分段函数与绝对值函数

2．11分段函数与绝对值函数——随着高考命题思维量的加大,分段函数成了新的热点和亮点,单设专题,以明析强化之一、明确复习目标了解分段函数的有关概念；掌握分段函数问题的处理方法二．建构知识网络1.分段函数:定义域中各段的x 与y 的对应法则不同,函数式是分两段或几段给出的. 分段函数是一个函数,定义域、值域都是各段的并集。

2.绝对值函数去掉绝对符号后就是分段函数.3.分段函数中的问题一般是求解析式、反函数、值域或最值,讨论奇偶性单调性等。

4.分段函数的处理方法:分段函数分段研究.三、双基题目练练手1.设函数f （x ）=⎪⎩⎪⎨⎧≥--<+,114,1)1(2x x x x 则使得f （x ）≥1的x 的取值范围为 ( )A.（－∞，－2］∪［0，10］B.（－∞，－2］∪［0，1］C.（－∞，－2］∪［1，10］D.［－2，0］∪［1，10］ 2．(2006安徽)函数22,0,0x x y x x ≥⎧=⎨-<⎩的反函数是 （ ） A．,020xx y x ⎧≥⎪=< B．2,00x x y x ≥⎧⎪=<C．,020xx y x ⎧≥⎪=⎨⎪<⎩D．2,00x x y x ≥⎧⎪=⎨<⎪⎩3．(2007启东质检)已知21[1,0)()1[0,1]x x f x x x +∈-⎧=⎨+∈⎩，，，则下列函数图象错误．．的是()4.（2006全国Ⅱ）函数191()n f x x n ==-∑的最小值为 ( )（A ）190 （B ）171 （C ）90 （D ）455.（2005北京市西城模拟）已知函数f （x ）=⎩⎨⎧<-≥-),2(2),2(2x x x 则f （lg30－lg3）=___________；不等式xf （x －1）＜10的解集是_______________.6. （2006浙江）对R b a ∈,,记则{}⎩⎨⎧≥=b a b ba ab a ＜,,,max 则函数(){}()R x x x x f ∈-+=2,1max 的最小值是 .7.已知函数132(0)()(01)log (1)xx f x x x x ⎧<=≤≤>⎪⎩,当a <0时,f {f [f (a )]}=8.函数221(0)()(0)x x f x x x ⎧+≥⎪=⎨-<⎪⎩的值域 。

简答:1-4.ACDC;4.x=10时,取最小值90.f(x)=|x-1|+|x-2|+…+|x-19| =|x-1|+…+|x-10|+|11-x|+…+|19-x| ≥|x-1+x-2+…x-9+11-x+…19-x|+|x-10| ≥|90|+0=90, 当x=10时取等号.一般地:…5. f （lg30－lg3）=f （lg10）=f （1）=－2，f （x －1）=⎩⎨⎧<-≥-.32,33x x x当x ≥3时，x （x －3）＜10⇔－2＜x ＜5，故3≤x ＜5.当x ＜3时，－2x ＜10⇔x ＞－5，故－5＜x ＜3.解集 {x |－5＜x ＜5} 6. 由()()21212122≥⇒-≥+⇒-≥+x x x x x ， ()112122x x f x x x ⎧⎛⎫+≥ ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪-< ⎪⎪⎝⎭⎩如右图()min 1322f x f ⎛⎫== ⎪⎝⎭7.12-;8. 当x ≥0时，x 2+1≥1；当x<0时，－x 2<0原函数值域是[1,+∞]∪(－∞,0)。

四、经典例题做一做【例1】设定义在N 上的函数f （x ）满足f （n ）=⎩⎨⎧-+)]18([13n f f n ),2000(),2000(>≤n n 求f （2002）.解：∵2002＞2000，∴f （2002）=f ［f （2002－18）］=f ［f （1984）］=f ［1984+13］=f （1997）=1997+13=2010. 感悟方法 求值时代入哪个解析式,一定要看清自变量的取值在哪一段上.【例2】判断函数22(1)(0)()(1)(0)x x x f x x x x ⎧-≥⎪=⎨-+<⎪⎩的奇偶性。

解：当x>0时，－x<0, f(－x)= －(－x)2(－x+1)=x 2(x －1)=f(x)；当x=0时，f(－0)=f(0)=0；当x<0时，f(－x)=( －x)2(－x －1)= －x 2(x+1)=f(x)。

因此，对任意x ∈R 都有f(-x)=f(x)，所以函数f(x)为偶函数。

提炼方法：:分段函数的奇偶性必须对x 的值分类比较f(-x)与f(x)的关系，得出f(x)是否是奇偶函数的结论。

【例3】(2007启东质检)已知函数1()|1|f x x=-,(0)x > （1）当0,()()a b f a f b <<=且时，求证：1ab >；（2）是否存在实数,()a b a b <，使得函数()y f x =的定义域、值域都是[,]a b ，若存在，则求出,a b 的值，若不存在，请说明理由；（3）若存在实数,()a b a b <，使得函数()y f x =的定义域为[,]a b 时，值域为[,](0)ma mb m ≠，求m 的取值范围．解:（1）∵0x >，∴11,1,()11,0 1.x xf x x x⎧-≥⎪⎪=⎨⎪-<<⎪⎩∴)(x f 在（0，1）上为减函数，在（1，＋∞）上是增函数． 由0,()()a b f a f b <<=且，可得01a b <<<， 所以有1111a b -=-，即112a b+=．∴2ab a b =+>1>，即1ab >（2）不存在满足条件的实数,a b ．若存在满足条件的实数,a b ，使得函数1()|1|y f x x==-的定义域、值域都是[,a b ]，则0a >．由11,1,()11,0 1.x xf x x x⎧-≥⎪⎪=⎨⎪-<<⎪⎩①当,a b ∈（0，1）时，1()1f x x=-在（0，1）上为减函数． 故(),().f a b f b a =⎧⎨=⎩，即11,11.b aa b⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，解得a b =． 故此时不存在适合条件的实数,a b ．②当,a b ∈[)1,+∞时，1()1f x x =-在（1，＋∞）上为增函数．故(),().f a a f b b =⎧⎨=⎩，即11,11.a a b b⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩此时,a b 是方程210x x -+=的根，由于此方程无实根． 故此时不存在适合条件的实数,a b ．③当a ∈（0，1），[)1,b ∈+∞时，由于1∈[,a b ]，而[](1)0,f a b =∉，故此时不存在适合条件的实数,a b ．综上可知，不存在适合条件的实数,a b ．（3）若存在实数,()a b a b <，使得函数()y f x =的定义域为[,a b ]时，值域为[,]ma mb ，则0,0a m >>．①当,a b ∈（0，1）时，由于()f x 在（0，1）上是减函数，值域为[,]ma mb ，即11,11.mb a ma b⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩ 解得a ＝b>0，不合题意，所以,a b 不存在．②当(0,1)(1,)a b ∈∈+∞或时，由（2）知0在值域内，值域不可能是[,]ma mb ，所以,a b 不存在．故只有[),1,a b ∈+∞．∵|11|)(x x f -=在（1，＋∞）上是增函数，∴(),().f a ma f b mb =⎧⎨=⎩，即11,11.ma a mb b⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩,a b 是方程210mx x -+=有两个根．即关于x 的方程210mx x -+=有两个大于1的实根． 设这两个根为12,x x ．则121211,x x x x m m+=⋅= ∴12120,(1)(1)0,(1)(1)0.x x x x ∆>⎧⎪-+->⎨⎪-->⎩即140,120.m m ->⎧⎪⎨->⎪⎩解得104m <<． 综上m 的取值范围是104m <<． 【例4】设a 为实数，设函数x x x a x f -+++-=111)(2的最大值为g (a )。

（Ⅰ）设t ＝x x -++11，求t 的取值范围，并把f (x )表示为t 的函数m (t )； （Ⅱ）求g (a )；解：（I ）∵t=x +1+x -1,∴要使t 有意义，必须1+x ≥0且1-x ≥0，即-1≤x ≤1. ∵t 2=2+221x -∈[2,4],t ≥0, ①∴t 的取值范围是[2,2].由①得21x -=21t 2-1, ∴m(t)=a(21t 2-1)+t=21at 2+t-a,t ∈[2,2].(Ⅱ)由题意知g(a)即为函数m （t ）=21at 2+t-a, t ∈[2,2]的最大值.注意到直线t=-a 1是抛物线m(t)= 21at 2+t-a 的对称轴，分以下几种情况讨论.(1)当a>0时，函数y=m(t), t ∈[2,2]的图像是开口向上的抛物线的一段，由t=-a1<0知m(t)在[2,2]上单调递增, ∴g(a)=m(2)=a+2.(2)当a=0时，m(t)=t,t ∈[2,2], ∴g(a)=2.(3)当a<0时，函数y=m(t), t ∈[2,2]的图像是开口向下的抛物线的一段.若t=-a1∈(0,2]，即a ≤-22，则g(a)=m(2)=2. 若t=-a 1∈(2,2]，即a ∈(-22,-21]则g(a)=m(-a 1)=-a-a21.若t=-a 1∈(2,+ ∞)，即a ∈(-21,0),则g(a)=m(2)=a+2. 综上有g(a)=12, ,211, ,222 a a a a a a ⎧+>-⎪⎪⎪---<≤-⎨⎪≤ 核心步骤:(1) m(t)=a(21t 2-1)+t=21at 2+t-a,t ∈[2,2]. (2)求g(a)=[m(t)]max ,按对称轴相对于区间[2,2]的位置,对a 分类分类讨论. 【研讨.欣赏】(2000全国)某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从二月一日起的300天内，西红柿市场售价与上市时间的关系用图一的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系用图二的抛物线段表示．(Ⅰ) 写出图一表示的市场售价与时间的函数关系式P =()t f ； 写出图二表示的种植成本与时间的函数关系式Q =()t g ；(Ⅱ) 认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿收益最大？(注：市场售价和种植成本的单位：元/210kg ，时间单位：天) 解：(Ⅰ)由图一可得市场售价与时间的函数关系为 f (t )=⎩⎨⎧≤<-≤≤-;300200,3002,2000300t t t t ，由图二可得种植成本与时间的函数关系为 g (t )=2001(t －150)2＋100，0≤t ≤300． (Ⅱ)设t 时刻的纯收益为h (t )，则由题意得 h (t )=f (t )－g (t )即h (t )=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤<-+-≤≤++-3002002102527200120002175********t t t t t t ，，当0≤t ≤200时，配方整理得 h (t )=－2001(t －50)2＋100， 所以，当t =50时，h (t )取得区间[0，200]上的最大值100； 当200<t ≤300时，配方整理得 h (t )=－2001(t －350)2＋100 所以，当t =300时，h (t )取得区间[200，300]上的最大值87.5．综上，由100>87.5可知，h (t )在区间[0,300]上可以取得最大值100，此时t =50，即从二月一日开始的第50天时，上市的西红柿纯收益最大．思路点拨: 题(Ⅱ)分段写出收益与时间的函数关系h(t), 是分段函数,再分段求最值.五．提炼总结以为师1.分段函数、绝对值函数问题类型——2.分段函数的处理方法:分段函数分段研究；解题中务必看清自变量在哪一段，该代哪个解析式。