2018年全国高中数学联合竞赛浙江省预赛试题
2018年浙江省高中数学联赛试题
2018年浙江省高中数学联赛试题一．填空题1. 已知a 为正实数，且11()1xf x a a =-+是奇函数，则()f x 的值域为______________. 2. 设数列{}n a 满足11151(12)n n a a a n +==+= ，，，，则20181n n a ==∑______________.3. 已知3()4παβπ∈，，，412cos()sin()5413παβα+=-=，，则cos()4πβ+=______________. 4. 在八个数字24678111213，，，，，，，中任取两个组成分数，则这些数中有_______文化既约分数. 5. 已知虚数z 满足310z +=，则20182018111z z z ⎛⎫⎛⎫+= ⎪⎪--⎝⎭⎝⎭_____________.6. 设||10AB = ，若平面上点P 满足，对于任意t R ∈，有||3AP t AB -≥，则当PA PB ⋅ 取得最小值时，||PA PB +=____________.7. 在ABC ∆中，7AB AC +=，且其面积4ABC S ∆=，则sin A 的最小值为____________. 8. 设()|1||||2|f x x x x =++--，则(())10f f x +=有__________个不同的解.9. 设x y R ∈，满足120x -=，则x 的取值范围为____________.10. 四面体P ABC -，PA BC ==PB AC ==PC AB ==则该四面体P ABC - 外接球的半径为____________. 二．解答题11. 已知动直线l 与圆221O x y +=：相切，与椭圆2219x y +=相交于不同的两点A B ，.求原点到线段AB 的中垂线的最大距离.12. 设a R ∈，且对任意实数b 均有2[01]max ||1x x ax b ∈++≥，，求a 的取值范围.13. 设实数122018x x x ，，，满足212(122016)n n n x x x n ++≤= ，，，和201811n n x ==∏，证明：100910101x x ≤.14. 将2(2)n n ≥个不同整数分成两组1212n n a a a b b b ，，，；，，，. 证明：111||(||||)ij i j i j i ni j nj nab a a b b n ≤≤≤<≤≤≤---+-≥∑∑.15. 如图所示将同心环均匀分成(3)n n ≥格，在内环中固定数字1~n .问能否将数字1~n 填入外环格内，使得外环旋转任意格后有且仅有一个格中内外环的数字相同？。
2018年浙江省高中数学竞赛预赛真题含答案
解得 a 1 . （2）当 0 a 1 时，即 1 a 0 ，此时函数 f (x) 的最值在抛物线的顶点和右端点取得，而对
22 b 0 有 f (1) 1 a 1， f ( a ) a2 1 .
24 （3）当 1 a 1时，即 2 a 1，此时函数 f (x) 的最值在抛物线的顶点和左端点取得，而对
22 b 0 有 f (0) b 1 ， f ( a ) a2 1 .
24 （4）当 a 1 时，即 a 2 ，此时函数 f (x) 的最值在抛物线的左右端点取得，对任意 b 1有
2018
13.设实数
x1
，
x2
，…，
x2018
满足
x2 n1
xn xn2 (n
1,
2, ,
2016)
和
xn 1，证明： x x 1009 1010 1.
n1
14.将 2n(n 2) 个不同整数分成两组 a1 ， a2 ，…， an ； b1 ， b2 ，…， bn .证明
．
8.设 f (x) x 1 x x 2 ，则 f ( f (x)) 1 0 有
个不同的解．
9.设 x, y R 满足 x 6 y 4 x y 12 0 ，则 x 的取值范围为
．
10.四面体 P ABC ， PA BC 6 ， PB AC 8 ， PC AB 10 ，则该四面体外接球的半径
2 f (0) b 1 ，所以 f (1) 1 a b 1，解得 a 3 .
2018年全国高中数学联合竞赛试题及解答.(A卷)
2018年全国高中数学联合竞赛一试（A 卷）一、填空题：本大题共8个小题，每小题8分，共64分。
2018A1、设集合{}99,,3,2,1 =A ，集合{}A x x B ∈=|2，集合{}A x x C ∈=2|，则集合C B 的元素个数为◆答案：24★解析：由条件知，{}48,,6,4,2 =C B ，故C B 的元素个数为24。
2018A 2、设点P 到平面α的距离为3，点Q 在平面α上，使得直线PQ 与平面α所成角不小于030且不大于060，则这样的点Q 所构成的区域的面积为 ◆答案：π8★解析：设点P 在平面α上的射影为O ，由条件知⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈=∠3,33tan OQ OP OQP ，即[]3,1∈OQ ，所以区域的面积为πππ81322=⨯-⨯。
2018A 3、将6,5,4,3,2,1随机排成一行，记为f e d c b a ,,,,,，则def abc +是偶数的概率为 ◆答案：109★解析：先考虑def abc +为奇数时，abc ，def 一奇一偶，①若abc 为奇数，则c b a ,,为5,3,1的排列，进而f e d ,,为6,4,2的排列，这样共有3666=⨯种；②若abc 为偶数，由对称性得，也有3666=⨯种，从而def abc +为奇数的概率为101!672=，故所求为1091011=-2018A 4、在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 1:2222=+by a x （0>>b a ）的左右焦点分别是21,F F ，椭圆C 的弦ST 与UV 分别平行于x 轴和y 轴，且相交于点P ，已知线段PT PV PS PU ,,,的长分别为6,3,2,1，则21F PF ∆的面积为◆答案：15★解析：由对称性，不妨设点P ()00,y x 在第一象限，则220=-=PSPT x ，120=-=PUPV y即()1,2P 。
进而可得()2,2U ，()1,4S ，代入椭圆方程解得：202=a ，52=b ，从而151152212102121=⨯⨯=⨯=∆y F F S F PF 。
2018年浙江省高中数学竞赛预赛真题
2018年浙江省高中数学竞赛试卷一、填空题1.已知a 为正实数，且11()1xf x a a =-+是奇函数，则()f x 的值域为 ． 2.设数列{}n a 满足11a =，151(1,2,)n n a a n +=+=⋅⋅⋅，则20181nn a==∑ ．3.已知3,,4παβπ⎛⎫∈⎪⎝⎭，4cos()5αβ+=，12sin 413πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则cos 4πβ⎛⎫+= ⎪⎝⎭ ．4.在八个数字2，4，6，7，8，11，12，13中任取两个组成分数.这些分数中有 个既约分数．5.已知虚数z 满足310z +=，则20182018111z z z ⎛⎫⎛⎫+= ⎪⎪--⎝⎭⎝⎭．6.设10AB =，若平面上点P 满足，对于任意t R ∈，有3AP t A B -≥，则P AP B ⋅的最小值为 ，此时PA PB += ．7.在ABC ∆中，7AB AC +=，且三角形的面积为4，则sin A ∠的最小值为 ． 8.设()12f x x x x =++--，则(())10f f x +=有 个不同的解． 9.设,x y R ∈满足64120x y x y ---+=，则x 的取值范围为 ． 10.四面体P ABC -，6PA BC ==，8PB AC ==，10PC AB ==，则该四面体外接球的半径为 ．二、解答题11.已知动直线l 与圆O ：221x y +=相切，与椭圆2219x y +=相交于不同的两点A ，B .求原点到AB 的中垂线的最大距离.12.设a R ∈，且对任意实数b 均有2[0,1]max 1x x ax b ∈++≥，求a 的取值范围.13.设实数1x ，2x ，…，2018x 满足212(1,2,,2016)n n n xx x n ++≤=⋅⋅⋅和201811n n x ==∏，证明：100910101x x ≤.14.将2(2)n n ≥个不同整数分成两组1a ，2a ，…，n a ；1b ，2b ，…，n b .证明111()i j j i j i i n i j nj na b a a b b n ≤≤≤<≤≤≤---+-≥∑∑.15.如图所示将同心圆环均匀分成(3)n n ≥格.在内环中固定数字1n .问能否将数字1n 填入外环格内，使得外环旋转任意格后有且仅有一个格中内外环的数字相同？2018年浙江省高中数学竞赛试卷参考答案一、填空题1. 11(,)22-2. 2019580771616-3. 5665- 4. 36 5. 1- 6. 16-；6 7.728. 3 9. 1421314213x -≤≤+ 10. 3 二、解答题11.解：依题意可设l ：(0)y kx m k =+≠.因为直线l 与圆O 相切，所以，O 到直线l 的距离为1，即211m k=+.原点到AB 的中垂线的最大距离为43. 12.解1：设2()f x x ax b =++，对于1(0)1b f ≥⇒≥， 所以只要考虑1b <. （1）当02a-≤时，即0a ≥.此时函数()f x 的最值在抛物线的左右端点取得，对任意1b <有(1)1(0)f a b f b =++>=，所以(1)11f a b =++≥，解得1a ≥. （2）当1022a <-≤时，即10a -≤<，此时函数()f x 的最值在抛物线的顶点和右端点取得，而对0b =有(1)11f a =+<，2()124a a f --=<. （3）当1122a<-≤时，即21a -≤<-，此时函数()f x 的最值在抛物线的顶点和左端点取得，而对0b =有(0)1f b =<，2()124a a f --=<. （4）当12a-≥时，即2a ≤-，此时函数()f x 的最值在抛物线的左右端点取得，对任意1b <有(0)1f b =<，所以(1)11f a b =++≤-，解得3a ≤-.综上1a ≥或3a ≤-.解2：设2[0,1]max x m x ax b ∈=++，则有m b ≥，1211m a b m b a b a ≥++⇒≥+++≥+依题意，1112aa +≥⇒≥，或3a ≤-. 13.证明：由条件n x ，2n x +同号.反证法，假设100910101x x >.（1）若1009x ，1010x 同为正数，由n x ，2n x +同号可知1x ，2x ，…，2018x 同号. 由212121n n n n n n n x x x x x x x +++++≤⇒≤100910101011100810091010x x xx x x ⇒≤≤ 1009101010111008101110081x x x x x x ⇒≤⇒>，同理100910091008101110121012100710081007101010111010x x x x x x x x x x x x =⋅≤⋅=100710121x x ⇒>. 类似可证明：100610131x x >，100510041x x >，…，120181x x >. 因此201811nn x=>∏，矛盾.（2）若1009x ，1010x 同为负数，由n x ，2n x +同号可知1x ，2x ，…，2018x 均为负数，仍然有212121n n n n n n n x x x x x x x +++++≤⇒≤，类似（1）可证得. 14.证明：令111()n i j j i j i i n i j nj nT a b a a b b ≤≤≤<≤≤≤=---+-∑∑，下面用归纳法证明n T n ≥.当2n =时，不妨设12a a <，12b b <，22a b <.2212211T b a b a b a =-+-+-122121b a a a b b +-----，当1121112122a b T b a b b b a <⇒=-+++->； 当11222112a b T b a a b >⇒=-++>. 假设对正整数n 成立，对正整数1n +，不妨设121n a a a +<<⋅⋅⋅<，121n b b b +<<⋅⋅⋅<，11n n a b ++<.再设11k n k b a b ++<<，则有11111n n n n i n i i i T b a a b +++===-+-∑∑111111n nn i n i n n n i i a a b b b a T ++++==----+-+∑∑，下证1111nn n i n i i i ba ab ++==-+-∑∑11110n nn i n i i i a a b b ++==----≥∑∑.由（1）11(1,2,,)k n k b a b k n ++<<=⋅⋅⋅，得到1111nn n i n i i i ba ab ++==-+-∑∑1111n nn i n i i i a a b b ++==----∑∑112()0ni n i k b a +=+=->∑；（2）若11n a b +<，则1111nn n i n i i i ba ab ++==-+-∑∑1111n nn i n i i i a a b b ++==----∑∑11()0ni n i b a +==->∑.15.解：设对应于内环1，2，…，n 的外环数字为1i ，2i ，…，n i ，它是数字1，2，…，n 的一个排列.对1,2,,k n =⋅⋅⋅，记外环数字k i 在按顺时针方向转动k j 格时，和内环数字相同，即mod k k i k j n -=，1,2,,k n =⋅⋅⋅.根据题意，1j ，2j ，…，n j 应是0，1，2，…，1n -的排列.求和11()mod n nk k k k i k j n ==-=∑∑(012(1))mod n n =+++⋅⋅⋅+-1(1)mod 2n n n =-. 于是n 必须是奇数.对于奇数n ，我们取n i n =，m i n m =-，(1,2,,1)m n =⋅⋅⋅-，可以验证mod k k i k j n -=，0n j =，12n j -=，24n j -=，…，121n n jn --=-，12j n =-，14n j n -=-，36j n =-，…，121n j -=，符合题目要求！。
2018年全国高中数学联赛浙江赛区预赛试题+答案
|m|
l
O
O
l
1√
= 1.
5
1+ k2
y = kx + m
A(x1, y1), B(x2, y2)
x2 + 9y2 − 9 = 0
(1 + 9k2)x2 + 18kmx + (9m2 − 9) = 0
第3页
(
)
18km
9km m
x1 + x2 = − 1 + 9k2
AB
(
− 1 +)9k2 , 1 + 9k2 .
f (x) = −2
x = −1 f (x) = 0
1
x = −3, x =
3
3
9. x, y ∈ R
x
−
6√y
−
√ 4x
−
y
+
12
=
0
x
√
√
答案 14 − 2 13 ≤ x ≤ 14 + 2 13.
解析
x
−
6√y
−
√ 4x
−
y
+
12
=
0
⇒
√ (x
−
y
−
2)2
+
(√y
−
3)2
=
1
.
. . √ x − y − 2 = cos θ
1≤i≤n,1≤j≤n
1≤i<j≤n
证明
∑
∑
Tn =
|ai − bj| −
(|aj − ai| + |bj − bi|)
1≤i≤n,1≤j≤n
1≤i<j≤n
浙江省高中数学联赛试题及参考答案
1
2018
− 1
= ______________。
解 z3 + 1 = 0 ⇒ (z + 1)(z2 − z + 1) = 0 ⇒ z2 − z + 1 = 0 ，所以
z
z
2018
−1
+
z
1
2018
−1
= z( z2021)82+0181 = ( z(3z)637)213z425 z+ 1
取值范围。 解 1 设 f (x) = x2 + ax + b ，对于 b ≥ 1 ⇒ f (0) ≥ 1，
所以只要考虑 b < 1。……………………………………………………5 分
（1）当 − a ≤ 0 时，即 a ≥ 0, 此时函数 f (x) 的最值在抛物线的左右端点取得，对 2
任意 b < 1有 f (1) =1 + a + b > f (0) =b, 所以 f (1) =1 + a + b ≥ 1，
A(
x1 ,
y1 ),
B( x2
,
y2
)
，联立
x2
+
9
y2
−
9
， =0
得 (1 + 9k 2 )x2 + 18kmx + (9m2 − 9) = 0 ，得到 x1 + x2 =− 11+8k9mk 2 。
所以
AB
的中点坐标为
(−
1
9km + 9k
2
,
1
m + 9k
2
)
，…………………………10
2018年全国高中数学联赛浙江省预赛高三数学试题(解析版)
2018年全国高中数学联赛浙江省预赛高三数学试题一、填空题1 1= 一-；—1 .已知a 为正实数，且 “1是奇函数，则⑷的值域为.1111 1 1 ― --- ----------- =- - + f （x ）=--— 由小）为奇函数可知a - + 19「+ 1,解得a= 2,即 22、由此得f （x ）的值域为। 2 2'.2018「2%1.3 ) 鼻二1 3- 5a +1£ 南满足］一 ，n*i- a (n=1, 2,…)，则 n = 1520198077【答案】16 16 【解析】【详解】1 / 八■ +［二5皆十1小二1+『5阿+1=%由4" 4"56故答案为：.2.设数列所以 2018V Lu1<-2c201S=不5 +5 +... + S20185x c 2018 1t=—行 口-162018 S 2019£07 71616(3n \小 4风0 E —cos(a + p)=3.已知 '4",56I 4.J 13,则【解析】【详解】%£ E (彳再)孙3 +位二Mi 7Tcos\p + —I = cos (a + 所以 sin(a + B)——，得.J71 a—4亡叫cr 一: 6二 - 13, 5665【解析】【详解】加索-34.在八个数字2, 4, 6, 7, 8, 11, 12, 13中任取两个组成分数.这些分数中有个既约分数.【答案】36【解析】【详解】在7, 11, 13中任取一个整数与在2, 4, 6, 8, 12中任取一个整数构成既约分数，共有3 5 种；在7, 11, 13中任取两个整数也构成既约分数，共有A3,6中.合计有36种不同的既约分数./ 1 ^2018 + (1/01S _5,已知虚数z满足P+1=Q,则上』H .【答案】I【解析】【详解】1 2018 上r , 3^72 2.1 之上[/ 1 \2018 + ( 1 JOIS _ 工 ,1 _(Z)- _ . . I _ 1I? - 1 l z _ 1 _ t2,2018 - t3,1345 _ z-所以^ .6.设明=1。
2018年浙江省高中数学竞赛预赛真题Word版含答案
2018年浙江省高中数学竞赛试卷一、填空题1.已知a 为正实数，且11()1x f x a a =-+是奇函数，则()f x 的值域为 ． 2.设数列{}n a 满足11a =，151(1,2,)n n a a n +=+=⋅⋅⋅，则20181nn a==∑ ．3.已知3,,4παβπ⎛⎫∈⎪⎝⎭，4cos()5αβ+=，12sin 413πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则c o s 4πβ⎛⎫+= ⎪⎝⎭ ．4.在八个数字2，4，6，7，8，11，12，13中任取两个组成分数.这些分数中有 个既约分数．5.已知虚数z 满足310z +=，则20182018111z z z ⎛⎫⎛⎫+= ⎪⎪--⎝⎭⎝⎭．6.设10AB =，若平面上点P 满足，对于任意t R ∈，有3AP t AB -≥，则PA PB ⋅的最小值为 ，此时PA PB += ．7.在ABC ∆中，7AB AC +=，且三角形的面积为4，则sin A ∠的最小值为 ． 8.设()12f x x x x =++--，则(())10f f x +=有 个不同的解．9.设,x y R ∈满足120x -=，则x 的取值范围为 ．10.四面体P ABC -，PA BC =，PB AC ==PC AB ==接球的半径为 ． 二、解答题11.已知动直线l 与圆O ：221x y +=相切，与椭圆2219x y +=相交于不同的两点A ，B .求原点到AB 的中垂线的最大距离.12.设a R ∈，且对任意实数b 均有2[0,1]max 1x x ax b ∈++≥，求a 的取值范围.13.设实数1x ，2x ，…，2018x 满足212(1,2,,2016)n n n xx x n ++≤=⋅⋅⋅和201811n n x ==∏，证明：100910101x x ≤.14.将2(2)n n ≥个不同整数分成两组1a ，2a ，…，n a ；1b ，2b ，…，n b .证明111()i j j i j i i n i j nj na b a a b b n ≤≤≤<≤≤≤---+-≥∑∑.15.如图所示将同心圆环均匀分成(3)n n ≥格.在内环中固定数字1n .问能否将数字1n 填入外环格内，使得外环旋转任意格后有且仅有一个格中内外环的数字相同？2018年浙江省高中数学竞赛试卷参考答案一、填空题1. 11(,)22-2. 2019580771616- 3. 5665- 4. 36 5. 1-6. 16-；67.728. 39. 1414x -≤+二、解答题11.解：依题意可设l ：(0)y kx m k =+≠.因为直线l 与圆O 相切，所以，O 到直线l 的距离为11=.原点到AB 的中垂线的最大距离为43. 12.解1：设2()f x x ax b =++，对于1(0)1b f ≥⇒≥， 所以只要考虑1b <. （1）当02a-≤时，即0a ≥.此时函数()f x 的最值在抛物线的左右端点取得，对任意1b <有(1)1(0)f a b f b =++>=，所以(1)11f a b =++≥， 解得1a ≥. （2）当1022a <-≤时，即10a -≤<，此时函数()f x 的最值在抛物线的顶点和右端点取得，而对0b =有(1)11f a =+<，2()124a a f --=<.（3）当1122a<-≤时，即21a -≤<-，此时函数()f x 的最值在抛物线的顶点和左端点取得，而对0b =有(0)1f b =<，2()124a a f --=<.（4）当12a-≥时，即2a ≤-，此时函数()f x 的最值在抛物线的左右端点取得，对任意1b <有(0)1f b =<，所以(1)11f a b =++≤-，解得3a ≤-. 综上1a ≥或3a ≤-.解2：设2[0,1]max x m x ax b ∈=++，则有m b ≥，1211m a b m b a b a ≥++⇒≥+++≥+依题意，1112aa +≥⇒≥，或3a ≤-. 13.证明：由条件n x ，2n x +同号.反证法，假设100910101x x >.（1）若1009x ，1010x 同为正数，由n x ，2n x +同号可知1x ，2x ，…，2018x 同号. 由212121n n n n n n n x x x x x x x +++++≤⇒≤100910101011100810091010x x xx x x ⇒≤≤ 1009101010111008101110081x x x x x x ⇒≤⇒>，同理100910091008101110121012100710081007101010111010x x x x x x x x x x x x =⋅≤⋅=100710121x x ⇒>. 类似可证明：100610131x x >，100510041x x >，…，120181x x >. 因此201811nn x=>∏，矛盾.（2）若1009x ，1010x 同为负数，由n x ，2n x +同号可知1x ，2x ，…，2018x 均为负数，仍然有212121n n n n n n n x x x x x x x +++++≤⇒≤，类似（1）可证得. 14.证明：令111()n i j j i j i i n i j nj nT a b a a b b ≤≤≤<≤≤≤=---+-∑∑，下面用归纳法证明n T n ≥.当2n =时，不妨设12a a <，12b b <，22a b <.2212211T b a b a b a =-+-+-122121b a a a b b +-----，当1121112122a b T b a b b b a <⇒=-+++->； 当11222112a b T b a a b >⇒=-++>. 假设对正整数n 成立，对正整数1n +，不妨设121n a a a +<<⋅⋅⋅<，121n b b b +<<⋅⋅⋅<，11n n a b ++<.再设11k n k b a b ++<<，则有11111nnn n i n i i i T b a a b +++===-+-∑∑111111nnn i n i n n n i i a a b b b a T ++++==----+-+∑∑，下证1111nn n i n i i i ba ab ++==-+-∑∑11110n nn i n i i i a a b b ++==----≥∑∑.由（1）11(1,2,,)k n k b a b k n ++<<=⋅⋅⋅，得到1111nn n i n i i i ba ab ++==-+-∑∑1111n nn i n i i i a a b b ++==----∑∑112()0ni n i k b a +=+=->∑；（2）若11n a b +<，则1111nn n i n i i i ba ab ++==-+-∑∑1111n nn i n i i i a a b b ++==----∑∑11()0ni n i b a +==->∑.15.解：设对应于内环1，2，…，n 的外环数字为1i ，2i ，…，n i ，它是数字1，2，…，n 的一个排列.对1,2,,k n =⋅⋅⋅，记外环数字k i 在按顺时针方向转动k j 格时，和内环数字相同，即mod k k i k j n -=，1,2,,k n =⋅⋅⋅.根据题意，1j ，2j ，…，n j 应是0，1，2，…，1n -的排列.求和11()mod n nk k k k i k j n ==-=∑∑(012(1))mod n n =+++⋅⋅⋅+-1(1)mod 2n n n =-. 于是n 必须是奇数.对于奇数n ，我们取n i n =，m i n m =-，(1,2,,1)m n =⋅⋅⋅-，可以验证mod k k i k j n -=，0n j =，12n j -=，24n j -=，…，121n n jn --=-，12j n =-，14n j n -=-，36j n =-，…，121n j -=，符合题目要求！。
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−
1 ax +1
. .
ã ( 3π 4 π ) 12 , π , cos (α + β ) = , sin α − , = 4 5 4 13
4. 在八个数字 2, 4, 6, 7, 8, 11, 12, 13 中任取两个组成分数，这些分数中有 个既约分数. ä2018 Ä ä2018 Ä 1 z + = . 5. 已知虚数 z 满足 z 3 + 1 = 0, 则 z− 1 z −1 − − → − → − − → − → − − → 6. 设 AB = 10, 若平面上点 P 满足，对于任意 t ∈ R, 有 AP − tAB ≥ 3, 则 P A · P B 的最小值 − → − − → ，此时 P A + P B = . 为 7. 在 △ABC 中，AB + AC = 7, 且三角形的面积为 4，则 sin A 的最小值为 . 个不同的根. 8. 设 f (x) = |x + 1| + |x| − |x − 2| , 则 f (f (x)) + 1 = 0 有 √ √ 9. 设 x, y ∈ R 满足 x − 6 y − 4 x − y + 12 = 0, 则 x 的取值范围为 . √ √ √ 10. 四面体 P − ABC, P A = BC = 6, P B = AC = 8, P C = AB = 10, 则该四面题外接球的半 径为 .
求 a 的取值范围. 13.（本小题满分 20 分）设实数 x1 , x2 , · · · , x2018 满足 xn+1 2 ≤ xn xn+2 (n = 1, 2, · · · , 2016) 和 xn = 1, 证明：x1009 x1010 ≤ 1. 14.（本小题满分 30 分）将 2n (n ≥ 2) 个不同整数分成两组 a1 , a2 , · · · , an : b1 , b2 , · · · , bn , 证明： ∑ ∑ |ai − bj | − (|aj − bi | + |bj − bi |) ≥ n.
2018 年全国高中数学联合竞赛浙江省预赛试题
一、填空题（每题 8 分，共 80 分。 ）
1. 已知 a 为正实数，且 f (x) =
1 a
2. 设数列 {an } 满足 a1 = 1, an+1 3. 已知 α, β ∈ ( ) 则 cos β + π 4 = . Å
是奇函数，则 f (x) 的值域为 2018 ∑ = 5an + 1 (n = 1, 2, · · ·) , 则 an =
1≤i≤n 1≤j ≤n 1≤i<j ≤n
20图所示将同心圆环均匀分成 n (n ≥ 3) 格，在内环中固定数字 1 ∼ n, 问能 否将数字 1 ∼ n 填入外环格，使得外环旋转任意格后有且仅有一个格中内外环的数字相同.
图1
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二、解答题
11.（本小题满分 20 分）已知动直线 l 与圆 O : x2 + y 2 = 1 相切，与椭圆 两点 A、B ，求原点到 AB 的中垂线的最大距离. 12.（本小题满分 20 分）设 a ∈ R, 且对任意实数 b 均有
x∈[0,1] x2 9
+ y 2 = 1 相交于不同的
max x2 + ax + b ≥ 1,