2018全国Ⅲ卷高考压轴卷文科数学(含答案)

2018全国Ⅲ卷高考压轴卷文科数学本试卷共23题（含选考题）。

全卷满分150分。

考试用时120分钟。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合M ＝{}4x x ≤，N ＝{}2log x y x =，则M N ⋂=（ ） A ．[)4,+∞ B ．(],4-∞ C ．()0,4 D ．(]0,4 2. “1a =”是“关于x 的方程230x x a -+=有实数根”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件3. z 为复数z 的共轭复数，i 为虚数单位，且1i z i ⋅=-，则复数z 的虚部为( ) A ．i - B ．-1 C ．i D ．14. 下列说法中正确的是A. 先把高三年级的2000名学生编号：1到2000，再从编号为1到50的50名学生中随机抽取1名学生，其编号为m ，然后抽取编号为Λ150,100,50+++m m m 的学生，这样的抽样方法是分层抽样法B. 线性回归直线a x b yˆˆˆ+=不一定过样本中心点),(y x C. 若两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数r 的值越接近于1 D.若一组数据1、a 、3的平均数是2，则该组数据的方差是325. 已知命题p :),0(0+∞∈∃x ,使得00169x x -=，命题q : +∈∀N x ,0)1(2>-x 都有，则下列命题为真命题的是（ ）A.q p ∧B.q p ∨⌝)( C.()q p ⌝⌝∧)( D.())(q p ⌝⌝∨6. 若3cos()45πα-=，则s 2in α=（ ）A ．725B ．37 C.35- D ．357. 执行如图所示的程序框图后，输出的值为4，则p 的取值范围是（ ） A ．3748p <≤ B ．516p > C ．75816p ≤< D ．75816p <≤8. 设0.60.3a =，0.60.5b =，3log 4c ππ=,则( )A ．b a c >>B ．a b c >>C ．c b a >>D ．c b a >>9. 某几何体的三视图如图所示，其中俯视图中六边形ABCDEF 是边长为1的正六边形，点G 为AF 的中点，则该几何体的外接球的表面积是（ ）A.316π B. 318π C. 48164πD. 3131π10. 设向量(,1)a x =r ，(1,3)b =-r，且a b ⊥r r ，则向量3a b -r r 与b r 的夹角为（ ）A ．6π B ．3π C ．23π D ．6π5 11. 已知F 1、F 2是双曲线E ：﹣=1（a ＞0，b ＞0）的左、右焦点，点M 在E 的渐近线上，且MF 1与x 轴垂直，sin ∠MF 2F 1=，则E 的离心率为（ ） A ．B ．C ．D ．212.已知函数()3,0 2sincos,0x x xf xx x x⎧+>=⎨≤⎩，则下列结论正确的是（）A．()f x是奇函数 B．()f x是增函数C．()f x是周期函数 D．()f x的值域为[1,)-+∞二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知实数x，y满足10xyx y≥⎧⎪≥⎨⎪+-≤⎩，则22(1)x y++的最大值为．14.函数f（x）=x4cos1x4sin+的最小正周期是．15.在平面直角坐标系xOy中，点()0,3A-，若圆()()22:21C x a y a-+-+=上存在一点M满足2MA MO=，则实数a的取值范围是__________．16.函数()f x的定义域R内可导，若()()2f x f x=-，且当(),1x∈-∞时，()()1'0x f x-<，设()()10,,32a fb fc f⎛⎫===⎪⎝⎭，则,,a b c的大小关系为三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。

第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：60分。

17.（12分）已知等比数列{}n a的所有项均为正数，首项14a=，且324,3,a a a成等差数列.（1）求数列{}n a的通项公式；（2）记1n n nb a aλ+=-，数列{}n b的前n项和n S，若122nnS+=-，求实数λ的值.18.（12分）如图，在矩形ABCD中，2,4,,AD AB E F==分别为,AB AD的中点，现将ADE∆沿DE折起，得四棱锥A BCDE- .（1）求证： //EF 平面ABC ；（2）若平面ADE ⊥平面BCDE ，求四面体FACE 的体积.19.（12分）《朗读者》栏目在央视一经推出就受到广大观众的喜爱，恰逢4月23日是“世界读书日”，某中学开展了诵读比赛，经过初选有7名同学进行比赛，其中4名女生A 1，A 2，A 3，A 4和3名男生B 1，B 2，B 3．若从7名同学中随机选取2名同学进行一对一比赛． （1）求男生B 1被选中的概率；（2）求这2名同学恰为一男一女的概率．20.（12分） 椭圆C ：+=1（a ＞b ＞0）的短轴两端点为B 1（0，﹣1）、B 2（0，1），离心率e=，点P 是椭圆C上不在坐标轴上的任意一点，直线B 1P 和B 2P 分别与x 轴相交于M ，N 两点， （Ⅰ）求椭圆C 的方程和|OM|•|ON|的值；（Ⅱ）若点M 坐标为（1，0），过M 点的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，试求△ABN 面积的最大值．21.（12分）已知()()xf x e ax a R =-∈（e 为自然对数的底数）．（Ⅰ）讨论()f x 的单调性； （Ⅱ）若()f x 有两个零点12,x x ， （1） 求a 的取值范围；（2）在（1）的条件下，求证：122ln x x a +<．（二）选考题：共10分。

请考生在第22、23题中任选一题作答。

如果多做，则按所做的第一题计分。

22．[选修4-4，坐标系与参数方程]（10分）已知曲线C1的参数方程为（t为参数），以坐标项点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=﹣2sinθ．（1）把C1的参数方程化为极坐标系方程；（2）求C1与C2交点的极坐标（ρ≥0，0≤θ＜2π）．23.[选修4—5：不等式选讲]（10分）已知函数f（x）=|x﹣a|+|2x﹣1|（a∈R）．（Ⅰ）当a=1时，求f（x）≤2的解集；（Ⅱ）若f（x）≤|2x+1|的解集包含集合[，1]，求实数a的取值范围．数学（文史类）试卷答案及评分参考一、选择题：1.【答案】D2.【答案】A【解析】关于x的方程有实数根，则，据此可知：“ a=1”是“关于x的方程有实数根”的充分不必要条件.本题选择A选项.3.【答案】D4.【答案】D5.【答案】D6.【答案】D7.【答案】A8.【答案】A9.【答案】C【解析】由三视图可知，该几何体是一个六棱锥P ABCDEF -，其底面ABCDEF 是边长为1的正六边形，有一个侧面PAF 是底边上的离为2的等腰三角形，且有侧面PAF ⊥底面ABCDEF ，设球心为O ，半径为,R O 到底面的距离为h ，底面正六边形外接球圆半径为()22231,12h h ⎛⎫∴+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭，解得2215481,1,16256h R h =∴=+=∴此六棱锥P ABCDEF -的外接球表面枳为481481425664ππ⨯=，故选C. 10.【答案】D 11.【答案】A【解析】∵MF 1与x 轴垂直，sin ∠MF 2F 1=，∴设MF 1=m ，则MF 2=3m ，由双曲线的定义得3m ﹣m=2a ，即2m=2a ，得m=a ，在直角三角形MF 2F 1中，9m 2﹣m 2=4c 2，即8m 2=4c 2，即8a 2=4c 2，即e=，故选：A ．12.【答案】D 二、填空题： 13.【答案】2 14.【答案】【解析】函数f （x ）===tan2x ．∴最小正周期T=．故答案为．15. 【答案】[]0,3【解析】设满足2MA MO =的点的坐标为(),M x y ，由题意有：()222232x y x y ++=+得： ()2214x y +-=，即所有满足题意的点M 组成的轨迹方程是一个圆，原问题转化为圆()2214x y +-=与圆()()22:21C x a y a -+-+=有交点，据此可得关于实数a 的不等式组：()()222231 33a a a a +-≥+-≤，解得： {03x Rx ∈≤≤，综上可得：实数a 的取值范围是[]0,3.16．【答案】b a c << 三、解答题：（一）必考题：60分。

17．（本小题满分12分）【答案】（1）设数列{}n a 的公比为q ， 由条件可知23,3,q q q 成等差数列，所以236q q q =+，解得3q =-或2q =，因为0q >，所以2q =，所以数列{}n a 的通项公式为12()n n a n N ++=∈ . （2）由（1）知，1122(2)2n n nn n n b a a λλλ++=-=-⋅=-⋅， 因为122n n S +=-，所以2nn b =，所以1(2)22n n λ+-⋅=，所以32λ=.18．（本小题满分12分）【答案】解：(1)取线段AC 的中点M ，连接,MF MB ，因为F 为AD 的中点，所以MF CD P ，且12MF CD =，在折叠前，四边形ABCD 为矩形，E 为AB 的中点，所以BE CD P ，且12BE CD =.MF BE ∴P ，且MF BE =,所以四边形BEFM 为平行四边形，故EF BM P ，又EF ⊄平面,ABC BM ⊂平面ABC ，所以EF P // 平面ABC .(2) 在折叠前，四边形ABCD 为矩形，2,4,AD AB E ==为AB 的中点，所以,ADE CBE ∆∆都是等腰直角三角形，且2AD AE EB BC ====，所以45DEA CEB ∠=∠=o ，且22DE EC ==. 又180,90DEA DEC CEB DEC ∠+∠+∠=∴∠=oo，又平面ADE ⊥平面BCDE ，平面ADE I 平面,BCDE DE CE =⊂平面BCDE ，所以CE ⊥平面ADE ，即CE 为三棱锥C EFD -的高.因为F 为AD 的中点，所以111221224EFA S AD AE ∆=⨯⨯=⨯⨯=g ， 所以四面体FACE 的体积112212233EFA V S CE ∆=⨯=⨯⨯=g . 19．（本小题满分12分）【答案】（1）经过初选有7名同学进行比赛，其中4名女生A 1，A 2，A 3，A 4和3名男生B 1，B 2，B 3．从7名同学中随机选取2名同学进行一对一比赛． 基本事件总数n=，设事件A 表示“男生B 1被选中”，则事件A 包含的基本事件有：（A 1，B 1），（A 2，B 1），（A 3，B 1），（A 4，B 1），（B 1，B 2），（B 1，B 3），共6个，∴男生B1被选中的概率P（A）=．（2）设事件B表示“这2名同学恰为一男一女”，则事件B包含的基本事件有：（A1，B1），（A1，B2），（A1，B3），（A2，B1），（A2，B2），（A2，B3），（A3，B1），（A3，B2），（A3，B3），（A4，B1），（A4，B2），（A4，B3），共12个，∴这2名同学恰为一男一女的概率p=．【解析】（1）先求出基本事件总数n=，设事件A表示“男生B1被选中”，利用列举法求出事件A包含的基本事件个数，由此能求出男生B1被选中的概率．（2）设事件B表示“这2名同学恰为一男一女”，利用列举法求出事件B包含的基本事件个数，由此能求出这2名同学恰为一男一女的概率．20．（本小题满分12分）【答案】（Ⅰ）椭圆C： +=1（a＞b＞0）焦点在x轴上，由B1（0，﹣1）、B2（0，1），知b=1，由椭圆的离心率e==，则c2=a2，由a2﹣b2=c2，a2﹣1=a2，解得：a2=4，∴椭圆C的方程为：；设点P（x0，y0），则直线B1P方程为y=x﹣1，令y=0，得x M=，同理可得x N=，∴|OM|•|ON|=丨x M丨•丨x N丨=丨丨•丨丨==4，|OM|•|ON|=4；（Ⅱ）当点M坐标为（1，0）时，点N（4，0），丨MN丨=3，设直线AB的方程为x=ty+1，A（x1，y1），B（x2，y2），，整理得（t2+4）y2+2ty﹣3=0，则y1+y2=﹣，y1•y2=﹣，丨y1﹣y2丨===，△ABN面积S=丨MN丨•丨y1﹣y2丨=•=，∵t2≥0，则+≥+=，∴S≤，因此当t=0，即直线AB的方程为x=1时，△ABN面积的最大值是．【解析】（Ⅰ）由b=1，离心率e==，则c2=a2，由a2﹣b2=c2，代入即可求得a和b的值，求得椭圆方程，设点P （x 0，y 0），则直线B 1P 方程为y=x ﹣1，y=0，得x M =，同理可得x N =，∴|OM|•|ON|=丨x M 丨•丨x N 丨==4；（Ⅱ）设直线AB 的方程为x=ty+1，代入椭圆方程，由韦达定理求得丨y 1﹣y 2丨==，S=丨MN 丨•丨y 1﹣y 2丨=，由函数的单调性即可求得△ABN 面积的最大值． 21．（本小题满分12分）【答案】（Ⅰ）()f x 的定义域为R ，()xf x e a '=-，（1）当0a ≤时，()0f x '>在R 上恒成立，∴()f x 在R 上为增函数；（2）当0a >时，令()0f x '>得ln x a >，令()0f x '<得ln x a <，∴()f x 的递增区间为(ln ,)a +∞，递减区间为(,ln )a -∞；（Ⅱ）（1）由（Ⅰ）知，当0a ≤时， ()f x 在R 上为增函数，()f x 不合题意； 当0a >时， ()f x 的递增区间为(ln ,)a +∞，递减区间为(,ln )a -∞， 又(0)0f e =>，当x →+∞时，()f x →+∞，∴()f x 有两个零点12,x x ，则min ()(ln )ln (1ln )0f x f a a a a a a ==-=-<，解得a e >；（2）由（Ⅱ）（1），当a e >时，()f x 有两个零点12,x x ，且()f x 在(ln ,)a +∞上递增， 在(,ln )a -∞上递减，依题意，12()()0f x f x ==，不妨设12ln x a x <<．要证122ln x x a +<，即证122ln x a x <-，又12ln x a x <<，所以122ln ln x a x a <-<， 而()f x 在(,ln )a -∞上递减，即证12()(2ln )f x f a x >-， 又12()()0f x f x ==，即证22()(2ln )f x f a x >-，（2ln x a >）．构造函数2()()(2ln )22ln (ln )xx a g x f x f a x e ax a a x a e=--=--+>，22()2220xx a g x e a a a e'=+->=，∴()g x 在(ln ,)a +∞单调递增，∴()(ln )0g x g a >=，从而()(2ln )f x f a x >-，∴22()(2ln )f x f a x >-，（2ln x a >），命题成立．（二）选考题：共10分22．[选修4-4，坐标系与参数方程]（10分）【答案】（1）∵曲线C1的参数方程为（t为参数），∴曲线C1的直角坐标方程为（x+4）2+（y+5）2=25，∴x=ρcosθ，y=ρsinθ，∴（ρcosθ+4）2+（ρsinθ+5）2=25，化简，得到C1的极坐标方程为：ρ2+8ρcosθ+10ρsinθ+16=0．（2）将ρ=﹣2sinθ代入ρ2+8ρcosθ+10ρsinθ+16=0，化简，得：sin2θ+sinθcosθ﹣1=0，整理，得sin（2θ﹣）=，∴2θ﹣=2kπ+或=2kπ+，k∈Z，由ρ≥0，0≤θ＜2π，得或，代入ρ=﹣2sinθ，得或，∴C1与C2交点的极坐标为（，）或（2，）．【解析】（1）先求出曲线C1的直角坐标方程，再由x=ρcosθ，y=ρsinθ，能求出到C1的极坐标方程．（2）将ρ=﹣2sinθ代入ρ2+8ρcosθ+10ρsinθ+16=0，得sin（2θ﹣）=，由此能求出C1与C2交点的极坐标．23.[选修4—5：不等式选讲]（10分）【答案】（ I）当a=1时，f（x）=|x﹣1|+|2x﹣1|，f（x）≤2⇒|x﹣1|+|2x﹣1|≤2，上述不等式可化为或或解得或或∴或或，∴原不等式的解集为．（ II）∵f（x）≤|2x+1|的解集包含，∴当时，不等式f（x）≤|2x+1|恒成立，即|x﹣a|+|2x﹣1|≤|2x+1|在上恒成立，∴|x﹣a|+2x﹣1≤2x+1，即|x﹣a|≤2，∴﹣2≤x﹣a≤2，∴x﹣2≤a≤x+2在上恒成立，∴（x﹣2）max≤a≤（x+2）min，∴，所以实数a的取值范围是．【解析】（ I）运用分段函数求得f（x）的解析式，由f（x）≤2，即有或或，解不等式即可得到所求解集；（Ⅱ）由题意可得当时，不等式f（x）≤|2x+1|恒成立．即有（x﹣2）max≤a≤（x+2）min．求得不等式两边的最值，即可得到a的范围．。