东北师大附属中学高三第一轮复习教案参数方程

一参数方程(教案)

、

知识梳理：(阅读教材：选修4-4第21页至39页)

1. 曲线的参数方程的概念：

一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x, y都是某个变数t的

函数x f(°①,并且对于t的每一个允许值,由方程组①所确定的点M (x,y)都y g(t)

在这条曲线上，那么方程①就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x, y的变数t叫做参变数,简称参数,相对于参数方程而言,直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程•2. 参数方程和普通方程的互化

(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式，一般地可以通过消去参

数得到普通方程•

(2)如果知道变数x,y中的一个与参数t的关系，例如x f(t),把它代入普通方

程,求出另一个变数与参数的关系y g(t),那么x f(t)就是曲线的参数方程，在

y g(t)

参数方程与普通方程的互化中，必须使x, y的取值范围保持一致•

注：普通方程化为参数方程，参数方程的形式不一定唯一。应用参数方程解轨迹问题，关键在于适当地设参数，如果选用的参数不同，那么所求得的曲线的参数方程的形式也不同。

3. 圆的参数方程

设圆0(0为坐标原点)的半径为r,点M从初始位置M o出发，按逆时针方向在

圆0上作匀速圆周运动，设M(x,y)，贝V X rc°S (为参数)。

y rsi n

这就是圆心在原点0,半径为r的圆的参数方程，其中的几何意义是OM0转

过的角度。

圆心为(a,b)，半径为r的圆的普通方程是(x a)2 (y b)2 r2,

x a r cos

它的参数方程为：(为参数)。

y b r sin

4•椭圆的参数方程

以坐标原点O为中心，焦点在x轴上的椭圆的标准方程为

2 ）o

注：椭圆的参数方程中，参数 的几何意义为椭圆上任一点的离心角，要把它和

这一点的旋转角

区分开来，除了在四个顶点处， 离心角和旋转角数值可相等外

（即

在0到2的范围内），在其他任何一点，两个角的数值都不相等。 但当0

x bCOt

(为参数，其中 (0,2 )e 且 y acsc

以上参数 都是双曲线上任意一点的离心角。 6.抛物线的参数方程

以坐标原点为顶点，开口向右的抛物线y 2 2px （p 0）的参数方程为

2 x

2

a

2

b 2

1(a

x b 0）,其参数方程为

y

acos

bsin

（为参数），其中参数 称为离

心角; 焦点在

y 轴上的椭圆的标准方程是

2

y 2

a

2

x 2 1(a b 0),其参数方程为

b

bcos

asin

为参数）,其中参数 仍为离心角，通常规定参数

的范围为 € [0 ,

相应地也有0

2，在其他象限内类似。

5.双曲线的参数方程 以坐标原点

（不要求掌握） O

为中心，焦 占

八

轴上的双曲线的标准方程为

2 x

2 2

a b 匸1(a

0,b 0）,其参数

x asec

(为参数),其中 y bta n

[0,2 )且

2'

焦点在y 轴上的双曲线的标准方程是

2 y 2

a

2

x b 2 1（a 0,b 0）,其参数方程为

y y tan (x X o ),而过M o (X 0,y o ),倾斜角为 的直线I 的参数方程为

注：直线参数方程中参数的几何意义： 过定点M 0(x ),y 0)，倾斜角为

X x 0 t cos

的直线I 的参数方程为

(t 为参数)，其中t 表示直线I 上以

y y o tsin

定点叫为起点，任一点 M(x,y)为终点的有向线段

的数量，当点在 M 上

方时，t >0；当点M 在凶0下方时，t v 0；当点M 与M o 重合时，t =0。 我们也可以把参数t 理解为以M o 为原点，直线I 向上的方向为正方向的数 轴上的点M 的坐标，其单位长度与原直角坐标系中的单位长度相同。 、题型探究

探究一：把参数方程化为普通方程

(1 )化G, C 的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线;

的距离的最小值。

G 为圆心是(-4 , 3),半径是1的圆。

G 为中心是坐标原点，焦点在 上‘轴上，长半轴长是 8,短半轴长是3的椭圆。 W

3

I = — © 丿 m - 6

M(-2 十十一sin 的

(H)当 2时，尸(-44)一0隔匚帖&3过刃，故 2

C 3为直线x-2y-7=0 , M 到G 的距离

7.直线的参数方程

经过点M 0(X o ,y 。)，倾斜角为 (

丿的直线1的普通方程是

X X t cos y y o tsin

例1 :已知曲线C :

W 嚟化为參数)

C 2： fx = BcosO

（y = S^inO

为參数)

(2)若C i 上的点P 对应的参数为

Q 为C 2上的动点，求 PQ 中点M 到直线

解答：（I ） C 1

+ •

=1,C 2 :

2 2

x y +

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