量子第三讲
量子力学授课教案
量子力学授课教案第一章：绪论教学目的：了解经典物理在解释微观世界运动规律时遇到的主要困难以及为克服这些困难所提出的一些新的假设。
教学重点：普朗克假设的基本思想；德布罗意假设的基本思想和数学表述。
教学难点：物质波概念。
教学时数：6课时教学方法：讲述法为主，辅以浏览部分历史人物图片以提高学习兴趣。
量子力学课程介绍一、量子力学研究内容量子力学是研究微观粒子（分子、原子、原子核、基本粒子）运动规律的理论，是在上世纪二十年代总结大量实验事实和旧量子论的基础上建立起来的。
二、量子力学在物理学上地位1、量子力学是物理学三大基本理论之一。
物理学基本理论分三大块：经典物理学---研究低速、宏观物体；相对论---------研究高速运动物体；量子力学------研究微观粒子。
2、相对论、量子力学是近代物理的二大支柱。
3、量子力学与现代科学技术是紧密相连，凡涉及原子分子层次的现代科技都离不开量子力学，如半导体技术、纳米材料、激光、量子通讯、量子计算机等。
现代医学、生物基因工程也与量子力学紧密相关，许多疾病、有关生命现象只有在原子分子层次上才能加以解释。
三、量子力学特点1、抽象独立于经典物理，自成一套系统，脱离人们的日常生活经验，难以理解，如波粒二象性、微观粒子没有运动轨道等。
理论本身一些内容不能直接用实验验证，如薛定谔方程、E=hν等，原因是微观粒子太小，目前实验无法直接观察。
2、理论形式本身不是唯一的。
量子力学目前主要有二种理论形式：薛定谔波动力学；海森堡矩阵力学；另外还有路径积分理论（比较少用）。
其原因是量子力学理论基本上结合实验假设、猜测出来的，主观成份较多。
3、量子力学参考书很多，较适中的有：量子力学教程周世勋量子力学惠和兴量子力学导论曾谨言量子力学曾谨言量子力学基础关洪还有各高校的量子力学教材等。
四、本章概述：本章作为讲述量子力学的绪论，主要介绍在十九世纪末、二十世纪初物理学的研究领域拓展到微观世界时人们发现的经典物理理论在解释微观现象时出现的困难。
量子力学 第1章-1-2(第3讲)
越来越多的实验事实证明，波函数的位相是非常重要的物理 概念，只限于统计解释还不能完全穷尽对波函数的认识。
量子波函数的概率解释有不足
玻恩的概率解释：“波函数的振幅的平方是粒 子被发现的概率” 。不是完整诠释，只关注 所谓的可观察量（振幅），忽略了相位（因为 不属于可观察量）。
杨振宁说，规范场论就是相位场。相位是其根 本。振幅与相位合起来用复数表示。
x=0
dx
由于
d 2(x,t)
dx2
0
x0
故 x 0 处，粒子出现概率最大。
注意
（1）归一化后的波函数
(r , t
)
仍有一个模为一的因
子 ei 不定性（ δ为实函数）。
若 r,t 是归一化波函数，那末， r,tei 也是
归一化波函数，与前者描述同一概率波。
（2）只有当概率密度 (r,t) 对空间绝对可积时，才
2
(r,t) dx
A2
ea2x2 dx
A2
1
a2
归一化常数
1/ 2
A a/
归一化的波函数1/ 2Fra bibliotek1a2x2 i t
(r,t) a / e 2 2
（2）概率分布： (x, t) (x, t) 2 a ea2x2
（3）由概率密度的极值条件
d(x, t) a 2a2 xea2x2 0
相位是复杂性之源，相位导致纠缠，纠缠导致 记忆与电子相干。自由度的纠缠和相干，往往 会造就许多意想不到的结果。
作业题
1. 下列一组波函数共描写粒子的几个不同状态? 并指出每
个状态由哪几个波函数描写。
1 ei2x / , 4 ei3x / ,
2 ei2x/ , 5 ei2x / ,
I(三章3讲)常用算符本征值问题
2 1 1 ˆ2 2 [ L (sin ) ] 2 2 sin sin 本征方程：
本征值： 本征函数： 正交归一性： 完备性： 简并度：
0
2
0
Ylm ( , )Yl* m ( , )sin d d ll mm
( p (r ''), p (r ')) (r '' r ')
平面波归一化计 算，你会了吗？
（二）位置算符
本征方程
ˆx x
ˆ x x
归一化常数： A 1
因为λ是常数，除了x=λ这一点外，x取其他任何值都有 0 即： ( x) A ( x ) 属于本征值λ的本征函数：
3. L2算符的本征值
2 1 1 ˆ2 2 [ L (sin ) ] 2 2 sin sin
因为它只与
, 有关，所以其本征函数应具有如下形式
Y ( , )
设它的本征值为： L
2
则其本征方程可写成：
ˆ2Y ( ,) L Y ( ,) 2Y ( ,) L
你会直角坐标与球坐标 的相互转换吗？
z
r
r
y
(II) 球坐标
直角坐标与球坐标之间的变换关系
2 2 2 2 r x y z cos z / r tan y / x
x
球 坐 标
x r sin cos y r sin sin z r cos
量子力学与统计物理
Quantum mechanics and statistical physics
高中物理竞赛辅导 有关量子的初步知识 基本粒子
高中物理竞赛原子物理学教程第二讲相对论初步知识 第三讲有关量子的初步知识有关量子的初步知识§3. 1、初期量子理论20世纪之初，物理学家为解释一些经典物理所不能解释的实验规律，提出了量子理论。
量子理论经过进一步发展，形成了量子力学，使量子力学成为近代物理学的两大支柱之一。
3．1．1、 3．1．1、 普朗克量子论一切物体都发射并吸收电磁波。
物体发射电磁波又称热辐射，温度越高，辐射的能量越多，辐射中短波成份比例越大。
完全吸收电磁辐射的物体发射电磁辐射的本领也最强，称这种理想的物体为黑体。
研究黑体辐射电磁波长的能量与黑体温度以及电磁波波长的关系，从实验上得出了著名的黑体辐射定律。
假设电磁辐射是组成黑体的谐振子所发出，按照经典理论，谐振子的能量可以连续地变化，电磁波的能量也是可以连续变化的，但是理论结果与实验定律相矛盾。
1900年，德国物理学家普朗克提出了量子理论：黑体中的振子具有的能量是不连续的，从而，他们发射或吸收的电磁波的能量也是不连续的。
如果发射或吸收的电磁辐射的频率为v ，则发射或吸收的辐射能量只能是hv 的整倍数，h 为一普适常量，称为普朗克常量，普朗克的量子理论成功地解释了黑体辐射定律，这种能量不连续变化的概念，是对经典物理概念的革命，普朗克的理论预示着物理观念上革命的开端。
3．1．2、 爱因斯坦光子理论因为电磁波理论也不能解释光电效应，在普朗克量子论的基础上，爱因斯坦于1905年提出了光子概念。
他认为光的传播能量也是不连续的，而是一份一份的，每一份能量称为一个光子，即光是由光子组成的，频率为v 光的光子能量等于hv ，h 为普朗克常量。
光子理论圆满地解释了光电效应。
人们对光本性的认识前进了一步：光具有波粒二象性。
在经典物理中，波是连续的，粒子是分立的，二者不相容。
所以，不能把光看作经典物理中的波，也不能把光看作经典物理中的粒子。
故此，有了爱因斯坦光电方程： w h mv -=γ221 W 为逸出功，γ为光子频率， m 为光电子质量。
IntroductiontoQuantumMechanics教学设计WorldScientificP
Introduction to Quantum Mechanics 教学设计 - World Scientific Publishing Co. Pte Ltd 简介量子力学是一门深奥而有趣的学科，同时也是现代科学中最具挑战性和备受争议的领域之一。
针对这门学科，我们提供了一份介绍量子力学的教学设计。
本教学设计旨在通过以下目标来帮助学生深入了解量子力学的基础知识和原理：1.理解量子力学的基本原理：量子态、测量和耦合；2.掌握常见量子力学系统的数学描述，如粒子在势阱中、谐振子和自旋系统；3.理解量子测量对量子态的影响；4.理解量子态的演化以及它们如何随时间变化。
教学方法为了帮助学生实现上述目标，我们提供了以下教学方法：1. 讲解课程在本课程中，教师将向学生介绍量子力学的基础知识和原理。
我们将通过理论教学、计算练习和实验结果来帮助学生掌握量子力学的实用应用。
2. 计算练习在本课程中，学生将通过计算练习，比如计算电子在氢原子周围的轨道，来巩固他们的数学技能，同时理解计算技术如何应用于解决物理问题上。
3. 实验教师将提供实验在实验室中进行，以帮助学生理解量子力学的实际应用。
学生将在实验过程中学习检验和评估实验结果的技能，以及理解实验数据对理论预测的支持。
课程大纲以下是本课程的大纲：第一讲：介绍量子力学•量子力学的历史和发展；•量子力学的基本概念和应用；•量子态的描述和演化。
第二讲：量子力学中的测量•量子态的测量和影响；•测量算符和期望值。
第三讲：粒子在势阱中•一维无限深势阱和有限深势阱的解析求解；•量子隧穿。
第四讲：谐振子•谐振子的求解和简并性；•时间演化算符和微扰理论。
第五讲：自旋系统•自旋的描述和角动量算符；•自旋系统的求解和应用。
帮助与支持本教学设计旨在帮助学生深入理解量子力学的基础知识和原理。
如果您在学习的过程中遇到任何困难或问题，请随时联系我们的教师，我们将提供帮助和支持。
结论本教学设计提供了一系列教学方法和内容，旨在帮助学生掌握量子力学的基本知识和应用。
量子光学3（1）（精品pdf）
家 插入两次单位算符 ∑ n n = I ∑ m
数n
m
理 自然 ρ = ∑ ∑ n n ρ m ∑ m = ρnm n m
学n m
n,m
m =I
部实科学 密度算府ρ在Coherent state中的表示
验物基金委 ρ
=
∫∫
d 2α π
d 2β π
α
αρβ
β
理讲 员 R(α *, β ) =
α
ρ
β
1 (|α |2 +|β |2 )
=
1
π2
exp[−iβ(α* −a+)]exp[iβ *(α −a)]d2β
7
国 ∫ ∑∑ ON (a,a+) = d2α
CnmTr[ρδ (α* − a+)δ (α − a)(a+)n am]
家 nm
数理 自 ∫ ∑∑ = d2α CnmTr[ρδ(α* −a+)δ(α −a)](α*)nαm 然 n m
ρ=
n
nn (1+ n )n+1
n
n
with
ρnn
=
(1+
nn n )n+1
部实科验学基 然后有
α
∑ − |α |2
=e 2
αn
n
n ( n !)1/ 2
物理金讲委习员会 ∑ −β ρ β
=
n
nn (1+ n )n+1
−β
n
nβ
∑ 班 = e−|β|2
− | β |2n
(
n )n = e−|β|2 exp(
学部然科 ∑∑ ON (a,a+) = Tr[ρON (a,a+)] =
课程前沿内容教案
一、课程简介本课程旨在介绍当前前沿领域的热点话题，帮助学生了解各个领域的最新研究动态和发展趋势。
通过学习，学生将能够掌握各个领域的基本知识，提高自己的科学素养，培养创新思维和独立思考的能力。
二、教学目标1. 让学生了解当前前沿领域的热点话题，掌握各个领域的基本知识。
2. 培养学生关注社会热点、关注科学发展的意识。
3. 提高学生的科学素养，培养创新思维和独立思考的能力。
4. 培养学生团队协作、沟通交流的能力。
三、教学内容第一讲：与机器学习1. 的定义与发展历程2. 机器学习的基本概念与方法3. 深度学习与神经网络4. 在现实生活中的应用第二讲：量子计算与量子通信1. 量子计算的基本概念与发展现状2. 量子比特与量子门3. 量子算法与量子优越性4. 量子通信与量子密钥分发第三讲：新能源技术1. 太阳能电池的基本原理与类型2. 风力发电技术与设备3. 核能利用与核电站4. 储能技术及其在新能源领域的应用第四讲：生物信息学与基因编辑1. 生物信息学的基本概念与研究内容2. 基因编辑技术及其应用3. 基因组学与蛋白质组学4. 生物信息学在医学、农业等领域的应用第五讲：虚拟现实与增强现实1. 虚拟现实与增强现实的定义及区别2. 虚拟现实技术与设备3. 增强现实技术及其应用4. 虚拟现实与增强现实在教育、娱乐等领域的应用前景四、教学方法1. 讲授：讲解各个领域的基本概念、原理和方法。
2. 案例分析：分析现实生活中的热点案例，引导学生关注前沿动态。
3. 小组讨论：分组讨论问题，培养学生的团队协作能力和沟通能力。
五、教学评价1. 课堂参与度：考察学生听课、提问、回答问题的积极性。
2. 小组讨论：评价学生在讨论中的表现，包括观点阐述、沟通交流等。
3. 研究报告：评估学生的报告内容、结构、观点等方面的质量。
4. 期末考试：测试学生对课程内容的掌握程度。
六、教学安排1. 课时：本课程共计32课时，每课时45分钟。
2. 授课方式：线下授课，结合多媒体教学。
量子光学第三讲
df dξ
ξ=0
=
[ A, f
(ξ )] ξ=0
=
[ A, B ]
d2f dξ2
ξ=0
=
[ A,[ A, f
(ξ )]] ξ=0
=
[ A,[ A,B ]]
#
© Dr. Shutian Liu @ HIT
5
一般算符定理
从而得到
f
(ξ)
=
f
(0) +
Hale Waihona Puke df dξξ=0ξ
+
1 d2f 2 ! dξ2
ξ=0
• 算符变换 • 玻色算符的正规排序和反正规排序 • 特征函数与Wigner分布函数 • 泊松分布和指数分布 • 广义Wick定理* • 独立原子的算符描述* • 应用例子*
© Dr. Shutian Liu @ HIT
3
一般算符定理
一般算符的一些定理
Preliminary: 任意算符 B 的函数 f (B ) 可以展开成幂级数形式
定理4、f (a,a+ ) 的反正规形式可由下式
{ } ∫ f (a ) (a,a+ ) = A
f
⎜⎝⎛⎜α, α*
−
∂ ∂α
⎠⎞⎟⎟ ⋅
1
=
d 2α π
α
α
f
⎝⎛⎜⎜α, α*
−
∂ ∂α
⎠⎞⎟⎟
⋅
1
式中 f (α, α* − ∂ / ∂α ) 是在 f (a,a+ ) 的原来幂级数表达式中以 α代替 a
d 2α π
α
( ) α f a( ) α, α*
= A { f a( ) (α, α* )}
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t · E ~ ħ
电子经过缝时的位置 b ph y 不确定: x b o 一级暗纹衍射角为: sin b 电子经过缝后，x 方向动量不确定: h p x p sin p xpx h b x
V
( x、y、z、t ) dV 1
2
则: V
V
( x、y、z、t ) dV C
2
2
1 ( x、y、z、t ) dV 1 C
所以: 1 / C ----归一化常数
例题: 若一个电子的概率幅为
A sin x ，0 x a ( x ) a 0， x 0或 x a
定态薛定谔方程
d U E 一维: 2 2 dx
2 2
2 2 三维: U E 2
用薛定谔方程研究氢原子，求得的氢原子能级是分 立的，可以很好地解释氢原子的光谱。用薛定谔方程求解 线性谐振子的问题，得到线性谐振子的能级也是分立的。 这与经典粒子的能量连续是截然不同的物理图像，称为能 量的量子化，是微观世界普遍而重要的特征。
1
2
2
只打开第一个缝，屏上的衍射条纹分布: 2 只打开第二个缝，屏上的衍射条纹分布: 2 2 2 2 同时打开，对于经典的粒子: 1 2 对于具有波动性的微观粒子:
* 1 2 1 2 1*2 12 2 2 2 2
概率幅的性质 1. 概率密度 若三维空间的概率幅为 ( x、y、z、t ) ，则粒 子在V~V +dV空间出现概率为:
一、德布罗意波 德布罗意假设: 实物粒子具有波粒二象性
描述波动性的物理量:、 描述粒子性的物理量: E、 p
E h 基本关系式为: h p
二、概率波 基本假设之一 1926年玻恩提出波函数的概率诠释: 我们用波 2 函数 ( x，t ) 来描述德布洛意波，则 ( x，t ) 正比于 粒子在该处出现的概率。 德布洛意波----概率波 波函数( x，t ) ----概率幅 量子力学基本假设之一 微观粒子体系的状态，完全由波函数 ( x，t ) 来描写，波函数 ( x，t ) 也称为概率幅。t 时刻，在 2 x ~ x dx范围内找到粒子的概率正比于 ( x，t ) dx。
同年，玻尔更进一步提出互补原理，认为“观测” 将不可避免地干扰“观测对象”。经典的决定论的因果律 在量子系统中不再成立，我们只能了解粒子出现的概率， 不能确定某个粒子是否一定出现。玻尔把玻恩、海森堡的 观点提高到哲学的高度，这就是量子 力学的统计解释或几率解释。
电子的双缝干涉实验
1
P1 P2
2
哥本哈根学派对量子 力学的上述解释，遭到 爱因斯坦、德布罗意、薛 定谔等人猛烈的攻击。他 们无论如何也不相信，人 们只能知道粒子出现的几 率，而不可能知道粒子是 否一定会出现。爱因斯坦 说了一句名言：“上帝是不掷骰子的”。哥本哈根学派的 人则反问：“谁告诉爱因斯坦，上帝不掷骰子？” 他 们还嘲讽薛定谔，说：“看来薛定谔方程比薛定谔本人 更聪明”。
考虑所有衍射次级有: xpx h
x
1 x p x 2 1 量子力学精确计算: yp y 2 1 z p z 2
----不确定性关系
粒子的位置和动量 不能同时确定。位置越 精确, 即x 越小，将使 得动量越不确定，即 P 越大。相反，粒子的 动量越确定，即P 越 小，则x 越大，即位置 越不确定。
d i f Et i dt E df i Edt f Ce f f
则粒子波函数为:
( x，y，z，t） ( x，y，z ) e
i
Et
这个波函数与时间的关系是正弦式的， 其角频率是ω=Ε/ħ按照德布罗意关系E=hν=ħω， E就是该体系处于这个波函数所描写状态时的能量。
由于测不准关系的存在，电子 的位置和动量（速度）不可能同时 精确确定，因此电子没有轨道，玻 尔的轨道模型应该修改。能量量子 化对应的不是电子轨道，那么对应 的是什么呢？研究表明，原子核外 的电子虽然没有轨道，但也有一定 的分布规律，它们以几率波的形式 分布在核外空间，呈现为“电子云”。
电子云
能量量子化的不同“能级”，对应的不是“轨 道”，而是不同的“电子云”状态。“能量量子化”是从 量子力学自然导出的结论，而不像“轨道量子化”那样， 是玻尔强加在经典力学上 的一个不自然的限制。正 如量子力学可以看作玻尔 模型的发展一样，“能量 量子化”也可以看作“轨 道量子化”的发展。
氢原子
二、势阱 1. 无限深方势阱及能量本征值
0， 0 x a U ( x) ， x 0，x a
U U U 0 U
0
O
0
x
解: 定态问题，满足定态薛定谔方程，则: 2 2 d ( x) E ( x )， 0 x a 2 2 dx 粒子能量 E Ek 0 2 d ( x) 2 2 k ( x) 0 令 k 2E / ，则: 2
dx
d ( x) 2 k ( x) 0 2 dx
2
A sinkx B coskx
通解: A sinkx B coskx 波函数 连续，则: (0) 0， (a ) 0
(0) A sin0 B cos0 0 B 0 (a ) A sinka 0 n 由此可得: k ，n 1、 2、 3、 a n x 所以: ( x ) A sin a a 2 2 2 n 归一化: ( x ) dx A sin x dx 1 0 a 解得: A 2 / a
三、决定性和统计性 r 、动 力学量 : 在经典力学中我们讨论的位置 量 p 、能量E、角动量 L 等物理量。 经典力学----状态可以用力学量的值完全确定 下来----决定性的规律 量子力学----状态用某个力学量取各种可能值 的概率，即它的概率分布来确定----统计性的规律 2 量子力学中， 代表了x 的概率分布，所以可 用来确定量子状态，因此又把称为态函数。
引入拉普拉斯算符
2 2 2
2 2 2 x y z
2
则:
2 2 U i 2 t
一维的自由粒子的波函数 平面简谐波的波函数为:
2 ( x，t ) A cos x 2t 2 2 ( x，t ) A cos px x Et h h
对于量子力学物理解 释的争论，至今尚未结 束，似乎哥本哈根学派的 观点略占上风，但反对意 见依然存在，进入21世纪 之后，“多世界理论”、 “隐变量”、“退相干”、 “多历史”、“自发局域 化”等诸多流派仍在对哥 本哈根学派提出挑战。
哥廷根
量子力学的基本假设之二 微观低速(非相对论性)体系的波函数满足薛 定谔方程 一维薛定谔方程:
2 2 ( x，t ) ( x，t ) U ( x，t )( x，t ) i 2 2 x t
2
三维薛定谔方程:
2 2 2 2 2 U ( x，y，z，t ) i 2 2 x y z t
dw ( x、y、z、t ) dV
2
有限大体积V 中粒子出现的概率为:
w ( x、y、z、t ) dV
2 V
因而 ( x、y、z、t ) 称为概率密度。 概率幅应单值、有限和连续 ----标准条件
2
2. 归一化 粒子在全空间V中出现的概率应为1，则: ----归一化条件 若概率幅没有归一化，即:
i p x x Et
px
再次运算:
2 ( x，t ) 2 2 i i p x 2 x x x
2 2 2 px 将上式除以2 ，得: 2 2 x 2
粒子的质量
将波函数对 t求导，并乘以 i :
在经典力学中，粒子能量关系式为 : 2
px E Ek U U 2 做替换: p x i ，E i x t
作用在波函数上得薛定谔方程:
2 2 ( x，t ) ( x，t ) U ( x，t )( x，t ) i 2 2 x t
三维薛定谔方程:
2 2 U i 2 t
一、定态问题 当薛定谔方程中U与时间无关只是坐标的函 数的情况称为定态问题。 分离变量法
( x，y，z，t） ( x，y，z ) f (t )
2
代入薛定谔方程为:
2 ( f ) U f i ( f ) 2 t 等式两边同除 f 得: 2 2 ( f ) U f i ( f ) 2 t f f
求归一化常数A的值。 解: 若A是归一化常数，则在全空间粒子出现 概率为1，则:
( x) dx 0 ( x) dx A 0 sin a 2 2 a A 1 A 2 a
2 a 2 2 a 2
x dx 1
不确定性关系简介 1927年海森堡进一步提出 测不准关系 （或者称为不确定关系） x · P ~ ħ
整理得:
2 2 U 2
d i f dt f
等式恒成立条件同等于一个常量
2 2 2 U E --------① d i f dt E ------------② f
由②式可得:
e^ix=cosx+isinx
量子态叠加原理 是体系的可能状态，它们的 如果 1、2、3、 线性叠加 C11 C22 C33 Cnn 也是体系 n 是复常数。 的一个可能状态。其中 C1、C2、C3、 ----量子态叠加原理
用电子的双缝干涉实验说明量子态叠加原理