平面直角坐标系(对称)
平面直角坐标系与图形的对称
对称中心
对于中心对称图形，存在一个固定点，使得图形关于这个点 对称。这个点被称为对称中心。
对称变换基本性质
对称变换不改变图形的形状和大小， 只改变图形的方向或位置。
对于轴对称图形，对称轴两侧的图形 完全重合；对于中心对称图形，关于 对称中心的任意两点连线都被对称中 心平分。
对称变换具有可逆性，即如果图形A 经过对称变换得到图形B，那么图形B 也可以经过相应的对称变换得到图形 A。
03
对于某些具有旋转对称性的图形，通过旋转坐标系可以使得对
称性的描述更加直观。
坐标系变换下图形对称性变化规律
平移变换
平移变换不改变图形的对称性，但会改变对称轴或对称中心的位 置。
旋转变换
旋转变换可以改变图形的对称性，如将轴对称图形转变为中心对称 图形或将非对称图形转变为对称图形。
缩放变换
缩放变换不改变图形的对称性类型，但会改变对称轴或对称中心的 位置以及对称点的坐标。
。
02
图形对称性质简介
对称图形定义及分类
定义
如果一个图形经过一次变换后，与另 一个图形重合，则称这两个图形关于 这次变换对称。
分类
根据对称变换的不同，对称图形可以 分为轴对称图形和中心对称图形。
对称轴和对称中心概念
对称轴
对于轴对称图形，存在一条直线，使得图形关于这条直线对 称。这条直线被称为对称轴。
定义
平面直角坐标系由两条互相垂直、原点重合的数轴组成，通常水平方向的数轴 称为x轴，竖直方向的数轴称为y轴。
性质
在平面直角坐标系中，任意一点都可以用一对有序实数来表示，即点的坐标。 坐标原点用(0,0)表示，x轴上的点纵坐标为0，y轴上的点横坐标为0。
坐标轴上点表示方法
平面直角坐标系规律
平面直角坐标系规律
在平面直角坐标系中，规律主要体现在点的坐标表示、距离
计算、直线方程和图形变换等方面。
1.坐标表示：
平面直角坐标系中，每个点都可以用一个有序对(x,y)表示，
其中x表示点在x轴上的投影长度，y表示点在y轴上的投影
长度。
根据坐标的正负，可以判断点在哪个象限。
2.距离计算：
两点之间的距离可以通过勾股定理计算，即
$d=\sqrt{(x_2x_1)^2+(y_2y_1)^2}$。
这个公式可以用来
计算两点之间的直线距离。
3.直线方程：
在平面直角坐标系中，直线可以用一般式、斜截式、点斜式
和截距式等多种形式表示。
例如，一般式表示为Ax+By+C=0，其中A、B、C为常数；斜截式表示为y=kx+b，其中k为斜率，b为y轴截距；点斜式表示为yy_1=k(xx_1)，其中(x_1,y_1)
为直线上一点的坐标；截距式表示为x/a+y/b=1，其中a、b
为x和y轴的截距。
4.图形变换：
平面直角坐标系中，常见的图形变换包括平移、旋转、缩放和对称等。
平移是通过给坐标加上一个平移向量实现，旋转是通过坐标旋转变换矩阵实现，缩放是通过给坐标乘上一个缩放因子实现，对称是通过以某一直线或点为中心实现。
总结一下，平面直角坐标系中的规律主要体现在坐标表示、距离计算、直线方程和图形变换等方面。
这些规律在几何学、图像处理、物理学等领域中都有广泛应用。
点关于直线对称的点的万能公式
点关于直线对称的点的万能公式
直线对称是几何学中非常重要的概念，可以帮助我们解决许多问题。
当我们在平面直角坐标系中考虑直线对称时，有一些万能公式可以帮
助我们快速计算出对称点的坐标。
下面就为大家列举一些常见的直线
对称公式，并给出具体的介绍。
1. 直线对称公式
设点A(x1,y1)关于直线L:y=kx+b对称的点为A'(x2,y2)，则有下列公式：x2 = (x1+k*y1-b*k)/(1+k^2)
y2 = k*x2+b
这个公式可以很方便地计算出对称点的坐标。
首先计算x2，然后代入
直线方程可得y2。
2. 关于x轴对称的点的坐标
如果一个点在平面直角坐标系中关于x轴对称，那么对称点的坐标就
是(x,-y)。
这个公式很容易记忆，只需要将原来的y坐标取负号即可。
3. 关于y轴对称的点的坐标
如果一个点在平面直角坐标系中关于y轴对称，那么对称点的坐标就
是(-x,y)。
同样，这个公式也很容易记忆，只需要将原来的x坐标取负号即可。
4. 关于原点对称的点的坐标
如果一个点在平面直角坐标系中关于原点对称，那么对称点的坐标就是(-x,-y)。
这个公式也很容易记忆，只需要将原来的x和y坐标都取负号即可。
以上这些公式是直线对称中最常用的公式，可以帮助我们快速计算出对称点的坐标。
在实际运用中，我们可以根据实际情况灵活运用这些公式，从而更好地应对各种问题。
平面直角坐标系的性质
平面直角坐标系的性质平面直角坐标系是数学中常用的一种坐标系统，它由两个互相垂直的坐标轴组成。
在这个坐标系中，我们可以用有序数对来表示平面上的点，其中第一个数表示横坐标，第二个数表示纵坐标。
平面直角坐标系的性质具有以下几个方面：一、坐标轴及正方向平面直角坐标系由两个互相垂直的坐标轴组成，分别称为x轴和y 轴。
在这个坐标系中，x轴向右延伸为正方向，y轴向上延伸为正方向。
在数学中，我们约定x轴和y轴的正方向可以任意选取，但在同一平面上，坐标轴的正方向是一致的。
二、原点平面直角坐标系中的原点是坐标轴的交点，用符号O表示。
原点的坐标为(0, 0)，表示x轴和y轴的交点。
在坐标系中，原点是唯一确定的，而且它是平面上的特殊点。
三、四象限根据平面直角坐标系的性质，可以将平面分为四个象限。
第一象限是x轴和y轴的正方向都是正的坐标值的区域；第二象限是x轴负方向为负，y轴正方向为正的区域；第三象限是x轴和y轴的负方向都是负的坐标值的区域；第四象限是x轴正方向为正，y轴负方向为负的区域。
四、对称性平面直角坐标系具有对称性。
即对于坐标系中的任意一点P(x, y)，点P关于x轴对称的点为P'(x, -y)，关于y轴对称的点为P'(-x, y)，关于原点的对称点为P'(-x, -y)。
这种对称性在分析平面上的图形及求解问题时非常有用。
五、距离公式和斜率公式在平面直角坐标系中，我们可以通过距离公式和斜率公式来计算两个点之间的距离和直线的斜率。
两点之间的距离公式为：√((x₂-x₁)² + (y₂-y₁)²)；直线的斜率公式为：斜率k = (y₂-y₁) / (x₂-x₁)，其中(x₁, y₁)和(x₂, y₂)分别表示两点的坐标。
总结：平面直角坐标系是一种常用的数学工具，它具有坐标轴及正方向、原点、四象限、对称性以及距离公式和斜率公式等性质。
在解决平面几何问题、代数问题和分析几何问题时，我们经常使用平面直角坐标系的性质来推导解答。
课件 平面直角坐标系(2)——《关于直线x=a,y=b和任意点对称的点的坐标特征》
析式； （3）若该抛物线在－2＜x＜－1这一段位于直线 l 的上方，并且在
2＜x＜3这一段位于直线AB的下方，求该抛物线的解析式.
难点突破
解决坐标系中和对称有关的问题。
难点突破
；(3, 2)
. (3，0)
重点讲解
总结已知点关于直线x=a、y=b或点（a,b）对称的点 的坐标变化规律。
重点讲解
1.已知点P（1，2），则
①点P关于直线 x a 对称的点的坐标是
②点P关于直线 y b 对称的点的坐标是
③点P关于 Q(a，b) 对称的点的坐标是
(2；a 1,2) (1,；2b 2)
B， C’，P’ 所构成的多边形的周长最短？若存在，求t的值，并
说明抛物线平移的方向；若不存在，请说明理由.
归纳提升
掌握已知点关于直线x=a、y=b或点（a，b）对称的
点的坐标特征；解决坐标系中和对称有关的问题。
归纳提升
P( x，y )
关于直线 x 对a 称的点： (2a x，y)
关于直线 y 对b 称的点： (x，2b y) 关于点 (a，b对) 称的点： (2a x，2b y)
1. 已知抛物线 y 1 x2 与3 xx轴 2交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交
22
于点D，顶点为C，点P与点D关于抛物线的对称轴对称. （1）求点A、B、C、D、P的坐标； （2）现将该抛物线向左或向右平移t(0 t 5) 个单位，点C、P平移后
2
对应的点分别记为C’，P’.问是否存在 t ，使得首尾依次连接 A，
初中数学重难点微课
关于对称轴对称的两个点的坐标关系
关于对称轴对称的两个点的坐标关系对称轴是我们在几何学中经常遇到的一个概念，它是指一个平面图形中的一条直线，将这条直线两侧的图形完全重合。
在图形中，对称轴是一条非常重要的线，它不仅可以用来描述图形的对称性，还可以用来求解对称轴上两个点的坐标关系。
对称轴上的两个点是指在对称轴上对称的两个点。
如果我们知道了其中一个点的坐标，那么我们就可以通过对称轴的性质来求出另一个点的坐标。
下面，我们将通过一些实例来说明对称轴上两个点的坐标关系。
实例1：在平面直角坐标系中，有一条对称轴y=2，一个点A（3，4）在对称轴上方，求对称轴上对称的点的坐标。
解：首先，我们可以通过对称轴的性质来得到两个点的纵坐标是相等的。
因为点A在对称轴上方，所以它的纵坐标比对称轴的纵坐标大，即4>2。
因此，对称轴上对称的点的纵坐标也是2+2=4。
然后，我们可以通过对称轴的性质来得到两个点的横坐标的和是相等的。
因为点A在对称轴上方，所以它的横坐标比对称轴的横坐标大，即3>0。
因此，对称轴上对称的点的横坐标应该是3-2=1。
因此，对称轴上对称的点的坐标为（1，4）。
实例2：在平面直角坐标系中，有一条对称轴x=-3，一个点B（2，-1）在对称轴左侧，求对称轴上对称的点的坐标。
解：同样地，我们可以通过对称轴的性质来得到两个点的横坐标是相等的。
因为点B在对称轴左侧，所以它的横坐标比对称轴的横坐标小，即2<-3。
因此，对称轴上对称的点的横坐标应该是2-(-3)=5。
然后，我们可以通过对称轴的性质来得到两个点的纵坐标的差是相等的。
因为点B在对称轴左侧，所以它的纵坐标比对称轴的纵坐标小，即-1<0。
因此，对称轴上对称的点的纵坐标应该是0-(-1)=1。
因此，对称轴上对称的点的坐标为（5，1）。
通过以上两个实例，我们可以看出，对称轴上对称的两个点的坐标关系是非常简单的，只需要利用对称轴的性质，就可以求出另一个点的坐标。
对于对称轴的应用，我们还可以通过对称轴的性质来判断一个点是否在对称轴上，或者通过对称轴的性质来求解图形的对称中心等问题。
平面直角坐标系关于原点对称的点的坐标
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平面直角坐标系中的轴对称图形 -八年级数学上册课件(沪科版)
y
4
3D
C
2
1
B
关于 x 轴 对称的点的坐标 的特点是：
-5 -4
-3
-2
-1
O -1
A11
2
3B14
5x
-2
横坐标相等，纵坐标互为相反数. 已知点坐标 A(1,1) B(3,1)
-3
- D1
4
C(3,3)
C1
D(1,3)
关于x轴对称 的点的坐标
A1( 1,-1 )
B1( 3,-1 ) C1( 3,-3 )
2
C3，D3，并写出它们的坐标.
1A
B
-5 -4 -3
B3
-2 -1A-O13
1 2 3 4 5x
-2
已知点坐标
A(1,1)
C2
B(3,1)
-3
D2-
4
C(3,3)
D(1,3)
关于原点对称 的点的坐标
A2( -1,-1)
B2( -3,-1) C2( -3,-3)
D2( -1,-3)
探究 2
如图，在直角坐标系中，正方形ABCD四个顶点的坐标分别
15.1.3 平面直角坐标系中的轴对称图形
1、线段的垂直平分线的定义 经过线段中点 并且垂直于这条线段的直线，叫做这条
线段的垂直平分线. 又叫做线段的中垂线.
2、轴对称的性质： 如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应
点所连线段的垂直平分线.反过来成轴对称的两个图形中，对应点 的连线被对称轴垂直平分. 3、轴对称图形的性质
为 A(1,1)， B(3,1)， C(3,3)，D(1,3). 猜想：已知点 P(x,y)，它关于 原点 对称点的坐标为 P3(-x,-y )
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练习、根据下列点的坐标的变化，判断 它们进行了怎样的变换： ⑴（－１,３） （－１,－３） ⑵（－５,－４） （５,４） ⑶（３,４） （－３,４） ⑷（１,０） （－１,０）
课本P80，拓广探索 11.(1)如图，三角形COB是由三角形AOB经过某种变换 后得到的图形，观察点A与点C的坐标之间的关系.三角 形中任意一点M的坐标为（x,y），点M经过这种变换 后得到点N,点N的坐标是什么？ A（2,3） C（2,-3）
B（4,0）
E（x,y）
B1（-4,0）
E1（-x,y）
称：三角形A1B1O与 三角形ABO关于 y轴对称
(3)如图，三角形A’OB’是由三角形AOB经过某种变换后 得到的图形，观察点A与点A’、点B与点B’的坐标之间的 关系.三角形中任意一点F的坐标为（x,y），点F经过这 种变换后得到点F’,点F’的坐标是什么？ A（2,3） A’（-2,-3）
A(-3,2)
-4 -3 -2 -1
· -1
O
Y 3 2 1
描出点B（3，-2）
1 2
3
4
5 X
-2 -3
B(3,-2)
思考：关于原点对称
的点的坐标具有怎样 的关系？
归纳:关于原点对称的点的坐标的特点是:
横坐标互为相反数,纵坐标也互为相反数.
点 M（x,y）关于原点对称的点的坐标为 （-x，-y）
横坐标互为相反数,纵坐标相等. 点 M（x, y）关于y轴对称的点的坐标为 (-x,y)
练习: 1、点P(-5, 6)与点Q关于y轴对称，则点Q的 (5,6) 坐标为_______.
2、点M (a, -5)与点N(-2, b)关于y轴对称， 则a=_____, 2 b =_____. -5
探究3：
(-5, -6) (3,2) (5, 6)
(-3, -2) (4, -3) (-3,2) (4, 3)
点A关于原点的对称点 (5, -6)
练习、
已知点P(2a+b,-3a)与点P’(8,b+2). 若点p与点p’关于x轴对称，则a=_____ b=____； 若点p与点p’关于y轴对称，则a=_____ b=____； 若点p与点p’关于原点对称，则a=_____ b=____.
A(0,3)
x
0
C(0,-3) B(-3,-5)
D(3,-5)
作图： 2、 如图，作出三角形ABC关于原点对称 的图形三角形A’B’C’.并写出它们的坐标.
在平面直角坐标系中,已知三个点的坐标分别为 A1(1,1).A2(0,2).A3(-1,1)一只电子蛙位于坐标原点处,第 一次电子蛙由原点跳到以A1为对称中心的对称点P1,第二 次电子蛙由P1点跳到以A2为对称中心的对称点P2,第三次电 子蛙由P2点跳到以A3为对称中心的对称点P3.按此规律,电 子蛙分别以A1,A2,A3为对称中心继续跳下去.问当电子蛙跳 了2011次后,电子蛙落点的坐标是P2011（ )
B（4,0）
F（x,y）
B’（-4,0）
F’（-x,-y）
称：三角形A’OB’ 与三角形AOB 关于原点轴对称
作图：1、在平面直角坐标内，已知点A（0，3）与点C关于
x轴对称，点B（-3，-5）与点D关于y轴对称，写出点C，D的 坐标，并把这些点按A--B--C--D--A顺次联结起来，观察所得图 形的形状。 y
探究2：
y 5 B (-2,3) 4 33，-4）
A (2,3)
·
·
2
思考：关于y轴对称
的点的坐标具有怎样 的关系？
1
-4 -3 -2 -1 0 -1 -2 -3 1 3 4 5 x
· C(-3, -4)
-4
D(3, -4) ·
归纳：关于y轴对称的点的坐标的特点是:
练习: 1、点P(-5, 6)与点Q关于原点对称，则点Q的 坐标为__________. (5,-6)
2、点M (a, -5)与点N(-2, b)关于原点对称， 则a=_____, b =_____. 2 5
平面直角坐标系内对称点坐标的特点：
关于x轴对称的点的横坐标相同,纵坐标互为相反数 关于y轴对称的点的纵坐标相同,横坐标互为相反数 关于原点对称的点的横坐标、纵坐标都互为相反数
归纳：关于x轴对称的点的坐标的特点是:
横坐标相等,纵坐标互为相反数.
点 M(x,y)关于x轴对称的点的坐标为（x,-y） 练习: 1、点P(-5, 6)与点Q关于x轴对称，则点Q的 (-5,-6) 坐标为__________. 2、点M (a, -5)与点N(-2, b)关于x轴对称， -2 5 则a=_____, b =_____.
平面直角坐标系 ----------用坐标表示对称
学习目标：
1.掌握在平面直角坐标系中，关于x轴和y轴以及原点 的对称点的坐标特点。 2.能在平面直角坐标系中画出一些简单的关于x轴和 y轴的对称图形。 3.在探索过程中发展学生数形结合的思维意识，体验 学习的乐趣。
重点难点：
重点：掌握关于x轴y轴及原点对称的点的坐标。 难点：用坐标表示点关于坐标轴对称的点的坐标。
M（x,y）
N（x,-y）
称：三角形COB与 三角形AOB关于 x轴对称
(2)如图，三角形A1B1O是由三角形AOB经过某种变换 后得到的图形，观察点A与点A1、点B与点B1的坐标之 间的关系.三角形中任意一点E的坐标为（x,y），点E经 过这种变换后得到点E1,点E1的坐标是什么？ A（2,3） A1（-2,3）
课堂小结
你有什么收获？你还有什么困惑？
作业：用对称设计一个图案
谢谢，指导
探究1： 描出点
平面直角坐标系
纵轴 y
A （ 2 ， 3）
C(-1,4)
B（2，-3） C（-1，4） D（-1，-4）
-4 -3 -2
·
5 4 3 2 1
这些点的横、纵坐标有什么特点？ 你还能找出这样的点吗？
A（2，3） ·
-1
0 -1 -2 -3
1
2
3
4
5
x 横轴
· D（-1，-4)
-4
· B（-2，3）
(x, -y) 点（x, y）关于x轴对称的点的坐标为______ (-x, y) 点（x, y）关于y轴对称的点的坐标为______ (-x, -y) 点（x, y）关于原点对称的点的坐标为______
口诀：关于哪轴对称哪不变 关于原点对称全部变
练习、完成下表
点A的坐标 点A关于x轴的对称点 点A关于y轴的对称点 (-5, 6) (3,-2) (-4, -3) (-4, 3)