几何模型——半角模型
中考数学 几何专题——半角模型
几何模型之半角模型一、旋转性质1.图形对应边相等（易得等腰，且等腰均相似）2.对应角相等3.对应点与旋转中心连线构成旋转角，旋转角处处相等二、半角模型半角模型（90°含45°）条件模型结论①等腰直角△ABC;②∠DAE=45°DE2=BD2+CE2①等腰直角△ABC;②∠DAE=45°DE2=BD2+CE2①正方形ABCD;②∠EAF=45°①EF=BE+DF；②△CEF的周长是正方形周长的一半；③点A到EF的距离等于正方形的边长.①正方形ABCD;②∠EAF=45°EF=DF-BE三、模型演练1.如图，在正方形ABCD中，AB=1，E，F分别是边BC，CD上的点，连接EF、AE、AF，过A作AH⊥EF 于点H．若EF=BF+DF．那么下列结论：①AE平分∠BEF；②FH=FD；③∠EAF=45°；④S△E A F=S△A B E+S△A D F；⑤△CEF的周长为2．其中正确结论的是．2.在Rt△ABC中，AB=AC，D､E是斜边BC上两点，且∠DAE=45°，将△ADC绕点A 顺时针旋转90°后，得到△AFB，连接EF，下列结论①△AEF≌△AED；②∠AED=45°；③BE+DC=DE；④BE2+DC2=DE2，其中正确的是（）A.②④B.①④C.②③D.①③3如图，等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点M，N在边BC上，且∠MAN=45°，若BM=1，CN=3，求MN的长．4.如图，在正方形OABC中，点B的坐标是（4，4），点E、F分别在边BC、BA上，OE=25．若∠EOF=45°，则F点的坐标是．5.已知：正方形ABCD中，∠MAN=45°，∠MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB、DC（或它们的延长线）于点M、N，AH⊥MN于点H．（1）如图①，当∠MAN绕点A旋转到BM=DN时，请你直接写出AH与AB的数量关系：（2）如图②，当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时，（1）中发现的AH与AB的数量关系还成立吗？如果不成立请写出理由，如果成立请证明；（3）如图③，已知∠MAN=45°，AH⊥MN于点H，且MH=2，NH=3，求AH的长．（可利用（2）得到的结论）6.如图1，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D、E是BC边上的任意两点，且∠DAE=45°．（1）将△ABD绕点A逆时针旋转90°，得到△ACF，请在图（1）中画出△ACF．（2）在（1）中，连接EF，探究线段BD，EC和DE之间有怎样的数量关系？写出猜想，并说明理由．（3）如图2，M、N分别是正方形ABCD的边BC、CD上一点，且BM+DN=MN，试求∠MAN的大小．。
半角模型十五个结论及证明
半角模型十五个结论及证明《探索半角模型的十五个结论及证明》嗨，大家好！今天我要和大家一起探索一个超有趣的数学知识——半角模型的十五个结论及证明。
这就像是一场奇妙的数学冒险，跟我来呀！一、什么是半角模型呢？半角模型呀，就像是一个神秘的数学宝藏，藏在各种几何图形里。
想象一下，我们有一个正方形或者等腰直角三角形，然后在这个图形里出现了一个角，这个角是另外一个大角的一半，这就形成了半角模型。
比如说，在正方形里，一个角是45度，它就是直角90度的一半呢。
这时候啊，就会有好多神奇的结论冒出来。
二、结论一：线段相等我给大家举个例子哈。
在正方形ABCD中，∠EAF = 45度（E、F分别在BC、CD 上）。
我们能发现BE + DF = EF。
这是为啥呢？我们可以把△ADF绕着点A顺时针旋转90度，这样AD就和AB重合了。
旋转后的点F变成了F'。
那这个时候呀，我们就会发现△AEF和△AEF'是全等的。
为啥呢？因为AF = AF'，∠EAF = ∠EAF' = 45度，AE是公共边啊。
就像两个一模一样的小积木，那EF就等于EF'了，而EF'就是BE + DF呀。
你们说神奇不神奇？这就好比是把分散的力量集中起来了，原本分开的BE和DF，通过旋转这个魔法，就变成了和EF相等的线段。
三、结论二：三角形面积关系还有一个有趣的结论呢。
三角形AEF的面积等于三角形ABE的面积加上三角形ADF的面积。
这又怎么理解呢？我们刚刚把△ADF旋转到了△ABF'的位置。
那三角形AEF的面积就等于三角形AEF'的面积啦。
而三角形AEF'的面积就是三角形ABE的面积加上三角形ABF'（也就是原来的三角形ADF）的面积。
这就好像是把两个小地块合并起来就等于一个大地块的面积一样。
四、结论三：角平分线如果我们延长CB到G，使得BG = DF，连接AG。
我们会发现AG是∠EAG的角平分线呢。
中考数学必会几何模型：半角模型
中考数学必会几何模型：半角模型半角模型是指存在两个角度是一半关系，并且这两个角共顶点的模型。
通过先旋转全等再轴对称全等，一般结论是证明线段和差关系。
常见的半角模型是90°含45°，120°含60°。
例如，已知正方形ABCD中，∠MAN=45°，它的两边分别交线段CB、DC于点M、N。
要求证：BM+DN=MN，以及作AH⊥XXX于点H，求证：AH=AB。
证明过程如下：1.延长ND到E，使DE=BM。
由四边形ABCD是正方形，得AD=AB。
在△ADE和△ABM中，有AD=AB，∠ADE=∠BAM，DE=BM，因此△ADE≌△ABM。
得AE=AM，∠XXX∠BAM。
由∠MAN=45°，得∠BAM+∠NAD=45°，因此∠MAN=∠EAN=45°。
在△AMN和△AEN中，有MA=EA，∠MAN=∠EAN，AN=AN，因此△AMN≌△AEN。
得MN=EN。
因此BM+DN=DE+DN=EN=MN。
2.由(1)得△AMN≌△XXX。
因此S△AMN=S△AEN，即AH×MN=AD×EN。
又因为MN=EN，得AH=AD。
因此AH=AB。
在等边△ABC的两边AB、AC上分别有两点M、N，D为△ABC外一点，且∠MDN=60°，∠BDC=120°，BD=DC。
要探究当M、N分别在线段AB、AC上移动时，BM、NC、MN之间的数量关系。
1) 当DM=DN时，BM、NC、MN之间的数量关系是BM+NC=MN。
2) 猜想：当DM≠DN时，仍有BM+NC=MN。
证明如下：延长AC至E，使CE=BM，连接DE。
因为BD=CD，且∠BDC=120°，所以△BDC是等边三角形。
因此BD=DC=CE=BM，得△BDE是等边三角形，∠BED=60°。
因此△DEN和△DME是等腰三角形，得DN=EN，DM=EM。
九年级中考几何模型之半角模型详解
中考几何模型之半角模型【模型由来】半角模型是指：共顶点的两个一大一小的角，其中小角是大角的一半。
如下图中：若小角∠EAD等于大角∠BAC的一半，我们习惯上称之为“半角模型”。
【模型思想】通过旋转变化后构造全等三角形，实线边的转化。
【基本模型】类型一、90°中夹45°(正方形中的半角模型)条件：在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD边上的点，∠EAF=45°，BD为对角线，交AE于M点，交AF于N点。
结论①：图1、2中，EF=BE+FD；证明：如图3中，将AF绕点A顺时针旋转90°，F点落在F’处，连接BF’，∴∠EAF’=90°-∠EAF=90°-45°=45°=∠EAF，且AE=AE，AF=AF’，∴△FAE≌△F’AE(SAS)，∴EF=EF’，又∠D=∠ABF’=90°，∠ABE=90°，∴∠ABE+∠ABF’=90°+90°=180°，∴F’、B、E三点共线，∴EF’=BE+BF’=BE+DF。
结论②：图2中MN²=BM²+DN²；证明：如图4中，将AN绕点A顺时针旋转90°，N点落在N’处，连接AN’、BN’、MN’，∴∠N’AM=90°-∠EAF=90°-45°=45°=∠MAN，且AM=AM，AN=AN’，∴△MAN’≌△MAN(SAS)，∴MN=MN’，又∠ADN=45°=∠ABN ’，∠ABD=45°，∴∠MBN ’=∠ABD+∠ABN ’=45°+45°=90°，∴在Rt △MBN ’中，MN ’²=BM ²+BN ’²，即MN ²=BM ²+BN ’²。
结论③：图1、2中EA 平分∠BEF ，FA 平分∠DFE 。
(完整word版)初中几何-半角模型
归纳一种几何模型：半角模型
特点：
过等腰△ABC(AB=AC)顶角顶点（设顶角为A），引两条射线且它们的夹角为A/2；这两条射线与过底角顶点的相关直线交于两点M、N，则BM,MN,NC之间必存在固定关系。
这种关系仅与两条相关直线及顶角A相关.
解决方法：
以点A为中心，把△ACN（顺时针或逆时针）旋转角A度，至△ABN'，连接MN'；
结论：
1:△AMN全等于△AMN'，MN=MN';
2:关注BM,MN',N'B(=NC)，
若共线，则存在x+y=z型的关系；
若不共线，则△BMN'中，∠MBN'必与∠A相关，于是由勾股定理（有时需要作垂线）或直接用余弦定理可得
三者关系.
应用环境：（限于初中）
1：顶角为特殊角的等腰三角形，如顶角为30°、45°60°、75°或它们的补角、90°；
2：正方形、菱形等也能产生等腰三角形；
3：过底角顶点的两条相关直线：底边、底角两条平分线、腰上的两高、底角的邻补角的两条角平分线，底角的邻余角另外两边等；正方形或棱形的另外两边；
4：此等腰三角形的相关弦.
以上条件可以形成数百种题目！而解决方法均可以运用此方法.。
初中几何模型：半角模型分析
初中几何模型—半角模型分析归纳一种几何模型：半角模型特点：过等腰△ABC(AB=AC)顶角顶点（设顶角为A），引两条射线且它们的夹角为A/2；这两条射线与过底角顶点的相关直线交于两点M、N，则BM,MN,NC之间必存在固定关系。
这种关系仅与两条相关直线及顶角A相关。
解决方法：以点A为中心，把△ACN（顺时针或逆时针）旋转角A度，至△ABN'，连接MN'；结论：1:△AMN全等于△AMN'，MN=MN'; 2:关注BM,MN',N'B(=NC)，若共线，则存在x+y=z型的关系；若不共线，则△BMN'中，∠MBN'必与∠A相关，于是由勾股定理（有时需要作垂线）或直接用余弦定理可得三者关系.应用环境：（限于初中）1：顶角为特殊角的等腰三角形，如顶角为30°、45°60°、75°或它们的补角、90°；2：正方形、菱形等也能产生等腰三角形；3：过底角顶点的两条相关直线：底边、底角两条平分线、腰上的两高、底角的邻补角的两条角平分线，底角的邻余角另外两边等；正方形或棱形的另外两边；4：此等腰三角形的相关弦。
以上条件可以形成数百种题目！而解决方法均可以运用此方法.例题分析：已知如图：①∠2=12∠AOB；②OA=OB.OAB EF123连接FB，将△FOB绕点O旋转至△FOA的位置，连接F′E，FE，可得△OEF≌△OEF′4321F'FE BAO模型分析∵△OBF≌△OAF′，∴∠3=∠4，OF=OF′.∴∠2=12∠AOB，∴∠1+∠3=∠2∴∠1+∠4=∠2。
几何模型之半角模型
半角模型
结论三：∠AEB=∠AEF=∠ANM,∠AFD=∠AEF=∠AMN
半角模型
如图，在正方形ABCD中，点E .F分别为BC .CD上一点，并且∠EAF=45°，AE .AF分别交对角线于M.N
（3）求证：∠AEB=∠AEF=∠ANM,∠AFD=∠AEF=∠AMN
结论四：
如图，在正方形ABCD中，点E .F分别为BC .CD上一点，并且∠EAF=45°，AE .AF分别交对角线于M.N
（4）
半角模型
结论五： 作GE⊥BC,证N是DG中点
半角模型
如图，在正方形ABCD中，点E .F分别为BC .CD上一点，并且∠EAF=45°，AE .AF分别交对角线于M.N
(5)作GE⊥BC,证N是DG中点，AN⊥NE,AN=NE
作FH ⊥DB ,证BM=MH,AM⊥MF,AM=MF
(Q)
(Q)
如图，在正方形ABCD中，点E .F分别为BC .CD上一点，并且∠EAF=45°，AE .AF分别交对角线于M.N
（6）
半角模型
结论七：
如图，在正方形ABCD中，点E .F分别为BC .CD上一点，并且∠EAF=45°，AE .AF分别交对角线于M.N
(7)
半角模型
小 结：
“半角模型”①共端点的等线段；②共顶点的倍半角；
结论五：作GE⊥BC,N是DG中点,AN⊥NE,AN=NE
半角模型
如图，在正方形ABCD中，点E .F分别为BC .CD上一点，并且∠EAF=45°，AE .AF分别交对角线于M.N
(5)作GE⊥BC,N是DG中点,AN⊥NE,AN=NE
作FH ⊥DB ,BM=MH,AM⊥MF,AM=MF
结论六：
半角模型结论及证明
半角模型结论及证明半角模型是指使用坐标原点为两点或多点，考虑以每对对角线边长占比进行分解。
一、半角模型原理半角模型的原理是根据给定的坐标多边形，把这些点拆分成若干个环状，每个环状里的顶点数量都是偶数的多边形，以使每一对对角线边长是一样的，其边长的占比等于2π/N，其中N是所拆分的顶点数量。
二、半角模型的应用（1）用于计算机图形学。
如有一个多边形，想把它拆分成若干边数相等的多边形，就可以利用半角模型，将多边形一分为二，将每一对对角线边长占比分解。
（2）用于求解由多条曲线特点或逆时针走向组成的图形。
例如，当用铅笔画出一个圆形，先画一把半径等于一半圆周长的角，然后把圆形拆分成四个同样大小的三角形，用半角模型，一次画出一整圆。
三、半角模型的证明假设多边形的直角坐标原点是（0，0），且给定的多边形有N个顶点，对角线的边长占比是2π/n，则可以证明，凡是要使用半角模型拆分多边形，必须保证多边形的边长占比与2π/n相等。
首先，设从给定多边形的第一个顶点开始，往后逆时针经过的第i个顶点的坐标是(x_i,y_i)，最终能够得到的多边形的边长：ab=∑_(i=1)^N▒r↑i其中，r↑i表示第i条边的长度，由勾股定理可以求出：r↑i=(x_i-x__(i-1))^2+(y_i-y__(i-1))^2因此，多边形的面积：A=ab/2最后，把这两个式子带入：A=(1/2)∑_(i=1)^N▒(x_i-x__(i-1))^2+(y_i-y__(i-1))^2以上就是半角模型的证明。
综上所述，半角模型具有明确的原理，并能够在计算机图形学中应用。
它可以把多边形拆分成若干边数相等的多边形，使得每一对对角线边长的占比等于2π/N，其中N是给定的顶点数量。
此外，半角模型的证明也得到了佐证。
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基本模型（1）——正方形内含半 角
如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD边上 的点，∠EAF=45°，求证：EF=BE+DF。
（1）证明： 由旋转可得GB=DF，AF=AG，∠BAG=∠DAF， ∵四边形ABห้องสมุดไป่ตู้D为正方形， ∴∠BAD=90°， ∵∠EAF=45°， ∴∠BAE+∠DAF=45°， ∴∠BAG+∠BAE=45°=∠EAF， 在△AGE和△AFE中 ∴△AGE≌△AFE（SAS）， ∴GE=EF， ∵GE=GB+BE=BE+DF， ∴EF=BE+DF；
（2）解：EF=DF﹣BE， 证明如下： 如图，把△ABE绕点A逆时针旋转90°到AD， 交CD于点G， 同（1）可证得△AEF≌△AGF， ∴EF=GF，且DG=BE， ∴EF=DF﹣DG=DF﹣BE．
基本模型（2）——等边三角形内含半 角
基本模型（3）——等腰直角三角形内 含半角
几何模型——半角模型
什么叫半角模型？
定义：我们习惯把过等腰三角形顶角的顶点引两条 射线，使两条射线的夹角为等腰三角形顶角的一半 这样的模型称为半角模型。
常见的图形为正方形，正三角形，等腰直角三角形 等，解题思路一般是将半角两边的三角形通过旋转 到一边合并形成新的三角形，从而进行等量代换， 然后证明与半角形成的三角形全等，再通过全等的 性质得出线段之间的数量关系，从而解决问题。