相似三角形的判定性质经典例题分析
九年级数学相似三角形典型例题
九年级数学相似三角形典型例题一、利用相似三角形的判定定理证明相似例1：已知：在△ABC和△DEF中，∠A = ∠D = 60°，AB = 4，AC = 8，DE = 2，DF = 4。
求证：△ABC∽△DEF。
解析：1. 我们看相似三角形的判定定理。
对于两个三角形，如果它们的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似。
2. 在本题中：计算公式，公式。
并且已知∠A = ∠D = 60°。
因为公式且∠A = ∠D，所以根据相似三角形判定定理中的“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”，可以得出△ABC∽△DEF。
二、相似三角形性质的应用（求边长）例2：已知△ABC∽△A'B'C'，相似比为公式，若AB = 6，则A'B'的长为多少？解析：1. 因为相似三角形对应边成比例。
设A'B' = 公式。
已知相似比公式。
2. 又已知公式，AB = 6，所以公式。
通过交叉相乘可得：公式。
即公式，解得公式，所以A'B'的长为9。
三、利用相似三角形解决实际问题（测量高度）例3：在同一时刻，身高1.6米的小强在阳光下的影长为0.8米，一棵大树的影长为4.8米，求这棵大树的高度。
解析：1. 因为在同一时刻，太阳光下不同物体的高度和影长成正比。
设大树的高度为公式米。
可以得到两个相似三角形，一个是由小强及其影子构成，另一个是由大树及其影子构成。
2. 根据相似三角形的性质，对应边成比例。
则公式。
交叉相乘可得：公式。
计算得公式，解得公式米。
所以这棵大树的高度是9.6米。
初三相似三角形典型例题
初三相似三角形典型例题哎呀，初三的相似三角形，那可真是让人又爱又恨呐！就说有这么一道题，老师在黑板上画得那叫一个起劲。
题目是这样的：在三角形ABC 中，DE 平行于BC，AD = 3，BD = 2，AE = 4，求CE 的长。
我当时就蒙圈了，这咋整啊？心里直犯嘀咕：“这相似三角形也太难了吧！” 旁边的同桌小明倒是一脸镇定，还偷偷跟我说：“别慌，这题不难。
” 哼，他倒是轻松！老师开始讲解啦，“同学们，你们看，因为DE 平行于BC，所以三角形ADE 和三角形ABC 相似，这能理解吧？” 我心里想：“这能理解啥呀？” 但又不敢说出来。
老师接着说：“那相似三角形对应边成比例，AD 比AB 就等于AE 比AC 呀！” 我还是有点迷糊，就问老师：“老师，那AB 是多少呀？” 老师笑着说：“AB 不就是AD + BD 嘛，就是3 + 2 = 5 呀！” 我这才恍然大悟，“哎呀，我咋没想到呢！”然后我们就可以算出AC 的长是20 / 3 ，那CE 不就是AC - AE 嘛，也就是20 / 3 - 4 = 8 / 3 。
还有一道题也挺有意思的。
有两个三角形，一个三角形的三条边分别是3、4、5，另一个三角形的三条边分别是6、8、10，问这两个三角形是不是相似三角形。
我一开始还在那琢磨，这得怎么算呀？后来一想，这不是很明显嘛！第一个三角形三边之比是3 : 4 : 5，第二个三角形三边之比是6 : 8 : 10，约分一下不就是3 : 4 : 5 嘛！这两个三角形当然相似啦！我当时就特别高兴，心想：“嘿嘿，这道题可难不倒我！”相似三角形的题目有时候就像个迷宫，一不小心就会迷路。
但只要我们找到了关键的线索，就像找到了打开迷宫大门的钥匙，一下子就能走出来啦！我觉得呀，相似三角形虽然有时候让人头疼，但只要多做练习，多思考，就一定能把它拿下！。
初中数学例题：相似三角形的三个判定定理
初中数学例题：相似三角形的三个判定定理2、如图，点D在等边△ABC的BC边上，△ADE为等边三角形，DE与AC交于点F．（1）证明：△ABD∽△DCF；（2）除了△ABD∽△DCF外，请写出图中其他所有的相似三角形．【思路点拨】（1）利用等边三角形的性质以及相似三角形的判定方法两角对应相等的两三角形相似得出即可；（2）利用对顶角的性质以及相似三角形的性质进而判断得出即可．【答案与解析】（1）证明：∵△ABC，△ADE为等边三角形，∴∠B=∠C=∠3=60°，∴∠1+∠2=∠DFC+∠2，∴∠1=∠DFC，∴△ABD∽△DCF；（2）解：∵∠C=∠E，∠AFE=∠DFC，∴△AEF∽△DCF，∴△ABD∽△AEF，故除了△ABD∽△DCF外，图中相似三角形还有：△AEF∽△DCF，△ABD∽△AEF．【总结升华】此题主要考查了相似三角形的两个对应角相等的判定方法以及等边三角形的性质等知识，得出对应角关系是解题关键．举一反三【变式】如图，在△ABC中，AB=AC，BD=CD，CE⊥AB于E．求证：△ABD∽△CBE．【答案】证明：在△ABC中，AB=AC，BD=CD，∴AD⊥BC，∵CE⊥AB，∴∠ADB=∠CEB=90°，又∵∠B=∠B，∴△ABD∽△CBE．3、（2014秋•洪江市期中）如图所示，在△ABC中，AB=8cm，BC=16cm，点P从点A开始沿边AB向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿边BC向点C以2cm/s的速度移动，如果点P、Q 同时出发，经过多长时间后，△PBQ与△ABC相似？试说明理由．【思路点拨】首先设经x秒钟△PBQ与△ABC相似，由题意可得AP=xcm，BQ=2xcm，BP=AB﹣AP=（8﹣x）cm，又由△B是公共角，分别从=或=分析，即可求得答案．【答案与解析】解：设经x秒钟△PBQ与△ABC相似，则AP=xcm，BQ=2xcm，△AB=8cm，BC=16cm，△BP=AB﹣AP=（8﹣x）cm，△△B是公共角，△①当=，即=时，△PBQ△△ABC，解得：x=4；②当=，即=时，△QBP △△ABC ，解得：x=1.6，△经4或1.6秒钟△PBQ 与△ABC 相似．【总结升华】此题考查了相似三角形的判定．属于动点型题目，注意掌握数形结合思想、分类讨论思想与方程思想的应用．4、网格图中每个方格都是边长为1的正方形．若A ，B ，C ，D ，E ，F 都是格点，试说明△ABC ∽△DEF ．【思路点拨】利用图形与勾股定理可以推知图中两个三角形的三条对应边成比例，由此可以证得△ABC ∽△DEF ．【答案与解析】证明：∵AC=2，BC=221031=+，AB=4，DF=222222=+，EF=2202621=+，ED=8，∴12AC BC AB DF EF DE ===， ∴△ABC ∽△DEF ．【总结升华】本题考查了相似三角形的判定、勾股定理．相似三角形相似的判定方法有：（1）平行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；这是判定三角形相似的一种基本方法．相似的基本图形可分别记为“A”型和“X”型，如图所示在应用时要善于从复杂的图形中抽象出这些基本图形；（2）三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；（3）两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；（4）两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似．本题是在网格状中的两个三角形，优先考虑三边对应成比例的方法去考虑.举一反三【变式】如图所示，在4×4的正方形方格中，△ABC和△DEF 的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上．（1）填空：∠ABC=________，BC=_________；（2）判断△ABC与△DEF是否相似？并证明你的结论．【答案】（1）解：∠ABC=90°+45°=135°，（2）△ABC ∽△DEF ．证明：∵在4×4的正方形方格中，∠ABC=135°，∠DEF=90°+45°=135°， ∴∠ABC=∠DEF ．2BC FE===∴△ABC ∽△DEF ．。
相似三角形典型例题
相似三角形典型例题在几何学中，相似三角形是一个重要的概念。
相似三角形在实际问题中有着广泛的应用，包括测量、设计和建模等领域。
本文将介绍一些相似三角形的典型例题，帮助读者更好地理解和应用相似三角形的原理。
一、例题一已知两个三角形ABC和DEF，且∠A = ∠D，∠B = ∠E，那么可以得出什么结论？解析：根据已知条件，可以得出两个三角形的对应角度相等。
根据相似三角形的定义，两个三角形ABC和DEF是相似的。
相似三角形的性质包括对应角度相等和对应边长成比例。
二、例题二已知三角形ABC与三角形DEF相似，且AB = 4cm，BC = 6cm，DE = 10cm，那么可以推导出EF的长度是多少？解析：根据相似三角形的性质，对应边长成比例。
设EF = xcm，根据比例可以得出：AB/DE = BC/EF4/10 = 6/x通过交叉相乘得到：4x = 60x = 15因此，EF的长度是15cm。
三、例题三已知两个相似三角形ABC和DEF，且AB = 9cm，BC = 12cm，EF = 15cm，那么可以推导出AC的长度是多少？解析：根据相似三角形的性质，对应边长成比例。
设AC = xcm，根据比例可以得出：AB/DE = AC/EF9/x = 12/15通过交叉相乘得到：9*15 = 12*x135 = 12xx = 11.25因此，AC的长度是11.25cm。
四、例题四已知三角形ABC与三角形DEF相似，且AB = 5cm，BC = 8cm，DE = 10cm，那么可以推导出DF的长度是多少？解析：根据相似三角形的性质，对应边长成比例。
设DF = xcm，根据比例可以得出：AB/DE = BC/DF5/10 = 8/x通过交叉相乘得到：5x = 80x = 16因此，DF的长度是16cm。
五、例题五已知两个相似三角形ABC和DEF，且AB = 6cm，BC = 9cm，EF = 12cm，那么可以推导出DE的长度是多少？解析：根据相似三角形的性质，对应边长成比例。
相似三角形的判定和性质(难)
E
A
D
B
C
解答第 4 题图 练习： 23（本题共 2 小题，第（1）小题 5 分，第（2）小题 7 分，满分 12 分） 如图，已知在△ABC 中，AB = AC = 8，cos B 5 ，D 是边 BC 的中点，点 E、F 分在边 AB、AC 上，且∠EDF
8 =∠B，联结 EF．
（1）如果 BE = 4，求 CF 的长； （2）如果 EF // BC，求 EF 的长．
条。
3、如图，在△ABC 中，∠C＝900，AC＝8，CB＝6，在斜边 AB 上取一点 M，使 MB＝CB，过 M 作 MN⊥AB
交 AC 于 N，则 MN＝
。
A P
C N
A D
B
C
第 1 题图
B
M
A
第 3 题图
B
EC
第 5 题图
4、一个钢筋三角架长分别为 20cm、50 cm、60 cm，现要再做一个与其相似的钢筋三角架，而只有长为 30 cm 和 50 cm 的两根钢筋，要求以其中一根为一边，从另一根上截下两段（允许有余料）作为两边，则不同的载法有 种。
5、如图，在锐角△ABC 中，BD⊥AC，DE⊥BC，AB＝14，AD＝4，BE∶EC＝5∶1，则 CD＝
。
二、选择题：
1、下面两个三角形一定相似的是（ ）
A、两个等腰三角形
B、两个直角三角形
C、两个钝角三角形
D、两个等边三角形
2、如图，点 E 是平行四边形 ABCD 的边 CB 延长线上一点，EA 分别交 CD、BD 的延长线于点 F、G，则图中相
8 10
4
25. 解：（1）由正方形 ABCD 得∠ABD=∠DBC．当∠BEP=∠BEQ 时，因为∠PBE=∠QBE，BE=BE，所以，PBE
相似三角形经典题型
相似三角形经典题型一、相似三角形的判定定理相关题型1. 题目已知在△ABC和△A'B'C'中，∠A = 50°，AB = 3cm，AC = 4cm，∠A'= 50°，A'B'= 6cm，A'C' = 8cm。
判断这两个三角形是否相似。
解析根据相似三角形的判定定理：如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似。
在△ABC和△A'B'C'中，(AB)/(A'B')=(3)/(6)=(1)/(2)，(AC)/(A'C')=(4)/(8)=(1)/(2)，且∠A = ∠A' = 50°。
所以△ABC∽△A'B'C'。
2. 题目如图，在四边形ABCD中，∠B = ∠ACD，AB = 6，BC = 4，AC = 5，CD=(7)/(2)，求AD的长。
解析因为∠B = ∠ACD，且(AB)/(AC)=(6)/(5)，(BC)/(CD)=(4)/(frac{7){2}}=(8)/(7)，(AC)/(AD)未知。
又因为(AB)/(AC)=(6)/(5)，(BC)/(CD)=(4)/(frac{7){2}}=(8)/(7)，不满足三边对应成比例。
但是由∠B = ∠ACD，(AB)/(AC)=(6)/(5)，(BC)/(CD)=(4)/(frac{7){2}}=(8)/(7)，可以尝试证明△ABC和△ACD相似。
因为∠B = ∠ACD，(AB)/(AC)=(6)/(5)，(BC)/(CD)=(4)/(frac{7){2}}=(8)/(7)，这里我们重新计算(BC)/(CD)=(4)/(frac{7){2}}=(8)/(7)是错误的，应该是(BC)/(CD)=(4)/(frac{7){2}}=(8)/(7)，(AB)/(AC)=(6)/(5)，(BC)/(CD)=(4)/(frac{7){2}}=(8)/(7)(AB)/(AC)=(6)/(5)，(BC)/(CD)=(4)/(frac{7){2}}=(8)/(7)(AB)/(AC)=(BC)/(CD)所以△ABC∽△DCA。
相似三角形的判定与性质知识梳理及例题分析
相似三角形的判定与性质知识梳理及例题分析1．相似三角形的概念：在和中，如果，，，，我们就说和相似，记作∽，就是它们的相似比(注意：要把表示对应顶点的字母写在对应的位置上).思考：在中,点是边的中点,，交于点，与有什么关系？猜想：与相似. 证明：在与中，∴，.过点作，交于点在中，，，∴.又，∴∴，∴∽(对应角相等，对应边的比相等的两三角形相似)，相似比为.改变点在上的位置，可以进一步猜想以上两个三角形依然相似.2．相似三角形的判定定理：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似.小结：判定三角形相似的方法：(1)相似三角形的定义；(2)由平行线得相似.思考：对比三角形全等判定的简单方法()，看是否也有简便的方法？已知：在和中，.求证：∽.证明：在线段(或它的延长线)上截取，过点作，交于点，根据前面的结论可得∽.∴又，∴∴同理：∴≌∴∽相似三角形的判定定理：如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似.可简单说成：三边对应成比例，两三角形相似.思考：若，，与是否相似呢？相似三角形的判定定理：如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似可简单说成：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似.进一步引申：若，，与是否相似呢？不一定问：全等中的边边角不能用，那么边边角也不能证相似，反例同全等.例1.根据下列条件，判断与是否相似，并说明理由：(1)，，；，，.(2)，，；，，.解：(1)，∴又∴∽问：这两个相似三角形的相似比是多少？(答：是)(2)，，∴与的三组对应边的比不等，它们不相似.问：要使两三角形相似，不改变的长，的长应当改为多少？(答：) 例2.要做两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形框架的三边的长分别为4、5、6，另一个三角形的一边长为2，怎样选料可使这两个三角形相似？注：此题没说2与哪条边是对应边，所以要进行分类讨论.可以是：，3；或，；或，.注：当两三角形相似而边不确定时，要注意分类讨论.相似三角形的判定定理：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等的，那么这两个三角形相似.简单说成：两角对应相等，两三角形相似.3．三角形相似的判定的应用例3.如图，弦和弦相交于内一点，求证：.证明：连接，.在∴∽∴.例4.已知：如图，在中，于点.(1)求证：∽∽；(2)求证：；；(此结论称之为射影定理)(3)若，求.(4)若，求.分析：(1)利用两角相等证相似；(2)把相似三角形的相似比的比例式改为乘积式即可；(3)利用射影定理和勾股定理直接求；(4)利用上面的定理和方程求.进一步引申：在中，于点，这个条件可以放在圆当中，是直径，是圆上任意一点，于点，则可得到双垂直图形.例.已知：∽，分别是两个三角形的角平分线.求证：.4．相似三角形的性质(1)相似三角形的对应角相等，对应边的比相等，都等于相似比.(2)相似三角形对应高的比，对应角的平分线的比，对应中线的比都等于相似比.(3)相似三角形周长的比等于相似比；相似多边形周长的比等于相似比.证明：如果∽，相似比为，那么.因此，，.从而，.同理可得相似多边形对应周长的比也等于相似比.如图，已知：∽，相似比为.分别作出与的高和和都是直角三角形，并且，∽相似多边形面积的比等于相似比的平方.对于两个相似多边形，可以把他们分成若干个相似三角形证明.例5.如图，在和中，，，，的周长是24，面积是48，求的周长和面积.解：在和中，，又∽，相似比为.的周长为，的面积是.例6.已知点P在线段AB上，点O在线段AB的延长线上.以点O为圆心，OP为半径作圆，点C是圆O上的一点.(1)如图，如果AP=2PB，PB=BO.求证：△CAO∽△BCO；(2)如果AP=m(m是常数，且)，BP=1，OP是OA、OB的比例中项.当点C在圆O上运动时，求的值(结果用含m的式子表示)；(3)在(2)的条件下，讨论以BC为半径的圆B和以CA为半径的圆C的位置关系，并写出相应m的取值范围.分析：此题第1问：利用两边的比相等，夹角相等证相似.即，第2问：设∵是的比例中项，∴是的比例中项即∴解得又∵第3问：∵，，即当时，两圆内切；当时，两圆内含；当时，两圆相交.例7.如图，已知中，，，，，点在上，(与点不重合)，点在上.(1)当的面积与四边形的面积相等时，求的长.(2)当的周长与四边形的周长相等时，求的长.(3)在上是否存在点，使得为等腰直角三角形？要不存在，请说明理由；若存在，请求出的长.解：(1)，∽(2)∵的周长与四边形的周长相等∽(3)在线段上存在点，使得为等腰直角三角形.过作于，则，设交于若，则.∵∽若，同理可求.若，∽∴在线段上存在点，使得为等腰直角三角形，此时，或.三、总结归纳：1、相似三角形的判定：(1)相似三角形的定义；(2)平行得相似；(3)三边的比相等；(4)两边的比相等，夹角相等；(5)两角对应相等.三角形相似判定的方法较多，要根据已知条件适当选择.23、相似三角形的常见图形及其变换：4、证明四条线段成比例的常用方法：(1)线段成比例的定义(2)三角形相似的预备定理(3)利用相似三角形的性质(4)利用中间比等量代换(5)利用面积关系证明题常用方法归纳：(1)通过“横找”“竖看”寻找三角形，即横向看或纵向寻找的时候一共各有三个不同的字母，并且这几个字母不在同一条直线上，能够组成三角形，并且有可能是相似的，则可证明这两个三角形相似，然后由相似三角形对应边成比例即可证的所需的结论.(2)若没有三角形(即横向看或纵向寻找的时候一共有四个字母或者三个字母，但这几个字母在同一条直线上)，则需要进行“转移”(或“替换”)，常用的“替换”方法有这样的三种：等线段代换、等比代换、等积代换.(3)若上述方法还不能奏效的话，可以考虑添加辅助线(通常是添加平行线)构成比例.以上步骤可以不断的重复使用，直到被证结论证出为止.。
相似三角形经典题型及解答
一、选择题 1．如图所示，给出下列条件： ①B ACD ∠=∠；②ADC ACB ∠=∠；③AC AB CD BC=；④2AC AD AB =． 其中单独能够判定ABC ACD △∽△的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C2.如图，已知AB CD EF ∥∥，那么下列结论正确的是（ ）A ．AD BC DF CE =B ．BC DF CE AD = C ．CD BC EF BE = D ．CD AD EF AF=【答案】A3.已知△ABC∽△DEF，且AB ：DE=1：2，则△ABC 的面积与△DEF 的面积之比为(A)1：2 (B)1：4 (C)2：1 (D)4：1【答案】B4. 如图，已知等边三角形ABC 的边长为2，DE 是它的中位线，则下面四个结论：（1）DE=1，（2）△CDE ∽△CAB ，（3）△CDE 的面积与△CAB 的面积之比为1：4.其中正确的有：A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个【答案】D5.若△ABC ∽△DEF, △ABC 与△DEF 的相似比为１∶2，则△ABC 与△DEF 的周长比为（ ）A ．1∶4B ．1∶2C ．2∶1D 2【答案】B6.（2009年杭州市）如果一个直角三角形的两条边长分别是6和8，另一个与它相似的直角三角形边长分别是3和4及x ，那么x 的值（ ）A ．只有1个B ．可以有2个C ．有2个以上但有限D ．有无数个【关键词】相似三角形有关的计算和证明【答案】B7.2009年宁波市）如图，菱形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，M 、N 分别是边AB 、AD 的中点，连接OM 、ON 、MN ，则下列叙述正确的是（ ）A ．△AOM 和△AON 都是等边三角形B ．四边形MBON 和四边形MODN 都是菱形C ．四边形AMON 与四边形ABCD 是位似图形D ．四边形MBCO 和四边形NDCO 都是等腰梯形【关键词】位似【答案】C8.（2009年江苏省）如图，在55⨯方格纸中，将图①中的三角形甲平移到图②中所示的位置，与三角形乙拼成一个矩形，那么，下面的平移方法中，正确的是（ ）A ．先向下平移3格，再向右平移1格B ．先向下平移2格，再向右平移1格C ．先向下平移2格，再向右平移2格D ．先向下平移3格，再向右平移2格【关键词】平移【答案】D9.(2009年义乌)在中华经典美文阅读中，小明同学发现自己的一本书的宽与长之比为黄金比。
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相似三角形的判定+性质+经典例题分析相似形（一）板块一、课前回顾、比例性质（两外项的积等于两内项积）1. 基本性质:2. 反比性质：（把比的前项、后项交换）3. 合比性质：（分子加（减）分母, 分母不变）4. 等比性质：（分子分母分别相加，比值不变. ）如果，那么．谈重点：（1）此性质的证明运用了“设法” ，这种方法是有关比例计算，变形中一种常用方法．（2）应用等比性质时，要考虑到分母是否为零．（3）可利用分式性质将连等式的每一个比的前项与后项同时乘以一个数，再利用等比性质也成立．5. 黄金分割：内容尺规作图作一条线段的黄金分割点经典例题回顾：例题1．已知a、b、c 是非零实数，且，求k 的值.例题2．已知，求的值。
板块二、新课讲解知识点一、相似形的概念概念：具有相同形状的图形叫相似图形．谈重点：⑴相似图形强调图形形状相同，与它们的位置、颜色、大小无关.⑵相似图形不仅仅指平面图形，也包括立体图形相似的情况.⑶我们可以这样理解相似形：两个图形相似，其中一个图形可以看作是由另一个图形放大或缩小得到的．⑷若两个图形形状与大小都相同，这时是相似图形的一种特例一一全等形.知识点二、平行线分线段成比例定理①定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例，如图：11 //12 //13②推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的 XX ）所得的对应线段成比例。
③定理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的XX ）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。
推论：如果一条直线平行于三角形的一条边，截其它两边 （或其xx ），那么所截 得的三角形与原三角形相似.推论的基本图形有三种情况，如图其符号语言： •••DEI BC AB3A ADE知识点三、相似三角形的判定判定定理1两角对应相等，两三角形相似. 符号语言：拓展延伸：（1）有一组锐角对应相等的两个直角三角形相似。
2）顶角或底角对应相等的两个等腰三角形相似。
例题精讲【重难点高效突破】例题1如图，直线DE 分别与△ ABQ 的边AB AC 的反向xx 相交于D E,由ED// BCDE AB DEBC EF BCEFACDFACDF可以推出吗？请说明理由。
（用两种方法说明）例题2.（射影定理）已知：如图，在△ ABCxx / BAC=90 , ADLBC于D. 求证：（1）；（2）；（3）例题3.如图，AD是Rt △ ABC斜边BC上的高，DE L DF,且DE和DF分别交AB AC于E、F.则吗？说说你的理由.例题4.如图，在平行四边形ABCDxx已知过点B作BE!CD于E,连接AE F为AExx一点，且/ BFE=/C（1）求证：△ ABF^A EAD（2）若AB=4 / BAE=30，求AE的长；（3）在（1）（2）条件下，若AD=3求BF的长。
【即时训练】、选择题1 .如图，△ ABC 经平移得到厶DEF AG DE 交于点G 则图中共有相似三角形（）A. 3 对B.4 对C.5对D.6对2. 如图，已知DE// BC EF// AB 则下列比例式中错误的是（）A. B . C . D ..3. 在矩形ABCDxx E 、F 分别是CD BC 上的点，若/ AEF=90，则一定有（） A . △ AD 0 △ AEF B. △ ECF^ △ AEF C. △ AD 0 △ ECF D. △ AEF^ △ ABF4、如图，直线 11 // 12 , AF ： FB=2： 3, BC ： CD=： 1，贝卩A.5 : 2B.4 : 1C.2 : 1D.3 ：25. 如图，E 是平行四边形ABCD 勺边BC 的xx 上的一点，连结AE 交CD 于 F ,贝卩图 中共有相似三角形（）A.1对B.2对C.3对D.4对6. △ ABCxx DE// BC 且 AD ： DB=2： 1，那么 DE ： BC 等于（）A.2 : 1B.1 : 2C.2 : 3D.3 ：2AE ： EC 是（）（1题图）（2题图）（3题图）（4题图）（5题图）（6题图）（7题图）（8题图）相似三角形的判定+性质+经典例题分析7. 如图，P是Rt △ABC勺斜边BC上异于B C的一点，过点P做直线截△ ABC 使截得的三角形与△ ABC相似，满足这样条件的直线共有（） A.1条B.2条C.3条D.4条8. 如图，已知DE// BC EF// AB则下列比例式中错误的是（）A.B.C.D.9. 下列说法：其中正确的是（）①所有的等腰三角形都相似；②所有的等边三角形都相似；③所有等腰直角三角形都相似；④所有的直角三角形都相似A.①②B.③④C.①④D.②③二、解答题1、如图，△ ABCxx BD是角平分线，过D作DE// AB交BC于点E,AB=5cmBE=3crp 求EC的长.c2. 如图，在梯形ABCDxx ADLBC / BAD=90，对角线BDLDC.（1）△ ABC与△ DCB相似吗？请说明理由.（2）如果AD=4 BC=9求BD的长.A3. 已知：如图，在正方形ABCDxx P是BC上的点，且BP=3PCQ是CD的中点.△ ADC与△ QCP是否相似？为什么?4. 如图，已知AD%A ABC的角平分线，AD的垂直平分线交BC的xx于点E,交AB 与F,试判定△ BAE-与^ACE是否相似，并说明理由。
5. 如图，在矩形ABCDxx AB=5cm BC=10cm动点P在AB边上由A向B作匀速运动，1分钟可到达B点；动点Q在BC边上由B向C作匀速运动，1分钟可到达C 点，若P、Q两点同时出发，问经过多长时间，恰好有PQLBD?6. 已知：如图所示，D是ACxx一点，BE// AC AE分别交BD BC于点F、G, /仁/ 2. 则BF是FG EF的比例中项吗？请说明理由.7. 如图，CD是Rt △ ABC的斜边AB上的高，/ BAC的平分线分别交BC CD于点E、F.AC?AE二AF?A吗？说明理由.8. 如图，AD 是Rt △ ABC 斜边BC 上的高，DEL DF,且DE 和DF 分别交AB AC 于E 、 F.则吗？说说你的理由.相似形（二） 板块二、新课讲解知识点1相似三角形的判定判定定理（2）:两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似. 判定定理（3） : xx对应成比例，两三角形相似. 知识点2.直角三角形相似的判定在直角三角形中，斜边和一条直角边对应成比例，两直角三角形相似.知识点3.相似三角形中的基本图形A 型，X 型交错型旋转型母子形 Finite 例题精讲【重难点高效突破】例题1.如图在4X4的正方形方格中，△ ABC^H ^ DEF 的顶点都 在长为1的小正方形顶点上.CD(1 )填空：/ ABC二____ ,BC= ______ ,(2)判定△ ABC W^ DEF是否相似？并说明理由例题2.如图，在△ ABCxx已知BD CE>^ABC的高，求证：△AD0A ABCC例题3.如图，已知AB1 BD CDLBD AB=6cm CD=4cm BD=14cm 点P在BD 上由B点向D点移动，当BP等于多少时，△ ABP<^CPD相似？例题4.已知：如图，在△ ABCxx / C= 90° P是ABxx一点，且点P不与点A 重合，过点P作PE!AB交AC于E,点E不与点C重合，若AB= 10, AC= 8,设AP =x,四边形PECB勺周长为y,求y与x的函数关系式.例题5 .在三角形ABCxx AB二AC ADL BC于点D, DEL AC于点E, M为DE的xx 点，AM与BE相交于点N,延长AM交BC于点G, AD与BE相交于点F,求证：(1);(2)^ BCE^A ADM(3)AM L BE.【随堂演练】 A 组1. 下列命题中正确的是（）① xx 对应成比例的两个三角形相似 ②二边对应成比例且一个角对应相等的 两个三角形相似③一个锐角对应相等的两个直角三角形相似④一个角对应相等的两个等腰三 角形相似A 、①③B 、①④C ①②④D ①③④2. 如图，D E 分别是AB ACxx 两点，CD 与 BE 相交于点Q 下列条件中不能使 △ ABE 和△ ACDf 似的是（）A. / B 二/ CB. / ADC h AEBC. BE 二CD AB=ACD. AD AC=AE AB3. 如图，在正方形网格上有6个斜三角形：①厶ABC ②厶BCD ③厶BDE ④厶BFG ⑤厶FGH ® △ EFK.其中②〜⑥中，与三角形①相似的是（）（A ）②③④（B ）③④⑤（C ）④⑤⑥（D ）②③⑥4. 如图，DE 与 BC 不平行，当二时，△ ABC 与 △ ADE 相似。
5. 如图，平行四边形 ABCDxx AB=10 AD=6 E 是AD 的xx 点，在AB 上取一点 尸，使厶CBF^A CDE 贝卩BF 的长是（）.A. 5B. 8.2C . 6.4D . 1.8CD E'=—J --------------------------- 7---- 1 - 一 15.如图，四边形ABCD 是平行四边形，AE!BC 于E , AF丄CD 于 F.（1） △ ABE 与 △ ADF 相似吗？说明理由.（3题图）（4题图） （5题图）⑵△ AEF 与△ ABC !似吗？说说你的理由6. 已知：如图，在正方形 ABCDxx P 是BC 上的点，且BP=3PC Q 是CD 的xx 点.△ ADC 与 △ QCP 是否相似？为什么？7. 如图，在正方形ABCDxxE 为AD 的xx 点，EF 丄EC 交AB 于 F,连接FC\AEF^A EFC 吗若相似，请证明；若不相似，请说明理由。
若 ABC 助矩形呢？板块三、课后作业1 .如图，正方形ABCDxx 点E , F 分别为AB, BC 的xx 点，AF 与DE 相交于点Q 则等于（）.A. B. C. D.3. 已知：如图，在梯形 ABCDxx AB// CD / B = 90°，以AD 为直 径的半圆与BC 相切于E 点.求证：AB- CD= BE- EC4. 如图所示，AB 是。
0的直径，BC 是OO 的切线，切点为点B ,点D 是。
0上 的一点，且AD// OC2.如图, 已知，求直线EF 交AB AC 于点F 、E,交BC 的xx 于点D, ACL BC AB求证：AD- BC= OB- BD5 .如图所示，在O Oxx CD过圆心0,且CDLAB于D,弦CF交AB于E.求证：CB2= CF- CE6. 已知D是BC边xx上的一点，BC= 3CD DF交AC边于E点，且AE= 2EC试求AF与FB的比.7. 已知：如图，在厶ABCxx / BAC= 90°, AH L BC于H,以AB和AC为边在Rt△ ABC外作等边厶ABD^H^ ACE试判断△ BDH<^ AEH是否相似，并说明理由.相似三角形的性质及其应用板块二、新课讲解知识要点：相似三角形的性质①相似三角形的对应角相等，对应边成比例.②相似三角形对应高的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比.③相似三角形周长的比等于相似比.④相似三角形面积的比等于相似比的平方.【重难点高效突破】例题1.(1) 两个相似三角形的面积比为，与它们对应XX比之间的关系为_______⑵如图，已知DE// BC CD和BE相交于0,若，贝y AD:DB二 __________B B'(5)题图(3)如图，已知AB// CD,B0:0C=1:4点E、F分别是0C 0D的中点，贝S EF:AB的值为⑷如图，已知DE// FG// BC且AD:FD:FB=1:2:3,贝SA.1:9:36B.1:4:9C.1:8:27D.1:8:36(5)梯形ABCDxx AD// BC (AD<BC, AG BD交于点O,若,则厶AOD W^ BOC勺周长之比为__________ 。