分段函数与绝对值函数

2．11分段函数与绝对值函数

——随着高考命题思维量的加大,分段函数成了新的热点和亮点,单设专题,以明析强化之

一、明确复习目标

了解分段函数的有关概念；掌握分段函数问题的处理方法

二．建构知识网络

1.分段函数:定义域中各段的x 与y 的对应法则不同,函数式是分两段或几段给出的. 分段函数是一个函数,定义域、值域都是各段的并集。

2.绝对值函数去掉绝对符号后就是分段函数.

3.分段函数中的问题一般是求解析式、反函数、值域或最值,讨论奇偶性单调性等。

4.分段函数的处理方法:分段函数分段研究.

三、双基题目练练手

1.设函数f （x ）=????

?≥--<+,

11

4,1)

1(2

x x x x 则使得f （x ）≥1的x 的取值范围为 ( )

A.（－∞，－2］∪［0，10］

B.（－∞，－2］∪［0，1］

C.（－∞，－2］∪［1，10］

D.［－2，0］∪［1，10］ 2．(2006安徽)函数2

2,0

,0x x y x x ≥?=?

-

的反函数是 （ ） A

．,020

x

x y x ?≥?=< B

．2,0

0x x y x ≥??=<

C

．,020

x

x y x ?≥?=??

D

．2,0

0x x y x ≥??=?

3．(2007启东质检)已知21[1,0)

()1[0,1]

x x f x x x +∈-?=?+∈?，，，则下列函数图象错误．．

的是(

)

4.（2006全国Ⅱ）函数19

1

()n f x x n ==

-∑的最小值为 ( )

（A ）190 （B ）171 （C ）90 （D ）45

5.（2005北京市西城模拟）已知函数f （x ）=??

?<-≥-),

2(2

),

2(2

x x x 则f （lg30－lg3）

=___________；不等式xf （x －1）＜10的解集是_______________.

6. （2006浙江）对R b a ∈,,记则{}?

??≥=b a b b

a a

b a ＜,,,max 则函数

(){}()R x x x x f ∈-+=2,1max 的最小值是 .

7.

已知函数1

3

2

(0)()(01)log (1)

x

x f x x x x ?<=≤≤>??,当a <0时,f {f [f (a )]}=

8.函数2

21(0)

()(0)

x x f x x x ?+≥?=?-

简答:1-4.ACDC;

4.x=10时,取最小值90.f(x)=|x-1|+|x-2|+…+|x-19| =|x-1|+…+|x-10|+|11-x|+…+|19-x| ≥|x-1+x-2+…x-9+11-x+…19-x|+|x-10| ≥|90|+0=90, 当x=10时取等号.一般地:…

5. f （lg30－lg3）=f （lg10）=f （1）=－2，

f （x －1）=??

?<-≥-.

32

,33

x x x

当x ≥3时，x （x －3）＜10?－2＜x ＜5，故3≤x ＜5.

当x ＜3时，－2x ＜10?x ＞－5，故－5＜x ＜3.解集 {x |－5＜x ＜5} 6. 由()()2

121212

2

≥

?-≥+?-≥+x x x x x ， ()112122x x f x x x ???+≥ ?????=????-< ?????

如右图()min 13

22f x f ??== ???

7.12

-;8. 当x ≥0时，x 2+1≥1；当x<0时，－x 2

<0原函数值域是[1,+∞]∪(－∞,0)。

四、经典例题做一做

【例1】设定义在N 上的函数f （x ）满足f （n ）=?

??-+)]18([13

n f f n ),2000(),2000(>≤n n 求f （2002）.

解：∵2002＞2000，

∴f （2002）=f ［f （2002－18）］=f ［f （1984）］=f ［1984+13］=f （1997）=1997+13=2010. 感悟方法 求值时代入哪个解析式,一定要看清自变量的取值在哪一段上.

【例2】判断函数22(1)(0)

()(1)(0)

x x x f x x x x ?-≥?=?-+

解：当x>0时，－x<0, f(－x)= －(－x)2(－x+1)=x 2(x －1)=f(x)；

当x=0时，f(－0)=f(0)=0；当x<0时，f(－x)=( －x)2(－x －1)= －x 2(x+1)=f(x)。因此，对任意x ∈R 都有f(-x)=f(x)，所以函数f(x)为偶函数。

提炼方法：:分段函数的奇偶性必须对x 的值分类比较f(-x)与f(x)的关系，得出f(x)是否是

奇偶函数的结论。

【例3】(2007启东质检)已知函数1

()|1|f x x

=-

,(0)x > （1）当0,()()a b f a f b <<=且时，求证：1ab >；

（2）是否存在实数,()a b a b <，使得函数()y f x =的定义域、值域都是[,]a b ，若存

在，则求出,a b 的值，若不存在，请说明理由；

（3）若存在实数,()a b a b <，使得函数()y f x =的定义域为[,]a b 时，值域为

[,](0)ma mb m ≠，求m 的取值范围．

解:（1）∵0x >，∴1

1,1,()11,0 1.x x

f x x x

?-≥??=??-<

∴)(x f 在（0，1）上为减函数，在（1，＋∞）上是增函数． 由0,()()a b f a f b <<=且，可得01a b <<<， 所以有

1111a b -=-，即11

2a b

+=

．∴2ab a b =+>

1>，即1ab >

（2）不存在满足条件的实数,a b ．

若存在满足条件的实数,a b ，使得函数1

()|1|y f x x

==-

的定义域、值域都是[,a b ]，

则0a >．由1

1,1,()11,0 1.x x

f x x x

?-≥??=??-<

①当,a b ∈（0，1）时，1

()1f x x

=

-在（0，1）上为减函数． 故(),().f a b f b a =??=?，即1

1,11.

b a

a b

?-=????-=??，解得a b =． 故此时不存在适合条件的实数,a b ．

②当,a b ∈[)1,+∞时，1

()1f x x =-

在（1，＋∞）上为增函数．故(),().

f a a f b b =??=?，即1

1,11.a a b b

?-=????-=??

此时,a b 是方程2

10x x -+=的根，由于此方程无实根． 故此时不存在适合条件的实数,a b ．

③当a ∈（0，1），[)1,b ∈+∞时，由于1∈[,a b ]，而[](1)0,f a b =?，故此时不存在适合条件的实数,a b ．

综上可知，不存在适合条件的实数,a b ．

（3）若存在实数,()a b a b <，使得函数()y f x =的定义域为[,a b ]时，值域为

[,]ma mb ，则0,0a m >>．

①当,a b ∈（0，1）时，由于()f x 在（0，1）上是减函数，值域为[,]ma mb ，

即1

1,11.mb a ma b

?-=????-=?? 解得a ＝b>0，不合题意，所以,a b 不存在．

②当(0,1)(1,)a b ∈∈+∞或时，由（2）知0在值域内，值域不可能是[,]ma mb ，所以

,a b 不存在．故只有[),1,a b ∈+∞．

∵|1

1|)(x x f -=在（1，＋∞）上是增函数，∴(),().f a ma f b mb =??=?，即1

1,11.

ma a mb b

?-=????-=??

,a b 是方程210mx x -+=有两个根．

即关于x 的方程2

10mx x -+=有两个大于1的实根． 设这两个根为12,x x ．则121211

,x x x x m m

+=

?= ∴1212

0,(1)(1)0,(1)(1)0.x x x x ?>??-+->??-->?即140,

120.m m ->???->??

解得1

04

m <<

． 综上m 的取值范围是104

m <<

． 【例4】设a 为实数，设函数x x x a x f -+++-=111)(2的最大值为g (a )。 （Ⅰ）设t ＝x x -++11，求t 的取值范围，并把f (x )表示为t 的函数m (t )； （Ⅱ）求g (a )；

解：（I ）∵t=x +1+x -1,

∴要使t 有意义，必须1+x ≥0且1-x ≥0，即-1≤x ≤1. ∵t 2

=2+221x -∈[2,4],t ≥0, ①

∴t 的取值范围是[2,2].

由①得21x -=

21t 2

-1, ∴m(t)=a(21t 2-1)+t=2

1at 2

+t-a,t ∈[2,2].

(Ⅱ)由题意知g(a)即为函数m （t ）=2

1at 2

+t-a, t ∈[2,2]的最大值.

注意到直线t=-a 1是抛物线m(t)= 2

1at 2

+t-a 的对称轴，分以下几种情况讨论.

(1)当a>0时，函数y=m(t), t ∈[2,2]的图像是开口向上的抛物线的一段，由

t=-

a

1

<0知m(t)在[2,2]上单调递增, ∴g(a)=m(2)=a+2.

(2)当a=0时，m(t)=t,t ∈[2,2], ∴g(a)=2.

(3)当a<0时，函数y=m(t), t ∈[2,2]的图像是开口向下的抛物线的一段.

若t=-

a

1

∈(0,2]，即a ≤-22，则g(a)=m(2)=2. 若t=-

a 1∈(2,2]，即a ∈(-22,-21]则g(a)=m(-a 1)=-a-a

21

.

若t=-

a 1∈(2,+ ∞)，即a ∈(-2

1

,0),则g(a)=m(2)=a+2. 综上有

g(a)=12, ,211, ,222 a a a a a a ?

+>-??

?

---<≤-??≤ 核心步骤:(1) m(t)=a(

21t 2-1)+t=2

1at 2

+t-a,t ∈[2,2]. (2)求g(a)=[m(t)]max ,按对称轴相对于区间[2,2]的位置,对a 分类分类讨论. 【研讨.欣赏】(2000全国)某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从二月一日

起的300天内，西红柿市场售价与上市时间的关系用图一的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系用图二的抛物线段表示．

(Ⅰ) 写出图一表示的市场售价与时间的函数关系式P =()t f ； 写出图二表示的种植成本与时间的函数关系式Q =()t g ；

(Ⅱ) 认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿收益最大？

(注：市场售价和种植成本的单位：元/210kg ，时间单位：天) 解：(Ⅰ)由图一可得市场售价与时间的函数关系为 f (t )=?

?

?≤<-≤≤-;300200,3002,2000300t t t t ，

由图二可得种植成本与时间的函数关系为 g (t )=

200

1

(t －150)2＋100，0≤t ≤300． (Ⅱ)设t 时刻的纯收益为h (t )，则由题意得 h (t )=f (t )－g (t )

即h (t )=???????≤<-+-≤≤++-3002002102527200

120002

175********t t t t t t ，，

当0≤t ≤200时，配方整理得 h (t )=－

200

1

(t －50)2＋100， 所以，当t =50时，h (t )取得区间[0，200]上的最大值100； 当200

200

1

(t －350)2＋100 所以，当t =300时，h (t )取得区间[200，300]上的最大值87.5．

综上，由100>87.5可知，h (t )在区间[0,300]上可以取得最大值100，此时t =50，即从二月一日开始的第50天时，上市的西红柿纯收益最大．

思路点拨: 题(Ⅱ)分段写出收益与时间的函数关系h(t), 是分段函数,再分段求最值.

五．提炼总结以为师

1.分段函数、绝对值函数问题类型——

2.分段函数的处理方法:分段函数分段研究；解题中务必看清自变量在哪一段，该代哪个解析式。

同步练习 2．11分段函数与绝对值函数

【选择题】

1.(2006山东)设12

32 2

()log (1) 2

x e x f x x x -?的解集为 ( ) A.(1,2)(3,)+∞

B.)+∞

C.(1,2)(10,)+∞

D.(1,2)

2．已知函数(21)72(1)

() (1)x a x a x f x a x -+-

在（－∞，＋∞）上单调递减，则实数a

的取值范围是 ( )

A ．（0,1）

B ．（0,2

1

） C ．3,18?????? D ．31,82??

????

3. 已知函数21)(,12)(x x g x f x -=-=构造函数F(x )，定义F 如下：当)(|)(|x g x f ≥时，

|)(|)(x f x F =，当)(|)(|x g x f <时，)()(x g x F -=，那么)(x F ( ）

A ．有最小值－1，无最大值

B ．有最小值0，无最大值

C ．有最大值1，无最小值

D ．无最小值，也无最大值

【填空题】

4.已知f （x ）=?

??<≥,0,0,

0,1x x 则不等式xf （x ）+x ≤2的解集是________________.

5.（2005北京东城模拟）定义“符号函数”f （x ）=sgn x =??

?

??<-=>,01,00,01

x x x 则不等式x +2＞

（x －2）sgn x 的解集是______________.

6.已知函数f(x)=|x 2－2x －3|的图象与直线y=a 有且仅有3个交点，则a= 。 简答提示:1-3. C DA; 4.分段解取并集{x |x ≤1}; 5.（－5，+∞）;6. 由图象易知a=4。

【解答题】

7.求函数21(0)

()1(0)x x f x x x ?+≤=?->?

的反函数。

解：∵ f (x )在R 上是单调减函数， ∴ f (x )在R 上有反函数。 ∵ y=x 2+1(x ≤0)

的反函数是y =(x ≥1), y=1－x (x >0)的反函数是y=1－x (x <1), ∴ 函数f (x )

的反函数是1

(0)

()1(0)x f

x x

x -?≥?=?-

注 ：求分段函数的反函数只要分别求出其反函数即可。

8.设A ={x ||x |=kx +1},若A ∩R +=φ,A ∩R -≠φ,求实数k 的取值范围.

解法1:方程|x |=kx +1的解是函数y=|x |和y =kx +1交点的横坐标,结合图形知,当直线y =kx +1在α范围内时,方程有负根,且没有正根,故k ≥1.

解法2:由题意须0

1x x kx

-=+?

①有解,

1

x x kx >??

=+? ②无解. ①中k=-1时无解,1

1,011k x k k -≠-=

<>-+时得; ②中k=1时无解,k ≠0时,若1

01,1x k k

=><-即则②有解,

所以, k ≥1.

9. (2005浙江)已知函数f (x )和g (x )的图象关于原点对称，且f (x )＝x 2

＋2x ． (Ⅰ)求函数g (x )的解析式；

(Ⅱ)解不等式g (x )≥f (x )－|x －1|；

(Ⅲ)若h (x )＝g (x )－λf (x )＋1在[－1，1]上是增函数，求实数λ的取值范围． 解：（I ）设函数()y f x =的图象上任一点00(,)Q x y 关于原点的对称点为(,)P x y ,

则 0002

02

x x

y y +?=???+?=?? 即 00x x y y =-??=-?.

∵点00(,)Q x y 在函数()y f x =的图象上.

∴22,y x x -=- 即22,y x x =-+ 故g(x)＝22x x -+.

(II)由()()|1|g x f x x ≥--可得：2

2|1|0x x --≤

当x ≥1时，2

21|0x x -+≤

此时不等式无解。

当1x <时，2

210x x -+≤

∴112

x -≤≤

因此，原不等式的解集为[-1,

12

]. (III) 2

()(1)2(1) 1.h x x x λλ=-++-+

① 当1λ=-时，()h x ＝41x +在[-1,1]上是增函数，

∴1λ=-

②当1λ≠-时，对称轴的方程为11x λ

λ

-=

+

(i) 当1λ<-时，

11λ

λ-+1≤-，解得1λ<-。 (ii) 当1λ>-时，11λ

λ

-+≥1时，解得10λ-<≤

综上,0λ≤

10. 某厂生产一种仪器，由于受生产能力和技术水平的限制，会产生一些次品．根据经验知道，该厂生产这种仪器，次品率P 与日产量x （件）之间大体满足关系：

????

?∈>∈≤≤-=),(3

2),1(961

N x c x N x c x x P （其中c 为小于96的正常数） 注：次品率生产量

次品数

=P ，如0.1P =表示每生产10件产品，约有1件为次品．其余为合格品．

已知每生产一件合格的仪器可以盈利A 元，但每生产一件次品将亏损

2

A

元，故厂方希望定出合适的日产量．

（1）试将生产这种仪器每天的盈利额T （元）表示为日产量x （件）的函数； （2）当日产量为多少时，可获得最大利润？

讲解 （1）当x c >时，2

3

P =，所以，每天的盈利额120332A T xA x =-?=;

当1x c ≤≤时，196P x =

-，所以，每日生产的合格仪器约有1196x x ?

?- ?-??

件，次品约有196x x ??

?-??

件．故，每天的盈利额 ()113196962296A x T xA x x A x x x ??????=--?=- ? ? ? ?---?????

?. 综上，日盈利额T （元）与日产量x （件）的函数关系为：

()3, 12960, x

x A x c

T x x c

???-≤≤???=-???

?

>? （2）由（1）知，当x c >时，每天的盈利额为0．

当1x c ≤≤时，()3296x

T x A x ??=- ? ?-?

?． 令96x t -=，则09695c t <-≤≤．故

(

)3961

144969722114797022t T t A t A

t t A A -????=--=-- ? ?????

?≤-=> ?．

当且仅当144

t t

=

，即()1288t x ==即时，等号成立． 所以（i ）当88c ≥时，max 147

2

T A =（等号当且仅当88x =时成立）

． （ii ） 当188c ≤<时，由1x c ≤≤得129695c t <-≤≤，

易证函数()144

g t t t

=+在(12,)t ∈+∞上单调递增（证明过程略）．

所以，()()96g t g c ≥-．所以，

()211441

1441441892979796022961922c c T t A c A A t c c ??+-????=--≤---=>

? ? ?--??????即2max

14418921922c c T A c ??

+-= ?-??

．

（等号当且仅当x c =时取得） 综上，若8896c ≤<，则当日产量为88件时，可获得最大利润；若188c ≤<，则当日产量为c 时，可获得最大利润．

点评：分段函数是历年高考的热门话题，常考常新，值得我们在复课时认真对待．

【探索题】(2006福建)已知函数2

()8,()6ln .f x x x g x x m =-+=+ （I ）求()f x 在区间[],1t t +上的最大值();h t

（II ）是否存在实数,m 使得()y f x =的图象与()y g x =的图象有且只有三个不同的交点？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，说明理由。 解：（I ）2

2

()8(4)16.f x x x x =-+=--+

当14,t +<即3t <时，()f x 在[],1t t +上单调递增， 2

2

()(1)(1)8(1)67;h t f t t t t t =+=-+++=-++ 当41,t t ≤≤+即34t ≤≤时，()(4)16;h t f == 当4t >时，()f x 在[],1t t +上单调递减，

2()()8.h t f t t t ==-+

综上，2267,3,()16,34,8,4t t t h t t t t t ?-++

=≤≤??-+>?

（II ）函数()y f x =的图象与()y g x =的图象有且只有三个不同的交点，即函数 ()()()x g x f x φ=-的图象与x 轴的正半轴有且只有三个不同的交点。

22()86ln ,

62862(1)(3)

'()28(0),

x x x x m x x x x x x x x x x

φφ=-++-+--∴=-+==> 当(0,1)x ∈时，'()0,()x x φφ>是增函数； 当(1,3)x ∈时，'()0,()x x φφ<是减函数； 当(3,)x ∈+∞时，'()0,()x x φφ>是增函数； 当1,x =或3x =时，'()0.x φ=

()(1)7,()(3)6ln 315.x m x m φφφφ∴==-==+-最大值最小值

当x 充分接近0时，()0,x φ<当x 充分大时，()0.x φ>

∴要使()x φ的图象与x 轴正半轴有三个不同的交点，必须且只须

()70,

()6ln 3150,

x m x m φφ=->???

=+-

所以存在实数m ，使得函数y =f (x )与y=g (x )的图象有且只有三个不同的交点，m 的取值范围为(7,15-ln 3)