(完整版)初三数学相似三角形典型例题(含答案)
初三数学相似三角形经典题(含答案)
相似三角形经典习题例1 从下面这些三角形中，选出相似的三角形．例2 已知：如图，ABCD 中，2:1:=EB AE ，求AEF ∆与CDF ∆的周长的比，若是2cm 6=∆AEF S ，求CDF S ∆．例3 如图，已知ABD ∆∽ACE ∆，求证：ABC ∆∽ADE ∆．例4 以下命题中哪些是正确的，哪些是错误的？（1）所有的直角三角形都相似． （2）所有的等腰三角形都相似．（3）所有的等腰直角三角形都相似． （4）所有的等边三角形都相似．例5 如图，D 点是ABC ∆的边AC 上的一点，过D 点画线段DE ，使点E 在ABC ∆的边上，而且点D 、点E 和ABC ∆的一个极点组成的小三角形与ABC ∆相似．尽可能多地画出知足条件的图形，并说明线段DE 的画法．例6 如图，一人拿着一支刻有厘米分画的小尺，站在距电线杆约30米的地址，把手臂向前伸直，小尺竖直，看到尺上约12个分画恰好遮住电线杆，已知手臂长约60厘米，求电线杆的高．例7 如图，小明为了测量一高楼MN 的高，在离N 点20m 的A 处放了一个平面镜，小明沿NA 后退到C 点，正好从镜中看到楼顶M 点，假设5.1=AC m ，小明的眼睛离地面的高度为，请你帮忙小明计算一下楼房的高度（精准到）．例8 格点图中的两个三角形是不是是相似三角形，说明理由．例9 依照以下各组条件，判定ABC ∆和C B A '''∆是不是相似，并说明理由：（1）,cm 4,cm 5.2,cm 5.3===CA BC AB cm 28,cm 5.17,cm 5.24=''=''=''A C C B B A ．（2）︒='∠︒='∠︒=∠︒=∠35,44,104,35A C B A ．（3）︒='∠=''=''︒=∠==48,3.1,5.1,48,6.2,3B C B B A B BC AB ．例10 如图，以下每一个图形中，存不存在相似的三角形，若是存在，把它们用字母表示出来，并简要说明识别的依照．例11 已知：如图，在ABC ∆中，BD A AC AB ,36,︒=∠=是角平分线，试利用三角形相似的关系说明AC DC AD ⋅=2．例12 已知ABC ∆的三边长别离为五、1二、13，与其相似的C B A '''∆的最大边长为26，求C B A '''∆的面积S ．例13 在一次数学活动课上，教师让同窗们到操场上测量旗杆的高度，然后回来交流各自的测量方式．小芳的测量方式是：拿一根高米的竹竿直立在离旗杆27米的C 处（如图），然后沿BC 方向走到D 处，这时目测旗杆顶部A 与竹竿顶部E 恰好在同一直线上，又测得C 、D 两点的距离为3米，小芳的目高为米，如此即可明白旗杆的高．你以为这种测量方式是不是可行？请说明理由．例14．如图，为了估算河的宽度，咱们能够在河对岸选定一个目标作为点A ，再在河的这一边选点B 和C ，使BC AB ⊥，然后再选点E ，使BC EC ⊥，确信BC 与AE 的交点为D ，测得120=BD 米，60=DC 米，50=EC 米，你能求出两岸之间AB 的大致距离吗？例15．如图，为了求出海岛上的山峰AB 的高度，在D 和F 处树立标杆DC 和FE ，标杆的高都是3丈，相隔1000步（1步等于5尺），而且AB 、CD 和EF 在同一平面内，从标杆DC 退后123步的G 处，可看到山峰A 和标杆顶端C 在一直线上，从标杆FE 退后127步的H 处，可看到山峰A 和标杆顶端E 在一直线上．求山峰的高度AB 及它和标杆CD 的水平距离BD 各是多少？（古代问题）例16 如图，已知△ABC 的边AB ＝32，AC ＝2，BC 边上的高AD ＝3．（1）求BC 的长；（2）若是有一个正方形的边在AB 上，另外两个极点别离在AC ，BC 上，求那个正方形的面积．。
初中数学经典相似三角形练习题(附参考答案)
经典练习题相似三角形(附答案) .解答题(共30小题)1.如图，在△A中Q DE// BC, EF // AB，求证：△ ADE EFC .2 .如图，梯形ABCD中，AB // CD, 点F在BC上，连 DF与AB的延长线交于点 G.(1 )求证：△CDFBGF;(2)当点F是BC的中点时，过 F作EF // CD交AD于点E,若AB=6cm , EF=4cm，求CD的长.3.如图，点 D , E在 BC 上，且 FD // AB, FE // AC.求证：△ ABC s\ FDE .4.如图，已知 E是矩形 ABCD的边CD上一点，BF丄AE于F,试说明：△ ABF s\ EAD .5.已知：如图①所示，在△和念BCD中，AB=AC , AD=AE，/ BAC= / DAE ,且点3, A , D在一条直线上，连接 BE, CD, M , N分别为BE, CD的中点.(1 )求证：①BE=CD :②厶 A是等腰三角形；(2 )在图①的基础上，将△绕点DE按顺时针方向旋转180。
，其他条件不变，得到图②所示的图形.请直接写出(1 )中的两个结论是否仍然成立；(3)在(2 )的条件下，请你在图②中延长ED交线段BC于点P.求证：△ PBDAMN.图①6.如图，E是？ABCD的边BA延长线上一点，连接 EC,交AD于点F.在不添加辅助线的情况下，请你写出图中所有的相似三角形，并任选一对相似三角形给予证明.7.如图，在4 X3的正方形方格中，△和A B CDE的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上.(1 )填空：/ ABC=(2)判断△ ABC^ DE是否相似，并证明你的结论.8.如图，已知矩形 ABCD的边长AB=3cm , BC=6cm .某一时刻，动点M从A点出发沿 AB方向以1cm/s(1)经过多少时间，△的面积等于矩形ABCD面积的十的速度向B点匀速运动；同时，动点 N从D点出发沿DA方向以2cm/s的速度向A点匀速运动，问：(2)是否存在时刻t，使以A，M，N为顶点的三角形与△相似D若存在，求t的值；若不存在，请说明理由.9 .如图，在梯形 ABCD中，若AB // DC, AD=BC，对角线BD、AC把梯形分成了四个小三角形.(1 )列出从这四个小三角形中任选两个三角形的所有可能情况，并求出选取到的两个三角形是相似三角形的概率是多少；(注意：全等看成相似的特例)(2)请你任选一组相似三角形，并给出证明.•4E10 .如图△ABC, D 为 AC 上一点，CD=2DA，/ BAC=45。
相似三角形经典题(含答案)
相似三角形典范习题之阳早格格创做例1 从底下那些三角形中，选出相似的三角形．例2 已知：如图，ABCD 中，2:1:=EB AE ，供AEF ∆取CDF ∆的周少的比，如果2cm 6=∆AEF S ，供CDF S ∆．例3 如图，已知ABD ∆∽ACE ∆，供证：ABC ∆∽ADE ∆．例4 下列命题中哪些是透彻的，哪些是过失的？（1）所有的曲角三角形皆相似．（2）所有的等腰三角形皆相似．（3）所有的等腰曲角三角形皆相似．（4）所有的等边三角形皆相似． 例5 如图，D 面是ABC ∆的边AC 上的一面，过D 面绘线段DE ，使面E 正在ABC ∆的边上，而且面D 、面E ABC ∆的一个顶面组成的小三角形取ABC ∆相似．尽大概多天绘出谦脚条件的图形，并道明线段DE 的绘法．例6 如图，一人拿着一收刻有厘米分绘的小尺，站正在距电线杆约30米的场合，把脚臂背前伸曲，小尺横曲，瞅到尺上约12个分绘恰佳遮住电线杆，已知脚臂少约60厘米，供电线杆的下．例7 如图，小明为了丈量一下楼MN 的下，正在离N 面20m 的A 处搁了一个仄里镜，小明沿NA 退却到C 面，正佳从镜中瞅到楼顶M 面，若5.1=AC m ，小明的眼睛离大天的下度为1.6m ，请您助闲小明估计一下楼房的下度（透彻到0.1m ）．例8格面图中的二个三角形是可是相似三角形，道明缘由．例9 根据下列各组条件，判决ABC ∆战C B A '''∆是可相似，并道明缘由：（1）,cm 4,cm 5.2,cm 5.3===CA BC AB cm 28,cm 5.17,cm 5.24=''=''=''A C C B B A ．（2）︒='∠︒='∠︒=∠︒=∠35,44,104,35A C B A ．（3）︒='∠=''=''︒=∠==48,3.1,5.1,48,6.2,3B C B B A B BC AB ．例10 如图，下列每个图形中，存没有存留相似的三角形，如果存留，把它们用字母表示出去，并简要道明识别的根据．例11例125、12、1326S．例13正在一次数教活动课上，教授让共教们到操场上丈量旗杆的下度，而后回去接流各自的丈量要领．小芳的丈量要领是：拿一根下米的竹竿曲坐正在离旗杆27米的C处（如图），而后沿BC目标走到D处，那时目测旗杆顶部A取竹竿顶部E恰佳正在共背去线上，又测得C、D二面的距离为3米，小芳的目下为米，那样即可知讲旗杆的下．您认为那种丈量要领是可可止？请道明缘由．例14．如图，为了估算河的宽度，咱们不妨正在河对于岸选定一个目标动做E，使面A，再正在河的那一边选面B战CBC取AE的接面为D您能供出二岸之间AB的大概距离吗？例15．如图，为了供出海岛上的山峰AB的下度，正在D战F处横坐标杆DC战FE，标杆的下皆是3丈，相隔1000步（1步等于5尺），而且AB、CD战EF正在共一仄里内，从标杆DC退后123步的G处，可瞅到山峰A战标杆顶端C正在背去线上，从标杆FE退后127步的H处，可瞅到山峰A战标杆顶端E正在背去线上．供山峰的下度AB及它战标杆CD的火仄距离BD 各是几？（古代问题）例16如图，已知△ABC的边AB AC＝2，BC边上的下AD （1）供BC的少；（2）如果有一个正圆形的边正在AB上，其余二个顶面分别正在AC，BC 上，供那个正圆形的里积．相似三角形典范习题问案例1．解①、⑤、⑥相似，②、⑦相似，③、④、⑧相似例2．1：3．例3分解道明例4．分解（1）没有透彻，果为正在曲角三角形中，二个钝角的大小没有决定，果此曲角三角形的形状分歧．（2）也没有透彻，等腰三角形的顶角大小没有决定，果此等腰三角形的形状也分歧．（3）透彻．设有等腰曲角三角形ABCa、b、c（4问：（1）、（2）没有透彻．（3）、（4）透彻．例5．解：绘法略．例6．分解BCBC的少．解，∴，∴∽．∴杆的下为6米．例7．分解的相似闭系便透彻了．解m）．例8．分解那二个图如果没有是绘正在格面中，那是无法推断的．本量上格面无形中给图形删加了条件——少度战角度．解道明逢到格面的题目一定要充散创造其中的百般条件，勿使遗漏．例9．解（1（2（3例10．解（1二角相等；（2二角相等；（3二角相等；（4二边成比率夹角相等；6二边成比率夹（5角相等．例11．分解有一个角是65°的等腰三角形，它的底角是72°，而BD是底角的比率推出线段之间的比率闭系．∴道明（1）有二个角对于应相等，那么那二个三角形相似，那是推断二个三角形相似最时常使用的要领，而且根据相等的角的位子，不妨决定哪些边是对于应边．（2或者仄办法．例12分解26，不妨供解三边依次为∴例13．分解推断要领是可可止，应试虑利用那种要领加之咱们现有的知识是可供出旗杆的下．按那种丈量要领，过FG，接CE于H，可知GF、HF、EH可供，那样可供得AG，故旗杆AB可供．F G，接CE于H所解（米）所以旗杆的下为米．道明正在简曲丈量时，要领要现真、确真可止．例14.AB大概相距100米．例15.例16. 分解：央供BC的少，需绘图去解，果AB、AC皆大于下AD，那么有二种情况存留，即面D正在BC上或者面D正在BC的延少线上，所以供BC的万古要分二种情况计划．供正圆形的里积，闭键是供正圆形的边少．解：（1）如上图，由AD⊥BC，由勾股定理得BD＝3，DC＝1，所以BC ＝BD＋DC＝3＋1＝4．如下图，共理可供BD＝3，DC＝1，所以BC＝BD－CD＝3－1＝2．（2）如下图，由题目中的图知BC＝4，ABC是曲角三角形．由AE G F是正圆形，设G F＝x，则FC＝2－x，∵G F∥AB，∴，即．∴，∴如下图，当BC＝2，AC＝2，△ABC是等腰三角形，做CP⊥AB于P，∴AP正在Rt△APC中，由勾股定理得CP＝1，∵GH∥AB，∴△C GH∽△CBA，∵，∴。
完整版)九年级数学相似三角形综合练习题及答案
完整版)九年级数学相似三角形综合练习题及答案1.填空题：1) 若$a=8$cm，$b=6$cm，$c=4$cm，则$a$、$b$、$c$的第四比例项$d=\underline{12}$；$a$、$c$的比例中项$x=\underline{5}$。
2) $(2-x):x=x:(1-x)$。
则$x=\underline{1}$。
3) 在比例尺为1：的地图上，距离为3cm的两地实际距离为\underline{30}公里。
4) 圆的周长与其直径的比为\underline{$\pi$}。
5) $\frac{a^5-ab}{b^3}=\frac{a^4}{b^2}$，则$\frac{a}{b}=\underline{a^2}$。
6) 若$a:b:c=1:2:3$，且$a-b+c=6$，则$a=\underline{2}$，$b=\underline{1}$，$c=\underline{3}$。
7) 如图1，则$\frac{AB}{AC}=\frac{BC}{CE}=\underline{\frac{3}{2}}$；若$BD=10$cm，则$AD=\underline{6}$cm；若$\triangle ADE$的周长为16cm，则$\triangle ABC$的周长为\underline{24}cm。
8) 若点$c$是线段$AB$的黄金分割点，且$AC>CB$，则$\frac{AC}{AB}=\underline{\frac{1+\sqrt{5}}{2}}$，$\frac{CB}{AB}=\underline{\frac{\sqrt{5}-1}{2}}$。
2.选择题：1) 根据$ab=cd$，共可写出以$a$为第四比例项的比例式的个数是（）A．$1$，B．$2$，C．$3$，D．$4$。
答案：B。
2) 若线段$a$、$b$、$c$、$d$成比例，则下列各式中一定能成立的是（）A．$abcd=1$，B．$a+b=c+d$，C．$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$，D．$a^2+b^2=c^2+d^2$。
初三数学相似三角形典例及练习题含答案
初三数学相似三角形典例及练习题含答案典例典例1已知三角形ABC中，∠B=90°，AC=6cm，BD垂直AC于D点，BD=3cm，求BC的长度。
解析：根据勾股定理可得：BC^2 = AB^2 + AC^2 = BD^2 + AD^2 + AC^2因为∆ABC与∆ABD相似，所以可以得到：\frac{AD}{AB}=\frac{AB}{AC}即：AD = \frac{AB^2}{AC}将公式代入原式中，得到：BC^2 = BD^2 + \frac{AB^4}{AC^2} + AC^2因为AC=6，BD=3，所以代入可得：BC^2 = 3^2 + \frac{AB^4}{6^2} + 6^2化简得：BC^2 = AB^4 \cdot \frac{1}{36} + 45AB^4 = 36(BC^2 - 45)因此，我们可以得到：AB = \sqrt[4]{36(BC^2 - 45)}典例2已知两个三角形ABC和DEF，且它们相似，已知AC=20cm，EF=12cm，AB=15cm，计算DE的长度。
解析：由于两个三角形相似，所以可以得到：\frac{AB}{DE}=\frac{AC}{EF}将已知条件带入即可得到：\frac{15}{DE}=\frac{20}{12}解得：DE = \frac{36}{4} = 9因此，DE的长度为9cm。
典例3已知三角形ABC和DEF相似，且AB=5cm，DE=2.5cm，BC=6cm，计算EF的长度。
解析：由于两个三角形相似，所以可以得到：\frac{AB}{DE}=\frac{BC}{EF}将已知条件带入即可得到：\frac{5}{2.5}=\frac{6}{EF}解得：EF = 12因此，EF的长度为12cm。
练习题练习题1已知三角形ABC中，∠B=90°，AB=3cm，AC=4cm，D、E、F分别是BC、AC、AB上的点，且∆DEF与∆ABC相似。
初三最详细相似三角形解答题以及答案
一．解答题（共7小题）1．（2003•常德）如图1，D是△ABC的BC边上的中点，过点D的一条直线交AC于F，交BA的延长线于E，AG∥BC 交EF于G，我们可以证明EG•DC=ED•AG成立（不要求考生证明）．（1）如图2，若将图1中的过点D的一条直线交AC于F，改为交CA的延长线于F，交BA的延长线于E，改为交BA于E，其它条件不变，则EG•DC=ED•AG还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说出理由；（2）根据图2，请你找出EG、FD、ED、FG四条线段之间的关系，并给出证明；（3）如图3，若将图1中的过点D的一条直线交AC于F，改为交CA的反向延长线于F，交BA的延长线于E，改为交BA于E，其它条件不变，则（2）得到的结论是否成立？2．（2003•厦门）如图，BD、BE分别是∠ABC与它的邻补角∠ABP的平分线，AE⊥BE，AD⊥BD，E、D为垂足．（1）求证：四边形AEBD是矩形；（2）若=3，F、G分别为AE、AD上的点，FG交AB于点H，且=3，求证：△AHG是等腰三角形．3．（2003•金华）如图所示，在△ABC中，BA=BC=20cm，AC=30cm，点P从A点出发，沿着AB以每秒4cm的速度向B点运动；同时点Q从C点出发，沿CA以每秒3cm的速度向A点运动，设运动时间为x．（1）当x为何值时，PQ∥BC；（2）当，求的值；（3）△APQ能否与△CQB相似？若能，求出AP的长；若不能，请说明理由．4．（2003•绍兴）已知∠AOB=90°，OM是∠AOB的平分线，按以下要求解答问题：（1）将三角板的直角顶点P在射线OM上移动，两直角边分别与边OA，OB交于点C，D．①在图甲中，证明：PC=PD；②在图乙中，点G是CD与OP的交点，且PG=PD，求△POD与△PDG的面积之比；（2）将三角板的直角顶点P在射线OM上移动，一直角边与边OB交于点D，OD=1，另一直角边与直线OA，直线OB分别交于点C，E，使以P，D，E为顶点的三角形与△OCD相似，在图丙中作出图形，试求OP的长．5．（2002•盐城）已知：如图，在直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，D为BC的中点，E为AC上一点，点G在BE上，连接DG并延长交AE于F，若∠FGE=45°．（1）求证：BD•BC=BG•BE；（2）求证：AG⊥BE；（3）若E为AC的中点，求EF：FD的值．6．（2002•黄冈）已知：如图，AB⊥BD，CD⊥BD，垂足分别为B、D，AD和BC相交于点E，EF⊥BD，垂足为F，我们可以证明成立（不要求考生证明）．若将图中的垂线改为斜交，如图，AB∥CD，AD，BC相交于点E，过点E作EF∥AB交BD于点F，则：（1）还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由；（2）请找出S△ABD，S△BED和S△BDC间的关系式，并给出证明．7．如图，已知直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠D=90°，AB=AC，AE⊥AC且AE=AD，连BE交AC于F．（1）如图1，若CD=AD，试猜想BF与EF的数量关系；（2）如图2，若CD≠AD，问题（1）BF与EF的数量关系是否仍然成立？若成立，请证明．若不成立，请说明理由；（3）如图2，在第（2）问的条件下，取BC中点M，问线段MF与线段BD之间是否存在某种确定的数量关系？若存在，证明你的结论，若不存在，说明理由．答案与评分标准一．解答题（共7小题）1．（2003•常德）如图1，D是△ABC的BC边上的中点，过点D的一条直线交AC于F，交BA的延长线于E，AG∥BC 交EF于G，我们可以证明EG•DC=ED•AG成立（不要求考生证明）．（1）如图2，若将图1中的过点D的一条直线交AC于F，改为交CA的延长线于F，交BA的延长线于E，改为交BA于E，其它条件不变，则EG•DC=ED•AG还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说出理由；（2）根据图2，请你找出EG、FD、ED、FG四条线段之间的关系，并给出证明；（3）如图3，若将图1中的过点D的一条直线交AC于F，改为交CA的反向延长线于F，交BA的延长线于E，改为交BA于E，其它条件不变，则（2）得到的结论是否成立？考点：相似三角形的判定与性质。
初三数学相似三角形典型例题(含答案)
初三数学相似三角形（一）相似三角形是初中几何的一个重点，同时也是一个难点，本节复习的目标是：1. 理解线段的比、成比例线段的概念，会根据比例线段的有关概念和性质求线段的长或两线段的比，了解黄金分割。
2. 会用平行线分线段成比例定理进行有关的计算、证明，会分线段成已知比。
3. 能熟练应用相似三角形的判定和性质解答有关的计算与证明题。
4. 能熟练运用相似三角形的有关概念解决实际问题本节的重点内容是相似三角形的判定定理和性质定理以及平行线分线段成比例定理。
本节的难点内容是利用判定定理证明两个三角形相似以及相似三角形性质的应用。
相似三角形是平面几何的主要内容之一，在中考试题中时常与四边形、圆的知识相结合构成高分值的综合题，题型常以填空、选择、简答或综合出现，分值一般在10%左右，有时也单独成题，形成创新与探索型试题；有利于培养学生的综合素质。
（二）重要知识点介绍： 1. 比例线段的有关概念：在比例式：：中，、叫外项，、叫内项，、叫前项，a b cda b c d a d b c a c ==() b 、d 叫后项，d 叫第四比例项，如果b=c ，那么b 叫做a 、d 的比例中项。
把线段AB 分成两条线段AC 和BC ，使AC 2=AB ·BC ，叫做把线段AB 黄金分割，C 叫做线段AB 的黄金分割点。
2. 比例性质：①基本性质：a b cdad bc =⇔= ②合比性质：±±a b c d a b b c d d=⇒= ③等比性质：……≠……a b c d m n b d n a c m b d n a b===+++⇒++++++=()03. 平行线分线段成比例定理：①定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例，如图：l 1∥l 2∥l 3。
则，，，…AB BC DE EF AB AC DE DF BC AC EFDF===②推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例。
初三数学相似三角形试题答案及解析
初三数学相似三角形试题答案及解析1.（2013山东济宁）如图，放映幻灯片时，通过光源，把幻灯片上的图形放大到屏幕上，若光源到幻灯片的距离为20cm，到屏幕的距离为60cm，且幻灯片中的图形的高度为6cm，则屏幕上图形的高度为________cm．【答案】18【解析】如图，过A作AN⊥BC，交DE于M．∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，AM⊥DE，∴．设屏幕上图形的高度是xcm，则，解得x＝18．故答案为18．2.阳光明媚的一天，数学兴趣小组的同学们去测量一棵树的高度（这棵树底部可以到达，顶部不可到达），他们带了以下测量工具：皮尺、标杆、一副三角尺、小平面镜．请你在他们提供的测量工具中选出所需工具，设计一种测量方案．（1）所需的测量工具是________；（2）请在图中画出测量示意图；（3）设树AB的高度为x，请用所测数据（用小写字母表示）求出x．【答案】见解析【解析】（1）皮尺、标杆．（2）测量示意图如图所示．（3）如图，测得标杆DE＝a，树和标杆的影长分别为AC＝b，EF＝c．∵DF、BC是同一时刻的太阳光线，∴∠DFE＝∠BCA．又∵DE⊥AF，BA⊥AF，∴△DEF∽△BAC，∴，∴，∴．3.（2014山东潍坊）如图，某水平地面上建筑物的高度为AB，在点D和点F处分别竖立高是2米的标杆CD和EF，两标杆相隔52米，并且建筑物AB、标杆CD和EF在同一竖直平面内．从标杆CD后退2米到点G处，在G处测得建筑物顶端A和标杆顶端C在同一条直线上；从标杆FE后退4米到点H处，在H处测得建筑物顶端A和标杆顶端E在同一条直线上，则建筑物的高是________米．【答案】54【解析】设建筑物的高为x米，根据题意易得△CDG∽△ABG，∴，∵CD＝DG＝2，∴BG＝AB＝x，再由△EFH∽△ABH可得，即，∴BH＝2x，即BD＋DF＋FH ＝2x，亦即x－2＋52＋4＝2x，解得x＝54，即建筑物的高是54米．4.已知：△ABC∽△A′B′C′，AB＝4cm，A′B′＝10cm，AE是△ABC的一条高，AE＝4.8cm．求△A′B′C′中对应高线A′E′的长．【答案】12cm【解析】∵△ABC∽△A′B′C′．∴．∴．∴A′E′＝12cm．5.两个相似三角形的相似比为2︰5，它们周长的差为9，则较大三角形的周长为________．【答案】15【解析】设较大三角形的周长为x，则较小三角形的周长为x－9，根据周长的比等于相似比可得（x－9）︰x＝2︰5，解得x＝15，即较大三角形的周长为15．6.（2013重庆）已知△ABC∽△DEF，若△ABC与△DEF的相似比为3︰4，则△ABC与△DEF的面积之比为（）A．4︰3B．3︰4C．16︰9D．9︰16【答案】D【解析】相似三角形面积的比等于相似比的平方．7.如图，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC边上，DE∥BC，若AD︰AB＝3︰4，AE＝6，则AC等于（）A．3B．4C．6D．8【答案】D【解析】∵DE∥BC，∴，即，∴AC＝8．故选D．8.如图，△ABC∽△DEF，相似比为1︰2，若BC＝1，则EF的长是（）A．1B．2C．3D．4【答案】B【解析】∵△ABC∽△DEF，相似比为1︰2，∴BC︰EF＝1︰2．∵BC＝1，∴EF＝2．故选B．9.（2014浙江宁波）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝∠ACD＝90°，AB＝2，DC＝3，则△ABC与△DCA的面积比为（）A．2︰3B．2︰5C．4︰9D．【答案】C【解析】∵AD∥BC，∴∠ACB＝∠DAC．又∵∠B＝∠ACD＝90°，∴△CBA∽△ACD，∴．又∵AB ＝2，DC ＝3，∴，∴．故选C ．10. （2014江苏宿迁）如图，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC ＝90°，AB ＝8，AD ＝3，BC ＝4，点P 为AB 边上一动点，若△PAD 与△PBC 是相似三角形，则满足条件的点P 个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C【解析】∵AD ∥BC ，∠ABC ＝90°，∴∠A ＝90°．设AP 的长为x ，则BP 的长为8－x ．若AB 边上存在P 点，使△PAD 与△PBC 相似，那么分两种情况：①若△PAD ∽△PBC ，则AP ︰BP ＝AD ︰BC ，即x ︰（8－x ）＝3︰4，解得，经检验，其是原方程的解；②若△PAD ∽△CBP ，则AP ︰BC ＝AD ︰BP ，即x ︰4＝3︰（8－x ），解得x ＝2或x ＝6，经检验，它们都是原方程的解．故满足条件的点P 有3个，故选C ．11. （2013安徽）如图，P 为平行四边形ABCD 边AD 上一点，E 、F 分别为PB 、PC 的中点，△PEF ，△PDC ，△PAB 的面积分别为S ，S 1，S 2，若S ＝2，则S 1＋S 2＝________．【答案】8【解析】∵E 、F 分别为PB 、PC 的中点，∴EF 是△PBC 的中位线．∴EF ∥BC ，，∴△PEF ∽△PBC ，∴．∵S ＝2，∴S △PBC ＝8．∴S 1＋S 2＝S △PBC ＝8．12. 若△ABC 与△A′B′C′相似，一组对应边的长为AB ＝6cm ，A′B′＝8cm ，那么△ABC 与△A′B′C′的相似比为________． 【答案】【解析】相似三角形的对应边的比叫做相似比，即相似比为．13. 如图，已知直线a ∥b ∥c ，直线m 、n 与a 、b 、c 分别交于点A 、C 、E 、B 、D 、F ，AC ＝4，CE＝6，BD＝3，则BF＝（）A．7B．7.5C．8D．8.5【答案】B【解析】∵a∥b∥c，∴，即．∴．∴BF＝BD＋DF＝3＋4.5＝7.5．14.如图，已知在等腰△ABC中，顶角∠A＝36°，BD为∠ABC的平分线，则一定相似的三角形是（）A．△ABC和△BADB．△ABD和△BDCC．△BDC和△ABCD．△ABD和△BDC和△ABC【答案】C【解析】∵∠A＝36°，AB＝AC，∴．又∵BD平分∠ABC，∴∠DBC＝36°．在△BDC和△ABC中，∠DBC＝∠A＝36°，∠C＝∠C，∴△BDC∽△ABC．故选C．15.在△ABC与△A′B′C′中，AB︰AC＝A′B′︰A′C′，∠B＝∠B′，则这两个三角形（）A．相似，但不全等B．全等或相似C．不相似D．无法判定是否相似【答案】D【解析】因为AB︰AC＝A′B′︰A′C′，∠B＝∠B′，条件中相等的角不是成比例的两边的夹角，所以无法判定是否相似，故选D．16.如图，已知∠1＝∠2，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC∽△ADE的是（）A．B．∠C＝∠AEDC．∠B＝∠DD．【答案】D【解析】由∠1＝∠2可得∠DAE＝∠BAC，但条件与∠DAE＝∠BAC不是成比例的两边与夹角的关系，故不能判定三角形相似．17.如图，点P是△ABC的边AC上一点，连接BP，以下条件中，不能判定△ABP∽△ACB的是（）A．B．C．∠ABP＝∠CD．∠APB＝∠ABC【答案】B【解析】△ABP和△ACB有公共角∠A，故添加，由“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”可得△ABP∽△ACB；添加∠ABP＝∠C或∠APB＝∠ABC，由“两角分别相等的两个三角形相似”可得△ABP∽△ACB；只有添加不能得出△ABP∽△ACB．故选B．18.（2014河北）在研究相似问题时，甲、乙同学的观点如下：对于两人的观点，下列说法正确的是（）A．两人都对B．两人都不对C．甲对，乙不对D．甲不对，乙对【答案】A【解析】由题意知新三角形与原三角形的对应角相等，对应边的比也相等，所以两个三角形相似，甲的观点正确；新矩形与原矩形的对应角相等，但对应边的比并不相等，所以新矩形与原矩形不相似，乙的观点也正确．故选A．19.如图，已知△ABC中，D为边AC上一点，P为边AB上一点，AB＝12，AC＝8，AD＝6，当AP的长为________时，△ADP和△ABC相似．【答案】4或9【解析】当△ADP∽△ACB时，需有，∴，解得AP＝9．当△ADP∽△ABC时，需有，∴，解得AP＝4．∴当AP的长为4或9时，△ADP和△ABC相似．20.如图，点A，B的坐标分别是（0，8），（6，0），过边OA上的点P（0，4）作直线PQ与△OAB的另一边相交于点Q，当点Q的坐标为________时，形成的新三角形与△OAB相似．【答案】（3，4）或（3，0）或（1.92，5.44）或（，0）【解析】由已知得OA＝8，OB＝6，OP＝4，由勾股定理可得AB＝10．①当PQ∥x轴时，△APQ∽△AOB，此时Q是AB的中点，可得Q（3，4）．②当PQ∥AB时，△OPQ∽△OAB，此时点Q是OB的中点，可得Q（3，0）．③当PQ⊥AB于Q时，由，可得△APQ∽△ABO，则，解得AQ＝3.2．此时，作QC⊥OA于C，可得△AQC∽△ABO，，即，解得AC＝2.56，QC＝1.92，∴OC＝8－2.56＝5.44，∴点Q（1.92，5.44）．④当时，△OPQ∽△OBA，则，解得，∴Q（，0）．故点Q的坐标为（3，4）或（3，0）或（1.92，5.44）或（，0）．。
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初三数学相似三角形（一）相似三角形是初中几何的一个重点，同时也是一个难点，本节复习的目标是：1. 理解线段的比、成比例线段的概念，会根据比例线段的有关概念和性质求线段的长或两线段的比，了解黄金分割。
2. 会用平行线分线段成比例定理进行有关的计算、证明，会分线段成已知比。
3. 能熟练应用相似三角形的判定和性质解答有关的计算与证明题。
4. 能熟练运用相似三角形的有关概念解决实际问题本节的重点内容是相似三角形的判定定理和性质定理以及平行线分线段成比例定理。
本节的难点内容是利用判定定理证明两个三角形相似以及相似三角形性质的应用。
相似三角形是平面几何的主要内容之一，在中考试题中时常与四边形、圆的知识相结合构成高分值的综合题，题型常以填空、选择、简答或综合出现，分值一般在10%左右，有时也单独成题，形成创新与探索型试题；有利于培养学生的综合素质。
（二）重要知识点介绍： 1. 比例线段的有关概念： 在比例式：：中，、叫外项，、叫内项，、叫前项，a b cda b c d a d b c a c ==() b 、d 叫后项，d 叫第四比例项，如果b=c ，那么b 叫做a 、d 的比例中项。
把线段AB 分成两条线段AC 和BC ，使AC 2=AB ·BC ，叫做把线段AB 黄金分割，C 叫做线段AB 的黄金分割点。
2. 比例性质： ①基本性质：a b cdad bc =⇔= ②合比性质：±±a b c d a b b c d d=⇒= ③等比性质：……≠……a b c d m n b d n a c m b d n a b===+++⇒++++++=()03. 平行线分线段成比例定理：①定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例，如图：l 1∥l 2∥l 3。
则，，，…AB BC DE EF AB AC DE DF BC AC EFDF===②推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例。
③定理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。
4. 相似三角形的判定：①两角对应相等，两个三角形相似②两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似 ③三边对应成比例，两三角形相似④如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角形相似⑤平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似⑥直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似5. 相似三角形的性质①相似三角形的对应角相等 ②相似三角形的对应边成比例③相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比 ④相似三角形周长的比等于相似比⑤相似三角形面积的比等于相似比的平方【典型例题】例1. （1）在比例尺是1：8000000的《中国行政区》地图上，量得A 、B 两城市的距离是7.5厘米，那么A 、B 两城市的实际距离是__________千米。
（2）小芳的身高是 1.6m ，在某一时刻，她的影子长2m ，此刻测得某建筑物的影长是18米，则此建筑物的高是_________米。
解：这是两道与比例有关的题目，都比较简单。
（1）应填600 （2）应填14.4。
例2. 如图，已知DE ∥BC ，EF ∥AB ，则下列比例式错误的是：____________A AD AB AEAC B CE CF EAFB ..==C DE BC ADBDD EF AB CFCB..==分析：由∥，∥可知，、、都正确。
而不能得到，DE BC EF AB A B D DE BC ADBD= 故应选C 。
利用平行线分线段成比例定理及推论求解时，一定要分清谁是截线、谁是被截线，中很显然是两平行线段的比，因此应是利用三角相似后对应边成比C DEBC例这一性质来写结论，即DE BC AD AB AEAC ==例3. 如图，在等边△ABC 中，P 为BC 上一点，D 为AC 上一点，且∠APD=60°，BP CD ABC ==123，，求△的边长解：∵△ABC 是等边三角形 ∴∠C=∠B=60°又∵∠PDC=∠1+∠APD=∠1+60° ∠APB=∠1+∠C=∠1+60° ∴∠PDC=∠APB ∴△PDC ∽△APB ∴PC AB CDPB=设PC=x ，则AB=BC=1+x∴，∴，xx x 12312+==∴AB=1+x=3。
∴△ABC 的边长为3。
例4. 如图：四边形ABEG 、GEFH 、HFCD 都是边长为a 的正方形，（1）求证：△AEF ∽△CEA （2）求证：∠AFB+∠ACB=45°分析：因为△AEF 、△CEA 有公共角∠AEF 故要证明△AEF ∽△CEA只需证明两个三角形中，夹∠AEF 、∠CEA 的两边对应成比例即可。
证明：（1）∵四边形ABEG 、GEFH 、HFCD 是正方形 ∴AB=BE=EF=FC=a ，∠ABE=90° ∴，AE a EC a ==22∴，AE EF a a EC AE aa====22222 ∴AE EF ECAE=又∵∠CEA=∠AEF ∴△CEA ∽△AEF（2）∵△AEF ∽△CEA ∴∠AFE=∠EAC∵四边形ABEG 是正方形 ∴AD ∥BC ，AG=GE ，AG ⊥GE ∴∠ACB=∠CAD ，∠EAG=45°∴∠AFB+∠ACB=∠EAC+∠CAD=∠EAG ∴∠AFB+∠ACB=45°例5. 已知：如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AC 、BD 交于点O ，EF 经过点O 且和两底平行，交AB 于E ，交CD 于F求证：OE=OF证明：∵AD ∥EF ∥BC∴，OE BC AE AB OE AD EBAB==∴OE BC OE AD AE AB EB AB ABAB +=+==1∴111BC AD OE+=同理：111BC AD OF +=∴11OE OF =∴OE=OF从本例的证明过程中，我们还可以得到以下重要的结论：①∥∥AD EF BC AD BC OE⇒+=111②∥∥AD EF BC OE OF EF ⇒==12③∥∥AD EF BC AD BC OE ⇒+=111 ==1122EF OF 即112AD BC EF +=这是梯形中的一个性质，由此可知，在AD 、BC 、EF 中，已知任何两条线段的长度，都可以求出第三条线段的长度。
例6. 已知：如图，△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F求证：AE AF ACAB=分析：观察AE 、AF 、AC 、AB 在图中的位置不宜直接通过两个三角形相似加以解决。
因此可根据图中直角三角形多，因而相似三角形多的特点，可设法寻求中间量进行代换，通过△∽△，可得：，于是得到·，同理ABD ADE AB AD ADAEAD AE AB ==2 可得到·，故可得：··，即AD AF AC AE AB AF AC AE AF ACAB2===证明：在△ABD 和△ADE 中， ∵∠ADB=∠AED=90° ∠BAD=∠DAE ∴△ABD ∽△ADE ∴AB AD ADAE=∴AD 2=AE ·AB同理：△ACD ∽△ADF可得：AD 2=AF ·AC ∴AE ·AB=AF ·AC ∴AE AF ACAB=例7. 如图，D 为△ABC 中BC 边上的一点，∠CAD=∠B ，若AD=6，AB=8，BD=7，求DC 的长。
分析：本题的图形是证明比例中项时经常使用的“公边共角”的基本图形，我们可以由基本图形中得到的相似三角形，从而得到对应边成比例，从而构造出关于所求线段的方程，使问题得以解决。
解：在△ADC 和△BAC 中 ∵∠CAD=∠B ，∠C=∠C ∴△ADC ∽△BAC∴ADABDCACACBC==又∵AD=6，AD=8，BD=7∴DCACACDC=+=734即DCACACDC=+=⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪34734解得：DC=9例8. 如图，在矩形ABCD中，E是CD的中点，BE⊥AC于F，过F作FG∥AB交AE于G，求证：AG2=AF·FC证明：在矩形ABCD中，AD=BC，∠ADC=∠BCE=90°又∵E是CD的中点，∴DE=CE∴Rt△ADE≌Rt△BCE∴AE=BE∵FG∥AB∴AEBEAGBF=∴AG=BF在Rt△ABC中，BF⊥AC于F ∴Rt△BFC≌Rt△AFB∴AFBFFBFC=∴BF2=AF·FC∴AG2=AF·FC例9. 如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，若∠BCD的平分线CH⊥AB于点H，BH=3AH，且四边形AHCD的面积为21，求△HBC的面积。
分析：因为问题涉及四边形AHCD ，所以可构造相似三角形。
把问题转化为相似三角形的面积比而加以解决。
解：延长BA 、CD 交于点P ∵CH ⊥AB ，CD 平分∠BCD ∴CB=CP ，且BH=PH ∵BH=3AH∴PA ：AB=1：2 ∴PA ：PB=1：3 ∵AD ∥BC∴△PAD ∽△PBC∴：：△△S S PAD PBC =19 ∵△△S SPCH PBC=12 ∴：△四边形S S PAD AHCD ==27 ∵四边形S AHCD =21 ∴△S PAD =6 ∴S PBC △=54 ∴△△S S HBC PBC ==1227一、填空题1. 已知a b a b +-=2295，则a b ：=__________2. 若三角形三边之比为3：5：7，与它相似的三角形的最长边是21cm ，则其余两边之和是__________cm3. 如图，△ABC 中，D 、E 分别是AB 、AC 的中点，BC=6，则DE=__________；△ADE 与△ABC 的面积之比为：__________。
4. 已知线段a=4cm ，b=9cm ，则线段a 、b 的比例中项c 为__________cm 。
5. 在△ABC 中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，DE ∥BC ，如果AD=8，DB=6，EC=9，那么AE=__________6. 已知三个数1，2，3，请你添上一个数，使它能构成一个比例式，则这个数是__________7. 如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，EF∥BC，若AD=12cm，BC=18cm，AE：EB=2：3，则EF=__________8. 如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，BD⊥CD，AD=6，BC=10，则梯形的面积为：__________二、选择题1. 如果两个相似三角形对应边的比是3：4，那么它们的对应高的比是__________A. 9：16B. 3：2C. 3：4D. 3：72. 在比例尺为1：m的某市地图上，规划出长a厘米，宽b厘米的矩形工业园区，该园区的实际面积是__________米2A. 104mabB.1042mabC.abm104D.abm24103. 已知，如图，DE∥BC，EF∥AB，则下列结论：①AEECBEFC=②ADBFABBC=③EFABDEBC=④CECFEABF=其中正确的比例式的个数是__________A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个4. 如图，在△ABC中，AB=24，AC=18，D是AC上一点，AD=12，在AB上取一点E，使A、D、E三点为顶点组成的三角形与△ABC相似，则AE的长是__________A. 16B. 14C. 16或14D. 16或95. 如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，D是BC的中点，AE⊥AD，交CB的延长线于点E，则下列结论正确的是__________A. △AED∽△ACBB. △AEB∽△ACDC. △BAE∽△ACED. △AEC∽△DAC三、解答题： 1. 如图，AD∥EG∥BC，AD=6，BC=9，AE：AB=2：3，求GF的长。