=2+22-2x y x y x y --，()()222=x y x y -+-．【点评】本题考查了用分组分解法对超过3项的多项式进行因式分解，合理分组是解题的关键，综合运用因式分解的几种方法是重难点．5．将一个多项式分组后，可提取公因式或运用公式继续分解的方法是分组分解法.例如，()()()()()()am an bm bn am an bm bn a m n b m n a b m n +++=+++=+++=++(1)因式分解：①22x y x y -++；②1ab a b --+；(2)若a ，b 都是正整数且满足60ab a b ---=，求2a b +的值． 【答案】(1)①(x +y )(x -y +1)；②(a -1)(b -1)(2)12或18【分析】（1）模仿例题，利用分组分解法进行因式分解即可；（2）利用（1）题结论进行讨论，即可求解．(1)解：①原式=(x +y )(x -y )+ (x +y )=(x +y )(x -y +1)；②原式=a (b -1)- (b -1)=(a -1)(b -1)；(2)解：由（1）②可知，(a -1)(b -1)=7，∵a ，b 都是正整数，∴a -1，b -1都是整数，∴1117a b -=⎧⎨-=⎩或1711a b -=⎧⎨-=⎩， 解得28a b =⎧⎨=⎩或82a b =⎧⎨=⎩， 当a =2，b =8时，2a +b =2×2+8=12；当a =8，b =2时，2a +b =2×8+2=18；∴2a +b 的值为12或18．【点评】此题考查了因式分解以及利用因式分解求代数式的值的能力，关键是正确地对整式进行因式分解．6．（1）将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法是分组分解法．例如：()()()()()()am an bm bn am an bm bn a m n b m n a b m n +++=+++=+++=++．①分解因式：1ab a b --+；②若,a b ()a b >都是正整数且满足40ab a b ---=，求a b +的值；（2）若,a b 为实数且满足40ab a b ---=，225332s a ab b a b =+++-，求s 的最小值．7．观察“探究性学习”小组甲、乙两名同学进行的因式分解：甲：244x xy x y -+-()2(44)x xy x y =-+-（分成两组）()4()x x y x y =-+-（直接提公因式）()(4)x y x =-+．乙：2222a b c bc --+()2222a b c bc =-+-（分成两组）22()a b c =--（直接运用公式）()()a b c a b c =+--+（再用平方差公式）请你在他们解法的启发下，把下列各式分解因式：（1）32248m m m --+（2）2229x xy y -+-． 【答案】（1）2(2)(2)m m -+；（2）(3)(3)x y x y -+--【分析】（1）先分组因式分解，再提公因式即可求解；（2）先分组因式分解，再利用平方差公式即可求解．【解答】解：（1）原式22(2)4(2)(2)(2)m m m m m =---=-+；（2）原式2()9(3)(3)x y x y x y =--=-+--．【点评】此题主要考查因式分解，解题的关键是根据题中的方法进行灵活运用进行因式分解．8．阅读理解：如何将326xy x y +++进行因式分解呢？小明同学是这样做的：326xy x y +++(3)(26)xy x y =+++(3)2(3)x y y =+++(2)(3)x y =++我们把这种将多项式先分组，分别变形，再进行分解因式的方法叫分组分解法．【尝试应用】借助上述方法因式分解①5420xy x y +++=__________；②8972ab a b +--=__________；③xy ax by ab +++=___________；【拓展提高】若整数x ，y 满足64970xy x y +--=，求x ，y 的值． 【答案】[尝试应用] ①()()45x y ++；②()()98a b -+；③()()x b a y ++；[拓展提高] x =1，y =-1【分析】[尝试应用] ①②③利用分组分解法解答即可；[拓展提高]原方程变形为：（2x -3）（3y +2）=1，根据题意有2x -3=1，3y +2=1，或2x -3=-1，3y +2=-1，即可求出方程的整数解．【解答】解：[尝试应用]①5420xy x y +++=()()545x y y +++=()()45x y ++；9．用分组分解法分解下列因式：（1）2a ab ac bc -+-（2）222ax by cx ay bx cy ++---（3）22am am bm bm +--（4）321a a a --+（5）222a ab b a b -++-（6）22296x z y xy -+-【答案】（1）()()a c a b +-；（2）()()2x y a b c --+；（3）()()1m a b m -+；（4）()()211a a +-；（5）()()1a b a b --+；（6）()()33x y z x y z -+--【分析】利用分组分解法运算即可．【解答】解：（1）2a ab ac bc -+-=()()a a b c a b -+-=()()a c a b +-；（2）222ax by cx ay bx cy ++---=222ax bx cx by ay cy -++--=()()2a b c x y a b c -+--+=()()2x y a b c --+；（3）22am am bm bm +--=22am bm am bm -+-=()()2a b m a b m -+- =()()1m a b m -+；（4）321a a a --+=()()321a a a ---=()()2211a a a ---=()()211a a +-；（5）222a ab b a b -++-=()()2a b a b -+-=()()1a b a b --+；（6）22296x z y xy -+-=22296x xy y z -+-=()223x y z --=()()33x y z x y z -+--【点评】本题考查了因式分解，熟练掌握分组分解法是解此题的关键．10．把下列多项式分解因式：（1）22442a ab b ac bc ++--（2）222ax bx bx ax cx cx +++++（3）222222a b x y ay bx --+-+（4）()()()222241211y x y x y +--+- 【答案】（1）()()22a b c a b +-+；（2）()()1x x a b c +++；（3）()()x a b y x a b y ---++--；（4）()2221x y x y -++ 【分析】（1）（2）（3）利用分组分解法分解即可；（4）利用完全平方公式分解即可．【解答】解：（1）22442a ab b ac bc ++--=()()222a b c a b +-+=()()22a b c a b +-+；（2）222ax bx bx ax cx cx +++++=()()222ax bx cx ax bx cx +++++ =()()2a b c x a b c x +++++=()()1x x a b c +++；（3）222222a b x y ay bx --+-+=()222222a ay y b x bx -+-+-=()()22a yb x ---=()()()()a y b x a y b x -+----⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦=()()x a b y x a b y ---++--；（4）()()()222241211y x y x y +--+- =()()()()222412111y x y y x y +-+-+-=()()2211y x y ⎡⎤+--⎣⎦ =()2221x y x y -++ 【点评】本题考查了因式分解，解题的关键是根据所给代数式的形式灵活选择方法．11．请先阅读下列文字与例题，再回答后面的问题：当因式分解中，无法直接运用提取公因式和乘法公式时，我们往往可以尝试一个多项式分组后，再运用提取公因式或乘法公式继续分解的方法是分组分解法．例如：（1）am an bm bn +++=()()am an bm bn +++=()()a m n b m n +++=()()m n a b ++（2）2221x y y ---=()2221x y y -++ =()221x y -+=()()11x y x y ++--（1）根据上面的知识，我们可以将下列多项式进行因式分解： ax ay bx by --+=(_____________)-(____________)=(_____________)-(____________)=(_____________)(_____________)；22x y x y -+-=(_____________)+(____________)=(_____________)+(____________)=(_____________)(______________)．（2）分解下列因式：①ab ac b c -+-；②222496b a ac c -+-+．【答案】（1）ax ay -；bx by -；()a x y -；()-b x y ；x y -；a b -；22x y -；x y -；()()x y x y -+；x y -；x y -；1x y ++；（2）①()()1-+b c a ；②()()3232-+--a c b a c b【分析】（1）利用分组分解法结合提公因式法和平方差公式因式分解即可；（2）①利用分组分解法结合提公因式法因式分解即可；②利用分组分解法结合公式法因式分解即可；【解答】解：（1）ax ay bx by --+=(ax ay -)-(bx by -)=()a x y --()-b x y = (x y -)(a b -)；22x y x y -+-=(22x y -)+(x y -)=()()x y x y -+ +(x y -)=()()1-++x y x y故答案为：ax ay -；bx by -；()a x y -；()-b x y ；x y -；a b -；22x y -；x y -；()()x y x y -+；x y -；x y -；1x y ++；（2）①ab ac b c -+-=()()-+-a b c b c=()()1-+b c a②222496b a ac c -+-+=()222496-+-+b a ac c =()2234--a c b=()()3232-+--a c b a c b【点评】此题考查的是因式分解，掌握利用分组分解法结合提公因式法和公式法因式分解是解决此题的关键．12．观察下面的分解因式过程，说说你发现了什么.例：把多项式am ＋an ＋bm ＋bn 分解因式.解法1：am ＋an ＋bm ＋bn＝（am ＋an ）＋（bm ＋bn ）＝ a （m ＋n ）＋b （m ＋n ）＝（m ＋n ）（a ＋b ）.解法2：am ＋an ＋bm ＋bn＝（am ＋bm ）＋（an ＋bn ）＝ m （a ＋b ）＋n （a ＋b ）＝（a ＋b ）（m ＋n ）.根据你的发现，把下面的多项式分解因式:(1)mx －my ＋nx －ny ；(2)2a ＋4b －3ma －6mb.【答案】（1）（x －y ）（m ＋n ）；（2）（a ＋2b ）（2-3m ）【分析】(1)分组后提取公因式即可得到结果；(2)分组后提取公因式即可得到结果．【解答】解：(1)解法一：原式=m(x-y)+n(x-y)=(x-y)(m+n)解法二：原式=(mx+nx)-(my+ny)=x(m+n)-y(m+n)=(m+n)(x-y)(2)解法一：原式=2(a+2b)-3m(a+2b)=(a+2b)(2-3m)解法二：原式=(2a-3ma)+(4b-6mb)=a(2-3m)+2b(2-3m)=(2-3m)(a+2b)【点评】此题考查了因式分解-分组分解法，难点是采用两两分组还是三一分组．13．先阅读下面的材料，再分解因式．要把多项式am an bm bn +++分解因式，可以先把它的前两项分成组，并提出a ，把它的后两项分成组，并提出b ，从而得()()am an bm bn a m n b m n +++=+++．这时，由于()()a m n b m n +++中又有公因式()m n +，于是可提公因式()m n +，从而得到()()m n a b ++，因此有am an bm bn +++()()am an bm bn =+++()()a m n b m n =+++()()m n a b =++．这种因式分解的方法叫做分组分解法，如果把一个多项式各个项分组并提出公因式后，它们的另一个因式正好相同，那么这个多项式就可以利用分组分解法来因式分解．请用上面材料中提供的方法因式分解：()21ab ac bc b -+-()()a b c b b c ---=（请你完成分解因式下面的过程）=______()22m mn mx nx -+-；()2223248x y x y y --+． 【答案】(1)()()a b b c --；(2) （m +x ）（m -n ）；(3) （y -2）（x 2y -4）．【分析】如果把一个多项式各个项分组并提出公因式后，它们的另一个因式正好相同，那么这个多项式就可以利用分组分解法来因式分解．依此即可求解．【解答】解：（1）ab -ac +bc -b 2=a （b -c ）-b （b -c ）=（a -b ）（b -c ）；故答案为（a-b）（b-c）．（2）m2-mn+mx-nx=m（m-n）+x（m-n）=（m+x）（m-n）；（3）x2y2-2x2y-4y+8=x2y（y-2）-4（y-2）=（y-2）（x2y-4）．【点评】考查了因式分解-提公因式法，因式分解-分组分解法，本题采用两两分组的方式．。
初中数学因式分解培优训练
第一讲：因式分解(一)多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具．因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用．初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．本讲及下一讲在中学数学教材基础上，对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍．1．运用公式法在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：(1)a2-b2=(a+b)(a-b)；(2)a2±2ab+b2=(a±b)2；(3)a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)；(4)a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)．下面再补充几个常用的公式：(5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2；(6)a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)；(7)a n-b n=(a-b)(a n-1+a n-2b+a n-3b2+…+ab n-2+b n-1)其中n 为正整数；(8)a n-b n=(a+b)(a n-1-a n-2b+a n-3b2-…+ab n-2-b n-1)，其中n为偶数；(9)a n+b n=(a+b)(a n-1-a n-2b+a n-3b2-…-ab n-2+b n-1)，其中n为奇数．运用公式法分解因式时，要根据多项式的特点，根据字母、系数、指数、符号等正确恰当地选择公式．例1 分解因式：(1)-2x5n-1y n+4x3n-1y n+2-2x n-1y n+4；(2)x3-8y3-z3-6xyz；(3)a2+b2+c2-2bc+2ca-2ab；(4)a7-a5b2+a2b5-b7．n-1n4224=-2x n-1y n(x2n-y2)2=-2x n-1y n(x n-y)2(x n+y)2．(2)原式=x3+(-2y)3+(-z)3-3x(-2y)(-Z)=(x-2y-z)(x2+4y2+z2+2xy+xz-2yz)．(3)原式=(a2-2ab+b2)+(-2bc+2ca)+c2＝(a-b)2+2c(a-b)+c2=(a-b+c)2．本小题可以稍加变形，直接使用公式(5)，解法如下：原式=a2+(-b)2+c2+2(-b)c+2ca+2a(-b)=(a-b+c)2(4)原式=(a7-a5b2)+(a2b5-b7)=a5(a2-b2)+b5(a2-b2)=(a2-b2)(a5+b5)=(a+b)(a-b)(a+b)(a4-a3b+a2b2-ab3+b4)=(a+b)2(a-b)(a4-a3b+a2b2-ab3+b4) 例2 分解因式：a3+b3+c3-3abc．本题实际上就是用因式分解的方法证明前面给出的公式(6)．分析我们已经知道公式(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3的正确性，现将此公式变形为a3+b3=(a+b)3-3ab(a+b)．这个式也是一个常用的公式，本题就借助于它来推导．解原式=(a+b)3-3ab(a+b)+c3-3abc=［(a+b)3+c3］-3ab(a+b+c)=(a+b+c)［(a+b)2-c(a+b)+c2]-3ab(a+b+c)=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)．说明公式(6)是一个应用极广的公式，用它可以推出很多有用的结论，例如：我们将公式(6)变形为a3+b3+c3-3abc显然，当a+b+c=0时，则a3+b3+c3=3abc；当a+b+c ＞0时，则a3+b3+c3-3abc≥0，即a3+b3+c3≥3abc，而且，当且仅当a=b=c时，等号成立．如果令x=a3≥0，y=b3≥0，z=c3≥0，则有等号成立的充要条件是x=y=z．这也是一个常用的结论．例3 分解因式：x15+x14+x13+…+x2+x+1．分析这个多项式的特点是：有16项，从最高次项x15开始，x的次数顺次递减至0，由此想到应用公式a n-b n来分解．解因为x16-1=(x-1)(x15+x14+x13+…x2+x+1)，所以说明在本题的分解过程中，用到先乘以(x-1)，再除以(x-1)的技巧，这一技巧在等式变形中很常用．2．拆项、添项法因式分解是多项式乘法的逆运算．在多项式乘法运算时，整理、化简常将几个同类项合并为一项，或将两个仅符号相反的同类项相互抵消为零．在对某些多项式分解因式时，需要恢复那些被合并或相互抵消的项，即把多项式中的某一项拆成两项或多项，或者在多项式中添上两个仅符合相反的项，前者称为拆项，后者称为添项．拆项、添项的目的是使多项式能用分组分解法进行因式分解．例4 分解因式：x3-9x+8．分析本题解法很多，这里只介绍运用拆项、添项法分解的几种解法，注意一下拆项、添项的目的与技巧．解法1 将常数项8拆成-1+9．原式=x3-9x-1+9=(x3-1)-9x+9=(x-1)(x2+x+1)-9(x-1)解法2 将一次项-9x拆成-x-8x．原式=x3-x-8x+8=(x3-x)+(-8x+8)=x(x+1)(x-1)-8(x-1)=(x-1)(x2+x-8)．解法3 将三次项x3拆成9x3-8x3．原式=9x3-8x3-9x+8=(9x3-9x)+(-8x3+8)=9x(x+1)(x-1)-8(x-1)(x2+x+1)=(x-1)(x2+x-8)．解法4 添加两项-x2+x2．原式=x3-9x+8=x3-x2+x2-9x+8=x2(x-1)+(x-8)(x-1)=(x-1)(x2+x-8)．说明由此题可以看出，用拆项、添项的方法分解因式时，要拆哪些项，添什么项并无一定之规，主要的是要依靠对题目特点的观察，灵活变换，因此拆项、添项法是因式分解诸方法中技巧性最强的一种．例5 分解因式：(1)x9+x6+x3-3；(2)(m2-1)(n2-1)+4mn；(3)(x+1)4+(x2-1)2+(x-1)4；(4)a3b-ab3+a2+b2+1．解 (1)将-3拆成-1-1-1．原式=x9+x6+x3-1-1-1=(x9-1)+(x6-1)+(x3-1)=(x3-1)(x6+x3+1)+(x3-1)(x3+1)+(x3-1)=(x3-1)(x6+2x3+3)=(x-1)(x2+x+1)(x6+2x3+3)．(2)将4mn拆成2mn+2mn．原式=(m2-1)(n2-1)+2mn+2mn=m2n2-m2-n2+1+2mn+2mn=(m2n2+2mn+1)-(m2-2mn+n2)=(mn+1)2-(m-n)2=(mn+m-n+1)(mn-m+n+1)．原式=(x+1)4+2(x2-1)2-(x2-1)2+(x-1)4=［(x+1)4+2(x+1)2(x-1)2+(x-1)4]-(x2-1)2=［(x+1)2+(x-1)2]2-(x2-1)2=(2x2+2)2-(x2-1)2=(3x2+1)(x2+3)．(4)添加两项+ab-ab．原式=a3b-ab3+a2+b2+1+ab-ab=(a3b-ab3)+(a2-ab)+(ab+b2+1)=ab(a+b)(a-b)+a(a-b)+(ab+b2+1)=a(a-b)［b(a+b)+1]+(ab+b2+1)=[a(a-b)+1](ab+b2+1)=(a2-ab+1)(b2+ab+1)．说明 (4)是一道较难的题目，由于分解后的因式结构较复杂，所以不易想到添加+ab-ab，而且添加项后分成的三项组又无公因式，而是先将前两组分解，再与第三组结合，找到公因式．这道题目使我们体会到拆项、添项法的极强技巧所在，同学们需多做练习，积累经验．3．换元法换元法指的是将一个较复杂的代数式中的某一部分看作一个整体，并用一个新的字母替代这个整体来运算，从而使运算过程简明清晰．例6 分解因式：(x2+x+1)(x2+x+2)-12．分析将原式展开，是关于x的四次多项式，分解因式较困难．我们不妨将x2+x看作一个整体，并用字母y来替代，于是原题转化为关于y的二次三项式的因式分解问题了．解设x2+x=y，则原式=(y+1)(y+2)-12=y2+3y-10=(y-2)(y+5)=(x2+x-2)(x2+x+5)=(x-1)(x+2)(x2+x+5)．说明本题也可将x2+x+1看作一个整体，比如今x2+x+1=u，一样可以得到同样的结果，有兴趣的同学不妨试一试．例7 分解因式：(x2+3x+2)(4x2+8x+3)-90．分析先将两个括号内的多项式分解因式，然后再重解原式=(x+1)(x+2)(2x+1)(2x+3)-90=[(x+1)(2x+3)][(x+2)(2x+1)]-90=(2x2+5x+3)(2x2+5x+2)-90．令y=2x2+5x+2，则原式=y(y+1)-90=y2+y-90=(y+10)(y-9)=(2x2+5x+12)(2x2+5x-7)=(2x2+5x+12)(2x+7)(x-1)．说明对多项式适当的恒等变形是我们找到新元(y)的基础．例8 分解因式：(x2+4x+8)2+3x(x2+4x+8)+2x2．解设x2+4x+8=y，则原式=y2+3xy+2x2=(y+2x)(y+x)=(x2+6x+8)(x2+5x+8)=(x+2)(x+4)(x2+5x+8)．说明由本题可知，用换元法分解因式时，不必将原式中的元都用新元代换，根据题目需要，引入必要的新元，原式中的变元和新变元可以一起变形，换元法的本质是简化多项式．例9分解因式：6x4+7x3-36x2-7x+6．解法1 原式=6(x4+1)＋7x(x2-1)-36x2=6［(x4-2x2+1)+2x2］+7x(x2-1)-36x2=6[(x2-1)2+2x2]+7x(x2-1)-36x2=6(x2-1)2+7x(x2-1)-24x2=[2(x2-1)-3x］［3(x2-1)+8x]=(2x2-3x-2)(3x2+8x-3)=(2x+1)(x-2)(3x-1)(x+3)．说明本解法实际上是将x2-1看作一个整体，但并没有设立新元来代替它，即熟练使用换元法后，并非每题都要设置新元来代替整体．解法2=x2(6t2+7t-24)=x2(2t-3)(3t+8)=x2[2(x-1/x)-3][3(x-1/x)+8]=(2x2-3x-2)(3x2+8x-3)=(2x+1)(x-2)(3x-1)(x+3)．例10 分解因式：(x2+xy+y2)-4xy(x2+y2)．分析本题含有两个字母，且当互换这两个字母的位置时，多项式保持不变，这样的多项式叫作二元对称式．对于较难分解的二元对称式，经常令u=x+y，v=xy，用换元法分解因式．解原式=[(x+y)2-xy]2-4xy[(x+y)2-2xy]．令x+y=u，xy=v，则原式=(u2-v)2-4v(u2-2v)=u4-6u2v+9v2=(u2-3v)2=(x2+2xy+y2-3xy)2=(x2-xy+y2)2．第二讲：因式分解(二)1．双十字相乘法分解二次三项式时，我们常用十字相乘法．对于某些二元二次六项式(ax2+bxy+cy2+dx+ey+f)，我们也可以用十字相乘法分解因式．例如，分解因式2x2-7xy-22y2-5x+35y-3．我们将上式按x降幂排列，并把y当作常数，于是上式可变形为2x2-(5+7y)x-(22y2-35y+3)，可以看作是关于x的二次三项式．对于常数项而言，它是关于y的二次三项式，也可以用十字相乘法，分解为即：-22y2+35y-3=(2y-3)(-11y+1)．再利用十字相乘法对关于x的二次三项式分解所以，原式=［x+(2y-3)］［2x+(-11y+1)］ =(x+2y-3)(2x-11y+1)．上述因式分解的过程，实施了两次十字相乘法．如果把这两个步骤中的十字相乘图合并在一起，可得它表示的是下面三个关系式：(x+2y)(2x-11y)=2x2-7xy-22y2；(x-3)(2x+1)=2x2-5x-3；(2y-3)(-11y+1)=-22y2+35y-3．这就是所谓的双十字相乘法．用双十字相乘法对多项式ax2+bxy+cy2+dx+ey+f进行因式分解的步骤是：(1)用十字相乘法分解ax2+bxy+cy2，得到一个十字相乘图(有两列)；(2)把常数项f分解成两个因式填在第三列上，要求第二、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的ey，第一、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的dx．例1 分解因式：(1)x2-3xy-10y2+x+9y-2；(2)x2-y2+5x+3y+4；(3)xy+y2+x-y-2；(4)6x2-7xy-3y2-xz+7yz-2z2．解 (1)原式=(x-5y+2)(x+2y-1)．(2)原式=(y+1)(x+y-2)．(4)原式=(x+y+1)(x-y+4)．(3)原式中缺x2项，可把这一项的系数看成0来分解．原式=(2x-3y+z)(3x+y-2z)．说明 (4)中有三个字母，解法仍与前面的类似．2．求根法我们把形如a n x n+a n-1x n-1+…+a1x+a0(n为非负整数)的代数式称为关于x的一元多项式，并用f(x)，g(x)，…等记号表示，如f(x)=x2-3x+2，g(x)=x5+x2+6，…，当x=a时，多项式f(x)的值用f(a)表示．如对上面的多项式f(x)f(1)=12-3×1+2=0；f(-2)=(-2)2-3×(-2)+2=12．若f(a)=0，则称a为多项式f(x)的一个根．定理1(因式定理) 若a是一元多项式f(x)的根，即f(a)=0成立，则多项式f(x)有一个因式x-a．根据因式定理，找出一元多项式f(x)的一次因式的关键是求多项式f(x)的根．对于任意多项式f(x)，要求出它的根是没有一般方法的，然而当多项式f(x)的系数都是整数时，即整系数多项式时，经常用下面的定理来判定它是否有有理根．定理2的根，则必有p是a0的约数，q是a n的约数．特别地，当a0=1时，整系数多项式f(x)的整数根均为a n的约数．我们根据上述定理，用求多项式的根来确定多项式的一次因式，从而对多项式进行因式分解．例2 分解因式：x3-4x2+6x-4．分析这是一个整系数一元多项式，原式若有整数根，必是-4的约数，逐个检验-4的约数：±1，±2，±4，只有f(2)=23-4×22+6×2-4=0，即x=2是原式的一个根，所以根据定理1，原式必有因式x-2．解法1 用分组分解法，使每组都有因式(x-2)．原式=(x3-2x2)-(2x2-4x)+(2x-4)=x2(x-2)-2x(x-2)+2(x-2)=(x-2)(x2-2x+2)．解法2 用多项式除法，将原式除以(x-2)，所以原式=(x-2)(x2-2x+2)．说明在上述解法中，特别要注意的是多项式的有理根一定是-4的约数，反之不成立，即-4的约数不一定是多项式的根．因此，必须对-4的约数逐个代入多项式进行验证．例3 分解因式：9x4-3x3+7x2-3x-2．分析因为9的约数有±1，±3，±9；-2的约数有±1，±为：所以，原式有因式9x2-3x-2．解 9x4-3x3+7x2-3x-2=9x4-3x3-2x2+9x2-3x-2=x2(9x3-3x-2)+9x2-3x-2=(9x2-3x-2)(x2+1)=(3x+1)(3x-2)(x2+1)说明若整系数多项式有分数根，可将所得出的含有分数的因式化为整系数因式，如上题中的因式可以化为9x2-3x-2，这样可以简化分解过程．总之，对一元高次多项式f(x)，如果能找到一个一次因式(x-a)，那么f(x)就可以分解为(x-a)g(x)，而g(x)是比f(x)低一次的一元多项式，这样，我们就可以继续对g(x)进行分解了．3．待定系数法待定系数法是数学中的一种重要的解题方法，应用很广泛，这里介绍它在因式分解中的应用．在因式分解时，一些多项式经过分析，可以断定它能分解成某几个因式，但这几个因式中的某些系数尚未确定，这时可以用一些字母来表示待定的系数．由于该多项式等于这几个因式的乘积，根据多项式恒等的性质，两边对应项系数应该相等，或取多项式中原有字母的几个特殊值，列出关于待定系数的方程(或方程组)，解出待定字母系数的值，这种因式分解的方法叫作待定系数法．例4 分解因式：x2+3xy+2y2+4x+5y+3．分析由于(x2+3xy+2y2)=(x+2y)(x+y)，若原式可以分解因式，那么它的两个一次项一定是x+2y+m和x＋y＋n的形式，应用待定系数法即可求出m和n，使问题得到解决．解设x2+3xy+2y2+4x+5y+3=(x+2y+m)(x+y+n)=x2+3xy+2y2+(m+n)x+(m+2n)y+mn，比较两边对应项的系数，则有解之得m=3，n=1．所以原式=(x+2y+3)(x+y+1)．说明本题也可用双十字相乘法，请同学们自己解一下．例5 分解因式：x4-2x3-27x2-44x+7．分析本题所给的是一元整系数多项式，根据前面讲过的求根法，若原式有有理根，则只可能是±1，±7(7的约数)，经检验，它们都不是原式的根，所以，在有理数集内，原式没有一次因式．如果原式能分解，只能分解为(x2+ax+b)(x2+cx+d)的形式．解设原式=(x2+ax+b)(x2+cx+d)=x4+(a+c)x3+(b+d+ac)x2+(ad+bc)x+bd，所以有由bd=7，先考虑b=1，d=7有所以原式=(x2-7x+1)(x2+5x+7)．说明由于因式分解的唯一性，所以对b=-1，d=-7等可以不加以考虑．本题如果b=1，d=7代入方程组后，无法确定a，c的值，就必须将bd=7的其他解代入方程组，直到求出待定系数为止．本题没有一次因式，因而无法运用求根法分解因式．但利用待定系数法，使我们找到了二次因式．由此可见，待定系数法在因式分解中也有用武之地．。
初中数学因式分解培优训练
分析 本题解法很多，这 里只介绍运用拆项、添项法
5
分解的几种解法，注意一下 解法 4 添加两项-x2+x2．
拆项、添项的目的与技巧． 原式=x3-9x+8
解法 1 将常数项 8 拆成 =x3-x2+x2-9x+8
-1+9．
原式=x3-9x-1+9
=x2(x-1)+(x-8)(x-1)
至 0，由此想到应用公式
成两项或多项，或者在多项
an-bn 来分解．
式中添上两个仅符合相反
解 因为
的项，前者称为拆项，后者
称为添项．拆项、添项的目
x16-1=(x-1)(x15+x14+x13+…
的是使多项式能用分组分
x2+x+1)，
解法进行因式分解．
所以
例 4 分解因式：
x3-9x+8．
说明 公式(6)是一个应用 极广的公式，用它可以推出 很多有用的结论，例如：我 们将公式(6)变形为
a3+b3+c3-3abc
显然，当 a+b+c=0 时，
则 a3+b3+c3=3abc；当
a+b+c＞0 时，则
a3+b3+c3-3abc≥0，即
4
a3+b3+c3≥3abc，而且，当 说明 在本题的分解过程
(3)将(x2-1)2 拆成
2(x2-1)2-(x2-1)2．
=[a(a-b)+1](ab+b2+1)
原式
=(x+1)4+2(x2-1)2-(x2-1)2+
因式分解精练(培优)
因式分解精选练习一分解因式 1.2x 4y 2－4x 3y 2＋10xy 4 、2. 5x n+1－15x n ＋60x n —1 、 3.()()431241a b a b ---4. (a+b)2x 2-2(a 2-b 2)xy+(a-b)2y 2 、5. x 4-1、6.－ａ2－ｂ２＋2ab ＋４7. 134+--x x x 、 8.()()422223612y y y y x y y x -++-+9. ()()()()422223612y x y x y x x y x x +-+++-+、10.a 2+b 2+c 2+2ab+2bc+2ac11.x 2-2x-8、 12．3x 2+5x-2 、13. (x+1)(x+2)(x+3)(x+4)+1、14. (x 2+3x+2)(x 2+7x+12)-120.15．把多项式3x 2+11x+10分解因式。
16.把多项式5x 2―6xy ―8y 2分解因式。
因式分解精选练习二、证明题17．求证：32000－4×31999＋10×31998能被7整除。
18.设n 为正整数，且64n -7n 能被57整除，证明：21278+++n n 是57的倍数.19.求证：无论x 、y 为何值，3530912422+++-y y x x 的值恒为正。
20.已知x 2+y 2-4x+6y+13=0,求x,y 的值。
三 求值。
21.已知a,b,c 满足a-b=8,ab+c 2+16=0,求a+b+c 的值 .22．已知x 2+3x+6是多项式x 4-6x 3+mx 2+nx+36的一个因式，试确定m,n 的值，并求出它的其它因式。
因式分解精选练习1. 解：原式=2xy 2·x 3－2xy 2·2x 2＋2xy 2·5y 2 =2xy 2 (x 3－2x 2＋5y 2)。
2.解：原式=5 x n--1·x 2－5x n--1·3x ＋5x n--1·12=5 x n--1 (x 2－3x ＋12)3.解：原式=3a(b-1)(1-8a 3) =3a(b-1)(1-2a)(1+2a+4a 2)*4.解：原式= [(a+b)x]2-2(a+b)(a-b)xy+[(a-b)y]2=(ax+bx-ay+by)25.解：原式=(x 2+1)(x 2-1)=(x 2+1)(x+1)(x-1)6.解：原式＝－（a 2－2ab ＋b 2－４）＝－（ａ－ｂ＋２）（ａ－ｂ－２）7. 解： 原式= x 4-x 3-(x-1)= x 3(x-1)-(x-1)=(x-1)(x 3-1)=(x-1)2(x 2+x+1)*提8. 解：原式=y 2[(x+y)2-12(x+y)+36]-y 4=y 2(x+y-6)2-y 4=y 2[(x+y-6)2-y 2]=y 2(x+y-6+y)(x+y-6-y)= y 2(x+2y-6)(x-6)9. 解：原式== (x+y)2(x 2-12x+36)-(x+y)4=(x+y)2[(x-6)2-(x+y)2]=(x+y)2(x-6+x+y)(x-6-x-y)=(x+y)2(2x+y-6)(-6-y)= - (x+y)2(2x+y-6)(y+6)10.解：原式=.（a 2+b 2 +2ab ）+2bc+2ac+c 2=(a+b)2+2(a+b)c+c 2 =(a+b+c)211.解：原式=x 2-2x+1-1-8 =(x-1)2-32=(x-1+3)(x-1-3)=(x+2)(x-4)12．解：原式=3(x 2+53x)-2 =3(x 2+53x+2536-2536)-2 =3(x+56)2-3×2536-2=3(x+56)2-4912 =3[(x+56)2-4936]=3(x+56+76)(x+56-76)=3(x+2)(x-13) =(x+2)(3x-1)13.解：原式=[(x+1)(x+4)][(x+2)(x+3)]+1=(x 2+5x+4)(x 2+5x+6)+1令x 2+5x=a,则 原式=(a+4)(a+6)+1=a 2+10a+25=(a+5)2=(x 2+5x+5)14. 解 原式=(x+2)(x+1)(x+4)(x+3)-120=(x+2)(x+3)(x+1)(x+4)-120=(x 2+5x+6)(x 2+5x+4)-120令 x 2+5x=m, 代入上式,得原式=(m+6)(m+4)-120=m 2+10m-96=(m+16)(m-6)=(x 2+5x+16)(x 2+5x-6)=(x 2+5x+16)(x+6)(x-1)15．解：原式＝(x+2)(3x+5)提示：把二次项3x 2分解成x 与3x （二次项一般都只分解成正因数），常数项10可分成1×10＝－1×（－10）＝2×5＝－2×（－5），其中只有11x =x ×5+3x ×2。
2022-2023学年初一数学第二学期培优专题训练31 十字相乘法因式分解
专题31 十字相乘法因式分解【例题讲解】(1)【阅读与思考】整式乘法与因式分解是方向相反的变形．如何把二次三项式()20ax bx c a ++≠分解因式呢？我们已经知道：()()()2211221212211212122112a x c a x c a a x a c x a c x c c a a x a c a c x c c ++=+++=+++．反过来，就得到：()()()2121221121122a a x a c a c x c c a x c a x c +++=++．我们发现，二次三项式()20ax bx c a ++≠的二次项的系数a 分解成12a a ，常数项c 分解成12c c ，并且把1a ，2a ，1c ，2c ，如图1所示摆放，按对角线交叉相乘再相加，就得到1221a c a c +，如果1221a c a c +的值正好等于2ax bx c ++的一次项系数b ，那么2ax bx c ++就可以分解为()()1122a x c a x c ++，其中1a ，1c 位于图的上一行，2a ，2c 位于下一行．像这种借助画十字交叉图分解系数，从而帮助我们把二次三项式分解因式的方法，通常叫做“十字相乘法”．例如，将式子26x x --分解因式的具体步骤为：首先把二次项的系数1分解为两个因数的积，即111=⨯，把常数项6-也分解为两个因数的积，即()623-=⨯-；然后把1，1，2，3-按图2所示的摆放，按对角线交叉相乘再相加的方法，得到()13121⨯-+⨯=-，恰好等于一次项的系数1-，于是26x x --就可以分解为()()23x x +-．请同学们认真观察和思考，尝试在图3的虚线方框内填入适当的数，并用“十字相乘法”分解因式：26x x +-=__________．(2)【理解与应用】请你仔细体会上述方法并尝试对下面两个二次三项式进行分解因式： ① 2257x x +-=__________；② 22672x xy y -+=__________． (3)【探究与拓展】对于形如22ax bxy cy dx ey f +++++的关于x ，y 的二元二次多项式也可以用“十字相乘法”来分解，如图4．将a 分解成mn 乘积作为一列，c 分解成pq 乘积作为第二列，f 分解成jk 乘积作为第三列，如果mq np b +=，pk pj e +=，mk nj d +=，即第1，2列、第2，3列和第1，3列都满足十字相乘规则，则原式()()mx py j nx qy k =++++，请你认真阅读上述材料并尝试挑战下列问题： ① 分解因式2235294x xy y x y +-++-=__________；② 若关于x ，y 的二元二次式22718524x xy y x my +--+-可以分解成两个一次因式的积，求m 的值．【解答】（1）首先把二次项的系数1分解为两个因数的积，即111=⨯，把常数项6-也分解为两个因数的积，即63-=⨯（-2)，所以26x x +-=(3)(2)x x +-．故答案为：(3)(2)x x +-． （2）①把二次项系数2写成212=⨯，717-=-⨯，满足17(1)25⨯+-⨯=，所以2257x x +-=(27)(1)x x +-．故答案为：(27)(1)x x +-．②把2x 项系数6写成623=⨯，把2y 项系数2写成212=-⨯-（），满足22(1)37-⨯+-⨯=-， 所以22672x xy y -+=(2)(32)x y x y --．故答案为：(2)(32)x y x y --．（3）①把2x 项系数3写成313=⨯，把2y 项系数-2写成221-=⨯-（），常数项-4写成41-=-⨯（）4满足条件，所以2235294x xy y x y +-++-=(34)(21)x y x y -++-．②把2x 项系数1写成111=⨯，把2y 项系数-18写成1829-=-⨯，常数项-24写成243(-=⨯-8)或248-=-⨯（）3满足条件，所以m =39(2)(8)43⨯+-⨯-=或m =9(8)(2)378⨯-+-⨯=-，故m 的值为43或-78．【综合解答】1．阅读材料：根据多项式乘多项式法则，我们很容易计算：2(2)(3)56x x x x ++=++；2(1)(3)23x x x x -+=+-．而因式分解是与整式乘法方向相反的变形，利用这种关系可得：256(2)(3)x x x x ++=++；223(1)(3)x x x x +-=-+．通过这样的关系我们可以将某些二次项系数是1的二次三项式分解因式．如将式子223x x +-分解因式．这个式子的二次项系数是111=⨯，常数项3(1)3-=-⨯，一次项系数2(1)3=-+，可以用下图十字相乘的形式表示为：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求和，使其等于一次项系数，然后横向书写．这样，我们就可以得到：223(1)(3)x x x x +-=-+． 利用这种方法，将下列多项式分解因式： (1)2710x x ++=__________； (2)223x x --=__________； (3)2712y y -+=__________； (4)2718x x +-=__________．2．根据多项式乘法法则22()()()x p x q x px qx pq x p q x pq ++=+++=+++，因此2()()()x p q x pq x p x q +++=++，这种因式分解的方法称为十字相乘法，按照上面方法对下列式子进行因式分解（1）2710x x ++ （2）2718x x +- （3）2252x x -+ （4）262y y -- （5）2232253x xy y x y -+-+- 3．运用十字相乘法分解因式： （1）232x x --； （2）210218x x ++； （3）22121115x xy y --； （4）2()3()10x y x y +-+-． 4．用十字相乘法分解下列因式． （1）276x x -+ （2）2215y y -- （3）231110x x -+ （4）226a ab b -- （5）22121115x xy y -- （6）()()2310x y x y +-+- 5．分解因式 (1)2412x x --； (2)245x x --； (3)3222620x x y xy -+-；(4)231914x x --． 6．分解因式： (1)2 1016x x -+； (2)2 23x x --．7．在因式分解的学习中我们知道对二次三项式()2x a b x ab +++可用十字相乘法方法得出()()()2x a b x ab x a x b +++=++，用上述方法将下列各式因式分解：(1)2256x xy y +-=__________．(2)()224236x a x a a -+++=__________．(3)()2256x b x a b a ----=__________．(4)()22018201720191x x -⨯-=__________． 8．将下列各式分解因式：（1）256x x --； （2）21016x x -+； （3）2103x x --9．由多项式乘法：2()()()x a x b x a b x ab ++=+++，将该式从右到左进行运算，即可得到“十字相乘法”进行因式分解的公式：2()()()x a b x ab x a x b +++=++．如：分解因式：2256(23)23(2)(3)x x x x x x ++=+++⨯=++．（1）分解因式：268(___)(___)x x x x ++=++ （2）请用上述方法解方程：2340x x --= 10．分解因式： （1）22914x xy y ++ （2）2212x xy y -- （3）22295x xy y +- （4）22376x xy y -- （5）22328x xy y -- （6）225314x xy y -++ 11．分解因式： （1）2914x x ++ （2）212x x -- （3）2295x x +- （4）2376x x --（5）28103x x --- （6）210275x x --- 12．分解因式： （1）22914x xy y ++ （2）2212x xy y -- （3）22295x xy y +- （4）22376x xy y -- （5）228103x xy y ++ （6）2210275x xy y ++ 13．分解因式： （1）2710x x -+ （2）2918x x -+ （3）256x x -- （4）2922x x -- （5）232x x +- （6）234x x +- （7）2122512x x -+- （8）2310x x --+ （9）22x y x y --- （10）321x x x +++ （11）22494a a b +-+ （12）22424a b a b--+专题31 十字相乘法因式分解【例题讲解】(1)【阅读与思考】整式乘法与因式分解是方向相反的变形．如何把二次三项式()20ax bx c a ++≠分解因式呢？我们已经知道：()()()2211221212211212122112a x c a x c a a x a c x a c x c c a a x a c a c x c c ++=+++=+++．反过来，就得到：()()()2121221121122a a x a c a c x c c a x c a x c +++=++．我们发现，二次三项式()20ax bx c a ++≠的二次项的系数a 分解成12a a ，常数项c 分解成12c c ，并且把1a ，2a ，1c ，2c ，如图1所示摆放，按对角线交叉相乘再相加，就得到1221a c a c +，如果1221a c a c +的值正好等于2ax bx c ++的一次项系数b ，那么2ax bx c ++就可以分解为()()1122a x c a x c ++，其中1a ，1c 位于图的上一行，2a ，2c 位于下一行．像这种借助画十字交叉图分解系数，从而帮助我们把二次三项式分解因式的方法，通常叫做“十字相乘法”．例如，将式子26x x --分解因式的具体步骤为：首先把二次项的系数1分解为两个因数的积，即111=⨯，把常数项6-也分解为两个因数的积，即()623-=⨯-；然后把1，1，2，3-按图2所示的摆放，按对角线交叉相乘再相加的方法，得到()13121⨯-+⨯=-，恰好等于一次项的系数1-，于是26x x --就可以分解为()()23x x +-．请同学们认真观察和思考，尝试在图3的虚线方框内填入适当的数，并用“十字相乘法”分解因式：26x x +-=__________．(2)【理解与应用】请你仔细体会上述方法并尝试对下面两个二次三项式进行分解因式： ① 2257x x +-=__________；② 22672x xy y -+=__________． (3)【探究与拓展】对于形如22ax bxy cy dx ey f +++++的关于x ，y 的二元二次多项式也可以用“十字相乘法”来分解，如图4．将a 分解成mn 乘积作为一列，c 分解成pq 乘积作为第二列，f 分解成jk 乘积作为第三列，如果mq np b +=，pk pj e +=，mk nj d +=，即第1，2列、第2，3列和第1，3列都满足十字相乘规则，则原式()()mx py j nx qy k =++++，请你认真阅读上述材料并尝试挑战下列问题： ① 分解因式2235294x xy y x y +-++-=__________；② 若关于x ，y 的二元二次式22718524x xy y x my +--+-可以分解成两个一次因式的积，求m 的值．【解答】（1）首先把二次项的系数1分解为两个因数的积，即111=⨯，把常数项6-也分解为两个因数的积，即63-=⨯（-2)，所以26x x +-=(3)(2)x x +-．故答案为：(3)(2)x x +-．（2）①把二次项系数2写成212=⨯，717-=-⨯，满足17(1)25⨯+-⨯=，所以2257x x +-=(27)(1)x x +-．故答案为：(27)(1)x x +-．②把2x 项系数6写成623=⨯，把2y 项系数2写成212=-⨯-（），满足22(1)37-⨯+-⨯=-， 所以22672x xy y -+=(2)(32)x y x y --．故答案为：(2)(32)x y x y --．（3）①把2x 项系数3写成313=⨯，把2y 项系数-2写成221-=⨯-（），常数项-4写成41-=-⨯（）4满足条件，所以2235294x xy y x y +-++-=(34)(21)x y x y -++-．②把2x 项系数1写成111=⨯，把2y 项系数-18写成1829-=-⨯，常数项-24写成243(-=⨯-8)或248-=-⨯（）3满足条件，所以m =39(2)(8)43⨯+-⨯-=或m =9(8)(2)378⨯-+-⨯=-，故m 的值为43或-78．【综合解答】1．阅读材料：根据多项式乘多项式法则，我们很容易计算：2(2)(3)56x x x x ++=++；2(1)(3)23x x x x -+=+-．而因式分解是与整式乘法方向相反的变形，利用这种关系可得：256(2)(3)x x x x ++=++；223(1)(3)x x x x +-=-+．通过这样的关系我们可以将某些二次项系数是1的二次三项式分解因式．如将式子223x x +-分解因式．这个式子的二次项系数是111=⨯，常数项3(1)3-=-⨯，一次项系数2(1)3=-+，可以用下图十字相乘的形式表示为：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求和，使其等于一次项系数，然后横向书写． 这样，我们就可以得到：223(1)(3)x x x x +-=-+． 利用这种方法，将下列多项式分解因式： (1)2710x x ++=__________； (2)223x x --=__________； (3)2712y y -+=__________； (4)2718x x +-=__________． 【答案】(1)()()25x x ++ (2)()()31x x -+ (3)()()34y y -- (4)()()92x x +-【分析】（1）仿照题意求解即可； （2）仿照题意求解即可； （3）仿照题意求解即可； （4）仿照题意求解即可．【解答】（1）解：根据题意可知()()271025x x x x ++=++ （2）解：根据题意可知()()22331x x x x --=-+（3）解：根据题意可知()()271234y y y y =---+ （4）解：根据题意可知()()271892x x x x +-=+-【点评】本题主要考查分解因式，正确理解题意是解题的关键．2．根据多项式乘法法则22()()()x p x q x px qx pq x p q x pq ++=+++=+++，因此2()()()x p q x pq x p x q +++=++，这种因式分解的方法称为十字相乘法，按照上面方法对下列式子进行因式分解（1）2710x x ++ （2）2718x x +- （3）2252x x -+ （4）262y y -- （5）2232253x xy y x y -+-+-【答案】(1) (x+2)(x+5)；(2) (x+9)(x-2)；(3) (2x-1)(x-2)；(4) (2y+1)(3y-2)；(5)(x-2y+1)(x-y-3). 【分析】(1)观察可知10=2×5，7=2+5，由此进行因式分解即可； (2)观察可知—18=-2×9，7=-2+9，由此进行因式分解即可；(3)观察可知二次项系数2=1×2，常数项2=(-1)×(-2)，一次项系数-5=1×(-1)+2×(-2)，据此进行因式分解即可；(4)观察可知二次项系数6=2×3，常数项-2=1×(-2)，一次项系数-1=2×(-2)+3×1，据此进行因式分解即可；(5)原式前三项利用材料中的方法进行分解，然后变形为(x-2y)(x-y)+x-y-3x+6y-3，据此利用提公因式法继续进行分解即可得. 【解答】(1)原式=(x+2)(x+5)； (2)原式=(x+9)(x-2)； (3)原式=(2x-1)(x-2)； (4)原式=(2y+1)(3y-2)； (5)原式=(x-2y)(x-y)+x-y-3x+6y-3 =(x-2y)(x-y)+(x-y)-(3x-6y+3) =(x-y)(x-2y+1)-3(x-2y+1) =(x-2y+1)(x-y-3).【点评】本题考查了十字相乘法分解因式，分组分解法分解因式，提公因式法分解因式，其中第(5)小题有一定的难度，读懂材料中的解题方法是解题的关键. 3．运用十字相乘法分解因式： （1）232x x --； （2）210218x x ++； （3）22121115x xy y --； （4）2()3()10x y x y +-+-．【答案】（1）(32)(1)x x +-；（2）(21)(58)x x ++；（3）(35)(43)x y x y -+；（4）(5)(2)x y x y +-++． 【分析】（1）直接运用x 2+（p+q ）x+pq=（x+p ）（x+q ）分解因式得出即可；（2）ax 2+bx+c （a≠0）型的式子的因式分解的关键是把二次项系数a 分解成两个因数a 1，a 2的积a 1•a 2，把常数项c 分解成两个因数c 1，c 2的积c 1•c 2，并使a 1c 2+a 2c 1正好是一次项b ，那么可以直接写成结果：ax 2+bx+c=（a 1x+c 1）（a 2x+c 2）； （3）同（2）；（4）把(x y +)当作一个整体，运用x 2+（p+q ）x+pq=（x+p ）（x+q ）分解因式得出即可 【解答】（1）232(32)(1)x x x x --=+-． （2）210218(21)(58)x x x x ++=++． （3）22121115(35)(43)x xy y x y x y --=-+．（4）2()3()10[()5][()2](5)(2)x y x y x y x y x y x y +-+-=+-++=+-++．【点评】本题主要考查了十字相乘法分解因式；熟练掌握十字相乘法分解因式，正确分解常数项是解题关键．4．用十字相乘法分解下列因式． （1）276x x -+ （2）2215y y -- （3）231110x x -+ （4）226a ab b -- （5）22121115x xy y -- （6）()()2310x y x y +-+-【答案】（1）()()61x x --；（2）()()53y y -+；（3）()()235x x --；（4）()()32a b a b -+；（5）()()4335x y x y +-；（6）()()52x y x y +-++【分析】（1）把6分成-6与-1的积，利用十字相乘法分解因式得出答案即可； （2）把-15分成-5与3的积，利用十字相乘法分解因式得出答案即可；（3）把3分成1与的3积，把10分成-2与-5的积，利用十字相乘法分解因式得出答案即可； （4）把b 看作常数，把26b -分成-3b 与2b 的积，利用十字相乘法分解因式得出答案即可； （5）把y 看作常数，把12分成4与3的积，把215y -分成3y 与-5y 的积，利用十字相乘法分解因式得出答案即可；（6）把()x y +看作一个整体，把-10分成-5与2的积，利用十字相乘法分解因式得出答案即可． 【解答】解：（1）276x x -+ =()()61x x -- （2）2215y y -- =()()53y y -+ （3）231110x x -+ =()()235x x -- （4）226a ab b -- =()()32a b a b -+ （5）22121115x xy y -- =()()4335x y x y +- （6）()()2310x y x y +-+- =()()52x y x y +-++【点评】此题主要考查了十字相乘法分解因式，正确分解二次项系数及常数项是解题关键．有时要把某个字母看作常数或把某个多项式看作一个整体. 5．分解因式 (1)2412x x --； (2)245x x --； (3)3222620x x y xy -+-； (4)231914x x --． 【答案】(1)()()62x x -+ (2)()()51x x -+ (3)()()252x x y x y -+- (4)()()732x x -+【分析】（1）利用十字相乘法分解因式即可； （2）利用十字相乘法分解因式即可；（3）首先提取公因式，然后再用十字相乘法分解因式即可； （4）利用十字相乘法分解因式即可． 【解答】（1）解：2412x x --()()26262x x =+-++-⨯ ()()62x x =-+；（2）解：245x x --()()51x x =-+；（3）解：3222620x x y xy -+-()222310x x xy y =-+-()()252x x y x y =-+-；（4）解：231914x x --()()732x x =-+．【点评】本题考查了因式分解，解本题的关键在熟练掌握利用十字相乘法分解因式．6．分解因式：(1)2 1016x x -+；(2)2 23x x --．【答案】(1)()()82x x --(2)()()31x x -+【分析】（1）利用十字相乘法即可得出答案；（2）利用十字相乘法即可得出答案．【解答】（1）解：2 1016x x -+()()82x x =--；（2）解：2 23x x --()()31x x =-+．【点评】本题考查了十字相乘法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解．7．在因式分解的学习中我们知道对二次三项式()2x a b x ab +++可用十字相乘法方法得出()()()2x a b x ab x a x b +++=++，用上述方法将下列各式因式分解：(1)2256x xy y +-=__________．(2)()224236x a x a a -+++=__________．(3)()2256x b x a b a ----=__________．(4)()22018201720191x x -⨯-=__________．【答案】(1)(x -y )(x +6y )(2)(x -3a )(x -a -2)(3)(x +a -3b )(x -a -2b )(4)(20182x 2+1)(x -1)【分析】（1）将-6y 2改写成-y ·6，然后根据例题分解即可；（2）将3a 2+6a 改写成()()32a a --+⎡⎤⎣⎦，然后根据例题分解即可；（3）先化简，将226ab b a +-改写()()32b a b a -+--，然后根据例题分解即可；（4）将20172019⨯改写成(2018-1)(2018+1)，变形后根据例题分解即可；(1)解：原式=()2(6)6x y y x y y +-++-⋅=(x -y )(x +6y )；(2)解：原式=()()()23232x a a x a a +--++--+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦=(x -3a )(x -a -2)；(3)解：原式=22256x bx ab b a -++-=()()2532x bx b a b a -+-+=()()()()2+3+232x b a b a x b a b a -+--+-+--⎡⎤⎣⎦=(x +a -3b )(x -a -2b )；(4)解：原式=()()()220182018-12018+11x x --=()22220182018-11x x --=()2222018+120181x x -- =(20182x +1)(x -1) ．【点评】本题考查了十字相乘法因式分解，熟练掌握二次三项式()2x a b x ab +++可用十字相乘法方法得出()()()2x a b x ab x a x b +++=++是解答本题的关键．8．将下列各式分解因式：（1）256x x --； （2）21016x x -+； （3）2103x x --【答案】（1）(7)(8)x x +-；（2）(2)(8)x x --；（3）(5)(2)x x -+-【分析】（1）直接利用十字相乘法分解因式即可；（2）直接利用十字相乘法分解因式即可；（3）直接利用十字相乘法分解因式即可．【解答】解：（1）因为78x x ⨯-即78x x x -=-， 所以：原式＝(7)(8)x x +-；（2）因为28x x ⨯--即2810x x x --=-， 所以：原式＝(2)(8)x x --；（3）22103(310)x x x x --=-+-，因为52x x ⨯-即523x x x -=， 所以：原式＝(5)(2)x x -+-．【点评】本题主要考查了利用十字相乘法分解因式，解题的关键在于能够熟练掌握十字相乘法：常数项为正，分解的两个数同号；常数项为负，分解的两个数异号． 二次项系数一般都化为正数，如果是负数，则提出负号，分解括号里面的二次三项式，最后结果不要忘记把提出的负号添上． 9．由多项式乘法：2()()()x a x b x a b x ab ++=+++，将该式从右到左进行运算，即可得到“十字相乘法”进行因式分解的公式：2()()()x a b x ab x a x b +++=++．如：分解因式：2256(23)23(2)(3)x x x x x x ++=+++⨯=++．（1）分解因式：268(___)(___)x x x x ++=++（2）请用上述方法解方程：2340x x --= 【答案】（1）2，4（或4，2）；（2）14x =，21x =-【分析】（1）根据“十字相乘法”进行因式分解，即可得到答案；（2）先利用“十字相乘法”进行因式分解，进而即可求解．【解答】（1）()()26824x x x x ++=++故答案为：2，4（或4，2）；（2）∵234(4)(1)0x x x x --=-+=，40x ∴-=或10x +=，解得：14x =，21x =-．【点评】本题主要考查分解因式以及解一元二次方程，熟练掌握“十字相乘法”进行因式分解，是解题的关键．10．分解因式：（1）22914x xy y ++（2）2212x xy y --（3）22295x xy y +-（4）22376x xy y --（5）22328x xy y --（6）225314x xy y -++【答案】（1）()()27x y x y ++；（2）()()43x y x y -+；（3）()()52x y x y +-；（4）()()332x y x y -+；（5）()()234x y x y -+；（6）()()257x y x y --+【分析】利用十字相乘法分解即可．【解答】解：（1）22914x xy y ++=()()27x y x y ++；（2）2212x xy y --=()()43x y x y -+；（3）22295x xy y +-=()()52x y x y +-；（4）22376x xy y --=()()332x y x y -+；（5）22328x xy y --=()()234x y x y -+；（6）225314x xy y -++=()225314x xy y ---=()()257x y x y --+【点评】本题考查了因式分解，熟练掌握十字相乘法是解此题的关键．11．分解因式：（1）2914x x ++（2）212x x --（3）2295x x +-（4）2376x x --（5）28103x x ---（6）210275x x --- 【答案】（1）()()27x x ++；（2）()()34x x +-；（3）()()215-+x x ；（4）()()323x x +-；（5）()()2143x x -++；（6）()()5125x x -++【分析】利用十字相乘法分解即可．【解答】解：（1）2914x x ++=()()27x x ++；（2）212x x --=()()34x x +-；（3）2295x x +-=()()215-+x x ；（4）2376x x --=()()323x x +-；（5）28103x x ---=()28103x x -++=()()2143x x -++；（6）210275x x ---=()210275x x -++ =()()5125x x -++【点评】本题考查了因式分解，熟练掌握十字相乘法是解此题的关键．12．分解因式：（1）22914x xy y ++（2）2212x xy y --（3）22295x xy y +-（4）22376x xy y --（5）228103x xy y ++（6）2210275x xy y ++ 【答案】（1）()()27x y x y ++；（2）()()43x y x y -+；（3）()()52x y x y +-；（4）()()332x y x y -+；（5）()()243x y x y ++；（6）()()255x y x y ++【分析】利用十字相乘法分解．【解答】解：（1）22914x xy y ++=()()27x y x y ++；（2）2212x xy y --=()()43x y x y -+；（3）22295x xy y +-=()()52x y x y +-；（4）22376x xy y --=()()332x y x y -+；（5）228103x xy y ++=()()243x y x y ++；（6）2210275x xy y ++=()()255x y x y ++【点评】本题考查了因式分解，熟练掌握十字相乘法是解此题的关键．13．分解因式：（1）2710x x -+（2）2918x x -+（3）256x x --（5）232x x +-（6）234x x +-（7）2122512x x -+-（8）2310x x --+（9）22x y x y ---（10）321x x x +++（11）22494a a b +-+（12）22424a b a b --+ 【答案】（1）()()25x x --；（2）()()36x x --；（3）()()16+-x x ；（4）()()211x x +-；（5）()()132x x +-；（6）()()134x x -+；（7）()()3443x x ---；（8）()()235x x -+-；（9）()()1x y x y +--；（10）()()211x x ++；（11）()()2323a b a b +++-；（12）()()222a b a b +--【分析】（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）利用十字相乘法分解；（9）（10）（11）（12）利用分组分解法分解．【解答】解：（1）2710x x -+=()()25x x --；（2）2918x x -+=()()36x x --；（3）256x x --=()()16+-x x ；（4）2922x x --=()()211x x +-；（5）232x x +-=()()132x x +-；（6）234x x +-=()()134x x -+；（7）2122512x x -+-=()2122512x x --+=()()3443x x ---；（8）2310x x --+=()2310x x -+-=()()235x x -+-；=()()()x y x y x y +--+ =()()1x y x y +--； （10）321x x x +++ =()()211x x x +++=()()211x x ++；（11）22494a a b +-+ =22449a a b ++- =()2229a b +-=()()2323a b a b +++- （12）22424a b a b --+ =()22424a b a b --- =()()()2222a b a b a b +--- =()()222a b a b +--【点评】本题考查了因式分解，解题的关键是根据所给代数式的形式灵活选择方法．。
因式分解培优题(超全面、详细分类)
因式分解专题培优把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解.因式分解的方法多种多样，现将初中阶段因式分解的常用方法总结如下：因式分解的一般方法及考虑顺序：1、基本方法：提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法．2、常用方法与技巧：换元法、主元法、拆项法、添项法、配方法、待定系数法．3、考虑顺序：（1）提公因式法；（2）公式法；（3）十字相乘法；（4）分组分解法．一、运用公式法在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：(1)a2－b2=(a+b)(a－b)；(2)a2±2ab+b2=(a±b)2；(3)a3+b3=(a+b)(a2－ab+b2)；(4)a3－b3=(a－b)(a2+ab+b2)．下面再补充几个常用的公式：(5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2；(6)a3+b3+c3－3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2－ab－bc－ca)；(7)a n－b n=(a－b)(a n－1+a n－2b+a n－3b2+…+ab n－2+b n－1)，其中n为正整数；(8)a n－b n=(a+b)(a n－1－a n－2b+a n－3b2－…+ab n－2－b n－1)，其中n为偶数；(9)a n+b n=(a+b)(a n－1－a n－2b+a n－3b2－…－ab n－2+b n－1)，其中n为奇数．运用公式法分解因式时，要根据多项式的特点，根据字母、系数、指数、符号等正确恰当地选择公式．例题1 分解因式：(1)－2x5n－1y n+4x3n－1y n+2－2x n－1y n+4；(2)x3－8y3－z3－6xyz；(3)a2+b2+c2－2bc+2ca－2ab；(4)a7－a5b2+a2b5－b7．例题2 分解因式：a 3+b 3+c 3－3abc ．例题3 分解因式：x 15+x 14+x 13+…+x 2+x +1．对应练习题 分解因式：2211(1)94n n x x y +-+；(2) x 10+x 5－2422332223(3)244(4)4x x y xy x y y x y --+++(4) (x 5+x 4+x 3+x 2+x +1)2－x 5(5) 9(a -b )2+12(a 2-b 2)+4(a +b )2(6) (a -b )2-4(a -b -1)（7）(x +y )3+2xy (1－x －y )－1二、分组分解法（一）分组后能直接提公因式例题1 分解因式：bn bm an am +++分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从“局部”看，这个多项式前两项都含有a ，后两项都含有b ，因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考虑两组之间的联系.此类型分组的关键：分组后，每组内可以提公因式，且各组分解后，组与组之间又有公因式可以提.例题2 分解因式：bx by ay ax -+-5102对应练习题 分解因式：1、bc ac ab a -+-22、1+--y x xy（二）分组后能直接运用公式例题3 分解因式：ay ax y x ++-22例题4 分解因式：2222c b ab a -+-对应练习题 分解因式：3、y y x x 3922---4、yz z y x 2222---综合练习题 分解因式：（1）3223y xy y x x --+ （2）b a ax bx bx ax -+-+-22（3）181696222-+-++a a y xy x （4）a b b ab a 4912622-++-（5）92234-+-a a a （6）y b x b y a x a 222244+--（7）222y yz xz xy x ++-- （8）122222++-+-ab b b a a（9）)1)(1()2(+---m m y y （10）)2())((a b b c a c a -+-+（11）abc b a c c a b c b a 2)()()(222++++++ （12）432234232.a a b a b ab b ++++（13）22)()(bx ay by ax -++ （14）333333333)(y x x z z y z y x xyz ---++（15）a a x ax x -++-2242 （16）a x a x x 2)2(323-++-（17）)53(4)3()1(33+-+++x x x三、十字相乘法1、十字相乘法（一）二次项系数为1的二次三项式直接利用公式——))(()(2q x p x pq x q p x ++=+++进行分解.特点：（1）二次项系数是1；（2）常数项是两个数的乘积；（3）一次项系数是常数项的两因数的和. 例题1 分解因式：652++x x例题2 分解因式：672+-x x对应练习题 分解因式：(1)24142++x x (2)36152+-a a (3)542-+x x(4)22-+x x (5)1522--y y (6)24102--x x（二）二次项系数不为1的二次三项式——2ax bx c ++条件：（1）21a a a = 1a 1c（2）21c c c = 2a 2c（3）1221c a c a b += 1221c a c a b +=分解结果：c bx ax ++2=))((2211c x a c x a ++例题3 分解因式：101132+-x x对应练习题 分解因式：（1）6752-+x x （2）2732+-x x（3）317102+-x x （4）101162++-y y（三）二次项系数为1的齐次多项式例题4 分解因式：221288b ab a --分析：将b 看成常数，把原多项式看成关于a 的二次三项式，利用十字相乘法进行分解. 1 8b1 －16b8b +(－16b )= －8b对应练习题 分解因式：(1)2223y xy x +- (2)2286n mn m +- (3)226b ab a --（四）二次项系数不为1的齐次多项式例题5 分解因式：22672y xy x +- 例题6 分解因式：2322+-xy y x对应练习题 分解因式：（1）224715y xy x -+ （2）8622+-ax x a综合练习题 分解因式：（1）17836--x x （2）22151112y xy x --（3）10)(3)(2-+-+y x y x （4）344)(2+--+b a b a（5）222265x y x y x -- （6）2634422++-+-n m n mn m（7）3424422---++y x y xy x （8）2222)(10)(23)(5b a b a b a ---++（9）10364422-++--y y x xy x （10）2222)(2)(11)(12y x y x y x -+-++思考：分解因式：abc x c b a abcx +++)(22222、双十字相乘法定义：双十字相乘法用于对F Ey Dx Cy Bxy Ax +++++22型多项式的分解因式. 条件：（1）21a a A =，21c c C =，21f f F =（2）B c a c a =+1221，E f c f c =+1221，D f a f a =+1221即： 1a 1c 1f2a 2c 2fB c a c a =+1221，E f c f c =+1221，D f a f a =+1221则=+++++F Ey Dx Cy Bxy Ax 22))((222111f y c x a f y c x a ++++例题7 分解因式： （1）2910322-++--y x y xy x（2）613622-++-+y x y xy x解：（1）2910322-++--y x y xy x应用双十字相乘法： x y 5- 2x y 2 1-xy xy xy 352-=-，y y y 945=+，x x x =+-2∴原式=)12)(25(-++-y x y x（2）613622-++-+y x y xy x应用双十字相乘法： x y 2- 3x y 3 2- xy xy xy =-23，y y y 1394=+，x x x =+-32∴原式=)23)(32(-++-y x y x对应练习题 分解因式：（1）67222-+--+y x y xy x （2）22227376z yz xz y xy x -+---3、十字相乘法进阶例题8 分解因式：)122()1)(1(22+++++y y x x y y例题9 分解因式：))(()1)(()(222222y x b a xy b a y x ab ++-+---四、主元法例题 分解因式：2910322-++--y x y xy x对应练习题 分解因式：(1)613622-++-+y x y xy x (2)67222-+--+y x y xy x(3)2737622--+--y x y xy x (4)36355622-++-+b a b ab a五、换元法换元法指的是将一个较复杂的代数式中的某一部分看作一个整体，并用一个新的字母替代这个整体来运算，从而使运算过程简明清晰．例题1 分解因式：(x 2+x +1)(x 2+x +2)－12．例题2 分解因式：22222)84(3)84(x x x x x x ++++++例题3 分解因式：9)5)(3)(1)(1(-+++-x x x x分析：型如e abcd +的多项式，分解因式时可以把四个因式两两分组相乘.例题4 分解因式：56)6)(67(22+--+-x x x x .例题5 分解因式：(x 2+3x +2)(4x 2+8x +3)－90．例题6 分解因式：22224(31)(23)(44)x x x x x x --+--+-提示:可设2231,23x x A x x B --=+-=，则244x x A B +-=+.例题7 分解因式：272836+-x x例题8 分解因式：22244)()()(b a b a b a -+++-例题9 分解因式：272)3()1(44-+++y y例题9对应练习 分解因式：444)4(4-++a a例题10 分解因式：(x 2+xy +y 2)2－4xy (x 2+y 2)．分析：本题含有两个字母，且当互换这两个字母的位置时，多项式保持不变，这样的多项式叫作二元对称式．对于较难分解的二元对称式，经常令u=x +y ，v=xy ，用换元法分解因式．例题11 分解因式：262234+---x x x x分析：此多项式的特点——是关于x 的降幂排列，每一项的次数依次少1，并且系数成“轴对称”.这种多项式属于“等距离多项式”．方法：提中间项的字母和它的次数，保留系数，然后再用换元法.例题11对应练习 分解因式：6x 4+7x 3－36x 2－7x +6．例题11对应练习 分解因式：144234+++-x x x x对应练习题 分解因式：（1）x 4+7x 3+14x 2+7x +1 （2）)(2122234x x x x x +++++（3）2005)12005(200522---x x （4）2)6)(3)(2)(1(x x x x x +++++（5） (1)(3)(5)(7)15x x x x +++++ （6）(1)(2)(3)(4)24a a a a ----- （7）2(25)(9)(27)91a a a +--- （8）(x +3)(x 2－1)(x +5)－20（9）222222)3(4)5()1(+-+++a a a （10） (2x 2－3x +1)2－22x 2+33x －1（11）()()()a b c a b b c ++-+-+2333（12）21(1)(3)2()(1)2xy xy xy x y x y +++-++-+-（13）2(2)(2)(1)a b ab a b ab +-+-+-六、添项、拆项、配方法因式分解是多项式乘法的逆运算．在多项式乘法运算时，整理、化简常将几个同类项合并为一项，或将两个仅符号相反的同类项相互抵消为零．在对某些多项式分解因式时，需要恢复那些被合并或相互抵消的项，即把多项式中的某一项拆成两项或多项，或者在多项式中添上两个仅符合相反的项，前者称为拆项，后者称为添项．拆项、添项的目的是使多项式能用分组分解法进行因式分解．说明 用拆项、添项的方法分解因式时，要拆哪些项，添什么项并无一定之规，主要的是要依靠对题目特点的观察，灵活变换，因此拆项、添项法是因式分解诸方法中技巧性最强的一种．例题1 分解因式：x 3－9x +8．例题2 分解因式：(1)x 9+x 6+x 3－3； (2)(m 2－1)(n 2－1)+4mn ； (3)(x +1)4+(x 2－1)2+(x －1)4； (4)a 3b －ab 3+a 2+b 2+1．对应练习题 分解因式：（1）4323+-x x （2）2223103)(2b ab a x b a x -+-++（3）1724+-x x （4）22412a ax x x -+++（5）444)(y x y x +++ （6）444222222222c b a c b c a b a ---++（7）x 3+3x 2－4 （8）x 4－11x 2y 2+y 2 （9）x 3+9x 2+26x +24 （10）x 4－12x +323 （11）x 4＋x 2＋1； （12）x 3－11x ＋20；（13）a 5＋a ＋1 (14)56422-++-y x y x(15)ab b a 4)1)(1(22---七、待定系数法例题1 分解因式：613622-++-+y x y xy x分析：原式的前3项226y xy x -+可以分为)2)(3(y x y x -+，则原多项式必定可分为)2)(3(n y x m y x +-++对应练习题 分解因式：（1）2737622--+--y x y xy x （2）2x 2＋3xy －9y 2＋14x －3y ＋20（3）2910322-++--y x y xy x （4）6752322+++++y x y xy x例题2 （1）当m 为何值时，多项式6522-++-y mx y x 能分解因式，并分解此多项式.（2）如果823+++bx ax x 有两个因式为1+x 和2+x ，求b a +的值.（3）已知：p y x y xy x +-+--1463222能分解成两个一次因式之积，求常数p 并且分解因式.（4）k 为何值时，253222+-++-y x ky xy x 能分解成两个一次因式的乘积，并分解此多项式.八、余式定理（试根法）1、()x f 的意义：已知多项式()x f ，若把x 用c 带入所得到的值，即称为()x f 在x =c 的多项式值，用()c f 表示.2、被除式、除式、商式、余式之间的关系：设多项式()x f 除以()x g 所得的商式为()x q ，余式为()x r ，则：()x f =()x g ×()x q +()x r3、余式定理：多项式)(x f 除以b x -之余式为)(b f ；多项式)(x f 除以b ax -之余式)(ab f . 例如：当 f(x )=x 2+x +2 除以 (x – 1) 时，则余数=f(1)=12+1+2=4.当2()967f x x x =+-除以(31)x +时，则余数=2111()9()6()78333f -=⨯-+⨯--=-.4、因式定理：设R b a ∈,，0≠a ，)(x f 为关于x 的多项式，则b x -为)(x f 的因式⇔0)(=b f ；b ax -为)(x f 的因式⇔0)(=abf .整系数一次因式检验法：设f(x)＝0111c x c x c x c n n n n ++++-- 为整系数多项式，若ax –b 为f(x)之因式(其中a , b为整数 , a ≠0 , 且a , b 互质)，则 （1）0,c b c a n（2）( a –b ))1()(,)1(-+f b a f例题1 设61923)(23+-+=x x x x f ，试问下列何者是f (x )的因式？(1)2x –1 ，(2) x –2，(3) 3x –1，(4) 4x ＋1，(5) x –1，(6) 3x –4例题2 把下列多项式分解因式：(1)453+-x x(2) 6423++-x x x (3) 245323-++x x x （4）1027259234++++x x x x （5）31212165234--++x x x x课后作业分解因式： （1）x 4＋4（2）4x 3－31x ＋15 （3）3x 3－7x ＋10 （4）x 3－41x ＋30 （5）x 3＋4x 2－9 （6）x 3＋5x 2－18 （7）x 3＋6x 2＋11x ＋6 （8）x 3－3x 2＋3x ＋7 （9）x 3－11x 2＋31x －21（10）x 4＋1987x 2＋1986x ＋1987 （11）19981999199824-+-x x x （12）19961995199624+++x x x （13）x 3＋3x 2y ＋3xy 2＋2y 3 （1412）x 3－9ax 2＋27a 2x －26a 3（15）23)12)(10)(6)(5(4x x x x x -++++ （16）12)4814)(86(22+++++x x x x （17）222215)4(8)4(xx x x x x ++++++（18）222222)1(2)1)(16(5)16(2++++++++x x x x x x （19）x 4＋x 2y 2＋y 4 （20）x 4－23x 2y 2＋y 4（21）a 3＋b 3＋3(a 2＋b 2)＋3(a ＋b )＋2 （22）641233-++ab b a （23）12233+++-b a ab b a .（24）1)1()2+-+ab b a （ （25）2222224)()(2b a x b a x -++-（26）))(()()(333333y x b a by ax bx ay ++-+++ （27）633621619y y x x --（28）x 2y －y 2z ＋z 2x －x 2z ＋y 2x ＋z 2y －2xyz （29）810381032345++---x x x x x因式分解的应用1、证明：四个连续整数的的乘积加1是整数的平方.2、2n －1和2n +1表示两个连续的奇数(n 是整数)，证明这两个连续奇数的平方差能被8整除．3、已知1248-可以被60与70之间的两个整数整除，求这两个整数.4、已知724－1可被40至50之间的两个整数整除，求这两个整数.5、求证：139792781--能被45整除.6、求证：146+1能被197整除．7、设4x －y 为3的倍数，求证：4x 2+7xy －2y 2能被9整除． 8、已知222y xy x -+=7，求整数x 、y 的值． 9、求方程07946=--+y x xy 的整数解. 10、求方程xy －x －y ＋1=3的整数解． 11、求方程4x 2－4xy －3y 2=5的整数解．12、两个小朋友的年龄分别为a 和b ，已知a 2＋ab =99，则a =______，b =_______ . 13、 计算下列各题： (1)23×3.14＋5.9×31.4＋180×0.314；(2)19952199519931995199519963232－－＋－⨯．14、求积()()()()()11131124113511461198100＋＋＋＋＋⨯⨯⨯⨯⨯ ()1199101＋⨯的整数部分？15、解方程：（x 2＋4x )2－2(x 2＋4x )－15=016、已知ac ＋bd =0，则ab (c 2＋d 2)＋cd (a 2＋b 2)的值等于___________．17、已知a －b =3, a －c =326, 求(c —b )[(a －b )2+(a －c )(a －b )+(a －c )2]的值．18、已知012=++x x ，求148++x x 的值．19、若x 满足145-=++x x x ，计算200419991998x x x +++ .20、已知三角形的三边a 、b 、c 满足等式abc c b a 3333=++，证明这个三角形是等边三角形．。
初中数学因式分解综合训练培优练习2(附答案详解)
初中数学因式分解综合训练培优练习2（附答案详解）1．下列各式分解因式正确的是A ．()()2228244a b a b a b -=+- B ．()22693x x x -+=-C ．()22224923m mn n m n -+=-D ．()()()()x x y y y x x y x y -+-=-+2．因式分解：a (n －1)2－2a (n －1)＋a.3．分解因式：412x 3y xy -+4．因式分解：（1）316x x - （2）221218x x -+5．因式分解：（1）﹣3x 3+6x 2y ﹣3xy 2； （2）a 3-4ab 2．6．2221x x y ++-7．(x 2+2x)2+2(x 2+2x)+18．分解因式：(1) 3a 3－6a 2+3a ．(2) a 2(x －y)+b 2(y －x)．9．因式分解：(1)3349x y xy - (2)222(6)6(6)9x x ---+10．因式分解： (1) x 2﹣36；(2) xy 2﹣x ；(3) ab 4﹣4ab 3+4ab 2；(4) （m +1）（m ﹣9）+8m ．11．已知ab ＝－3，a ＋b ＝2．求下列各式的值： (1)a 2＋b 2； (2)a 3b ＋2a 2b 2 ＋ab 3； (3)a －b ．12．（1）因式分解：3a 3+12a 2+12a ；2016+20162-20172（2）解不等式组：()263125x x x -<⎧⎨+≤+⎩，并将解集在数轴上表示出来．（3）解分式方程：2236x 1x 1x 1+=+--．13．观察下列式子：23(1)(1)1x x x x +-+=+;23(2)(24)8x x x x +-+=+;2233(2)(42)8m n m mn n m n +-+=+;……（1）上面的整式乘法计算结果比较简洁，类比学习过的平方差公式，完全平方公式的推导过程，请你写出一个新的乘法公式（用含a 、b 的字母表示），并加以证明；（2）直接用你发现的公式写出计算结果：（2a +3b ）（4a 2﹣6ab +9b 2）= ；（3）分解因式：m 3 + n 3 + 3mn （m + n ）.14．分解因式：4322221x x x x ++++15．因式分解：(1)x 2y －2xy ＋xy 2； (2)422x -+．16．222---x xy y =__________17．分解因式212x 123y xy y -+-=___________18．将22363ax axy ay -+分解因式是__________．19．在实数范围内分解因式：4244x x -+=_____________．20．因式分解：m 3n ﹣9mn ＝______．21．分解因式：339a b ab -=_____________．22．分解因式：x 3y ﹣2x 2y+xy=______．23．分解因式：3x 2﹣3y 2＝_____．24．因式分解：2328x y y -=_________.25．分解因式：am 2﹣9a=_________________．26． 分解因式：（p+1）（p ﹣4）+3p ＝_____．27．因式分解：x 3﹣6x 2y +9xy 2＝____．28．分解因式：222x 2y -= ______.29．分解因式：22xy xy x -+-=__________．30．分解因式：a 3b +2a 2b 2+ab 3＝_____．31．分解因式：3a 2+6ab+3b 2=________________．32．分解因式：29y x y -=_____________．33．分解因式：4a 2b ﹣b ＝_____．34．分解因式：222m -=_________________________．35．分解因式：2a 2﹣18=________．36．分解因式：x 3﹣2x 2+x=______．37．因式分解：34x x -=____________________．参考答案1．B【解析】【分析】利用完全平方公式a 2-2ab+b 2=（a-b ）2和平方差公式以及提公因式法分别进行分解即可．【详解】A. ()()2222282(4)222a b a b a b a b -=-=+-，故该选项错误； B. ()22693x x x -+=-，分解正确；C. ()22224923m mn n m n -+≠-，故原选项错误；D. ()()()()2()x x y y y x x y x y x y -+-=--=-，故原选项错误. 故选B.【点睛】本题考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解．2．a(n-2)2【解析】试题分析：根据题意，先提公因式a ，然后把n-1看做一个整体，利用完全平方公式分解即可.试题解析：原式=a[(n-1)2-2(n-1)+1]=a[(n-1)-1]2=a(n-2)2点睛：因式分解是把一个多项式化为几个因式积的形式.根据因式分解的一般步骤：一提（公因式）、二套（平方差公式()()22a b a b a b -=+-，完全平方公式()2222a ab b a b ±+=±）、三检查（彻底分解）. 3．()()32121xy x x -+-【解析】试题分析：根据因式分解的方法，先提公因式-3xy ，然后根据平方差公式因式分解即可. 试题解析：()()()4212x 334132121y xy xy x xy x x -+=--=-+- 4．（1）(4)(4)x x x +-；（2）22(3)x -【解析】试题分析：根据因式分解的方法步骤，一提（公因式）二套（平方差公式，完全平方公式）三检查（是否分解彻底），可直接进行因式分解.试题解析：（1）原式=()216x x -=()()44x x x +-（2）原式=()2269x x -+=()223x -5．（1）-3x （x-y ）2；（2） a （a+2b ）（a-2b ）．【解析】试题分析：根据因式分解的一般步骤：一提（公因式）、二套（平方差公式()()22a b a b a b -=+-，完全平方公式()2222a ab b a b ±+=±）、三检查（彻底分解），可以直接接计算即可.试题解析：（1）﹣3x 3+6x 2y ﹣3xy 2=-3x （x 2-2xy+y 2）=-3x （x-y ）2（2）a 3-4ab 2=a （a 2-4b 2）=a （a+2b ）（a-2b ）点睛：因式分解是把一个多项式化为几个因式积的形式.根据因式分解的一般步骤：一提（公因式）、二套（平方差公式()()22a b a b a b -=+-，完全平方公式()2222a ab b a b ±+=±）、三检查（彻底分解）. 6．(1)(1)x y x y +++-【解析】解：原式=()221x y +-=()()11x y x y +++- 7．4(1)x +【解析】解：原式=()2221x x ++=()41x +8．(1) 3 a （a －1）2；(2) (x －y)（a －b)（a+b ）；(3)（a+7b ）（7a+b ）【解析】试题分析：因式分解是把一个多项式化为几个因式积的形式.根据因式分解的一般步骤：一提（公因式）、二套（平方差公式()()22a b a b a b -=+-，完全平方公式()2222a ab b a b ±+=±）、三检查（彻底分解）. 试题解析：(1) 原式=3 a （a 2－2a+3）=3 a （a －1）2；(2) 原式= (x －y)（a 2－b 2)= (x －y)（a －b)（a+b ）；(3) 原式=[4(a+b)－3(a －b)] [4(a+b)+3(a －b)]=（a+7b ）（7a+b ）．9．（1）（2）22(3)(3)x x +- 【解析】试题分析：因式分解是把一个多项式化为几个因式积的形式.根据因式分解的一般步骤：一提（公因式）、二套（平方差公式()()22a b a b a b -=+-，完全平方公式()2222a ab b a b ±+=±）、三检查（彻底分解）. 试题解析：（1）3349x y xy -=xy （2x-3y ）（2x+3y ）（2）()()2226669x x ---+ =（x 2-6-3）2=（x+3）2（x-3）210．（1）（x +6）（x ﹣6）．（2）x （y ﹣1）（y +1）．（3）ab 2（b ﹣2）2． （4）（m +3）（m ﹣3）．【解析】试题分析：（1）利用平方差公式进行因式分解即可；（2）先提公因式，再根据平方差公式分解即可；（3）先提公因式，再根据完全平方公式分解即可；（4）先根据乘法公式计算，再合并同类项，最后根据平方差公式分解即可.试题解析：（1）x 2﹣36=（x +6）（x ﹣6）．（2）xy2﹣x=x（y2﹣1）=x（y﹣1）（y+1）．（3）ab4﹣4ab3+4ab2=ab2（b2﹣4b+4）=ab2（b﹣2）2．（4）（m+1）（m﹣9）+8m=m2﹣9m+m﹣9+8m=m2﹣9=（m+3）（m﹣3）．点睛：此题主要考查了因式分解，解题的关键是灵活选用适当的方法进行饮食费解。
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第一讲：因式分解 (一)多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具．因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用．初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．本讲及下一讲在中学数学教材基础上，对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍．1．运用公式法在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：(1)a 2 2-b) ；-b =(a+b)(a(2)a 2±2ab+b2=(a ±b) 2；(3)a 3 3 2 2；+b =(a+b)(a -ab+b )(4)a 3 3 2 2．-b =(a -b)(a +ab+b )下面再补充几个常用的公式：(5)a 2 2 2 2 +b +c +2ab+2bc+2ca=(a+b+c) ；(6)a 3+b3 +c3 -3abc=(a+b+c)(a 2+b2+c2 -ab-bc -ca) ；(7)a n n n-1n-2 n-3 2 n-2n-1) 其中 n -b =(a -b)(a +a b+a b +⋯+ab +b为正整数；(8)a n n n-1n-2 n-3 2 n-2 n-1) ，其中 n -b =(a+b)(a -a b+a b -⋯ +ab -b为偶数；(9)a n+b n =(a+b)(a n-1 -a n-2 b+a n-3 b2-⋯ -ab n-2 +b n-1 ) ，其中 n 为奇数．运用公式法分解因式时，要根据多项式的特点，根据字母、系数、指数、符号等正确恰当地选择公式．例 1 分解因式：(1)-2x5n-1 y n+4x3n-1 y n+2-2x n-1 y n+4；33 3(2)x -8y -z -6xyz ；(3)a 2+b2 +c2-2bc+2ca -2ab；7 5 2 2 57(4)a -a b +a b -b ．=-2x n-1 y n(x 2n-y2) 2=-2x n-1 y n(x n- y) 2(x n+y) 2．(2)3 3 3原式 =x +( -2y) +( -z) -3x( -2y)( -Z)=(x -2y-z)(x2 2 2．+4y +z +2xy+xz -2yz)(3) 原式 =(a2 2 2-2ab+b )+( -2bc+2ca)+c2 2＝ (a -b) +2c(a -b)+c2=(a -b+c) ．本小题可以稍加变形，直接使用公式(5) ，解法如下：原式 =a2+( -b) 2+c2+2( - b)c+2ca+2a( -b)=(a -b+c) 2(4) 原式 =(a7 5 2 2 5 7-a b )+(a b -b )5 2 2 5(a2 2=a (a -b )+b -b )=(a2 2)(a5 5-b +b )=(a+b)(a -b)(a+b)(a4-a3b+a2b2-ab3+b4)2 43 2 2 3 4=(a+b) (a -b)(a -a b+a b -ab +b ) 例2 分解因式： a3+b3+c3-3abc．本题实际上就是用因式分解的方法证明前面给出的公式 (6) ．分析我们已经知道公式(a+b) 3=a3+3a2b+3ab2+b3的正确性，现将此公式变形为a3+b3=(a+b) 3 -3ab(a+b) ．这个式也是一个常用的公式，本题就借助于它来推导．3 3解原式 =(a+b) -3ab(a+b)+c -3abc= ［(a+b)3+c 3］ -3ab(a+b+c)=(a+b+c) ［2 2] - 3ab(a+b+c)(a+b) -c(a+b)+c=(a+b+c)(a 2+b2+c2- ab-bc- ca) ．说明公式 (6) 是一个应用极广的公式，用它可以推出很多有用的结论，例如：我们将公式 (6) 变形为a3+b3 +c3-3abc显然，当 a+b+c=0 时，则 a3+b3+c3=3abc ；当 a+b+c3 3 3 3 3 3≥ 3abc，而＞ 0 时，则 a +b +c -3abc ≥0，即 a +b +c且，当且仅当a=b=c 时，等号成立．如果令 x=a3≥ 0，y=b3≥ 0， z=c3≥ 0，则有等号成立的充要条件是x=y=z ．这也是一个常用的结论．例3 分解因式： x15+x14 +x13 +⋯+x2+x+1．分析这个多项式的特点是：有 16 项，从最高次项 x15开始， x 的次数顺次递减至 0，由此想到应用公式 a n-b n来分解．解因为x16-1=(x -1)(x 15+x14+x 13+⋯ x2+x+1) ，所以说明在本题的分解过程中，用到先乘以(x -1) ，再除以 (x -1) 的技巧，这一技巧在等式变形中很常用．2．拆项、添项法因式分解是多项式乘法的逆运算．在多项式乘法运算时，整理、化简常将几个同类项合并为一项，或将两个仅符号相反的同类项相互抵消为零．在对某些多项式分解因式时，需要恢复那些被合并或相互抵消的项，即把多项式中的某一项拆成两项或多项，或者在多项式中添上两个仅符合相反的项，前者称为拆项，后者称为添项．拆项、添项的目的是使多项式能用分组分解法进行因式分解．例4 分解因式： x3 -9x+8．分析本题解法很多，这里只介绍运用拆项、添项法分解的几种解法，注意一下拆项、添项的目的与技巧．解法 1 将常数项8 拆成 -1+9．3原式 =x - 9x-1+932解法 2 将一次项 -9x 拆成 -x-8x．3原式 =x -x-8x+83=(x -x)+( -8x+8)=x(x+1)(x -1) -8(x -1)2解法 3 将三次项 x3拆成 9x3 3．- 8x原式 =9x3 -8x 3 -9x+8=(9x3 3+8)-9x)+( -8x=9x(x+1)(x -1) -8(x -1)(x 2+x+1)=(x -1)(x 2+x-8) ．解法 4 添加两项 -x2+x2．原式 =x3-9x+8=x3 2 2-x +x -9x+8=x2(x -1)+(x -8)(x -1)=(x -1)(x 2+x-8) ．说明由此题可以看出，用拆项、添项的方法分解因式时，要拆哪些项，添什么项并无一定之规，主要的是要依靠对题目特点的观察，灵活变换，因此拆项、添项法是因式分解诸方法中技巧性最强的一种．例 5 分解因式：(1)x9 6 3+x +x -3；(2)(m 2 -1)(n 2 -1)+4mn；(3)(x+1) 4+(x 2 -1) 2+(x -1) 4；(4)a 3b-ab3+a2+b2+1．解(1) 将 -3 拆成 -1- 1-1．9 6 3原式 =x +x +x -1-1-1=(x9-1)+(x6 3-1)+(x -1)=(x3 6 3 3 3 3-1)(x +x +1)+(x -1)(x +1)+(x -1)=(x 3 -1)(x6+2x3+3)=(x -1)(x 2+x+1)(x 6+2x3+3) ．(2) 将 4mn拆成 2mn+2mn．原式 =(m2-1)(n 2-1)+2mn+2mn2 2 2 2=mn -m- n +1+2mn+2mn2 2 2 2=(m n +2mn+1)-(m -2mn+n)=(mn+1)2 2-(m-n)原式 =(x+1) 4+2(x2 2 2 2+(x -1)4解原式 =(x+1)(x+2)(2x+1)(2x+3) -90 -1) -(x -1)=［ (x+1) 4+2(x+1) 2(x -1) 2+(x -1) 4] -(x 2 -1) 2 =[(x+1)(2x+3)][(x+2)(2x+1)] -90=［ (x+1) 2 2 2 2 2 2 2+(x - 1) ] -(x -1) =(2x +5x+3)(2x +5x+2) -90．2 2 2 2 2+1)(x 2+3) ．2=(2x +2) -(x -1) =(3x 令 y=2x +5x+2，则(4) 添加两项 +ab- ab．原式 =y(y+1) -90=y2+y-90原式 =a3b-ab3 +a2+b2+1+ab-ab =(y+10)(y -9)=(a 3b- ab3)+(a 2 -ab)+(ab+b 2+1) =(2x 2+5x+12)(2x 2+5x-7)=ab(a+b)(a - b)+a(a -b)+(ab+b 2+1) =(2x 2+5x+12)(2x+7)(x -1) ．=a(a -b) ［ b(a+b)+1]+(ab+b 2+1) 说明对多项式适当的恒等变形是我们找到新元(y) =[a(a -b)+1](ab+b 2+1) 的基础．=(a 2 -ab+1)(b 2+ab+1) ．例 8 分解因式：说明 (4) 是一道较难的题目，由于分解后的因式结(x 2+4x+8)2+3x(x 2+4x+8)+2x 2．构较复杂，所以不易想到添加+ab-ab，而且添加项后解设 x2+4x+8=y，则分成的三项组又无公因式，而是先将前两组分解，再原式 =y2+3xy+2x 2=(y+2x)(y+x)与第三组结合，找到公因式．这道题目使我们体会到=(x 2+6x+8)(x 2+5x+8)拆项、添项法的极强技巧所在，同学们需多做练习，=(x+2)(x+4)(x 2+5x+8) ．积累经验．说明由本题可知，用换元法分解因式时，不必将原3．换元法式中的元都用新元代换，根据题目需要，引入必要的换元法指的是将一个较复杂的代数式中的某一部分新元，原式中的变元和新变元可以一起变形，换元法看作一个整体，并用一个新的字母替代这个整体来运的本质是简化多项式．算，从而使运算过程简明清晰．例 9 分解因式： 6x4+7x3 -36x 2 -7x+6．例 6 分解因式： (x 2+x+1)(x 2+x+2) -12．解法 1 原式 =6(x 4+1) ＋ 7x(x 2 -1) -36x 2分析将原式展开，是关于 x 的四次多项式，分解因4 2 2 2 2 =6［ (x -2x +1)+2x ］+7x(x -1) -36x式较困难．我们不妨将x2+x 看作一个整体，并用字母=6[(x 2-1)2+2x 2]+7x(x 2-1) -36x 2 y 来替代，于是原题转化为关于y 的二次三项式的因=6(x 2 -1) 2+7x(x 2 -1) -24x2式分解问题了．=[2(x 2］［2-1) -3x 3(x -1)+8x]解设 x2+x=y ，则=(2x 2 -3x-2)(3x 2+8x-3)原式 =(y+1)(y+2) -12=y 2+3y-10 =(2x+1)(x -2)(3x -1)(x+3) ．=(y -2)(y+5)=(x 2+x-2)(x 2+x+5) 说明本解法实际上是将x2 -1 看作一个整体，但并=(x -1)(x+2)(x 2+x+5) ．没有设立新元来代替它，即熟练使用换元法后，并非说明本题也可将 x2+x+1 看作一个整体，比如今每题都要设置新元来代替整体．x2+x+1=u ，一样可以得到同样的结果，有兴趣的同学解法 2不妨试一试．例 7 分解因式：(x 2+3x+2)(4x 2+8x+3) -90．=x2(6t 2+7t -24)=x 2(2t - 3)(3t+8)=x2[2(x -1/x) -3][3(x-1/x)+8]2 2=(2x - 3x-2)(3x +8x-3)=(2x+1)(x -2)(3x -1)(x+3)．例10 分解因式： (x 2+xy+y 2) -4xy(x 2+y2) ．分析本题含有两个字母，且当互换这两个字母的位置时，多项式保持不变，这样的多项式叫作二元对称式．对于较难分解的二元对称式，经常令 u=x+y，v=xy ，用换元法分解因式．1．双十字相乘法分解二次三项式时，我们常用十字相乘法．对于某些二元二次六项式(ax 2+bxy+cy 2 +dx+ey+f) ，我们也可以用十字相乘法分解因式．例如，分解因式2 2．我们将上2x -7xy-22y -5x+35y-3式按 x 降幂排列，并把y 当作常数，于是上式可变形为2x2-(5+7y)x-(22y2-35y+3)，可以看作是关于x 的二次三项式．对于常数项而言，它是关于y 的二次三项式，也可以用十字相乘法，分解为即： -22y 2+35y-3=(2y-3)(-11y+1)．再利用十字相乘法对关于x 的二次三项式分解所以，原式 =［ x+(2y-3) ］［ 2x+(-11y+1)］=(x+2y-3)(2x-11y+1)．上述因式分解的过程，实施了两次十字相乘法．如解原式 =[(x+y)2 2 2．令 x+y=u ，-xy] -4xy[(x+y) -2xy]xy=v ，则原式 =(u2 2 2-v) -4v(u -2v)4 2 2=u -6u v+9v=(u 2 -3v) 2=(x2+2xy+y2 2- 3xy)=(x 2 -xy+y 2) 2．第二讲：因式分解 (二)它表示的是下面三个关系式：(x+2y)(2x-11y)=2x2-7xy-22y2；2(x-3)(2x+1)=2x-5x-3 ；(2y-3)(-11y+1)=-22y2+35y-3．这就是所谓的双十字相乘法．用双十字相乘法对多项式ax 2+bxy+cy 2+dx+ey+f 进行因式分解的步骤是：(1) 用十字相乘法分解ax2+bxy+cy 2，得到一个十字相乘图 ( 有两列 ) ；(2)把常数项 f 分解成两个因式填在第三列上，要求第二、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的ey，第一、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的 dx．例 1 分解因式：(1)x 2-3xy-10y 2+x+9y-2 ；2 2(2)x -y +5x+3y+4 ；(3)xy+y 2+x-y-2 ；(4)6x 2- 7xy-3y 2-xz+7yz-2z2．解(1)原式 =(x-5y+2)(x+2y-1)．(2)原式 =(y+1)(x+y-2)．(4)原式 =(x+y+1)(x-y+4)．(3) 原式中缺x2项，可把这一项的系数看成0 来分解．原式 =(2x-3y+z)(3x+y-2z)．说明 (4) 中有三个字母，解法仍与前面的类似．2．求根法我们把形如a n x n+a n-1x n-1 +⋯ +a1x+a0(n 为非负整数 ) 的代数式称为关于x 的一元多项式，并用 f(x) ， g(x) ，⋯等记号表示，如f(x)=x2-3x+2，g(x)=x5+x2+6，⋯，当 x=a 时，多项式 f(x) 的值用 f(a) 表示．如对上面的多项式f(x)f(1)=1 2-3 × 1+2=0；f(-2)=(-2) 2-3 × (-2)+2=12 ．若 f(a)=0 ，则称 a 为多项式 f(x) 的一个根．定理 1( 因式定理 ) 若 a 是一元多项式f(x) 的根，即 f(a)=0 成立，则多项式 f(x) 有一个因式 x-a ．根据因式定理，找出一元多项式f(x) 的一次因式的关键是求多项式f(x) 的根．对于任意多项式 f(x) ，要求出它的根是没有一般方法的，然而当多项式f(x) 的系数都是整数时，即整系数多项式时，经常用下面的定理来判定它是否有有理根．定理 2的根，则必有p 是 a0的约数， q 是 a n的约数．特别地，当a0 =1 时，整系数多项式f(x) 的整数根均为a n的约数．我们根据上述定理，用求多项式的根来确定多项式的一次因式，从而对多项式进行因式分解．例2 分解因式： x3 -4x 2+6x-4 ．分析这是一个整系数一元多项式，原式若有整数根，必是-4的约数，逐个检验-4的约数：± 1，± 2，± 4，只有f(2)=2 3-4 × 22+6× 2-4=0 ，即 x=2 是原式的一个根，所以根据定理1，原式必有因式x-2 ．解法 1 用分组分解法，使每组都有因式(x-2)．32 2原式 =(x -2x )-(2x -4x)+(2x-4)=x2(x-2)-2x(x-2)+2(x-2)=(x-2)(x2-2x+2)．解法 2 用多项式除法，将原式除以(x-2) ，所以原式 =(x-2)(x2-2x+2)．说明在上述解法中，特别要注意的是多项式的有理根一定是-4 的约数，反之不成立，即-4 的约数不一定是多项式的根．因此，必须对-4 的约数逐个代入多项式进行验证．例 3 分解因式： 9x4-3x 3+7x2-3x-2 ．分析因为9的约数有± 1，± 3，± 9；-2的约数有± 1，±为：2所以，原式有因式9x -3x-2 ．解9x 4-3x 3+7x2-3x-2 =9x4-3x 3-2x 2+9x 2-3x-2=x2(9x 3-3x-2)+9x 2-3x-2=(9x 2-3x-2)(x 2+1)=(3x+1)(3x-2)(x2+1)说明若整系数多项式有分数根，可将所得出的含有分数的因式化为整系数因式，如上题中的因式可以化为29x -3x-2 ，这样可以简化分解过程．总之，对一元高次多项式 f(x) ，如果能找到一个一次因式(x-a) ，那么 f(x) 就可以分解为(x-a)g(x) ，而 g(x) 是比 f(x) 低一次的一元多项式，这样，我们就可以继续对g(x) 进行分解了．3．待定系数法待定系数法是数学中的一种重要的解题方法，应用很广泛，这里介绍它在因式分解中的应用．在因式分解时，一些多项式经过分析，可以断定它能分解成某几个因式，但这几个因式中的某些系数尚未确定，这时可以用一些字母来表示待定的系数．由于该多项式等于这几个因式的乘积，根据多项式恒等的性质，两边对应项系数应该相等，或取多项式中原有字母的几个特殊值，列出关于待定系数的方程( 或方程组 ) ，解出待定字母系数的值，这种因式分解的方法叫作待定系数法．例 4 分解因式： x2 +3xy+2y 2+4x+5y+3 ．分析由于(x 2+3xy+2y 2)=(x+2y)(x+y)，若原式可以分解因式，那么它的两个一次项一定是x+2y+m 和 x＋y＋ n 的形式，应用待定系数法即可求出m和 n，使问题得到解决．解设x2+3xy+2y 2+4x+5y+3=(x+2y+m)(x+y+n)=x2+3xy+2y 2+(m+n)x+(m+2n)y+mn ，比较两边对应项的系数，则有解之得 m=3， n=1．所以原式 =(x+2y+3)(x+y+1)．说明本题也可用双十字相乘法，请同学们自己解一下．例5 分解因式： x4 -2x 3-27x 2-44x+7 ．分析本题所给的是一元整系数多项式，根据前面讲过的求根法，若原式有有理根，则只可能是± 1，± 7(7 的约数 ) ，经检验，它们都不是原式的根，所以，在有理数集内，2 2原式没有一次因式．如果原式能分解，只能分解为(x +ax+b)(x +cx+d) 的形式．2 2原式 =(x +ax+b)(x +cx+d)=x4+(a+c)x 3+(b+d+ac)x 2+(ad+bc)x+bd ，所以有由 bd=7，先考虑b=1， d=7 有所以原式 =(x 2-7x+1)(x 2 +5x+7)．说明由于因式分解的唯一性，所以对b=-1 ， d=-7 等可以不加以考虑．本题如果b=1，d=7 代入方程组后，无法确定a， c 的值，就必须将bd=7 的其他解代入方程组，直到求出待定系数为止．本题没有一次因式，因而无法运用求根法分解因式．但利用待定系数法，使我们找到了二次因式．由此可见，待定系数法在因式分解中也有用武之地．。