时域S域Z域转换
《s域和z域分析》课件
02
S域分析
S域的变换方法
拉普拉斯变换
将时域函数转换为复平面上的函 数，通过积分运算实现。
Байду номын сангаас
收敛域
拉普拉斯变换的收敛域是实数轴上 的一个区间，决定了变换的准确性 和适用范围。
性质
拉普拉斯变换具有线性性、时移性 、微分性等基本性质，这些性质在 分析电路和控制系统时非常有用。
S域的分析方法
传递函数
描述线性时不变系统动态特性的数学模型，由 系统的输入和输出关系式得到。
详细描述
在电力系统和控制工程中，S域的应用更为广泛，主要用于分析线性时不变系统 的暂态和稳态行为。而在数字信号处理和通信工程中，Z域的应用更为常见，主 要用于分析数字信号处理算法、滤波器设计以及系统稳定性分析等。
05
总结与展望
S域和Z域分析的总结
S域和Z域的定义与特性
01
S域和Z域分析的方法与技巧
总结词
S域和Z域的变换方法在数学原理和应用 上存在显著差异。
VS
详细描述
S域变换主要基于拉普拉斯变换，适用于 处理具有指数特性的信号，如正弦波和指 数函数。而Z域变换则基于离散傅里叶级 数和离散时间系统的概念，适用于处理数 字信号和离散时间系统。
分析方法的比较
总结词
S域和Z域的分析方法在系统特性和分析手 段上有所不同。
特点
Z域变换具有将时域信号转换为频域信号，便于分析信号的 频率特性的优点。
Z域的分析方法
01
02
03
定义
Z域分析是指对Z域信号进 行分析和处理的方法。
实现
Z域分析通常包括对Z域信 号进行滤波、调制、解调 等操作，以实现对信号的 处理和控制。
第二章 z变换与离散时间傅里叶变换(DTFT)
2.2 z变换
定义： X ( z ) = ΖT [ x (n) ]
注意符号：时域小写 x 变换域大写 X
＝ ∑ x(n)z − n
n =−∞ ∞
∞
=
n =−∞
∑ x(n)r
− n − jω n
e
复变量： z = re jω ，复平面上的点 r = z 幅度，到原点的距离 ω 数字角频率, 与水平轴之间的夹角
重叠区域。一般缩小，个别扩大
十一、时域乘积定理 x(n) ⋅ h(n) ←⎯ → X ( z) ∗ H ( z) Rx − Rh− < z < Rx + Rh + 1 ⎛ z ⎞ −1 = ⎟ν dν ∫ X (ν )H ⎜ 2π j C ν ⎝ ⎠ 1 ⎛ z ⎞ −1 = ⎟ν dν ∫ H (ν )X ⎜ 2π j C ν ⎝ ⎠
Rx − < z < Rx +
Rx − < z < Rx +
2.4 z变换的基本性质和定理
若
ZT x(n) ←⎯→ X ( z)
Rx − < z < Rx +
五、共轭序列 x *(n) ←⎯ → X * ( z *)
Rx − < z < Rx +
六、翻摺序列
⎛1⎞ → X ⎜ ⎟, x(− n) ←⎯ ⎝z⎠ 1 1 < z < Rx + Rx −
实用公式——根据极点的阶，用相应的公式求留数
若zr 是X ( z )z n -1 的多重极点（l 阶极点），则该点处的留数
n -1 ⎤ X z Res ⎡ ( )z ⎣ ⎦ z = zr
1 d l −1 ⎡ l = ⋅ l −1 ( z − zr ) X ( z )z n -1 ⎤ ⎦ z = zr ( l－1)! dz ⎣
matlab 时域信号z变换
Matlab 时域信号Z变换1. 介绍时域信号是指信号随时间变化的过程，而Z变换是一种用来分析时域信号的工具。
Matlab作为一种强大的科学计算软件，提供了丰富的函数和工具，可以对时域信号进行Z变换分析。
2. Z变换概述Z变换是一种将离散时间信号转换为Z域频率域的方法。
通过Z变换，可以将差分方程转换为传输函数，进而分析控制系统的稳定性和性能。
Z变换在数字信号处理、控制系统设计等领域有着广泛的应用。
3. Matlab中的Z变换函数在Matlab中，可以使用ztrans函数对离散时间信号进行Z变换。
该函数的语法如下：[H,p,k] = ztrans(h)其中，h为输入的差分方程，H为Z变换后的传输函数，p为极点，k 为常数项。
4. 示例以下是一个使用Matlab进行Z变换的示例：假设有一个差分方程：y[n] = 0.5*y[n-1] + x[n]使用Matlab进行Z变换，可以得到传输函数H：syms z;h = 0.5*z^(-1)/(1 - 0.5*z^(-1));[H,p,k] = ztrans(h)通过上述示例可以看出，Matlab提供了简洁方便的函数，可以快速计算得到Z变换后的传输函数。
5. Z变换的应用Z变换在数字信号处理、控制系统设计、滤波器设计等领域有着广泛的应用。
通过Z变换，可以分析系统的频率响应、稳定性、传输函数等重要特性。
在数字滤波器设计中，Z变换可以将滤波器的差分方程转换为传输函数，从而分析滤波器的频率响应和稳定性。
在控制系统设计中，Z变换可以将差分方程转换为传输函数，从而分析系统的稳定性和性能。
6. 结论Matlab提供了丰富的函数和工具，可以方便快速地进行时域信号的Z 变换分析。
Z变换在数字信号处理、控制系统设计等领域有着广泛的应用，对于工程领域的研究和应用具有重要意义。
通过学习和掌握Matlab中的Z变换函数，可以更好地应用Z变换分析信号与系统的特性，促进科学研究和工程应用的发展。
时域离散序列z变换公式
时域离散序列z变换公式时域离散序列z变换是数字信号处理领域中的重要概念，用于将离散时间序列转换为复频率域序列。
通过z变换，我们可以更好地分析和处理数字信号，从而在通信、控制、滤波等领域中发挥重要作用。
在进行时域离散序列z变换时，我们需要首先了解什么是离散时间序列。
离散时间序列是在离散时间点上取样得到的信号，通常用一个序列来表示。
这些时间点是离散的，而不是连续的，因此我们需要利用数学工具来对这些序列进行处理和分析。
z变换是一种广泛应用的数学工具，可以将离散时间序列转换为z 域中的复频率域序列。
通过z变换，我们可以将差分方程表示的离散系统转换为代数方程表示，从而更容易进行系统分析和设计。
在进行z变换时，我们需要考虑信号的采样频率、序列的长度以及信号的幅度和相位信息。
通过对这些信息进行变换，我们可以得到z域中的频谱信息，从而更好地理解信号的频率特性和频率响应。
通过z变换，我们可以实现数字滤波器的设计和分析。
数字滤波器在数字信号处理中起着至关重要的作用，可以帮助我们去除噪声、滤波信号以及实现频率域变换等功能。
通过z变换，我们可以将滤波器的传递函数表示为z域中的函数，从而更好地理解滤波器的频率响应特性。
除了滤波器设计，z变换还可以用于系统建模和控制器设计。
通过将系统的状态方程进行z变换，我们可以得到系统在z域中的状态空间表示，从而可以进行系统的稳定性分析和控制器的设计。
这对于控制工程师来说是非常重要的工具，可以帮助他们设计出稳定且性能优良的控制系统。
总的来说，时域离散序列z变换是数字信号处理中的重要工具，可以帮助我们更好地理解和处理离散时间序列。
通过z变换，我们可以实现滤波器设计、系统建模和控制器设计等功能，为数字信号处理领域的研究和应用提供了重要支持。
希望本文能够帮助读者更好地理解时域离散序列z变换的基本概念和应用。
s域到z域离散化方法
s域到z域离散化方法
在信号处理中，我们经常需要将连续时间信号转换为离散时间信号，这就需要使用s域到z域离散化方法。
这种方法可以将连续时间信号转换为离散时间信号，从而方便我们进行数字信号处理。
s域到z域离散化方法是一种将连续时间信号转换为离散时间信号的方法。
这种方法的基本思想是将连续时间信号在s域中进行变换，然后再将其转换为离散时间信号在z域中的表示。
这种方法的主要优点是可以将连续时间信号的特性保留下来，同时也可以方便地进行数字信号处理。
在s域到z域离散化方法中，我们需要使用拉普拉斯变换和z变换。
拉普拉斯变换是一种将连续时间信号转换为s域中的表示的方法，而z变换则是一种将离散时间信号转换为z域中的表示的方法。
通过将这两种变换结合起来，我们就可以将连续时间信号转换为离散时间信号。
具体来说，我们可以使用以下步骤进行s域到z域离散化：
1. 对连续时间信号进行拉普拉斯变换，得到其在s域中的表示。
2. 将s域中的表示转换为z域中的表示，这可以通过使用z变换来实现。
3. 对z域中的表示进行逆变换，得到离散时间信号的表示。
需要注意的是，在进行s域到z域离散化时，我们需要选择合适的采样周期。
采样周期的选择会影响到离散时间信号的精度和频率响应。
因此，在进行离散化时，我们需要根据具体的应用场景来选择合适的采样周期。
s域到z域离散化方法是一种将连续时间信号转换为离散时间信号的重要方法。
通过使用这种方法，我们可以方便地进行数字信号处理，从而实现各种信号处理应用。
信号与系统的分析方法有时域,变换域两种
1 n 15 4 , 因此x(n) 1 4n2 , 15
n 1 n 2
2.部分分式法
有理式：数字和字符经有限次加、减、乘、除运算 所得的式子。 有理分式：含字符的式子做分母的有理式，或两个多项 式的商。分子的次数低于分母时称为真分式。 部分分式：把x的一个实系数的真分式分解成几个分式
2、当Zr为l阶(多重)极点时的留数：
Re s[ X ( z ) z
l 1
n 1
] z zr
1 d l n 1 [( z z r ) X ( z ) z ] z zr l 1 (l 1)! dz
1 , z 4，求z反变换。 [例2-4] 已知 X ( z ) 1 4 (4 z )( z ) 4
n
(n)Z
n
Z 1
0
其收敛域应包括 z 0, z , 即 0 z , 充满整个Z平面。
[例2-2] 求序列 x(n) a u(n) 的Z变换及收敛域。
n
解： X ( z )
n
a n u (n) z n a n z n (az 1 ) n
C为环形解析域内环 绕原点的一条逆时 针闭合单围线.
0
j Im[ z ]
Rx
Re[ z ]
Rx
c
二.求Z反变换的方法
1.留数法
由留数定理可知：
1 2j 1 2j
X ( z) z
c c
n 1
dz Re s[ X ( z ) z
k
n 1
]z zk
j Im[ z ]
z 收敛域： a
0
a
连续系统与离散系统的互转(s域与z域互转)
Convert model from discrete to continuous timed2cSyntaxsysc = d2c(sysd)sysc = d2c(sysd,method)sysc = d2c(sysd,opts)[sysc,G] = d2c(sysd,method,opts)Descriptionsysc = d2c(sysd) produces a continuous-time model sysc that is equivalent to the discrete-time dynamic system model sysd using zero-order hold on the inputs.sysc = d2c(sysd,method) uses the specified conversion method method.sysc = d2c(sysd,opts) converts sysd using the option set opts, specified using the d2cOptions command.[sysc,G] = d2c(sysd,method,opts) returns a matrix G that maps the states xd[k] of the state-space model sysd to the states xc(t) of sysc.Input Argumentssysd Discrete-time dynamic system modelYou cannot directly use an idgrey model with FcnType='d' with d2c.Convert the model into idss form first.method String specifying a discrete-to-continuous time conversion method:◾'zoh' — Zero-order hold on the inputs. Assumes the control inputs arepiecewise constant over the sampling period.◾'foh' — Linear interpolation of the inputs (modified first-order hold). Assumesthe control inputs are piecewise linear over the sampling period.◾'tustin' — Bilinear (Tustin) approximation to the derivative.◾'matched' — Zero-pole matching method of [1] (for SISO systems only).Default: 'zoh'opts Discrete-to-continuous time conversion options, created using d2cOptions. Output Argumentssysc Continuous-time model of the same type as the input system sysd.When sysd is an identified (IDLTI) model, sysc:◾Includes both the measured and noise components of sysd. If the noisevariance is λ in sysd, then the continuous-time model sysc has an indicatedlevel of noise spectral density equal to Ts*λ.◾Does not include the estimated parameter covariance of sysd. If you want totranslate the covariance while converting the model, use translatecov.G Matrix mapping the states xd[k] of the state-space model sysd to the states xc(t) of sysc:x c (k Ts)=G24xd[k]u[k]35.Given an initial condition x0 for sysd and an initial input u0 = u[0], thecorresponding initial condition for sysc (assuming u[k] = 0 for k< 0 is givenby:ExamplesExample 1Consider the following discrete-time transfer function:Suppose the model has sample time T s = 0.1 s. You can derive a continuous-time zero-order-hold equivalent model with the following commands:H = tf([1 -1], [1 1 0.3], 0.1);Hc = d2c(H)Hc =121.7 s + 3.026e-12---------------------s^2 + 12.04 s + 776.7Continuous-time transfer function.Discretizing the resulting model Hc with the default zero-order hold method and sampling time T s = 0.1s returns the original discrete model H (z ):c2d(Hc,0.1)ans =z - 1-------------z^2 + z + 0.3Sample time: 0.1 secondsDiscrete-time transfer function.To use the Tustin approximation instead of zero-order hold, typeHc = d2c(H,'tustin');As with zero-order hold, the inverse discretization operationc2d(Hc,0.1,'tustin');gives back the original H (z ).Example 2Convert an identified transfer function and compare its performance against a directly estimated continuous-time model.load iddata1sys1d = tfest(z1,2,'Ts',0.1);x c (0)=G 24x 0u 035.H (z )=z −1z 2+z +0.3sys1c = d2c(sys1d,'zoh');sys2c = tfest(z1,2);compare(z1,sys1c,sys2c)The two systems are virtually identical.Example 3Analyze the effect of parameter uncertainty on frequency response across d2c operation on an identified model.load iddata1sysd = tfest(z1, 2, 'Ts', 0.1);sysc = d2c(sysd, 'zoh');sys1c has no covariance information. Regenerate it using a zero iteration update with the same estimation command and estimation data:opt = tfestOptions;opt.SearchOption.MaxIter = 0;sys1c = tfest(z1, sysc, opt);h = bodeplot(sysd, sysc);showConfidence(h)The uncertainties of sysc and sysd are comparable up to the Nyquist frequency. However, sysc exhibits large uncertainty in the frequency range for which the estimation data does not provide any information.If you do not have access to the estimation data, use translatecov which is a Gauss-approximation formula based translation of covariance across model type conversion operations.LimitationsThe Tustin approximation is not defined for systems with poles at z = –1 and is ill-conditioned for systems with poles near z = –1.expand allThe zero-order hold method cannot handle systems with poles at z = 0. In addition, the 'zoh' conversion increases the model order for systems with negative real poles, [2]. The model order increases because the matrix logarithm maps real negative poles to complex poles. Single complex poles are not physically meaningful because of their complex time response.Instead, to ensure that all complex poles of the continuous model come in conjugate pairs, d2c replaces negative real poles z = –α with a pair of complex conjugate poles near –α. The conversion then yields a continuous model with higher order. For example, to convert the discrete-time transfer functiontype:Ts = 0.1 % sample time 0.1 sH = zpk(-0.2,-0.5,1,Ts) * tf(1,[1 1 0.4],Ts)Hc = d2c(H)These commands produce the following result.Warning: System order was increased to handle real negative poles.Zero/pole/gain:-33.6556 (s-6.273) (s^2 + 28.29s + 1041)--------------------------------------------(s^2 + 9.163s + 637.3) (s^2 + 13.86s + 1035)To convert Hc back to discrete time, type:c2d(Hc,Ts)yieldingZero/pole/gain:(z+0.5) (z+0.2)-------------------------(z+0.5)^2 (z^2 + z + 0.4)Sampling time: 0.1This discrete model coincides with H (z ) after canceling the pole/zero pair at z = –0.5.More AboutTipsAlgorithms References[1] Franklin, G.F., Powell,D.J., and Workman, M.L., Digital Control of Dynamic Systems (3rd Edition), Prentice Hall, 1997..[2] Kollár, I., G.F. Franklin, and R. Pintelon, "On the Equivalence of z-domain and s-domain Models in SystemIdentification," Proceedings of the IEEE ® Instrumentation and Measurement Technology Conference, Brussels, Belgium, June, 1996, Vol. 1, pp. 14-19.See Alsoc2d | d2cOptions | d2d | logm | translatecov H (z )=z +0.2(z +0.5)(z 2+z +0.4)。
第三章 Z变换
0 | z | Rx 2 0 | z | Rx 2
j Im[ z ]
左边序列 ROC示意图
Re[ z ]
Rx 2
3．2．5 双边序列的ROC
如果序列在整个区间都有定义，则称之为双边序列或无始无 终序列。
X(z)
如果
n
x (n )z n x (n )z n
n 0
n
1 z | z | 1 1 1 z z 1
1
|z| > 1
序列的单边ZT可以用双边ZT表示
Z[x(n)] Z B [x(n)u(n)]
而且，一个序列是因果序列的充要条件是
x ( n ) = x (n ) u ( n )
一个序列是反因果序列的充要条件是
x ( n ) = x (n ) u (— n — 1 )
（3）n1≥0， n2>0 时，收敛域为 0 < | z | ≤ ∞ ( |z|=0
除外)
3．2．2 有限长序列的ROC
X(z)
n n1
x (n )z n
n2
（1） n1<0，n2>0 时，收敛域为 0 < | z | <∞( |z|=0, ∞ 除外) （2）n1<0， n2 ≤ 0 时， 收敛域为 0 ≤ | z | < ∞ ( |z|=∞ 除外) （3）n1≥0， n2>0 时，收敛域为 0 < | z | ≤ ∞ ( |z|=0 除外)
a n , (n 0) x 1 (n ) 0, (n 0)
的ZT为：
X1 ( z)
n
x ( n) z
1
n
a z
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时域S域Z域转换 The following text is amended on 12 November 2020.
自动控制中，基于时间考虑，控制系统包括时间连续和时间离散两种，对于连续时间控制系统，一般会考虑将其转换为s 域进行分析处理；对于离散时间控制系统，则一般考虑将其转换到z 域进行分析处理。
在这几种空间域中，存在相互转换的关系。
下面分别进行分析描述：
1 时域
时域是对控制系统最直观的描述，不管是连续还是离散控制系统，其结构都可以用时间来进行描述。
2 s 域
s 域又称为频域，其对控制系统的分析是纯数学分析，而时域则是对控制系统和控制过程的直观描述。
一般将正弦波视为频域中唯一存在的波形（因为时域中的任何波形都可以用正弦波进行合成）注：任何两个频率不同的正弦波都是正交的。
如果将两个正弦波相乘并在整个时间轴上求积分，则积分值为零。
这说明可以将
不同的频率分量相互分离开。
3 z 域
z 域是对离散时间系统的描述，其来源于连续系统的拉氏变换，z 变换时对采样函数拉氏变换的变形。
对连续时间系统进行采样，并对采样信号进行处理的空间域就称为z 域。
4 域间转换 4.1 时域到s 域
对于时域到s 域的转换可以跟踪积分、微分关系进行转换。
如，对于系统22()d i di
f t A B C idt dt dt
=++⎰，可根据积分、微分的对应，
直接将其转换为2()C
F s As Bs s
=++。
对于系统的积分，一般都是考虑将积分转换为微分进行处理的。
结合拉普拉斯变换0()()st F s f t e dt ∞
-=⎰，可以对时域到S 域进行转换，另外，令s j ω=，则可以对S 域进行频域分析。
4.2 时域到z 域
对于时域到z 域的转换可以根据各次时间量的时间次序进行转换。
如，对于系统()(1)(2)()(1)y t Ay t By t Cx t Dx t =---++-，则可以
将其转换为1
12
()()()1Y z C Dz G z X z Az Bz ---+==-+。
结合z 域的含义，定义0
()()n n E z e nT z ∞
-==∑，然后结合等比级数
求和的方法进行整合。
4.3 s 域与z 域
z 域可来自于时域，也可来自于s 域。
设连续函数()e t 是可拉氏变换的，且在0t 时，存在()0e t =，则拉氏变换式可以写为()()st E s e t e dt ∞
--∞=⎰。
对于采样信号()e t *
，存在0
()()()n e t e nT t nT δ∞
*
==-∑。
对此采样信
号进行拉氏变换，则可得：0()()()st
n E s e nT t nT e dt δ∞
∞
*
--∞=⎡⎤=-⎢⎥
⎣⎦
∑⎰。
结合()()()t nT f t dt f nT δ∞
-∞-=⎰，可以知道：0
()()nsT n E s e nT e ∞
*
-==∑
其展开各相中均含有sT e ，令sT z e =，即1ln s z T
=，则可得：
1
ln 0
()()|
()n s z n T
E z E s e nT z ∞
*
-====∑。
附录：
1 z 域、s 域分析
令()1()e t t =，则存在123()1n E z z z z z ----=++++++
，对()E z 进
行求和，则得1
1
()1E z z
-=
-，则当11z -<，此无穷级数收敛。
因为11,Re()sT T z e e s σσ---==<=，所以在级数收敛时，存在条件0σ>。
2 z 变化表。