直线与椭圆的综合问题考点与题型归纳
直线和椭圆位置关系总结大全
1.直线和椭圆位置关系判定方法概述1直线斜率存在时221y kx bmx ny =+⎧⎨+=⎩⇒222()210m k n x kbnx b +++-=当0∆>时直线和椭圆相交当0∆=时直线和椭圆相切当0∆<时直线和椭圆相离2直线斜率不存在时22221x x y ab =⎧⎪⎨+=⎪⎩判断y 有几个解注：01无论直线斜率存在与否，关键是看联立后的方程组有几组解，而不是看""∆。
02直线和椭圆位置关系的判断只有这种“坐标法”，无几何法。
2.直线和椭圆相交时1弦长问题弦长公式22121221111AB k x x k y y a k∆=+-=+=+-注：2121212()4x x x x x x -=+-而12x x +和12x x 可用韦达定理解决，不必求出1x 和2x 的精确值，“设而不求”思想初现。
2三角形面积1过x 轴上一定点H 的直线l 与椭圆22221x y a b +=交于A 、B 两点，求AOB S ∆1212AOB S OH y y ∆=- 02过y 轴上一定点H 的直线l 与椭圆22221x y b a+=交于A 、B 两点，求AOB S ∆1212AOB S OH x x ∆=- 03弦任意，点任意12S ∆=弦长×点线距注：仍然蕴含“设而不求”思想。
3弦的中点问题01中点弦所在直线方程问题02平行弦中点轨迹03共点弦中点轨迹04其他问题类型题一：直线与椭圆位置1.已知直线2+=kx y 和椭圆12322=+y x ，当k 取何值时，此直线与椭圆：（1）相交；（2）相切；（3）相离。
2.已知直线2+=kx y 与椭圆2222=+y x 相交于不同的两点，求k 的取值范围。
3.点P 在椭圆284722=+y x 上，则点P 到直线01623=--y x 的距离的最大值为_____，最小值为________．类型题二：弦长公式1.已知椭圆：1922=+y x ，过左焦点1F 作倾斜角为6 的直线交椭圆于B A ,两点，求弦AB 的长。
直线和椭圆常考题型
直线和椭圆(圆锥曲线)常考题型(总9页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--直线和圆锥曲线常考题型运用的知识：1、两条直线111222:,:l y k x b l y k x b =+=+垂直：则121k k =-；两条直线垂直，则直线所在的向量120v v =2、韦达定理：若一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个不同的根12,x x ，则1212,b cx x x x a a+=-=。
3、中点坐标公式：1212,y 22x x y y x ++==，其中,x y 是点1122(,)(,)A x y B x y ，的中点坐标。
4、弦长公式：若点1122(,)(,)A x y B x y ，在直线(0)y kx b k =+≠上，则1122y kx b y kx b =+=+，，这是同点纵横坐标变换，是两大坐标变换技巧之一，AB =或者AB =例题1、已知直线:1l y kx =+与椭圆22:14x y C m+=始终有交点，求m 的取值范围例题2、过点T(-1,0)作直线l 与曲线N ：2y x =交于A 、B 两点，在x 轴上是否存在一点E(0x ,0)，使得ABE ∆是等边三角形，若存在，求出0x ；若不存在，请说明理由。
解：依题意知，直线的斜率存在，且不等于0。
设直线:(1)l y k x =+，0k ≠，11(,)A x y ，22(,)B x y 。
由2(1)y k x y x =+⎧⎨=⎩消y 整理，得2222(21)0k x k x k +-+= ① 由直线和抛物线交于两点，得2242(21)4410k k k ∆=--=-+> 即2104k <<② 由韦达定理，得：212221,k x x k-+=-121x x =。
则线段AB 的中点为22211(,)22k k k--。
线段的垂直平分线方程为：221112()22k y x k k k --=-- 令y=0,得021122x k =-，则211(,0)22E k - ABE ∆为正三角形，∴211(,0)22E k -到直线AB 的距离d 为32AB 。
直线与椭圆的综合应用
椭圆（2）－－直线与椭圆的综合应用考点一 如何处理直线与椭圆的位置关系例1 椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b >0)的两个焦点F 1、F 2，点P 在椭圆C 上，且PF 1⊥F 1F 2，|PF 1|＝43，|PF 2|＝143.(1)求椭圆C 的方程； （2）过点()0,4Q 的直线与椭圆无公共点，求该直线的斜率k 的取值范围； (3)若直线l 过圆x 2＋y 2＋4x －2y ＝0的圆心M 交椭圆于A 、B 两点， 且A 、B 关于点M 对称，求直线l 的方程．【解析】 (1)因为点P 在椭圆C 上， 所以2a ＝|PF 1|＋|PF 2|＝6，a ＝3.在Rt △PF 1F 2中，|F 1F 2|＝|PF 2|2－|PF 1|2＝25，故椭圆的半焦距c ＝5，从而b 2＝a 2－c 2＝4，所以椭圆C 的方程为x 29＋y 24＝1.（2）过点()0,4Q 的直线方程为4y kx =+，代入椭圆22194x y +=，整理得，()2294721080k x kx +++=。
由于该直线与椭圆无公共点，所以，()()22724108940k k ∆=-⨯⨯+<，解之得，k <<所以，直线的斜率k 的取值范围是k << (3)解法一：设A ，B 的坐标分别为(x 1，y 1)、(x 2，y 2)．已知圆的方程为(x ＋2)2＋(y －1)2＝5，所以圆心M 的坐标为(－2,1)，从而可设直线l 的方程为y ＝k (x ＋2)＋1， 代入椭圆C 的方程得(4＋9k 2)x 2＋(36k 2＋18k )x ＋36k 2＋36k －27＝0.因为A ，B 关于点M 对称，所以x 1＋x 22＝－18k 2＋9k4＋9k 2＝－2，解得k ＝89，此时，0∆>。
所以直线l 的方程为y ＝89(x ＋2)＋1，即8x －9y ＋25＝0。
解法二：已知圆的方程为(x ＋2)2＋(y －1)2＝5. 所以圆心M 的坐标为(－2,1)设A ，B 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，由题意x 1≠x 2 且x 219＋y 214＝1① x 229＋y 224＝1② ①－②得()()()()12121212094x x x x y y y y -+-++=.③因为A 、B 关于点M 对称，所以x 1＋x 2＝－4，y 1＋y 2＝2, 代入③得y 1－y 2x 1－x 2＝89，即k ＝89。
高考数学 专题07 直线与椭圆的解题方法(解析版)
专题07 直线与椭圆的解题方法一．【学习目标】1．掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质．2．熟练掌握常见的几种数学思想方法——函数与方程、数形结合、转化与化归． 3．了解椭圆的实际背景及椭圆的简单应用． 二．【知识要点】 1．椭圆的定义平面内与两个定点F 1，F 2的距离的和等于常数(大于____________)的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点F 1，F 2叫做焦点，两焦点间的距离叫做焦距． 2．椭圆的标准方程(1) ______________ (a >b >0)，焦点F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)，其中c ＝_____________． (2)y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)，焦点___________________，其中c ＝_____________． 3．椭圆的几何性质以x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)为例(1)范围：________________．(2)对称性：对称轴：x 轴，y 轴；对称中心：O (0，0)．(3)顶点：长轴端点：A 1(－a ，0)，A 2(a ，0)，短轴端点：B 1(0，－b )，B 2(0，b )；长轴长|A 1A 2|＝2a ，短轴长|B 1B 2|＝2b ，焦距|F 1F 2|＝2c .(4)离心率e ＝_______，0<e <1，e 越大，椭圆越______，e 越_______，椭圆越圆． (5)a ，b ，c 的关系：c 2＝a 2－b 2或a 2＝c 2＋b 2. 三．【方法总结】（一）直线与椭圆关系求离心率 （二）对称问题 （三）椭圆与圆（四）直线与椭圆的中点弦问题 （五）定点问题 （六）定值问题 （七）范围问题 （八）探索性问题 四．【题型归纳】（一）直线与椭圆关系求离心率例1.在平面直角坐标系xOy 中，已知点, A F 分别为椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右顶点和右焦点，过坐标原点O 的直线交椭圆C 于,P Q 两点，线段AP 的中点为M ，若, , Q F M 三点共线，则椭圆C 的离心率为( ) A ．13 B ．23 C ．83D ．32或83【答案】A【解析】如图 设()()0000,,,P x y Q x y --,又(,0),(,0)A a F c ，00,22x a y M +⎛⎫∴ ⎪⎝⎭,,,Q F M Q 三点共线,MF QF k k = 0000022y y x a c x c-∴=++-,即00002y y c x x a c =++-,002c x x a c ∴+=+-,3a c ∴=,13c e a ∴==,故选A.练习1.已知1F ,2F 为椭圆22221(0)x yC a b a b+=>>：的左右焦点，过原点O 且倾斜角为30°的直线l 与椭圆C 的一个交点为A ，若12AF AF ⊥,122F AF S ∆=，则椭圆C 的方程为A.22162x y += B.22184x y += C.22182x y += D.2212016x y += 【答案】A【解析】由题意，过原点O 且倾斜角为30o 的直线l 与椭圆C 的一个交点为A ， 且12AF AF ⊥，且122F AF S ∆=，则可知OA c =， 设(,)A x y ，则31cos30,sin 302x c y c c ====o o ，即31,)2A c , 代入椭圆的方程可得2222144c c a b+=又由122F AF S ∆=，则211122222S c c c =⨯⨯== ，解答24c =，且222c a b =-， 解得226,2a b ==，所以椭圆的方程为22162x y +=，故选A.方法2，利用焦点三角形面积公式2tan ||||21221θb y F F S A ==（21AF F ∠=θ） 求出坐标31,)2A c ，带入第一个面积公式求c ，利用第二个面积公式2πθ=求b练习2.已知F 1，F 2为椭圆C ：()222210x y a b a b+=＞＞的两个焦点，过点F 1作x 轴的垂线，交椭圆C 于P ，Q 两点．当△F 2PQ 为等腰直角三角形时，椭圆C 的离心率为e 1，当△F 2PQ 为等边三角形时， 椭圆C 的离心率为e 2，则e 1，e 2的大小关系为e 1______e 2 （用“＞”，“＜”或“=”连接） 【答案】＜ 【解析】把x c =-代入椭圆方程可得：22221c y a b+=，解得：2by a =± ①当2F PQ ∆为等腰直角三角形时，可得：22b c a=，即222a c ac -=化为：211210e e +-=，101e <<解得：1212e -+== ②当2F PQ ∆为等边三角形时，22b c a=)222a c ac -=22220e +=，201e <<解得：2e =则1e ，2e 的大小关系为：12e e <本题正确结果：<（二）对称问题例2. 在平面直角坐标系xOy 中，点P 为椭圆:C 22221y x a b+=()0a b >>的下顶点，M ，N 在椭圆上，若四边形OPMN 为平行四边形，α为直线ON 的倾斜角，若,64ππα⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，则椭圆C 的离心率的取值范围为（ ） A．0,3⎛ ⎝⎦B．0,2⎛ ⎝⎦C．,32⎣⎦D．,33⎣⎦ 【答案】A【解析】OP Q 在y 轴上，且平行四边形中，MN OP P ，∴M 、N 两点的横坐标相等，纵坐标互为相反数，即M 、N 两点关于x 轴对称，而MN OP a ==，可设,2a M x ⎛⎫-⎪⎝⎭，,2a N x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，代入椭圆方程得：||x =，得,2a N ⎫⎪⎪⎝⎭， α为直线ON的倾斜角，tan aa ==，,,tan 164a ππα⎛⎤∈<≤ ⎥⎝⎦，1<≤，1a b ∴<≤1b a ≤<22113b a ∴≤<，而221ab ac e -==0e ∴<≤． ∴椭圆C的离心率的取值范围为⎛ ⎝⎦．故选A 项．练习1. 设1F ，2F 分别是椭圆()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点，若在直线2a x c =（其中222cb a +=）上存在点P ，使线段1PF 的垂直平分线经过点2F ，则椭圆离心率的取值范围是( )A．0,2⎛ ⎝⎦B．0,3⎛ ⎝⎦ C．3⎫⎪⎪⎣⎭ D．,12⎫⎪⎪⎣⎭【答案】C【解析】由题意得 ()1,0)F c -，2F (),0c ，设点2,a P m c ⎛⎫⎪⎝⎭， 则由中点公式可得线段1PF 的中点221(,22a c K m c - )，∴线段1PF 的斜率与2KF 的斜率之积等于1-，即2221212m m a a c c c c c--⋅=--+-， 22230a a m c c c c ⎛⎫⎛⎫∴=-+⋅-≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，4224230a a c c ∴--≤，423210e e ∴+-≥，213e ∴≥，或21(e ≤-舍去)，e ∴≥． 又椭圆的离心率 01e <<，故13e ≤<， 故选：C ．练习2. 设椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的左焦点为F ，上顶点为A ，过点A 与AF 垂直的直线分别交椭圆C 与x 轴正半轴于点P 、Q ，且85AP PQ =uu u r uu u r， 椭圆C 的离心率为___.【答案】12【解析】：设0(,0)Q x ，由(,0)F c -，(0,)A b 知∵FA AQ ⊥u u u r u u u r ，0FA AQ ⋅=u u u r u u u r ,∴200cx b -=，20b x c= 设11(,)P x y ，由85AP PQ =uu u r uu u r 得21813b x c =，1513y b = 因为点P 在椭圆上，所以222221851313b a c bb +⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝=⎭整理得2b 2=3ac ，即2（a 2-c 2）=3ac ，2e 2+3e -2=0，故椭圆的离心率12e =（三）椭圆与圆例3.如图，1A ，2A 分别是椭圆2214xy +=的左、右顶点，圆1A 的半径为2，过点2A 作圆1A 的切线，切点为P ，在x 轴的上方交椭圆于点Q ，则2PQ QA =_______．【答案】34【解析】连结1PO PA 、，可得1POA n 是边长为2的等边三角形，所以1160PAO POA ∠∠==︒， 可得直线1PA 的斜率1603k tan =︒=PO 的斜率为21203k tan =︒=- 因此，直线1PA 的方程为)32y x =+，直线PO 的方程为3y x =， 设()P m n ，，由)323y x y x⎧=+⎪⎨=⎪⎩解得1m =-， 因为圆1A 与直线2PA 相切于点P ，所以21PA PA ⊥，因此219030PA O PAO ∠∠=︒-=︒， 故直线2PA 的斜率3150k tan =︒=2PA 的方程为)32y x =-，代入椭圆方程2214x y +=，消去y 得271640xx -+=，解得2x =或27x =， 因为直线2PA 交椭圆于()22,0A 与Q 点，设(),Q s t ，可得27s =， 由此可得22213722427Q P A Q x x PQ s m QA x x s +--====---. 故答案为34练习1.祖暅原理：两个等高的几何体，若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等.利用祖暅原理可以求旋转体的体积.比如：设半圆方程为222(0,0)x y r y r +=≥>，半圆与x 轴正半轴交于点A ，作直线x r =，y r =交于点P ，连接OP （O 为原点），利用祖暅原理可得：半圆绕y 轴旋转所得半球的体积与OAP ∆绕y 轴旋转一周形成的几何体的体积相等.类比这个方法，可得半椭圆22221(0,0)y x a b y a b+=>>≥绕y 轴旋转一周形成的几何体的体积是_________. 【答案】223ab π 【解析】如图，这是椭圆22221(0,0)y x a b y a b+=>>≥绕y 轴旋转一周形成的几何体，所以半椭圆22221(0,0)y x a b y a b+=>>≥绕y 轴旋转一周形成的几何体为：椭圆的长半轴为a ，短半轴为b ，现构造两个底面半径为b ，高为a 的圆柱，然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥，根据祖暅原理，得出该几何体的体积是V V V =-圆柱圆锥22212=33b a b a b a πππ-=；答案：223ab π练习2.已知O 是椭圆E 的对称中心，1F ，2F 是E 的焦点，以O 为圆心，1OF 为半径的圆与E 的一个交点为A .若¼1AF 与¼2AF 的长度之比为2:1，则E 的离心率等于______. 【答案】31e =【解析】解法1：如图，设122F F c =，1OF c =，因为¼1AF 与¼2AF 的长度之比为2：1，故1120AOF ∠=o ，260AOF ∠=o ，所以2AOF △为正三角形，故2AF c =.在等腰1AOF △中，求得13AF c =.根据椭圆的定义，可得)12231a AF AF c =+=，故椭圆的离心率231231c c e a a ====+. 解法2：如图，设椭圆的方程为22221(0)x y a b a b+=>>，122F F c =.由题意，易知1120AOF ∠=o，260AOF ∠=o，所以2AOF △为正三角形，故13,22A c c ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，因为点A 在椭圆上，所以22223144c c a b+=，即()222223144c c a a c +=-，即()22231441e e e +=-， 整理，得()22221344e eee -+=-，即42840e e -+=，解得2423e =+2423e =-31e =.练习3.设p 是椭圆2213632x y +=上一点，M ，N 分别是两圆：()2221x y -+=和()22124x y ++=上的点，则PM PN +的取值范围为______【答案】⎥⎦⎤⎢⎣⎡227221， 【解析】首先将P 点固定于一处，设两圆心分别为12,C C ，则1211,2r r ==，且12,C C 为椭圆的焦点， 根据圆外一点到与圆上的点的距离的范围可得11221111,22PC PM PC PC PN PC -≤≤+-≤≤+， 从而得到12123322PC PC PM PN PC PC +-≤+≤++，根据椭圆的定义可知1212PC PC +=，所以PM PN +的取值范围为2127[,]22， 故答案是：2127[,]22.（四）直线与椭圆的中点弦问题例4.已知椭圆T ： 22221(>0)x y a b a b +=>的离心率为2，右焦点为()1,0F ,三角形ABC 的三个顶点都在椭圆T 上，设它的三条边AB BC AC 、、的中点分别为D E M 、、，且三条边所在直线的斜率分别1k 、2k 、3k ，且1k 、2k 、3k 均不为0。
直线与椭圆专题讲义
直线与椭圆专题讲义题型一：直线与椭圆的位置关系1．若直线y ＝kx ＋1与椭圆x 25＋y 2m＝1总有公共点，则m 的取值范围是( ) A ．m >1B ．m >0C ．0<m <5且m ≠1D ．m ≥1且m ≠52．已知直线l ：y ＝2x ＋m ，椭圆C ：x 24＋y 22＝1.试问当m 取何值时，直线l 与椭圆C ： (1)有两个不重合的公共点；(2)有且只有一个公共点；(3)没有公共点．思维升华：研究直线与椭圆位置关系的方法(1)研究直线和椭圆的位置关系，一般转化为研究其直线方程与椭圆方程组成的方程组解的个数．(2)对于过定点的直线，也可以通过定点在椭圆内部或椭圆上判定直线和椭圆有交点．题型二：弦长及弦中点问题命题点1：弦长问题典例 斜率为1的直线l 与椭圆x 24＋y 2＝1相交于A ，B 两点，则|AB |的最大值为( ) A ．2 B.455 C.4105 D.8105命题点2：弦中点问题典例 已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右焦点为F (3,0)，过点F 的直线交椭圆E 于A ，B 两点．若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的方程为( )A.x 245＋y 236＝1 B.x 236＋y 227＝1 C.x 227＋y 218＝1 D.x 218＋y 29＝1 命题点3：椭圆与向量等知识的综合典例 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，e ＝12，其中F 是椭圆的右焦点，焦距为2，直线l 与椭圆C 交于点A ，B ，线段AB 的中点横坐标为14，且AF →＝λFB →(其中λ>1)． (1)求椭圆C 的标准方程；(2)求实数λ的值．思维升华：(1)解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，应用根与系数的关系，解决相关问题．涉及弦中点的问题时用“点差法”解决，往往会更简单．(2)设直线与椭圆的交点坐标为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2](3)利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的，不要忽略判别式．跟踪训练已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一个顶点为B (0，4)，离心率e ＝55，直线l 交椭圆于M ，N 两点． (1)若直线l 的方程为y ＝x －4，求弦MN 的长；(2)如果△BMN 的重心恰好为椭圆的右焦点F ，求直线l 方程的一般式．题型三：高考中求椭圆的离心率问题典例1 已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F ，短轴的一个端点为M ，直线l ：3x －4y ＝0交椭圆E 于A ，B 两点．若|AF |＋|BF |＝4，点M 到直线l 的距离不小于45，则椭圆E 的离心率的取值范围是 典例2如图，设椭圆方程为x 2a2＋y 2＝1(a ＞1)． (1)求直线y ＝kx ＋1被椭圆截得的线段长(用a ，k 表示)；(2)若任意以点A (0,1)为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点，求椭圆离心率的取值范围．反馈练习1．若直线mx ＋ny ＝4与⊙O ：x 2＋y 2＝4没有交点，则过点P (m ，n )的直线与椭圆x 29＋y 24＝1的交点个数是( ) A ．至多为1B ．2C ．1D ．0 2．过椭圆x 25＋y 24＝1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A ，B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为( ) A.43B.53C.54D.1033．中心为(0,0)，一个焦点为F (0,52)的椭圆，截直线y ＝3x －2所得弦中点的横坐标为12，则该椭圆的方程是( )A.2x 275＋2y 225＝1 B.x 275＋y 225＝1 C.x 225＋y 275＝1 D.2x 225＋2y 275＝1 4．已知F 1(－1,0)，F 2(1,0)是椭圆C 的两个焦点，过F 2且垂直于x 轴的直线与椭圆C 交于A ，B 两点，且|AB |＝3，则C 的方程为( )A.x 22＋y 2＝1 B.x 23＋y 23＝1 C.x 24＋y 23＝1 D.x 25＋y 24＝15．从椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上一点P 向x 轴作垂线，垂足恰为左焦点F 1，A 是椭圆与x 轴正半轴的交点，B 是椭圆与y 轴正半轴的交点，且AB ∥OP (O 是坐标原点)，则该椭圆的离心率是( )A.24 B.12 C.22 D.326．已知椭圆E 的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1且斜率为2的直线交椭圆E 于P ，Q 两点，若△PF 1F 2为直角三角形，则椭圆E 的离心率为( )A.53 B.23 C.23 D.137．设F 1，F 2分别是椭圆x 24＋y 2＝1的左、右焦点，若椭圆上存在一点P ，使(OP →＋OF 2→)·PF 2→＝0(O 为坐标原点)，则△F 1PF 2的面积是( )A ．4B ．3C ．2D ．18．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，椭圆C 与过原点的直线相交于A ，B 两点，连接AF ，BF ，若|AB |＝10，|AF |＝6，cos ∠ABF ＝45，则椭圆C 的离心率e ＝________. 9．P 为椭圆x 29＋y 28＝1上的任意一点，AB 为圆C ：(x －1)2＋y 2＝1的任一条直径，则P A →·PB →的取值范围是______．10．已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点，过F 1的直线l 与椭圆交于A ，B 两点．若|AB |∶|BF 2|∶|AF 2|＝3∶4∶5，则椭圆C 的离心率为________．11.如图，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点为F ，右顶点、上顶点分别为A ，B ，且|AB |＝52|BF |. (1)求椭圆C 的离心率；(2)若斜率为2的直线l 过点(0,2)，且l 交椭圆C 于P ，Q 两点，OP ⊥OQ ，求直线l 的方程及椭圆C 的方程．12．设圆x 2＋y 2＋2x －15＝0的圆心为A ，直线l 过点B (1,0)且与x 轴不重合，l 交圆A 于C ，D 两点，过B 作AC 的平行线交AD 于点E .(1)证明|EA |＋|EB |为定值，并写出点E 的轨迹方程；(2)设点E 的轨迹为曲线C 1，直线l 交C 1于M ，N 两点，过B 且与l 垂直的直线与圆A 交于P ，Q 两点，求四边形MPNQ 面积的取值范围．。
高中数学选修1-12.2.3椭圆的综合问题之直线与椭圆的位置关系课件
2
( x1
x2
)2
4x1
x2
6 5
2
知识点2：弦长公式 可推广到任意二次曲线
设直线与椭圆交于P1(x1,y1)，P2(x2,y2)两点，直线P1P2的斜率为k．
弦长公式：
| AB |
1 k 2 | xA xB |
1
1 k2
|
yA
yB
|
当直线斜率不存在时,则 AB y1 y2 .
题型二：弦长公式
(1)求过点F且斜率为1的直线被椭圆截得的弦长.
(2)判断点A(1,1)与椭圆的位置关系,并求以A为中点
解 : (2)512 912 45
椭圆的弦所在的直线方程.
A(1,1)在椭圆内。
设以A为中点的弦为MN且M (x1, y1), N (x2, y2 ) x1 x2 2, y1 y2 2
x1
x2
83 5
,
x1
x2
8 5
AB 1 k 2 x1 x2 1 k 2
8 (x1 x2 )2 4x1 x2 5
题型二：弦长公式
例焦2点:已，知过点F2F作1 、倾F斜2 分 角别 为是4 椭的圆直线2x2交 椭1y2圆于1 的A、左B、两右点，
求 △F1 AB 的面积.
分析:先画图熟悉题意, 点 F1 到直线 AB 的距离易知,
41
尝试遇到困难怎么办?
l
作出直线 l 及椭圆, 观察图形,数形结合思考.
且 x02圆的位置关系
例3：已知椭圆 x2 y2 1，直线l：4x - 5y 40 0.椭圆上 25 9
是否存在一点，它到直线l的距离最小？ y 最小距离是多少？
解：设直线m平行于l，
x2 y2 1 94
直线与椭圆的位置关系-高中数学复习
点， O 为坐标原点，若 AB ∥ OP ，则椭圆的焦距为（
C. 1
）
D. 2
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高中总复习·数学
解析： 由题意知， F 1（－ c ，0）， A （ a ，0）， B （0，1），
1
1
则点 P （－ c ， ），所以直线 BA 的斜率 kBA ＝－ ，直线 PO 的斜
1
1
1
1
率 kPO ＝ ＝－ .由 BA ∥ PO ，得 kBA ＝ kPO ，所以－ ＝－ ，则
−
c ＝1，所以椭圆的焦距为2 c ＝2.故选D.
1
2
3
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高中总复习·数学
4.
2
（2023·新高考Ⅱ卷5题）已知椭圆 C ： ＋ y 2＝1的左、右焦点分别
2
＋
（1 ＋2 )(1 −2 ）
＝0，
1 −2
2 1 ＋2
2
1
∴
＝－ 2 ×
＝2，∴ 2 ＝ ，
1 −2
2
1 ＋2
2
故椭圆的离心率 e ＝ ＝
1−
2
2
＝ .
2
2
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高中总复习·数学
1
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（2）已知斜率为－ 且不经过坐标原点 O 的直线与椭圆 ＋ ＝1相
椭圆题型归纳之直线与椭圆
第3讲 直线与椭圆一、直线与椭圆的位置关系解决直线和圆锥曲线的位置关系问题时，经常转化为它们所对应的方程构成的方程组是否 有解或解的个数问题.对于消元后的一元二次方程，必须讨论二次项的系数和判别式△ 【例1】当m 为何值时，直线:l y x m =+与椭圆22916144x y +=相切、相交、相离？【练习】曲线22222x y a +=（0a >）与连结(1,1)A -，(2,3)B 的线段没有公共点，求a 的取值范围.二、弦长公式一般情况下,解由直线方程和圆锥曲线方程组成的方程组,得到关于x (或y )的一元二次方程,利用方程组的解与端点坐标的关系，结合韦达定理得到弦长公式：()()21221221221241141y y y y k x x x x k AB -++=-++=【例2】已知直线01=-+y x 与椭圆14622=+y x 交于A ()11y x ，、B ()22y x ，两点. (1)求AB 的值；(2)求·的值； (3)求AB 中点的坐标；(4)若椭圆的左焦点为F ，求ABF ∆的面积； (5)求1221y x y x +的值.【练习】在直角坐标系xOy 中，点P 到两点(0,的距离之和为4，设点P 的轨迹为C ,直线1y kx =+与C 交于,A B 两点.（Ⅰ）写出C 的方程；（Ⅱ）若以AB 为直径的圆经过坐标原点O ，求k 的值.三、求最值与取值范围【例3】已知椭圆C ：12222=+by a x （a ＞b ＞0）的离心率为,36短轴一个端点到右焦点的距离为3.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，坐标原点O 到直线l 的距离为23，求△AOB 面积的最大值.【练习】已知椭圆()22221:10-.23x y E a b a b ⎛⎫+=>> ⎪ ⎪⎝⎭的离心率为，且过点 （Ⅰ） 求椭圆E 的方程；（Ⅱ）过椭圆的右焦点F 作两条直线分别与椭圆交于A ，C 与B ，D ，若0AC BD =，求四边形ABCD 面积的取值范围。
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直线与椭圆的综合问题考点与题型归纳考点一 弦中点问题[典例] (2018·南宁摸底联考)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的一条弦所在的直线方程是x －y ＋5＝0，弦的中点坐标是M (－4,1)，则椭圆的离心率是( )A.12 B.22 C.32D.55[解析] 设直线x －y ＋5＝0与椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1相交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，因为AB的中点M (－4,1)，所以x 1＋x 2＝－8，y 1＋y 2＝2.易知直线AB 的斜率k ＝y 2－y 1x 2－x 1＝1.由⎩⎨⎧x 21a 2＋y 21b2＝1，x 22a 2＋y22b 2＝1，两式相减得，(x 1＋x 2)(x 1－x 2)a 2＋(y 1＋y 2)(y 1－y 2)b 2＝0，所以y 1－y 2x 1－x 2＝ －b 2a 2·x 1＋x 2y 1＋y 2，所以b 2a 2＝14，于是椭圆的离心率e ＝ca＝ 1－b 2a 2＝32，故选C. [答案] C[解题技法]1．用“点差法”求解弦中点问题的步骤2．解有关弦中点问题的注意点对于弦中点问题，常用“根与系数的关系”或“点差法”求解．在用根与系数的关系时，要注意前提条件Δ＞0；在用“点差法”时，要检验直线与圆锥曲线是否相交．[题组训练]1．已知椭圆：x 29＋y 2＝1，过点P ⎝⎛⎭⎫12，12的直线与椭圆相交于A ，B 两点，且弦AB 被点P 平分，则直线AB 的方程为( )A ．9x ＋y －5＝0B ．9x －y －4＝0C ．x ＋9y －5＝0D ．x －9y ＋4＝0解析：选C设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有⎩⎨⎧x 219＋y 21＝1，x229＋y 22＝1，两式作差得(x 2－x 1)(x 2＋x 1)9＋(y 2－y 1)(y 2＋y 1)＝0，因为x 2＋x 1＝1，y 2＋y 1＝1，y 2－y 1x 2－x 1＝k AB ，代入后求得k AB ＝－19，所以弦所在的直线方程为y －12＝－19⎝⎛⎭⎫x －12，即x ＋9y －5＝0. 2．焦点为F (0,52)，并截直线y ＝2x －1所得弦的中点的横坐标是27的椭圆的标准方程为________________．解析：设所求的椭圆方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，直线被椭圆所截弦的端点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由题意，可得弦AB 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22，且x 1＋x 22＝27，y 1＋y 22＝－37. 将A ，B 两点坐标代入椭圆方程中，得⎩⎨⎧y 21a 2＋x 21b 2＝1，y 22a 2＋x22b 2＝1.两式相减并化简，得a 2b 2＝－y 1－y 2x 1－x 2·y 1＋y 2x 1＋x 2＝－2×－6747＝3，所以a 2＝3b 2，又c 2＝a 2－b 2＝50，所以a 2＝75，b 2＝25， 故所求椭圆的标准方程为y 275＋x 225＝1.答案：y 275＋x 225＝1考点二 弦长问题[典例] (2018·北京高考节选)已知椭圆M ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为63，焦距为2 2.斜率为k 的直线l 与椭圆M 有两个不同的交点A ，B .(1)求椭圆M 的方程； (2)若k ＝1，求|AB |的最大值．[解](1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝b 2＋c 2，c a ＝63，2c ＝22，解得a ＝3，b ＝1.所以椭圆M 的方程为x 23＋y 2＝1.(2)设直线l 的方程为y ＝x ＋m ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋m ，x 23＋y 2＝1，得4x 2＋6mx ＋3m 2－3＝0，所以x 1＋x 2＝－3m2，x 1x 2＝3m 2－34.所以|AB |＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2＝2(x 2－x 1)2＝2[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝12－3m 22. 当m ＝0，即直线l 过原点时，|AB |最大，最大值为 6. [解题技法] 弦长的求解方法(1)当弦的两端点坐标易求时，可直接利用两点间的距离公式求解． (2)当直线的斜率存在时，设直线与椭圆的交点坐标为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则|AB |＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝⎝⎛⎭⎫1＋1k 2[(y 1＋y 2)2－4y 1y 2](k 为直线斜率)． [提醒] 利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的，不要忽略判别式．[题组训练]1．已知椭圆x 22＋y 2＝1与直线y ＝x ＋m 交于A ，B 两点，且|AB |＝423，则实数m 的值为( )A ．±1B ．±12C. 2D ．±2解析：选A 由⎩⎪⎨⎪⎧x 22＋y 2＝1，y ＝x ＋m 消去y 并整理，得3x 2＋4mx ＋2m 2－2＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝－4m3，x 1x 2＝2m 2－23.由题意，得|AB |＝2(x 1＋x 2)2－8x 1x 2＝433－m 2＝423， 解得m ＝±1.2．椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F 1，右焦点为F 2，离心率e ＝12，过F 1的直线交椭圆于A ，B 两点，且△ABF 2的周长为8.(1)求椭圆E 的方程；(2)若直线AB 的斜率为3，求△ABF 2的面积． 解：(1)由题意知，4a ＝8，所以a ＝2， 又e ＝12，所以c a ＝12，c ＝1，所以b 2＝22－1＝3，所以椭圆E 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)设直线AB 的方程为y ＝3(x ＋1)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3(x ＋1)，x 24＋y 23＝1，得5x 2＋8x ＝0， 解得x 1＝0，x 2＝－85，所以y 1＝3，y 2＝－335.所以S △ABF 2＝c ·|y 1－y 2|＝1×⎪⎪⎪⎪3＋335＝835.考点三 椭圆与向量的综合问题[典例] (2019·长春质检)已知椭圆C 的两个焦点为F 1(－1,0)，F 2(1,0)，且经过点E ⎝⎛⎭⎫3，32. (1)求椭圆C 的方程；(2)过F 1的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点(点A 位于x 轴上方)，若AF 1―→＝2F 1B ―→，求直线l 的斜率k 的值．[解] (1)设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，由⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝|EF 1|＋|EF 2|＝4，a 2＝b 2＋c 2，c ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，c ＝1，b ＝3，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)由题意得直线l 的方程为y ＝k (x ＋1)(k ＞0)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x ＋1)，x 24＋y 23＝1，整理得⎝⎛⎭⎫3k 2＋4y 2－6k y －9＝0， 则Δ＝144k 2＋144＞0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则y 1＋y 2＝6k3＋4k 2，y 1y 2＝－9k 23＋4k 2， 又AF 1―→＝2F 1B ―→，所以y 1＝－2y 2， 所以y 1y 2＝－2(y 1＋y 2)2， 则3＋4k 2＝8，解得k ＝±52， 又k ＞0，所以k ＝52. [解题技法] 解决椭圆中与向量有关问题的方法(1)将向量条件用坐标表示，再利用函数、方程知识建立数量关系． (2)利用向量关系转化成相关的等量关系．(3)利用向量运算的几何意义转化成图形中位置关系解题． [题组训练]1．已知F 1，F 2为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的两个焦点，B 为椭圆短轴的一个端点，BF 1―→·BF 2―→≥14F 1F 2―→2，则椭圆的离心率的取值范围为( )A.⎝⎛⎦⎤0，12 B.⎝⎛⎭⎫0，22 C.⎝⎛⎦⎤0，33 D.⎝⎛⎭⎫12，1解析：选C 根据题意不妨设B (0，b )，F 1(－c,0)，F 2(c,0)，因为BF 1―→·BF 2―→≥14F 1F 2―→2，BF 1―→＝(－c ，－b )，BF 2―→＝(c ，－b )，|F 1F 2|2＝4c 2，所以b 2≥2c 2，又因为b 2＝a 2－c 2，所以a 2≥3c 2，所以0＜c a ≤33.2．已知椭圆D ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F ，A 为短轴的一个端点，且|OA |＝|OF |，△AOF 的面积为1(其中O 为坐标原点)．(1)求椭圆D 的标准方程；(2)过椭圆D 长轴左端点C 作直线l 与直线x ＝a 交于点M ，直线l 与椭圆D 的另一交点为P ，求OM ―→·OP ―→的值．解：(1)因为|OA |＝|OF |，所以b ＝c ，又△AOF 的面积为1，所以12bc ＝1，解得b ＝c ＝2，所以a 2＝b 2＋c 2＝4，所以椭圆D 的标准方程为x 24＋y 22＝1.(2)由题意可知直线MC 的斜率存在，设其方程为y ＝k (x ＋2)， 代入x 24＋y 22＝1，得(1＋2k 2)x 2＋8k 2x ＋8k 2－4＝0，所以P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4k 2－22k 2＋1，4k 2k 2＋1.又M (2,4k )，所以OM ―→·OP ―→＝(2,4k )·⎝ ⎛⎭⎪⎫－4k 2－22k 2＋1，4k 2k 2＋1＝4.[课时跟踪检测]A 级1．(2019·长春二检)椭圆4x 2＋9y 2＝144内有一点P (3,2)，则以P 为中点的弦所在直线的斜率为( )A ．－23B ．－32C ．－49D ．－94解析：选A 设以P 为中点的弦所在的直线与椭圆交于点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，斜率为k ，则4x 21＋9y 21＝144,4x 22＋9y 22＝144，两式相减得4(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋9(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0，又x 1＋x 2＝6，y 1＋y 2＝4，y 1－y 2x 1－x 2＝k ，代入解得k ＝－23.2．已知直线y ＝－x ＋1与椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)相交于A ，B 两点，若椭圆的离心率为22，焦距为2，则线段AB 的长是( ) A.223B.423C. 2D ．2解析：选B 由条件知c ＝1，e ＝c a ＝22，所以a ＝2，b ＝1，椭圆方程为x 22＋y 2＝1，联立直线方程与椭圆方程可得交点坐标为(0,1)，⎝⎛⎭⎫43，－13，所以|AB |＝423. 3．斜率为1的直线l 与椭圆x 24＋y 2＝1相交于A ，B 两点，则|AB |的最大值为( )A ．2 B.455 C.4105D.8105解析：选C 设A ，B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，直线l 的方程为y ＝x ＋t ，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4y 2＝4，y ＝x ＋t 消去y ，得5x 2＋8tx ＋4(t 2－1)＝0， 则x 1＋x 2＝－85t ，x 1x 2＝4(t 2－1)5.∴|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2| ＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝2·⎝⎛⎭⎫－85t 2－4×4(t 2－1)5＝425·5－t 2，当t ＝0时，|AB |max ＝4105. 4．(2019·石家庄质检)倾斜角为π4的直线经过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点F ，与椭圆交于A ，B 两点，且AF ―→＝2FB ―→，则该椭圆的离心率为( )A.32B.23C.22D.33解析：选B 由题可知，直线的方程为y ＝x －c ，与椭圆方程联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2a 2＋y 2b 2＝1，y ＝x －c ，得(b 2＋a 2)y 2＋2b 2cy －b 4＝0，由于直线过椭圆的右焦点，故必与椭圆有交点，则Δ＞0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧ y 1＋y 2＝－2b 2c a 2＋b2，y 1y 2＝－b4a 2＋b 2，又AF ―→＝2FB ―→，∴(c －x 1，－y 1)＝2(x 2－c ，y 2)， ∴－y 1＝2y 2，可得⎩⎪⎨⎪⎧－y 2＝－2b 2c a 2＋b2，－2y 22＝－b 4a 2＋b 2.∴12＝4c 2a 2＋b 2，∴e ＝23，故选B. 5．已知点P 是椭圆x 216＋y 28＝1上的动点，F 1，F 2分别是椭圆的左、右焦点，O 是坐标原点，若M 是∠F 1PF 2的平分线上一点，且F 1M ―→·MP ―→＝0，则|OM ―→|的取值范围是( )A ．[0,3)B ．(0,22)C ．[22，3)D ．(0,4]解析：选B 如图，延长F 1M 交PF 2的延长线于点G . ∵F 1M ―→·MP ―→＝0，∴F 1M ―→⊥MP ―→. 又MP 为∠F 1PF 2的平分线， ∴|PF 1|＝|PG |，且M 为F 1G 的中点．∵O 为F 1F 2中点，∴OM 綊12F 2G .∵|F 2G |＝||PF 2|－|PG ||＝||PF 1|－|PF 2||， ∴|OM ―→|＝12|2a －2|PF 2||＝|4－|PF 2||.∵4－22<|PF 2|<4或4<|PF 2|<4＋22， ∴|OM ―→|∈(0,22)．6．已知F 1(－1,0)，F 2(1,0)是椭圆C 的两个焦点，过F 2且垂直于x 轴的直线交椭圆C 于A ，B 两点，且|AB |＝3，则椭圆C 的标准方程为________．解析：由题意知椭圆C 的焦点在x 轴上，且c ＝1，可设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2a 2－1＝1(a＞1)，由|AB |＝3，知点⎝⎛⎭⎫1，32在椭圆上，代入椭圆方程得4a 4－17a 2＋4＝0，所以a 2＝4或a 2＝14(舍去)．故椭圆C 的标准方程为x 24＋y 23＝1. 答案：x 24＋y 23＝17．已知焦点在x 轴上的椭圆C ：x 2a 2＋y 2＝1(a ＞0)，过右焦点作垂直于x 轴的直线交椭圆于A ，B 两点，且|AB |＝1，则该椭圆的离心率为________．解析：因为椭圆x 2a2＋y 2＝1(a ＞0)的焦点在x 轴上，所以c ＝a 2－1，又过右焦点且垂直于x 轴的直线为x ＝c ，将其代入椭圆方程中，得c 2a 2＋y 2＝1，则y ＝±1－c 2a2，又|AB |＝1，所以21－c 2a 2＝1，得c 2a 2＝34，所以该椭圆的离心率e ＝c a ＝32. 答案：328．已知P (1,1)为椭圆x 24＋y 22＝1内一定点，经过P 引一条弦，使此弦被P 点平分，则此弦所在的直线方程为________．解析：易知此弦所在直线的斜率存在，所以设斜率为k ， 弦的端点坐标为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则x 214＋y 212＝1 ①，x 224＋y 222＝1 ②，①－②得(x 1＋x 2)(x 1－x 2)4＋(y 1＋y 2)(y 1－y 2)2＝0，∵x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝2， ∴x 1－x 22＋y 1－y 2＝0，∴k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－12.∴此弦所在的直线方程为y －1＝－12(x －1)，即x ＋2y －3＝0. 答案：x ＋2y －3＝09．(2019·湖北武汉部分学校调研)设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C ：x 2a 2＋y 2＝1(a ＞1，a ∈R )上，过O 的直线交椭圆C 于A ，B 两点，F 为椭圆C 的左焦点．(1)若△F AB 的面积的最大值为1，求a 的值；(2)若直线MA ，MB 的斜率乘积等于－13，求椭圆C 的离心率．解：(1)因为S △F AB ＝12|OF |·|y A －y B |≤|OF |＝a 2－1＝1，所以a ＝ 2.(2)由题意可设A (x 0，y 0)，B (－x 0，－y 0)，M (x ，y )， 则x 2a 2＋y 2＝1，x 20a2＋y 20＝1， k MA ·k MB ＝y －y 0x －x 0·y ＋y 0x ＋x 0＝y 2－y 20x 2－x 20＝1－x 2a 2－⎝⎛⎭⎫1－x 20a 2x 2－x 20＝－1a 2(x 2－x 20)x 2－x 20＝－1a 2＝－13， 所以a 2＝3，所以a ＝3，所以c ＝a 2－b 2＝2，所以椭圆C 的离心率e ＝c a ＝23＝63.10．(2019·成都一诊)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F (3，0)，长半轴与短半轴的比值为2.(1)求椭圆C 的方程；(2)设经过点A (1,0)的直线l 与椭圆C 相交于不同的两点M ，N .若点B (0,1)在以线段MN 为直径的圆上，求直线l 的方程．解：(1)由题可知c ＝3，a b＝2，a 2＝b 2＋c 2， ∴a ＝2，b ＝1.∴椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1. (2)易知当直线l 的斜率为0或直线l 的斜率不存在时，不合题意．当直线l 的斜率存在且不为0时，设直线l 的方程为x ＝my ＋1，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．联立⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝my ＋1，x 2＋4y 2＝4消去x ，可得(4＋m 2)y 2＋2my －3＝0. Δ＝16m 2＋48＞0，y 1＋y 2＝－2m 4＋m 2，y 1y 2＝－34＋m 2. ∵点B 在以MN 为直径的圆上，∴BM ―→·BN ―→＝0.∵BM ―→·BN ―→＝(my 1＋1，y 1－1)·(my 2＋1，y 2－1)＝(m 2＋1)y 1y 2＋(m －1)(y 1＋y 2)＋2＝0， ∴(m 2＋1)·－34＋m 2＋(m －1)·－2m 4＋m 2＋2＝0， 整理，得3m 2－2m －5＝0，解得m ＝－1或m ＝53. ∴直线l 的方程为x ＋y －1＝0或3x －5y －3＝0.B 级1．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为12，点A 在椭圆C 上，|AF 1|＝2，∠F 1AF 2＝60°，过F 2与坐标轴不垂直的直线l 与椭圆C 交于P ，Q 两点，N 为线段P Q 的中点．(1)求椭圆C 的方程；(2)已知点M ⎝⎛⎭⎫0，18，且MN ⊥P Q ，求线段MN 所在的直线方程． 解：(1)由e ＝12，得a ＝2c ， 易知|AF 1|＝2，|AF 2|＝2a －2，由余弦定理，得|AF 1|2＋|AF 2|2－2|AF 1|·|AF 2|cos A ＝|F 1F 2|2，即4＋(2a －2)2－2×2×(2a －2)×12＝a 2， 解得a ＝2，则c ＝1，∴b 2＝a 2－c 2＝3，∴椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1. (2)设直线l 的方程为y ＝k (x －1)，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)，x 24＋y 23＝1，整理得(3＋4k 2)x 2－8k 2x ＋4k 2－12＝0， 则x 1＋x 2＝8k 23＋4k 2，y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)－2k ＝－6k 3＋4k 2， ∴N ⎝ ⎛⎭⎪⎫4k 23＋4k 2，－3k 3＋4k 2.又M ⎝⎛⎭⎫0，18，则k MN ＝18＋3k 3＋4k 20－4k 23＋4k 2＝－24k ＋3＋4k 232k 2. ∵MN ⊥P Q ，∴k MN ＝－1k ，得k ＝12或32， 则k MN ＝－2或k MN ＝－23，故直线MN 的方程为16x ＋8y －1＝0或16x ＋24y －3＝0. 2．(2019·唐山五校联考)在直角坐标系xOy 中，长为2＋1的线段的两端点C ，D 分别在x 轴，y 轴上滑动，CP ―→＝ 2 PD ―→.记点P 的轨迹为曲线E .(1)求曲线E 的方程；(2)经过点(0,1)作直线l 与曲线E 相交于A ，B 两点，OM ―→＝OA ―→＋OB ―→，当点M 在曲线E 上时，求直线l 的方程．解：(1)设C (m,0)，D (0，n )，P (x ，y )．由CP ―→＝ 2 PD ―→，得(x －m ，y )＝2(－x ，n －y )， 所以⎩⎪⎨⎪⎧ x －m ＝－2x ，y ＝2(n －y )，得⎩⎨⎧ m ＝(2＋1)x ，n ＝2＋12y ，由|CD ―→|＝2＋1，得m 2＋n 2＝(2＋1)2，所以(2＋1)2x 2＋(2＋1)22y 2＝(2＋1)2， 整理，得曲线E 的方程为x 2＋y 22＝1. (2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由OM ―→＝OA ―→＋OB ―→，知点M 的坐标为(x 1＋x 2，y 1＋y 2)．易知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝kx ＋1，代入曲线E 的方程，得(k 2＋2)x 2＋2kx －1＝0，则x 1＋x 2＝－2k k 2＋2， 所以y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋2＝4k 2＋2. 由点M 在曲线E 上，知(x 1＋x 2)2＋(y 1＋y 2)22＝1， 即4k 2(k 2＋2)2＋8(k 2＋2)2＝1，解得k 2＝2，即k ＝±2， 此时直线l 的方程为y ＝±2x ＋1.。