线性代数解法与技巧
经济数学·线性代数：解题方法技巧归纳
经济数学·线性代数：解题方法技巧归纳
常见的解题方法技巧：
1.高斯消元法：用于解决线性方程组的方法，通过
消去未知数的系数，使方程组的每一行的未知数
只有一个。
2.高斯-约旦消元法：用于解决线性方程组的方法，
通过消去未知数的系数，使方程组的每一行的未
知数只有一个，并通过交换方程的顺序来解决无
解或多解的情况。
3.矩阵消元法：用于解决线性方程组的方法，将方
程组写成矩阵形式，通过消去未知数的系数，使
矩阵的每一行的未知数只有一个。
4.高斯-约旦分解法：用于解决线性方程组的方法，
通过将方程组写成两个矩阵的乘积的形式。
5.广义逆矩阵法：用于解决线性方程组的方法，通
过求出矩阵的广义逆（也叫做伪逆），将方程组写
成矩阵的形式，求解未知数的值。
6.矩阵的特征值与特征向量：用于解决矩阵的本征
值问题的方法，通过求解矩阵的特征方程，求得
矩阵的特征值与特征向量，并利用它们来求解其
他问题。
7.奇异值分解：用于解决矩阵的奇异值分解问题的
方法，将矩阵分解为三个矩阵的乘积的形式，并利用它们来求解其他问题。
8.广义逆矩阵的求法：用于求解矩阵的广义逆（也叫做伪逆）的方法，包括计算机辅助的方法和数学计算的方法。
了解高中数学中的线性代数问题的解题技巧
了解高中数学中的线性代数问题的解题技巧线性代数是数学的一个分支，广泛应用于科学、工程和经济等领域。
在高中数学中，线性代数也是一门重要的课程，通过学习线性代数，不仅可以提高学生的数学思维能力，还可以帮助他们解决实际问题。
本文将介绍高中数学中线性代数问题的解题技巧，包括向量、矩阵和线性方程组的解法等。
一、向量的基本概念和运算向量是线性代数中的重要概念，它可以表示大小和方向。
在解决向量问题时，首先要了解向量的基本概念，包括向量的表示方法、向量的模长和方向角等。
其次，需要熟练掌握向量的运算法则，如向量的加法、减法、数量乘法和内积等。
通过灵活运用这些运算法则，可以简化向量计算过程，提高解题效率。
二、矩阵的基本概念和运算矩阵是线性代数中另一个重要的概念，它可以用来表示一组数。
在解决矩阵问题时，首先要了解矩阵的基本概念，包括矩阵的行、列、秩和转置等。
其次，需要掌握矩阵的运算法则，如矩阵的加法、减法、数量乘法和乘法等。
同时，矩阵的逆矩阵和行列式等相关概念和运算也是解决矩阵问题的关键。
掌握了这些基本概念和运算法则，可以更好地理解和解决与矩阵相关的数学问题。
三、线性方程组的解法线性方程组是线性代数中的重要问题之一，它可以用来描述多个线性方程的关系。
在解决线性方程组时，可以采用消元法、矩阵方法和向量方法等不同的解题技巧。
消元法是线性方程组解法中最常用的方法，将线性方程组转化为行阶梯形式，然后逐步消去未知数，得到解的过程。
矩阵方法通过将线性方程组转化为矩阵的形式，然后通过行初等变换或矩阵的逆矩阵等方法求解。
向量方法通过将线性方程组表示为向量的形式，通过向量之间的线性组合求解。
在解决线性方程组问题时，根据具体情况选择合适的解题方法，可以提高解题效率。
四、矩阵的特征值和特征向量矩阵的特征值和特征向量是线性代数中的重要概念，它们对于理解矩阵的本质和性质有着重要的作用。
矩阵的特征值表示矩阵在某个方向上的伸缩因子，特征向量表示在相应特征值方向上的向量。
线性代数求解方法和技巧
线性代数求解方法和技巧线性代数是数学中重要的一个分支，研究向量空间、线性变换和线性方程组等内容。
在实际问题中，我们常常需要用线性代数的方法来解决问题，因此掌握线性代数的求解方法和技巧对于理解和应用数学是非常重要的。
首先，我们讨论线性方程组的求解方法。
线性方程组是由一组线性方程组成的方程组，其中每个方程的未知数的次数都为1。
对于n个未知数和m个方程的线性方程组，我们有以下几种常用的求解方法：1. 列主元消元法：这是最常用的线性方程组求解方法之一。
它的基本思想是通过行变换将线性方程组化为一个三角形式，进而求解得到方程组的解。
在进行行变换时，要选择合适的列主元，即选择主元元素绝对值最大的一列作为主元素。
2. 矩阵求逆法：对于一个可逆的n阶方阵A，我们可以通过求A的逆矩阵来求解线性方程组Ax=b。
具体地，我们首先通过高斯消元法将方程组化为三角形式，然后根据三角形式的矩阵求逆公式来求解x。
3. LU分解法：对于一个n阶非奇异矩阵A，我们可以将其分解为一个下三角矩阵L和一个上三角矩阵U的乘积，即A=LU。
接着，我们可以通过LU分解来求解线性方程组Ax=b。
具体地，我们首先通过LU分解将方程组化为Lc=b和Ux=c两个方程组，然后依次求解这两个方程组得到x的值。
除了以上的求解方法，还有一些线性方程组的特殊情况和对应的求解方法：1. 齐次线性方程组：如果线性方程组右边的常数项都为0，即b=0，那么我们称为齐次线性方程组。
对于齐次线性方程组，其解空间是一个向量空间。
我们可以通过高斯消元法来求解齐次线性方程组，先将其化为三角形式，然后确定自由未知量的个数，最后确定解空间的基底。
2. 奇异线性方程组：如果线性方程组的系数矩阵A是奇异矩阵，即det(A)=0，那么我们称为奇异线性方程组。
对于奇异线性方程组，其解可能不存在，或者存在无穷多解。
我们可以通过计算矩阵A的秩来确定线性方程组的解的情况。
另外，在实际问题中，我们可能会遇到大规模的线性方程组，这时候求解方法和技巧还需要考虑到计算效率的问题。
线性代数方程组的解法
2 3 2 n O( n ) 3
mult a(i , j ) a( j, j ); for k j 1 : n a(i , k ) a(i , k ) mult * a( j , k ); end b(i ) b(i ) mult * b( j ); end
end
LU分解
求A的LU分解（L是下三角矩阵，U是上三角矩阵）
1 1 1 1 3 4 3 4
LU分解
性质1 设向量
, xn ) 且 xk 0 T 则存在唯一的下三角阵 Lk I lk ek ,满足 x ( x1 , x2 ,
T
Lk x ( x1 ,
第三章 线性方程组的直接解法
/*Direct Method for Solving Linear Systems*/
求解 A x b, A R
Cramer法则:
nn
det( A) 0
Di xi D
i 1, 2,
,n
所需乘除法的运算量大约为(n+1)!+n
n=20时，每秒1亿次运算速度的计算机要算30多万年！
Gauss消去法的消元过程算法
for for
j 1: n 1
i j 1: n
2 3 2 n O( n ) 3
mult a(i , j ) a( j, j ); for k j 1 : n a(i , k ) a(i , k ) mult * a( j , k ); end b(i ) b(i ) mult * b( j ); end
方程组可化为下面两个易求解的三角方程组
Ly b Ux y
二、 高斯消去法
线性代数规范型求解题技巧
线性代数规范型求解题技巧线性代数中，规范型求解题是一类非常常见和重要的问题。
规范型表示方程组具有特定形式的线性方程组。
下面将介绍一些求解规范型问题的基本技巧。
1. 基础技巧首先，我们需要将规范型方程组写成矩阵形式Ax=b 的形式。
A是一个m×n的矩阵，x是一个n维列向量，b 是一个m维列向量。
2. 求逆矩阵法如果矩阵A可逆，那么可以直接通过求逆矩阵的方法求解方程组。
具体地，我们可以通过x=A^(-1)b来求解x。
然而，这种方法只适用于方程的个数小于变量的个数的情况。
3. 列主元消元法如果矩阵A不可逆，我们可以通过列主元消元法来求解方程组。
这种方法首先将矩阵A转化为上三角矩阵，然后再通过回代的方式求解方程组。
具体步骤如下：1) 选择矩阵A的第一列的主元素，如果该主元素不为0，则进行下一步；否则，选择下一列为主元素。
2) 将主元行与第一行进行交换，使主元素移到第一行。
3) 通过消元操作，将第一列的其他元素消为0。
4) 将第一行移到第一列的位置，继续处理下一列。
5) 重复步骤1-4，直到矩阵A变成上三角矩阵。
6) 通过回代的方式求解方程组。
4. 高斯-约旦消元法高斯-约旦消元法是另一种求解规范型方程组的方法，它将矩阵A转化为简化行阶梯型形式。
具体步骤如下：1) 对矩阵A进行行初等变换，将其转化为上三角矩阵。
2) 对上三角矩阵进行回代，得到方程组的解。
5. LU分解法如果矩阵A可以进行LU分解，那么可以通过LU分解的方法求解方程组。
这里L是一个m×m的下三角矩阵，U是一个m×n的上三角矩阵。
具体步骤如下：1) 将矩阵A进行LU分解，得到LU=A。
2) 令y=Ux，将原方程组转化为Ly=b。
3) 通过回代的方式，求解Ly=b得到y。
4) 再通过回代的方式，求解Ux=y得到x。
6. 奇异值分解法如果矩阵A奇异值分解为A=UDV^T，那么可以通过奇异值分解的方法求解方程组。
其中，U是一个m×m的正交矩阵，D是一个m×n的对角矩阵，V是一个n×n 的正交矩阵。
线代矩阵求解题技巧
线代矩阵求解题技巧线性代数是数学中的一个重要分支，广泛应用于科学和工程学科中。
矩阵求解是线性代数中的一个基本概念，它是解线性方程组、求特征值和特征向量等问题的重要工具。
下面将介绍一些线性代数矩阵求解的基本技巧。
1. 高斯消元法高斯消元法是求解线性方程组的常用方法之一。
该方法的基本思想是通过矩阵变换将线性方程组化为上三角形方程组或者行最简形式，从而得到方程组的解。
高斯消元法具体步骤如下：（1）将线性方程组写成增广矩阵的形式；（2）选取一个主元（通常选取主对角线上的元素），并通过一个变换将该元素下面的所有元素置零；（3）对主元元素下面的行执行类似的操作，直到所有元素都变为零或者上三角矩阵形式；（4）回代求解未知数。
2. LU分解LU分解是将一个矩阵分解为下三角矩阵L和上三角矩阵U的乘积的方法。
这个方法通常用于解决多次使用相同矩阵求解线性方程组的场景。
LU分解的具体步骤如下：（1）设一个n阶方阵A，将其分解为A=LU；（2）通过高斯消元法将A化为上三角矩阵U；（3）构造下三角矩阵L，使得A=LU成立。
3. 矩阵的逆和伴随矩阵对于一个可逆矩阵A，可以通过求解逆矩阵来求解线性方程组。
设A为n阶可逆方阵，若存在一个n阶矩阵B，满足AB=BA=I，那么B称为A的逆矩阵，记作A^(-1)。
逆矩阵可以通过伴随矩阵来求解。
对于n阶矩阵A，它的伴随矩阵记作adj(A)，它的定义为adj(A)=det(A)·A^(-1)，其中det(A)是A的行列式。
逆矩阵的求解可以通过以下步骤：（1）求解矩阵A的行列式det(A)；（2）求解矩阵A的伴随矩阵adj(A)；（3）求解矩阵A的逆矩阵A^(-1)，即A^(-1)=adj(A)/det(A)。
4. 特征值和特征向量特征值和特征向量在矩阵求解中起着重要作用。
设A 是一个n阶方阵，若存在一个非零向量X，满足AX=kX，其中k为常数，则k为A的一个特征值，X为对应的特征向量。
07线性代数方程组的解法
总计∑ n (k2k) n(n21)
k1
3
除法
n1
k
n(n1)
k1
2
回 代 总 计 算 量 n(n1) 2
总 乘 除 法 共 n 3 3 n 2 1 3 n (n 3 0 ,为 9 8 9 0 )
21
三、Gauss消去法的矩阵表示
每一步消去过程相当于左乘初等变换矩阵Lk
a x a x a x a b 得
到
(1)
同
解 (1)
方
程 (1)A(3组 )x=b(1() 3)
(1)
11 1
12 2
13 3
1n
1
a x a x (2) (2)
22 2
23 3
a x(3) 33 3
a b (2) (2)
2n
2
a b (3) (3)
11 1
12 2
1n n
1
b x 22 2
b2nxn g 2
称 消 元 过 程 。 逐 次 计 算 b出 nn x xn n, x gn 1 n,, x 1 称 回 代 过 1程 0 。
一、Gauss 消去法计算过程
a a b b 统一记 → 号 (1) ： , →(1)
(2) ,
2
(3)
(2)
2
1
0
1
L m 0 2
32
1
0 mn2 0
m a a
(2) (2)
i2
i2
22
i 3,4, ,n
常见的线性代数求解方法
常见的线性代数求解方法
1.列主元消去法
列主元消去法是一种经典的求解线性方程组的方法。
它通过将
方程组转化为上三角矩阵的形式来求解。
这个方法的关键在于选取
主元的策略。
一种常见的选取主元的策略是选择当前列中绝对值最
大的元素作为主元，然后进行消去操作，直到将矩阵转化为上三角
矩阵。
2.高斯-约当消去法
高斯-约当消去法是另一种常见的线性方程组求解方法。
它通
过消去矩阵的下三角部分来将线性方程组转化为上三角矩阵的形式。
这个方法也需要选择主元，常见的选择策略是选取当前行中绝对值
最大的元素作为主元，然后进行消去操作。
3.LU分解法
LU分解法是将矩阵分解为一对矩阵的乘积的方法。
这个方法的思想是先将矩阵分解为一个下三角矩阵和一个上三角矩阵，然后通过求解上三角矩阵和下三角矩阵的两个方程组来求解原始的线性方程组。
4.Jacobi迭代法
Jacobi迭代法是一种迭代求解线性方程组的方法。
它通过将原始的线性方程组转化为一个对角矩阵和另一个矩阵的乘积的形式，然后通过迭代求解这个对角矩阵和另一个矩阵的方程组来逼近线性方程组的解。
5.Gauss-Seidel迭代法
Gauss-Seidel迭代法是另一种迭代求解线性方程组的方法。
它与Jacobi迭代法类似，但是在每一次迭代中，它使用前一次迭代得到的部分解来更新当前的解。
这个方法通常比Jacobi迭代法收敛得更快。
以上是一些常见的线性代数求解方法。
每种方法都有其特点和适用范围，我们可以根据具体情况选择合适的方法来求解线性方程组的问题。
线性代数的基本解法
线性代数的基本解法介绍线性代数是数学中的一个重要分支，研究向量空间和线性变换的代数结构和性质。
在数学、物理学、计算机科学等领域都有广泛的应用。
本文将介绍线性代数中常见的基本解法，包括行列式、矩阵运算、向量空间、线性方程组等内容。
行列式行列式是线性代数中重要的概念，它可以判断矩阵的可逆性以及线性方程组的解情况。
行列式的计算可以通过数值法和性质法两种方法进行。
数值法通过将矩阵转化为上三角矩阵或下三角矩阵，利用对角元素相乘得到行列式的值。
性质法则利用行列式的一系列性质进行计算，包括行列互换、行加倍等。
矩阵运算矩阵运算在线性代数中非常重要，包括矩阵的加法、减法、乘法等。
矩阵加法和减法主要通过对应位置元素的相加或相减来实现。
矩阵乘法则需要注意行和列的对应关系，具体的计算方法是将矩阵的行与另一个矩阵的列进行内积运算，得到最终的矩阵。
向量空间向量空间是线性代数中的一个基本概念，它由一组满足一定条件的向量组成。
向量空间具有封闭性、线性组合和线性相关性等特性。
通过研究向量空间的性质，可以对向量进行分析和运算。
线性方程组的解可以表示为向量空间的交集。
线性方程组线性方程组是线性代数中的核心问题之一，它表示为多个线性方程组成的方程组。
求解线性方程组可以通过消元法、矩阵法、逆矩阵等方法。
消元法通过逐步消去未知数来求解，最终得到唯一解、无穷解或无解。
矩阵法则通过转化为矩阵形式，利用矩阵的性质求解。
逆矩阵则需要判断方程组的系数矩阵是否可逆，若可逆则可以求解出唯一解。
总结线性代数的基本解法包括行列式、矩阵运算、向量空间和线性方程组等。
行列式可以判断矩阵的可逆性和解的情况；矩阵运算可以进行不同矩阵的加法、减法和乘法；向量空间具有封闭性和线性相关性等特性；线性方程组的解可以通过消元法、矩阵法和逆矩阵等方法求解。
掌握这些基本解法将有助于在实际问题中应用线性代数的知识。
线性代数方程组的解法
说明：线性方程组的初等变换是可逆的。 即，方程组（1）经初等变换化为一个新方 程组，那么新方程组也可以经过初等变换还 原为原方程组（1）。因而，方程组（1）与 它经过若干此初等变换之后得到的新方程组 是同解的。
⎧ a11 x1 + a12 x 2 + L + a1n x n = b1 ⎪ a x + a x + L+ a x = b ⎪ 21 1 22 2 2n n 2 ⎨ ⎪ LLLLLLLLLLLL ⎪a m 1 x1 + a m 2 x 2 + L + a mn x n = bm ⎩
L a1n ⎞ ⎟ L a2 n ⎟ L L⎟ ⎟ L amn ⎟ ⎠
矩阵A的 (m , n)元
这m × n个数称为 A的元素 , 简称为元素 (元 ).
元素是实数的矩阵称为实矩阵, 元素是复数的矩阵称为复矩阵.
例如
⎛ 1 0 3 5⎞ ⎟ 是一个 2 × 4 实矩阵, ⎜ ⎝ − 9 6 4 3⎠ ⎛ 1⎞ ⎜ ⎟ ⎜ 2⎟ ⎜ 4⎟ ⎝ ⎠
问题：是否每个矩阵都可以经过初等行变换化 为梯矩阵呢？ 定理1 任意m × n矩阵A总可以经初等行变换化为梯
矩阵及最简形。
证明 Step1 若A的元全为0, A已经是一个阶梯矩阵。
Step2 设非零矩阵A的第 j1 列是自左而右的第 一个非零列，设 a1 j ≠ 0 (否则，若 a ij1 非零，作 行变换 r1 ↔ ri ，总可使第j1列的第一个元非零)， 矩阵A的各行分别作行变换：
解
同理可得
−2 −2 1 1 −2 1 0 1 − 3 = −10, −1
D1 = 1 0
1
1 1
− 3 = −5, D2 = 2 −1 −1 1 = −5, 0
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四川大学数学系编著：《高等数学第三册》，高等教育出版社，1990,5.
二、教学内容
第一章行列式
教学目的
使学生进一步理解行列式的概念、性质，熟悉行列式的计算。
主要内容
行列式的概念、性质和计算。
教学要求
1.了解行列式的概念，掌握行列式的性质．
2.会应用行列式的性质和行列式按行（列）展开定理计算行列式．
第五章矩阵的特征值和特征向量
教学目的
使学生进一步理解矩阵的特征值和特征向量的概念及性质，能将矩阵转化为相似对角矩阵。
主要内容
矩阵的特征值和特征向量，相似矩阵。
教学要求
1.理解矩阵的特征值和特征向量的概念及性质，会求矩阵的特征值和特征向量。
2.了解相似矩阵的概念、性质及矩阵可相似对角化的充分必要条件，会将矩阵转化为相似对角矩阵。
深圳大学数学与计算科学学院
课程教学大纲
（2006年10月重印版）
课程编号23120019c
课程名称线性代数解法与技巧
课程类别综合选修
教材名称线性代数
制订人汤跃宝
Hale Waihona Puke 审核人郭辉2005年4月修订
一、课程设计的指导思想
（一）课程性质
1.课程类别：综合选修课
2.适用专业：数学与应用数学专业金融数学专业方向
3.开课学期：每学期
（四）主要内容
《线性代数解法与技巧》是线性代数的补充和提高课程，是培养造就高层次专门人才所需数学素质的基本课程。主要内容应包括：行列式和矩阵的性质和运算，解线性方程组，求矩阵的特征值和特征向量。
（五）先修课程
线性代数。
（六）后继课程
概率论与数理统计。
（七）考核方式
考查。
（八）使用教材
同济大学数学教研室编著：《线性代数第四版》，高等教育出版社. 2003,7.
克莱姆法则，用初等变换求解线性方程组。
教学要求
l.会用克莱姆法则．
2.理解齐次线性方程组有非零解的充分必要条件及非齐次线性方程组有解的充分必要条件．
3.理解齐次线性方程组的基础解系、通解及解空间的概念，掌握齐次线性方程组的基础解系和通解的求法。
4.理解非齐次线性方程组解的结构及通解的概念．
5.会用初等行变换求解线性方程组．
注：根据各课程的具体情况编写，但必须写明各章教学目的、要求、内容提要。
三、课时分配及其它
（一）课时分配
课程总教学时数为36学时，每周2学时，上课18周。具体分配如下：
第一章行列式8学时
第二章矩阵8学时
第三章向量8学时
第四章线性方程组4学时
第五章矩阵的特征值和特征向量8学时
（二）考核要求
1.成绩评价
平时成绩（含考勤与作业）占30%，论文成绩占70%.
4.了解矩阵初等变换的概念，了解初等矩阵的性质和矩阵等价的概念，理解矩阵的秩的概念，掌握用初等变换求矩阵的秩和逆矩阵的方法．
第三章向量
教学目的
使学生进一步理解向量组线性相关、线性无关的概念，熟悉向量组的秩的求法。
主要内容
n维向量，向量组的线性相关、线性无关及极大线性无关组。
教学要求
1.理解n维向量的概念、向量的线性组合与线性表示的概念．
注：写明各学期教学总时数及各周学时数。
2.理解向量组线性相关、线性无关的概念，掌握向量组线性相关、线性无关的有关性质及判别法．
3.了解向量组的极大线性无关组和向量组的秩的概念，会求向量组的极大线性无关组及秩．
4.了解向量组等价的概念，了解矩阵的秩与其行（列）向量组的秩的关系．
第四章线性方程组
教学目的
使学生会用初等变换求解线性方程组。
主要内容
4.学时安排：周学时2，总学时36
5.学分分配：2学分
（二）开设目的
是使学生了解线性代数中的一些解法与技巧，拓展知识面，从而进一步提高学生的抽象思维能力和分析问题及解决问题的能力。
（三）基本要求
通过教学，使学生较熟练掌握线性代数的基本概念、基本理论、基本算法。理解由这些内容而产生的基本问题及解决方法，努力营造良好的逻辑思维能力，着重培养熟练的运算能力，使学生造就具有分析问题、解决问题的能力。
第二章矩阵
教学目的
使学生进一步理解矩阵的概念，熟练掌握矩阵的秩和逆矩阵的求法。
主要内容
矩阵、矩阵的秩、逆矩阵。
教学要求
1.理解矩阵的概念，了解单位矩阵、对角矩阵、对称矩阵、三角矩阵、反对称矩阵，以及它们的性质．
2.掌握矩阵的线性运算、乘法、转置，以及它们的运算规律，了解方阵的幂与方阵乘积的行列式.
3.理解逆矩阵的概念，掌握逆矩阵的性质，以及矩阵可逆的充分必要条件，理解伴随矩阵的概念，会用伴随矩阵求逆矩阵．