(完整版)初二三角形压轴题分类解析

济南初中数学压轴

北师大版七年级下三角形综合题归类

双等边三角形模型

1. ( 1)如图7,点0是线段AD的中点，分别以AO和DO为边在线段AD的同侧作等边三角形OAB和等边三角形OCD,连

结AC和BD,相交于点E,连结BC.求/ AEB的大小；

(2)如图8,△ OAB固定不动，保持△ OCD的形状和大小不变，将△ OCD绕着点0旋转(△ OAB和厶OCD不能重

叠)，求/ AEB的大小.

同类变式：如图a,A ABC和厶CEF是两个大小不等的等边三角形，且有一个公共顶点

⑴线段AF和BE有怎样的大小关系？请证明你的结论；

(2)将图a中的△ CEF绕点C旋转一定的角度，得到图b, (1)中的结论还成立吗？作出判断并说明理由;

⑶若将图a中的△ ABC绕点C旋转一定的角

度，请你画出一个变换后的图形

c(草图即可),(1)中的结论还成

3.如图9,若厶ABC和厶ADE为等边三角形,

姜姜老师

立吗？作出判断不必说明理由

C,连接AF和BE.

M , N分别为EB,CD的中点，易证:

CD BE , △ AMN是等边三角形.

(1)当把△ ADE绕A点旋转到图10的位置时，CD BE是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；

(2)当厶ADE绕A点旋转到图11的位置时，△ AMN是否还是等边三角形？若是，请给出证明，若不是，

请说明理由.

求证：(1) AE= CD ; (2)若AC= 12 cm，求BD 的长.

图9 图10 图11

求证：(1) AE = CD ; (2)若 AC = 12 cm ，求 BD 的长.

同类变式：已知，如图①所示，在厶ABC 和厶ADE 中，AB AC , AD AE , BAC DAE ，且点B , A, D 在一条直线上，连接

BE , CD , M , N 分别为BE , CD 的中点.

(1)求证：① BE CD •，② AM AN .

(2)在图①的基础上，将 △ ADE 绕点A 按顺时针方向旋转

180°，其他条件不变，得到图②所示的图形.请直

接写出(1)中的两个结论是否仍然成立

为S , △ ADG 的面积为S 2，判断S 与S 2的大小关系，并给予证明.

5•已知：如图， △ ABC 是等边三角形，过 AB 边上的点D 作DG // BC ,交AC 于点G ,在GD 的延长线上取 点 E ,使 DE DB ,连接 AE , CD . (1)

求证：△ AGE DAC ；

(2) 过点E 作EF // DC ,交BC 于点F ，请你连接AF ，并判断△ AEF 是怎样的三角形，试证明你的结论.

二、 垂直模型(该模型在基础题和综合题中均为重点考察内容) 考点1 ：利用垂直证明角相等

1. 如图，△ ABC 中，/ ACB = 90 °, AC =BC , AE 是BC 边上的中线，过C 作CF 丄AE ，垂足为F ，过B 作BD 丄BC 交

CF 的延长线于D .

4.如图,

(1)

(2)

M

A

E

图①

图②

四边形 ABCD^四边形 AEFG^为正方形，连接 BG 与 DE 相交于点H.

证明：△ ABG 也△ ADE ; 试猜想 BHD 的度数，并说明理由; 将图中正方形 ABC 瞬点A 逆时针旋转(0°v

BAE v 180°),设厶ABE 的面积

C

C

N D

A

B

D

A

C

F

E

B

2. (西安中考)如图⑴，已知△ ABC

中

,

/ BAC=90, AB=AC,AE是过A的一条直线，且B、C 在 A E的异侧,BD丄AE于D, CE丄AE于E 。

图(1) 图(2) 图(3)

(1)试说明：BD=DE+CE.

⑵若直线AE绕A点旋转到图(2)位置时(BD

⑶若直线AE绕A点旋转到图(3)位置时(BD>CE),其余条件不变，问BD与DE CE的关系如何？写出结论，可不说明理由。

3. 直线CD经过BCA的顶点C, CA=CB E F分别是直线CD上两点，且BEC CFA .

(1)若直线CD经过BCA的内部，且E、F在射线CD上，请解决下面两个问题：

①如图1，若BCA 90o, 90o，则EF _________ BE AF (填“ ”，“ ”或“ ”号);

②如图2，若0o BCA 180°，若使①中的结论仍然成立，贝U 与BCA应满足的关系是__________________________

(2)如图3,若直线CD经过BCA的外部, 予证明. BCA，请探究EF与BE、AF三条线段的数量关系，并给

图1 图2 图3

考点2 :利用角相等证明垂直

1.已知BE CF是厶ABC的高，且BP=AC CQ=AB试确定AP与AQ的数量关系和位置关系

2.如图，在等腰Rt △ ABC中，/ ACE=90°, D为BC的中点，DEL AB垂足为E,过点B作BF// AC交DE的延长线

4.如图1, ABC的边BC 在直线I上，AC BC,且AC BC, EFP的边FP也在直线I上，边EF与边AC重合，且EF FP

(1)在图1中，请你通过观察、测量，猜想并写出AB与AP 所满足的

数量关系和位置关系；

(2)将EFP沿直线l向左平移到图2的位置时，EP交AC于点Q,连接

AP, BQ .猜想并写出BQ

与AP

所满足的数量关系和位置关系，请证明你的猜想；

(3)将EFP沿直线l向左平移到图3的位置时，EP的延长线交AC的延长

线于点Q,连结AP,BQ ,你认为(2)中所猜想的BQ与AP的数量关系和位置关系和位置关系还成立吗？若成

于点F,连接CF

(1)求证：CD=BF

⑵求证：AD L CF;

⑶连接AF,试判断△ ACF的形状.

拓展巩固：如图9所示，△ ABC是等腰直角三角形，/ ACB= 90°, AD是BC边上的中线，过C作AD的垂线，交AB于点E,交AD于点F,求证：/ ADC=Z BDE.

3.如图1，已知正方形ABCD的边CD在正方形DEFG的边DE上，连接AE , GC.

(1)试猜想AE与GC有怎样的位置关系，并证明你的结论;

(2)将正方形DEFG绕点D按顺时针方向旋转，使E点落在BC边上, 如图2,连接AE和GC .你认为(1)

中的结论是否还成立？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由

B