相似三角形经典模型总结与例题分类(超全)
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相似三角形经典模型总结
经典模型
【精选例题】“平行型”
【例1】 如图，111EE FF MM ∥∥，若AE EF FM MB ===，
则1
11
1
1
1
:::_________AEE EE F F FF M M MM CB S S S S ∆=四边形四边形四边形
【例2】 如图，AD EF MN BC ∥∥∥，若9AD =，
18BC =，::2:3:4AE EM MB =,则
_____EF =，_____MN =
【例3】 已知，P 为平行四边形ABCD 对角线，AC 上一点，过点P 的
直线与AD ，BC ，CD 的延长线，AB 的延长线分别相交于点E ，F ，G ，H
求证：
PE PH
PF PG
= M 1F 1E 1M E F
A B
C
M N A B
C
D E F P
H
G
F
E
D
C
B
A
【例4】 已知：在ABC ∆中，D 为AB 中点，E 为AC 上一点，且
2AE
EC =,BE 、CD 相交于点F ， 求BF EF
的值
【例5】 已知：在ABC ∆中，12AD AB =
，
延长BC 到F ,使1
3
CF BC =,连接FD 交AC 于点E
求证：①DE EF = ②2AE CE =
【例6】 已知：D ，E 为三角形ABC 中AB 、BC
边上的点，连接DE 并延长交AC 的延长线于点F ，::BD DE AB AC = 求证：CEF ∆为等腰三角形
【例7】 如图，已知////AB EF CD ，若AB a =，CD b =，EF c =，求证：
111c a b
=+. F
E D
C
B
A
【例8】 如图，找出ABD S ∆、BED S ∆、BCD S ∆之间的关系，并证明你的结论.
F
E D
C
B
A
【例9】 如图，四边形ABCD 中，90B D ∠=∠=︒，M 是AC 上一点，ME AD ⊥于点E ，MF BC
⊥于点F
求证：
1MF ME
AB CD
+= F
E D
C
B A
A
B
C
D
F
E
F
E
D
C
B
A
A
B
C
D
E
F M
【例10】 如图，在ABC ∆中，D 是AC 边的中点，过D 作直线EF 交AB 于E ,交BC 的延长线于F
求证：AE BF BE CF ⋅=⋅
F
E
D
C B
A
【例11】 如图，在线段AB 上，取一点C ，以AC ，CB 为底在AB 同侧作两个顶角相等的等腰三角形
ADC ∆和CEB ∆，AE 交CD 于点P ，BD 交CE 于点Q ,
求证：CP CQ =
Q
P
E
D
C B
A
【例12】 阅读并解答问题.
在给定的锐角三角形ABC 中，求作一个正方形DEFG ，使D ，E 落在BC 边上，F ，G 分别落在AC ,AB 边上，作法如下：
第一步：画一个有三个顶点落在ABC ∆两边上的正方形''''D E F G 如图， 第二步：连接'BF 并延长交AC 于点F 第三步：过F 点作FE BC ⊥,垂足为点E 第四步：过F 点作FG BC ∥交AB 于点G 第五步：过G 点作GD BC ⊥，垂足为点D 四边形DEFG 即为所求作的正方形
问题：⑴证明上述所作的四边形DEFG 为正方形
⑵在ABC ∆
中，如果6BC =+45ABC ∠=︒,75BAC ∠=︒,求上述正方形DEFG 的边长
“平行旋转型”
图形梳理：
AEF 旋转到AE‘F’
C
B
A
AEF 旋转到AE‘F’
C
B
B
C
AEF 旋转到
AE‘F’
A
B
C
AEF 旋转到AE‘F’
特殊情况：B 、'E 、'F 共线
AEF 旋转到AE‘F’C
B
A
A
B C
E
F E'
F'
AEF 旋转到AE‘F’
C ，'E ，'F 共线
AEF 旋转到AE‘F’
C
B
A
AEF 旋转到AE‘F’
C
B
A
【例13】 已知梯形ABCD ，AD BC ∥，对角线AC 、BD 互相垂直，则
G'
F'
E'D'A
B C
D
E
F
G
①证明：2222
AD BC AB CD +=+
O
A
B C
D
【例14】 当AOD ∆，以点O 为旋转中心，逆时针旋转θ度（090θ<<），问上面的结论是否成立，请
说明理由
D
C
B A
O
【例15】 （全国初中数学联赛武汉选拔赛试题）如图，四边形ABCD 和BEFG 均为正方形，求
::AG DF CE =_________.
A
B
E
F G
G
F
E
D
C
B
A
“斜交型”
【例16】 如图，ABC ∆中，D 在AB 上，且DE BC ∥交AC 于E ，F 在AD 上，且2
AD AF AB =⋅，
求证：AEF
ACD ∆∆
F E
D C
B
A