线性变换的运算.
8.2线性变换的运算一、加法及其算律
8.2 线性变换的运算V 是数域F 上的向量空间，用()L V 表示数域F 上向量空间V 的一切线性变换所成的集合.我们将在()L V 中引进加法、数乘和乘法.如何研究线性变换：注10第一个手段是对某空间V 的全体线性变换的集合()L V 引进运算：加法、数乘和乘法。
这样()L V 构成F 上的向量空间。
我们可以利用这些运算来研究线性变换。
20第二个手段。
在空间给定一个基，在该基下引入线性变换的矩阵，从而把空间的几何对象“线性变换”与数量对象“矩阵”进行了对应。
在解析几何中，点与坐标的对应称为“形”“数”转换，现在的线性变换与矩阵的对应是更广义的“形”“数”转换。
这种转换有两方面的好处：一方面可把向量空间与线性变换的一些问题转换为数字计算的问题；另一方面可把一些数量关系的问题联系上空间的性质（如线性变换的性质）而得到解决。
一、加法及其算律定义8.2.1 设()L V στ∈，，对于V 的每一向量ξ，令()()+στξξ与之对应，这样得到V 的一个变换，叫做σ与τ的和，记作+στ，即+στ：()()+στξξξ或()()()()+=+στστξξξ.求σ与τ的和的运算叫做σ与τ的加法.注10先定义和，再定义加法，()()+στξξ是V 中的向量。
+στ应看做一个整体，代表V 的一个新变换。
例8.2.1 设向量空间3F 的两个线性变换，对任意的()3123=x x x F ∈，，ξ，规定： ()()1231212=+x x x x x x x σ，，，，，()()123123312=+0x x x x x x x x x τ---，，，，，则()()()12312323=2x x x x x x x x στ+-，，+，，.命题1 V 的线性变换σ，τ的和+στ也是V 的一个线性变换.即()L V στ∀∈，，()+L V στ∈。
事实上，对任意的a b F ∈，，V ∈，ξη，()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()+=.a b a b a b a b a b a b a b a b στστσσττστστστστστστ+=+=+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦=+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦=+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦+++++++++++ξηξηξηξηξηξξηηξξηηξη所以+στ是V 的一个线性变换.容易证明，线性变换的加法满足交换律和结合律.对任意的()L V ρστ∈，，，（1）+=+σττσ；（2）()()++=++ρστρστ；（3）令θ表示V 的零变换，对任意的()L V σ∈，有+=θσσ；（4）设()L V σ∈，σ的负变换σ-是指V 到自身的映射()σσ--：ξξ.σ-也是V 的线性变换，并且()+σσθ-=.命题2 σ-也是V 的线性变换。
线性变换的运算解读
一. 线性变换的加法 二. 线性变换的乘法 三. 线性变换数量乘法 四. 可逆的线性变换 五. 线性变换的多项式
L(V) = {A │ A : V→V的线性变换}
A : V→V是线
性空间V上的 一种运动，变 化。本节将研 究这样的运动、 变化之间的运 算，联系及进 一步的特征性 质。
证明： 首先要证明A +B ∈L(V)，即证明A +B 是V上
的变换；且对向量加法和数乘保持不变.
, V, (A ＋B )( ) = A ( )＋B ( ) = A ( )＋
B ( ) = (A ＋B )( ) → A ＋B 是 V 上的变换.
证明：首先证明A, B ∈L(V), 即A, B 是上的变换，且保持
向量加法，数乘运算不变. 据映射合成即知确为V上的变换.对任意的α,β ∈V, k ∈P, A, B (α+β ) = A, (B (α+β )) = A, (B (α) +B (β )) = A, (B (α)) +A, (B (β )) = A, B (α) +A, B (β )； A, B (kα) = A, (B (kα)) = A, (kB (α)) = kA, (B (α)) = k A, B (α) . 故 A, B 是V上的线性变换，即A, B ∈L(V). 5. 因一般映射的合成满足结合律，故5.成立.
4) 据三角形法则, R x ( ) 2 ( ) E( ) → (R x 2 )( ) E( )
( R 3 )→ R x E － 2 . 因 E ， L(R 3 ) ， 故 R x E － 2 L(R3 ) .
一线性变换(4-5)
的线性变换，
有
下的表示矩阵。
解法一：直接法（同例1）
解法二：利用同一线性变换在不同基下的表示矩阵是相 似矩阵这一结论。
选取一组简单基： 基 到基的过渡矩阵为
基
在T下的象为：
T在基
下的表示矩阵为：
则T在基
下的表示矩阵为：
三、线性变换的特征值与特征向量 定义 设T是n维线性空间V的一个线性变换,对于 数 ，如果存在非零向量 ，使得， 则称 是T的特征值， 的特征向量，简称特征向量。 是T的属于
例1、试确定在多项式空间Pn [x]上的求导运算T 分别在下列两组基下的表示矩阵
说明：同一线性变换在不同基下的表示矩阵一般 是不同的，它们之间的关系是相似矩阵。
相似矩阵
定理：T在基
从基
证明 下的矩阵为A， 在基
下的矩阵为B，
到基
的过渡矩阵为P，则
再由
线性无关可得： 从而有
设
如果存在可逆矩阵P，使得
定理 n阶矩阵A的任一特征值的几何重复度不大于 代数重复度。
定理
n阶矩阵A的任一特征值的几何重复度不大于代数重复度。
证明 设A是线性空间C n的线性变换T在某组基下的表示 矩阵， m i ， n i是特征值 的代数重复度与几何重复 度，对于特征子空间W,存在补空间V,使得 取W与V的一组基，不妨记做 则T在此基下的表示矩阵为
（3） 存在零变换o,
（4） 存在负变换-T,
（5） 第一分配律
（6） 第二分配律
（7） 结合律
（8） 令
表示n维线性空间V的所有线性变换的集合，则
在线性变换的加法与数乘运算下构成数域F上的 一个 维线性空间。
设 性变换的积，
三、线性变换的乘积
© 2009, Henan Polytechnic University §2 全排列及其逆序数 线性变换的运算
1212
第一章 线性变换 第七章 行列式
注：
① 易证
m n
,
m n
m
n
mn ,
m, n 0
② 当 为可逆变换时，定义 的负整数幂为
注：① 在 P[ x] 中，若
h x f x g x , p x f x g x
则有， h f g ,
p f g
② 对 f ( x ), g( x ) P[ x ], 有
1 1
1 k 1 k 1 1 k 1 1 来自 k 1
( 1 )(k( 1 ( ))) k 1
1．定义 设 为线性空间V的线性变换，k P , 定义 k 与 的数量乘积 k 为：
k k ,
则 k 也是V的线性变换.
V
© 2009, Henan Polytechnic University §2 全排列及其逆序数 线性变换的运算
4 4
注：交换律一般不成立，即一般地，
© 2009, Henan Polytechnic University §2 全排列及其逆序数 线性变换的运算
7 7
第一章 线性变换 第七章 行列式
例1 线性空间R[ x] 中，线性变换
D f x f x
线性变换的运算
主要内容
线性变换的加法 线性变换的数量乘法 线性变换的乘积 线性变换的逆变换 线性变换的多项式 举例
二、线性变换的加法
1. 定义 定义3 设 A , B 是线性空间 V 的两个线性变
换，定义它们的和 A+ B 为 (A + B ) ( ) = A ( ) + B ( ) ( V ) .
可以用公式
x ( ) = - ( )
来表示 (如图 7-7 ).
因此
( )
x( )
x R x ( )
图 7-7
x = E - ,
对于平面 x 的反射
R x也是一个线性变换，且 R x ( ) = - 2 ( )
所以
R x = E - 2 .
2. 运算规律
1) 2) ( kl ) A = k ( l A ) , (k+l)A=kA+lA,
3)
4)
k (A + B ) = k A + k B ,
1A =A.
三、线性变换的乘积
1. 定义
线性空间的线性变换作为映射的特殊情形当然 可以定义乘法.
定义2 设 A , B 是线性空间 V 的两个线性变
线性变换的多项式有以下性质： 1) f (A ) 是一线性变换. 2) 如果在 P[ x ] 中，有 h(x) = f (x) + g(x) , p(x) = f (x) g(x) , 那么 h(A ) = f (A ) + g(A ) , p(A ) = f (A ) g(A ) . 特别地， f ( A ) g(A ) = g( A ) f (A ) .
§2 线性变换的运算
4. 线性变换的多项式 （1）线性变换的幂 因为线性变换的乘法满足结合律，所以当 n 个 (n是正整数)线性变换A 相乘时，可以用 AA L A
n 来表示，称为A 的n次幂，简单地记作 A . 此外，作为定义，令 A 0 = E.
n个 个
上页
下页
返回
结束
指数法则： 指数法则：
AB = BA = E. −1 这时，变换B 称为A 的逆变换，记为 A . A −1也就作为映射A 的逆映射，如果它存在，当 然就是唯一的.
上页 下页 返回 结束
A −1 下证如果线性变换A是可逆的，则它的逆变换 也是线性变换.
事实上， A −1 (α + β ) = A −1[( AA −1 )(α ) + ( AA −1 )( β )]
§2 线性变换的运算
1.乘积 1.乘积 线性空间的线性变换作为映射的特殊情形当然可 以定义乘法. 设A, B 是线性空间V 的两个线性变换，定义它们 的乘积 为 乘积AB 乘积 AB (α ) = A (B (α )) (α ∈ V ). 容易证明，线性变换的乘积也是线性变换.
上页
下页
返回
结束
事实上，
上页
下页
返回
结束
线性变换的多项式的简单性质 如果在多项式P[x]中， h( x) = f ( x) + g ( x), p ( x) = f ( x) g ( x), 则
h( A ) = f ( A ) + g ( A ), p ( A ) = f ( A ) g ( A ).
特别地，
f ( A ) g ( A ) = g ( A ) f ( A ).
A m+ n = A m + A n ,( A m ) = A mn .
机械原理课件-线性变换及其矩阵表示
(c) 线性变换的运算 设T1,T2是线性空间V的两个线性变换，定义它们 T1 T2 x T1 x T2 x , x V . 的和为： T1+T2仍然是线性空间V上的线性变换。 设T是线性空间V的线性变换，定义它的负变换 为： (-T)(x)=-T(x)。这也是一个线性变换。 设T是线性空间V的线性变换，k∈K，定义数乘 变换为：(kT)(x)=kT(x)。这也是一个线性变换。 注：线性空间V上的全体线性变换所构成的集合 对于线性变换的加法与数量乘法构成数域K上的 一个线性空间。
这是一个线性变换。来自 ( )例3 考虑V=Pn[x]中的微分变换：
D : V V , D( f ( x )) f ( x ), f ( x ) V ,
这是一个线性变换。
例4 考虑[a,b]上的所有连续函数构成的线性空间 C[a,b]上的积分变换：
J : C a , b C a , b , J f x f x dx ,
√
×
2 T f ( x ) f ( x ). 2．在 Pn[ x ] 中，
×
√ × .√
T , V 非零固定. 3．在线性空间V中，
4． 在 C
n n
nn 固定. T X AX , A C 中，
T ( x) x . 5．复数域C看成是自身上的线性空间，
(b) 线性变换 从集合S 到集合S的映射也称为变换。 设V为数域K上线性空间，若变换 T : V V 满足： T x y T x T y, T kx kT x , x , y V , k K , 则称T是线性空间V上的线性变换。 单位变换(恒等变换)：Te : Te x x , x V , 零变换： T0 : T0 x 0, x V , 数乘变换：K : K x kx , x V . 上述定义中的条件可以等价的写成： T kx ly kT x lT y .
第七章 线性变换
第七章 线性变换一. 内容概述1. 线性变换的概念设n V 是n 维线性空间，T 是n 维线性空间n V 中的变换，且满足1） 对任意向量n V ∈βα,,有 )()()(βαβαT T T +=+ 2） 对任意向量F k V n ∈∈,α,有)()(ααkT k T =则称为中的线性变换。
2. 线性变换的性质及运算1)0)0(=T )()(ααT T -=-2) )()()()(22112211n n n n T k T k T k k k k T αααααα+++=+++ΛΛ3）设向量组n ααα,,,21Λ线性相关，则向量组)(),(),(21n T T T αααΛ也线性相关。
线性变换的和：)()())((2121αααT T T T +=+ 线性变换的积：))(())((2121ααT T T T = 数乘变换：)())((αλαλT T = 线性变换T 可逆时，逆变换1-T都是线性变换。
线性变换的多项式：0111)(a a a a f m m m m ++++=--σσσσΛ 3. 线性变换的矩阵设σ是V 的一个线性变换，n εεε,,,21Λ是V 的一个基，且n n a a a εεεεσ12211111)(+++=Λn n a a a εεεεα22221122)(+++=ΛΛΛΛΛn nn n n n a a a εεεεσΛ++=2211)(记))(),(),((),,,(2121n n εσεσεσεεεσΛΛ=A n n n ),,,())(,),(),((),,,(212121εεεεσεσεσεεεσΛΛΛ== 则称A 为线性变换σ在基n εεε,,,21Λ下的矩阵。
4. 设n εεε,,,21Λ是数域P 上n 维线性空间V 的一组基，在这组基下，每个线性变换按公式)(*对应一个n n ⨯矩阵，这个对应具有以下性质：1） 线性变换的和对应与矩阵的和； 2） 线性变换的积对应与矩阵的积；3） 线性变换的数量乘积对应与矩阵的数量乘积；4） 可逆的线性变换与可逆矩阵对应，且逆变换对于与逆矩阵。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
3、一些重要不变子空间
1）线性变换 的值域 (V )与核 1 0都是 的
不变子空间.
证： (V ) ( ) V V ,
V , 有 ( ) (V ).
故 (V ) 为 的不变子空间.
又任取 1 0 , 有 ( ) 0 1(0).
1(0)也为 的不变子空间.
§7.7 不变子空间
3）任何子空间都是数乘变换 的不变子空间.
4） 线性 变W换,的特 征k子空W间 V0 是 的不变子空间.
5）由
的V特o征, 向有量 生 成 的o子 空V间o是.
的不变子空间.
证：设 1,2, ,s 是 的分别属于特征值
1,2 , ,s 的特征向量. 任取 L(1,2 , ,s ),
a1k a1,k1 a2k a2,k1
akk ak ,k1 0 ak1,k1
0 an,k1
(1, 2 ,
,
n
)
A1 0
A2 A3
.
§7.7 不变子空间
a1n
a2n
akn akn
ann
2、设 是n 维线性空间V的线性变换，Wi 都是
的不变子空间，而 i1, i2 , , ini是Wi 的一组基，且 Wi 在这组基下的矩阵为 Ai , Ai P nini , i 1, 2, , s.
A1 0
A2 A3
.
§7.7 不变子空间
反之，若 1,2,
,n 1,2,
,
n
A1 0
A2 A3
,
A1 Pkk . 则由1, 2 , , k 生成的子空间必为 的
不变子空间.
事实上，因为W是V的不变子空间.
(1), ( 2 ), , ( k ) W . 即， (1 ), ( 2 ), , ( k ) 均可被 1, 2 , , k
不变子空间W上的限制 . 记作 W .
§7.7 不变子空间
注：
① 当 W时， W ( ) ( ). 当 W时， W ( ) 无意义.
② W W W .
③ 任一线性变换 在它核上引起的线性变换是零
变换，即 10 0 ; 在特征子空间 V0上引起的线性变换是数乘变换，
即有 V0 o E.
§7.7 不变子空间
2）若 , 则 (V ) 与 1(0) 都是 －子空间.
证： (V ) ( ) V.
对 (V ), 存在 V , 使 ( ),
于是有，
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (V )
(V ) 为 的不变子空间.
其次，由 1 0 V , 0 ,
线性表出.
§7.7 不变子空间
(1 ) a111 a21 2 ak1 k
设
( 2
Hale Waihona Puke )a12 1a22 2
ak 2 k
( k ) a1k1 a2k 2 akk k
从而， (1, 2 , , n )
(1, 2 ,
a11 a12
a11
a11
,
n
)
ak1 0
ak 2 0
0 0
事实上，若 W L k k P, 0.
则 为 L 的一组基. 因为W为 －子空间， ( )W , 即必存在 P, 使 .
是 的特征向量.
§7.7 不变子空间
二、 在不变子空间W引起的线性变换
定义：
设 是线性空间V的线性变换，W是V的一个 的 不变子空间. 把 看作W上的一个线性变换，称作 在不变子空间W上引起的线性变换，或称作 在
§7.7 不变子空间
一、不变子空间
1、定义
设 是数域P上线性空间V的线性变换，W是V的
的子空间，若 W ,有 ( )W 即 (W ) W
则称W是 的不变子空间，简称为 －子空间.
注：
V的平凡子空间（V及零子空间）对于V的任意一
个变换 来说，都是 －子空间.
§7.7 不变子空间
2、不变子空间的简单性质
1）两个 －子空间的交与和仍是 －子空间. 2）设 W L(1,2 , s ), 则W是 －子空间
(1), (2 ), , (s ) W .
证：" " 显然成立.
" " 任取 W , 设 k11 k22 kss ,
则 ( ) k1 (1) k2 (2 ) ks (s ). 由于 (1), (2 ), , (s ) W , ( ) W . 故W为 的不变子空间.
若 V W1 W2 Ws，则
11, ,1n1 , 21, , 2n2 , , s1, , sns
为V的一组基，且在这组基下 的矩阵为准对角阵
A1 A2
§7.7 不变子空间
.
As
（1）
反之，若 在基 11, ,1n1 , 21, , 2n2 , , s1, , sns 下的矩阵为准对角矩阵(1), 则由 i1, i2 , , ini 生成 的子空间 Wi 为 的不变子空间，且V具有直和分解：
设 k11 k22 kss , 则
( ) k111 k222 ksss L(1,2 , ,s )
L(1,2 , ,s ) 为 的不变子空间.
§7.7 不变子空间
注：
特别地，由 的一个特征向量生成的子空间是一 个一维 －子空间. 反过来，一个一维 －子空间 必可看成是 的一个特征向量生成的子空间.
§7.7 不变子空间
三、不变子空间与线性变换的矩阵化简
1、设 是 n 维线性空间V的线性变换，W是V 的
－子空间，1, 2 , , k为W的一组基，把它扩允为 V的一组基： 1, 2 , , k , k1, n .
若 W
在基 1, 2 ,
, k下的矩阵为 A1 Pkk，则
在基 1, 2 , , n下的矩阵具有下列形状:
第七章 线性变换
§1 线性变换的定义 §6线性变换的值域与核
§2 线性变换的运算 §7不变子空间
§3 线性变换的矩阵 §8 若当标准形简介
§4 特征值与特征向量 §9 最小多项式
§5 对角矩阵
小结与习题
§7.7 线性变换的定义
一、不变子空间的概念 二、线性变换在不变子空间上的限制 三、不变子空间与线性变换的矩阵化简 四、线性空间的直和分解
对 1 0, 有 0.
§7.7 不变子空间
于是 ( ) ( ) ( ) ( ) (0) 0. ( ) 1 0. 故 1 0 为 的不变子空间.
注：
f ( ) f ( ) 的多项式 f ( ) 的值域与核都是 的不变子空间.
这里 f ( x)为 P[x]中任一多项式.