上海市杨浦区高考数学一模试卷及答案

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上海市杨浦区2020届高三一模数学试卷及详细解析(Word版)

上海市杨浦区2020届高三一模数学试卷及详细解析2019. 12一、填空题(本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分,共54分)1. 函数2()f x x =的定义域为______2. 关于x 、y 的方程组2130x y x y -=⎧⎨+=⎩的增广矩阵为______ 3. 已知函数()f x 的反函数12()log f x x -=，则(1)f -=______4. 设a ∈R ，2(1)i a a a a --++为纯虚数（i 为虚数单位），则a =______5. 己知圆锥的底面半径为1cm ，侧面积为22cm π，则母线与底面所成角的大小为______6. 已知7(1)ax+二项展开式中3x 的系数为280，则实数a =______7. 椭圆22194x y +=焦点为1F 、2F ，P 为椭圆上一点，若PF =15，则12cos F PF ∠=______8. 已知数列{n a }的通项公式为1(2)1()32n n n n a n -≤⎧⎪=⎨≥⎪⎩(n ∈N *)，n S 是数列{n a }的前n 项和.则lim n x S →∞=______ 9. 在直角坐标平面xOy 中，A (-2,0)，B (0,1)，动点P 在圆C ：222x y +=上，则 PA PB ⋅的取值范围为______10. 已知六个函数：①21y x=；②cos y x =；③12y x =；④arcsin y x =；⑤1lg()1x y x+=-；⑥1y x =+.从中任选三个函数，则其中既有奇函数又有偶函数的选法有______种11. 已知函数1|1()|xf x =-，（0x >），若关于x 的方程[]2()()230f x mf x m +++=有三个不相等的实数解，则实数m 的取值范围为______12. 向量集合S ={(),|,,a a x y x y =∈R }，对于任意α、S β∈,以及任意λ∈(0,1)，都有()12S λαβ+-∈，则称S 为“C 类集”.现有四个命题：①若S 为“C 类集”，则集合M ={,|a a S R μμ∈∈}也是“C 类集”； ②若S 、T 都是“C 类集”，则集合M ={|,a b a S b T +∈∈}也是“C 类集”； ③若1A 、2A 都是“C 类集”，则12A A 也是“C 类集”；④若1A 、2A 都是“C 类集”，且交集非空，则12A A 也是“C 类集”. 其中正确的命题有______二、选择题(本大题共4题，每题5分，共20分)13. 已知实数a 、b 满足a b >，则下列不等式中恒成立的是( )A. 22a b >B. 11a b< C. |a ||b |> D. 22a b > 14. 要得到函数2sin(2)3y x π=+的图象，只要将2sin2y x =的图象( )A. 向左平移6π个单位B. 向右平移6π个单位 C. 向左平移3π个单位 D. 向右平移3π个单位 15. 设1z 、2z 为复数，则下列命题中一定成立的是( )A. 如果120z z ->，那么12z z >B. 如果12z z =，那么12z z =±,C. 如果12||1z z >，那么12z z >D. 如果22120z z +=,那么120z z == 16. 对于全集R 的子集A ，定义函数1(()0())A x f x x A A ⎧=∈⎨⎩∈R为A 的特征函数.设A 、B 为全集R 的子集，下列结论中错误的是( )A. 若A B ∈，则()()A B f x f x ≤B. ()1()A A f x f x =-RC. ()()()A A B B f x f x f x =⋅D. ()()()A A B B f x f x f x =+三、解答题(本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分)17. 如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，P A ⊥底面ABCD ，AB =P A =1，AD =3，E 、F 分别为棱PD 、P A 的中点.(1)求证：B 、C 、E 、F 四点共面；(2)求异面直线PB 与AE 所成的角.18. 已知函数()22x xa f x =+，其中a 为实常数. (1) (0)7f =，解关于x 的方程()5f x =；(2) 判断函数()f x 的奇偶性，并说明理由.19. 东西向的铁路上有两个道口A 、B ，铁路两侧的公路分布如图，C 位于A 的南偏西15°，且位于B 的南偏东15°方向，D 位于A 的正北方向，AC =AD =2km ，C 处一辆救护车欲通过道口前往D 处的医院送病人，发现北偏东45°方向的E 处(火车头位置)有一列火车自东向西驶来，若火车通过每个道口都需要1分钟，救护车和火车的速度均为60 km /h .(1) 判断救护车通过道口A 是否会受到火车影响，并说明理由；(2) 为了尽快将病人送到医院，救护车应选择A 、B 中的哪个道口?通过计算说明.20. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，己知抛物线C ：24y x =的焦点为F ，点A 是第一象限内抛物线C 上的一点，点D 的坐标为(,0t )，0t >,(1)若||5OA =，求点A 的坐标；(2)若△AFD 为等腰直角三角形，且FAD ∠=90o ，求点D 的坐标；(3)弦AB 经过点D ，过弦AB 上一点P 作直线x t =-的垂线，垂足为点Q ，求证：“直线QA 与抛物线相切” 的一个充要条件是“p 为弦AB 的中点”.21. 已知无穷数列{n a }的前n 项和为n S ，若对于任意的正整数n ，均有210n S -≥，20n S ≤,则称数列{n a }具有性质P .(1) 判断首项为1，公比为2-的无穷等比数列{n a }是否具有性质P ，并说明理由；(2) 已知无穷数列{n a }具有性质P ，且任意相邻四项之和都相等，求证：40S =；(3) 已知21n b n =-，n ∈N *,数列{n c }是等差数列，122n n n b n a c n +⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数，若无穷数列{n a }具有性质P ，求2019c 的取值范围.上海市杨浦区2020届高三一模数学试卷及详细解析。

上海市杨浦区2023届高三一模数学试题(1)

一、单选题二、多选题1.已知集合，则（）A．B．C．D．2. 设函数，将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，若为偶函数，则的最小值是( )A．B．C．D．3. 已知a ，b，，则“”的必要不充分条件可以是下列的选项（）A．B．C．D．4. 设，则（）A ．2B ．4C ．8D ．-2或45.随着我国新冠疫情防控形势的逐渐好转，某企业开始复工复产．经统计，年月份到月份的月产量（单位：吨）逐月增加，且各月的产量成等差数列，其中月份的产量为吨，月份的产量为吨，则月到月这四个月的产量之和为（）A．吨B．吨C．吨D．吨6.已知为坐标原点，点在轴正半轴上，点在第一象限，且，，点在第四象限，且，，，，则（）A．B．C．D．7. 要得到函数的图象，可将的图象向左平移（）A ．个单位B ．个单位C ．个单位D ．个单位8. 下列说法正确的是（）A ．若“”为真命题，则“”为真命题B ．命题“，”的否定是“，”C ．命题“若，则”的逆否命题为真命题D ．“”是“”的必要不充分条件9. 在平面直角坐标系中，角的顶点与原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边过点，函数，则（　　）A ．的图象关于直线对称B．的图象关于点对称C ．在内恰有一个极大值点D ．在内单调递减10. 设双曲线的方程为，则下列说法中正确的是（）A．双曲线的渐近线方程为B．双曲线上的动点到该双曲线两个焦点的距离之和的最小值为C ．双曲线上的动点到该双曲线两个焦点的距离之差为4D．双曲线的任一焦点到渐近线的距离为11. 已知α，β为两个不重合的平面，m ，n 为两条不重合的直线，则下列命题正确的是（）A ．若，，则B．若，，，则上海市杨浦区2023届高三一模数学试题(1)上海市杨浦区2023届高三一模数学试题(1)三、填空题四、解答题C ．若，，，则D ．若，，，则12.设复数（为虚数单位），则下列说法正确的是（）A ．若，，则B．若，，则C ．“”的充要条件是“”D ．若，，则复数在复平面上对应的点在第一或第二象限13. 已知函数，定义域均为，且，，，，则_______.14. 随着电商、快递行业的蓬勃发展，智能分拣系统在快递行业中被广泛采用．经统计，在规定时间段内，某物流中心的4条智能分拣流水线中，有1条的分拣准确率为0.992，有1条的分拣准确率为0.994，有2条的分拣准确率为0.995，则该物流中心分拣准确率的平均值估计为________；分拣准确率的方差估计为________．15.设函数，则曲线在处的切线方程为_______.16. 如图，在四棱锥中，底面ABCD 是直角梯形，，，，，，平面平面ABCD ，且，E 为BC 的中点.(1)证明：平面平面PBD .(2)若四棱锥的体积为，求二面角的余弦值.17.设椭圆的左、右焦点分别为，上顶点为A ，过A 与垂直的直线交x 轴负半轴于Q 点，且．（1）求椭圆C 的离心率；（2）若过A 、Q 、三点的圆恰好与直线相切，求椭圆C 的方程；（3）过的直线l 与（2）中椭圆交于不同的两点M 、N，则的内切圆的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及此时的直线方程；若不存在，请说明理由．18.定义在正实数集上的函数满足下列条件：①存在常数，使得；②对任意实数，当时，恒有．(1)求证：对于任意正实数、，；(2)证明：在上是单调减函数；(3)若不等式恒成立，求实数的取值范围．19. 在锐角中，角，，的对边分别为，，，且满足.（1）求角A的大小；（2）求的取值范围.20. 已知函数．(1)当时，若曲线的一条切线斜率为4，求该切线方程；(2)试讨论的零点个数．21. 已知数列是公差不为零的等差数列，，且成等比数列.（1）求数列的通项公式和前项和；（2）若，求数列的前项和.。

上海市杨浦区上海理工大学附中2025届高三第一次模拟考试数学试卷含解析

上海市杨浦区上海理工大学附中2025届高三第一次模拟考试数学试卷注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。

2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。

第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。

3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．三棱锥S ABC -的各个顶点都在求O 的表面上，且ABC ∆是等边三角形，SA ⊥底面ABC ，4SA =，6AB =，若点D 在线段SA 上，且2AD SD =，则过点D 的平面截球O 所得截面的最小面积为（）A ．3πB ．4πC ．8πD ．13π2．设1F ，2F 是双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左，右焦点，O 是坐标原点，过点2F 作C 的一条渐近线的垂线，垂足为P ．若1PF =，则C 的离心率为（）A B C ．2 D ．33．设f (x )是定义在R 上的偶函数，且在(0,+∞)单调递减，则（）A ．0.30.43(log 0.3)(2)(2)f f f -->>B ．0.40.33(log 0.3)(2)(2)f f f -->>C ．0.30.43(2)(2)(log 0.3)f f f -->>D ．0.40.33(2)(2)(log 0.3)f f f -->>4．已知函数()sin 22f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，则函数()f x 的图象的对称轴方程为（） A ．,4x k k Z ππ=-∈ B ．+,4x k k Z ππ=∈ C ．1,2x k k Z π=∈ D ．1+,24x k k Z ππ=∈ 5．若2n x⎛ ⎝的二项式展开式中二项式系数的和为32，则正整数n 的值为（） A ．7 B ．6 C ．5 D ．46．运行如图所示的程序框图，若输出的值为300，则判断框中可以填（）A ．30i >?B ．40i >?C ．50i >?D ．60i >?7．已知,m n 表示两条不同的直线，αβ，表示两个不同的平面，且,m n αβ⊥⊂，则“αβ⊥”是“//m n ”的()条件.A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充要D ．既不充分也不必要8．若直线不平行于平面，且，则（）A ．内所有直线与异面B ．内只存在有限条直线与共面C ．内存在唯一的直线与平行D ．内存在无数条直线与相交9．函数()2cos2cos221x xf x x =+-的图象大致是（）A ．B ．C ．D ．10．某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积为（）A ．23B ．43C ．2D ．411．已知复数41i z i =+，则z 对应的点在复平面内位于（） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限12．已知函数()2cos sin 6f x x x m π⎛⎫=⋅++ ⎪⎝⎭（m ∈R ）的部分图象如图所示.则0x =（）A ．32π B ．56π C ．76π D ．43π- 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2021年上海市杨浦区高考数学一模试卷(含详细解析)

2021年上海市杨浦区高考数学一模试卷一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置填写结果.1．（4分）设全集U R =，(,2)A =-∞，则_{}U A = ． 2．（4分）设复数12z i =-，(i 是虚数单位），则||z = ． 3．（4分）若关于x，y 的方程组\\{\{}{}24\\38\{}\.left begin array l x y x ay end array right +=-=无解，则实数a = ．4．（4分）已知球的半径为2，则它的体积为．5．（4分）若直线_{1}:210l x my ++=与_{2}:31l y x =-互相垂直，则实数m = ． 6．（4分）已知5sin α=-，(2πα∈-，)2π，则sin()2πα+= ． 7．（5分）已知2()n x x+的二项展开式中，所有二项式系数的和为256，则展开式中的常数项为（结果用数值表示）．8．（5分）()f x 是偶函数，当0x 时，()21x f x =-，则不等式()1f x >的解集为． 9．（5分）方程{2}1log_{2}log_{2}(3)x x +=-的解为．10．（5分）平面直角坐标系中，满足到1(1,0)F -的距离比到2(1,0)F 的距离大1的点的轨迹为曲线T ，点(,)n n P n y （其中0n y >，*)n N ∈是曲线T 上的点，原点O 到直线2n P F 的距离为n d ，则lim n n d →∞= ．11．（5分）如图所示矩形ABCD 中，2AB =，1AD =，分别将边BC 与DC 等分成8份，并将等分点自下而上依次记作1E ，2E ，⋯，7E ，自左到右依次记作1F ，2F ，⋯，7F ，满足2i j AE AF ，（其中i ，*j N ∈，1i ，7)j 的有序数对(,)i j 共有对．12．（5分）已知函数()y f x =在定义域R 上是单调函数，值域为(,0)-∞，满足(1)\{1}{3}f frac -=-，且对于任意x ，y R ∈，都有()()()f x y f x f y +=-．()y f x =的反函数为{1}()y f x -=，若将()y f x =（其中常数0)>的反函数的图象向上平移1个单位，将得到函数{1}()y f x -=的图象，则实数的值为．二、选择题（本题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.13．（5分）设0a b >>，0c ≠，则下列不等式中，恒成立的是( ) A ．11a b> B ．22ac bc > C ．ac bc > D ．c c a b< 14．（5分）下列函数中，值域为(0,)+∞的是( ) A ．2y x =B ．2y x=C ．2x y =D ．2|log |y x =15．（5分）从正方体的8个顶点中选取4个作为顶点，可得到四面体的个数为( ) A ．4812C -B ．488C -C ．486C -D ．484C -16．（5分）设集合{|x A y y a ==，0}x >（其中常数0a >，1)a ≠，{|k B y y x ==，}x A ∈（其中常数)k Q ∈，则“0k <”是“A B =∅”的( )A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充分必要条件D ．既非充分又非必要条件三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.17．（14分）如图所示，在直三棱柱111ABC A B C -中，底面是等腰直角三角形，90ACB ∠=︒，12CA CB CC ===．点D ，1D 分别是棱AC ，11A C 的中点．（1）求证：D ，B ，1B ，1D 四点共面；（2）求直线1BC 与平面11DBB D 所成角的大小．18．（14分）设常数k R ∈，2()cos 3sin cos f x k x x x =+，x R ∈．（1）若()f x 是奇函数，求实数k 的值；（2）设1k =，ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若f （A ）1=，7a =，3b =，求ABC ∆的面积S ．19．（14分）某校运会上无人机飞行表演，在水平距离[10x ∈，24]（单位：米）内的飞行轨迹如图所示，y 表示飞行高度（单位：米）．其中当[10x ∈，20]时，轨迹为开口向上的抛物线的一段（端点为M 、)Q ，当[20x ∈，24]时，轨迹为线段QN ，经测量，起点(10,24)M ，终点(24,24)N ，最低点(14,8)P ．（1）求y 关于x 的函数解析式；（2）在(0,24)A 处有摄像机跟踪拍摄，为确保始终拍到无人机，求拍摄视角θ的最小值．（精确到0.1)︒20．（16分）设_{1}A ，_{2}A 分别是椭圆22{2}:\{}{}1(1)frac x a y a Γ+=>的左、右顶点，点B 为椭圆的上顶点．（1）若\{{_1}}\{{_2}}4overrightarrow A B overrightarrow A B ⋅=-，求椭圆Γ的方程；（2）设\{2}a sqrt =，_{2}F 是椭圆的右焦点，点Q 是椭圆第二象限部分上一点，若线段_{2}F Q 的中点M 在y 轴上，求△_{2}F BQ 的面积．（3）设3a =，点P 是直线6x =上的动点，点C 和D 是椭圆上异于左、右顶点的两点，且C ，D 分别在直线_{1}PA 和_{2}PA 上，求证：直线CD 恒过一定点．21．（18分）设数列{}n a 与{}n b 满足：{}n a 的各项均为正数，cos n n b a =，*n N ∈．（1）设234a π=，33a π=，若{}n b 是无穷等比数列，求数列{}n b 的通项公式；（2）设102a π<．求证：不存在递减的数列{}n a ，使得{}n b 是无穷等比数列；（3）当121n m +时，{}n b 为公差不为0的等差数列且其前21m +项的和为0；若对任意满足条件06(121)n a n m π<+的数列{}n a ，其前21m +项的和21m S +均不超过100π，求正整数m 的最大值．2021年上海市杨浦区高考数学一模试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置填写结果.1．（4分）设全集U R =，(,2)A =-∞，则_{}U A = [2，)+∞ ．【解答】解：全集U R =，(,2)A =-∞， _{}[2U A ∴=，)+∞．故答案为：[2，)+∞．2．（4分）设复数12z i =-，(i 是虚数单位），则||z【解答】解：因为复数12z i =-，所以||z =． 3．（4分）若关于x，y 的方程组\\{\{}{}24\\38\{}\.left begin array l x y x ay end array right +=-=无解，则实数a = \{3}{2}frac - ．【解答】解：若关于x ，y 的方程组\\{\{}{}24\\38\{}\.left begin array l x y x ay end array right +=-=无解，则直线240x y +-= 和直线380x ay --=平行，故有\{3}{2}\{}{1}\{8}{4}frac frac a frac =-≠--，求得\{3}{2}a frac =-，故答案为：\{3}{2}frac -．4．（4分）已知球的半径为2，则它的体积为 323π．【解答】解：球的半径为2R =，∴球的体积为343233V R ππ==．故答案为：323π． 5．（4分）若直线_{1}:210l x my ++=与_{2}:31l y x =-互相垂直，则实数m = 6 ．【解答】解：直线_{1}:210l x my ++=与_{2}:31l y x =-互相垂直， 23(1)0m ∴⨯+⨯-=，求得实数6m =，故答案为：6．6．（4分）已知sin α=，(2πα∈-，)2π，则sin()2πα+= ．【解答】解：因为sin 0α=<，(2πα∈-，)2π，所以(2πα∈-，0)，cos α=，则sin()cos 2παα+==．． 7．（5分）已知2()n x x+的二项展开式中，所有二项式系数的和为256，则展开式中的常数项为 1120 （结果用数值表示）．【解答】解：已知2()n x x+的二项展开式中，所有二项式系数的和为2256n =，8n ∴=．则展开式中的通项公式为82182r r r r T C x -+=，令820r -=，求得4r =，可得展开式的常数项为44821120C =，故答案为：1120．8．（5分）()f x 是偶函数，当0x 时，()21x f x =-，则不等式()1f x >的解集为 (-∞，1)(1-⋃，)+∞ ．【解答】解：根据题意，当0x 时，()21x f x =-，此时，若()1f x >，即211x ->，解可得1x >，此时()1f x >的解集(1,)+∞，又由()f x 是偶函数，则当0x <时，()1f x >的解集(,1)-∞-，综合可得：不等式()1f x >的解集为(-∞，1)(1-⋃，)+∞．故答案为：(-∞，1)(1-⋃，)+∞．9．（5分）方程{2}1log_{2}log_{2}(3)x x +=-的解为 3x = ．【解答】解：{2}1log_{2}log_{2}(3)x x +=-，{2}log_{2}(2)log_{2}(3)x x ∴=-，故{2}23x x =-，故{2}{2}\\{\{}{}{{}30}\\{0}\\{{}230}\{}\.left begin array l x x x x end array right ->>--=，解得：3x =，故答案为：3x =．10．（5分）平面直角坐标系中，满足到1(1,0)F -的距离比到2(1,0)F 的距离大1的点的轨迹为曲线T ，点(,)n n P n y （其中0n y >，*)n N ∈是曲线T 上的点，原点O 到直线2n P F 的距离为n d ，则lim n n d →∞=3．【解答】解：设曲线T 上的点为P ，由题意，12||||1PF PF -=，则曲线T 为双曲线，焦点坐标为1(1,0)F -，2(1,0)F ， 21a =，12a =，1c =，∴22213144b c a =-=-=， ∴双曲线方程为224413x y -=．渐近线方程为3y x =±，而点(,)n n P n y （其中0n y >，*)n N ∈是曲线T 上的点，当n →+∞时，直线2n P F 的斜率趋近于3，即23n P F k =．则2:3(1)n P F y x =-，即330x y --=．∴22|3|3lim (3)(1)n n d →∞-==+-．故答案为：3． 11．（5分）如图所示矩形ABCD 中，2AB =，1AD =，分别将边BC 与DC 等分成8份，并将等分点自下而上依次记作1E ，2E ，⋯，7E ，自左到右依次记作1F ，2F ，⋯，7F ，满足2i j AE AF ，（其中i ，*j N ∈，1i ，7)j 的有序数对(,)i j 共有 18 对．【解答】解：根据题意，矩形ABCD 中，2AB =，1AD =，则8i i iAE AB BE AB AD =+=+，8j j jAF AD DF AD AB =+=+，则()()8882i j i j i jAE AF AB AD AD AB =++=+，若2i j AE AF ，则282i j+，变形可得416i j +，又由i ，*j N ∈，1i ，7j ，当1i =时，j 可取的值为1、2、3，共3个；当2i =时，j 可取的值为1、2、3，共3个；当3i =时，j 可取的值为1、2、3，共3个；当4i =时，j 可取的值为1、2、3，共3个；当5i =时，j 可取的值为1、2，共2个；当6i =时，j 可取的值为1、2，共2个；当7i =时，j 可取的值为1、2，共2个；则符合条件的有序数对(,)i j 共有342318⨯+⨯=对，故答案为：18．12．（5分）已知函数()y f x =在定义域R 上是单调函数，值域为(,0)-∞，满足(1)\{1}{3}f frac -=-，且对于任意x ，y R ∈，都有()()()f x y f x f y +=-．()y f x =的反函数为{1}()y f x -=，若将()y f x =（其中常数0)>的反函数的图象向上平移1个单位，将得到函数{1}()y f x -=的图象，则实数的值为 3 ．【解答】解：由题意，设{}()x f x y a ==-，根据(1)\{1}{3}f frac -=-，解得3a =，{}()3x f x y ∴==-，那么log_{3}()x y =-，(0)y <，x 与y 互换，可得{1}()log_{3}()f x x -=-，(0)x <，则{}()3x y f x ==-⋅，那么{}_{3}(\{}{})x lo g frac y =-，x 与y 互换，可得{}_{3}(\{}{})y lo g frac x =-，向上平移1个单位，可得{}_{3}(\{}{})1y lo g frac x =-+，即log_{3}(){}_{3}(\{3}{})x lo g frac x -=-，故得3=，故答案为：3．二、选择题（本题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.13．（5分）设0a b >>，0c ≠，则下列不等式中，恒成立的是( ) A ．11a b> B ．22ac bc > C ．ac bc > D ．c c a b< 【解答】解：因为0a b >>，所以11a b<，故A 错误；因为0a b >>，0c ≠，则20c >，所以22ac bc >，故B 正确；若0a b >>，0c <，则ac bc <，故C 错误；若0a b >>，0c <，则11a b <，c ca b>，故D 错误．故选：B ．14．（5分）下列函数中，值域为(0,)+∞的是( ) A ．2y x =B ．2y x=C ．2x y =D ．2|log |y x =【解答】解：函数2y x =的值域为[0，)+∞，故排除A ；∴函数2y x=的值域为{|0}y y ≠，故排除B ；函数2x y =的值域为(0,)+∞，故C 满足条件；函数2|log |y x =的值域为[0，)+∞，故排除D ，故选：C ．15．（5分）从正方体的8个顶点中选取4个作为顶点，可得到四面体的个数为( ) A ．4812C -B ．488C -C ．486C -D ．484C -【解答】解：根据题意，从正方体的8个顶点中选取4个，有48C 种取法，正方体的8个顶点中，4个顶点共面的情况有12种，6个表面，6个对角面，则可得到四面体的个数为4812C -，故选：A ．16．（5分）设集合{|x A y y a ==，0}x >（其中常数0a >，1)a ≠，{|k B y y x ==，}x A ∈（其中常数)k Q ∈，则“0k <”是“A B =∅”的( )A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充分必要条件D ．既非充分又非必要条件【解答】解：当1a >时，集合(1,)A =+∞，若0k <，则{|k B y y x ==，}(0,1)x A ∈=，此时AB =∅；当01a <<，集合(0,1)A =，若0k <，则{|k B y y x ==，}(1,)x A ∈=+∞，此时A B =∅，故“0k <”是“AB =∅”的充分条件，当1a >时，集合(1,)A =+∞，若A B =∅，{|k B y y x ==，}x A ∈，可得0k ；当01a <<，集合(0,1)A =，若A B =∅，{|k B y y x ==，}x A ∈，可得0k ，所以“0k <”不是“A B =∅”的必要条件，所以“0k <”是“A B =∅”的充分非必要条件．故选：A ．三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.17．（14分）如图所示，在直三棱柱111ABC A B C -中，底面是等腰直角三角形，90ACB ∠=︒，12CA CB CC ===．点D ，1D 分别是棱AC ，11A C 的中点．（1）求证：D ，B ，1B ，1D 四点共面；（2）求直线1BC 与平面11DBB D 所成角的大小．【解答】解：（1）证明：点D ，1D 分别是棱AC ，11A C 的中点，11//DD CC ∴， 11//CC BB ，11//DD BB ∴，D ∴、B 、1B 、1D 四点共面．（2）作111C F B D ⊥，垂足为F ， 1BB ⊥平面111A B C ，1C F ⊂平面111A B C ，∴直线1BB ⊥直线1C F ，1C F ⊥直线11B D 且1BB 与11B D 相交于1B ，∴直线1C F ⊥平面11DBB D ，1C BF ∴∠即为直线1BC 与平面11DBB D 所成的角．在直角△1C BF 中，122BC =，125C F =，110sin C BF ∠=，直线1BC 与平面11DBB D 所成的角为10arcsin．18．（14分）设常数k R ∈，2()cos 3cos f x k x x x =+，x R ∈．（1）若()f x 是奇函数，求实数k 的值；（2）设1k =，ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若f （A ）1=，7a =3b =，求ABC ∆的面积S ．【解答】解：（1）由题意知，(0)0f k ==，下面对0k =进行检验：若0k =，则()3cos f x x x =，对任意x R ∈都有()3)cos()3cos ()f x x x x x f x -=--==-， ()f x ∴是奇函数，0k ∴=．（2）2()cos 3cos 1f A A A A =+=，∴1cos23212A A +=，整理，得1sin(2)62A π+=， 2266A k πππ∴+=+或526k ππ+，k Z ∈， A k π∴=或3k ππ+，k Z ∈，(0,)A π∈，∴3A π=，由余弦定理知，222cos 2b c a A bc +-=，即219726c c+-=，整理，得2320c c -+=，解得1c =或2c =，∴133sin 2S bc A ==或33． 19．（14分）某校运会上无人机飞行表演，在水平距离[10x ∈，24]（单位：米）内的飞行轨迹如图所示，y 表示飞行高度（单位：米）．其中当[10x ∈，20]时，轨迹为开口向上的抛物线的一段（端点为M 、)Q ，当[20x ∈，24]时，轨迹为线段QN ，经测量，起点(10,24)M ，终点(24,24)N ，最低点(14,8)P ．（1）求y 关于x 的函数解析式；（2）在(0,24)A 处有摄像机跟踪拍摄，为确保始终拍到无人机，求拍摄视角θ的最小值．（精确到0.1)︒【解答】解：（1）[10x ∈，20]时，设：2(14)8y a x =-+， (10,24)M 代入得1a =，2(14)8y x ∴=-+， [20x ∈，24]时， (20,44)Q 、(24,24)N ， 5144y x ∴=-+，∴2(14)8[10,20]5144(20,24]x x y x x ⎧-+∈=⎨-+∈⎩．（2）如图，设仰角为α，俯角为β， (20,44)Q ，(0,24)A ，∴仰角α最小为45︒， 24tan yxβ-=，224(28204)x x x --+=18028()28125x x=-+-，[10x ∈，20]∴俯角β最小为arctan(12528)49.4-+≈︒，θ∴最小为94.4︒．20．（16分）设_{1}A ，_{2}A 分别是椭圆22{2}:\{}{}1(1)frac x a y a Γ+=>的左、右顶点，点B 为椭圆的上顶点．（1）若\{{_1}}\{{_2}}4overrightarrow A B overrightarrow A B ⋅=-，求椭圆Γ的方程；（2）设\{2}a sqrt =，_{2}F 是椭圆的右焦点，点Q 是椭圆第二象限部分上一点，若线段_{2}F Q 的中点M 在y 轴上，求△_{2}F BQ 的面积．（3）设3a =，点P 是直线6x =上的动点，点C 和D 是椭圆上异于左、右顶点的两点，且C ，D 分别在直线_{1}PA 和_{2}PA 上，求证：直线CD 恒过一定点．【解答】解：（1）_{1}(,0)A a -，_{2}(,0)A a ，(0,1)B ， \{{_1}}(,\;1)overrightarrow A B a =，\{{_2}}(,\;1)overrightarrow A B a =-，2\{{_1}}\{{_2}}{}14overrightarrow A B overrightarrow A B a ⋅=-+=-，解得{2}5a =，即椭圆Γ的方程为22\{}{5}{}1frac x y +=；（2）椭圆的方程为22\{}{2}{}1frac x y +=，则_{2}(1,0)F ，设(_{}Q x Q ，_{})y Q ，由线段_{2}F Q 的中点在y 轴上，得_{}1x Q =-，代入椭圆方程，得{_}\{\{2}}{2}y Q frac sqrt =，即({1,\;\{\{2}}{2}})Q frac sqrt -，{_{\{_2}}}{_{\{_2}}}{_{\}}\{1}{2}({1\{\{2}}{4}})21\{\{2}}{4}S triangle F BQ S triangleB F M S DeltaBQM frac frac sqrt frac sqrt =+=-⋅=-；（3）证明：由题意_{1}(3,0)A -，_{2}(3,0)A ，设点P 的坐标为(6,)m ，直线_{1}:\{}{9}(3)PA y frac m x =+，与椭圆方程{2}{2}\{\;{}}{9}{}1frac x y +=联立消去y ，得{2}{2}{2}{2}(9)69810m x m x m +++-=，由韦达定理，得22{_}\{3{}27}{9{}}x C frac m m =-++，即222({\{3{}27}{9{}},\;\{6}{9{}}})C frac m m frac m m -+++，同理222({\{3{}3}{1{}},\;\{2}{1{}}})D frac m m frac m m -+-+，当_{}_{}x C x D =，即2222\{273{}}{9{}}\{3{}3}{{}1}frac m m frac m m -+=-+，即{2}3m =时，直线CD 的方程为\{3}{2}x frac =，当_{}_{}x C x D ≠时，直线2222:\{2}{1{}}\{4}{3(3{})}({\{3{}3}{1{}}})CD y frac m m frac m m x frac m m --+=---+，化简得2\{4}{3(3{})}({\{3}{2}})y frac m m x frac =--，恒过点({\{3}{2},\;0})frac ，综上所述，直线CD 恒过点({\{3}{2},\;0})frac ．21．（18分）设数列{}n a 与{}n b 满足：{}n a 的各项均为正数，cos n n b a =，*n N ∈．（1）设234a π=，33a π=，若{}n b 是无穷等比数列，求数列{}n b 的通项公式；（2）设102a π<．求证：不存在递减的数列{}n a ，使得{}n b 是无穷等比数列；（3）当121n m +时，{}n b 为公差不为0的等差数列且其前21m +项的和为0；若对任意满足条件06(121)n a n m π<+的数列{}n a ，其前21m +项的和21m S +均不超过100π，求正整数m 的最大值．【解答】（1）解：由234a π=，33a π=，可得23cos4b π==，31cos 32b π==，公比为q =，由2213b b b =解得11b =，数列{}n b的通项公式为1(n n b -=．（2）证明：设存在递减的数列{}n a ，使得{}n b 是无穷等比数列，则2102a a π<<<，此时21cos cos 0a a >>，公比21cos 1cos a q a =>，11cos cos ()n n a a q -=，考虑不等式11cos 1n a q ->，当11log (cos )q n a >-时，即11[1log (cos )]q n a +-时，有cos 1n a >（其中[]x 表示不超过x 的最大整数），这与()cos f x x =的值域为[1-，1]矛盾，所以假设不成立，得证；（3）解：121()(21)02m b b m +++=，可得1210m b b ++=，由等差数列性质*221210(11,)i m i m b b b b i m i N +-++=+=+∈，即22cos cos 0i m i a a +-+=，特别地，10m b +=，现考虑21m S +的最大值．为使21m S +取最大值，应有[5n a π∈，6]π，否则在21m S +中将n a 替换为n a '，且cos cos n n a a ='，[5n a π'∈，6]π，将得到一个更大的21m S +，由22cos cos 0i m i a a +-+=可知22112112i m i a a ππ+-+==，特别地，1112m a π+=；于是2111(21)11()(11)10022m max m S m ππππ++=+=，解得18922m，所以m 的最大值为8．。

2024年上海市高考数学一模考试题分类(三角与三角函数 )汇编(附答案)

1一、三角定义、常用三角公式1.（2024 高三一模闵行 2）若sin 3α=，则()sin πα-=______.2.（2024高三一模青浦3）已知α满足cos m α=，则πsin 2α⎛⎫+=⎪⎝⎭.（结果用含有m 的式子表示）.3.（2024高三一模杨浦3）若3sin 5α=，则cos 2α=______.4.（2024高三一模嘉定4）已知tan 2α=，则tan 2πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭______.5.（2024高三一模金山5）已知角α、β的终边关于原点O 对称，则()cos αβ-=______.6.（2024高三一模松江5）已知3sin ,0,52πθθ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，则tan 4πθ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值为______.7.（2024高三一模虹口6）已知1cos 3x =-，且x 为第三象限的角，则tan 2x =______.8.（2024高三一模静安14）设α是第一象限的角，则2α所在的象限为（）A.第一象限B.第三象限C.第一象限或第三象限D.第二象限或第四象限9.（2024高三一模长宁15）设点P 是以原点为圆心的单位圆上的动点，它从初始位置()01,0P 出发，沿单位圆按逆时针方向转动角02παα⎛⎫<< ⎪⎝⎭后达点1P ，然后继续沿单位圆按逆时针方向转动角4π到2P .若点2P 的横坐标为35-，则点1P 的纵坐标为（）A.210B.25 C.325D.7210二、解三角形1.（2024 高三一模黄浦 8）在 ∆ABC 中，三个内角 A , B ,C 的对边长分别为a ,b ,c ，若5a 2 −5b 2 +6bc −5c 2 =0，则sin 2A 的值为______.2.（2024 高三一模松江 9）在 ∆ABC 中，设角 A , B ,C 所对边的边长分别为a ,b ,c ，若a =3,c =5, B =2A ，则边长b =______.2024年上海市高考数学一模考试题分类（三角与三角函数）汇编3.（2024高三一模普陀14）在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a =20c b C -+=，则该三角形外接圆的半径为（）A.1B.C.2D.4.（2024高三一模虹口17）设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若()sin sin sin ,sin m A B C A =+- ，(),n c b c a =+- ，且m //n ．（1）求角B 的大小；（2）若△ABC 为锐角三角形，求sin sin y A C =+的取值范围．5.（2024高三一模奉贤17）在ABC ∆中，设角A 、B 及C 所对边的边长分别为a 、b 及c .cos sin A a B=+（1）求角B 的大小；（2）当a =b =c 和ABC ∆的面积S .6.（2024高三一模嘉定17）已知三角形ABC ，1CA CB ⋅=- ，三角形的面积12S =，（1）求角C 的值；（2）若3sin cos 4A A =，2a =，求c .7.（2024高三一模宝山18）在ABC ∆中，角C B A 、、的对边分别为c b a 、、.（1）若2sin a B =，求角A 的大小；（2）若BC 边上的高等于2a ，求cbb c +的最大值.8.（2024高三一模崇明18）在ABC ∆中，5a =，6b =．（1）若4cos 5B =-，求A 和ABC ∆外接圆半径R 的值；（2）若ABC ∆的面积4S =，求c 的值．9.（2024高三一模闵行18）在ABC △中，角A B C 、、所对边的边长分别为a b c 、、，且2cos a c B c -=.（1）若1cos 3B =,3c =，求b 的值；（2）若ABC △为锐角三角形，求sin C 的取值范围.10.（2024高三一模青浦18）在△ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足2220a c b ac -++=.（1）求角B 的大小；（2）若23b =，求△ABC 的周长的最大值.三、三角函数及其性质1.（2024 高三一模嘉定 3）函数y =sin πx 的最小正周期为______.2.（2024高三一模普陀6）若函数tan 3y x =在区间,6m π⎛⎫⎪⎝⎭上是严格增函数，则实数m 的取值范围为______.3.（2024高三一模闵行7）若将函数()()sin 20y x ϕϕπ=+<<的图像向右平移3π个单位，得到的图像所对应的函数为奇函数，则ϕ=______.4.（2024高三一模虹口8）已知函数()()cos 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的部分图像如右图所示，则()f x =______.（第8题图）5.（2024高三一模青浦8）若函数cos()y x ϕ=+是奇函数，则该函数的所有零点是.6.（2024高三一模奉贤9）设函数()sin 0y x ωω=>在区间()0,2π上恰有三个极值点，则ω的取值范围为______.7.（2024高三一模金山9）已知()()sin 0y x ωω=>在区间[]0,π上是严格增函数，且其图像关于()4,0π对称，则ω的值为______.8.（2024高三一模黄浦10）若ϕ是一个三角形的内角，且函数()3sin 2y x ϕ=+在区间,46ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是单调函数，则ϕ的取值范围是______.9.（2024高三一模杨浦10）函数()()cos f x x ωϕ=+，()0,2ϕπ∈，在x ∈R 上是单调增函数，且函数关于原点对称，则满足条件的数对(),ωϕ=______.10.（2024高三一模普陀10）设函数()sin 2y x ϕ=+02πϕ⎛<<⎫⎪⎝⎭的图像与直线y t =相交的连续的三个公共点从左到右依次记为A ，B ，C ，若2BC AB =，则正实数t 的值为______.11.（2024高三一模浦东新区10）如图，已知函数()sin 0,0,02y A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>><< ⎪⎝⎭的图像与y 轴的交点为()0,1，并已知其在y 轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为()0,2x 和()02,2x π+-．记()y f x =，则3f π⎛⎫= ⎪⎝⎭______.12.（2024高三一模长宁11）若函数()sin cos x a x f x =+在27,36ππ⎛⎫⎪⎝⎭上是严格单调函数，则实数a 的取值范围为______.13.（2024高三一模静安17）记)(cos sin 32cos sin )(22R ∈++-=x x x x x x f λ，其中λ为实常数．（1）求函数)(x f y =的最小正周期；（2）若函数)(x f y =的图像经过点⎪⎭⎫ ⎝⎛0,2π，求该函数在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡π32,0上的最大值和最小值．四、三角应用题1.（2024 高三一模奉贤 10）某林场为了及时发现火情，设立了两个观测点A 和B . 某日两个观测点的林场人员都观测到C 处出现火情. 在 A 处观测到火情发生在北偏西40方向，而在B 观测到火情在北偏西60方向. 已知B 在A 的正东方向10km 处（如图所示），则BC AC -=______km.（精确到0.1km ）2.（2024高三一模徐汇10）某建筑物内一个水平直角型过道如图所示，两过道的宽度均为3米，有一个水平截面为矩形的设备需要水平通过直角型过道.若该设备水平截面矩形的宽BC 为1米，则该设备能水平通过直角型过道的长AB 不超过______米.3.（2024高三一模长宁19）汽车转弯时遵循阿克曼转向几何原理，即转向时所有车轮中垂线交于一点，该点称为转向中心.如图1，某汽车四轮中心分别为A、B、C、D，向左转向，左前轮转向角为α，右前轮转向角为β，转向中心为O.设该汽车左右轮距AB为w米，前后轴距AD为l米.（1）试用w、l和α表示tanβ；（2）如图2，有一直角弯道，M为内直角顶点，EF为上路边，路宽均为3.5米，汽车行驶其中，左轮A、D与路边FS相距2米.试依据如下假设，对问题*做出判断，并说明理由.假设：①转向过程中，左前轮转向角α的值始终为30︒；②设转向中心O到路边EF的距离为d，若OB d<且OM ODw=，<，则汽车可以通过，否则不能通过；③ 1.570l=.2.680问题*：可否选择恰当转向位置，使得汽车通过这一弯道？图1图24.（2024高三一模杨浦19）某数学建模小组研究挡雨棚（图1），将它抽象为柱体（图2），底面ABC 与111A B C 全等且所在平面平行，ABC △与111A B C △各边表示挡雨棚支架，支架1AA 、1BB 、1CC 垂直于平面ABC ．雨滴下落方向与外墙（所在平面）所成角为π6（即π6AOB ∠=），挡雨棚有效遮挡的区域为矩形11AA O O （O 、1O 分别在CA 、11C A 延长线上）．（1）挡雨板（曲面11BB C C ）的面积可以视为曲线段BC 与线段1BB 长的乘积．已知1.5OA =米，0.3AC =米，12AA =米，小组成员对曲线段BC 有两种假设，分别为：①其为直线段且π3ACB ∠=；②其为以O 为圆心的圆弧.请分别计算这两种假设下挡雨板的面积（精确到0.1平方米）；（2）小组拟自制ABC △部分的支架用于测试（图3），其中0.6AC =米，π2ABC ∠=，CAB θ∠=，其中ππ62θ<<，求有效遮挡区域高OA 的最大值．图15.（2024高三一模浦东新区19）某街道规划建一座口袋公园．如图所示，公园由扇形AOC 区域和三角形COD 区域组成．其中A O D 、、三点共线，扇形半径OA 为30米．规划口袋公园建成后，扇形AOC 区域将作为花草展示区，三角形COD 区域作为亲水平台区，两个区域的所有边界修建休闲步道．（1）若π3AOC ∠=，2OD OA =，求休闲步道总长（精确到米）；（2）若π6ODC ∠=，在前期民意调查时发现，绝大部分街道居民对亲水平台区更感兴趣．请你根据民意调查情况，从该区域面积最大或周长最长的视角出发，选择其中一个方案，设计三角形COD 的形状．6.（2024高三一模黄浦19）某公园的一个角形区域AOB 如图所示，其中23AOB π∠=.现拟用长度为100米的隔离档板(折线DCE )与部分围墙（折线DOE ）围成一个花卉育苗区ODCE ，要求满足OD OC OE ==.（1）设333DOC πππαα⎛⎫∠=+-<< ⎪⎝⎭，试用α表示OD ；（2）为使花卉育苗区的面积最大，应如何设计?请说明理由.7.（2024高三一模金山19）网络购物行业日益发达，各销售平台通常会配备送货上门服务．小金正在配送客户购买的电冰箱，并获得了客户所在小区门户以及建筑转角处的平面设计示意图．图1图2第19题图（1）为避免冰箱内部制冷液逆流，要求运送过程中发生倾斜时，外包装的底面与地面的倾斜角α不能超过4π，且底面至少有两个顶点与地面接触．外包装看作长方体，如图1所示，记长方体的纵截面为矩形ABCD ，0.8m AD =， 2.4m AB =，而客户家门高度为2.3米，其他过道高度足够．若以倾斜角4πα=的方式进客户家门，小金能否将冰箱运送入客户家中？计算并说明理由．（2）由于客户选择以旧换新服务，小金需要将客户长方体形状的旧冰箱进行回收．为了省力，小金选择将冰箱水平推运(冰箱背面水平放置于带滚轮的平板车上，平板车长宽均小于冰箱背面）．推运过程中遇到一处直角过道，如图2所示，过道宽为1.8米．记此冰箱水平截面为矩形EFGH ， 1.2m EH =．设PHG β∠=，当冰箱被卡住时(即点H 、G 分别在射线PR 、PQ 上，点O 在线段EF 上），尝试用β表示冰箱高度EF 的长，并求出EF 的最小值，最后请帮助小金得出结论：按此种方式推运的旧冰箱，其高度的最大值是多少？（结果精确到0.1m ）8.（2024高三一模徐汇19）2023年杭州亚运会首次启用机器狗搬运赛场上的运动装备.如图所示，在某项运动赛事扇形场地OAB 中，2AOB π∠=，500OA =米，点Q 是弧AB 的中点，P 为线段OQ 上一点（不与点O ，Q 重合）.为方便机器狗运输装备，现需在场地中铺设三条轨道PO ，PA ，PB .记APQ θ∠=，三条轨道的总长度为y 米．（1）将y 表示成θ的函数，并写出θ的取值范围；（2）当三条轨道的总长度最小时，求轨道PO 的长．参考答案1一、三角定义、常用三角公式1. （2024 高三一模闵行 2）若sin 3α=，则()sin πα-=______.【答案】13【解析】诱导公式，()1sin sin 3παα-==.2.（2024高三一模青浦3）已知α满足cos m α=，则πsin 2α⎛⎫+=⎪⎝⎭.（结果用含有m 的式子表示）.【答案】m【解析】由诱导公式πsin 2α⎛⎫+= ⎪⎝⎭cos α，所以答案为m .3.（2024高三一模杨浦3）若3sin 5α=，则cos 2α=______.【答案】725【解析】27cos 212sin 25αα=-=.4.（2024高三一模嘉定4）已知tan 2α=，则tan 2πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭______.【答案】12-【解析】11tan cot 2tan 2πααα⎛⎫+=-=-=- ⎪⎝⎭.5.（2024高三一模金山5）已知角α、β的终边关于原点O 对称，则()cos αβ-=______.【答案】1-【解析】角α、β的终边关于原点O 对称，所以()21,k k αβπ-=+∈Z ，所以()cos 1αβ-=-.6.（2024高三一模松江5）已知3sin ,0,52πθθ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，则tan 4πθ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值为______.【答案】17-【解析】343sin ,0,,cos ,tan 5254πθθθθ⎛⎫=∈∴== ⎪⎝⎭，3tan tan1144tan 3471tan tan 144πθπθπθ--⎛⎫∴-===- ⎪⎝⎭++.7.（2024高三一模虹口6）已知1cos 3x =-，且x 为第三象限的角，则tan 2x =______.【答案】427-【解析】1cos 3x =-，且x 为第三象限的角，则sin 3x =-，tan x ∴=，()222tan 22242tan 21tan 71x x x ⨯∴===---.8.（2024高三一模静安14）设α是第一象限的角，则2α所在的象限为（）A.第一象限B.第三象限C.第一象限或第三象限D.第二象限或第四象限【答案】C【解析】由题意，222k k ππαπ<<+，k ∈Z ，则24k k απππ<<+，k ∈Z ，当k 为奇数时，2α在第三象限，当k 为偶数时，2α在第一象限，故选C.8.（2024高三一模长宁15）设点P 是以原点为圆心的单位圆上的动点，它从初始位置()01,0P 出发，沿单位圆按逆时针方向转动角02παα⎛⎫<< ⎪⎝⎭后达点1P ，然后继续沿单位圆按逆时针方向转动角4π到2P .若点2P 的横坐标为35-，则点1P 的纵坐标为（）A.10B.5C.5D.10【答案】D【解析】由题意可知3cos 45πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，因为3444πππα<+<，所以4sin 45πα⎛⎫+=⎪⎝⎭24372sin sin sin cos cos sin 44444425510ππππππαααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎫=+-=+-+=+=⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦故选D.二、解三角形1.（2024 高三一模黄浦 8）在 ∆ABC 中，三个内角 A , B ,C 的对边长分别为a ,b ,c ，若5a 2 −5b 2 +6bc −5c 2 =0，则sin 2A 的值为______.【答案】2425【解析】222222655650,5bca b bc c b c a -+-=∴+-=，222635cos 225bcb c a A bc bc +-∴===，4sin 5A ∴=，4324sin 22sin cos 25525A A A ∴==⨯⨯=.2.（2024高三一模松江9）在ABC ∆中，设角,,A B C 所对边的边长分别为,,a b c ，若3,5,2a c B A ===，则边长b =______.【答案】【解析】由正弦定理sin sin sin 22sin cos a b b b A B A A A ===得cos 2bA a=①，由余弦定理可得222cos 2b c a A bc+-=②，则2222225322625b bc a b b b a bc b +-+-=⇒=⇒=⨯.3.（2024高三一模普陀14）在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c，若a =20c b C -+=，则该三角形外接圆的半径为（）A.1B.C.2D.【答案】A【解析】20c b C -+=，因为a =22cos 0c b a C -+=，由正弦定理可得sin 2sin 2sin cos 0C B A C -+=，即()sin 2sin 2sin cos 0C A C A C -++=，化简可得1cos 2A =，所以sin 2A =，由正弦定理可得2sin aR A=（R 为外接圆半径），解得1R =.故选A.4.（2024高三一模虹口17）设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若()sin sin sin ,sin m A B C A =+- ，(),n c b c a =+- ，且m //n．（1）求角B 的大小；（2）若△ABC 为锐角三角形，求sin sin y A C =+的取值范围．【答案】（1）3B π=；（2）32,⎛ ⎝【解析】(1)因为m //n，所以()()sin sin sin sin A B C b c a c A +-⋅+-=⋅，由正弦定理，可得()()a b c b c a ac +-⋅+-=，即222ac a c b =+-.于是，由余弦定理得2221cos 22a c b B ac+-==，又()0,B π∈，所以3B π=．（2）由（1）可知2,3A C π+=所以2sin sin sin sin()3y A C A A π=+=+-3sin cos )226A A A π=+=+……11分由△ABC 为锐角△,得20,0,232A A πππ<<<-<且所以,62A ππ<<从而362.3A πππ<+<所以sin sin )6y A C A π=+=+的取值范围为32,.⎛ ⎝5.（2024高三一模奉贤17）在ABC ∆中，设角A 、B 及C 所对边的边长分别为a 、b 及c .cos sin A a B=+（1）求角B 的大小；（2）当a =b =时，求边长c 和ABC ∆的面积S .【答案】（1）3π=B ；（2）3+【解析】（1）由正弦定理得B A A B C sin sin cos sin 3sin 3⋅+⋅=由于()B A C +-=π，得()BA AB B A sin sin cos sin 3sin 3⋅+⋅=+展开得B A A B B A B A sin sin cos sin 3sin cos 3cos sin 3⋅+⋅=⋅+⋅化简得B B sin cos 3=，则3tan =B ，所以3π=B （2）由正弦定理，得2322sin sin sin3π==cA C Cc A sin sin 2260sin 32==，22sin =A ，因为<a b ，所以A 是锐角，即4π=A 因为32π=+C A ,所以，5,sin 12sin 3π===C c C所以115sin sin32212ABC S ab C π∆==⨯=+6.（2024高三一模嘉定17）已知三角形ABC ，1CA CB ⋅=- ，三角形的面积12S =，（1）求角C 的值；（2）若3sin cos 4A A =，2a =，求c .【答案】（1）34π；（2）c =【解析】（1）1cos 1CA CB ab C ⋅=⇒=-，1sin 12S ab C =⇒=，两式相除得：tan 1C =-，所以3π4C =.（2）sin cos sin 242A A A =⇒=，所以π6A =或π3(舍)，所以π6A =，所以π12B =，sin 4B =由正弦定理得，sin sin a c C A =，sin sin b c C B=，所以22sin sin sin abc C A B=，由（1）ab =所以22c=+即c =7.（2024高三一模宝山18）在ABC ∆中，角C B A 、、的对边分别为c b a 、、.（1）若2sin a B =，求角A 的大小；（2）若BC 边上的高等于2a，求c b b c +的最大值.【答案】（1）323ππ或=A ；（2）22【解析】（1）根据正弦定理得2sin sin A B B =，所以23sin =A ，所以323ππ或=A .（2）由三角形面积公式得A bc a a sin 212121=⋅，即A bc a sin 22=，又由余弦定理A bc c b a cos 2222-+=，得A bc c b A bc cos 2sin 222-+=，解得()A A bc c b cos sin 222+=+，从而()⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=+4sin 22cos sin 222πA A A bc c b .当24ππ=+A 即4π=A 时bc c b 22+有最大值22，即cbb c +的最大值为22.8.（2024高三一模崇明18）在ABC ∆中，5a =，6b =．（1）若4cos 5B =-，求A 和ABC ∆外接圆半径R 的值；（2）若ABC ∆的面积4S =，求c 的值．【答案】（1）6A π=，5R =；（2）4c =或c =【解析】（1）因为4cos 5B =-，()0,B π∈，所以3sin 5B ==，由正弦定理，得2sin sin a bR A B==，即5623sin 5R A ==，所以1sin 2A =，5R =，因为a b <，所以0,2A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，因此6A π=，5R =（2）由1sin 2ABC S ab C =△得224sin 564ABC S C ab ===⨯△，于是3cos 4C ==±，当3cos 4C =时，由余弦定理，得222356256164c =+-⨯⨯⨯=当3cos 4C =-时，由余弦定理，得2223562561064c ⎛⎫=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭.所以，4c =或c =.9.（2024高三一模闵行18）在ABC △中，角A B C 、、所对边的边长分别为a b c 、、，且2cos a c B c -=.（1）若1cos 3B =,3c =，求b 的值；（2）若ABC △为锐角三角形，求sin C 的取值范围.【答案】（1）b =；（2）1sin (,)22C ∈【解析】（1）将1cos 3B =,3c =带入条件中可得5a =，由余弦定理2222cos b a c ac B =+-可得b =；（2）2cos a c B c -= ，由正弦定理可得sin 2sin cos sin A C B C -=,sin sin()sin cos cos sin A B C B C B C =+=+ ,sin cos sin cos sin B C C B C ∴-=,sin()sin B C C -=，(,),(0,)222B C C πππ-∈-∈ ,所以B C C -=,即2B C =,又因为ABC △为锐角三角形，(,)64C ππ∴∈,1sin (,22C ∈10.（2024高三一模青浦18）在△ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足2220a c b ac -++=.（1）求角B 的大小；（2）若b =ABC 的周长的最大值.【答案】（1）120B ∠=︒；（2）4+【解析】（1）因为222a cb ac +-=-，由余弦定理得2221cos 22a c b B ac+-∠==-，120B ∠=︒．（2）由正弦定理得，a =4sin A ，c =4sin (600 −A )，所以，∆ABC 的周长为a +b +c =4sin A +4sin (600−A +)=4sin (A +600 +)200 <A <600当 A =300 时，∆ABC 的周长的最大值为4 +．三、三角函数及其性质1.（2024 高三一模嘉定 3）函数y =sin πx 的最小正周期为______.【答案】2【解析】22T ππ==.2.（2024高三一模普陀6）若函数tan 3y x =在区间,6m π⎛⎫⎪⎝⎭上是严格增函数，则实数m 的取值范围为______.【答案】,66ππ⎛⎫-⎪⎝⎭【解析】由题意，32666m m m ππππ⎧>-⎪⎪⇒-<<⎨⎪<⎪⎩.3.（2024高三一模闵行7）若将函数()()sin 20y x ϕϕπ=+<<的图像向右平移3π个单位，得到的图像所对应的函数为奇函数，则ϕ=______.【答案】23π【解析】函数向右平移3π个单位可以得到2sin 23y x πϕ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，此时函数为奇函数，则有2sin 003πϕ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，则2,3k k πϕπ-=∈Z ，因为0ϕπ<<，所以23πϕ=.4.（2024高三一模虹口8）已知函数()()cos 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的部分图像如右图所示，则()f x =______.（第8题图）【答案】cos 26x π⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】由题意知12243124T T πππππωω=-=⇒==⇒=，将,112π⎛⎫⎪⎝⎭代入，解得cos 21126ππϕϕ⎛⎫⨯+=⇒=- ⎪⎝⎭，则()cos 26f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭.5.（2024高三一模青浦8）若函数cos()y x ϕ=+是奇函数，则该函数的所有零点是.【答案】π,x k k =∈Z【解析】函数cos()y x ϕ=+是奇函数，则,2k k Z πϕπ=+∈，cos()sin y x x ϕ=+=±，所以函数零点为π,x k k =∈Z .6.（2024高三一模奉贤9）设函数()sin 0y x ωω=>在区间()0,2π上恰有三个极值点，则ω的取值范围为______.【答案】5744⎛⎤ ⎥⎝⎦，【解析】cos y x ωω'=，令0y '=，即cos 0x ω=，即,2x k k πωπ=+∈Z ，因为函数在区间()0,2π上恰有三个极值点，则2257244232ππωπωππωπ⎧>+⎪⎪⇒<≤⎨⎪≤+⎪⎩.7.（2024高三一模金山9）已知()()sin 0y x ωω=>在区间[]0,π上是严格增函数，且其图像关于()4,0π对称，则ω的值为______.【答案】14或12【解析】因为函数在区间[]0,π上是严格增函数，所以2πωπ≤，所以12ω≤，又图像关于()4,0π对称，所以4,k k πωπ=∈Z ，即,4k k ω=∈Z ，所以14k =或12.8.（2024高三一模黄浦10）若ϕ是一个三角形的内角，且函数()3sin 2y x ϕ=+在区间,46ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是单调函数，则ϕ的取值范围是______.【答案】0,6π⎛⎤⎥⎝⎦【解析】由题意知()0,ϕπ∈，因为函数()3sin 2y x ϕ=+在区间,46ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是单调函数，则2,23x ππϕϕϕ⎡⎤+∈-++⎢⎥⎣⎦，则220,632ππϕπϕππϕ⎧-+≥-⎪⎪⎡⎤⇒∈⎨⎢⎥⎣⎦⎪+≤⎪⎩，0,6πϕ⎛⎤∴∈ ⎥⎝⎦.9.（2024高三一模杨浦10）函数()()cos f x x ωϕ=+，()0,2ϕπ∈，在x ∈R 上是单调增函数，且函数关于原点对称，则满足条件的数对(),ωϕ=______.【答案】0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭或30,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】当0ω≠时，函数在x ∈R 上显然不具备单调性，故0ω=，又函数关于原点对称，所以函数值为0，所以cos 0ϕ=，又()0,2ϕπ∈，所以2πϕ=或32π，因此满足条件的数对为0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭或30,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭.10.（2024高三一模普陀10）设函数()sin 2y x ϕ=+02πϕ⎛<<⎫⎪⎝⎭的图像与直线y t =相交的连续的三个公共点从左到右依次记为A ，B ，C ，若2BC AB =，则正实数t 的值为______.【答案】12【解析】由题意可得T π=，函数与y t =()0t >相交图像如图所示，可知C A x x π-=，又2BC AB =，所以3B A x x π=+，()sin 2A t x ϕ=+，()2cos 21A x t ϕ+=-则()()2sin 2sin 2sin 23A B A x x x πϕϕϕ⎛⎫+=+=++⎪⎝⎭()()22sin 2coscos 2sin 33A A x x ππϕϕ=+++，即12t t =-+12t =或12t =-（舍），所以12t =.11.（2024高三一模浦东新区10）如图，已知函数()sin 0,0,02y A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>><< ⎪⎝⎭的图像与y 轴的交点为()0,1，并已知其在y 轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为()0,2x 和()02,2x π+-．记()y f x =，则3f π⎛⎫= ⎪⎝⎭______.【解析】由题意2A =，()00222T x x ππ=+-=，所以2142T ππωω==⇒=，()02sin 16f πϕϕ==⇒=，所以()12sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以2sin 366f πππ⎛⎫⎛⎫=+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.12.（2024高三一模长宁11）若函数()sin cos x a x f x =+在27,36ππ⎛⎫⎪⎝⎭上是严格单调函数，则实数a 的取值范围为______.【答案】3⎡-⎢⎣【解析】()cos sin x x a x f '=-，因为函数()sin cos x a x f x =+在27,36ππ⎛⎫⎪⎝⎭上是严格单调函数，所以()0f x '≥或()0f x '≤，当x π=时，()1f π'=-，则()0f x '≥不符合题意，由()0f x '≤，得sin cos a x x ≥，当2,3x ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，sin 0x >，所以1tan a x ≥在2,3x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上恒成立，即求max 1tan a x ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，因为2,3x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以()tan x ∈，1,tan 3x ⎛∈-∞- ⎝⎭，所以33a ≥-；当7,6x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，sin 0x <，所以1tan a x ≤在7,6x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上恒成立，即求min 1tan a x ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，因为7,6x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以3tan 0,3x ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭，)1tan x ∈+∞，所以a ≤；综上，33a ⎡-⎢⎣∈.13.（2024高三一模静安17）记)(cos sin 32cos sin )(22R ∈++-=x x x x x x f λ，其中λ为实常数．（1）求函数)(x f y =的最小正周期；（2）若函数)(x f y =的图像经过点⎪⎭⎫ ⎝⎛0,2π，求该函数在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡π32,0上的最大值和最小值．【答案】（1）π；（2）最大值1，最小值2-【解析】（1）()cos 22f x x x =-+π2sin 26x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭λ+．所以，函数)(x f y =的最小正周期π．（2） π102f λ⎛⎫=+=⎪⎝⎭，∴1λ=-．∴π()2sin 216f x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭．令π26x t -=，则π7π,66t ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦．当ππ266x -=-或7π6，即0x =或2π3时，min 2f =-．当ππ262x -=，即π3x =时，max 1f =．四、三角应用题1.（2024 高三一模奉贤 10）某林场为了及时发现火情，设立了两个观测点A 和B . 某日两个观测点的林场人员都观测到C 处出现火情. 在 A 处观测到火情发生在北偏西40方向，而在B 观测到火情在北偏西60方向. 已知B 在A 的正东方向10km 处（如图所示），则BC AC -=______km.（精确到0.1km ）【答案】7.8【解析】由图可知130CAB ∠=，30ABC ∠=，20ACB ∠=2.（2024高三一模徐汇10）某建筑物内一个水平直角型过道如图所示，两过道的宽度均为3米，有一个水平截面为矩形的设备需要水平通过直角型过道.若该设备水平截面矩形的宽BC 为1米，则该设备能水平通过直角型过道的长AB 不超过______米.【答案】22-【解析】分别以,OB OA 所在直线为x ，y 轴建立平面直角坐标系如图所示，则()3,3M ，令()0,A b ，(),0B a ，()0,0a b >>，则直线AB 的方程为1x ya b+=，则点M 直线上方，且到AB 的距离为1，即22331331111a b a b a b ⎧+>⎪+-=⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则2233111a b a b ⎛⎫⎛⎫+-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，整理可得223()a b a b ab +=+-，设AB r =，0,0,2OAB r πθθ⎛⎫⎡⎤∠=>∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，则sin a r θ=，cos b r θ=，223()a b a b ab +=+-可化为23(sin cos )sin cos r r r θθθθ=+-，令sin cos 0,2t πθθθ⎛⎫⎡⎤=+∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，则224t πθ⎛⎫⎡=+∈ ⎪⎣⎝⎭，则223(sin cos )131121281sin cos (31)(31)999231t r t t t t θθθθ+--===⨯--+---188(31)231t t =--+-，由1,2t ⎡⎤∈⎣⎦，得312,321t⎡⎤-∈-⎣⎦，所以889(31)2321231321321t t --+≤--+=---，所以()1823218(31)231t t ≥---+-，当且仅当2t =时等号成立，该设备能水平通过直角型过道的长AB 不超过622-米.3.（2024高三一模长宁19）汽车转弯时遵循阿克曼转向几何原理，即转向时所有车轮中垂线交于一点，该点称为转向中心.如图1，某汽车四轮中心分别为A 、B 、C 、D ，向左转向，左前轮转向角为α，右前轮转向角为β，转向中心为O.设该汽车左右轮距AB 为w 米，前后轴距AD 为l 米.（1）试用w 、l 和α表示tan β；（2）如图2，有一直角弯道，M 为内直角顶点，EF 为上路边，路宽均为3.5米，汽车行驶其中，左轮A 、D 与路边FS 相距2米.试依据如下假设，对问题*做出判断，并说明理由.假设：①转向过程中，左前轮转向角α的值始终为30︒；②设转向中心O 到路边EF 的距离为d ，若OB d <且OM OD <，则汽车可以通过，否则不能通过；③ 1.570w =，2.680l =.问题*：可否选择恰当转向位置，使得汽车通过这一弯道？图1图2【答案】（1）tan tan llw βα=+；（2）选择恰当转向位置，汽车可以通过弯道【解析】（1）由已知AOD α∠=，tan BOC β∠=，所以tan l OD α=，tan lOC w α=+，进而tan tan llw βα=+.（2）以EF 和FS 分别为x 轴和y 轴建立坐标系，则()3.5, 3.5M --.3 4.642tan lOD l α===，()223 6.766OB l l w=++=，设(),O a b ()0,0a b <<，32 6.642a l =--=-，d b =-，()()()2223.5 3.59.872 3.5OM a b b =+++=++，由OM OD <，得()29.872 3.521.548b ++<，进而 6.9170.83b -<<-，由OB d <，得 6.766b <-，所以当 6.917 6.765b -<<时，OB d <且OM OD <，此时汽车可以通过弯道.答：选择恰当转向位置，汽车可以通过弯道.4.（2024高三一模杨浦19）某数学建模小组研究挡雨棚（图1），将它抽象为柱体（图2），底面ABC 与111A B C 全等且所在平面平行，ABC △与111A B C △各边表示挡雨棚支架，支架1AA 、1BB 、1CC 垂直于平面ABC ．雨滴下落方向与外墙（所在平面）所成角为π6（即π6AOB ∠=），挡雨棚有效遮挡的区域为矩形11AA O O （O 、1O 分别在CA 、11C A 延长线上）．（1）挡雨板（曲面11BB C C ）的面积可以视为曲线段BC 与线段1BB 长的乘积．已知1.5OA =米，0.3AC =米，12AA =米，小组成员对曲线段BC 有两种假设，分别为：①其为直线段且π3ACB ∠=；②其为以O 为圆心的圆弧.请分别计算这两种假设下挡雨板的面积（精确到0.1平方米）；（2）小组拟自制ABC △部分的支架用于测试（图3），其中0.6AC =米，π2ABC ∠=，CAB θ∠=，其中ππ62θ<<，求有效遮挡区域高OA 的最大值．【答案】（1）若选择①，挡雨板材料的面积为1.8平方米；若选择②，挡雨板材料的面积为图13π5平方米，约为1.9平方米；（2）OA 的最大值为0.3米【解析】（1）若选择①，结合π6AOB ∠=，得OBC △是直角三角形，10.92BC OC ==米，挡雨板材料的面积为1.8平方米．若选择②，则COB 是一个圆心角为π6的扇形，BC 弧长为π3π1.8610⨯=，挡雨板材料的面积为3π5平方米，约为1.9平方米．（2）在直角ABC △中，由cos AB AC θ=；在ABO △中，由正弦定理，ππsinsin 66AO ABθ=⎛⎫- ⎪⎝⎭，即π6π2sin sin cos 656AO AB θθθ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2631sin cos cos 522θθθ⎛⎫=⋅-⋅ ⎪⎝⎭3311sin 2cos25222θθ⎛⎫=⋅-⋅- ⎪⎝⎭3π3sin 25610θ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，其中ππ62θ<<．当ππ262θ-=，即π3θ=时，AO 取得最大值310．综上所述，有效遮挡区域高OA 的最大值为0.3米．5.（2024高三一模浦东新区19）某街道规划建一座口袋公园．如图所示，公园由扇形AOC 区域和三角形COD 区域组成．其中A O D 、、三点共线，扇形半径OA 为30米．规划口袋公园建成后，扇形AOC 区域将作为花草展示区，三角形COD 区域作为亲水平台区，两个区域的所有边界修建休闲步道．（1）若π3AOC ∠=，2OD OA =，求休闲步道总长（精确到米）；（2）若π6ODC ∠=，在前期民意调查时发现，绝大部分街道居民对亲水平台区更感兴趣．请你根据民意调查情况，从该区域面积最大或周长最长的视角出发，选择其中一个方案，设计三角形COD 的形状．【答案】（1）231米；（2）见解析【解析】（1）休闲步道总长为 2AC OA OD CD+++π301203=⨯++10π120=++231≈米.所以休闲步道总长为231米.（2）方案一：设5π,0,6COD θθ⎛⎫∠=∈ ⎪⎝⎭COD ∆中，由正弦定理得π5πsin sin sin 66OCOD CD θθ==⎛⎫- ⎪⎝⎭，得5π5π60sin ,60sin ,0,66OD CD θθθ⎛⎫⎛⎫=-=∈⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故COD ∆的面积15π5π3060sin sin 900sin sin 266S θθθθ⎛⎫⎛⎫=⨯⨯-⋅=-⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭π450sin 23θ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭因为5π0,6θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以ππ4π2333θ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，当ππ232θ-=，即5π12θ=时有max S 450=+平方米因此，当亲水平台区的面积最大时，COD ∆是以OC 为底边的等腰三角形.方案二：设5π,0,6COD θθ⎛⎫∠=∈ ⎪⎝⎭COD ∆中，由正弦定理得π5πsin sin sin 66OCOD CD θθ==⎛⎫- ⎪⎝⎭，得5π5π60sin ,60sin ,0,66OD CD θθθ⎛⎫⎛⎫=-=∈⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故COD ∆的周长5π60sin 60sin 306L θθ⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭(60sin 30cos 30θθ=+++π233012θ⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭因为5π0,6θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以ππ11π121212θ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，当ππ122θ+=，即5π12θ=时有max L 60233030630230=+=+米因此，当亲水平台区的周长最长时，COD ∆是以OC 为底边的等腰三角形.（本题也可用余弦定理、均值不等式解决）6.（2024高三一模黄浦19）某公园的一个角形区域AOB 如图所示，其中23AOB π∠=.现拟用长度为100米的隔离档板(折线DCE )与部分围墙（折线DOE ）围成一个花卉育苗区ODCE ，要求满足OD OC OE ==.（1）设333DOC πππαα⎛⎫∠=+-<< ⎪⎝⎭，试用α表示OD ；（2）为使花卉育苗区的面积最大，应如何设计?请说明理由.【答案】（1）50cos2OD α=；（2）当0α=时，花卉育苗区的面积最大，为12503平方米【解析】（1）由πππ()333DOC αα∠=+-<<，2π3AOB ∠=,可知π3COE α∠=-,作OF CD ⊥,垂足为F ，由OD OC =，可知CF DF =且1π262DOF DOC α∠=∠=+，在直角DOF △中，πsin()62DF OD α=+，故π2sin(62CD OD α=+，同理可得ππ2sin(2sin()6262EC OC OD αα=-=-，所以π2sin()62OD α++π2sin()10062OD α-=，可得OD =5050ππsin()sin()cos62622ααα=++-(米).（2）设花卉育苗区的面积为S 平方米，则221π1πsin()sin()2323S OD OD αα=++-22150ππ[sin()sin()]233cos 2ααα=++-.501]1cos1cos2Sα=α==-+α+α.当且仅当cos1α=且ππ33α-<<，即0α=时，S取最大值，此时50OD=米.故使π3DOC∠=，且50OD=米，可使花卉育苗区的面积最大.7.（2024高三一模金山19）网络购物行业日益发达，各销售平台通常会配备送货上门服务．小金正在配送客户购买的电冰箱，并获得了客户所在小区门户以及建筑转角处的平面设计示意图．图1图2第19题图（1）为避免冰箱内部制冷液逆流，要求运送过程中发生倾斜时，外包装的底面与地面的倾斜角α不能超过4π，且底面至少有两个顶点与地面接触．外包装看作长方体，如图1所示，记长方体的纵截面为矩形ABCD，0.8mAD=， 2.4mAB=，而客户家门高度为2.3米，其他过道高度足够．若以倾斜角4πα=的方式进客户家门，小金能否将冰箱运送入客户家中？计算并说明理由．（2）由于客户选择以旧换新服务，小金需要将客户长方体形状的旧冰箱进行回收．为了省力，小金选择将冰箱水平推运(冰箱背面水平放置于带滚轮的平板车上，平板车长宽均小于冰箱背面）．推运过程中遇到一处直角过道，如图2所示，过道宽为1.8米．记此冰箱水平截面为矩形EFGH， 1.2mEH=．设PHGβ∠=，当冰箱被卡住时(即点H、G分别在射线PR、PQ上，点O在线段EF上），尝试用β表示冰箱高度EF的长，并求出EF的最小值，最后请帮助小金得出结论：按此种方式推运的旧冰箱，其高度的最大值是多少？（结果精确到0.1m）【答案】（1）能；（2）2.6m【解析】（1）当倾斜角π4α=时，冰箱倾斜后实际高度(即冰箱最高点到地面的距离)ππ820.8sin 2.4cos 2.3445h=+=<，故冰箱能够按要求运送入客户家中．（2）延长EF与直角走廊的边相交于M、N，则 1.8 1.8+sin cos MN OM ON =+=ββ， 1.2tan EM β=， 1.2tan FN β=，又EF MN ME NF =--，设()EF f β=，π0,2β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则 1.8 1.81() 1.2(tan )sin cos tan f =+-+βββββ1.8(sin cos ) 1.2sin cos ββββ+-=，π0,2β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭．2222332222221.8(cos sin )(sin cos )(1.8(sin cos ) 1.2)(cos s in )()sin cos 1.8(cos sin ) 1.2(cos sin ) 1.8(sin cos )(cos 1)(sin 1)sin cos sin cos f βββββββββββββββββββββββ--+--'=⋅--+----==⋅⋅求得驻点π4β=，作表格得βπ(0,)4π4ππ(,)42()f β'-0+()f β严格减极小值严格增所以()f β最小值π18212() 2.6945f -=≈．由实际意义需向下取整，此情况下能顺利通过过道的冰箱高度的最大值为2.6米．8.（2024高三一模徐汇19）2023年杭州亚运会首次启用机器狗搬运赛场上的运动装备.如图所示，在某项运动赛事扇形场地OAB 中，2AOB π∠=，500OA =米，点Q 是弧AB 的中点，P 为线段OQ 上一点（不与点O ，Q 重合）.为方便机器狗运输装备，现需在场地中铺设三条轨道PO ，PA ，PB .记APQ θ∠=，三条轨道的总长度为y 米．（1）将y 表示成θ的函数，并写出θ的取值范围；（2）当三条轨道的总长度最小时，求轨道PO 的长．【答案】（1）2sin cos 52502,,sin 48y θθππθθ+-⎛⎫=⋅∈ ⎪⎝⎭；（2）()2503263PO =-【解析】（1）因为点Q 是弧AB 的中点，由对称性，知PA PB =，4AOP BOP π∠=∠=，又APO πθ∠=-，4OAP πθ∠=-，500OA =由正弦定理，得()sin sinsin 44APOAOPπππθθ==-⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以500sin 25024,sin sin AP OP πθθθ⎛⎫- ⎪⎝⎭==.所以500sin 42sin y AP BP OP AP OP πθθ⎛⎫+- ⎪⎝⎭=++=+=2sin cos sin θθθ+-=，因为APQ AOP ∠>∠，所以4πθ>，13248AQO OAQ πππ⎛⎫∠=∠=-=⎪⎝⎭，所以5,48ππθ⎛⎫∈⎪⎝⎭.（2）法一：由（1）得：2cos sin y θθ-=，5,48ππθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭．记2cos sin t θθ-=，则sin cos 2t θθ+=，由辅助角公式可得：)2sin()1θϕθϕ+=⇒+=，解得tt 5sin()1,6348ππππθθ⎛⎫+=⇒=∈ ⎪⎝⎭，等号可以取得．故当3πθ=时，三条轨道的总长度最小，此时(2503OP =．法二：由（1）得：2cos sin y θθ-=+，5,48ππθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭．记2cos sin t θθ-=，tan tan ,tan 2816x θππ5⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，则由万能置换公式可得：2222123111132221x x x t x x x x x --+⎛⎫+===+≥= ⎪⎝⎭+，当且仅当33x =即3πθ=时等号成立．故当3πθ=，三条轨道的总长度最小，此时(2503OP =．法三：令()2sin cos sin f θθθθ+-=，5,48ππθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.由()212cos '0sin f θθθ-==，解得3πθ=，则有θ43ππθ<<3πθ=538ππθ<<()'f θ0<0=0>()f θ严格减极小值严格增所以当3πθ=，即(2503OP =米时，()f θ有唯一的极小值，即是最小值，则()min 1f θ=+，三条轨道的最小值为+.故当3πθ=时，三条轨道的总长度最小，此时(2503OP =．。

上海市杨浦区2023届高三一模数学试题

一、单选题二、多选题1. 已知函数，的定义域均为，且，，若为偶函数，且，则（）A ．5B ．4C ．3D ．02. 设集合，则（）A．B．C．D．3. 设是无穷等差数列的前项和（），则“存在”是“该数列公差”的A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件4. 定义在R 上的偶函数满足，且当时单调递增，则A．B．C．D．5. 在正方体中，、分别为和的中点（如图）．若为直线与所成的角，则的值为（）A．B．C．D．6. 如图，抛物线C ：的焦点为F ，C 的准线与x 轴交于点A ，过点F且斜率为的直线与C 交于M （M 在x 轴上方），N 两点，则（）A ．3B ．4C．D ．67.已知集合，则A．B．C．D．8.已知双曲线的左､右焦点分别为，，实轴长为，点在的左支上，过点作的一条渐近线的垂线，垂足为，则当取最小值时，该双曲线的渐近线方程为（）A．B．C．D．9.已知为实数，且，则下列不等式正确的是（）上海市杨浦区2023届高三一模数学试题三、填空题四、解答题A．B．C．D．10. 已知函数，若过点恰能作3条曲线的切线，则的值可以为（）A．B．C．D．11. 设函数，则（）A．的一个周期为B ．在上单调递增C ．在上有最大值D．图象的一条对称轴为直线12. 若曲线C 的方程为，则（）A ．当时，曲线C表示椭圆，离心率为B ．当时，曲线C表示双曲线，渐近线方程为C ．当时，曲线C 表示圆，半径为1D ．当曲线C 表示椭圆时，焦距的最大值为413.已知，当（其中）时，有且只有一个解，则的取值范围是____________.14.写出一个同时具有下列四个性质的函数______.①定义域为；②单调递增；③；④.15. 已知，函数若，则___________.16. 已知三棱柱中，侧面是矩形，是的菱形，且平面平面，，，分别是，，的中点.（1）证明：平面；（2）若，求二面角的余弦值.17. 如图，四边形与均为菱形，，，且.(1)求证：平面；(2)求二面角的余弦值.18. 已知函数（a为非零实数）.(1)讨论函数的单调性；(2)若有两个极值点，，且，求证：.19. 全国“村BA”篮球赛点燃了全民的运动激情，深受广大球迷的喜爱.每支球队都有一个或几个主力队员，现有一支“村BA”球队，其中甲球员是其主力队员，经统计该球队在某个赛季的所有比赛中，甲球员是否上场时该球队的胜负情况如表.甲球员是否上场球队的胜负情况合计胜负上场4045未上场3合计42(1)完成列联表，并判断依据小概率值的独立性检验，能否认为球队的胜负与甲球员是否上场有关；(2)由于队员的不同，甲球员主打的位置会进行调整，根据以往的数据统计，甲球员上场时，打前锋、中锋、后卫的概率分别为0.3，0.5，0.2，相应球队赢球的概率分别为0.7，0.8，0.6.（i）当甲球员上场参加比赛时，求球队赢球的概率；（ii）当甲球员上场参加比赛时，在球队赢了某场比赛的条件下，求甲球员打中锋的概率.（精确到0.01）附：，.0.150.100.050.0250.0100.0012.072 2.7063.841 5.024 6.63510.82820. 已知函数．(1)求；(2)将函数的图象向左平移个单位长度后，得到的图象，求在上的值域．21. 已知为双曲线的左右焦点，且该双曲线离心率小于等于，点和是双曲线上关于轴对称非重合的两个动点，为双曲线左右顶点，恒成立．(1)求该双曲线的标准方程；(2)设直线和的交点为，求点的轨迹方程．。

【精校】2020年上海市杨浦区高考一模数学

2020年上海市杨浦区高考一模数学一、填空题(本大题满分54分)共12小题，1-6题每题4分，7-12题每题5分1.若“a＞b”，则“a 3＞b 3”是____命题(填：真、假)解析：函数f(x)=x 3在R 是单调增函数，∴当a ＞b ，一定有a 3＞b 3，故是真命题. 答案：真.2.已知A=(﹣∞，0]，B=(a ，+∞)，若A ∪B=R ，则a 的取值范围是____. 解析：若A ∪B=R ，A=(﹣∞，0]，B=(a ，+∞)，必有a ≤0. 答案：a ≤0.3.z+2z =9+4i(i 为虚数单位)，则|z|=____.解析：设z=x+yi(x ，y ∈R)，∵z+2z =9+4i ，∴x+yi+2(x ﹣yi)=9+4i ，化为：3x ﹣yi=9+4i ，∴3x=9，﹣y=4，解得x=3，y=﹣4. ∴223(4)5z =+-=.答案：5.4.若△ABC 中，a+b=4，∠C=30°，则△ABC 面积的最大值是____. 解析：在△ABC 中，∵C=30°，a+b=4， ∴△ABC 的面积211111sin sin 30412244)4(2S ab C ab b ab a =⋅=⋅︒==+≤⨯⨯=，当且仅当a=b=2时取等号.答案：1.5.若函数()2g 1lo x f x ax -+=的反函数的图象经过点(﹣2，3)，则a=____. 解析：∵函数()2g 1lo x f x ax -+=的反函数的图象经过点(﹣2，3)，∴函数()2g 1lo x f x ax -+=的图象经过点(3，﹣2)，∴232log 31a-=-+，∴a=2. 答案：2.6.过半径为2的球O 表面上一点A 作球O 的截面，若OA 与该截面所成的角是60°，则该截面的面积是____.解析：设截面的圆心为Q ，由题意得：∠OAQ=60°，QA=1，∴S=π·12=π. 答案：π.7.抛掷一枚均匀的骰子(刻有1，2，3，4，5，6)三次，得到的数字依次记作a ，b ，c ，则a+bi(i 为虚数单位)是方程x 2﹣2x+c=0的根的概率是____.解析：抛掷一枚均匀的骰子(刻有1，2，3，4，5，6)三次，得到的数字依次记作a ，b ，c ，基本事件总数n=6×6×6=216，∵a+bi(i 为虚数单位)是方程x 2﹣2x+c=0的根，∴(a+bi)2﹣2(a+bi)+c=0，即222022a b c a ab b⎧-+-=⎨=⎩，∴a=1，c=b 2+1， ∴a+bi(i 为虚数单位)是方程x 2﹣2x+c=0的根包含的基本事件为： (1，1，2)，(1，2，5)，∴a+bi(i 为虚数单位)是方程x 2﹣2x+c=0的根的概率是21216108p ==. 答案：1108.8.设常数a ＞0，9(x 展开式中x 6的系数为4，则()2lim n n a a a →∞++⋯+=____.解析：∵常数a ＞0，9(x +展开式中x 6的系数为4， ∴183922199r r r rrrr r T C x a xa C x---+==，当18362r-=时，r=2， ∴2294a C =，解得13a =，∴2211(1)1111133(1)13332313n n n na a a -+++==⋯-+-++=L ， ∴()2111lim lim[(1)]232n n n n a a a →∞→∞++-==⋯+. 答案：12.9.已知直线l 经过点(0)且方向向量为(2，﹣1)，则原点O 到直线l 的距离为____. 解析：直线的方向向量为(2，﹣1)，所以直线的斜率为：﹣12，直线方程为：=0，1=；答案：1.10.若双曲线的一条渐近线为x+2y=0，且双曲线与抛物线y=x 2的准线仅有一个公共点，则此双曲线的标准方程为____. 解析：抛物线y=x 2的准线：14y =-，双曲线与抛物线y=x 2的准线仅有一个公共点，可得双曲线实半轴长为14a =，焦点在y 轴上.双曲线的一条渐近线为x+2y=0，∴12a b =，可得12b =，则此双曲线的标准方程为：22111164y x -=. 答案：22111164y x -=.11.平面直角坐标系中，给出点A(1，0)，B(4，0)，若直线x+my ﹣1=0存在点P ，使得|PA|=2|PB|，则实数m 的取值范围是____. 解析：设P(1﹣my ，y)， ∵|PA|=2|PB|，∴|PA|2=4|PB|2，∴(1﹣my ﹣1)2+y 2=4(1﹣my ﹣4)2+y 2，化简得(m 2+1)y 2+8my+12=0则△=64m 2﹣48m 2﹣48≥0，解得m或m，即实数m 的取值范围是m或m.答案：mm.12.函数y=f(x)是最小正周期为4的偶函数，且在x ∈[﹣2，0]时，f(x)=2x+1，若存在x 1，x 2，…x n 满足0≤x 1＜x 2＜…＜x n ，且|f(x 1)﹣f(x 2)|+|f(x 2)﹣f(x 1)|+…+|f(x n ﹣1﹣f(x n ))|=2016，则n+x n 的最小值为____.解析：∵函数y=f(x)是最小正周期为4的偶函数，且在x ∈[﹣2，0]时，f(x)=2x+1， ∴函数的值域为[﹣3，1]，对任意x i ，x j (i ，j=1，2，3，…，m)，都有|f(x i )﹣f(x j )|≤f(x)max ﹣f(x)min =4，要使n+x n 取得最小值，尽可能多让x i (i=1，2，3，…，m)取得最高点，且f(0)=1，f(2)=﹣3，∵0≤x 1＜x 2＜…＜x m ，|f(x 1)﹣f(x 2)|+|f(x 2)﹣f(x 3)|+…+|f(x n ﹣1)﹣f(x n )|=2016， ∴n 的最小值为201615054+=，相应的x n 最小值为1008，则n+x n 的最小值为1513. 答案：1513.二、选择题(本大题共4题，满分20分) 13.若a r 与b c -r r 都是非零向量，则“a b a c ⋅=⋅r r r r ”是“()a b c ⊥-r r r”的( )A.充分但非必要条件B.必要但非充分条件C.充要条件D.既非充分也非必要条件解析：“a b a c ⋅=⋅r r r r ”⇔“0a b a c ⋅-⋅=r r r r ”⇔“()0a b c ⋅-=r r r ”⇔“()a b c ⊥-r r r”，故“a b a c ⋅=⋅r r r r ”是“()a b c ⊥-r r r”的充要条件.答案：C14.行列式147258369中，元素7的代数余子式的值为( ) A.﹣15 B.﹣3 C.3 D.12解析：∵行列式147258369， ∴元素7的代数余子式为： D 13=(﹣1)42536=2×6﹣5×3=﹣3. 答案：B.15.一个公司有8名员工，其中6名员工的月工资分别为5200，5300，5500，6100，6500，6600，另两名员工数据不清楚，那么8位员工月工资的中位数不可能是( ) A.5800 B.6000 C.6200 D.6400解析：∵一个公司有8名员工，其中6名员工的月工资分别为5200，5300，5500，6100，6500，6600，∴当另外两名员工的工资都小于5300时，中位数为5300550054002+=，当另外两名员工的工资都大于6500时，中位数为6100650063002+=，∴8位员工月工资的中位数的取值区间为[5400，6300]， ∴8位员工月工资的中位数不可能是6400. 答案：D. 16.若直线1x ya b+=通过点P(cos θ，sin θ)，则下列不等式正确的是( ) A.a 2+b 2≤1 B.a 2+b 2≥1C.22111a b +≤ D.22111a b+≥ 解析：直线1x ya b+=通过点P(cos θ，sin θ)，∴bcos θ+asin θ=ab ，)ab θφ+=，其中tan b aφ=，ab ≥， ∴a +b ≥a b ，∴22111a b +≥，答案：D三、解答题(满分76分)共5题17.某柱体实心铜制零件的截面边长是长度为55毫米线段AB 和88毫米的线段AC 以及圆心为P ，半径为PB 的一段圆弧BC 构成，其中∠BAC=60°. (1)求半径PB 的长度；(2)现知该零件的厚度为3毫米，试求该零件的重量(每1个立方厘米铜重8.9克，按四舍五入精确到0.1克).V 柱=S 底·h.解析：(1)在△ABP 中，由余弦定理建立方程，即可求半径PB 的长度； (2)求出V 柱=S 底·h ，即可求该零件的重量.答案：(1)∵AB=55，AC=88，BP=R ，∠BAC=60°.AP=88﹣R ，∴在△ABP 中，由余弦定理可得：BP 2=AB 2+AP 2﹣2AB ·AP ·cos ∠BAC ，可得：R 2=552+(88﹣R)2﹣2×55×(88﹣R)×cos60°， ∴解得：R=49mm.(2)在△ABP 中，AP=88﹣49=39mm ，AB=55，BP=49，222394955897cos 0.2347239493822BPA +-∠==≈⨯⨯，∴sin ∠BPA ≈0.972.∴∠BPA=arcsin0.972.V 柱=S 底·h=(S △ABP +S 扇形BPC ) ·h=21(arcsin 0.972)49(5539)32360π⋅⨯⨯⋅ 该零件的重量=213(arcsin 0.972)49(5539)322360π⋅⨯⨯⨯+⋅÷1000×8.9≈82.7.18.如图所示，l 1，l 2是互相垂直的异面直线，MN 是它们的公垂线段，点A ，B 在直线l 1上，且位于M 点的两侧，C 在l 2上，AM=BM=NM=CN (1)求证：异面直线AC 与BN 垂直；(2)若四面体ABCN 的体积V ABCN =9，求异面直线l 1，l 2之间的距离.解析：(1)欲证AC ⊥NB ，可先证BN ⊥面ACN ，根据线面垂直的判定定理只需证AN ⊥BN ，CN ⊥BN 即可；(2)判断异面直线的距离，利用体积公式求解即可.答案：(1)证明：由已知l 2⊥MN ，l 2⊥l 1，MN ∩l 1=M ，可得l 2⊥平面ABN.由已知MN ⊥l 1，AM=MB=MN ，可知AN=NB 且AN ⊥NB.又AN 为AC 在平面ABN 内的射影. ∴AC ⊥NB(2)∵AM=BM=NM=CN ，MN 是它们的公垂线段，就是异面直线l 1，l 2之间的距离，由中垂线的性质可得AN=BN ，四面体ABCN 的体积V ABCN =9，可得：31119323ABCN V AB MN CN MN ==⨯⨯⨯=， ∴MN=3.异面直线l 1，l 2之间的距离为3.19.如图所示，椭圆C ：2241x y +=，左右焦点分别记作F 1，F 2，过F 1，F 2分别作直线l 1，l 2交椭圆AB ，CD ，且l 1∥l 2.(1)当直线l 1的斜率k 1与直线BC 的斜率k 2都存在时，求证：k 1·k 2为定值； (2)求四边形ABCD 面积的最大值.解析：(1)由椭圆方程求出焦点坐标，得到直线AB 、CD 的方程，与椭圆方程联立求得A 、D 的坐标，求出AD 所在直线斜率得答案；(2)由(1)结合弦长公式求得|AB|，再由两平行线间的距离公式求出边AB 、CD 的距离，代入平行四边形面积公式，利用换元法求得最值.答案：(1)证明：由椭圆C ：2241x y +=，得a 2=4，b 2=1，∴c ==设k 1=k ，则AB 所在直线方程为k ，CD 所在直线方程为y=kx，联立2241y kx y x ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩，得(1+4k 2)x 22x+12k 2﹣4=0.解得x =B x，则B y同理求得C x =C y .则214k k ==-，则1211·()44k k k k =⋅-=-；(2)解：由(1)知，＝A B x x +-，2212414＝A B k x x k -+()224114k AB k +===+. AB 、CD的距离d =(224114四边形＝ABCD k S k +=+令1+4k 2=t(t ≥1)，则2311118316816＝S t t ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝+⎭-+，∴当t=3时，S max =4.20.数列{a n }，定义{△a n }为数列{a n }的一阶差分数列，其中△a n =a n+1﹣a n (n ∈N *)(1)若a n =n 2﹣n ，试判断{△a n }是否是等差数列，并说明理由；(2)若a 1=1，△a n ﹣a n =2n，求数列{a n }的通项公式；(3)对(b)中的数列{a n }，是否存在等差数列{b n }，使得1212nn n n n n b C b C b C a ++⋯+=，对一切n ∈N *都成立，若存在，求出数列{b n }的通项公式，若不存在，请说明理由.解析：(1)根据数列{a n }的通项公式a n =n 2﹣n ，结合新定义，可判定{△a n }是首项为4，公差为2的等差数列；(2)由△a n ﹣a n =2n入手能够求出数列{a n }的通项公式；(3)结合组合数的性质：1C n 1+2C n 2+3C n 3+…+nC n n =n(C n ﹣10+C n ﹣11+C n ﹣12+…+C n ﹣1n ﹣1)=n·2n ﹣1进行求解.答案：(1)若a n =n 2﹣n ，试判断{△a n }是等差数列，理由如下：∵a n =n 2﹣n ，∴△a n =a n+1﹣a n =(n+1)2﹣(n+1)﹣(n 2﹣n)=2n ， ∵△a n+1﹣△a n =2，且△a 1=4，∴{△a n }是首项为4，公差为2的等差数列；(2)∵△a n ﹣a n =2n.△a n =a n+1﹣a n ，∴a n+1﹣2a n =2n，∴111222n n n n a a ++-=， ∴数列2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭构成以12为首项，12为公差的等差数列，即1222﹣n n n na n a n =⇒=⋅； (3)b 1C n 1+b 2C n 2+…+b n C n n=a n ，即b 1C n 1+b 2C n 2+…+b n C n n=n·2n ﹣1， ∵1C n 1+2C n 2+3C n 3+…+nC n n =n(C n ﹣10+C n ﹣11+C n ﹣12+…+C n ﹣1n ﹣1)=n ·2n ﹣1，∴存在等差数列{b n }，b n =n ，使得b 1C n 1+b 2C n 2+…+b n C n n=a n 对一切自然n ∈N 都成立.21.对于函数f(x)(x ∈D)，若存在正常数T ，使得对任意的x ∈D ，都有f(x+T)≥f(x)成立，我们称函数f(x)为“T 同比不减函数”.(1)求证：对任意正常数T ，f(x)=x 2都不是“T 同比不减函数”； (2)若函数f(x)=kx+sinx 是“2π同比不减函数”，求k 的取值范围； (3)是否存在正常数T ，使得函数f(x)=x+|x ﹣1|﹣|x+1|为“T 同比不减函数”；若存在，求T 的取值范围；若不存在，请说明理由.解析：(1)根据T 同比不减函数的定义即可证明，(2)根据T 同比不减函数的定义，分离参数得到)4﹣k x ππ≥，根据三角形函数的性质即可求出k 的范围，(3)画出函数f(x)的图象，根据图象的平移即可求出T 的范围.答案：(1)∵f(x)=x 2，∴f(x+T)﹣f(x)=(x+T)2﹣x 2=2xT+T 2=T(2x+T)，由于2x+T 与0的小无法比较， ∴f(x+T)≥f(x)不一定成立，∴对任意正常数T ，f(x)=x 2都不是“T 同比不减函数，(2)∵函数f(x)=kx+sinx 是“2π同比不减函数， ∴sin sin 222（）（）（）（）f x f x k x x kx x πππ+-=+++--=cos sin 0224（）k k x x x πππ+-=-≥恒成立，∴4（）k x π≥-， ∵﹣1≤sin(x ﹣4π)≤1，∴k π≥，(3)f(x)=x+|x ﹣1|﹣|x+1|图象如图所示，由图象可知，只要把图象向左至少平移4个单位，即对任意的x ∈D ，都有f(x+T)≥f(x)成立， ∴T ≥4.考试高分秘诀是什么？试试这四个方法，特别是中考和高考生谁都想在考试中取得优异的成绩，但要想取得优异的成绩，除了要掌握好相关的知识定理和方法技巧之外，更要学会一些考试技巧。

上海市杨浦区2021届新高考第一次模拟数学试题含解析

上海市杨浦区2021届新高考第一次模拟数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．下列结论中正确的个数是（）①已知函数()f x 是一次函数，若数列{}n a 通项公式为()n a f n =，则该数列是等差数列； ②若直线l 上有两个不同的点到平面α的距离相等，则//l α； ③在ABC ∆中，“cos cos A B >”是“B A >”的必要不充分条件； ④若0,0,24a b a b >>+=，则ab 的最大值为2. A ．1 B ．2C ．3D ．0【答案】B 【解析】【分析】根据等差数列的定义，线面关系，余弦函数以及基本不等式一一判断即可；【详解】解：①已知函数()f x 是一次函数，若数列{}n a 的通项公式为()n a f n =，可得1(n n a a k k +-=为一次项系数），则该数列是等差数列，故①正确；②若直线l 上有两个不同的点到平面α的距离相等，则l 与α可以相交或平行，故②错误；③在ABC ∆中，(),0,B A π∈，而余弦函数在区间()0,π上单调递减，故 “cos cos A B >”可得“B A >”，由“B A >”可得“cos cos A B >”，故“cos cos A B >”是“B A >”的充要条件，故③错误；④若0,0,24a b a b >>+=，则42a b =+≥2ab ≤，当且仅当22a b ==时取等号，故④正确；综上可得正确的有①④共2个；故选：B 【点睛】本题考查命题的真假判断，主要是正弦定理的运用和等比数列的求和公式、等差数列的定义和不等式的性质，考查运算能力和推理能力，属于中档题．2．在ABC ∆中，0OA OB OC ++=u u u r u u u r u u u r r ，2AE EB =u u u r u u u r，AB AC λ=u u u r u u u r ，若9AB AC AO EC ⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r ，则实数λ=( )A B ．C ．3D ．2【答案】D【解析】【分析】将AO u u u r 、EC uuu r 用AB u u u r 、AC u u u r 表示，再代入9AB AC AO EC ⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r中计算即可. 【详解】由0OA OB OC ++=u u u r u u u r u u u r r，知O 为ABC ∆的重心，所以211()323AO AB AC =⨯+=u u u r u u u r u u u r ()AB AC +u u u r u u u r ，又2AE EB =u u u r u u u r ，所以23EC AC AE AC AB =-=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，93()AO EC AB AC ⋅=+⋅u u u r u u u r u u u r u u u r 2()3AC AB -u u ur u u u r2223AB AC AB AC AB AC =⋅-+=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，所以2223AB AC =u u u r u u u r ，||362||AB AC λ===u u u ru u ur . 故选：D 【点睛】本题考查平面向量基本定理的应用，涉及到向量的线性运算，是一道中档题.3．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，平面α与此正方体相交.对于实数()03d d <<，如果正方体1111ABCD A B C D -的八个顶点中恰好有m 个点到平面α的距离等于d ，那么下列结论中，一定正确的是 A ．6m ≠ B ．5m ≠ C ．4m ≠ D ．3m ≠【答案】B 【解析】【分析】此题画出正方体模型即可快速判断m 的取值. 【详解】如图（1）恰好有3个点到平面α的距离为d ；如图（2）恰好有4个点到平面α的距离为d ；如图（3）恰好有6个点到平面α的距离为d . 所以本题答案为B.【点睛】本题以空间几何体为载体考查点，面的位置关系，考查空间想象能力，考查了学生灵活应用知识分析解决问题的能力和知识方法的迁移能力，属于难题.4．如图所示，正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为1，线段B 1D 1上有两个动点E 、F 且EF=22，则下列结论中错误的是（）A ．AC ⊥BEB ．EF //平面ABCDC ．三棱锥A-BEF 的体积为定值D ．异面直线AE,BF 所成的角为定值【答案】D 【解析】【分析】A ．通过线面的垂直关系可证真假；B ．根据线面平行可证真假；C ．根据三棱锥的体积计算的公式可证真假；D ．根据列举特殊情况可证真假. 【详解】A ．因为11,,AC BD AC DD DD BD D ⊥⊥=I ，所以AC ⊥平面11BDDB ，又因为BE ⊂平面11BDD B ，所以AC BE ⊥，故正确；B ．因为11//D B DB ，所以//EF DB ，且EF ⊂/平面ABCD ，DB ⊂平面ABCD ，所以//EF 平面ABCD ，故正确；C ．因为1122BEF S EF BB =⨯⨯=V 为定值，A 到平面11BDD B 的距离为122h AC ==，所以11312A BEF BEF V S h -=⋅⋅=V 为定值，故正确； D ．当1111AC B D E =I ，AC BD G ⋂=，取F 为1B ，如下图所示：因为//BF EG ，所以异面直线,AE BF 所成角为AEG ∠，且222tan 1AG AEG GE ∠===，当1111AC B D F =I ，AC BD G ⋂=，取E 为1D ，如下图所示：因为11//,D F GB D F GB =，所以四边形1D GBF 是平行四边形，所以1//BF D G ，所以异面直线,AE BF 所成角为AEG ∠，且2232tan 3212AGAEG GE∠===⎛⎫+ ⎪⎝⎭，由此可知：异面直线,AE BF 所成角不是定值，故错误. 故选：D. 【点睛】本题考查立体几何中的综合应用，涉及到线面垂直与线面平行的证明、异面直线所成角以及三棱锥体积的计算，难度较难.注意求解异面直线所成角时，将直线平移至同一平面内. 5．若0.60.5a ＝,0.50.6b ＝,0.52c ＝,则下列结论正确的是( ) A ．b c a >> B ．c a b >>C ．a b c >>D ．c b a >>【答案】D 【解析】【分析】根据指数函数的性质，取得,,a b c 的取值范围，即可求解，得到答案. 【详解】由指数函数的性质，可得0.50.50.610.60.50.50>>>>，即10b a >>>，又由0.512c =>，所以c b a >>. 故选：D. 【点睛】本题主要考查了指数幂的比较大小，其中解答中熟记指数函数的性质，求得,,a b c 的取值范围是解答的关键，着重考查了计算能力，属于基础题.6．若函数32()39f x x ax x =++-在3x =-时取得极值，则a =（） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5【答案】D 【解析】【分析】对函数求导，根据函数在3x =-时取得极值，得到()30f '-=，即可求出结果. 【详解】因为()3239f x x ax x =++-，所以()2323f x x ax =++'，又函数()3239f x x ax x =++-在3x =-时取得极值，所以()327630f a -=-+='，解得5a =. 故选D 【点睛】本题主要考查导数的应用，根据函数的极值求参数的问题，属于常考题型. 7．设集合{|0}A x x =>，{}2|log (31)2B x x =-<，则（）． A ．50,3A B ⎛⎫= ⎪⎝⎭I B ．10,3A B ⎛⎤= ⎥⎝⎦I C ．1,3A B ⎛⎫⋃=+∞ ⎪⎝⎭D ．(0,)A B =+∞U【答案】D 【解析】【分析】根据题意，求出集合A ，进而求出集合A B U 和A B I ，分析选项即可得到答案. 【详解】根据题意，{}215|log (31)2|33B x x x x ⎧⎫=-<=<<⎨⎬⎩⎭则15(0,),,33A B A B ⎛⎫⋃=+∞⋂= ⎪⎝⎭故选：D 【点睛】此题考查集合的交并集运算，属于简单题目,8．已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b -=>>的焦点为1F ，2F ，且C 上点P 满足120PF PF ⋅=u u u v u u u u v ，13PF =u u u v ，24PF =u u u u v，则双曲线C 的离心率为A ．2B ．C ．52D ．5【答案】D 【解析】【分析】根据双曲线定义可以直接求出a ，利用勾股定理可以求出c ，最后求出离心率. 【详解】依题意得，2121a PF PF =-=，125F F ==，因此该双曲线的离心率12215F F e PF PF ==-.【点睛】本题考查了双曲线定义及双曲线的离心率，考查了运算能力. 9．函数()4sin (0)3f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的最小正周期是3π，则其图象向左平移6π个单位长度后得到的函数的一条对称轴是（） A ．4x π=B ．3x π=C ．56x π=D ．1912x π=【答案】D 【解析】【分析】由三角函数的周期可得23πω=，由函数图像的变换可得，平移后得到函数解析式为244sin 39y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再求其对称轴方程即可.【详解】解：函数()4sin (0)3f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的最小正周期是3π，则函数2()4sin 33f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，经过平移后得到函数解析式为2244sin 4sin 36339y x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，由24()392x k k πππ+=+∈Z ，得3()212x k k ππ=+∈Z ，当1k =时，1912x π=. 故选D. 【点睛】本题考查了正弦函数图像的性质及函数图像的平移变换，属基础题.10．设复数z 满足(1)21z i i ⋅+=+（i 为虚数单位），则复数z 的共轭复数在复平面内对应的点位于（） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】D 【解析】【分析】先把(1)21z i i ⋅+=+变形为211i z i+=+，然后利用复数代数形式的乘除运算化简，求出z ，得到其坐标可得答案. 【详解】解：由(1)21z i i ⋅+=+，得21(21)(1)3311(1)(1)222i i i i z i i i i ++-+====+++-，所以3122z i =-，其在复平面内对应的点为31,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，在第四象限故选：D 【点睛】此题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，属于基础题.11．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的渐近线方程为34y x =?，且其右焦点为(5,0)，则双曲线C 的方程为（）A ．221916x y -=B ．221169x y -= C ．22134x y -= D ．22143x y -= 【答案】B 【解析】试题分析：由题意得34b a =，22225c a b =+=，所以4a =，3b =，所求双曲线方程为221169x y -=．考点：双曲线方程.12．阅读如图的程序框图，运行相应的程序，则输出的a 的值为（）A ．2-3B ．3-2C ．52D ．25【答案】C 【解析】【分析】根据给定的程序框图，计算前几次的运算规律，得出运算的周期性，确定跳出循环时的n 的值，进而求解a 的值，得到答案.【详解】由题意，3,15a n ==，第1次循环，2,23a n =-=，满足判断条件；第2次循环，5,32a n ==，满足判断条件；第3次循环，3,45a n ==，满足判断条件；L L可得a 的值满足以3项为周期的计算规律，所以当2019n =时，跳出循环，此时n 和3n =时的值对应的a 相同，即52a =. 故选：C. 【点睛】本题主要考查了循环结构的程序框图的计算与输出问题，其中解答中认真审题，得出程序运行时的计算规律是解答的关键，着重考查了推理与计算能力. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

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上海市杨浦区高考数学一模试卷一.填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1．（4分）计算的结果是．2．（4分）已知集合A={1，2，m}，B={3，4}，若A∩B={3}，则实数m=．3．（4分）已知，则=．4．（4分）若行列式，则x=．5．（4分）已知一个关于x、y的二元一次方程组的增广矩阵是，则x+y=．6．（4分）在的二项展开式中，常数项等于．7．（5分）若将一颗质地均匀的骰子（一种各面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具），先后抛掷2次，则出现向上的点数之和为4的概率是．8．（5分）数列{a n}的前n项和为S n，若点（n，S n）（n∈N*）在函数y=log2（x+1）的反函数的图象上，则a n=．9．（5分）在△ABC中，若sinA、sinB、sinC成等比数列，则角B的最大值为．10．（5分）抛物线y2=﹣8x的焦点与双曲线﹣y2=1的左焦点重合，则这条双曲线的两条渐近线的夹角为．11．（5分）已知函数，x∈R，设a＞0，若函数g （x）=f（x+α）为奇函数，则α的值为．12．（5分）已知点C、D是椭圆上的两个动点，且点M（0，2），若，则实数λ的取值范围为．二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13．（5分）在复平面内，复数对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限14．（5分）给出下列函数：①y=log2x；②y=x2；③y=2|x|；④y=arcsinx．其中图象关于y轴对称的函数的序号是（）A．①②B．②③C．①③D．②④15．（5分）“t≥0”是“函数f（x）=x2+tx﹣t在（﹣∞，+∞）内存在零点”的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分也非必要条件16．（5分）设A、B、C、D是半径为1的球面上的四个不同点，且满足•=0，•=0，•=0，用S1、S2、S3分别表示△ABC、△ACD、△ABD的面积，则S1+S2+S3的最大值是（）A．B．2 C．4 D．8三.解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17．（14分）如图所示，用总长为定值l的篱笆围成长方形的场地，以墙为一边，并用平行于一边的篱笆隔开．（1）设场地面积为y，垂直于墙的边长为x，试用解析式将y表示成x的函数，并确定这个函数的定义域；（2）怎样围才能使得场地的面积最大？最大面积是多少？18．（14分）如图，已知圆锥的侧面积为15π，底面半径OA和OB互相垂直，且OA=3，P是母线BS的中点．（1）求圆锥的体积；（2）求异面直线SO与PA所成角的大小．（结果用反三角函数值表示）19．（14分）已知函数的定义域为集合A，集合B=（a，a+1），且B ⊆A．（1）求实数a的取值范围；（2）求证：函数f（x）是奇函数但不是偶函数．20．（16分）设直线l与抛物线Ω：y2=4x相交于不同两点A、B，O为坐标原点．（1）求抛物线Ω的焦点到准线的距离；（2）若直线l又与圆C：（x﹣5）2+y2=16相切于点M，且M为线段AB的中点，求直线l的方程；（3）若，点Q在线段AB上，满足OQ⊥AB，求点Q的轨迹方程．21．（18分）若数列A：a1，a2，…，a n（n≥3）中（1≤i≤n）且对任意+a k﹣1＞2a k恒成立，则称数列A为“U﹣数列”．的2≤k≤n﹣1，a k+1（1）若数列1，x，y，7为“U﹣数列”，写出所有可能的x、y；（2）若“U﹣数列”A：a1，a2，…，a n中，a1=1，a n=2017，求n的最大值；（3）设n 0为给定的偶数，对所有可能的“U﹣数列”A：a1，a2，…，，记，其中max{x 1，x2，…，x s}表示x1，x2，…，x s这s 个数中最大的数，求M的最小值．2018年上海市杨浦区高考数学一模试卷参考答案与试题解析一.填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1．（4分）计算的结果是1．【解答】解：当n→+∞，→0，∴=1，故答案为：1．2．（4分）已知集合A={1，2，m}，B={3，4}，若A∩B={3}，则实数m=3．【解答】解：∵集合A={1，2，m}，B={3，4}，A∩B={3}，∴实数m=3．故答案为：3．3．（4分）已知，则=﹣．【解答】解：∵，∴=．故答案为：﹣．4．（4分）若行列式，则x=2．【解答】解：∵，∴2×2x﹣1﹣4=0即x﹣1=1∴x=2故答案为：25．（4分）已知一个关于x、y的二元一次方程组的增广矩阵是，则x+y= 6．【解答】解：∵一个关于x、y的二元一次方程组的增广矩阵是，∴由二元线性方程组的增广矩阵可得到二元线性方程组的表达式，解得x=4，y=2，∴x+y=6．故答案为：6．6．（4分）在的二项展开式中，常数项等于﹣160．=x6﹣r（﹣）r=（﹣2）r x6﹣2r【解答】解：展开式的通项为T r+1令6﹣2r=0可得r=3常数项为（﹣2）3=﹣160故答案为：﹣1607．（5分）若将一颗质地均匀的骰子（一种各面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具），先后抛掷2次，则出现向上的点数之和为4的概率是．【解答】解：基本事件共6×6个，点数和为4的有（1，3）、（2，2）、（3，1）共3个，故P==．故答案为：．8．（5分）数列{a n}的前n项和为S n，若点（n，S n）（n∈N*）在函数y=log2（x+1）的反函数的图象上，则a n=2n﹣1．【解答】解：由题意得n=log2（S n+1）⇒s n=2n﹣1．n≥2时，a n=s n﹣s n﹣1=2n﹣2n﹣1=2n﹣1，当n=1时，a1=s1=21﹣1=1也适合上式，∴数列{a n}的通项公式为a n=2n﹣1；故答案为：2n﹣19．（5分）在△ABC中，若sinA、sinB、sinC成等比数列，则角B的最大值为．【解答】解：∵在△ABC中，sinA、sinB、sinC依次成等比数列，∴sin2B=sinAsinC，利用正弦定理化简得：b2=ac，由余弦定理得：cosB==≥=（当且仅当a=c时取等号），则B的范围为（0，]，即角B的最大值为．故答案为：．10．（5分）抛物线y2=﹣8x的焦点与双曲线﹣y2=1的左焦点重合，则这条双曲线的两条渐近线的夹角为．【解答】解：∵抛物线y2=﹣8x的焦点F（﹣2，0）与双曲线﹣y2=1的左焦点重合，∴a2+1=4，解得a=，∴双曲线的渐近线方程为y=，∴这条双曲线的两条渐近线的夹角为，故答案为：．11．（5分）已知函数，x∈R，设a＞0，若函数g （x）=f（x+α）为奇函数，则α的值为．【解答】解：函数，=，=s，函数g（x）=f（x+α）=为奇函数，则：（k∈Z），解得：，故答案为：12．（5分）已知点C、D是椭圆上的两个动点，且点M（0，2），若，则实数λ的取值范围为．【解答】解：假设CD的斜率存在时，设过点M（0，2）得直线方程为y=kx+2，联立方程，整理可得（1+4k2）x2+16kx+12=0，设C（x1，y1），N（x2，y2），则△=（16k）2﹣4×（1+4k2）×12≥0，整理得k2≥，x1+x2=﹣，x1x2=，（*）由，可得，x1=λx2代入到（*）式整理可得==，由k2≥，可得4≤≤，解可得＜λ＜3且λ≠1，当M和N点重合时，λ=1，当斜率不存在时，则D（0，1），C（0，﹣1），或D（0，1），C（0，﹣1），则λ=或λ=3∴实数λ的取值范围．故答案为：．二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13．（5分）在复平面内，复数对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：∵=，∴复数对应的点的坐标为（﹣1，﹣2），位于第三象限．故选：C．14．（5分）给出下列函数：①y=log2x；②y=x2；③y=2|x|；④y=arcsinx．其中图象关于y轴对称的函数的序号是（）A．①②B．②③C．①③D．②④【解答】解：①y=log2x的定义域为（0，+∞），定义域关于原点不对称，则函数为非奇非偶函数；②y=x2；是偶函数，图象关于y轴对称，满足条件．③y=2|x|是偶函数，图象关于y轴对称，满足条件．④y=arcsinx是奇函数，图象关于y轴不对称，不满足条件，故选：B．15．（5分）“t≥0”是“函数f（x）=x2+tx﹣t在（﹣∞，+∞）内存在零点”的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分也非必要条件【解答】解：t≥0⇒△=t2+4t≥0⇒函数f（x）=x2+tx﹣t在（﹣∞，+∞）内存在零点，函数f（x）=x2+tx﹣t在（﹣∞，+∞）内存在零点⇒△=t2+4t≥0⇒t≥0或t≤﹣4．∴“t≥0”是“函数f（x）=x2+tx﹣t在（﹣∞，+∞）内存在零点”的充分非必要条件．故选：A．16．（5分）设A、B、C、D是半径为1的球面上的四个不同点，且满足•=0，•=0，•=0，用S1、S2、S3分别表示△ABC、△ACD、△ABD的面积，则S1+S2+S3的最大值是（）A．B．2 C．4 D．8【解答】解：设AB=a，AC=b，AD=c，因为AB，AC，AD两两互相垂直，扩展为长方体，它的对角线为球的直径，所以a2+b2+c2=4R2=4所以S△ABC +S△ACD+S△ADB=（ab+ac+bc ）≤（a2+b2+c2）=2即最大值为：2故选：B．三.解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17．（14分）如图所示，用总长为定值l的篱笆围成长方形的场地，以墙为一边，并用平行于一边的篱笆隔开．（1）设场地面积为y，垂直于墙的边长为x，试用解析式将y表示成x的函数，并确定这个函数的定义域；（2）怎样围才能使得场地的面积最大？最大面积是多少？【解答】解：（1）设场地面积为y，垂直于墙的边长为x，它的面积y=x（l﹣3x）；由x＞0，且l﹣3x＞0，可得函数的定义域为（0，l）；（2）y=x（l﹣3x）=×3x（1﹣3x）≤×（）2=，当x=时，这块长方形场地的面积最大，这时的长为l﹣3x=l，最大面积为．18．（14分）如图，已知圆锥的侧面积为15π，底面半径OA和OB互相垂直，且OA=3，P是母线BS的中点．（1）求圆锥的体积；（2）求异面直线SO与PA所成角的大小．（结果用反三角函数值表示）【解答】（本题满分（14分），第1小题满分（7分），第2小题满分7分）解：（1）由题意，π•OA•SB=15π，解得BS=5，…（2分）故…（4分）从而体积．…（7分）（2）如图，取OB中点H，连结PH、AH．由P是SB的中点知PH∥SO，则∠APH（或其补角）就是异面直线SO与PA所成角．…（10分）∵SO⊥平面OAB，∴PH⊥平面OAB，∴PH⊥AH．在△OAH中，由OA⊥OB，得，…（11分）在Rt△APH中，∠AHP=90 O，，…（12分）则，∴异面直线SO与PA所成角的大小．…（14分）19．（14分）已知函数的定义域为集合A，集合B=（a，a+1），且B ⊆A．（1）求实数a的取值范围；（2）求证：函数f（x）是奇函数但不是偶函数．【解答】解：（1）令，解得﹣1＜x＜1，所以A=（﹣1，1），因为B⊆A，所以，解得﹣1≤a≤0，即实数a的取值范围是[﹣1，0]；（2）证明：函数f（x）的定义域A=（﹣1，1），定义域关于原点对称，f（﹣x）=ln=ln（）﹣1=﹣ln=﹣f（x），而，，所以，所以函数f（x）是奇函数但不是偶函数．20．（16分）设直线l与抛物线Ω：y2=4x相交于不同两点A、B，O为坐标原点．（1）求抛物线Ω的焦点到准线的距离；（2）若直线l又与圆C：（x﹣5）2+y2=16相切于点M，且M为线段AB的中点，求直线l的方程；（3）若，点Q在线段AB上，满足OQ⊥AB，求点Q的轨迹方程．【解答】解：（1）根据题意，抛物线Ω的方程为y2=4x，则p=2，故抛物线Ω的焦点到准线的距离为2；（2）设直线l：x=my+b当m=0时，x=1和x=9符合题意；当m≠0时，A（x1，y1）、B（x2，y2）的坐标满足方程组，所以y2﹣4my﹣4b=0的两根为y1、y2．△=16（m2+b）＞0，y1+y2=4m，所以，所以线段AB的中点M（2m2+b，2m）因为k AB•k CM=﹣1，，所以，得b=3﹣2m2所以△=16（m2+b）=16（3﹣m2）＞0，得0＜m2＜3因为，所以m2=3（舍去）综上所述，直线l的方程为：x=1，x=9（3）设直线AB：x=my+b，A（x1，y1）、B（x2，y2）的坐标满足方程组，所以y2﹣4my﹣4b=0的两根为y1、y2△=16（m2+b）＞0，y1+y2=4m，y1y2=﹣4b所以，得b=0或b=4b=0时，直线AB过原点，所以Q（0，0）；b=4时，直线AB过定点P（4，0）设Q（x，y），因为OQ⊥AB，所以（x≠0），综上，点Q的轨迹方程为x2﹣4x+y2=021．（18分）若数列A：a1，a2，…，a n（n≥3）中（1≤i≤n）且对任意的2≤k≤n﹣1，a k+a k﹣1＞2a k恒成立，则称数列A为“U﹣数列”．+1（1）若数列1，x，y，7为“U﹣数列”，写出所有可能的x、y；（2）若“U﹣数列”A：a1，a2，…，a n中，a1=1，a n=2017，求n的最大值；（3）设n 0为给定的偶数，对所有可能的“U﹣数列”A：a1，a2，…，，记，其中max{x 1，x2，…，x s}表示x1，x2，…，x s这s 个数中最大的数，求M的最小值．【解答】解：（1）x=1时，，所以y=2或3；x=2时，，所以y=4；x≥3时，，无整数解；所以所有可能的x，y为，或．（2）n的最大值为65，理由如下：一方面，注意到：a k+a k﹣1＞2a k⇔a k+1﹣a k＞a k﹣a k﹣1．+1对任意的1≤i≤n﹣1，令b i=a i+1﹣a i，则b i∈Z且b k＞b k﹣1（2≤k≤n﹣1），故b k ≥b k+1对任意的2≤k≤n﹣1恒成立．（*）﹣1当a1=1，a n=2017时，注意到b1=a2﹣a1≥1﹣1=0，得（2≤i≤n﹣1）即b i≥i﹣1，此时a n﹣a1=（a n﹣a n﹣1）+（a n﹣1﹣a n﹣2）+…+（a2﹣a1）=b n﹣1+b n﹣2+…+b1≥0+1+2+…+（n﹣2）=，（**）即，解得：﹣62≤n≤65，故n≤65．另一方面，为使（**）取到等号，所以取b i=i﹣1（1≤i≤64），则对任意的2≤k ≤64，b k＞b k﹣1，故数列{a n}为“U﹣数列”，此时由（**）式得，所以a65=2017，即n=65符合题意．综上，n的最大值为65．（3）M的最小值为，证明如下：当n0=2m（m≥2，m∈N*）时，﹣b k≥1，b m+k﹣b k=（b m+k﹣b m+k﹣1）+（b m+k﹣1﹣b m+k﹣2）一方面：由（*）式，b k+1﹣b k）≥m．此时有：+…+（b k+1（a1+a2m）﹣（a m+a m+1）=（a2m﹣a m+1）﹣（a m﹣a1）=（b m+1+b m+2+…+b2m﹣1）﹣（b1+b2+…+b m﹣1）=（b m+1﹣b1）+（b m+2﹣b2）+…+（b2m+1﹣b m﹣1）≥m+m+…+m=m（m﹣1）．即（a1+a2m）≥（a m+a m+1）+m（m﹣1）故因为，所以，另一方面，当b1=1﹣m，b2=2﹣m，…，b m﹣1=﹣1，b m=0，b m+1=1，b2m﹣1=m﹣1 +a k﹣1﹣2a k=（a k+1﹣a k）﹣（a k﹣a k﹣1）=b k﹣b k﹣1=1＞0时，a k+1取a m=1，则a m+1=1，a1＞a2＞a3＞…＞a m，a m+1＜a m+2＜…＜a2m，且此时．综上，M的最小值为．。