南京市2018届高三年级第三次模拟考试与答案

市2018届高三年级第三次模拟考试数 学 2018.05一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分. 不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上） 1．集合A ＝{x| x 2＋x －6＝0}，B ＝{x| x 2－4＝0}，则A ∪B =▲________．2．已知复数z 的共轭复数是－z ．若z (2－i)＝5，其中i 为虚数单位，则－z 的模为▲________．3．某学校为了了解住校学生每天在校平均开销情况，随机抽取了500名学生，他们的每天在校平均开销都不低于20元且不超过60元，其频率分布直方图如图所示，则其中每天在校平均开销在[50，60]元的学生人数为▲________．4．根据如图所示的伪代码，可知输出S 的值为▲________．5．已知A ，B ，C 三人分别在连续三天中值班，每人值班一天，那么A 与B 在相邻两天值班的概率为▲________．6．若实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y －3≤0，x ＋2y －5≥0，y －2≤0，则yx 的取值围为▲________．7. 已知α，β是两个不同的平面，l ，m 是两条不同的直线，有如下四个命题： ①若l ⊥α，l ⊥β，则α∥β； ②若l ⊥α，α⊥β，则l ∥β； ③若l ∥α，l ⊥β，则α⊥β； ④若l ∥α，α⊥β，则l ⊥β． 其中真命题为▲________（填所有真命题的序号）．8．在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的一个焦点到一条渐近线的距离为2a ，则该双曲线的离心率为▲________．9．若等比数列{a n }的前n 项和为S n ，n ∈N *，且a 1=1，S 6=3S 3，则a 7的值为▲________．10．若f (x )是定义在R 上的周期为3的函数，且f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋x ＋a ，0≤x ≤2，－6x ＋18，2＜x ≤3，则f (a+1)的值为▲________．S ←1 I ←1While I ＜8 S ←S ＋2 I ←I ＋3 End While Print S(第4题图)(第3题图)11．在平面直角坐标系xOy 中，圆M ：x 2＋y 2－6x －4y ＋8＝0与x 轴的两个交点分别为A ，B ，其中A 在B 的右侧，以AB 为直径的圆记为圆N ，过点A 作直线l 与圆M ，圆N 分别交于C ，D 两点．若D 为线段AC 的中点，则直线l 的方程为▲________．12．在△ABC 中，AB =3，AC =2，D 为边BC 上一点．若AB →·AD →＝5， AC →·AD →＝－23，则AB →·AC →的值为▲________．13．若正数a ，b ，c 成等差数列，则c 2a ＋b ＋ba ＋2c的最小值为▲________．14．已知a ，b ∈R ，e 为自然对数的底数．若存在b ∈[－3e ，－e 2]，使得函数f (x )＝e x －ax －b 在[1，3]上存在零点，则a 的取值围为▲________．二、解答题（本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题卡的指定区域） 15．(本小题满分14分)在平面直角坐标系xOy 中，锐角α，β的顶点为坐标原点O ，始边为x 轴的正半轴，终边与单位圆O 的交点分别为P ，Q ．已知点P 的横坐标为277，点Q 的纵坐标为3314．（1）求cos2α的值； （2）求2α－β的值.16.（本小题满分14分）如图，在三棱锥P －ABC 中，PA ＝6，其余棱长均为2，M 是棱PC 上的一点，D ，E 分别为棱AB ，BC 的中点．（1）求证: 平面PBC ⊥平面ABC ； （2）若PD ∥平面AEM ，求PM 的长．POy(第15题图)Qx(第16题图)ABMDEP17．(本小题满分14分)如图，公园里有一湖泊，其边界由两条线段AB ，AC 和以BC 为直径的半圆弧BC ⌒组成，其中AC 为2百米，AC ⊥BC ，∠A 为π3．若在半圆弧BC ⌒，线段AC ，线段AB 上各建一个观赏亭D ，E ，F ，再修两条栈道DE ，DF ，使DE ∥AB ，DF ∥AC . 记∠CBD ＝θ（π3≤θ＜π2）．（1）试用θ表示BD 的长；（2）试确定点E 的位置，使两条栈道长度之和最大.18．(本小题满分16分)如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)经过点P (85，35)，离心率为32. 已知过点M (25，0)的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点． （1）求椭圆C 的方程；（2）试问x 轴上是否存在定点N ，使得NA →·NB →为定值．若存在，求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由.(第17题图)(第18题图)19．(本小题满分16分)已知函数f (x )＝2x 3－3ax 2＋3a －2（a ＞0），记f'(x )为f (x )的导函数． （1）若f (x )的极大值为0，数a 的值；（2）若函数g (x )＝f (x )＋6x ，求g (x )在[0，1]上取到最大值时x 的值；（3）若关于x 的不等式f (x )≥f'(x )在[a 2，a +22]上有解，求满足条件的正整数a 的集合．20．(本小题满分16分)若数列{a n }满足：对于任意n ∈N *，a n ＋|a n ＋1－a n ＋2|均为数列{a n }中的项，则称数列{a n }为“T 数列”． （1）若数列{a n }的前n 项和S n ＝2n 2，n ∈N *，求证：数列{a n }为“T 数列”； （2）若公差为d 的等差数列{a n }为“T 数列”，求d 的取值围；（3）若数列{a n }为“T 数列”，a 1＝1，且对于任意n ∈N *，均有a n ＜a 2n ＋1－a 2n ＜a n ＋1，求数列{a n }的通项公式．市2018届高三年级第三次模拟考试数学附加题 2018.05B ．选修4—2：矩阵与变换已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 2 0 1 ，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 0 0 1 ，若直线l : x －y ＋2＝0在矩阵AB 对应的变换作用下得到直线l 1，求直线l 1的方程．C ．选修4—4：坐标系与参数方程在极坐标系中，已知圆C 经过点P （2，π3），圆心C 为直线ρsin(θ－π3)＝－3与极轴的交点，求圆C 的极坐标方程．22．(本小题满分10分)在平面直角坐标系xOy 中，抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，点A (1，a ) (a ＞0)是抛物线C 上一点，且AF ＝2．（1）求p 的值；（2）若M ，N 为抛物线C 上异于A 的两点，且AM ⊥AN ．记点M ，N 到直线y ＝－2的距离分别为d 1，d 2，求d 1d 2的值．23．(本小题满分10分) 已知f n (x )＝i ＝1∑n －1An －i nx (x ＋1)…(x ＋i －1)，g n (x )＝A n n ＋x (x ＋1)…(x ＋n －1)，其中x ∈R ，n ∈N *且n ≥2．（1）若f n (1)＝7g n (1)，求n 的值；（2）对于每一个给定的正整数n ，求关于x 的方程f n (x )＋g n (x )＝0所有解的集合．市2018届高三年级第三次模拟考试数学参考答案一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分. 不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1．{－3，－2，2} 2． 5 3．150 4．7 5．23 6．[211，2] 7． ①③8． 5 9．4 10．2 11．x ＋2y －4＝0 12．－3 13．259 14．[e 2，4e]二、解答题（本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域） 15．(本小题满分14分)解：（1）因为点P 的横坐标为277，P 在单位圆上，α为锐角，所以cos α＝277， ……2分所以cos2α＝2cos 2α－1＝17． ……4分（2）因为点Q 的纵坐标为3314，所以sin β＝3314． ……6分又因为β为锐角，所以cos β＝1314． ……8分因为cos α＝277，且α为锐角，所以sin α＝217，因此sin2α＝2sin αcos α＝437， …10分所以sin(2α－β) ＝437×1314－17×3314＝32． …12分 因为α为锐角，所以0＜2α＜π．又cos2α＞0，所以0＜2α＜π2，又β为锐角，所以－π2＜2α－β＜π2，所以2α－β＝π3． ……14分16．(本小题满分14分)（1）证明：如图1，连结PE ．因为△PBC 的边长为2的正三角形，E 为BC 中点，所以PE ⊥BC ， ……2分 且PE ＝3，同理AE ＝3．P ACM因为PA ＝6，所以PE 2＋AE 2＝PA 2，所以PE ⊥AE ．……4分 因为PE ⊥BC ，PE ⊥AE ，BC ∩AE ＝E ，AE ，BC ⊂平面ABC ， 所以PE ⊥平面ABC ．因为PE ⊂平面PBC ，所以平面PBC ⊥平面ABC ． ……7分 （2）解法一如图1，连接CD 交AE 于O ，连接OM ．因为PD ∥平面AEM ，PD ⊂平面PDC ，平面AEM ∩平面PDC ＝OM ， 所以PD ∥OM ， …………9分所以PM PC ＝DO DC． …………11分因为D ，E 分别为AB ，BC 的中点，CD ∩AE ＝O ，所以O 为∆ABC 重心，所以DO DC ＝13， 所以PM ＝13PC ＝23． ………14分解法二如图2，取BE 的中点N ，连接PN ． 因为D ，N 分别为AB ，BE 的中点， 所以DN ∥AE ．又DN ⊄平面AEM ，AE ⊂平面AEM ， 所以DN ∥平面AEM ．又因为PD ∥平面AEM ，DN ⊂平面PDN ，PD ⊂平面PDN ，DN ∩PD ＝D ， 所以平面PDN ∥平面AEM ． ………………………………9分 又因为平面AEM ∩平面PBC ＝ME ，平面PDN ∩平面PBC ＝PN ， 所以ME ∥PN ，所以PM PC ＝NENC． ………………………………11分 因为E ，N 分别为BC ，BE 的中点，所以NE NC ＝13，所以PM ＝13PC ＝23． …………14分 17．(本小题满分14分) ………解：（1）连结DC ．在△ABC 中，AC 为2百米，AC ⊥BC ，∠A 为π3，所以∠CBA ＝π6，AB ＝4，BC ＝23． ………2分因为BC 为直径，所以∠BDC ＝π2，所以BD ＝BC cos θ＝23cos θ． …………4分(图2)P AMDECBN（2）在△BDF 中，∠DBF ＝θ＋π6，∠BFD ＝π3，BD ＝23cos θ，所以DF sin(θ＋π6)＝BFsin(π2－θ)＝BD sin ∠BFD ， 所以DF ＝4cos θsin(π6＋θ)， ……………6分 且BF ＝4cos 2θ，所以DE ＝AF =4－4cos 2θ， …………8分所以DE ＋DF ＝4－4cos 2θ＋4 cos θsin(π6＋θ)=3sin2θ－cos2θ＋3＝2 sin(2θ－π6)＋3． ………12分因为π3≤θ＜π2，所以π2≤2θ－π6＜5π6，所以当2θ－π6＝π2，即θ＝π3时，DE ＋DF 有最大值5，此时E 与C 重合． …13分答：当E 与C 重合时，两条栈道长度之和最大． …………14分 18．(本小题满分16分) 解（1）离心率e ＝ca ＝32，所以c ＝32a ，b ＝a 2－c 2＝12a ， ………………2分 所以椭圆C 的方程为x 24b 2＋y 2b2＝1．因为椭圆C 经过点P (85，35)，所以1625b 2＋925b 2＝1，所以b 2＝1，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1． …………………………………4分（2）解法一设N (n ，0)，当l 斜率不存在时，A (25，y )，B (25，－y )，则y 2＝1－(25)24＝2425，则NA →⋅NB →＝(25－n )2－y 2＝(25－n )2－2425＝n 2－45n －45， …………6分当l 经过左､右顶点时，NA →⋅NB →＝(－2－n )(2－n )＝n 2－4． 令n 2－45n －45＝n 2－4，得n ＝4． ………………8分下面证明当N 为(4，0)时，对斜率为k 的直线l ：y ＝k (x －25)，恒有NA →⋅NB →＝12．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 2＝1，y ＝k (x －25)，消去y ，得(4k 2＋1)x 2－165k 2x ＋1625k 2－4＝0，所以x 1＋x 2＝165k 24k 2＋1，x 1x 2＝1625k 2－44k 2＋1， ……………10分所以NA →⋅NB →＝(x 1－4)(x 2－4)＋y 1y 2＝(x 1－4)(x 2－4)＋k 2(x 1－25)(x 2－25)＝(k 2＋1)x 1x 2－(4＋25k 2)(x 1＋x 2)＋16＋425k 2 ……………12分＝(k 2＋1)1625k 2－44k 2＋1－(4＋25k 2)165k 24k 2＋1＋16＋425k 2＝(k 2＋1)(1625k 2－4)－165k 2(4＋25k 2)＋425k 2(4k 2＋1)4k 2＋1＋16＝－16k 2－44k 2＋1＋16＝12．所以在x 轴上存在定点N (4，0)，使得NA →⋅NB →为定值． ………………16分 解法二设N (n ，0)，当直线l 斜率存在时，设l ：y ＝k (x －25)，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 2＝1，y ＝k (x －25)，消去y ，得(4k 2＋1)x 2－165k 2x ＋1625k 2－4＝0，所以x 1＋x 2＝165k 24k 2＋1，x 1x 2＝1625k 2－44k 2＋1， ……………6分所以NA →⋅NB →＝(x 1－n )(x 2－n )＋y 1y 2＝(x 1－n )(x 2－n )＋k 2(x 1－25)(x 2－25)＝(k 2＋1)x 1x 2－(n ＋25k 2)(x 1＋x 2)＋n 2＋425k 2＝(k 2＋1)1625k 2－44k 2＋1－(n ＋25k 2)165k 24k 2＋1＋n 2＋425k 2………………8分＝(k 2＋1)(1625k 2－4)－165k 2(n ＋25k 2)＋425k 2(4k 2＋1)4k 2＋1＋n 2 ＝(－165n －165)k 2－44k 2＋1＋n 2． ………………12分若NA →⋅NB →为常数，则(－165n －165)k 2－44k 2＋1为常数，设(－165n －165)k 2－44k 2＋1＝λ，λ为常数， 则(－165n －165)k 2－4＝4λk 2＋λ对任意的实数k 恒成立， 所以⎩⎪⎨⎪⎧－165n －165＝4λ，－4＝λ，所以n ＝4，λ＝－4， 此时NA →⋅NB →＝12． …………14分 当直线l 斜率不存在时，A (25，y )，B (25，－y )，则y 2＝1－(25)24＝2425， 所以NA →⋅NB →＝(25－4)2－y 2＝(25－4)2－2425＝12， 所以在x 轴上存在定点N (4，0)，使得NA →⋅NB →为定值． ………………………………16分19．(本小题满分16分)解：（1）因为f (x )＝2x 3－3ax 2＋3a －2（a ＞0），所以f'(x )＝6x 2－6ax ＝6x (x －a )．令f'(x )＝0，得x ＝0或a ． ………………2分当x ∈(－∞，0)时，f'(x )＞0，f (x )单调递增；当x ∈(0，a )时，f'(x )＜0，f (x )单调递减；当x ∈(a ，＋∞)时，f'(x )＞0，f (x )单调递增．故f (x )极大值＝f (0)＝3a －2＝0，解得a ＝23． ………………4分 （2）g (x )＝f (x )＋6x ＝2x 3－3ax 2＋6x ＋3a －2（a ＞0），则g ′(x )＝6x 2－6ax ＋6＝6(x 2－ax ＋1)，x ∈[0，1]．①当0＜a ≤2时，△＝36(a 2－4)≤0，所以g ′(x )≥0恒成立，g (x )在[0，1]上单调递增，则g (x )取得最大值时x 的值为1． ……………………………6分②当a ＞2时，g ′(x )的对称轴x ＝a 2＞1，且△＝36(a 2－4)＞0，g ′(1)＝6(2－a )＜0，g ′(0)＝6＞0， 所以g ′(x )在(0，1)上存在唯一零点x 0＝a －a 2－42．当x ∈(0，x 0)时，g ′(x )＞0，g (x )单调递增，当x ∈(x 0，1)时，g ′(x )＜0，g (x )单调递减，则g (x )取得最大值时x 的值为x 0＝a －a 2－42． ………………………………8分综上，当0＜a ≤2时，g (x )取得最大值时x 的值为1；当a ＞2时，g (x )取得最大值时x 的值为a －a 2－42． ……………………………9分（3）设h (x )＝f (x )－f ′(x )＝2x 3－3(a ＋2)x 2＋6ax ＋3a －2，则h (x )≥0在[a 2，a ＋22]有解． ………………………………10分 h ′(x )＝6[x 2－(a ＋2)x ＋a ]＝6[(x －a ＋22)2－a 2＋44]， 因为h ′(x )在(a 2，a ＋22)上单调递减，所以h ′(x )＜h ′(a 2)＝－32a 2＜0， 所以h (x )在(a 2，a ＋22)上单调递减， 所以h (a 2)≥0，即a 3－3a 2－6a ＋4≤0． …………………………………12分 设t (a )＝a 3－3a 2－6a ＋4（a ＞0），则t ′ (a )＝3a 2－6a －6，当a ∈(0，1＋2)时，t ′ (a )＜0，t (a )单调递减；当a ∈(1＋2，＋∞)时，t ′ (a )＞0，t (a )单调递增．因为t (0)＝4＞0，t (1)＝－4＜0，所以t (a )存在一个零点m ∈(0，1)， …………………14分 因为t (4)＝－4＜0，t (5)＝24＞0，所以t (a )存在一个零点n ∈(4，5)，所以t (a )≤0的解集为[m ，n ]，故满足条件的正整数a 的集合为{1，2，3，4}． …………………………………16分20．(本小题满分16分)解：（1）当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n 2－2(n －1)2＝4n －2，又a 1＝S 1＝2＝4×1－2，所以a n ＝4n －2． …………………………………2分 所以a n ＋|a n ＋1－a n ＋2|＝4n －2＋4＝4(n ＋1)－2为数列{a n }的第n ＋1项，因此数列{a n }为“T 数列”． …………………………………4分（2）因为数列{a n }是公差为d 的等差数列，所以a n ＋|a n ＋1－a n ＋2|＝a 1＋(n －1) d ＋|d |．因为数列{a n }为“T 数列”，所以任意n ∈N *，存在m ∈N *，使得a 1＋(n －1) d ＋|d |＝a m ，即有(m －n ) d ＝|d |．…………6分 ①若d ≥0，则存在m ＝n ＋1∈N *，使得(m －n ) d ＝|d |，②若d ＜0，则m ＝n －1．此时，当n ＝1时，m ＝0不为正整数，所以d ＜0不符合题意．综上，d ≥0． ……………………………………8分（3）因为a n ＜a n ＋1，所以a n ＋|a n ＋1－a n ＋2|＝a n ＋a n ＋2－a n ＋1．又因为a n ＜a n ＋a n ＋2－a n ＋1＝a n ＋2－(a n ＋1－a n )＜a n ＋2，且数列{a n }为“T 数列”，所以a n ＋a n ＋2－a n ＋1＝a n ＋1，即a n ＋a n ＋2＝2a n ＋1，所以数列{a n }为等差数列． …………………………………10分 设数列{a n }的公差为t (t ＞0)，则有a n ＝1＋(n －1)t ，由a n ＜a 2n ＋1－a 2n ＜a n ＋1，得1＋(n －1)t ＜t [2＋(2n －1)t ]＜1＋nt ，………………………………12分整理得n (2t 2－t )＞t 2－3t ＋1， ①n (t －2t 2)＞2t －t 2－1． ②若2t 2－t ＜0，取正整数N 0＞t 2－3t ＋1 2t 2－t， 则当n ＞N 0时，n (2t 2－t )＜(2t 2－t ) N 0＜t 2－3t ＋1，与①式对于任意n ∈N *恒成立相矛盾， 因此2t 2－t ≥0．同样根据②式可得t －2t 2≥0，所以2t 2－t ＝0．又t ＞0，所以t ＝12． 经检验当t ＝12时，①②两式对于任意n ∈N *恒成立， 所以数列{a n }的通项公式为a n ＝1＋12(n －1)＝n ＋12． ………………………………16分 B ．选修4—2：矩阵与变换解：因为A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 20 1，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 00 1，所以AB ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 20 1． ………………………………4分 设点P 0(x 0，y 0)是l 上任意一点，P 0在矩阵AB 对应的变换作用下得到P (x ，y )．因为P 0(x 0，y 0)在直线l : x －y ＋2＝0上，所以x 0－y 0＋2＝0． ①由AB ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 20 1 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ， 得⎩⎪⎨⎪⎧2 x 0＋2 y 0＝x ， y 0＝y ， ………………6分即⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝12x －y ， y 0＝y ．② 将②代入①得x －4y ＋4＝0，所以直线l 1的方程为x －4y ＋4＝0． ……………10分C ．选修4—4：坐标系与参数方程解：解法一在直线ρsin(θ－π3)＝－3中，令θ＝0，得ρ＝2. 所以圆C 的圆心坐标为C (2，0)． …………4分因为圆C 经过点P (2，π3)，所以圆C 的半径PC ＝22+22－2×2×2×cos π3＝2， ………………6分所以圆C 的极坐标方程ρ＝4cos θ． ……10分解法二以极点为坐标原点，极轴为x 轴建立平面直角坐标系，则直线方程为y ＝3x －23，P 的直角坐标为(1，3)，令y ＝0，得x ＝2，所以C (2，0)， ………………………………4分 所以圆C 的半径PC ＝(2－1)2+(0－3)2=2， ………………………………6分 所以圆C 的方程为(x －2)2＋(y －0)2＝4，即x 2＋y 2－4x ＝0， ………………………………8分所以圆C 的极坐标方程ρ＝4cos θ. ……………………………10分【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分． 22．（本小题满分10分）解：（1）因为点A (1，a ) (a ＞0)是抛物线C 上一点，且AF =2，所以p 2＋1＝2，所以p ＝2. …………3分 （2）解法一由(1)得抛物线方程为y 2＝4x ．因为点A (1，a ) (a ＞0)是抛物线C 上一点，所以a ＝2． …………4分设直线AM 方程为x －1＝m (y －2) (m ≠0)，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)． 由⎩⎪⎨⎪⎧x －1＝m (y －2)，y 2＝4x ，消去x ，得y 2－4m y ＋8m －4＝0， 即(y －2)( y －4m ＋2)＝0，所以y 1＝4m －2． ……………………………6分 因为AM ⊥AN ，所以－1m 代m ，得y 2＝－4m－2， ……………………………8分 所以d 1d 2＝|(y 1＋2) (y 2＋2)|＝|4m ×(－4m)|＝16． ……………………………10分 解法二由(1)得抛物线方程为y 2＝4x ．因为点A (1，a ) (a ＞0)是抛物线C 上一点，所以a ＝2． ……………………………4分设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则AM →·AN →＝(x 1－1)(x 2－1)＋( y 1－2) (y 2－2)＝0． ……6分 又因为M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)在y 2＝4x 上，所以(y 21－4) (y 22－4)＋16( y 1－2) (y 2－2)＝0，即[( y 1＋2) (y 2＋2)＋16]( y 1－2) (y 2－2)＝0．因为( y 1－2) (y 2－2)≠0，所以( y 1＋2) (y 2＋2)＝－16， ……………………………8分 所以d 1d 2＝|(y 1＋2) (y 2＋2)|＝16． ……………………………10分23．（本小题满分10分）解：（1）因为f n (x )＝i ＝1∑n －1A n －i n x (x ＋1)…(x ＋i －1)，所以f n (1)＝i ＝1∑n －1A n －i n ×1×…×i ＝i ＝1∑n －1n !＝(n －1)×n !，g n (1)＝A n n ＋1×2×…×n ＝2×n !，所以(n －1)×n !＝14×n !，解得n ＝15． ……………………………3分（2）因为f 2(x )＋g 2(x )＝2x ＋2＋x (x ＋1)＝(x ＋1)(x ＋2)，f 3(x )＋g 3(x )＝6x ＋3x (x ＋1)＋6＋x (x ＋1)(x ＋2)＝(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)，猜想f n (x )＋g n (x )＝(x ＋1)(x ＋2)…(x ＋n )． ……………………………5分 下面用数学归纳法证明：当n ＝2时，命题成立；假设n ＝k (k ≥2，k ∈N *)时命题成立，即f k (x )＋g k (x )＝(x ＋1)(x ＋2)…(x ＋k )，因为f k ＋1(x )＝i ＝1∑k A k ＋1－i k ＋1x (x ＋1)…(x ＋i －1) ＝i ＝1∑k －1(k ＋1)Ak －i k x (x ＋1)…(x ＋i －1)＋A 1k ＋1x (x ＋1)…(x ＋k －1) ＝(k +1) f k (x )＋(k +1) x (x ＋1)…(x ＋k －1)，所以f k ＋1(x )＋g k ＋1(x )＝(k +1) f k (x )＋(k +1) x (x ＋1)…(x ＋k －1)＋A k ＋1k ＋1＋x (x ＋1)…(x ＋k ) ＝(k +1)[ f k (x )＋x (x ＋1)…(x ＋k －1)＋A k k ]＋x (x ＋1)…(x ＋k ) ＝(k +1)[ f k (x )＋g k (x )]＋x (x ＋1)…(x ＋k )＝(k +1)(x ＋1)(x ＋2)…(x ＋k )＋x (x ＋1)…(x ＋k )＝(x ＋1)(x ＋2)…(x ＋k ) (x ＋k ＋1)，即n ＝k ＋1时命题也成立．因此任意n ∈N *且n ≥2，有f n (x )＋g n (x )＝(x ＋1)(x ＋2)…(x ＋n )． …………………9分 所以对于每一个给定的正整数n ，关于x 的方程f n (x )＋g n (x )＝0所有解的集合为{－1，－2，…，－n }． ……………………………10分。